Teoria da Probabilidade e Processos Estocásticos Mestrado em Matemática Financeira

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1 Teoria da Probabilidade e Processos Estocásticos Mestrado em Matemática Financeira 5 de Janeiro 03 Época Normal - horas Resolva os seguintes exercícios, justificando cuidadosamente as suas respostas.. ( valor) Seja Ω = {i,s,e,g} e C = {{i,s,e},{s,e}}. Determineσ(C).. (6 valores) Seja X uma variável aleatória com função de distribuição 0 x<0 x F(x)= 0 x x> e seja Y = X.Calcule: (a) P( X 3 ). (b) P(X Y). (c) a função de distribuição de Z = X. 3. (3 valores) Seja ([0,[,B([0,[),P) o espaço de probabilidade onde P é a medida de Lebesgue restrita ao intervalo [0,[ e X,Y :[0,[ R as variáveis aleatórias, { X(ω)=ω ω 0 ω < e Y(ω)= ω ω <. Determine E(X Y).

2 4. (4 valores) Seja S n = X +X +...+X n o passeio aleatório onde X n {,} é uma sucessão de variáveis aleatórias IID tais que P(X n = ) = P(X n = ) =, n =,,...Supondoquek N: (a) Mostre que Z n =( ) n cos(π(s n +k)) éumamartingalarelativamente à filtração σ(x,...,x n ). (b) Calcule E(( ) τ ) onde τ éotempodeparagem τ =min{n : S n = k}. 5. (4 valores) Seja W = {W t : t 0} um processo de Wiener. Mostre que (a) W é estacionário em média, mas não tem covariâncias estacionárias. (b) Dados 0 s<tea Boreliano de R então, P(W t A W s = w)= p t s (x w)dx, onde p t (x)= πt e x t. 6. ( valores) Sejam (Ω,F,P) um espaço de probabilidade, (F n ) n uma filtração e τ um tempo de paragem relativamente a F n tal que para algum k N ealgumϵ > 0, Mostre que τ < P-q.c. P(τ n+k F n ) > ϵ, n =,,3,... A

3 Teoria da Probabilidade e Processos Estocásticos Mestrado em Matemática Financeira 3 de Janeiro 03 Época Recurso - horas Resolva os seguintes exercícios, justificando cuidadosamente as suas respostas.. ( valor) Seja (Ω,F,P) um espaço de probabilidade e A,A,A 3,... acontecimentos de F tais que P(A n )=para todo n =,,3,... Mostre que P ( n= A n)=.. (6 valores) Seja (X,X ) um vector aleatório bidimensional com a seguinte função de distribuição Determine: F(x,x )=( e x )( e x ), x,x > 0. (a) P( <X <, <X < 3) (b) A função de densidade de probabilidade conjunta f(x,x ). (c) Cov(X,X ) 3. (3 valores) Seja ([0,[,B([0,[),P) o espaço de probabilidade onde P é a medida de Lebesgue restrita ao intervalo [0,[ e X,Y :[0,[ R as variáveis aleatórias, { X(ω)=ω ω 0 ω < e Y(ω)= ω ω <. Determine E(X Y).

4 4. (4 valores) Seja (Ω, F,P) um espaço de probabilidade. Uma variável aleatória ξ : Ω {0,,,...} tem uma distribuição de Poisson com valor esperado µ>0 se Seja X 0 =0e P(ξ = k)= µk k! e µ, k=0,,,... X n = X n +ξ n, n=,,... onde (ξ n ) n é uma sucessão de variáveis aleatórias IID que seguem uma distribuição de Poisson com valor esperado µ>0. (a) Determine os valores de µ para os quais a sucessão (X n ) n é uma martingala, submartingala ou supermartingala relativamente àfiltraçãocanónicaf n = σ(ξ,...,ξ n ). (b) Suponha que µ>. Mostre que: i. Existe um único ρ ]0,[ tal que E(ρ ξ )=ρ. ii. A sucessão ρ Xn éumamartingalarelativamenteaf n econverge P-q.c. 5. (4 valores) Seja W = {W t : t 0} um processo de Wiener. Mostre que (a) E(e Wt )=e t/ para todo t 0. (b) se c>0 então { Wc t c é também um processo de Wiener. } : t 0 6. ( valores) Sejam X,X,... variáveis aleatórias IID tais que X n {,} para todo n =,,... Considere o tempo de paragem Determine E(τ). τ =min{n :X + +X n =}.

