Máximos e Mínimos em Intervalos Fechados

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1 Capítulo 5 Máimos e Mínimos em Intervalos Fechados 5. Motivação Na Seção.., estudamos o problema da caia, onde queríamos montar uma caia recortando retângulos nos quatro cantos de uma lâmina de plástico e dobrando para cima as bordas obtidas. O problema era determinar o tamanho do corte a ser feito nos cantos da folha de plástico, a fim de obter a caia de volume máimo. O volume da caia é uma função do tamanho do corte, que representamos por, e é dado por V = ( ), onde. O problema da caia é um eemplo típico de problemas de determinação de máimos e mínimos de funções definidas em intervalos fechados. Para estudar e resolver problemas desse tipo precisamos de algumas definições e do estabelecimento de critérios que permitam determinar facilmente estes pontos. 5. Máimos e mínimos absolutos Definição Seja f uma função definida no intervalo fechado [a, b]. Um ponto c pertencente ao intervalo [a, b] é chamado ponto de máimo absoluto de f ou, simplesmente, ponto de máimo se f() f(c) para todo em [a, b]. O valor f(c) é chamado de valor máimo absoluto de f neste intervalo ou, simplesmente, valor máimo de f. Um ponto d de [a, b] é chamado ponto de mínimo absoluto de f ou, simplesmente, ponto de mínimo de f se f(d) f() para todo em [a, b]. O valor f(d) é chamado valor mínimo absoluto de f neste intervalo ou, simplesmente, valor mínimo de f. Assim, se f(c) é o máimo e f(d) é o mínimo de f em [a, b], teremos f(d) f() f(c), para todo em [a, b]. Os valores máimo e mínimo de f são chamados valores etremos de f. valor maimo valor minimo O teorema abaio garante que toda função contínua em um intervalo fechado tem sempre um máimo e um mínimo absolutos. Teorema dos valores etremos Seja f uma funcão contínua definida em um intervalo fechado [a, b]. Então eistem números c e d no intervalo [a, b], tais que, f(c) é o valor máimo e f(d) é o valor mínimo de f em [a, b]. A demonstração deste teorema poderá ser encontrada no apêndice deste volume. Os eemplos abaio mostram que se f não é contínua ou se o intervalo não é fechado, f pode não atingir valores máimo e mínimo.

2 96 Cap. 5. Máimos e Mínimos em Intervalos Fechados Eemplo Seja f() = definida no intervalo [, ), isto é, seu domínio é um intervalo semi-aberto à direita. Observando o gráfico de f vemos, claramente, que esta função atinge o mínimo em =, porém não atinge um valor máimo. O candidato a ponto de máimo seria =, porém este ponto não pertente ao domínio de f. Como f é crecente neste intervalo, qualquer que seja o valor de f( ) com <, eistirá sempre um, tal que < < e f( ) < f( ) Eemplo A função f definida no intervalo [, ] por f() = { = não é contínua no ponto =. Seu limite lateral à esquerda lim = e seu limite lateral à direita lim = +. Portanto, esta função não atinge valor máimo nem mínimo em [, ]. + y Eercício Esboce o gráfico de uma função definida em [, ] que seja descontínua e tenha um máimo e um mínimo absolutos. 5.. Máimos e mínimos locais Vimos que o teorema dos valores etremos garante a eistência de máimos e mínimos de uma função contínua em um intervalo fechado [a, b]. A questão natural que se coloca agora é saber onde, eatamente, se localizam estes máimos e mínimos? Antes de tentar responder a esta pergunta, vamos eaminar alguns eemplos. Eemplo Considere a função f() =, que é contínua e crescente no intervalo [, ]. Neste intervalo, o valor mínimo desta função é e o valor máimo é. Estes valores ocorrem nos pontos = e =, respectivamente, que são os etremos do intervalo considerado. Eemplo Considere a função f() = no intervalo [, ]. Esta função é contínua neste intervalo e, portanto, o teorema dos valores etremos garante a eistência de um máimo e de um mínimo globais. Neste caso, o máimo global da função f() = é zero e ocorre em =. O valor mínimo é e ocorre em = e =. Eemplo 5 Vamos eaminar agora a função f() = + definida em [, 5]. Veja o seu gráfico traçado a seguir, à esquerda. Os valores máimos e mínimos desta função ocorrem em 5 e, respectivamente, que são os etremos do intervalo. No entanto, eiste um ponto no interior deste intervalo, onde a função atinge um máimo para valores de, por eemplo, entre e. Da mesma forma, eiste um ponto onde f atinge um mínimo se considerarmos valores de entre, por eemplo e. O gráfico seguinte, à direita, da mesma função traçado no intervalo [,.5], ilustra esta afirmação.

