Mercado de Energia Eléctrica: uma modelação MPCC-NLP

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1 Mercado de Energa Eléctrca: uma modelação MPCC-NLP Helena Sofa Rodrgues*, M. Teresa T. Montero** e A. Ismael F. Vaz** *Escola Superor de Cêncas Empresaras Insttuto Poltécnco de Vana do Castelo Av. Mguel Dantas Valença Telf: ; fax: ; e-mal:sofarodrgues@esce.pvc.pt **Departamento de Produção e Sstemas Unversdade do Mnho Campus de Gualtar Braga Telf: ; fax: ; e-mal: {tm,avaz}@dps.umnho.pt Resumo O problema apresentado está relaconado com o mercado de energa eléctrca, modelado como um jogo de Stackelberg, onde a empresa líder de mercado tem o poder de manpular os preços e a capacdade de produção, de forma a maxmzar o seu lucro. Devdo às suas característcas partculares, o problema fo formulado como um Problema de Optmzação com Restrções de Complementardade (MPCC) e, posterormente reestruturado num Problema de Programação Não Lnear (NLP), com o ntuto de trar partdo das suas propredades, utlzando software específco. 1. Introdução O mercado de energa eléctrca está numa fase de transção. Até agora, o negóco era controlado pelo poder central, tendo as empresas apenas de se preocupar com a mnmzação dos custos, uma vez que os preços eram tabelados. Hoje, a produção de electrcdade tornou-se uma actvdade mas lberal: o planeamento de expansão e a calendarzação de operaconaldade já não dependem de procedmentos centras e admnstratvos, mas sm de decsões das companhas produtoras, cujo objectvo máxmo é aumentar o lucro. Na Europa, o cenáro no sector eléctrco tem vndo a sofrer alterações, nos últmos anos, na medda em que se têm proporconado fusões e aqusções de empresas, resultando num elevado grau de concentração de mercado por parte de um pequeno número de companhas. Além dsso, as drectvas da Unão Europea para a lberalzação do mercado energétco, fzeram com que as lgações físcas e nsttuconas entre mercados de dferentes países se expandssem [1]. Tudo sto levou a que a comundade centífca tentasse encontrar modelos para ensaar uma prevsão da reacção dos mercados a estes novos modelos. O problema que va ser apresentado é de méda dmensão, está relaconado com o mercado olgopolsta de energa eléctrca e é modelado como um jogo de Stackelberg [2]. Nesta teora de jogo, exste uma stuação de não compettvdade, onde um jogador dstnto denomnado líder toma como nput a sua percepção do mercado e antecpa as (re)acções dos restantes jogadores, usando essa nformação para selecconar a sua estratéga óptma. Os outros jogadores desgnados por segudores não têm a percepção de como as suas decsões afectam as decsões do líder; entre os segudores, cada um observa as acções dos restantes e, em seguda, reage optmamente, assumndo que as estratégas dos outros jogadores permanecem nalteradas. A teora de jogo de Stackelberg motvou mutos autores para o estudo dos problemas de optmzação de dos níves, pos exstem grandes smlardades entre ambos. Contudo estes problemas são de dfícl resolução. No entanto se o problema de optmzação de dos níves (também conhecdo como optmzação bnível) for convexo no problema de segundo nível (ou nível nferor) [3], este pode ser substtuído pelas respectvas condções de optmaldade. O problema de dos níves passa então a ser um problema equvalente a um nível, sto é, um Problema de Optmzação com Restrções de Complementardade (MPCC, do nglês, Mathematcal Problem wth Complementarty Constrants). Na Secção 2 é apresentada a formulação matemátca de um problema MPCC assm como as suas característcas específcas. São apresentadas as razões pelas quas o MPCC é consderado um problema de dfícl resolução, bem como as estratégas recentemente propostas para ultrapassar essas dfculdades, nomeadamente a reformulação do problema MPCC num Problema de Optmzação Não Lnear (NLP, do nglês, Nonlnear Problem). Na Secção 3 é descrto o problema do mercado da energa eléctrca, onde são apresentadas as notações utlzadas, a formulação matemátca e os dados do problema. Na últma secção, são apresentados os solvers (softwares para resolver problemas) utlzados para a resolução do problema e analsados os resultados obtdos. São anda tecdas algumas consderações fnas. 2. Abordagem MPCC-NLP Os Problemas de Optmzação com Restrções de Complementardade têm sdo alvo de grande nteresse, pos na sua formulação está subjacente a noção de equlíbro conceto presente em númeras stuações da realdade. Na engenhara, exste um leque varado de aplcações, nomeadamente problemas de lubrfcação elastrohdrodnâmca, de mecânca de contacto, de