5 Universidade de Lisboa ISEG Departamento de Matemática M estrado em Matemática Financeira o Semestre 03/04 Teoria da Probabilidade e Processos Estocásticos EXAME ÉPOCA NORMAL 6 de Janeiro de 04 Duração do exame: horas Resolva os seguintes exercícios, justificando cuidadosamente as suas respostas.. ( valores) Seja Ω = {i,s,e,g} e C = {{i,s,e},{s,e}}. Determine σ(c).. (6 valores) Seja(X,Y) um vector aleatório bidimensional com a seguinte função de distribuição { e /x ( e y ), x,y > 0 F(x,y)= 0, caso contrário. Determine: (a) P( <X<, <Y<3) (b) A função de densidade de probabilidade conjunta de (X,Y). (c) Cov(X,Y)

6 3. (4 valores) Seja(X,Y) um vector aleatório bidimensional com a seguinte função de densidade conjunta, { λ e λy, 0 x y< f(x,y)= 0, caso contrário onde λ > 0. Determine: (a) A função de densidade condicional de Y dado X, f Y X (b) A esperança condicional E(Y X = x) 4. (4 valores) Sejam X,X,...variáveis aleatórias IID tais que X n = ± com probabilidade P(X n =)=p e P(X n = ) = q onde p q. Considere o passeio aleatório, e o tempo de paragem onde a,b > 0. S n = X +X +...+X n, τ =min{n :S n { a,b}}, (a) Mostre que a sucessão Z n =(q/p) Sn, n =,,... é uma martingala relativamente à filtração σ(x,...,x n ). (b) Calcule a probabilidade P(S τ = b). 5. (4 valores) Seja W = {W t : t 0} um processo de Wiener. Mostre que (a) W é estacionário em média, mas não tem covariâncias estacionárias. (b) Dados 0 s<tea Boreliano de R então, P(W t A W s = w)= p t s (x w)dx, onde p t (x)= πt e x t. A

7 o (Ω,F,P) A,A,A 3,... P(A n )= n =,,3,... ( P n= A n ) =. (X,Y) f(x,y)= { xye (x +y ), x,y > 0 0,. P(X>Y) (X,Y) Cov(X,Y)

8 (X,Y) f(x,y)= { xe x(y+), x,y 0 0, E(Y X = x) f Y X S n = X +X +...+X n X n {,} P(X n = ) = P(X n = ) = n =,,... k N Z n =( ) n cos(π(s n +k)) σ(x,...,x n ) E(( ) τ ) E(e Wt )=e t/ τ τ =min{n : S n = k}. W = {W t : t 0} 0 s<t A R P(W t A W s = w)= p t (x)= πt e x t A p t s (x w)dx,

9 Universidade de Lisboa ISEG Departamento de Matemática M estrado em Matemática Financeira o Semestre 04/05 Teoria da Probabilidade e Processos Estocásticos EXAME ÉPOCA NORMAL 5 de Janeiro de 05 Duração do exame: horas Resolva os seguintes exercícios, justificando cuidadosamente as suas respostas. Entregue a resolução de cada parte em folhas separadas. PARTE I. Seja Ω = {0,,} e C = {{0}}. Determine: (a) σ(c). ( valor) (b) Todas as σ-álgebras que contêm a colecção C. ( valor). Seja (X, F) um espaço mensurável e f: X [0, ] uma função mensurável. Mostre que { a, se f(x) >a f a (x)= f(x), caso contrário. é uma função mensurável para todo a 0. ( valores) 3. Indique para que valores de α R é a função f(x)=x α integrável em E relativamente à medida de Lebesgue quando: (a) E =(0,). ( valor) (b) E =(,+ ). ( valor)

