Pró-Reitoria de Graduação Curso de Física Trabalho de Conclusão de Curso SIMULAÇÕES DE SISTEMAS DINÂMICOS EM ECONOFÍSICA

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1 Pró-Reitoria de Graduação Curso de Física Trabalho de Conclusão de Curso SIMULAÇÕES DE SISTEMAS DINÂMICOS EM ECONOFÍSICA Autor: Thiago A. Monteiro Orientador: Prof. Dr. Diego O. Nolasco Brasília - DF

2 Simulações de Sistemas Dinâmicos em Econofísica (Simulations of Dynamical Systems in Econophysics) Thiago A. Monteiro 1, Diego O. Nolasco 1,2 1 Curso de Física Universidade Católica de Brasília ²Programa de Pós-Graduação em Ciências Genômicas e Biotecnologia Universidade Católica de Brasília Já há algum tempo, boa parte dos físicos tem se dedicado ao estudo das flutuações de taxas, índices e preços de ativos nas economias de mercado. O conjunto dessas investigações tem-se intensificado nos últimos anos e é conhecido por Econofísica. Este trabalho mostra, por meio de física-estatística, possíveis formas de análise gráfica de um ativo negociado na bolsa de valores. Foi realizada, ainda, por meio do software MAPLE 12, a simulação de uma possível interação entre agentes e suas consequências no preço dos ativos. Palavras-chave: Econofísica, Física Estatística, Análise Gráfica, Simulação Computacional. For some time, most physicists have been studying the fluctuations of charges, rates and asset prices in market economies. All these investigations have been intensified in recent years and are known as Econophysics. This work shows, through Statistical Physics, graphical analysis of possible forms of an asset traded in the stock market. The simulation of a possible interaction between agents and their effect on asset prices was also performed, using the software MAPLE 12. Keywords: Econophysics, Statistical Physics, Graphical Analysis, Computer Simulation. Os economistas às vezes interrogam-se se todo este trabalho em Física não é só um longo exercício de aprendizagem dos físicos daquilo que os economistas já sabem. Certamente que não [...]. A Física moderna pode oferecer muito aos economistas. Não só diferentes ferramentas e métodos de análise, como também diferentes conceitos tais como as transições de fase, valores críticos e leis de potência. Não só a análise de padrões quase-estáticos, como também a análise de padrões em formação. A Economia precisa disto. (Arthur, 2004) 1. Introdução A econofísica é uma área interdisciplinar que há algum tempo vem chamando a atenção de físicos, matemáticos e economistas. A possibilidade de juntar conceitos dessas áreas para explicar e até mesmo modelar o mercado financeiro gerou uma grande excitação, principalmente nos físicos contemporâneos que buscavam algo relativamente novo e que não tenha sido tão explorado como em outras partes da Física. 2

3 A relação entre Física e Economia é antiga e pode ser reconhecida desde o século XVIII, começando com Adam Smith sob o impacto da revolução newtoniana (Porto, 1975), e passando pelos princípios da microeconomia e da teoria neoclássica sob influência da mecânica estatística de equilíbrio de Boltzmann (PLASCAK et al., 2010). O que é realmente novo nessa história é o grau de intensidade com que as disciplinas estão sendo juntamente trabalhadas. O principal objetivo da econofísica é modelar com a maior precisão possível o mercado de ações. Valendo-se de acontecimentos passados e de Física Estatística, o profissional na área tenta prever o que acontecerá no futuro. O grande problema está em analisar e encaixar os acontecimentos raros para que quando o modelo for simulado, não rode de forma cíclica, ou seja, mostrando que aquele mesmo evento ocorra em períodos uniformes. 2. Objetivo Este trabalho tem o objetivo de mostrar por meio de Física Estatística e simulação computacional como essas possíveis análises podem ser feitas, propiciando assim uma forma de análise mais completa para corretoras e investidores. 3. Das tulipas ao financeiro-imobiliário Uma bolha financeira, termo ligado as práticas de natureza especulativa, talvez seja o principal evento raro estudado. A primeira bolha da qual se tem notícia aconteceu na Holanda no século XVII (DE BES, 2010). As tulipas, flores que não possuem perfume e florescem apenas uma ou duas vezes ao ano, mas que ostentam uma grande beleza, começaram a ser muito apreciada pelos holandeses. Como a procura começou a ficar intensa, o preço começou a subir (oferta e procura) e apenas algumas pessoas podiam comprá-las. Naquela época, era comum aos mercadores a venda de tulipas a futuro (para entregar em data futura). Havia, portanto, grande risco em aceitar vender por preço fixo no futuro sem saber ao certo qual seria o preço exato no momento da venda. Para limitar esse risco e assegurar margem de lucro, 3