2 obstáculo, em problemas na ndústra de processos químcos, problemas de tráfego de redes, entre outros [4]- [8]. A forma geral do problema MPCC é mn f ( x) s. a c ( ) x = 0, E onde x = ( x, x x ) ( x), I c 0 x 1 x2 n 0 1, 2, em que x0 R são as varáves p de controlo e x1, x2 R são as varáves de estado; f é a função objectvo e c, E I são as funções das restrções de gualdade e desgualdade, respectvamente. Os conjuntos E e I são conjuntos fntos de índces. As restrções que envolvem a complementardade são defndas com o operador e exgem que o produto de duas quantdades não negatvas seja zero,.e., x x = 0, 1 p. Assume-se que tanto f como { } 1 2,..., c, E I são funções contnuamente dferencáves até à segunda ordem. O problema MPCC é não suave devdo às restrções de complementardade, tornando as suas condções de optmaldade complexas e de dfícl verfcação. Além dsso, o conjunto admssível de um MPCC é mal condconado, uma vez que as qualfcações das restrções mas conhecdas e utlzadas para provar a convergênca dos algortmos desgnadamente as qualfcações das restrções de Mangasaran Fromovtz e de Independênca Lnear não são satsfetas em nenhum ponto que satsfaça as restrções de complementardade [9]. A volação destas qualfcações das restrções levou a que a comundade centífca tentasse crar algortmos específcos para este tpo de problemas. De entre os algortmos propostos, destacam-se três abordagens: penaldade, com o códgo PIPA [10] onde o objectvo é substtur a restrção de complementardade pelo produto de Hadamard e traçar o camnho nteror do problema agora parametrzado; suavzação da condção de complementardade reformulada por uma condção sem-suave, sendo esta de seguda suavzada por um parâmetro postvo [11]; e por últmo, a relaxação, onde a restrção de complementardade é relaxada por desgualdades envolvendo um parâmetro de relaxação [12]. Contudo, neste momento, os solvers dsponíves anda estão longe de resolverem problemas de grande dmensão. Requerem um acréscmo sgnfcatvo de esforço computaconal quando comparados com os solvers não lneares dsponíves no mercado. A abordagem consderada para resolver o problema MPCC consderado é a sugerda por Leyffer [13], que consste no uso da formulação não lnear equvalente. Esta abordagem permte tratar o problema MPCC como um problema NLP, trando partda da exstênca de algortmos efcentes e robustos na obtenção da solução. A formulação como NLP permte também colocar um desafo ao própro algortmo NLP usado, permtndo testar a sua efcênca e robustez, e (1) avalar a sua capacdade de ldar com as rregulardades nerentes aos problemas MPCC. Formulação NLP do problema MPCC mn f ( x) s. a c ( ) x = 0, E c ( x), I x 1 x 2 x1 T x2 0 Todas as entdades usadas em (2) foram defndas em (1). Note-se que a restrção de complementardade fo substtuída por uma desgualdade não lnear, relaxando desta forma o problema. O problema reformulado desgnado por MPCC-NLP (2) tem as mesmas propredades que o problema MPCC, o que sgnfca que a volação da qualfcação das restrções Mangasaran Fromovtz é anda verfcada. Todava, estudos recentes mostraram que a estaconardade forte de um problema NLP é equvalente às condções de optmaldade KKT num problema MPCC-NLP [14]-[15]. Este resultado permte pensar na abordagem MPCC-NLP como um bom camnho a segur, pos em termos computaconas, é mas fácl encontrar um ponto estaconáro num solver não lnear do que encontrar um ponto estaconáro num solver específco para resolver MPCC. (2) 3. Problema do mercado de energa eléctrca A. Formulação do problema Na essênca, o problema da empresa líder é um problema de optmzação de dos níves. No prmero nível - o nível do líder - o parâmetro da curva de proposta corresponde à varável de prmero nível. No segundo nível - o nível dos segudores - há a smulação das conjecturas de mercado promovdas por um Operador de Sstema Independente, onde as quantdades de energa gerada e consumda e a transmssão entre nós são as varáves de segundo nível. O modelo tenta determnar as propostas óptmas de cada empresa. De seguda é apresentada a notação para a formulação do problema. Índces: j m nó da rede arco de para j cclo ndependente da rede Conjuntos: N conjunto dos nós A conjunto dos arcos S f conjunto dos nós produtores sob o controlo da frma domnante f P conjunto dos nós produtores D conjunto dos nós de procura L conjunto dos cclos ndependentes orentados