10 PARTE II Numa fábrica produz-se sumo de fruta. A venda diária (em milhares de litros) é representada por uma v.a. contínua X com função densidade αx, <x<3 f(x)= α(6 x), 3 x<4 0, c.c.. Calcule α. ( valor). Nos dias em que as vendas são superiores a mil litros, qual a probabilidade de se venderem entre e 3.5 mil litros? ( valor) 3. Com o preço por litro fixado em 0.50 euros, determine a função de distribuição da receita diária supondo que a fábrica tem uma capacidade de produção ilimitada. ( valores) 4. A fábrica também vende polpa de fruta para a indústria alimentar. A venda diária deste produto (em toneladas) é uma v.a. contínua Y, conhecendo-se a função densidade conjunta f (X,Y) (x,y)= { 3 3 yf(x), 0 <y< ( y)f(x), y. Indique o valor esperado de venda de sumo (em milhares de litros) para uma venda diária de 0.5 toneladas de polpa. ( valores)

11 PARTE III. Seja S n = X +X +...+X n o passeio aleatório onde X n {,} é uma sucessão de variáveis aleatórias IID tais que P(X n =)=P(X n = ) =, n =,,... Supondo que k N: (a) Mostre que Z n =( ) n cos(π(s n +k)) é uma martingala relativamente à filtração canónica σ(x,...,x n ). ( valores) (b) O que pode dizer acerca da convergência da martingala Z n? ( valor) (c) Mostre que τ =min{n : S n = k}, é um tempo de paragem relativamente à filtração canónica. Determine E(τ). ( valor) (d) Calcule E(( ) τ ) onde τ é o tempo de paragem da alínea anterior. ( valor). Seja (X n ) n uma martingala relativamente à filtração canónica F n = σ(x,...,x n ). Mostre que se(η n ) n uma sucessão de variáveis aleatórias tal que η n é F n -mensurável, então a sucessão (Z n ) n definida, Z n = n η k (X k X k ), n=,,... k= é uma martingala relativamente a F n. ( valores) 3

12 Universidade de Lisboa ISEG Departamento de Matemática M estrado em Matemática Financeira o Semestre 04/05 Teoria da Probabilidade e Processos Estocásticos EXAME ÉPOCA RECURSO 9 de Janeiro de 05 Duração do exame: horas Resolva os seguintes exercícios, justificando cuidadosamente as suas respostas. Entregue a resolução de cada parte em folhas separadas. PARTE I. Seja (X,F,µ) um espaço de medida e A e B dois conjuntos mensuráveis. Mostre que µ(a B)+µ(A B)=µ(A)+µ(B). ( valores). Seja (X,F) um espaço mensurável e f,g : X [0, ] duas funções mensuráveis. Mostre que a função { f(x), se f(x) g(x) h(x)= 0, caso contrário. é uma função mensurável. ( valores) 3. Considere a seguinte função de distribuição 0, se x< +x, se x<0 F(x)= +x, se 0 x< 9, se x e seja µ a medida de Lebesgue-Stieltjes associada a F. Determine: (a) µ([ /, 3[). ( valor) (b) µ(],0] ],[). ( valor)

13 PARTE II Numa fábrica produz-se carros. A probabilidade de um carro ter um defeito é de %. Os carros são verificados de forma independente à medida que são produzidos. Desta forma, a função de distribuição da v.a. discreta X que indica a ordem do primeiro carro defeituoso é F(x)= 0.99 x, x N.. Qual a probabilidade de se verificarem mais de 50 carros até se encontrar um defeituoso, sabendo que os primeiros 00 não apresentam defeitos? ( valores). Sabendo que custa 0 euros verificar cada carro, calcule quanto se gasta em média até ser detectado um defeito. (Recorde que n ncn = ( c) para c <.) ( valores) 3. Considere uma segunda fábrica independente e com probabilidade de um carro ser defeituoso de 5%. Determine a função de distribuição conjunta das v.a. que indicam a ordem do primeiro carro defeituoso de cada fábrica. ( valores)