4 muitos mercadores compravam opções dos plantadores. Essas opções lhes asseguravam o direito, mas não a obrigação, de comprar tulipas dos plantadores por preço predeterminado ao término de período específico de tempo. Em outras palavras, o preço máximo para os mercadores era fixado até que chegasse o momento de entregar as tulipas aos aristocratas e receber o pagamento. Se as tulipas passassem a custar mais que o preço máximo (ou predeterminado), os mercadores que possuíam as opções exigiriam do plantador a entrega pelo preço máximo combinado, assegurando margem de lucro. Se, entretanto, o preço caísse e a opção expirasse sem valor, o mercador ainda poderia ter lucro comprando tulipas por preço mais baixo e, depois, revendendo-as com lucro. Esses contratos de opções possibilitaram que muitos mercadores permanecessem trabalhando durante períodos de extrema volatilidade nos preços daquelas flores. Em 1623, um simples ramalhete de tulipas chegou a custar milhares de florins holandeses (DE BES, 2010). Hoje quando lemos esse acontecimento, logo imaginamos o que viria a acontecer, um crash bolsista. A história nos mostra que é praticamente impossível manter preços tão altos por tanto tempo baseados apenas em especulação, mas quando se está vivendo o momento não é tão simples identificar o que está acontecendo a sua volta. Somente em 1637 os vendedores de tulipas não conseguiram mais inflacionar os preços, consequência, uma Holanda quebrada (DE BES, 2010). Outras bolhas abalaram o mercado, algumas pontualmente e outras de forma global, exemplos marcantes de bolhas que afetaram vários países nos são mostrados por Mateus (2009): Bolha imobiliária da Florida. EUA (1926) - Primeira bolha imobiliária americana, Grande bolha americana ( ) Resultou na crise (crash) de 1929 e por último a bolha no mercado de residências nos EUA em 2008, que resultou na quebra de vários bancos americanos e suas matrizes em outros países do mundo. 4

5 4. O funcionamento do mercado baseado no comportamento dos agentes As ações negociadas em bolsa de valores nada mais são do que pequenos pedaços do capital de uma empresa. Quem compra ações na bolsa o faz com a expectativa de se tornar sócio da empresa e de obter um bom retorno, advindo da lucratividade e do crescimento da companhia (BOVESPA, 2011). As empresas ao abrirem capital, buscam obter recursos para investir, seja contratando gente, seja em equipamentos ou inteligência. Em vez de pedir dinheiro emprestado a bancos, mais empresas buscam captar recursos de novos sócios nas bolsas para aperfeiçoarem seus produtos e serviços e assim, obter mais lucro. Esse lucro é devolvido ao investidor pelos dividendos distribuídos e pela valorização das ações, pois as empresas que lucram mais valem mais. Ao estudar Análise Técnica, estuda-se, na verdade, a psicologia do ser humano (LELIS, 2007). Em síntese isso significa que o ser humano se comporta de maneira semelhante em determinadas situações, então, se no passado ocorreu determinado padrão no gráfico que precedeu uma tendência de alta, possivelmente, ao repetir novamente esse padrão, o futuro será semelhante ao passado. A simulação que será apresentada no tópico 5 se orienta basicamente por essa premissa, ou seja, pela psicologia dos investidores. Um conceito de suma importância no meio financeiro e que cabe nesse contexto é o de arbitrariedade (MANTEGNA; STANLEY, 2000) da compra e venda do mesmo título ou equivalente, a fim de lucro com as discrepâncias de preços. Por exemplo, a compra de dólares em um país por um determinado preço e a sua rápida venda em um que esteja passando por uma crise econômica e que sua moeda esteja desvalorizada fente ao dólar. Tem o maior lucro quem realiza esta manobra financeira primeiro, uma vez concretizada a manobra e o resultado divulgado, outros investidores farão a mesma coisa e logo o preço voltará a um valor normal. Essa busca constante por arbitrariedades facilita o mercado a promover o preço mais racional possível, dadas as circunstâncias socioeconomicas do período. 5