3 Na prátca, os conjuntos P e D não são necessaramente dsjuntos e a sua unão pode ser um subconjunto própro de N. Nos modelos lnearzados DC [16]-[17], as les de Krchhoff das tensões e das correntes asseguram a uncdade do fluxo na rede em cada arco na solução do problema. Além dsso, o número de cclos ndependentes necessáros é # A # N + 1. Parâmetros: a, b ordenada na orgem e declve da curva de oferta (custo margnal) para o produtor no nó P c, d ordenada na orgem e declve da função procura para o consumdor no nó D α lmte superor para a proposta do nó produtor S f Q lmte superor da capacdade de produção S para o nó produtor P T capacdade máxma de transmssão no arco j j A r j reactânca no arco j A s jm ± 1 correspondendo à orentação do arco j A no cclo m L (+1 se j tem a mesma orentação que o cclo m ) Varável de prmero nível: α proposta de preço do nó produtor P Neste modelo, é assumdo que as empresas produtoras apenas podem manpular α, e não b, devdo a restrções de mercado e condconalsmos de optmzação. Consdera-se anda α fxo para os nós das empresas segudoras (.e., α, P \ S f ) e varável para os nós da empresa líder (.e., α, S f ). Varáves prmas de segundo nível: Q S quantdade de energa gerada no nó ( Q S = a + bqs, se P e Q S = 0 se P ) Q D quantdade de energa consumda no nó ( Q D = c + dqd, se D e Q D = 0 se D ) T j MW transmtdos de para j Varáves duas de segundo nível: λ custo margnal no nó µ valor margnal da capacdade de produção da fábrca no nó θ j valor margnal da capacdade de transmssão no arco j γ m preço sombra devdo à le de voltagem de Krchhoff para o cclo m Consderemos anda a matrz de ncdênca (nó, arco) da rede eléctrca: 1, = 1, 0, se l = j A se l = j A outros valores para algum j N para algum j N Seja R a matrz relatva aos coefcentes das reactâncas, preceddos do snal de orentação do arco em relação ao cclo (arco, cclo): sjm, se jm Lm R = (4) 0, caso contráro A notação dag ( w) representa a matrz dagonal cujas entradas na dagonal prncpal são as componentes do vector w. A sua formulação orgnal como problema de optmzação de dos níves pode ser encontrada em [18]. Tal como fo já referdo anterormente, o problema de nível nferor é convexo. Assm, prova-se que, para cada vector α, exste uma únca solução óptma global Q α, Q α T α para o problema de nível nferor ( ( ) ( ) ( )) D S, [19]. A substtução do problema de nível nferor pelas suas condções de optmaldade KKT permte reformular o problema de dos níves no segunte problema a um nível com restrções de complementardade (MPCC). max s.a π 2 f ( λ, QS ) ( cqd d ) Q aq D D S f 2 ( θ jtj ) ( µ QS + a ) QS b Q S j A P \ S f 0 α α, S f S (3) b 2 Q 2 S 0 QS Q S µ 0 Q S λ + µ + α + dag( b) QS 0 Q D λ c + α + dag( d ) QD 0 θ T T (7) 0 T T λ + θ + Rγ λ lvre QD QS + T = 0 γ lvre R T T = 0 onde π representa a função lucro da empresa líder. f B. Dados do problema Os dados do problema, relatvos à produção, procura e transmssão de energa foram baseados em [20]. A rede eléctrca consderada nclu um crcuto de 30 nós, 41 arcos, 12 cclos, 6 nós de produção e 21 nós de procura. Dos nós de produção propostos assume-se que a empresa A frma domnante possu três geradores e, os restantes três pertencem à empresa B. Na Fgura 1 está representada toda esta nformação. Também são fornecdas, nesse artgo, as funções de custo de produção, reactâncas, lmtes superores das quantdades de procura e da capacdade de transmssão dos arcos. Note-se que os lmtes de transmssão consderados para este modelo são 60% dos valores propostos em [20], como sugerdo pelos própros autores, devdo a questões de segurança do própro sstema de electrcdade.

