Notas de aulas. André Arbex Hallack

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1 Cálculo I Notas de aulas André Arbex Hallack Março/2014

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3 Índice 1 Números reais Números reais Relação de ordem em IR Valor absoluto Exercícios Funções Definição e elementos básicos Construção de funções a partir de outras Exercícios Inversão de funções Funções exponenciais e logarítmicas Funções trigonométricas Exercícios Limite de uma função e Continuidade Motivação Limites Teoremas para (ajudar no) cálculo de limites Exercícios: Continuidade Exercícios i

4 4 Derivada A definição da Derivada Derivadas e continuidade Exercícios Regras de derivação Derivação implícita Exercícios Aplicações da Derivada Acréscimos e diferenciais A Derivada como razão de variação Taxas relacionadas Alguns resultados importantes Concavidade e pontos de inflexão Aplicações em problemas de máximos e/ou mínimos Aplicações em esboços de gráficos Apêndice A : Limites no infinito Apêndice B : Limites infinitos Apêndice C : Formas indeterminadas e a Regra de L Hopital Apêndice D: Aproximações via Polinômios de Taylor Respostas dos exercícios 129 Referências 147

5 Capítulo 1 Números reais 1.1 Números reais Ao longo deste curso iremos trabalhar sobretudo com o conjunto IR dos números reais, os quais identificamos geometricamente com os pontos de uma reta (orientada), a reta real : Vejamos agora alguns conjuntos de números reais nessa identificação: IN = { 1, 2, 3,... } (números naturais) IR Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } (números inteiros) IR Q = { p/q ; p, q Z, q 0 } (números racionais) IR Temos ainda números reais que não são racionais. São os chamados números irracionais. Alguns exemplos: (A) Consideremos um triângulo retângulo cujos catetos medem 1: Do Teorema de Pitágoras, temos a 2 = b 2 + c 2 = 2. Portanto a = 2 (e 2 não é racional). 1

6 2 CAPÍTULO 1 (B) Outro número irracional famoso: FATO: A razão entre o comprimento e o diâmetro de qualquer circunferência é constante. Essa razão é um número chamado π. Assim, se C é qualquer circunferência, l o seu comprimento e r seu raio, temos: π é um número irracional ( π 3, ) l 2r = π Obs.: Existem muito mais números irracionais do que racionais! Operações básicas em IR Existem em IR duas operações básicas: ADIÇÃO: a IR, b IR a + b IR (soma) MULTIPLICAÇÃO: a IR, b IR a b IR (produto) Essas operações possuem as seguintes propriedades: COMUTATIVIDADE: a + b = b + a a b = b a quaisquer que sejam a, b IR. ASSOCIATIVIDADE: a + (b + c) = (a + b) + c a (b c) = (a b) c quaisquer que sejam a, b e c IR. EXISTÊNCIA DE ELEMENTOS NEUTROS: a + 0 = a a 1 = a para todo a IR. EXISTÊNCIA DE INVERSOS: Todo a IR possui um INVERSO ADITIVO ( a) IR tal que a + ( a) = 0. Todo a 0 em IR possui um INVERSO MULTIPLICATIVO a 1 IR tal que a a 1 = 1. DISTRIBUTIVIDADE: a (b + c) = (a b) + (a c) para todos a, b e c IR.

7 Números reais 3 Obs.: O número 0 é o único elemento neutro para a adição e o número 1 é o único elemento neutro para a multiplicação. Consequências: (das propriedades) 1) Duas novas operações: Subtração: Dados a, b IR, definimos: a b = a + ( b) ; a Divisão: Dados a, b IR, com b 0, definimos: = a b 1. b 2) a 0 = 0 para todo a IR. 3) Se a b = 0, então a = 0 ou b = 0. 4) Cada a IR possui um único inverso aditivo a IR. Cada a 0 em IR possui um único inverso multiplicativo a 1 IR. 5) a = ( 1) a para todo a IR. 6) a 1 = 1 a para todo a 0 em IR. 7) Para todos a, b IR, temos: a ( b) = ( a) b = (a b) e ( a) ( b) = a b. 8) Se a 2 = b 2 então a = ±b. Exercício: Tente provar as consequências de 2) a 8) acima. 1.2 Relação de ordem em IR Podemos decompor a reta IR como uma união disjunta IR = IR + IR { 0} : IR + IR é o conjunto dos números reais POSITIVOS; é o conjunto dos números reais NEGATIVOS. De modo que: Dado a IR, ocorre uma, e apenas uma, das seguintes alternativas: ou a IR + ou a = 0 ou a IR

8 4 CAPÍTULO 1 a IR + a IR ; A soma de dois números positivos é um número positivo. O produto de dois números positivos é um número positivo. Exercício: Prove que: a) A soma de dois números negativos é um número negativo; b) O produto de dois números negativos é um número positivo; c) O produto de um número positivo por um número negativo é um número negativo. Dados números reais a e b, escrevemos a < b (ou b > a ) e dizemos que a é menor do que b (ou b é maior do que a ) quando b a IR +, ou seja, b a é um número positivo: Obs.: Escrevemos a b e dizemos que a é menor ou igual a b quando a < b ou a = b. Propriedades da relação de ordem: ( Exercício: Tente prová-las! ) 1) Para todo a 0 em IR, tem-se a 2 > 0. 2) Se a < b e b < c então a < c. 3) Se a, b IR então a = b ou a < b ou a > b. 4) Se a < b então a + c < b + c para todo c IR. 5) Se a < b, temos: c > 0 a c < b c c < 0 a c > b c 6) Se a < b e a < b então a + a < b + b. 7) Se 0 < a < b e 0 < a < b então 0 < a a < b b. 8) Se a > 0 então 1 a > 0. 9) Se 0 < a < b então 0 < 1 b < 1 a.

9 Números reais 5 Intervalos: Dados números reais a < b, definimos: (a, b) = { x IR ; a < x < b } [a, b] = { x IR ; a x b } (a, b] = { x IR ; a < x b } [a, b) = { x IR ; a x < b } (a, + ) = { x IR ; x > a } [a, + ) = { x IR ; x a } (, b) = { x IR ; x < b } (, b] = { x IR ; x b } (, + ) = IR Atenção: + e não são números reais! São apenas símbolos! Exemplo: Encontre os números reais que satisfaçam as desigualdades abaixo e faça a representação gráfica na reta real: (a) 2 + 3x < 5x + 8 (b) 4 < 3x 2 10

10 6 CAPÍTULO 1 (c) 7 x > 2, x 0 (d) x x 3 < 4, x 3 (e) (x + 1)(x + 5) > 0 Conjuntos limitados: Um subconjunto X IR é dito LIMITADO quando existem números reais a e b tais que, para todo x X tem-se a x b. Isto significa que X [a, b], com a, b IR. Um conjunto é dito ILIMITADO quando ele não é limitado. (Exemplos) Observações: (A) Todo conjunto finito é limitado. (B) CUIDADO! NÃO CONFUNDA ILIMITADO COM INFINITO! Podemos ter conjuntos infinitos que sejam limitados.

11 Números reais 7 (C) FATO: O conjunto IN = { 1, 2, 3, 4,...} dos números naturais NÃO É limitado. Consequências importantes deste fato: (C.1) Propriedade arquimediana: Dados números reais a e b, com a > 0, é possível obter um número natural n IN tal que n a > b. (C.2) Densidade dos racionais: Dados dois números reais a e b quaisquer, com a < b, é possível obter um número RACIONAL r = p/q Q (p, q Z, q 0) tal que a < r < b (por menor que seja a distância entre a e b ). A densidade dos racionais nos permite concluir que, dado qualquer número real x (mesmo irracional), é possível obter uma sequência de números RACIONAIS que se aproximam de x tanto quanto quisermos!!! Exemplos: 1) π = 3, , 1 = , 14 = , 141 = , 1415 = π 2) Tome um número racional r 1 > 0 e considere: r 2 = 1 ) (r 1 + 3r1 Q 2 (r 2 > 0, r2 2 > 3 ) r 3 = 1 ) (r 2 + 3r2 Q 2 (r 2 r 3 > 0, r3 2 > 3 ) r 4 = 1 ) (r 3 + 3r3 Q 2 (r 2 r 3 r 4 > 0, r4 2 > 3 ). r n+1 = 1 2 ) (r n + 3rn Q (r n r n+1 > 0, rn+1 2 > 3 ). Esta sequência de racionais (r 1, r 2, r 3,... ) se aproxima (cada vez mais) de um certo número real. Qual? Tente generalizar esse processo!