3 W.Bianchini, A.R.Santos Estes pontos são ditos máimos e mínimos locais, ou, genericamente, etremos locais de f e são caracterizados na definição a seguir. Definição Dizemos que um ponto c é um ponto de máimo local ou relativo de f se f() f(c) para todo suficientemente próimo de c. Mais precisamente, se esta desigualdade for verdadeira para todo que esteja no domínio de f, em algum intervalo aberto contendo c. Analogamente, dizemos que d é um ponto de mínimo local ou relativo de f se f(d) f(), para todo suficientemente próimo de d. A questão que se coloca agora é descobrir algum critério que nos permita identificar com precisão os etremos relativos de uma função. A reta tangente nos dá uma pista para localizá-los. Observe o diagrama abaio e conclua o que é possível afirmar a respeito destes pontos. À primeira vista, parece ser possível afirmar que, nestes pontos, a reta tangente é horizontal e, portanto, a derivada da função é zero. No entanto, os eemplos a seguir mostram que etremos relativos podem ocorrer em pontos onde a função sequer é derivável e que eistem pontos, onde a derivada é zero, que não são nem máimo e nem mínimo locais. Eemplo 6 Eamine a função f() = definida em [, ] O ponto = é um ponto de máimo relativo desta função (na realidade este ponto é um máimo global para esta função no intervalo considerado) e f não é derivável neste ponto. Eemplo 7 Em =, a reta tangente ao gráfico da função f() = é horizontal e, portanto, a derivada desta função é zero neste ponto (prove analiticamente este fato!). No entanto, o ponto = não é nem ponto de máimo e nem ponto de mínimo local para esta função. O teorema a seguir esclarece estes fatos.

4 98 Cap. 5. Máimos e Mínimos em Intervalos Fechados Teorema: Caracterização dos máimos e mínimos locais Seja f uma função definida em um intervalo aberto (a, b) e derivável em um ponto c de (a, b). Se f (c) então f(c) não é máimo nem mínimo local de f. Demonstração: Se f (c), então f (c) > ou f (c) <. Vamos supor, primeiro, que f (c) >. Então, para suficientemente próimo de c, temos f() f(c) >. c Logo, se < c, tem-se c <, o que implica f() < f(c). Agora, se > c, tem-se c >, o que implica f() > f(c). Assim, c não é etremo relativo de f. Supondo, agora, f (c) <, tem-se ( f) (c) >. Logo, pelo caso anterior, c não é etremo relativo de ( f) e assim, obviamente, c não é ponto de máimo nem mínimo relativo de f. (Por quê?) Observe que o teorema é equivalente a dizer que se f é derivável em (a,b) e c é um ponto de máimo ou mínimo local de f, então, f (c) =. Atenção!!! Cuidado!!! Esta condição é necessária mas não suficiente. Como o Eemplo 7 mostrou, nem sempre é verdade que se f (c) =, então f(c) é um etremo local. 5. Determinação dos pontos de máimo e mínimo de uma função Dos eemplos, definições e teoremas estudados na seção anterior podemos concluir que: Toda função contínua definida em um intervalo fechado [a,b] possui um máimo e um mínimo global. O máimo e o mínimo para estas funções só podem ocorrer nas etremidades a e b do intervalo nos pontos onde a derivada f se anula ou nos pontos onde a derivada f não eiste Definição : Ponto crítico Um ponto c no domínio de f é dito um ponto crítico de f se f (c) = ou se f (c) não eiste. Assim, para localizar os pontos etremos de uma função contínua f definida em [a, b], proceda da seguinte maneira:. Determine os pontos críticos de f.. Calcule os valores de f em cada um dos seus pontos críticos.. Calcule f(a) e f(b).. Compare todos os valores e verifique qual o maior e qual o menor. 5. Conclua: o maior dentre estes valores será o máimo absoluto de f e o menor será o mínimo absoluto de f. 5. Eemplos Os eemplos a seguir ilustram o procedimento descrito acima e mostram como podemos usar o Maple para efetuar os cálculos necessários. Eemplo Determine os valores máimos e mínimos de f() = 9 +, nos intervalos (a) [-, 6] (b) [-, ] (c) [-, ]