14 PARTE III. Seja (X n ) n uma sucessão de variáveis aleatórias IID tais que P(X n = ) = P(X n = ) = /. Considere o passeio aleatório S n = X + + X n e suponha que a evolução do preço Z n de um certo activo financeiro é dada por Z n = e µn+σsn, n=,,... onde µ R e σ > 0. (a) Determine µ dependendo de σ tal que Z n é uma martingala, submartingala ou supermartingala relativamente à filtração canónica F n = σ(x,...,x n ). ( valores) (b) Supondo que Z n é uma martingala: i. Calcule E(Z n ). ( valor) ii. Mostre que Z n converge P-q.c. e determine o seu limite. ( valores). Seja W = {W t : t 0} um processo de Wiener e 0 s<t. (a) Determine a densidade de probabilidade condicionada de W t dado W s. ( valor) (b) Determine se um processo de Wiener tem covariâncias estacionárias. ( valores) 3

15 University of Lisbon ISEG Departament of Mathematics Probability Theory and Stochastic Processes EXAM January 5, 06 Time limit: hours Each question:.5 points () Consider a set Ω,afunctionf: Ω! Ω and F = {A Ω: f (A)=A}. (a) Show that (Ω,F)isameasurablespace. (b) Consider a measure µ on (Ω,F)andA,B F disjoint sets. Find Z X A fdµ, f (B) where X A is the indicator function for the set A. () Compute Z lim p e t/n dt. n + 0 t (3) Given a sequence of i.i.d. random variables X,X... with uniform distribution on [0, ], determine p n X...X n with probability. lim n +

16 (4) Let (Ω,B,m)beaprobabilityspace,whereΩ =[0,], B is the Borel σ-algebra of Ω and m is the Lebesgue measure on Ω. Given the random variables X(ω)=ωand ω, 0 ω Y(ω)= ω, < ω, compute E(X Y). (5) On the finite state space S = {,,...,a} consider a homogeneous Markov chain X n on S with probabilities P(X = j X 0 = i)=,j= i,j= i+or(i,j)=(a,). (a) Classifythestatesofthechainanddeterminetheirperiods. (b) If possible, find the stationary distributions and the mean recurrence time of each state. (6) Let (Ω,F,P) be a probability space and F n afiltration.suppose that (X n,f n )and(y n,f n )aremartingalesandt is a stopping time with respect to F n and X T = Y T. Is X n,n<t Z n = Y n, n T amartingalewithrespecttof n?

17 University of Lisbon ISEG Departament of Mathematics Probability Theory and Stochastic Processes EXAM February, 06 Time limit: hours Each question:.5 points () Let (Ω,F,P)beaprobabilityspace. (a) Let A,B F. If P(A)=,findP(B) P(B A). (b) Consider a random variable X that can only take two values a,b R. Write σ(x). (c) Consider a function g: Ω R and σ-algebras F F F such that g is F -mensurable. Is g also F -mensurable? () Compute Z n lim n + 0 sin(e x )e nx dx (3) Consider a homogeneous Markov chain with transition matrix given by P = (a) Classifythestatesofthechainanddeterminetheirperiods. (b) If possible, find the stationary distributions and the mean recurrence time of each state.

18 (4) Let (Ω,F,P)beaprobabilityspaceandX,X,... asequence of iid random variables with distribution P(X n =)= and P(X n = ) =. Consider the stopping time τ =min{n N: X n =} with respect to the filtration σ(x,...,x n ). (a) Decide if X τ n is a martingale, where τ n =min{τ,n}. (b) Let S n = P n i= i X i. Compute E(S τ ).

19 University of Lisbon ISEG Departament of Mathematics Probability Theory and Stochastic Processes EXAM January 8, 07 Time limit: hours Each question:.5 points () Consider the probability space (R,P,δ a ), where δ a is the Dirac measure on R at a =, and a random variable X(x)= p x. (a) Find the distribution and characteristic functions of X. (b) Write an example of a random variable Y with the same distribution of X. () Foreachn NconsiderarandomvariableX n withdistribution function 8 >< 0, x 0 F n (x)= nx, 0 <x n >:, x>. n Find the limit in distribution of X n as n +. (3) Consider a homogeneous Markov chain with transition matrix given by P = (a) Classify the states of the chain. (b) Determine the period of each state. (c) If possible, find the stationary distributions and the mean recurrence time of each state.