12 8 CAPÍTULO Valor absoluto Dado qualquer número real DE x ) da seguinte forma: x, definimos o VALOR ABSOLUTO DE x (ou MÓDULO { x = x se x 0 x se x < 0 Geometricamente (na Reta), o valor absoluto de um número real x é a distância de x até o 0 (zero). (Exemplos) Obs.: São imediatos da definição: x 0 para todo x IR ; x = 0 se, e somente se ( ), x = 0. Propriedades: 1) Para todo x IR temos x = max {x, x} (o maior dos dois valores). 2) Para todo x IR temos x 2 = x 2. 3) a b = a b quaisquer que sejam a, b IR. Exercício: Se b 0 em IR, mostre que 1 b = 1 b. Conclua que se a, b IR com b 0 então a = a b b.

13 Números reais 9 4) a + b a + b quaisquer que sejam a, b IR. Exercício: Mostre que a b a b a b, para todos a, b IR. 5) Seja c > 0 : x c c x c x c x c ou x c Exemplos: 1) Resolva as seguintes equações: (a) 3x + 2 = 5 (b) 2x 1 = 4x + 3 (c) 5x + 4 = 3

14 10 CAPÍTULO 1 (d) x + 2 x 2 = 1 + 4x 2) Encontre os números reais que satisfaçam as seguintes desigualdades: (a) x 5 < 4

15 Números reais 11 (b) 3 2x 2 + x 4, x 2 (c) 3x + 2 > 5

16 12 CAPÍTULO Exercícios 1) Determine os números reais que satisfazem as desigualdades abaixo (faça a representação gráfica): (a) 3 x < 5 + 3x (d) 5 x < 3 4 (h) x x < x 3 + x (k) (o) (r) (b) 2x 5 < x x 3 (c) 2 > 3 3x 7 (e) x 2 9 (f) x 2 3x + 2 > 0 (g) 1 x 2x 2 0 (i) x > x 2 + x (j) (x 2 1)(x + 4) 0; 2 x 2 x + 2 x 2 1 (l) x4 x 2 (m) x x 3 < 4 (n) (1/2x) x 3 x 5 2 (p) x3 x 2 x 2 > 0 (q) x 3 3x x x 2 > 1 (s) 8x 3 4x 2 2x + 1 < 0 (t) 12x 3 20x 2 11x + 2 2) Determine os números reais que satisfazem as seguintes equações: (a) 5x 3 = 12 (b) 12x 4 = 7 (c) 2x 3 = 7x 5 (d) x + 2 x 2 = 5 (e) 3x + 8 2x 3 = 4 (f) 3x + 2 = 5 x (g) 9x 11 = x (h) 2x 7 = x + 1 3) Determine os números reais que satisfazem as seguintes desigualdades: (a) x + 12 < 7 (b) 3x 4 2 (c) 5 6x 9 (d) 2x 5 > 3 (e) 6 + 2x < 4 x (f) x + 4 2x 6 (g) 3x > 5 2x (h) 7 2x 5 + 3x 2 (i) x 1 + x (j) 1 < x + 2 < 4 (k) (l) 5 2x 1 1 x 2 (m) x + 1 < x (n) 3 x 1 + x < x 3 x > 4 (o) 2x 2 + 3x (p) x 1 + x 3 < 4x (q) (r) x 1/2 x + 1/2 < 1 (s) 3 2x 1 + x 4 1 x + 1 x 3 1 5

17 Capítulo 2 Funções 2.1 Definição e elementos básicos Definição 2.1. Uma função f : X Y é constituída de: (a) Um conjunto X, não-vazio, chamado o DOMÍNIO da função (onde a função está definida) (b) Um conjunto Y, não-vazio, chamado o CONTRA-DOMÍNIO da função (onde f toma os valores ) (c) Uma correspondência que associa, de modo bem determinado, a CADA elemento x X um ÚNICO elemento f(x) = y Y. Obs.: Estaremos interessados em estudar funções tais que X e Y são conjuntos de números reais. Por isso vamos sempre considerar este caso de agora em diante. Imagem: Dada uma função f : X Y, sua IMAGEM é o conjunto Im (f) = f(x) = { y = f(x) ; x X } Y Os elementos do domínio são representados por uma VARIÁVEL INDEPENDENTE. Os elementos da imagem são representados por uma VARIÁVEL DEPENDENTE. Gráfico: O GRÁFICO de uma função f : X Y Plano Cartesiano tais que y = f(x), com x X. é o conjunto dos pontos (x, y) do Funções limitadas: Uma função f : X Y é dita LIMITADA quando sua imagem f(x) é um conjunto limitado. Em geral, é dita LIMITADA EM A X quando f(a) é um conjunto limitado. 13

18 14 CAPÍTULO 2 Funções crescentes ou decrescentes: Uma função f : X Y é dita CRESCENTE quando x 1 < x 2 em X f(x 1 ) < f(x 2 ).... DECRESCENTE quando x 1 < x 2 em X f(x 1 ) > f(x 2 ). (Obs.: o mesmo tipo de definição se aplica também a subconjuntos do domínio - por exemplo, podemos dizer que uma certa função é crescente ou decrescente em um determinado intervalo dentro do domínio). Exemplos: (A) f 1 : IR IR dada por f 1 (x) = x (B) f 2 : [1, 3] IR dada por f 2 (x) = x Obs.: Note que as funções f 1 e f 2 acima SÃO FUNÇÕES DISTINTAS. Apesar de possuírem o mesmo contra-domínio e a mesma maneira de associar x y = f(x), elas têm domínios diferentes (veja a definição de função). Como consequência, possuem características diferentes (f 2 é limitada, decrescente, enquanto que f 1 não é limitada, não é decrescente e nem crescente).

19 Funções 15 (C) f 3 : IR IR dada por f 3 (x) = x. (D) f 4 : IR IR dada por f 4 (x) = x (E) f 5 : [ 1, 1] [0, + ) dada por f 5 (x) = 1 x 2. (F) f 6 : [ 1, 1] IR que associa x y tais que x 2 + y 2 = 1.

20 16 CAPÍTULO 2 (G) f 7 : IR IR dada por f 7 (x) = 1 x se x > se x 1 4 (H) f 8 : (, 0) (1, 2] IR dada por f 8 (x) = x. (I) f 9 : IR IR dada por f 9 (x) = 2x + 1. (J) f 10 : [0, + ) IR dada por f 10 (x) = x.

21 Funções 17 Máximos e mínimos: Dizemos que uma função f : X Y assume VALOR MÁXIMO ABSOLUTO (ou GLOBAL) em um ponto c X quando f(c) f(x) para todo x X. Neste caso f(c) é chamado VALOR MÁXIMO ABSOLUTO DE f. Quando existir um intervalo (a, b) contendo c X tal que f(c) f(x) para todo x (a, b) X, então c é dito um PONTO DE MÁXIMO RELATIVO (ou LOCAL) e f(c) é um VALOR MÁXIMO RELATIVO DE f. De modo análogo, definimos também MÍNIMOS ABSOLUTOS (GLOBAIS) E MÍNIMOS RELATIVOS (LOCAIS). (Ilustração) Exemplo: f 4 : IR IR dada por f 4 (x) = x Observações: (i) Todo máximo (mínimo) absoluto é máximo (mínimo) local. (ii) Uma função PODE NÃO ASSUMIR valores máximos ou mínimos. Exercício: Para cada uma das funções dos exemplos anteriores (Exemplos (A)-(J)), determine seus pontos e valores máximos e mínimos, se existirem.

