TECNOLOGIA EM REDE DE COMPUTADORES ESTATÍSTICA

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1 1 TECNOLOGIA EM REDE DE COMPUTADORES ESTATÍSTICA

2 2 6. ANÁLISE COMBINATÓRIA INTRODUÇÃO É uma parte da matemática que estuda os agrupamentos de elementos sem precisar enumerá-los. Atualmente, a estimativa de acertos em jogos populares como: loteria esportiva, loto, loteria federal, etc, além de utilizações mais específicas, como confecções de horários, de planos de produção, de números de placas de automóveis, etc. Por quê é importante conhecer um processo de contagem? É importante conhecermos tais métodos, pois nem sempre temos condições de descrever todas as formas sob as quais uma situação pode ocorrer, principalmente em situações onde a resposta é um número muito elevado.

3 3 6. ANÁLISE COMBINATÓRIA PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM ou MULTIPLICAÇÃO Uma moça possui 5 camisas e 4 saias, de quantas maneiras ela poderá se vestir? A escolha de 1 camisa poderá ser feita de 5 maneiras diferentes. Escolhia a primeira camisa poderá escolher uma das quatro saias. Portanto, o número total de escolhas será: 4 x 5 = 20

4 4 6. ANÁLISE COMBINATÓRIA Exercício 1 Quantos são os números naturais de dois algarismos que são múltiplos de 5? Como o zero à esquerda de um número não é significativo, para que tenhamos um número natural com dois algarismos ele deve começar com um dígito de 1 a 9, temos portanto 9 possibilidades. Para que o número seja um múltiplo de 5, o mesmo deve terminar em 0 ou 5, portanto temos apenas 2 possibilidades. A multiplicação de 9 por 2 nos dará o resultado desejado. São 18 os números naturais de dois algarismos que são múltiplos de 5.

5 5 6. ANÁLISE COMBINATÓRIA Exercício 2 Eu possuo 4 pares de sapatos e 10 pares de meias. De quantas maneiras poderei me calçar utilizando um par de meias e um de sapatos? Pelo princípio fundamental da contagem temos que multiplicar 4, que é o número de elementos do primeiro conjunto, por 10 que corresponde ao número de elementos do segundo conjunto. Poderei me calçar de 40 maneiras diferentes.

6 6 6. ANÁLISE COMBINATÓRIA Exercício 3 De quantas formas podemos dispor as letras da palavra FLUOR de sorte que a última letra seja sempre a letra R? Para a última letra, segundo o enunciado temos apenas uma possibilidade que é a letra R. Para a primeira, segunda, terceira e quarta letras temos respectivamente 4, 3, 2 e 1 possibilidades. Assim temos: = 24 Podemos dispor as letras da palavra FLUOR de 24 formas diferentes, tal que a última letra seja sempre a letra R.

7 7 6. ANÁLISE COMBINATÓRIA Podemos enunciar o P. F. C. da seguinte maneira: Se um evento ocorrer por várias etapas sucessivas e independentes, de tal modo que: P1 é o número de possibilidades da etapa 1; P2 é o número de possibilidades da etapa 2; Pn é o número de possibilidades da etapa n; O número de maneiras que o evento pode ocorrer é dado por: P1 x P2 x P3 x Pn

8 8 6. ANÁLISE COMBINATÓRIA Princípio Aditivo Tal princípio trabalha com eventos independentes. Em outras palavras quando temos a opção de escolher uma coisa ou outra. De maneira geral temos que: Se existem x maneiras de se tomar uma decisão A e y maneiras de se tomar uma decisão B, o número de opções de se tomar a decisão A ou B será dada por x + y.

9 9 6. ANÁLISE COMBINATÓRIA Observe que quando usamos o termo "ou" em Análise Combinatória, devemos somar as possibilidades dos eventos e quando usamos o termo e, devemos multiplicar o número de possibilidades. Então: Decisão A ou B = x + y (soma) Decisão A e B = x. y (multiplicação)

10 10 6. ANÁLISE COMBINATÓRIA Fatorial É o produto de todos os inteiros positivos menores ou iguais a n Chama-se fatorial de n ou n fatorial o número n!, tal que: Para n=0: 0! = 1 Para n=1: 1! = 1 Para n=2: 2! => 2.1 = 2 Para n=3: 3! => = 6 Para n=4: 4! => = 24 Para n=5: 5! => = 120 Generalizando: n! = n (n-1) (n-2) (n-3) 2 1, sendo n pertencente ao conjunto dos números naturais {0, 1, 2, 3, }.