4 Para resolver o problema da frma domnante A, assume-se que as propostas da outra empresa são guas aos custos margnas para todos os seus geradores, sto é, α = a. A curva da procura em cada um dos nós consumdores é determnada por P = 40 d QD onde d é escolhdo de tal forma que P $30 / = MWh quando Q D guala o valor assumdo em [20]. O códgo do problema em AMPL [21] está dsponível para a comundade centífca, numa bbloteca da especaldade, MacMPEC [22], com o título montero.mod. Nó Nó com gerador da empresa A Nó com gerador da empresa B Nó de consumo Arco Fg. 1. Esquema da rede de energa eléctrca 4. Resultados e conclusões Para a resolução do problema do mercado de energa eléctrca, recorreu-se à plataforma NEOS [23] (Network- Enabled Optmzaton System) dsponível na Internet. A plataforma NEOS fornece um servço de optmzação que utlza a Internet como seu dstrbudor, possundo um vasto conjunto de solvers de optmzação, consderados como o estado da arte na optmzação. Foram selecconados três solvers relatvos à optmzação não lnear com restrções. Na Tabela 1 apresentam-se as característcas prncpas de cada um. Solver Lancelot [24] Loqo [25] Snopt [26] TABELA 1 PRINCIPAIS CARACTERÍSTICAS DOS SOLVERS Característcas prncpas Método de regão de confança adaptado; Técnca da Lagrangeana aumentada; Especalmente efcaz em problemas de grande dmensão. Método prmal-dual de pontos nterores; Procura undmensonal para promover convergênca global; Hessana Exacta. Método SQP de procura undmensonal; Função mérto Lagrangeana aumentada; Hessana quas-exacta. Apresentam-se, de seguda, os resultados relatvamente ao problema do mercado de energa eléctrca. A Tabela 2 mostra os valores obtdos para a função objectvo e a varável proposta de preço. TABELA 2 RESULTADOS DA FUNÇÃO OBJECTIVO E DA PROPOSTA DE PREÇO Solver Função lucro ( π f ) Proposta de preço ( α f ) Lancelot (35.83, 40, 29.80) Loqo (35.83, 36.09, 20) Snopt (35.83, 39.99, 0) Curosamente, apesar de ter sdo alcançado um valor dêntco para todos os solvers em relação à função lucro, o mesmo não aconteceu relatvamente à proposta de preço, nduzndo a exstênca de város pontos maxmzantes locas. Os valores obtdos para os nós de procura e de oferta também são bastante smlares para os dversos solvers, tal como é exposto nas Tabelas 3 e 4. Exstem determnados nós consumdores que pratcamente não recebem energa eléctrca. Isto poderá explcar-se pelo facto de não ser vável economcamente o transporte de energa para esses locas e também pela exstênca de grandes nós consumdores próxmos dos geradores que absorvem toda a energa produzda. No segumento deste problema, e como trabalho futuro, sera nteressante nvestgar, como funconara este mesmo mercado, caso este problema tvesse sdo codfcado como um jogo de Nash, ou seja, tentar encontrar um equlíbro, onde as duas empresas competssem ao mesmo nível. A prossecução da pesqusa de novas propredades e renovados solvers para a resolução de problemas MPCC é de grande nteresse, pos esta área da optmzação tem-se apresentado como uma mportante resposta para problemas reas, não só da engenhara como também na economa e na ecologa.