22 18 CAPÍTULO Construção de funções a partir de outras Via operações aritméticas: Sejam f : X IR e g : Y IR funções tais que X Y φ. A partir de f e g vamos construir novas funções (f + g), (f g), (f g) : (f + g) : X Y IR dada por (f + g)(x) = f(x) + g(x) (f g) : X Y IR dada por (f g)(x) = f(x) g(x) (f g) : X Y IR dada por (f g)(x) = f(x) g(x) Exemplos: (A) Sejam f : (, 4] IR dada por f(x) = 4 x por g(x) = x 2 1 : e g : (, 1] [1, + ) dada (B) Consideremos agora a função indentidade f : IR IR dada por f(x) = x e funções constantes do tipo g c : IR IR dadas por g c (x) = c (cada c é um número real qualquer, fixado). Utilizando a função identidade e funções constantes, podemos construir (através das operações de adição e multiplicação) um importante tipo de função p : IR IR chamada FUNÇÃO POLINOMIAL e dada por: p(x) = a n x n + a n x n a 2 x 2 + a 1 x + a 0 para todo x IR (essa é dita uma função polinomial de grau n) (Exemplos) a n, a n 1,..., a 2, a 1, a 0 IR, a n 0

23 Funções 19 Obs.: Alguns tipos especiais de funções polinomiais: 1) Funções constantes: f : IR IR com f(x) = c x IR, sendo c IR fixo. São as funções polinomiais de grau 0 (zero). (Exemplos) 2) Funções polinomiais de grau 1: f : IR IR com f(x) = ax + b, a, b IR e a 0. Seus gráficos são retas, não paralelas aos eixos coordenados. Se a > 0, f é crescente. Se a < 0, f é decrescente. (Exemplos) 3) Funções quadráticas: f : IR IR com f(x) = ax 2 + bx + c, a, b, c IR e a 0. São as funções polinomiais de grau 2. Seus gráficos são parábolas com eixos de simetria paralelos ao eixo Oy e com concavidade voltada para cima se a > 0 ou voltada para baixo se a < 0. A interseção ( da parábola (gráfico) com o eixo de simetria é o VÉRTICE da parábola, tem b coordenadas 2a, ), sendo = b 2 4ac, e representa o máximo ou mínimo absoluto 4a da função, de acordo com a concavidade do gráfico (sinal de a). (Exemplos)

24 20 CAPÍTULO 2 Se quisermos agora utilizar a operação de divisão para construir o quociente de duas funções dadas, temos que tomar o cuidado para evitar divisões por 0 (zero). Assim, dadas f : X IR e g : Y IR, sendo Z = { x Y ; g(x) = 0 }, podemos definir: (f/g) : (X Y ) Z IR pondo (f/g)(x) = f(x) g(x) Exemplos: (A) Sejam f : (, 4] IR dada por f(x) = 4 x por g(x) = x 2 1 : e g : (, 1] [1, + ) dada (B) Chamamos de polinomiais: (Exemplos) FUNÇÕES RACIONAIS as funções dadas pelo quociente de funções p, q : IR IR (polinomiais), Z = { x IR ; q(x) = 0 } (p/q) : IR Z IR dada por (p/q)(x) = p(x) q(x)

25 Funções 21 Via composição de funções: Sejam f : X IR e g : Y Z funções tais que f(x) Y (a imagem de f está contida no domínio de g). A cada elemento de X associamos um único elemento de Z, aplicando inicialmente a função f e depois a função g. Podemos pensar então em uma função de X em Z que associa a cada elemento x X um único elemento g(f(x)) Z : (g f) : X Z x g(f(x)) Essa nova função g f : X Z é chamada a função COMPOSTA de g com f. Exemplos: (a) Se f : IR IR é dada por f(x) = x e g : [0, + ) IR é dada por g(x) = x, obtenha g f e f g, se possível. (b) Seja h : IR IR dada por h(x) = (5x 2 2x + 1) 5. Obtenha funções f e g tais que h = g f.

26 22 CAPÍTULO Exercícios 1) Sejam f : IR IR dada por f(x) = 3x 1, g : IR IR dada por g(x) = x 7 e h = f/g. Obtenha: (a) O Domínio de h ; (b) 5h( 1) 2h(0) + 3h(5) 7 (d) h 2 (5) = [h(5)] 2 = h(5).h(5) ; (e) h[h(5)] = (h h)(5). ; (c) f h ; 2) Para cada uma das funções dadas abaixo, faça um esboço do gráfico da função e obtenha: o conjunto imagem da função, se a função é ou não limitada, máximos e mínimos (absolutos ou locais), intervalos do domínio onde a função é crescente ou decrescente e identifique ainda quais são polinomiais ou racionais: (a) f 1 : IR IR dada por f 1 (x) = x 2 + 8x + 14 (b) f 2 : IR IR dada por f 2 (x) = x 2 + 4x 1 (c) f 3 : IR IR dada por f 3 (x) = (x 2) 2 (d) f 4 : IR IR dada por f 4 (x) = (x + 2) 2 (e) f 5 : IR IR dada por f 5 (x) = x 3 (f) f 6 : IR IR dada por f 6 (x) = 4 x 3 (g) f 7 : ( 5, 3] IR dada por f 7 (x) = x (h) f 8 : IR {2} IR dada por f 8 (x) = 1 x 2 (i) f 9 : [ 4, 7] IR dada por f 9 (x) = 2 x + 5 (j) f 10 : [0, + ) IR dada por f 10 (x) = 2x 3) Exprimir como função de x (não se esqueça do domínio e do contra-domínio): (a) A área de um cubo de aresta x. (b) A área total de uma caixa de volume V, sabendo que a base é um quadrado de lado x. (c) O comprimento l de uma corda de um círculo de raio 4 cm, sendo x a distância da corda ao centro do círculo. 4) Exprimir a função l obtida na Letra (c) do Exercício 3) acima como a composta de duas funções.

27 Funções 23 5) Sejam f, g : IR IR dadas por f(x) = x + 3 e g(x) = 5 2x. Faça um esboço dos gráficos de f e g no mesmo Plano Cartesiano e tente deduzir, a partir dos gráficos, os valores de x para os quais f(x) < g(x). Resolva algebricamente a inequação. 6) X IR é dito simétrico em relação à origem 0 quando x X x X. Exemplos: ( 6, 6), [ 13, 13], { 12} ( 7, 7) {12}, IR, etc. Y = ( 5, 3] não é simétrico em relação à origem, pois 4 Y mas 4 Y. Seja f : X IR uma função tal que X é simétrico em relação à origem. A função f é dita PAR quando f( x) = f(x) para todo x X. Exemplos: x 4 16 ( 2 x 2), 3x 6 + x 2 5 (x IR), x 2 (x IR), etc.... ÍMPAR quando f( x) = f(x) para todo x X. Exemplos: x 3 x + 2x (x IR), (x IR), etc. 1 + x 2 Alguma observações e propriedades interessantes: (1) O produto/quociente de duas funções pares (ou duas ímpares) é uma função PAR (prove); (2) O produto/quociente de uma função par por uma função ímpar (ou vice-versa) é uma função ÍMPAR (prove); (3) O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo Oy das ordenadas (ilustre); (4) O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem O(0, 0) (ilustre); (5) É óbvio que existem funções que não são pares nem são ímpares (dê exemplos); (6) Toda função f : X IR (X simétrico em relação ao 0) pode ser escrita como a soma de uma função par com uma função ímpar (desafio = tente provar). 7) Sejam f, g : IR IR dadas por f(x) = 3x 5 2 (a) Obtenha (g f)(x) e (f g)(y). e g(y) = 2y (b) Faça esboços dos gráficos de f e g. O que se pode concluir sobre os gráficos de f e g? (c) Seja f : [1, 3] [ 5, 3] dada por f(x) = 4 x 2. Obtenha uma função g : [ 5, 3] [1, 3] que cumpre as condições da Letra (a) e faça esboços dos gráficos de f e g.