11 11 6. ANÁLISE COMBINATÓRIA Exercício 4 Calcule 10! Calcule Calcule = 90 = 220

12 12 6. ANÁLISE COMBINATÓRIA Fatorial As seguintes operação não são válidas! n! + x! = (n + x)! n! - x! = (n - x)! n!. x! = (n. x)!

13 13 6. ANÁLISE COMBINATÓRIA PERMUTAÇÃO Permutar é o mesmo que trocar. Nos problemas de permutação simples, a ideia que fica é de trocar ou embaralhar as posições de todos os elementos. 1) Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar utilizando os algarismos 3, 5 e 7? Note o uso da palavra distintos, ou seja, sem repetir o mesmo algarismo. As possibilidades são: 357, 375, 537, 573, 735 e 753. Utilizando o princípio fundamental da contagem, temos: = 6 possibilidades Podemos representar também em um diagrama de árvore : possibilidades 2 possibilidades 1 possibilidade

14 14 6. ANÁLISE COMBINATÓRIA 2) Quantos anagramas existem da palavra azul? Anagramas são todas as palavras formadas, com ou sem sentido, pelas letras da palavra dada, embaralhando a sua ordem. A maneira mais fácil de construir todas as possibilidades é pelo diagrama de árvores. Observe: Utilizando o princípio fundamental da contagem, temos: = 24 possibilidades u l z l u z l a u l z z u l u z u l a l u a l z u l a a u l u a z l a l z a l u z l a a z l z a u z a z u a u l z u a a z u z a

15 15 6. ANÁLISE COMBINATÓRIA PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO É a permutação onde aparecem elementos repetidos. Se trocarmos a ordem destes, não aparecerá mudanças na posição. Exemplo: Os anagramas da palavra matemática"

16 16 6. ANÁLISE COMBINATÓRIA "matemática" Ao mudar as letras m" com outra m" aparentemente não houve mudança. O mesmo com as letras "a" ou t". Assim, seguimos o raciocínio: Onde Pn é a permutação das dez letras da palavra matemática, P1 é o número de letras "m" que são repetidas, P2 é o número de letras "a" repetidas e P3 é o número de letras "t" repetidas. Generalizando:

17 17 6. ANÁLISE COMBINATÓRIA Exercício 5 Quantos anagramas podemos obter a partir das letras da palavra PARAR? Como a palavra PARAR possui 5 letras, mas duas delas são repetidas duas vezes cada, na solução do exemplo vamos calcular P5(2, 2):

18 18 6. ANÁLISE COMBINATÓRIA Exercício 6 Possuo 4 bolas amarelas, 3 bolas vermelhas, 2 bolas azuis e 1 bola verde. Pretendo colocá-las em um tubo acrílico translúcido e incolor, onde elas ficarão umas sobre as outras na vertical. De quantas maneiras distintas eu poderei formar esta coluna de bolas? Neste caso de permutação com elementos repetidos temos um total de 10 bolas de quatro cores diferentes. Segundo a repetição das cores, devemos calcular P10(4, 3, 2):

19 19 6. ANÁLISE COMBINATÓRIA ARRANJOS Onde tanto a ordem de posicionamento no grupo, quanto a natureza dos elementos, os elementos em si, causam diferenciação entre os agrupamentos. Ocorre quando de n elementos desejamos pegar p, no qual a ordem destes importa. Assim temos a relação:

20 20 6. ANÁLISE COMBINATÓRIA Exemplo: Com as letras da palavra república, quantas palavras, com ou sem sentido, podemos formar utilizando 5 destas letras? 1º modo de resolver: 2º modo de resolver:

21 21 7. PROBABILIDADES CONCEITOS BÁSICOS Embora o cálculo das probabilidades pertença ao grupo da Matemática, sua inclusão se justifica pelo fato de a maioria dos fenômenos de que trata a Estatística ser de natureza aleatória ou probabilística. Consequentemente, o conhecimento dos aspectos fundamentais do calculo de probabilidades é uma necessidade essencial para o estudo da Estatística Indutiva ou Inferencial. EXPERIMENTO ALEATÓRIO Em quase tudo, em maior ou menor grau, vislumbramos o acaso. Assim, da afirmação é provável que meu time ganhe a partida de hoje pode resultar: Que, apesar do favoritismo, ele perca; Que, como pensamos, ele ganhe; Que empate. Experimentos ou fenômenos aleatórios são aqueles que, mesmo repetidos várias vezes sob condições semelhantes, apresentam resultados imprevisíveis.