20 (4) Let (Ω,F,P)beaprobabilityspaceandX,X,... asequence of iid random variables with distribution P(X n =)= and P(X n = ) =. Consider the stopping time τ =min{n N: X n =} with respect to the filtration σ(x,...,x n ). (a) Decide if X τ n is a martingale, where τ n =min{τ,n}. (b) Let S n = P n i= i X i.computee(s τ ).

21 University of Lisbon ISEG Departament of Mathematics Probability Theory and Stochastic Processes EXAM February 3, 07 Time limit: hours Each question:.5 points () Consider the probability space (R,B,m), where m is the Lebesgue measure on [0,], and the random variable X(x)=x. (a) Find the distribution and characteristic functions of X. (b) Write an example of a random variable Y with the same distribution of X. () Let δ a be the Dirac measure on R at a.considerthesequences and a n = ( )n, n N. µ n = n nx δ ai, n N. i= Show that µ n is a probability measure for each n N and compute Z lim n + X {0} dµ n where X {0} is the indicator function at 0. (3) Consider a homogeneous Markov chain with transition matrix given by P = (a) Classify the states of the chain. (b) Determine the period of each state.

22 (c) If possible, find the stationary distributions and the mean recurrence time of each state. (4) Let (Ω,F,P)beaprobabilityspaceandX,X,... asequence of iid random variables with distribution P(X n =)= 3, P(X n = ) = 3. Consider the sum nx S n = X i. i= (a) Determine if Y n = Sn is a martingale with respect to the filtration F n = σ(x,...,x n ). (b) Let τ be the stopping time given by τ =min{n :S n {,}}. Compute the expected value of Y τ,theprobabilityofy τ = /4andtheprobabilityofS τ =.

23 University of Lisbon ISEG Departament of Mathematics Probability Theory and Stochastic Processes EXAM January 7, 08 Time limit: hours Each question:.5 points () Consider the probability space ([0,],B([0,]),P), where P(A) = xdx, A B([0,]), A and the random variable X(x) = x. (a) Find the distribution of X and its characteristic function. (b) Write an example of a random variable Y with the same distribution of X. () Given a R, consider the Dirac measure on R:, a A δ a (A) = 0, a A for any A R, and µ = (δ +δ ) (a) Show that µ = (δ +δ ) is a probability measure and that f dµ = ( ) f dδ + f dδ for any function f: R R. (b) Compute the expected value of X(x) = /x with respect to µ.

24 (3) Consider a homogeneous Markov chain with states {,,3,4} and transition matrix T = (a) Classify the states of the chain and determine their periods. (b) If possible, find the stationary distributions and the mean recurrence time of each state. (c) Compute lim P(X n = X 0 = ). n + (4) LetX n beamartingalewithrespecttothefiltrationf n andτ is a stopping time. Determine E(X τ n ), where τ n = min{τ,n}.

25 University of Lisbon ISEG Departament of Mathematics Probability Theory and Stochastic Processes EXAM February, 08 Time limit: hours Each question:.5 points () (a) Let Ω be an infinite set and A the collection of all finite subsets of Ω. Is A a σ-algebra? (b) Let Ω be any set and A = {{x}: x Ω}. Determine the σ-algebra generated by A. () Let (Ω,F,P) be a probability space and X,Y independent random variables. Show that: (a) E(XY) = E(X)E(Y). (b) Var(X +Y) = Var(X)+Var(Y). (3) Consider a homogeneous Markov chain with states {,,3,4} and transition matrix T = (a) Classify the states of the chain and determine their periods. (b) If possible, find the stationary distributions and the mean recurrence time of each state. (c) Compute lim P(X n = X 0 = ). n + (4) LetX n beamartingalewithrespecttothefiltrationf n andτ is a stopping time. Determine E(X τ n ), where τ n = min{τ,n}.