28 24 CAPÍTULO 2 8) Seja f : IR IR dada por f(x) = x 2 + 4x 3. (a) Faça um esboço do gráfico de f. (b) Dado h 0, calcule m 0 (h) = para m 0 (h). f(0 + h) f(0) h e dê uma interpretação geométrica (c) Qual o significado de m 0 (h) quando h se aproxima de 0? (d) Sabemos que o gráfico de f é uma parábola. Se V = (a, b) é o vértice dessa parábola, obtenha suas coordenadas a e b. (e) Fixando a obtido na Letra (d) acima (abscissa do vértice) e, dado h 0, tente adivinhar, SEM FAZER NENHUMA CONTA, o que ocorre com m a (h) = quando f(a + h) f(a) h h se aproxima de 0. Finalmente, confira sua resposta (fazendo as contas). 9) Se f : IR IR é dada por f(x) = ax 2 + bx + c, com a 0, USE O EXERCÍCIO ANTERIOR para deduzir as coordenadas do vértice da parábola que é o gráfico da função f. 10) Um grupo de amigos trabalha no período de férias vendendo salgadinhos nas praias. O aluguel do trailler e todos os equipamentos necessários para a produção custam R$ 2000,00 por mês. O custo do material de cada salgadinho é de R$ 0,10. Expressar o custo total mensal como função do número de salgadinhos elaborados. 11) Um fabricante produz peças para computadores pelo preço de R$ 2,00 cada uma. Calcula-se que, se cada peça for vendida por x reais, os consumidores comprarão por mês (600 x) unidades. Expressar o lucro mensal do do fabricante como função do preço. Obter o preço ótimo de venda. 12) O preço de uma corrida de táxi é constituído de uma parte fixa, chamada bandeirada, e de uma parte variável, que depende do número de quilômetros rodados. Em uma cidade X a bandeirada é R$ 10,00 e o preço do quilômetro rodado é R$ 0,50. (a) Determine a função que representa o preço da corrida. (b) Se alguém pegar um táxi no centro da cidade e se deslocar para sua casa a 8 km de distância, quanto pagará pela corrida? 13) Um avião com 120 lugares é fretado para uma excursão. A companhia exige de cada passageiro R$ 900,00 mais uma taxa de R$ 10,00 para cada lugar vago. Qual o número de passageiros que torna máxima a receita da companhia?

29 Funções 25 14) Uma indústria comercializa um certo produto e tem função custo total em mil reais, dada por CT (q) = q q + 475, sendo q 0 a quantidade do produto. A função receita total em mil reais é dada por R(q) = 120q. (a) Determinar o lucro para a venda de 80 unidades. (b) Em que valor de q acontecerá lucro máximo? 2.4 Inversão de funções Seja f : X Y uma função. A cada x X está associado um único f(x) Y. Nos interessa a situação em que a associação inversa f(x) x é uma função de Y em X. Para isso, f deverá possuir duas características: f(x) = Y (a imagem de f é todo o conjunto Y ); x 1 x 2 em X f(x 1 ) f(x 2 ) em Y. Uma função f : X Y é chamada SOBREJETORA quando f(x) = Y, ou seja, a imagem de f é todo o contradomínio Y. Uma função f : X Y é chamada INJETORA quando elementos distintos do domínio têm sempre imagens distintas, ou seja, x 1 x 2 em X f(x 1 ) f(x 2 ) em Y. Exemplos: (a)

30 26 CAPÍTULO 2 (b) (c) Uma função f : X Y é INVERTÍVEL quando ela é sobrejetora e injetora ao mesmo tempo (BIJETORA). Neste caso existe uma FUNÇÃO g : Y X que associa y g(y) e tal que g(f(x)) = x x X e f(g(y)) = y y Y. g é dita A INVERSA DA FUNÇÃO f e escrevemos g = f 1. Exemplo:

31 Funções 27 Exercício: Para cada uma das funções dadas posteriormente, faça o que se pede: a) Faça um esboço do GRÁFICO da função. b) Obtenha o conjunto IMAGEM e responda se a função dada é LIMITADA ou não. c) Em que partes de seu domínio a função é CRESCENTE ou DECRESCENTE? d) Determine pontos e valores MÁXIMOS ou MÍNIMOS (quando existirem). e) A função é INJETORA? Justifique. f) A função é SOBREJETORA? Justifique. g) Se a função dada for GRÁFICO DA FUNÇÃO INVERSA. INVERTÍVEL, determine sua INVERSA e faça um esboço do 1) f 1 : IR IR dada por f 1 (x) = 3x 1. 2) g 1 : IR [0, + ) dada por g 1 (x) = 3x 1. 3) h 1 : IR IR dada por h 1 (x) = x ) p 1 : (0, 3] (0, 6] dada por p 1 (x) = 2x. 5) q 1 : (, 5] IR dada por q 1 (x) = { x 2 se x < 1 x + 2 se x 1. 6) r 1 : [0, + ) [0, + ) dada por r 1 (x) = x 2 3x. 7) s 1 : IR IR dada por s 1 (x) = x ) u 1 : [ 2, 3] IR dada por u 1 (x) = x ) v 1 : IR + IR + dada por v 1 (x) = x 2. 10) f 2 : IR IR dada por f 2 (x) = x. 11) g 2 : IR IR dada por g 2 (x) = x

32 28 CAPÍTULO 2 12) h 2 : ( 3, + ) IR dada por h 2 (x) = x ) p 2 : [0, + ) (, 0] dada por p 2 (x) = 2x. 14) q 2 : IR IR dada por q 2 (x) = 15) r 2 : IR IR dada por r 2 = q 2.s 1. { 1 se 1 x 3 0 se x < 1 ou x > 3. 16) s 2 : IR IR dada por s 2 (x) = { 1/x se x 0 0 se x = 0. 17) v 2 : (, 1) [0, + ) IR dada por v 2 (x) = 18) f 3 : ( 1, 1] IR dada por f 3 (x) = 1 1 x 2. { π se x < 1 x 2 se x Funções exponenciais e logarítmicas Revisão: a IR, n = 1, 2, 3,... a n = a a a... a (n vezes). a 0 a 0 = 1 e a n = 1 a n (n = 1, 2, 3,...). n PAR e a 0 : b = n a b n = a, b 0. n ÍMPAR e a IR : b = n a b n = a. Definimos potências RACIONAIS de números reais positivos do seguinte modo: a > 0, p, q inteiros, q 0 a p/q = q a p Temos, neste caso: a r1 a r 2 = a r 1+r 2 e a r > 0. Nos interessa agora definir a x, com x IR (qualquer, mesmo irracional). Para isso consideremos a > 0. Se x é racional, já temos a p/q = q a p.

33 Funções 29 Se x é IRRACIONAL, sabemos que é possível obter uma sequência de racionais r 1, r 2, r 3,... que se aproxima de x tanto quanto quisermos: r 1, r 2, r 3, r 4, r 5,... x FATO: A sequência a r 1, a r 2, a r 3,... se aproxima de um número real, o qual DEFINI- MOS como a x. Temos então a nossa função exponencial de base a: Fixado a > 0 em IR, a função f a : IR IR + dada por f a (x) = a x para todo x IR é chamada FUNÇÃO EXPONENCIAL DE BASE a. Propriedades: a x a y = a x+y, (a x ) y = a x y, (a b) x = a x b x, a 0 = 1 Gráfico: Crescimento ou decrescimento: f a (x) = a x é { CRECENTE se a > 1 DECRESCENTE se a < 1 Inversa: Se a 1 então f a : IR IR + x a x é SOBREJETORA e INJETORA, admitindo portanto uma função inversa f 1 a é chamada fa 1 : IR + IR y fa 1 (y) FUNÇÃO LOGARÍTMICA DE BASE a e escrevemos f 1 a (y) = log a y. Temos então: y = a x x = log a y. x y fa a x = y f 1 a x = log a y f 1 a x = log a y = log a a x f a y = a x = a log a y.