5 W.Bianchini, A.R.Santos 99 Solução Primeiro definimos a função f e calculamos a sua derivada: > f:=->^-*^-9*+; > Diff(f(),):%=diff(f(),); f := 9 + ( 9 + ) = 6 9 Observe que a função f é contínua e derivável em todos os pontos da reta. Assim, os candidatos a etremos desta função são os etremos do intervalo e os pontos onde a derivada se anula. Para determinar estes últimos pontos, basta resolver a equação f () = : > solve(diff(f(),)=,);, Nestes pontos críticos os valores de f são, respectivamente > f(-);f(); 8 Para responder ao item (a) é preciso comparar os valores obtidos acima com os valores de f nas etremidades e 6 do intervalo considerado. Temos > f(-);f(6); 7 57 Comparando os valores obtidos, concluímos que o maior é 57 e o menor é 7, isto é, os pontos de máimo e de mínimo desta função ocorrem nos etremos do intervalo considerado. Assim, o valor máimo de f é 57 e ocorre em = 6, que é o ponto de máimo absoluto da função neste intervalo; o valor mínimo de f é 7 e ocorre em =, que é o ponto de mínimo absoluto de f em [, 6]. Como o ponto crítico não pertence ao intervalo [, ], para responder ao item (b) basta comparar os valores de f no ponto crítico e nos etremos e do intervalo. > f(); 9 Logo, o valor mínino desta função, em [, ], é 7. Este valor ocorre em =, que é o seu ponto de mínimo. Da mesma forma, o valor máimo de f, neste intervalo, é 8. Este valor ocorre em =, que é o seu ponto de máimo. Para responder ao item (c) vamos calcular os valores de f nas etremidades do intervalo [, ] e compará-los com os valores de f( ) e f() obtidos acima. Temos > f(-);f(); 7 Assim, concluímos que é o ponto de máimo e é o ponto de mínimo de f, em [, ]. Quais os valores máimo e mínimo de f neste intervalo? Observe o gráfico de f: > plot(^-*^-9*+,=-..6); 6 Eemplo Determine os pontos de máimo e de mínimo de g() = no intervalo [, ]. Solução: Como no eemplo anterior, vamos definir a função e achar a sua derivada com o auílio do Maple.

6 Cap. 5. Máimos e Mínimos em Intervalos Fechados > g:=->sqrt(abs()); > diff(g(),); g := abs(, ) Na derivada acima, a epressão abs(, ) é a notação usada pelo Maple para a derivada de, isto é, para a função que vale para > e para <. Claramente, vemos que a derivada de g não eiste no zero e que esta derivada não se anula em nenhum ponto. Portanto, o seu único ponto crítico é o zero. Comparando os valores de g em, (etremos do intervalo) e (ponto crítico), concluímos que é o ponto de máimo de g e é o ponto de mínimo. A lista de valores de g e o gráfico da função comprovam estas conclusões. > g(-);g();g(); > plot(g(),=-..,y=..sqrt(),aesfont=[times,roman,8]);...8 y.6.. Eemplo Determine os pontos de máimo e mínimo de { h() = + > no intervalo [, ]. Solução Observando o gráfico desta função, traçado abaio, concluímos que o ponto = é um ponto crítico para a função h, pois neste ponto a derivada não eiste. > plot(piecewise(<=,^+,>,-^),=-..); De fato, as derivadas laterais em = são diferentes. Calcule-as e comprove esta afirmação! Assim, para determinar os etremos desta função, precisamos comparar os valores de h em = com os valores que ela assume nas etremidades do intervalo, como fazemos com a ajuda do Maple: > h:=->piecewise(<=,^+,>,-^): > h(-);h();h(); Podemos concluir, portanto, que h tem dois pontos de máimo e um de mínimo que são, respectivamente,, e. 5.5 Problemas envolvendo máimos e mínimos em intervalos fechados Problema Um fio com metros de comprimento é cortado em dois pedaços. Com um deles formaremos um círculo e com o outro um quadrado. (a) Como devemos cortar o fio para que a soma das áreas limitadas pelo círculo e pelo quadrado seja máima?