22 22 7. PROBABILIDADES ESPAÇO AMOSTRAL A cada experimento correspondem, em geral, vários resultados possíveis. Assim, ao lançarmos uma moeda há dois resultados possíveis: ocorrer cara ou ocorrer coroa. Já ao lançarmos um dado há seis possibilidades possíveis: 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Espaço amostral ou conjunto universo, representado por S. S = { Ca, Co } S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } Cada um dos elementos de S que corresponde a um resultado recebe o nome de ponto amostral. Assim 2 S => 2 é um ponto amostral de S. EVENTO AVALIAÇÃO REGRAS DO CÁLCULO DE PROBABILIDADES EXEMPLOS DE APLICAÇÃO DAS REGRAS

23 23 7. PROBABILIDADES EVENTO Chamamos de evento qualquer subconjunto do espaço amostral S de um experimento aleatório. E S (E está contido em S) Se E = S, E é chamado evento certo Se E S e E é um conjunto unitário, E é chamado evento element Se E =, E é chamado evento impossível. Exemplo

24 24 7. PROBABILIDADES EVENTO Um evento é sempre definido por uma sentença. Assim, os eventos anteriores podem ser definidos pelas sentenças: Obter um número par na face superior Obter um número menor ou igual a 6 na face superior Obter o número 4 na face superior Obter um número maior que 6 na face superior

25 25 7. PROBABILIDADES Probabilidade de um evento Considerando um lançamento de uma moeda e o evento A obter cara, temos: S = { Ca, Co } => n(s) = 2 A = { Ca } => n(a) = 1 Logo: P(A) = ½ O resultado acima nor permite afirmar que, ao lançarmos uma moeda equilibrada, temos 50% de chance de que apareça cara na face superior.

26 26 7. PROBABILIDADES Probabilidade de um evento Considerando um lançamento de um dado, vamos calcular: A probabilidade do evento A obter um número par na face superior. Temos: S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } => n(s) = 6 A = { 2, 4, 6 } => n(a) = 3 Logo: P(A) = 3/6 => ½ = 50% A probalidade do evento B obter um número menor ou igual a 6 na face superior. Temos: S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } => n(s) = 6 B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } => n(b) = 6 Logo: P(B) = 6/6 => 1/1 = 100%

27 27 7. PROBABILIDADES Probabilidade de um evento Considerando um lançamento de um dado, vamos calcular: A probabilidade do evento C obter um número 4 na face superior. Temos: S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } => n(s) = 6 C = { 4 } => n(c) = 1 Logo: P(C) = 1/6 => 16,67% A probabilidade do evento D obter um número maior que 6 na face superior. Temos: S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } => n(s) = 6 D = => n(d) = 0 Logo: P(D) = 0/6 => 0%

28 28 7. PROBABILIDADES

29 29 7. PROBABILIDADES Eventos Complementares Sabemos que um evento pode ocorrer ou não. Sendo p a probabilidade de que ele ocorra (sucesso) e q a probabilidade de que ele não ocorra (insucesso), para um mesmo evento existe sempre a relação: p + q = 1 = q = 1 - p

30 30 7. PROBABILIDADES Assim: Se a probabilidade de se realizar um evento é p = 1/5, a probabilidade de que ele não ocorra é: q = 1 - p => q = 1-1/5 => 4/5 Sabemos que a probabilidade de tirar o 4 no lançamento de um dado é p = 1/6. Logo, a probabilidade de não tirar o 4 no lançamento de um dado é: q = 1-1/6 = 5/6

31 31 7. PROBABILIDADES Eventos Independentes Dizemos que dois eventos são independentes quando a realização ou não-realização de um dos eventos não afeta a probabilidade da realização do outro e vice-versa. Se dois eventos são independentes, a probabilidade de que eles se realizem simultaneamente é igual ao produto das probabilidades de realização dos dois eventos. Exemplo: Quando lançamos dois dados, o resultado obtido em um deles independente do resultado obtido no outro. Assim: A probabilidade de obtermos 1 no primeiro dado é: p1 = 1/6 A probabilidade de obtermos 5 no segundo dado é: p2 = 1/6 p = 1/6 * 1/6 => 1/36