34 30 CAPÍTULO 2 Fixado a > 0, a 1 em IR, temos a função f 1 a Propriedades: : IR + IR dada por f 1 a (y) = log a y. log a (x y) = log a x + log a y, log a (x y ) = y log a x, log a 1 = 0 Gráfico: Um número especial: Consideremos a soma ! + 1 3! + 1 4! Mostra-se que esta soma converge 5! ( se aproxima cada vez mais e tanto quanto desejarmos ) para um número real conhecido por CONSTANTE DE EULER e denotado por e. Assim, podemos escrever e = ! + 1 3! + 1 4! + 1 5! É fácil ver que 2 < e < 3 : 2 < ! + 1 3! + 1 4! + 1 5! +... < = 3 4 O número real e acima definido irá desempenhar um importante papel ao longo do nosso curso de Cálculo I, no que se refere às funções exponencial e logarítmica, na base e : f 1 e f e : IR IR + dada por f e (x) = e x (função exponencial de base e) e sua inversa : IR + IR dada por fe 1 (x) = log e x (função logarítmica de base e). Escrevemos também log e x = log x = ln x. Obs.: Outro modo de obter o número e : ( 1 + 1) 1 1 (, 1 + 2) 1 2 (, 1 + 3) 1 3, ( ) 4, ( ) 5,... e

35 Funções Funções trigonométricas Medidas de ângulos em radianos: Um ângulo mede 1 RADIANO quando corresponde a um arco de circunferência (centrada no vértice do ângulo) de comprimento igual ao raio da circunferência considerada: Assim, um ângulo que mede θ rad r o raio da circunferência considerada: corresponde a um arco de comprimento θ r, sendo θ 1 = l r l = θ r Desta forma, é fácil ver que a medida de uma volta em radianos é 2π rad : 2πr = θ r θ = 2π rad Relações trigonométricas nos triângulos retângulos: Consideremos 0 < θ < π 2 e um ângulo de θ rad em um triângulo retângulo: sen θ = b a cos θ = c a tg θ = sen θ cos θ = b c cos 2 θ + sen 2 θ = 1

36 32 CAPÍTULO 2 O círculo trigonométrico: Relações: cos 2 θ + sen 2 θ = 1, sec 2 θ = 1 + tg 2 θ, csc 2 θ = 1 + ctg 2 θ ctg θ = 1 tg θ ( sen θ 0), sec θ = 1 cos θ (cos θ 0), csc θ = 1 sen θ ( sen θ 0) Ângulos notáveis: θ (rad) 0 π/6 π/4 π/3 π/2 π 3π/2 2π sen θ 0 1 cos θ 1 tg θ Fórmulas de transformação: A partir das fórmulas abaixo, para cosseno e seno da soma e da diferença de dois ângulos, podemos deduzir (veja exercícios mais à frente) outras importantes fórmulas de transformação, as quais têm utilidade no cálculo de certas integrais trigonométricas. cos(a + b) = cos a cos b sen a sen b sen (a + b) = sen a cos b + sen b cos a cos(a b) = cos a cos b + sen a sen b sen (a b) = sen a cos b sen b cos a

37 Funções 33 Funções trigonométricas: Função SENO: sen : IR IR x sen x Gráfico: Im ( sen ) = [ 1, 1] sen ( x) = sen x (é uma função ÍMPAR) sen (x + 2π) = sen x (é uma função PERIÓDICA de período T = 2π) A função SENO é CRESCENTE em [kπ π/2, kπ + π/2], k PAR, k Z... DECRESCENTE em [kπ π/2, kπ + π/2], k ÍMPAR, k Z Assume o VALOR MÁXIMO ABSOLUTO 1 em x = 2kπ + π/2 (k Z) Assume o VALOR MÍNIMO ABSOLUTO 1 em x = 2kπ + 3π/2 (k Z) Se sen x 0, então temos csc x = 1 sen x. Assim, não é difícil ver que a função csc : IR {kπ, k Z} IR, que associa x csc x = 1/ sen x tem gráfico:

38 34 CAPÍTULO 2 A função SENO NÃO É injetora e NÃO É sobrejetora, mas a quando restringimos seu domínio e seu contra-domínio, temos uma nova função é BIJETORA f : [ π/2, π/2] [ 1, 1] x sen x, a qual e tem portanto inversa f 1 : [ 1, 1] [ π/2, π/2] y f 1 (y) = arc sen y Exercício: Faça um estudo semelhante ao que fizemos com a função SENO, para as funções COSSENO e TANGENTE. 2.7 Exercícios 1) Sabendo que f : IR IR é uma função polinomial do 1 o grau, que f( 1) = 2 e f(2) = 3, determine f(x) para cada x IR (uma função polinomial do 1 o grau está totalmente determinada quando conhecemos seus valores em 2 pontos distintos = uma reta está totalmente determinada quando conhecemos 2 de seus pontos). 2) Sabendo que g : IR IR é uma função polinomial do 2 o grau, que g(1) = 3, g( 1) = 1 e g(2) = 6, determine g(x) para cada x IR (uma função polinomial do 2 o grau está totalmente determinada quando conhecemos seus valores em 3 pontos distintos = uma parábola está totalmente determinada quando conhecemos 3 de seus pontos).

39 Funções 35 3) (Polinômios de Lagrange) Sejam x 1, x 2, x 3 números reais distintos e y 1, y 2, y 3 números reais não necessariamente distintos. O único polinômio p(x) do 2 o grau tal que p(x 1 ) = y 1, p(x 2 ) = y 2 e p(x 3 ) = y 3 é dado por p(x) = y 1 (x x 2 )(x x 3 ) (x 1 x 2 )(x 1 x 3 ) + y 2 (x x 1 )(x x 3 ) (x 2 x 1 )(x 2 x 3 ) + y 3 (a) Usando o resultado acima, refaça o exercício anterior. (x x 1 )(x x 2 ) (x 3 x 1 )(x 3 x 2 ) (b) Generalize o resultado acima e obtenha a função polinomial do 3 o grau que assume em 1, 0, 1, 4 os valores 1, 0, 0, 2, respectivamente. 4) Sejam X IR um conjunto simétrico em relação à origem 0 e f : X IR uma função. (a) Mostre que g : X IR dada por g(x) = 1 [f(x) + f( x)] é uma função par e que 2 h : X IR dada por h(x) = 1 [f(x) f( x)] é ímpar (veja Exercício 6 da pág. 23). 2 (b) Obtenha a soma g+h e tente fazer agora (se você ainda não fez) o item 6) do Exercício 6 da pág. 23. (c) Seja f : IR { 1, 1} IR a função dada por f(x) = x 1. Mostre que f não é par x + 1 e não é ímpar. Escreva f como a soma de uma função par com uma função ímpar. 5) Prove que cada uma das funções abaixo é invertível (bijetora) e obtenha a inversa: (a) f : IR IR dada por f(x) = 3x + 4 ; (b) g : IR {a} IR {0} dada por g(x) = 1 x a (c) h : IR {a} IR {1} dada por g(x) = x + a x a (d) r : [1, + ) [0, + ) dada por r(x) = x 1. 6) (Desafio) Seja g : ( 1, 1) IR dada por g(x) = (ou seja, bijetora) e obtenha g 1. (a IR) ; (a IR) ; x 1 x. Prove que g é invertível 7) Se f : IR IR é dada por f(x) = 2 x, mostre que f(x + 3) f(x 1) = 15 2f(x). 8) Dada φ : ( 1, 1) IR dada por φ(x) = ln 1 x, verifique a igualdade: 1 + x ( ) a + b φ(a) + φ(b) = φ 1 + ab

40 36 CAPÍTULO 2 9) (Decaimento exponencial) A massa de materiais radioativos, tais como o rádio, o urânio ou o carbono-14, se desintegra com o passar do tempo. Uma maneira usual de expressar a taxa de decaimento da massa desses materiais é utilizando o conceito de meia-vida. A meia-vida de um material radioativo é definida como o tempo necessário para que sua massa seja reduzida à metade. Denotando por M 0 a massa inicial (correspondente ao instante t = 0) e por M a massa presente num instante qualquer t, podemos estimar M pela função exponencial dada por M = M 0 e Kt sendo t > 0 e K > 0 uma constante que depende do material. A equação acima é conhecida como modelo de decaimento exponencial. Sabendo que a meia-vida do carbono-14 é de aproximadamente 5730 anos, determinar: (a) A constante K, do modelo de decaimento exponencial para esse material; (b) A quantidade de massa presente após dois períodos de meia-vida, se no instante t = 0 a massa era M 0 ; (c) A idade estimada de um organismo morto, sabendo que a presença do carbono-14 neste é 80% da quantidade original. 10) Uma certa substância radioativa decai exponencialmente e, após 100 anos, ainda restam 60% da quantidade inicial. (a) Obtenha o modelo de decaimento exponencial para esta substância. (b) Determinar a sua meia-vida. (c) Determinar o tempo necessário para que reste somente 15% de uma dada massa inicial. 11) Faça esboços dos gráficos das seguintes funções: (a) f : IR IR dada por f(x) = 2 x ; (b) g : IR IR dada por g(x) = e x ; (c) h : IR IR dada por h(x) = e x ; (d) s : IR {0} IR dada por s(x) = ln x ; (e) l : (, 0) IR dada por l(x) = ln( x) ; (f) m : IR + IR dada por m(x) = ln x ; (g) n : ( 1, + ) IR dada por n(x) = ln(1 + x).