6 A hipótese de mercado eficiente foi originalmente formulada em 1960 (FAMA, 1970) ela estabelece que o preço atual da ação reflete todas as informações e expectativas dos participantes do mercado. A fundamentação para esta hipótese só existiu graças aos trabalhos de Bachelier (1900.). Bachelier propôs no início do século XX que o preço de um dado ativo em um mercado especulativo seria descrito por um processo estocástico (BACHELIER, 1900), na qual os preços são descritos por um random walking (KENDALL S, 1953), com flutuações regidas por uma distribuição gaussiana. Onde significa a variação de preço, o termo representa uma variação temporal de preços determinística ou típica, com taxa média no tempo. O termo representa a variação estocástica dos preços, cuja amplitude é dada pelo desvio padrão das variações históricas de preço. Somente em 1965 a hipótese de mercado eficiente foi realmente matematizada (SAMUELSON, 1965). Baseando-se nos conceitos de comportamento racional e mercado eficiente, ou seja, aproximações bem simplistas do que realmente acontece, demonstrou-se como Y t+1, valor esperado de um ativo no tempo t+1 está relacionado aos valores de preços Y 0, Y 1,..., Y t através da relação (02) Partindo desta relação, em que E seriam as expectativas, conclui-se que seria um jogo justo, ou seja, não há como obter lucro partindo apenas destas informações, os ganhos e as perdas se cancelariam, pois apenas o histórico das flutuações seria utilizado. Isso contraria o que realmente acontece no mercado real, pois o grau de ineficiência do mercado é que caracteriza os lucros obtidos pelos investidores. O modelo padrão (método utilizado até hoje) partiu do que foi proposto por Bachelier (1900) em relação às flutuações serem regidas por distribuições Gaussianas, porém este sofreu algumas modificações. A distribuição 6

7 Gaussiana do modelo de Bachelier permite preços negativos, o que viola drasticamente as leis de mercado. Quando compramos um lote de ações, por exemplo, gastamos certo montante para pagar por ele e pela corretagem. Se a empresa correspondente ficar devendo muito para seus credores, o valor das ações que compramos pode chegar a zero, mas jamais teremos a responsabilidade de pagar pela dívida da empresa, ou seja, jamais as ações que compramos terão valor negativo (BOVESPA, 2011). 5. Distribuições de probabilidade As variáveis sujeitas a análise probabilística podem ser divididas em qualitativas e quantitativas (FLIESSBACH, 2000). A fim de não fugir dos objetivos do estudo, vamos nos ater apenas à explicação das quantitativas, que podem ser classificadas como discretas ou contínuas. Chamamos de variáveis quantitativas discretas todas aquelas que têm valores quantizados. Se levarmos em conta somente os anos, por exemplo, podemos dizer que a idade de uma pessoa é uma grandeza quantizada, ou seja, só assume valores inteiros e é, portanto, uma variável quantitativa discreta. No entanto, se considerarmos os meses é perfeitamente possível dizer que uma pessoa tem 25,5 anos e essa variável passa a ser quantitativa contínua. Como é possível notar, a delimitação dada inicialmente à análise de um conjunto de dados determina a natureza de uma variável, sendo, dessa forma, indispensável o uso do bom senso (MAGALHÃES; LIMA, 2005). O retorno das ações utilizado como ponto de partida para este artigo tem caráter aleatório, ou seja, seu valor seguinte não segue nenhum padrão passível de previsão determinística, está sujeito a eventualidades do futuro. Dessa forma, pode ser classificado como variável aleatória contínua. Umas das técnicas que quando utilizada nos retorna valores de tendências é a média e pode ser expressa por: 7