32 32 7. PROBABILIDADES Eventos mutualmente exclusivos Dizemos que dois ou mais eventos são mutuamente exclusivos quando a realização de um exclui a realização do(s) outro(s). Assim, no lançamento de uma moeda, o evento tirar cara e o evento tirar coroa são mutuamente exclusivos, já que, ao realizar um deles, o outro não se realiza. Se dois eventos são mutuamente exclusivos, a probabilidade de que um outro se realize é igual à soma das probabilidades de que cada um deles se realize: p = p1 + p2 Exemplo: Lançamos um dado. A probabilidade de tirar o 3 ou o 5 é: p = 1/6 + 1/6 => 2/6 = 1/3

33 33 7. PROBABILIDADES Exercícios: 1. Qual a probabilidade de sair o ás de outros quando retiramos uma carta de um baralho de 52 cartas. 2. Qual a probabilidade de sair um rei quando retiramos uma carta de um baralho de 52 cartas. 3. Em um lote de 12 peças, 4 são defeituosas. Sendo retirada uma peça, calcule: A. a probabilidade de essa peça ser defeituosa B. a probabilidade de essa peça não ser defeituosa 4. No lançamento de 2 dados, calcule a probabilidade de se obter soma igual a 5.

34 34 7. PROBABILIDADES Exercícios: 1. De dois baralhos de 52 cartas retiram-se, simultaneamente, uma carta do primeiro baralho e uma carta do segundo. Qual a probabilidade de a carta do primeiro baralho ser um rei e a do segundo ser o 5 de paus? 2. Uma urna A contém: 3 bolas brancas, 4 pretas, 2 verdes; uma urna B contém: 5 bolas brancas, 2 pretas, 1 verde; uma urna C contém: 2 bolas brancas, 3 pretas, 4 verdes. Uma bola é retirada de cada urna. Qual é a probabilidade de as três bolas retiradas da primeira, segunda e terceira urnas serem, respectivamente, branca, preta e verde?

35 35 8. VARIÁVEL ALEATÓRIA Suponhamos que um espaço amostral S e que a cada ponto amostral seja atribuído um número. Fica, então, definida uma função chamada variável aleatória, indicada por letra maiúscula, sendo seus valores indicados por letras minúsculas. Assim, se o espaço amostral relativo ao lançamento simultâneo de duas moedas é S = { (Ca, Ca), (Ca, Co), (Co, Ca), (Co, Co) } e se X representa o número de caras que aparecem, a cada ponto amostral podemos associar um número para X

36 36 8. VARIÁVEL ALEATÓRIA S = { (Ca, Ca), (Ca, Co), (Co, Ca), (Co, Co) } Ponto Amostral X (Ca, Ca) 2 (Ca, Co) 1 (Co, Ca) 1 (Co, Co) 0

37 37 9. DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE Considerando a distribuição de freqüências relativa ao número de acidentes diários em um estacionamento: Nº Acidentes Frequências Total: 30 Em um dia, a probabilidade de: Não ocorrer acidente é: p = 22/30 = 0,73 Ocorrer um acidente: p = 5/30 = 0,17 Ocorrerem dois acidentes: p = 2/30 = 0,07 Ocorrerem três acidentes: p = 1/30 = 0,03

38 38 9. DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE Esta tabela é denominada distribuição de probabilidade Nº de Acidentes Probabilidades 0 0,73 1 0,17 2 0,07 3 0,03 T: 1,00

39 39 9. DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE Seja X uma variável aleatória que pode assumir os valores x1, x2, x3,, xn. A cada valor x1 correspondem pontos de espaço amostral. Associamos, então, a cada valor x1, a probabilidade p1 de ocorrência de tais pontos no espaço amostral. Assim temos: Os valores x1, x2,, xn e seus correspondentes p1, p2, pn, definem uma distribuição de probabilidade.

40 40 9. DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE Assim temos: PONTO AMOSTRAL X P(X) (Ca, Ca) 2 ½ x ½ = ¼ (Ca, Co) 1 ½ x ½ = ¼ (Co, Ca) 1 ½ x ½ = ¼ } ¼ + ¼ = 2/4 (Co, Co) 0 ½ x ½ = ¼

41 41 9. DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE Logo, podemos escrever: Nº DE CARAS (X) P(X) 2 1/4 1 2/4 0 1/4 T: 1

42 42 9. DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE FUNÇÃO DE PROBABILIDADE Ao definir a distribuição de probabilidade, estabelecemos uma correspondência unívoca entre os valores da variável aleatória X e os valores da variável P. Esta correspondência define uma função: os valores xi (i = 1, 2,, n) formam o domínio da função e os valores pi (i = 1, 2, 3,, n), o seu conjunto imagem. Essa função, assim definida, é denominada função de probabilidade e representada por: f(x) = P(X = x) A função P(X = x) determina a distribuição de probabilidade da variável aleatória X. Assim, ao lançarmos um dado, a variável aleatória X, definida por pontos de um dado, pode tomar os valores 1, 2, 3,, 6. Como cada um destes valores está associada uma e uma só probabilidade de realização e, fica definida uma função de probabilidade, da qual resulta a seguinte distribuição de probabilidade.