7 W.Bianchini, A.R.Santos (b) Como devemos cortar o fio a fim de que a soma das áreas seja mínima? (Os dois casos etremos são admitidos, ou seja, é permitido formar com o fio apenas um quadrado ou apenas um círculo.) Solução: Dividimos o fio em um ponto qualquer. Seja o comprimento de um dos pedaços. Obviamente, o comprimento do outro pedaço será. Além disso, pela geometria do problema, os valores possíveis para estão compreendidos no intervalo [, ]. Formando um círculo com o pedaço de comprimento, temos que π r =, ou seja, r = π. Assim, a área do círculo será dada por C() = π r = π π = π e a área do quadrado, por Q() = ( ). A área total será, portanto, dada por A() = C() + Q() = π ( ) +. 6 Esta função é uma parábola, sendo, conseqüentemente, derivável em qualquer ponto do intervalo [, ]. Assim, os pontos etremos de A() estarão entre aqueles onde sua derivada se anula ou nas etremidades do intervalo. Abaio derivamos a função A(), calculamos as raízes s da equação A () = e comparamos os valores de A(s), A() e A(). > A:=->^/(*Pi)+(-)^/6: > diff(a(),); > s:=solve(%); > A(s);A();A(); > simplify(a(s)); π + 8 s := π + π π ( + π) + 6 ( π + π ) π + π Observando estes valores, podemos concluir que o máimo ocorre no ponto = e o mínimo no ponto = π +π. Assim, para que a área A() seja máima não cortamos o fio e formamos apenas um círculo. Para que a área A() seja mínima devemos cortar o fio no ponto = π +π de comprimento +π.. O círculo terá um raio r igual a +π e o quadrado terá um lado Problema Considere as parábolas y = e y = +. Determine as dimensões de um retângulo cujos vértices inferiores estão sobre a parábola y = e os superiores sobre a parábola y = +, de tal forma que a área desse retângulo seja máima. Solução Observe no diagrama, que o valor da área depende da posição dos vértices do retângulo.

8 Cap. 5. Máimos e Mínimos em Intervalos Fechados Devemos determinar as dimensões que fornecerá a área máima. Pela simetria da figura ao lado, temos que a área A() é dada por A() = y = + 6, para variando no intervalo [, ]. Como A() é contínua nesse intervalo, o teorema dos valores etremos garante que esta função tem um máimo absoluto em [, ]. Além disso, este máimo ocorre em um dos etremos do intervalo ou num ponto crítico da função. Como a derivada da função A() é um polinômio do segundo grau, os únicos pontos críticos de A são os pontos onde a sua derivada se anula. Determinar estes pontos críticos, portanto, é equivalente a resolver a equação A () =. Vamos, uma vez mais, usar o Maple para fazer as contas: > A:=->-*^+6*: > crt:={solve(diff(a(),)=,)}; crt := {, } y O ponto crítico que nos interessa é o ponto =, pois o outro não pertence ao intervalo [, ]. Comparando os valores da função A neste ponto e nos pontos e (etremidades do intervalo), obtemos: > A();A();A(/*sqrt()); 6 9 Portanto, o ponto de máimo para esta função ocorre em =, conseqüentemente, o retângulo de área máima terá base de comprimento igual a e altura 6. Problema Encontre as dimensões do cilindro circular reto de maior volume que pode ser inscrito em um cone circular reto com raio 7/ cm e altura 6 cm. Solução Veja a figura a seguir, onde representamos um corte transversal do cilindro e esquematizamos o problema proposto. 6-h r 7/ O volume do cilindro é dado por V = π r h. Para epressar o volume em termos de uma única variável, precisamos de outra equação envolvendo r e h. Usando a figura anterior e semelhança de triângulos, temos 6 7 = 6 h r r, ou seja, h = 6 7. Logo, V (r) = π r (6 r 7 ) = 6 π r π r. 7 Esta função é contínua em [, 7/], logo tem um valor máimo absoluto neste intervalo. Vamos, então, derivar a função V para encontrar os seus pontos críticos: > diff(v(r),r); V := r 6 π r π r 6 7 π r π r 7