41 Funções 37 12) Uma função f : X IR é dita PERIÓDICA quando existe um número T > 0 (chamado o período de f) tal que f(x + T ) = f(x) para todo x X. Neste caso, seu gráfico se repete a cada intervalo de comprimento T. As funções trigonométricas constituem exemplos clássicos de funções periódicas: (a) Mostre que as funções f n : IR IR dadas por f n (x) = sen nx (n = 1, 2, 3, 4,...) são todas ímpares e periódicas de período T = 2π. (b) Mostre que as funções g n : IR IR dadas por g n (x) = cos nx (n = 0, 1, 2, 3, 4,...) são todas pares e periódicas de período T = 2π. 13) (Fórmulas de Transformação) Prove as seguintes identidades trigonométricas: sen 2 a = 1 cos 2a 2 cos 2 a = cos a cos b = sen a sen b = 1 + cos 2a cos(a + b) cos(a b) 1 2 cos(a b) cos(a + b) sen a cos b = 1 2 sen (a + b) sen (a b) 14) Seja f : IR {x IR ; cos x = 0 } IR dada por f(θ) = tg θ. Verifique: f(2θ) = 2f(θ) 1 [f(θ)] 2 15) Faça esboços dos gráficos das seguintes funções: (a) f : IR IR dada por f(x) = sen 3x ; (b) g : IR IR dada por g(x) = 2 cos 2x ; (c) h : IR IR dada por h(x) = 1 + sen x ; (d) s : IR IR dada por s(x) = sen x ; (e) l : IR IR dada por l(x) = sen (x (π/2)). 16) Seja f : [1, 100] IR dada por f(x) = arc sen [log 10 (x/10)]. Obtenha f(1), f(100) e f( 10 ).

42 38 CAPÍTULO 2 17) (Funções Hiperbólicas) Definimos as funções hiperbólicas básicas: Função Seno Hiperbólico: senh : IR IR dada por senh x = ex e x 2 Função Cosseno Hiperbólico: cosh : IR IR dada por cosh x = ex + e x (a) Faça um esboço do gráfico das funções senh e cosh. (b) Prove que cosh 2 x senh 2 x = 1 para todo x IR. (c) Prove que cosh x 1 para todo x IR. Definimos ainda: tgh : IR IR dada por ctgh : IR {0} IR dada por tgh x = senh x cosh x ctgh x = cosh x senh x sech : IR IR dada por sech x = 1 cosh x csch : IR {0} IR dada por csch x = 1 senh x (d) Obtenha (prove) relações entre as funções tgh e sech e entre ctgh e csch. 2 18) Seja f : IR IR dada por f(x) = 2 senh x 3 tgh x. Obtenha f(2), f( 1) e f(0).

43 Capítulo 3 Limite de uma função e Continuidade 3.1 Motivação Seja dada uma função f : X Y (X, Y IR). Para cada x X, a melhor maneira de se aproximar f numa vizinhança de x por uma função cujo gráfico é uma reta é através da reta tangente ao gráfico de f no ponto (x, f(x)), se houver esta tangente. Consequência: Podemos relacionar uma série de informações sobre o comportamento de f com o coeficiente angular m t da reta tangente ao gráfico de f em cada ponto (onde existir). Por exemplo: (A) f crescente em um intervalo m t > 0 neste intervalo. 39

44 40 CAPÍTULO 3 (B) f decrescente em um intervalo m t < 0 neste intervalo. (C) f assumindo máximo ou mínimo local no interior de um intervalo } m t = 0 no ponto de máximo ou mínimo. (D) Concavidade do gráfico de f voltada para cima, em um intervalo } m t crescente neste intervalo. (E) Concavidade do gráfico de f voltada para baixo, em um intervalo } m t decrescente neste intervalo. Obtendo m t (coeficiente angular da reta tangente) Dada f : X Y (X, Y IR), seja a I(intervalo aberto) X. Queremos obter o coeficiente angular m ta da reta t a, tangente ao gráfico de f no ponto (a, f(a)) :

45 Limite de uma função e Continuidade 41 Para fazermos isso, vamos utilizar APROXIMAÇÕES POR RETAS SECANTES : Para cada x a (em I), temos uma reta secante s a (que depende do ponto x), secante ao gráfico de f, passando pelos pontos (a, f(a)) e (x, f(x)) : Temos então uma função m sa : I {a} IR x m sa (x) = f(x) f(a) x a Nos interessa investigar o comportamento de m sa (x) (coeficiente angular das secantes) quando x se aproxima de a, sem assumir o valor a ( x a ). O esperado é que, quando x a, m sa (x) se aproxime tanto quanto quisermos de algum número real e teremos m sa (x) m ta IR, quando x a Neste caso, dizemos que a função f é derivável no ponto a, existe a reta tangente ao gráfico de f no ponto (a, f(a)) e seu coeficiente angular m ta é chamado a derivada de f no ponto a (escrevemos f (a) ). Obs.: É fundamental, para fazermos x a, que possamos aproximar o ponto a por uma sequência de pontos do domínio X de f, diferentes de a. Exemplo:

46 42 CAPÍTULO 3 Precisamos portanto sistematizar o todo este processo, ou seja, Dada uma função g : X Y e um ponto a que pode ser aproximado por pontos x X, x a queremos estudar o comportamento de g(x) quando x a (x se aproxima de a por valores diferentes de a) e saber se g(x) L IR quando x a. 3.2 Limites Dada uma função f : X IR, nos interessa conhecer o comportamento de f(x) quando x se aproxima de a, x a. Para isso, a não precisa pertencer ao domínio de f, mas deve ser aproximado por pontos do domínio: Definição 3.1. (Ponto de acumulação): Um ponto a é chamado um PONTO DE ACUMULAÇÃO do conjunto X quando podemos encontrar pontos de X, diferentes de a, tão próximos de a quanto quisermos, ou seja, a pode ser aproximado por pontos de X diferentes de a. Denotamos por X o conjunto dos pontos de acumulação de X. Exemplos: (A) A = [ 1, 3) (B) B = (0, 2) (2, 3) (C) C = [1, 2] (3, 5) {7}

47 Limite de uma função e Continuidade 43 Consideremos agora, por exemplo, a função f : IR {1} IR dada por f(x) = 3x2 2x 1 x 1 1 não pertence ao domínio de f, mas é ponto de acumulação de IR {1}. Podemos então observar o comportamento de f(x) quando x 1 (x se aproxima de 1, x 1) Temos: x 0 0, 9 0, 99 0, 999 0, 9999 f(x) 1 3, 7 3, 97 3, 997 3, 9997 x 2 1, 1 1, 01 1, 001 1, 0001 f(x) 7 4, 3 4, 03 4, 003 4, 0003 Observemos que f(x) se aproxima cada vez mais de 4 à medida que x 1. Dizemos então que 4 é o limite de f(x) quando x tende a 1 (x 1) e escrevemos: lim x 1 3x 2 2x 1 x 1 = 4. A definição de limite Definição 3.2. Sejam f : X IR uma função e a X (a é ponto de acumulação do domínio - não precisa pertencer a X). Dizemos que um número real L é o LIMITE de f(x) quando x tende a a, e escrevemos quando... lim f(x) = L x a... podemos obter f(x) tão próximo de L quanto desejarmos, sempre que x se aproxima de a, por valores (no domínio de f) diferentes de a. TRADUZINDO... para cada ɛ > 0 dado, é possível obter um δ > 0 (em geral dependendo do ɛ) tal que : se x X e 0 < x a < δ então f(x) L < ɛ.