43 43 9. DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE X P(X) 1 1/6 2 1/6 3 1/6 4 1/6 5 1/6 6 1/6 T: 1

44 DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL Vamos, neste item, considerar experimentos que satisfaçam as seguintes condições: O experimento deve ser repetido, nas mesmas condições, um número finito de vezes (n). As provas repetidas devem ser independentes, isto é, o resultado de uma não deve afetar os resultados das sucessivas. Em cada prova deve aparecer um dos dois possíveis resultados: sucesso e insucesso. No decorrer do experimento, a probabilidade p do sucesso e a probabilidade q (q = 1 - p) do insucesso manter-se-ão constantes.

45 DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL Resolvemos problemas do tipo: determinar a probabilidade de ser obter k sucessos em n tentativas. O experimento obtenção de caras em cinco lançamentos sucessivos e independentes de uma moeda satisfaz essas condições. Sabemos que, quando da realização de um experimento qualquer em uma única tentativa, se a probabilidade de realização de um evento (sucesso) é p, a probabilidade de não realização desse mesmo evento (insucesso) é 1 - p = q. Suponhamos, agora, que realizemos a mesma prova n vezes sucessivas e independentes. A probabilidade de que um evento se realize k vezes nas provas é dada pela função: f x = P X = k = n k p) q +,)

46 DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL Na qual: P(X = k) é a probabilidade de que o evento se realize k vezes em n provas; p é probabilidade de que o evento se realize em uma só prova - sucesso; q é probabilidade de que o evento não se realize no decurso dessa prova - insucesso; + ) é o coeficiente binomial de n sobre k, igual a +! )! +,)! Essa função, denominada lei binomial, define a distribuição binomial.

47 DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL NOTA: + O nome binomial vem do fato de ) p) q +,) ser o termo geral do desenvolvimento do binômio de Newton.

48 DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL Exercício 1. Uma moeda é lançada cinco vezes seguidas e independentes. Calcule a probabilidade de serem obtidas 3 caras nessas cinco provas. Temos: n = 5 e k = 3 Pela lei binomial, podemos escrever: P(X = 3) = / 0 p0 q /,0 = / 0 p0 q 1 Se a probabilidade de obtermos cara numa só prova (sucesso) é p = 2 1 e a probabilidade de não obtermos cara numa só prova (insucesso) é q = = 2 1, então: P(X = 3) = / = /! 0!1! = / 23

49 DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 2. Dois times de futebol, A e B, jogam entre si seis vezes. Encontre a probabilidade de o time A ganhar quatro jogos. Temos: n = 6, k = 4, p = 2 0, e q = = 1 0 Então: P(X = 4) = =

50 DISTRIBUIÇÃO NORMAL A distribuição normal, também conhecida como distribuição gaussiana, é uma das mais importantes no estudo da estatística. Diversos fenômenos físicos e sociais seguem esta distribuição. A distribuição normal se aplica frequentemente em situações em que valores extremos são menos prováveis do que valores moderados. A distribuição normal também pode ser usada como aproximação da distribuição binomial, e é aplicável sempre somamos um conjunto de variáveis aleatórias independentes, distribuídas identicamente.

51 DISTRIBUIÇÃO NORMAL A distribuição normal descreve situações que apresentam as seguintes características: A variável aleatória em questão é contínua. A probabilidade de ocorrência dos eventos possíveis depende somente da média e do desvio padrão do conjunto.

52 DISTRIBUIÇÃO NORMAL Os fenômenos que se caracterizam por uma distribuição normal, possuem as seguintes características: Valor médio é o mais provável Quanto mais longe da média, menos provável O gráfico da distribuição tem um formato de sino

53 DISTRIBUIÇÃO NORMAL Assim como no exemplo para a distribuição uniforme, as probabilidades de se encontrar o valor da variável dentro de certo intervalo corresponderão à área do gráfico localizada no interior dos limites desse intervalo.