9 W.Bianchini, A.R.Santos Como esta derivada está definida em toda a reta, os únicos pontos críticos de V são os pontos onde a derivada se anula. Resolvendo a equação V () =, obtemos > pontos_criticos:={solve(diff(v(r),r)=)}; pontos criticos := {, 7 } Comparando os valores de V nos pontos críticos e nos etremos do intervalo, temos > V();V(7/);V(7/); 98 9 π Logo, o valor máimo de V será V ( 7 ) = 98 π 9, que é atingido em r = 7 r. Como h = 6 7, o cilindro de volume máimo terá raio r = 7 e altura h = cm. 5.6 Eercícios. Em cada um dos itens abaio, decida se a função dada atinge um valor máimo ou um valor mínimo ou ambos, no intervalo indicado. Se necessário esboce um gráfico da função. (a) f() = em [-,) (b) f() = em (-, ) (c) f() = em (,] (d) f() = + em [-,] (e) f() = ( ) + em (, ) (g) f() = (f) f() = ( ) em [, ] em (, ).. Em cada um dos itens abaio, determine os valores máimo e mínimo atingidos pela função dada, no intervalo fechado indicado. (a) f() = em [, ] (e) f() = + (b) f() = em [, 6] em [, ] (f) g() = em [, ] (c) g() = ( ) em [, ] (g) f() = (d) h() = + em [, ] em [, 5] (h) f() = em [, ]. (a) Seja f() = A + B. Eplique por que os valores máimo e mínimo de f, em um intervalo [a, b] qualquer, devem ocorrer necessariamente nos pontos etremos do intervalo. (b) Prove que toda função quadrática f() = a + b + c, onde a, tem eatamente um ponto crítico em toda a reta. (c) Eplique por que a função polinomial cúbica pode ter dois, um ou nenhum ponto crítico em toda a reta. Dê eemplos que ilustrem cada um dos casos. (d) Se f tem um valor mínimo em = c, mostre que a função g() = f() tem um valor máimo neste mesmo ponto. 5.7 Problemas propostos. Prove que o retângulo de área máima e perímetro dado é o quadrado.. Um retângulo de lados paralelos aos eios coordenados e localizado no primeiro quadrante tem um vértice na origem, um vértice sobre o eio, um vértice sobre o eio y e o quarto vértice sobre a reta + y =. Qual a área máima de tal retângulo?. Um campo retangular vai ser fechado com uma cerca e depois dividido ao meio por outra cerca. Se a cerca que passa pela metade custa R$, por metro e a outra R$ 5, por metro, encontre as dimensões do campo de maior área possível que pode ser fechado com um custo de R$ 8,.. Os pontos A e B são opostos um ao outro nas margens de um rio que mede km de largura. O ponto C está na mesma margem que B, mas a 6 km de B, rio abaio. Uma companhia telefônica deseja estender um cabo de A até C. Se o custo por km do cabo é 5% mais caro sob a água do que em terra, qual o traçado do cabo mais barato para a companhia?

10 Cap. 5. Máimos e Mínimos em Intervalos Fechados 5. Uma companhia de aviação freta um avião de 5 lugares de acordo com as seguintes condições especificadas no contrato de afretamento: (a) Cada passageiro pagará 6 reais se todos os 5 lugares forem vendidos. (b) Cada passageiro pagará um adicional de reais por lugar não vendido. Quantos lugares a companhia deve vender para obter renda máima? 6. Seja f() =, para pertencente ao intervalo [, ]. Determine a reta r tangente ao gráfico de f(), tal que o triângulo determinado por r, a reta = e a reta y = tenha a maior área possível. 7. Num certo país, endividado até o pescoço, descobriu-se que a solução de todos os problemas estava na criação de um combustível para substituir as importações de petróleo. Após muitas pesquisas foi criado o Tomatóleo, uma mistura de etrato de tomate e gasolina. O litro de etrato de tomate (ET) custa R$, e o de gasolina (GS) custa R$,5. Porém, um litro de Tomatóleo, com litros de ET, dá para um carro médio percorrer + quilômetros. Determine a quantidade de ET que minimiza o custo por quilômetro. 8. Dada a função f() = + 8, para [, ] e o ponto P = (, ). Determine a maior e a menor distâncias de P aos pontos do gráfico de f. 9. Com a finalidade de evitar a construção de prédios muito altos em terrenos pequenos, foi criada na cidade do Sonho Dourado a seguinte lei: É obrigatória a eistência de uma área livre em torno da área construída, com largura mínima de 5cm por metro de altura da construção, medidos a partir dos limites do terreno. Assim, em Sonho Dourado, um prédio de m de altura deverá ser construído em centro de terreno a uma distância de, pelo menos,, 5 = m dos limites do terreno. Supondo que você: (a) More em Sonho Dourado. (b) Tenha um terreno de m por m. (c) Deseja construir um prédio em forma de paralelepípedo que tenha volume máimo. (d) Seja um cidadão respeitador das leis. Pergunta-se: Quais deveriam ser as dimensões do prédio a ser construído?. Determine as dimensões do cilindro de área máima inscrito em um cone circular reto dado.. Determine o retângulo de maior área inscrito na região acima da parábola y = e abaio da parábola y = +, cujos lados são paralelos aos eios coordenados.. Em um terreno com a forma de um semicírculo de 5 m de raio, deseja-se construir uma piscina com a forma de um triângulo retângulo com hipotenusa igual ao diâmetro do círculo e um vértice no semi-círculo. Calcule as dimensões da piscina de área máima.. Uma janela normanda tem a forma de um retângulo encimado por um semicírculo. Se o perímetro da janela é m, encontre as dimensões da janela para que penetre o máimo de luz possível.. Sabendo que a resistência de uma viga retangular é proporcional ao produto da largura pelo quadrado da altura de sua seção transversal, quais serão as dimensões da viga a ser cortada de um toro cilíndrico de raio r para assegurar a maior resistência possível? 5. Um segmento de reta, de comprimento fio L, une o vértice de um retângulo ao ponto médio do lado oposto. Qual a maior área possível de tal retângulo? 6. Uma tipografia dispõe de 8 impressoras, cada uma das quais pode imprimir 6 cópias por hora. Custa R$ 5, para preparar cada impressora para a operação e + 6 n reais para fazer funcionar n impressoras durante uma hora. Quantas impressoras devem ser utilizadas para imprimir 5 cópias de um cartaz de forma a obter um lucro máimo? 7. Um fazendeiro deseja contratar trabalhadores para colher 9 alqueires de grãos. Cada trabalhador pode colher 5 alqueires por hora e recebe em pagamento R$, por alqueire. O fazendeiro deve ainda pagar um capataz a R$, por hora para supervisionar a colheita e tem ainda uma despesa adicional de R$ 8, com refeições por trabalhador. Quantos trabalhadores deve contratar de modo a minimizar o custo total? Quanto será então o custo do alqueire colhido?