48 44 CAPÍTULO 3 Alguns limites fundamentais Fixemos c IR e seja f 1 : IR IR dada por f 1 (x) = c x IR (função constante). Para cada a IR temos: lim f 1(x) = lim c = c x a x a Seja f 2 : IR IR dada por f 2 (x) = x x IR (função identidade). Para cada a IR temos: lim f 2(x) = lim x = a x a x a Seja f 3 : IR IR dada por f 3 (x) = sen x x IR. Temos: lim sen x = 0 x 0 Seja f 4 : IR IR dada por f 4 (x) = cos x x IR. Temos: lim cos x = 1 x 0 Seja f 5 : IR { 0} IR dada por f 5 (x) = sen x x Temos: sen x lim = 1 x 0 x x 0. Seja f 6 : IR { 0} IR dada por f 6 (x) = cos x 1 x Temos: cos x 1 lim = 0 x 0 x x 0. Seja f 7 : IR { 0} IR dada por f 7 (x) = ex 1 x Temos: e x 1 lim = 1 x 0 x x 0.

49 Limite de uma função e Continuidade Teoremas para (ajudar no) cálculo de limites Teorema 3.1. Sejam f : X IR e a X. Temos: lim f(x) = L lim (f(x) L) = 0 lim f(x) L = 0 x a x a x a Em particular, considerando L = 0, temos: lim f(x) = 0 lim f(x) = 0. x a x a Exemplo: Sabemos que lim x 0 x = 0. Então segue que lim x 0 x = 0. Teorema 3.2. (Sanduíche) Sejam f, g, h funções tais que f(x) g(x) h(x) para todo x a em um intervalo aberto contendo a. Se lim x a f(x) = L = lim x a h(x), então lim x a g(x) = L. Exemplo: Vamos mostrar que lim x 0 sen x = 0.

50 46 CAPÍTULO 3 Teorema 3.3. Sejam f, g : X IR, a X e lim x a f(x) = L, lim x a g(x) = M. Então: lim [f(x) ± g(x)] = L ± M ; x a lim f(x) g(x) = L M ; x a lim x a lim x a f(x) g(x) = L M se M 0 ; n n f(x) = L { se n é ÍMPAR e L é qualquer real se n é PAR e L > 0 Exemplos: (A) Seja p : IR IR dada por p(x) = c n x n + c n 1 x n c 1 x + c 0, com c n, c n 1,..., c 1, c 0 IR (constantes) e c n 0 ( p é uma função polinomial de grau n).

51 Limite de uma função e Continuidade 47 (B) Funções racionais (quocientes de funções polinomiais) (C) lim x 0 cos x = 1

52 48 CAPÍTULO 3 (D) lim x 0 sen x x = 1 (E) lim x 0 cos x 1 x = 0

53 Limite de uma função e Continuidade 49 Teorema 3.4. Se lim x a f(x) = 0 e g é limitada num intervalo aberto contendo o ponto a (sem precisar estar definida em a), então lim x a f(x) g(x) = 0. (Exemplo) Teorema 3.5. (Troca de variáveis) Se lim f(u) = L, lim u(x) = b u b x a x a u b, então lim f(u(x)) = lim f(u) = L x a u b (x a u b) e Exemplos: (A) lim x 0 sen 4x 4x (B) lim x 0 sen 3x x (C) lim x 0 5 x 1 x

54 50 CAPÍTULO 3 Exercícios f(x) (A) Prove que se lim f(x) = L 0 e lim g(x) = 0 então (não existe) lim x a x a x a g(x). Sugestão: Suponha que exista lim x a f(x) g(x) (B) Calcule os limites abaixo, justificando: [ ] f(x) = M e considere lim f(x) = lim x a x a g(x) g(x). 1) lim x 3 x 2 9 x 3 2) lim x 1/ x 5 x 3) lim x 0 x x Sugestão: racionalize o numerador 4) lim x 2 x 2 x 4 16 Sugestão: use que (a n b n ) = (a b).(a n 1 + a n 2 b ab n 2 + b n 1 ) 5) lim x 3 x + 3 (1/x) + (1/3) ( ) 1 9) lim x 3 sen x 0 3 x 6) lim x 0 10) lim h 0 x x h h 7) lim x 3 x 2 + 5x + 6 x 2 x x 3x ) lim x 3 x 2 1 8) lim u u 12) lim y 2 y y ) lim t 0 1 cos t sen t x 2 x 2 3x 2 17x ) lim 15) lim x 2 (x 2) 2 x 4 4x 2 25x ) lim w 0 sen 3w sen 5w 17) lim h 0 3 h h 18) lim x tg x sen x 19) lim t 0 sen 2 2t t 2 20) lim x π sen x x π 21) lim x 0 x cos x 25) lim x 1/ 2 22) lim x 0 x 5 (1/ 2) 5 x (1/ 2) 1 cos x x 2 23) lim x 0 3 x 1 x 26) lim x 2 (x 1)(x + 2) x 2 + 4x ) lim x 0 3x 2 1 cos 2 (x/2) 27) lim x 3 x 2 9 x 3 28) lim y 0 e 7y 1 sen y 29) lim x 0 (1 sec x). ctg x. cos x x 30) lim x 3 x 2 6x + 9 (x + 1)(x 3) 33) lim x 0 sen 3 x 5x(1 cos x) 31) lim x ) lim y 0 π 3 πx x e 2y y 32) lim x π/2 x π/2 cos x 35) lim x 2 3x 3 2 x ) lim y 0 sen πy y 37) lim x 1 x 2 1 (1 x) 3

55 Limite de uma função e Continuidade 51 38) lim x π 1 + cos x x + π 39) lim x 0 e x + sen 2 x 1 x 3 x 3 40) lim 41) lim x 3 27 x 3 x 1 43) lim y 0 sen 7y + cos πy 1 y x 3 + 2x 2 + x x ) lim x 0 1 cos x 5 x sen x 42) lim x 0 e sen x 1 2x 45) lim x 3 47) lim x 1 x x 4 3 x 3 + x 2 x 1 x 3 x 46) lim y 0 e 2y 1 sen (3y) 48) lim x π/2 1 sen x x (π/2) Teoremas adicionais sobre limites Teorema 3.6. (Unicidade do limite) Sejam f : X IR e a X. O lim x a f(x), quando existe, é único. Teorema 3.7. Sejam f : X IR e a X. Se existe L = lim x a f(x) então a função f é LIMITADA num intervalo aberto contendo o ponto a. Exemplo: Seja f : IR {0} IR dada por f(x) = 1 x x 0. 0 é ponto de acumulação do domínio IR {0}. Podemos afirmar que NÃO EXISTE o intervalo aberto contendo 0. 1 lim x 0 x, pois f não é limitada em nenhum Teorema 3.8. Sejam f : X IR, a X e L = lim x a f(x). Se L > M então f(x) > M para todo x a do domínio em um intervalo aberto contendo o ponto a. Em particular, se lim f(x) > 0 então f(x) > 0 para todo x a do domínio em um x a intervalo aberto contendo a. Obs.: Analogamente, vale resultado semelhante caso lim x a f(x) = L < M.

56 52 CAPÍTULO 3 Teorema 3.9. (Limites laterais) Sejam f : X IR e a X. Se a pode ser aproximado tanto por pontos de X maiores que a quanto por pontos de X menores do que a, podemos investigar ambos os limites laterais de f: lim f(x) x a + (limite de f(x) quando x tende a a PELA DIREITA, isto é, por valores x X, com x > a) lim f(x) x a (limite de f(x) quando x tende a a PELA ESQUERDA, isto é, por valores x < a em X) Temos, neste caso, que existe L = lim x a f(x) se, e somente se, existem e são iguais a L ambos os limites laterais, ou seja: lim x a + f(x) = lim f(x). x a Exemplos: (a) Seja f : IR {0} IR dada por f(x) = x x. (b) Obs.: OS TEOREMAS ANTERIORES VALEM TAMBÉM PARA LIMITES LATERAIS, COM AS DEVIDAS ADAPTAÇÕES!

57 Limite de uma função e Continuidade Exercícios: 1) Sejam f, g : IR IR dadas por: f(x) = { x se x 1 x + 1 se x > 1 g(x) = { x 2 se x 1 2 se x > 1 Faça um estudo sobre os limites: lim f(x) x 1 lim g(x) x 1 lim (f.g)(x) x 1 2) Mostre que lim x a f(x) f(a) x a = lim h 0 f(a + h) f(a) h (se existirem) 3) Para cada função f : X IR dada a seguir e cada a X X (a é ponto do domínio e ponto de acumulação do domínio), também fornecido, obtenha m ta = coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f no ponto (a, f(a)). (a) f 1 : IR IR dada por f 1 (x) = 3x 1 e a = 5. (b) f 2 : IR IR dada por f 2 (x) = x 2 e a = 3. (c) f 3 : IR IR dada por f 3 (x) = sen x e a = π/6. (d) f 4 : IR IR dada por f 4 (x) = cos x e a = π/6. (e) f 5 : IR IR dada por f 5 (x) = e x e a = 2. (f) f 6 : (0, + ) IR dada por f 6 (x) = 1/x e a = 2. Faça ainda um esboço e confira se a resposta encontrada faz sentido com o esboço. Sugestões: Aproxime m ta fazendo x a. pelos coeficientes angulares m sa (x) das secantes por (a, f(a)) e (x, f(x)), Para as letras (c),(d) e (e), use também o exercício anterior. Pode tentar também fazer antes o Exercício 4) (veja o enunciado abaixo) e assim este e- xercício se torna um caso particular. 4) Para cada função f : X IR do exercício anterior, tente generalizar o resultado, obtendo m ta para um a X qualquer!

58 54 CAPÍTULO Continuidade Definição 3.3. Consideremos uma função f : X IR tal que X X (todo ponto do domínio é ponto de acumulação). Dado um ponto a, dizemos que f condições são satisfeitas: É CONTÍNUA NO PONTO a quando as seguintes 1) Existe f(a) (ou seja, a X); 2) Existe lim x a f(x) ; 3) lim x a f(x) = f(a). Se f não é contínua em um ponto a pertencente a seu domínio, dizemos que f É DESCONTÍNUA EM a, ou que f TEM UMA DESCONTINUIDADE EM a. Dizemos que f : X IR é uma FUNÇÃO CONTÍNUA EM X quando ela é contínua em todos os pontos de seu domínio. Exemplos: (e contra-exemplos) (A) Toda função polinomial é contínua! (B) Seno e cosseno, no ponto 0 : (C) Contra-exemplo: uma descontinuidade REMOVÍVEL: (D) Contra-exemplo: uma descontinuidade ESSENCIAL:

59 Limite de uma função e Continuidade 55 Continuidade e operações entre funções Teorema Sejam f, g : X IR, X X e a X. Se f e g são contínuas no ponto a X, então: (f ± g) são contínuas em a ; (f g) é uma função contínua em a ; (f/g) é contínua em a se g(a) 0. Teorema (Composição) Sejam f : X IR (X X ) e g : Y IR (Y Y ) de forma que a composta g f : X IR está bem definida Se f é contínua em a X e g é contínua em b = f(a) Y então a composta g f : X IR é contínua no ponto a X. Funções contínuas em intervalos Quando estudamos problemas sobre máximos e mínimos, podemos ter funções que não assumem valores máximos e/ou mínimos. Por exemplo: f : IR IR dada por f(x) = x NÃO ASSUME MÁXIMO NEM MÍNIMO! g : ( 1, 2) IR dada por g(x) = x NÃO ASSUME MÁXIMO NEM MÍNIMO!

60 56 CAPÍTULO 3 Existe uma situação (envolvendo continuidade) na qual estes problemas não ocorrem: Teorema (MAX-MIN) Se f : [a, b] IR é uma função contínua (em todos os pontos do intervalo limitado e fechado [a, b]), então f assume valores máximo e mínimo absolutos neste intervalo [a, b], ou seja, existem pontos c M e c m em [a, b] tais que f(c M ) f(x) para todo x [a, b] f(c m ) f(x) para todo x [a, b] Outra boa propriedade das funções contínuas é a PROPRIEDADE DO VALOR IN- TERMEDIÁRIO : Teorema (Teorema do valor intermediário) Se f : X IR é contínua no intervalo [a, b] X e f(a) f(b), então f assume todos os valores entre f(a) e f(b), ou mellhor, dado qualquer d entre f(a) e f(b), existe x entre a e b tal que f(x) = d. (Ilustração) (Exemplo)

61 Limite de uma função e Continuidade Exercícios 1) Seja f : [0, + ) IR dada por f(x) = x. (i) Mostre que lim x 0 x = 0 (Sugestão: Considere apenas o limite lateral lim x - pois 0 x 0 + só pode ser aproximado pela direita - e para isto, compare x com 3 x para 0 < x < 1 ) (ii) Conclua que f é contínua (em todos os pontos de seu domínio). x (iii) Mostre que lim x 0 x (racionalize). (iv) Generalize para g : [0, ) IR dada por g(x) = n x, n = 2, 4, 6, 8,... 2) Dadas f : X IR abaixo, discuta a sua CONTINUIDADE (onde f é contínua ou não), justificando: (a) f : (, 16] IR dada por f(x) = 16 x. (b) f : [0, + ) IR dada por f(0) = 0 e f(x) = 1 x 2 se x 0. (c) f : IR IR dada por f(x) = x + 1 x se x 1 3 se x = 1. 3) Seja f : IR IR dada por f(x) = { x 5 + x 3 + 2x se x < 0 x + 2 se x 0 (a) Discuta a CONTINUIDADE de f. (b) A equação f(x) = 0 tem uma raiz entre 2 e 1. JUSTIFIQUE. 4) Seja f : IR IR dada por f(x) = { x 3 x 3 se x < 2 5 x se x 2 (a) Onde f é contínua? (JUSTIFIQUE). (Considere os casos: a < 2, a = 2 e a > 2) (b) Em quais dos intervalos [ 2, 0], [0, 1], [1, 3], [3, 6] podemos GARANTIR que existe x tal que f(x) = 0? JUSTIFIQUE.

62 58 CAPÍTULO 3 5) Seja f : IR IR dada por f(x) = { 2x + 1 se x 3 x 2 + 8x 8 se x > 3 (a) Responda se f é contínua em a = 3. (JUSTIFIQUE). (b) Sabendo que f é crescente em (, 7/2] e descrescente em [10, + ), podemos afirmar que existe x M [7/2, 10] tal que f(x M ) f(x) para todo x IR? (JUSTIFIQUE) { x + 1 se x < 1 6) Seja f : IR IR dada por f(x) = 1 + sen (x + 1) se x 1 (a) Responda se f é contínua em a = 1. (JUSTIFIQUE). (b) Responda: Se [a, b] IR, é possível afirmar que dado d entre f(a) e f(b), existe c entre a e b com f(c) = d? JUSTIFIQUE a resposta. sen [π(x 1)] 7) (a) Seja f : IR IR uma função tal que f(x) = x 1. f pode ser x 1 contínua em x = 1? Se puder, qual o valor de f(1) para que isso ocorra (JUSTIFIQUE). Se não, JUSTIFIQUE. x 1 (b) Seja g : IR IR uma função tal que g(x) = x 1. g pode ser contínua x 1 em x = 1? Se puder, qual o valor de g(1) para que isso ocorra (JUSTIFIQUE). Se não, JUSTIFIQUE.