54 DISTRIBUIÇÃO NORMAL Para calcular-se a probabilidade de um determinado evento que segue a distribuição normal, é preciso calcular a área sob a curva normal que representa este evento. Na prática utiliza-se uma curva normal padronizada e tabelas que mostram os valores das probabilidades desta curva. (A tabela se encontra em facsul.dpmart.com.br ) Para isto se utiliza, em lugar do valor x da variável, o valor z, que nos diz quanto acima ou abaixo da média está o valor da variável.

55 DISTRIBUIÇÃO NORMAL O cálculo de z é dado por: z = x x s Assim, se tivermos, por exemplo, um conjunto cuja média seja 50 e o desvio-padrão seja igual a 10, um valor de x = 40 corresponderá a: z = 45,/5 25 = 1

56 DISTRIBUIÇÃO NORMAL A partir deste valor calculado para a variável z, entra-se em uma tabela e verifica-se a probabilidade de ocorrência do valor de x correspondente. Na tabela citada há a informação sobre a área subentendida pela curva normal reduzida de 0 a z. Dado um valor de z, devemos procurar na tabela qual o valor da área que corresponde a ele da seguinte forma:

57 DISTRIBUIÇÃO NORMAL Na primeira coluna da tabela, o valor de z é dado até sua primeira casa decimal. Na primeira linha da tabela colocam-se os valores referentes à segunda casa decimal. O valor da área em questão será aquele que esteja na linha e coluna correspondentes Vejamos alguns exemplos: Área para z = 1,68

58 DISTRIBUIÇÃO NORMAL Procura-se na tabela padronizada a linha cuja primeira coluna tenha o valor 1,6, reproduzida a seguir:

59 DISTRIBUIÇÃO NORMAL z 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545 Nessa linha, procure a coluna correspondente à segunda casa decimal, ou seja, a coluna indicada pelo 0,08. A área indicada na figura, compreendida pela fatia que vai do z = 0 ao z = 1,68 será, portanto, A = 0,4535. Este será o valor da probabilidade de ocorrência da variável x correspondente.

60 TECNOLOGIA EM REDE DE COMPUTADORES 11. DISTRIBUIÇÃO NORMAL 60

61 DISTRIBUIÇÃO NORMAL As probabilidades associadas à distribuição normal padronizada são encontradas em tabelas, não havendo a necessidade de serem calculadas. A tabela anterior é uma tabela de distribuição normal reduzida, que nos dá a probabilidade de Z tomar qualquer valor entre a média 0 e um dado valor z, isto é: P(0 < Z < z) Temos, então, que se X é uma variável aleatória com distribuição normal de média x e desvio padrão s, podemos escrever: P(x < X < x) = P(0 < Z < z), Com z = ;, ; <

62 DISTRIBUIÇÃO NORMAL 1. Determine as probabilidades: a) P(-1,25 < Z < 0)

63 DISTRIBUIÇÃO NORMAL 1. Determine as probabilidades: b) P(-0,5 < Z < 1,48)

64 DISTRIBUIÇÃO NORMAL 1. Determine as probabilidades: c) P(0,8 < Z < 1,23)

65 DISTRIBUIÇÃO NORMAL 1. Determine as probabilidades: d) P(Z > 0,6)

66 DISTRIBUIÇÃO NORMAL 1. Determine as probabilidades: e) P(Z < 0,92)

67 DISTRIBUIÇÃO NORMAL 2. Os salários semanais dos operários industriais são distribuídos normalmente, em torno da média de R$ 500, com desvio padrão de R$ 40. Calcule a probabilidade de um operário ter um salário semanal situado entre R$ 490 e R$ 520.

68 INFERÊNCIA ESTATÍSTICA E ESTIMAÇÃO Trabalho 2 Livro Estatística Aplicada 3ª Edição Cap 10 A definir Cap 11 A definir

69 CORRELAÇÃO E REGRESSÃO Introdução No material anterior a preocupação era descrever a distribuição de valores de uma variável. Com esse objetivo, aprendemos a calcular medidas de tendência central e variabilidade. Quando, porém, consideramos observações de duas ou mais variáveis, surge um novo problema: as relações que podem existir entre as variáveis estudadas. Nesse caso, as medidas estudadas não são eficientes. Assim, quando consideramos variáveis como peso e altura de um grupo de pessoas, uso do cigarro e incidência do câncer, vocabulário e compreensão da leitura, dominância e submissão, procuramos verificar se existe alguma relação entre as variáveis de cada um dos pares e qual o grau dessa relação. Para isso, é necessário o conhecimento de novas medidas.