8 Onde x 1, x 2,..., x n são valores observados da variável x durante um determinado período, e n é o número de vezes que x apresentou variação. Com base numa série ordenada de dados a mediana (m d ) é o valor que ocupa a posição central dessas séries e a moda (m o ) é o valor mais frequente. Existem ainda inúmeras outras formas de representar um conjunto de dados a partir de um único valor que seja capaz de imprimir as características desse conjunto, algumas delas serão mostradas posteriormente. Quando precisamos de um valor que seja dado rapidamente e que uma análise mais profunda não seja necessária, a média atende bem as expectativas, por outro lado, caso a variável que queiramos mensurar apresente grandes discrepâncias de valores, por exemplo, é interessante que estudemos algumas medidas de dispersão. As medidas de dispersão existem para tornar as diferenças na distribuição dos dados quantificáveis. E dessa forma podemos considerar que a dispersão de um conjunto de dados nada mais é que a medida do grau de concentração de valores em torno de uma medida de posição (MARTINS, 2002). Em termos de medidas de dispersão é interessante estudar o comportamento dos desvios (d i ) de cada valor em relação à média, ou seja,, onde determinamos o desvio entre cada x i e a média, e dessa forma o desvio médio é: Que pode ser traduzido como sendo a média aritmética dos desvios considerados em módulos. A variância de um conjunto de dados foi criada para evitar as situações em que, e, dessa forma, é o quadrado de cada desvio, ou seja,, logo entende-se por variância: 8

9 Observa-se da equação acima que a variância expressa uma soma de quadrados, dessa forma se a unidade de medida da variável for segundo (s), o resultado da variância será dado em segundo ao quadrado (s 2 ). Para que esta unidade volte ao seu estado original é necessário redefinir essa medida de dispersão calculando a raiz quadrada da variância. A medida origina outra forma de medir dispersão conhecida como desvio padrão que é expresso por: Como visto, o cálculo do desvio padrão depende da variância de uma determinada distribuição. 6. Distribuições Gaussianas, Log-normal e Leis de Potência As distribuções Gaussianas e lognormais (relacionados por uma transformação de coordenadas) formam a base para a teoria de finanças padrão (MCCAULEY, 2004). A distribuição Gaussiana é caracterizada por dois parâmetros: média e o desvio-padrão. A notação para variável governada por uma distribuição Gaussiana é. A função densidade de probabilidade da variável aleatória com distribuição normal é dada por: Usualmente considera-se a distribuição Gaussiana padronizada, onde a variável aleatória tem média zero e desvio-padrão unitário. Teremos assim: A variável pode representar uma variável normalizada, obtida da variável original observada a partir de: 9

10 Embora os valores X da parte central da distribuição possuam maior probabilidade de ocorrência, são as caudas das distribuições que fornecem informações relativas aos valores extremos. Assim, em qualquer modelagem de distribuição de retorno de preços é fundamental a análise das caudas das distribuições, pois isso permite estimar lucros e prejuízos relevantes para o mercado financeiro. O gráfico desta distribução assemelha-se a um formato de sino (Fig. 1). Levando-se em conta que a curva nos dá uma relação do preço de um determinado ativo em função do tempo, verificamos que a maior parte dos preços situa-se na parte central da curva, ou seja, na média. Nos lados, a curva se comporta como uma exponencial, caindo rapidamente. Concluimos então que grandes flutuações são estatísticamente improváveis, chegando ao ponto de serem impossíveis com o passar do tempo (GLÉRIA et all. 2004). Figura 1 - Distribuição Gaussiana Para verificar a probabilidade de ocorrência de valores extremos em um mercado regido pela distribuição Gaussiana, apresenta-se a tabela a seguir que mostra a probabilidade, que equivale, de acordo com a equação (09), à probabilidade de ocorrência de um valor de retorno, descontada a média, ser maior ou igual em valor absoluto a n vezes o desvio padrão histórico da série. A partir da tabela 1 podemos concluir que a distribuição Gaussiana é inadequada para análise do mercado financeiro. Por exemplo, a probabilidade estimada de se observar uma flutuação de preços pelo menos 5 10

11 vezes maior do que a flutuação típica σ é de uma vez a cada 7 milênios, o que torna tal observação praticamente impossível. Tabela 1 Probabilidade estimada n N Tempo 1 0, dias 2 0, mês 3 0, ,5 ano 4 6,3 x anos 5 5,7 x ,7 x milênios 6 2,0 x ,1 x milhões de anos A primeira coluna mostra valores de n de 1 a 6. A segunda coluna mostra a probabilidade do módulo do retorno em relação ao valor médio ser maior do que n vezes o desvio padrão, segundo a distribuição normal. A terceira coluna apresenta esta probabilidade em número equivalente N de eventos que se deve observar para encontrar uma vez tal retorno. Considerando a ocorrência de cada evento em escala diária, a quarta coluna traduz este resultado em tempo de negócio, onde 1 mês equivale à 22 dias de pregão e 1 ano equivale à 252 dias. Sendo a distribuição Gaussiana invariante por adição de variável aleatória, é solução estacionária da equação diferencial do tipo (1) onde o ruído é aditivo. Por outro lado, a distribuição Log-normal é invariante por multiplicação de variável aleatória, sendo assim útil na análise de processos estocásticos com ruído multiplicativo. A distribuição Log-normal surge no mercado financeiro a partir do modelo padrão para a flutuação de preços, no qual o retorno dos preços é descrito pelo movimento Browniano Geométrico,dado por: (10) e que pode ser reescrito da forma: 11

12 caracterizando um processo estocástico multiplicativo. Utilizando-se o Lema de Itô (GARDNER, 1985) para mudança de variável estocástica, obtém-se: com. A equação (12) corresponde ao movimento Browniano Aritmético, cuja solução para a distribuição de probabilidade da variável estocástica no tempo t é dada pela distribuição Gaussiana de média e variância onde. Da relação entre distribuições por mudança de variável, obtém-se: Identificando ou em (13), obtém-se a distribuição de preços na forma log-normal: Muitos estudos utilizam esta distribuição log-normal mostrada acima para a análise da variável financeira conhecida como volatilidade (LIU et al., 1999), (MANTEGNA; STANLEY, 2000). Para alguns mercados financeiros, a 12

13 distribuição de preços de fechamento de ações (de empresas ou de índices de bolsas) normalizados pelo volume negociado, é muito bem descrita pela distribuição log-normal (ANTONIOU et al., 2003), como mostrado na figura (2) abaixo. Figura 2 - Gráficos à esquerda (de cima para baixo): (a) série de preços de fechamento das ações da Microsoft; (b) volume diário negociado; (c) série de preços de fechamento das ações normalizados pelo volume diário negociado. Gráfico à direita: distribuição de preços de fechamento diário das ações da Microsoft normalizados pelo volume negociado distribuição log-normal aproximada. As flutuações percentuais ao minuto do S&P500 de 1984 a 1989, representadas no gráfico seguinte, construído com 1,5 milhões de pontos, são também não gaussianas (MANTEGNA; STANLEY, 1995). B C A Figura_3- Gráfico minuto a minuto do S&P500 de 1984 a Mantegna e Stanley, (1995) 13

14 A curva pontilhada A representa a gaussiana que melhor se ajusta aos dados observados. Mandelbrot (1963) tinha descoberto que as flutuações do preço do algodão eram melhor ajustadas por uma distribuição de Pareto-Lévy do que por uma gaussiana. É possível ver a distribuição de Pareto-Lévy na curva pontilhada B correspondente ao parâmetro μ 2.4 que melhor se ajusta aos dados. Fora do intervalo [-6,+6] as flutuações do S&P 500 são melhor aproximadas por uma lei de potência com expoente μ 4 (curva C ). Esta lei de potência indicia que a fórmula de Black e Scholes subestima de forma significativa o risco. As leis de potência não eram completamente desconhecidas dos economistas, uma vez que a primeira lei de potência foi descoberta por Pareto, um engenheiro civil que se dedicou à economia, e relacionava a riqueza e o número de indivíduos com essa riqueza. Contudo os economistas olharam para estas leis com desconfiança e não as levaram a sério. Entretanto, os físicos descobriram que cada classe de sistemas físicos no ponto crítico é completamente determinada pelo conhecimento dos expoentes das leis de potência, e concluíram que as leis de potência dos mercados financeiros podem ter um papel importante para a compreensão destes. 7. Simulação A simulação foi feita utilizando-se o software MAPLE v.12 e o seu algoritmo está disponível em anexo. Iniciamos a simulação declarando uma matriz 2x15, sendo a primeira linha numerada de 1 a 15 representando o tempo (t) e a segunda preenchida aleatoriamente representando o preço (p) de um determinado ativo. Como dito anteriormente, os investidores são fortemente influenciados por informações externas, baseados nessas informações eles tomam decisões, neste caso comprar ou vender. Uma forma que encontramos de exemplificar essa prática foi que os agentes se baseassem nas informações fornecidas inicialmente pelo gráfico. Fizemos isso calculando as inclinações das retas que formam o gráfico e calculamos uma possível resultante somando-as. Feito isso, arbitramos que o ativo em questão poderia sofrer variações de preço na faixa de 0 a 50. Calculamos então que os extremos das 14

15 inclinações (valor máximo e mínimo) seriam -50 e 50. Como o mercado oscila de acordo com a maioria, definimos um número finito de investidores, no caso 15 e relacionamos todas essas condições da seguinte forma: se a soma das inclinações com o sinal invertido, for maior que 0 (zero) a probabilidade de compra é maior que a de venda, caso essa condição não seja obedecida a probabilidade de venda é maior que a de compra, isso feito para cada agente. Definindo 1 para quem compra e 0 (zero) para quem vende, chegamos a penúltima fase da simulação, que é somar a quantidade de números 1, caso a soma seja maior que a metade no número de agentes que compraram mais os agentes que venderam e, consequentemente, há uma maior probabilidade de que os preços subam em função de forte procura. Agora se a soma de números 1 for menor que a metade, o inverso do que aconteceu anteriormente passa a valer e a probabilidade de que os preços caiam é maior. Chegamos à última parte da simulação, aqui tentamos prever baseando-nos no comportamento que os agentes tiveram durante a simulação um possível preço para o ativo depois que todas essas condições fossem obedecidas. Fizemos isso de forma empírica, nos baseamos em extremos de oscilações obtidos em resultados passados da BOVESPA (alta ou queda) para montarmos uma possível equação englobando todas as variáveis da simulação. if somatorio >= 8 then pn:= somatorio*(k)+(mat1[2,15]*0.015)+mat1[2,15]; else ((mat1[2,15]*0.02) + mat1[2,15])-somatorio*(0.5); onde, somatório é a quantidades de pessoas que compraram o ativo, K é uma constante de normalização da equação (definida experimentalmente) e vale ½ e pn é o valor final do ativo. 15

16 (P) Preço Figura 3 Gráfico gerado pela simulação no software MAPLE v.12 (T) Tempo (P) Preço Figura 4 Figura 3 Gráfico gerado pela simulação no software MAPLE v.12 (T) Tempo 8. Conclusão A econofísica é uma é uma área interdisciplinar que tenta relacionar e compreender fenômenos complexos, econômicos e sociais, que são de grande valia no cotidiano de corretoras e investidores. Mostramos neste trabalho um dos principais erros cometidos por pesquisadores nos primórdios da econofísica, quando propuseram que uma distribuição Gaussiana descreveria de forma satisfatória o que acontece nas bolsas de valores. Os fundamentos de um estado crítico refletem-se em leis de potência, que não possuem escala característica, revelando a ausência de um tamanho para o próximo evento. As 16

17 Leis de Potência, teoria mais aceita nos dias atuais foi utilizada para mostrarmos em alguns momentos como uma possível análise gráfica poderia ser feita, sendo assim mais uma ferramenta disposta aos investidores para decidirem entre qual ativo optar para um possível investimento. Por se tratar de uma divulgação voltada para um contingente de pessoas com um razoável conhecimento matemático, algumas equações não muito simples foram utilizadas, mas nada realmente complexo. Embora modelar o comportamento do mercado financeiro em termos de uma função que o possa descrever seja um trabalho que deve ser executado com minúcias, partimos de uma simulação relativamente simples, mas que para efeito ilustrativo do que acontece em uma negociação de ações, se mostrou realmente eficiente. Os gráficos obtidos ao rodarmos a simulação mostraram-se semelhantes aos obtidos no mercado real, propiciando ao investidor (iniciante) não uma possível indicação a qual investimento comprar ou se deve comprar, pois valores fictícios foram utilizados e gerados aleatoriamente pelo software, mas sim para entenderem como algumas das principais variáveis no mercado interagem entre si. Subsequente a esta pesquisa, tentaremos aprimorar a simulação colocando dados iniciais reais e outras variáveis para que utilizando as formas de análise mostradas neste trabalho, estudemos com afinco o gráfico que será gerado pela simulação para que possamos obter dados que nos aproximem cada vez mais do mercado real. Agradecimentos Agradeço primeiramente ao meu orientador, Prof. Diego Nolasco, pelo acompanhamento e suporte em todo o desenvolvimento deste trabalho. Agradeço ao Prof. Thiago Ferrari, pela grande ajuda na construção da simulação computacional descrita neste trabalho, e finalmente, agradeço aos meus amigos: Anderson, Humberto, Ítalo e Tiago que me apoiaram durante todo o período de graduação. 17

18 9. Bibliografia ANTONIOU I., IVANOV V. V., ZRELOV P. V. On the Lognormal Distribuition of Stock Market Data, Physica A, volume 331, p , ARTHUR, W. B. Inductive Reasoning and Bounded Rationality. American Economic Review, v. 84, n. 2, , maio, BACHELIER L. Theorie de la speculation' [Ph.D. thesis in mathematics], Annales Scientifiques de I'Ecole Normale Superieure III-17, DE BES F. T. O homem que trocou a casa por uma tulipa. Editora Presença, 2010 FAMA E. F., Efficient Capital Markets: A Review of Theory and Empirical Work, J. Finance 25, FLIESSBACH T. Curso de Física Estatística. Fundação Caloustre Gulbenkian, Lisboa, GARDNER C.W. Handbook of Stochastic Methods: For Physics, Chemistry, and the Natural Sciences, Springer-Series, New York, GLERIA, I.; MATSUSHITA, R.; SILVA, S. Sistemas complexos, criticalidade e leis de potência. Revista Brasileira de Ensino de Física, v. 26, n. 2, , KENDALL'S M. The Analysis of Economic Time Series. Journal of the Royal Statistical Society,1953. LELIS, L. H. S. Aprendizagem Semi-Supervisionada aplicada à Engenharia Financeira. Belo Horizonte, Dissertação de Mestrado, UFMG. LIU Y., GOPIKRISHNAN P., CIZEAU P., MEYER M., PENG C., H. STANLEY E. Statistical Properties of the Volatility of Price Fluctuations, Physical Review E, volume 60, número 2, p , MAGALHÃES, M. N.; LIMA, A. C. P. Noções de probabilidade e estatística. Ed. Edusp. São Paulo MANDELBROT B. The Variation of Certain Speculative Prices. J. Business, volume 36, p , MANTEGNA R. N., STANLEY H. E. An Introduction to Econophysics: Correlations and Complexity in Finance, Cambridge University Press, MANTEGNA R. N., STANLEY H. E. Scaling Behaviour in the Dynamics of an Economic Index, Nature number 376, 46-49,

19 MARTINS, G. A. Estatística Geral e Aplicada. Ed. Atlas. São Paulo, McCAULEY, J. L. Dynamics of Markets, Cambridge, MATEUS A. A grande Crise Financeira do início do século XXI. Bnomics, 2009 PLASCAK J. A.; OLIVEIRA P. M. C.; FIGUEIREDO W. Documento de Área Física Estatística e Computacional. Sociedade Brasileira de Física. Rio de Janeiro, Acedido em 23/03/2011 em: PORTO C. H. História do Pensamento Econômico. Editora Rio, 1975 Website da Bolsa de Valores de São Paulo. Acedido em 23/03/2011 em: Anexos Simulação gerada pelo software MAPLE v.12 > with(plots): > mat1:=array(1..2,1..15,[]); > mat2:=array(1..15,[]); > inic:=proc() > local j, a, n; > global mat1, mat2, soma; > for j from 1 to 15 do > a:=rand(0..50); > mat1[1,j]:=j; > mat1[2,j]:= a(); > mat2[j]:=0; > od; > for j from 2 to 15 do > mat2[j]:=mat1[2,j]-mat1[2,j-1]; > od; > soma:=0; > for n from 13 to 15 do > soma:= soma + mat2[n]; > od; > print(mat1); > print(mat2, "inclinações"); > print(soma*(-1), "soma das inclinações com o sinal trocado"); > end; > mat3:=array(1..15,[]); > for i from 1 to 15 do > al:=rand( ); > if al() < soma then 19

20 > mat3[i]:=1; > else > mat3[i]:=0; > end if; > od; > print(mat3); > somatorio:=0; > for n from 1 to 15 do > somatorio:= somatorio + mat3[n]; > od; > if somatorio >= 8 then > pn:= somatorio*(0.5) + (mat1[2,15]*0.015) + mat1[2,15]; > else ((mat1[2,15]*0.02) + mat1[2,15]) - somatorio*(0.5); > end if; > pointplot(mat1,style=line); 20