5 TABELA 3 RESULTADOS DOS NÓS DE PROCURA (Q D ) Nó Lancelot Loqo e e e e e e-15 Snopt e e e-13 0 Nó Lancelot 1.32e Loqo -1.4e e e e Snopt 0-2.3e e e e TABELA 4 RESULTADOS DOS NÓS DE OFERTA (Q S ) Nó Lancelot e-5 0 Loqo e-14 0 Snopt e-13 0 Referêncas [1] EC-2002, Second benchmarkng report on the mplementaton of the nternal electrcty and gas markets, Techncal Report 2, Comsson Staff Workng paper SEC, Outubro [2] Z.-Q. Luo, J.-S. Pang, e D. Ralph, Mathematcal Programs wth Equlbrum Constrants. Cambrdge Unversty Press, Cambrdge, [3] L.N. Vcente e P.H. Calama, Blevel and multlevel programmng: a bblography revew, Journal of Global Optmzaton, Vol. 5, pp , [4] M.C. Ferrs e F. Tn-Lo, On the soluton of a mnmum weght elastoplastc problem nvolvng dsplacement and complementarty constrants, Computer Methods n Appled Mechancs and Engneerng, Vol. 74, pp , [5] M.C. Ferrs e F. Tn-Lo, Lmt analyss of frctonal block assembles as a mathematcal program wth complementarty constrants, Internatonal Journal of Mechancal Scences, Vol. 43, pp , [6] B. F. Hobbs e F. A. M. Rjkers, Strategc generaton wth conjectured transmsson prce responses n a mxed transmsson prcng system, IEEE Transmssons on Power Systems, Vol. 19, No.2, pp , Mao [7] A. U. Raghunathan e L. T. Begler, Mathematcal programs wth equlbrum constrants (MPECs) n process engneerng, Techncal report, CMU Chemcal Engneerng, Novembro [8] J. F. Rodrgues, Obstacle Problems n Mathematcs Physcs. Elsever Publshng Company, Amsterdam, [9] R. Fletcher e S. Leyffer, Solvng mathematcal programs wth complementarty constrants as nonlnear programs, Optmzaton Methods and Software, Vol. 19, No. 1, pp.15-40, February [10] Z.-Q. Luo, J.-S- Pang e D. Ralph, Mathematcal Programs wth equlbrum constrants, Cambrdge Unversty Press, Cambrdge, [11] F. Facchne, H. Jang e L. Q, A smoothng method for mathematcal programs wth equlbrum constrants, Techncal Report AMR 96/15, Appled Mathematcs Report, unversty of New South Wales, [12] X. Lu e J. Sun, Generalzed statonarty ponts and an nteror-pont method for mathematcal programs wth equlbrum constrants, Mathematcal Programmng, Vol. 101, pp , [13]S. Leyffer, Complementarty constrants as nonlnear equatons: Theory and numercal experence, Techncal Report Preprnt ANL / MCS-P , Mathematcs and Computer Scence Dvson, Argonne Natonal Laboratory, June [14] H. Scheel e S. Scholtes, Mathematcal programs wth complementarty constrants: Statonarty, optmalty and senstvty, Mathematcs of Operatons Research, Vol. 25, pp.1-22, [15] S. Scholtes, Convergence propertes of a regularzaton scheme for mathematcal programs wth complementarty constrants, SIAM Journal Optmzaton, Vol. 11, No.4, pp , [16] F.C. Schweppe, M.C. Caramans, R. E. Tabors, e R. E. Bohn, Spot Prcng of Electrcty. Kluwer, Norwell, 1998.

6 [17] C.D. Wood e B.F. Wollenberg, Power Generaton, Operatonal and Control, J. Wley, New York, 2nd edton, [18] H.S. Rodrgues, Problema de Optmzação com Restrções de Complementardade: uma aplcação ao mercado de energa eléctrca, Tese de Mestrado. Unversdade do Mnho, [119] V. Krshna e V.C. Ramesh, Intellgent agents n negotatons n market games, part 2: Applcaton, IEEE Transactons on Power Systems, Vol. 13, No. 3, pp , Agosto [20] O. Alsac and B. Scott, Optmal load flow wth steadystate securty. IEEE Transactons on Power Systems, Vol. 3, No.3, pp , [21] R. Fourer, D. M. Gay e B. W. Kernghan, AMPL: A Modellng Language for MathematcalProgrammng, Duxburg Press, Massachusetts, [22] S. Leyffer. MacMPEC, webpage: leyffer/macmpec, [23] NEOS, webpage: www-neos.mcs.ang.gov/neos, [24] R.H. Byrd, J. Nocedal e R.A. Waltz, Kntro: an ntegrated package for nonlnear optmzaton n Large-Scale Nonlnear Optmzaton, G. d Pllo e M. Roma, edtors, 35-59, [25] R. J. Vanderbe, LOQO user's manual, verson Techncal Report ORFE-99, October Operatons Research and Fnancal Engneerng, Prnceton Unversty. [26] P. E. Gll, W. Murray e M. A. Saunders, SNOPT: an SQP algorthm for large-scale constraned optmzaton, Report SOL 97-3, Systems Optmzaton Laboratory, Stanford Unversty, 1997.