70 CORRELAÇÃO E REGRESSÃO Sendo a relação entre as variáveis de natureza quantitativa, a correlação é o instrumento adequado para descobrir e medir essa relação. Uma vez caracterizada a relação, procuramos descrevê-la através de uma função matemática. A regressão é o instrumento adequado para a determinação dos parâmetros dessa função.

71 CORRELAÇÃO E REGRESSÃO Correlação Relação funcional e relação estatística Como sabemos, o perímetro e o lado de um quadrado estão relacionados. A relação que os liga é perfeitamente definida e pode ser expressa por meio de uma sentença matemática: 2p = 4l Onde 2p é o perímetro e l é o lado. Atribuindo-se, então, um valor qualquer a l, é possível determinar exatamente o valor de 2p.

72 CORRELAÇÃO E REGRESSÃO Consideremos, agora, a relação que existe entre o peso e a estatura de um grupo de pessoas. É evidente que essa relação não é do mesmo tipo da anterior; ela é bem menos precisa. Assim, pode acontecer que a estaturas diferentes correspondam pesos iguais ou que a estaturas iguais correspondam pesos diferentes. Contudo, em média, quanto maior a estatura, maior o peso. As relações do tipo perímetro lado são conhecidas como relações funcionais e as do tipo peso estatura, como relações estatísticas. Quando duas variáveis estão ligadas por uma relação estatística, dizemos que existe correlação entre elas.

73 CORRELAÇÃO E REGRESSÃO Diagrama de Dispersão Consideremos uma amostra aleatória, formada por dez dos 98 alunos de uma classe de faculdade A e pelas notas obtidas por eles em Matemática e Estatística: Nº NOTAS MATEMÁTICA (x i ) ESTATÍSTICA (y i ) 01 5,0 6,0 08 8,0 9,0 24 7,0 8, ,0 10,0 44 6,0 5,0 58 7,0 7,0 59 9,0 8,0 72 3,0 4,0 80 8,0 6,0 92 2,0 2,0 Tabela 11.1

74 CORRELAÇÃO E REGRESSÃO Representando, em uma sistema coordenado cartesiano ortogonal, os pares ordenados (x i, y i ), obtemos uma nuvem de pontos que denominamos diagrama de dispersão. Esse diagrama nos fornece uma ideia grosseira, porém útil, da correlação existente.

75 CORRELAÇÃO E REGRESSÃO Correlação Linear Os pontos obtidos, vistos em conjunto, formam uma elipse em diagonal. Podemos imaginar que, quanto mais fina for a elipse, mais ela se aproximará de uma reta. Dizemos, então, que a correlação de forma elíptica tem como imagem uma reta, sendo, por isso, denominada correlação linear. É possível verificar que a cada correlação está associada como imagem uma relação funcional. Por esse motivo, as relações funcionais são chamadas relações perfeitas.

76 CORRELAÇÃO E REGRESSÃO Como a correlação em estudo tem como imagem uma reta ascendente, ela é chamada correlação linear positiva.

77 CORRELAÇÃO E REGRESSÃO Assim, uma correlação é: a) Linear positiva se os pontos do diagrama têm como imagem uma reta ascendente; b) Linear negativa se os pontos têm como imagem uma reta descendente; c) Não linear se os pontos têm como imagem uma curva. Se os pontos apresentam-se dispersos, não oferecendo uma imagem definida, concluímos que não há relação alguma entre as variáveis um estudo.

78 CORRELAÇÃO E REGRESSÃO Temos, então:

79 CORRELAÇÃO E REGRESSÃO Coeficiente de correção linear O instrumento empregado para a medida da correlação linear é o coeficiente de correlação. Esse coeficiente deve indicar o grau de intensidade da correlação entre duas variáveis e, ainda, o sentido dessa correlação (positivo ou negativo).

80 CORRELAÇÃO E REGRESSÃO Faremos uso do coeficiente de correlação de Pearson, que é dado por: n x? y? ( x? )( y? ) r = n x 1? ( x? ) 1 [n y 1? ( y? ) 1 ] Onde n é o número de observações Os valores limites de r são -1 e +1, isto é, o valor de r pertence ao intervalo [-1, +1]. Assim: a) se a correlação entre duas variáveis é perfeita e positiva, então r = +1; b) se a correlação é perfeita e negativa, então r = -1; c) se não há correlação entre as variáveis, então r = 0.