11 W.Bianchini, A.R.Santos 5 8. Uma companhia tem fábricas localizadas (em um sistema de coordenadas adequadamente escolhido) nos pontos A(, ), B(, ) e C(, ). A companhia planeja construir uma central de distribuição elétrica no ponto P (, ). Qual o valor de que minimiza o custo de distribuição da energia elétrica produzida? 9. Um gramado circular de m de raio é circundado por um passeio, e uma lâmpada é colocada no cimo de um poste fincado no centro do gramado. A que altura deve ser colocada a lâmpada para que o passeio receba iluminação máima? Observação: a intensidade de iluminação de uma superfície é dada por I = k sen(θ) D onde D é a distância da fonte de luz à superfície, θ é o ângulo segundo o qual a luz atinge a superfície e k é uma constante positiva.. Cinco placas de metal retangulares medem cm por 6 cm cada. Cortam-se pedaços quadrados iguais de cada um de seus cantos, e as abas resultantes devem ser dobradas para cima e soldadas, de modo a formar cinco caias sem tampa. Os vinte pequenos quadrados retirados são reunidos em grupos de quatro e soldados para formar cinco quadrados maiores, que por sua vez são soldados de modo a formar uma caia cúbica sem tampa, de modo que nenhum material é desperdiçado. Qual o tamanho do corte para que o volume total das seis caias assim formadas seja o maior possível?. Deve-se construir uma pista de corrida em forma de dois trechos retilíneos, paralelos e de igual comprimento, unidos por dois semi-círculos nas etremidades. O comprimento da pista (uma volta completa) deve ser de 5 km. Quais são as dimensões da pista que maimizarão a área retangular interna?. Um objeto é arrastado num plano horizontal por uma força que age ao longo de uma corda atada a ele. Se a corda faz um ângulo θ com o plano, então a magnitude da força é dada por F = µw µ sen θ + cos θ, onde µ é uma constante positiva chamada coeficiente de fricção e θ π. Mostre que F é minimizada quando tg θ = µ 5.8 Para você meditar: O feirante de Caruaru Um vendedor foi à feira de Caruaru com sua balança de dois pratos defeituosa, pois tinha um braço mais curto do que o outro. Para compensar isto, ao atender os fregueses, passou a usar, sucessivamente, os dois lados para pesar a mercadoria. Por eemplo, se alguém desejava dois quilos de açúcar, o vendedor lhe dava um quilo com ecesso (pesado usando-se um dos pratos da balança) e um quilo com falta (pesado usando-se o outro lado). Quem ganha com este processo? Sugestão: Use a Lei das alavancas para obter uma relação entre o peso da mercadoria e o tamanho dos braços da balança.

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