81 CORRELAÇÃO E REGRESSÃO Logicamente: se r = +1, há uma correlação perfeita e positiva entre as variáveis; se r = -1, há uma correlação perfeita e negativa entre as variáveis; se r = 0, ou não há correlação entre as variáveis, ou a relação que porventura existia não é linear.

82 CORRELAÇÃO E REGRESSÃO NOTA Para que uma relação possa ser descrita por meio do coeficiente de correlação de Pearson é imprescindível que ela se aproxime de uma função linear. Uma maneira prática de verificarmos a linearidade da relação é a inspeção do diagrama de dispersão: se a elipse apresenta saliências ou reentrâncias muito acentuadas, provavelmente trata-se de correlação curvilínea. Para podermos tirar algumas conclusões significativas sobre o comportamento simultâneo das variáveis analisadas, é necessário que: 0,6 r 1 Se 0,3 r < 0,6, há uma correlação relativamente fraca entre as variáveis. Se 0 < r < 0,3, a correlação é muito fraca e, praticamente, nada podemos concluir sobre a relação entre as variáveis em estudo.

83 CORRELAÇÃO E REGRESSÃO Vamos, então, calcular o coeficiente de correlação relativo à Tabela O modo mais prático para obtermos r é abrir, na tabela, colunas correspondentes aos valores de x i y i, x i2 e y i2. Assim:

84 CORRELAÇÃO E REGRESSÃO Logo: r = r = r = r = ( )( ) ( )( ) ,18 = 0,911 Daí: r = 0,91 Resultado que indica um correlação linear positiva altamente significativa entre duas variáveis.

85 CORRELAÇÃO E REGRESSÃO Resolva: 1. Complete o esquema de cálculo do coeficiente de correlação para os valores das variáveis x i e y i : x i y i Complete o quadro e ache o r: x i y i x i y i x 2 i y 2 i R = R = R = R = R =

86 CORRELAÇÃO E REGRESSÃO Regressão Ajustamento da reta Sempre que desejamos estudar determinada variável em função de outra, fazemos uma análise de regressão. Podemos dizer que a análise de regressão tem por objetivo descrever, através de um modelo matemático, a relação entre duas variáveis, partindo de n observações das mesmas. A variável sobre a qual desejamos fazer uma estimativa recebe o nome de variável dependente e a outra recebe o nome de variável independente. Assim, supondo X a variável independente e Y a variável dependente, vamos procurar determinar o ajustamento de uma reta à relação entre essas variáveis, ou seja, vamos obter uma função definida por: onde a e b são os parâmetros. Y = ax + b Sejam duas variáveis X e Y, entre as quais exista uma correlação acentuada, embora não perfeita, como, por exemplo, as que formas a tabela 11,2.

87 CORRELAÇÃO E REGRESSÃO Daí temos: Cujo diagrama de dispersão é dado por:

88 CORRELAÇÃO E REGRESSÃO Podemos concluir, pela forma do diagrama, que se trata de uma correlação retilínea, de modo a permitir o ajustamento de uma reta, imagem da função definida por: Y = ax + b Vamos, então, calcular os valores dos parâmetros a e b com a ajuda das fórmulas: a = n x iy i x i y i n x i2 x i 1 b = yv ax Onde: n é o número de observações; xx é a média dos valores x i x = ;? + yx e a média dos valores yi yv = Z? +

89 CORRELAÇÃO E REGRESSÃO NOTA Como estamos fazendo uso de uma amostra para obtermos os valores dos parâmetros, o resultado, na realidade, é uma estimativa da verdadeira equeação de regressão. Sendo assim, escrevemos: y[ = ax + b Onde y[ é o Y estimado.

90 CORRELAÇÃO E REGRESSÃO Formaremos, então, a tabela de valores: Para traçarmos uma reta no gráfico, basta determinar dois de seus pontos

91 CORRELAÇÃO E REGRESSÃO Interpolação e extrapolação Voltando a tabela 11.1, vemos que 4,0 não figura entre as notas de Matemática. Entretanto, podemos estimar a nota correspondente em Estatística fazendo X = 4,0 na equação: y[ = ax + b O mesmo acontece com a nota 1,0. Repetindo o procedimento, temos:

92 CORRELAÇÃO E REGRESSÃO Como 4 2, 10, dizemos que foi feita uma interpolação; e como 1 2, 10, dizemos que foi feita uma extrapolação.

93 CORRELAÇÃO E REGRESSÃO Exercício: