VALDIR FILHO MATEMÁTICA. 1ª Edição ABR 2016

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1 VALDIR FILHO MATEMÁTICA TEORIA 179 QUESTÕES DE PROVAS DE CONCURSOS GABARITADAS EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Teoria e Seleção das Questões: Prof. Valdir Filho Coordeação e Orgaização: Mariae dos Reis 1ª Edição ABR 016 TODOS OS DIREITOS RESERVADOS. É vedada a reprodução total ou parcial deste material, por qualquer meio ou processo. A violação de direitos autorais é puível como crime, com pea de prisão e multa (art. 18 e parágrafos do Código Peal), cojutamete com busca e apreesão e ideizações diversas (arts. 101 a 110 da Lei º 9.610, de 19/0/98 Lei dos Direitos Autorais). (67)

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3 SUMÁRIO 1. CONJUNTOS NUMÉRICOS: Números Naturais, Iteiros, Racioais (fracioários e decimais) e Reais. Operações e Propriedades... 0 Questões de Provas de Cocursos NÚMEROS E GRANDEZAS PROPORCIONAIS: Razões e Proporções. Divisão Proporcioal. Regras de Três Simples e Composta... Questões de Provas de Cocursos PORCENTAGEM E DESCONTOS... 8 Questões de Provas de Cocursos.... JUROS... 6 Questões de Provas de Cocursos SISTEMAS DE MEDIDAS: Área, Volume, Massa, Capacidade e Tempo. Sistema Moetário Brasileiro... 6 Questões de Provas de Cocursos FUNÇÕES ALGÉBRICAS Questões de Provas de Cocursos EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES: de 1º e º graus... 8 Questões de Provas de Cocursos ANÁLISE COMBINATÓRIA: Arrajos, Permutações, Combiações Questões de Provas de Cocursos PROBABILIDADE Questões de Provas de Cocursos TABELAS FINANCEIRAS UTILIZÁVEIS NA SOLUÇÃO DOS PROBLEMAS DE MATEMÁTICA GABARITOS

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5 MATEMÁTICA 1 CONJUNTOS NUMÉRICOS: Números Naturais, Iteiros, Racioais (fracioários e decimais) e Reais. Operações e Propriedades. NÚMEROS NATURAIS E NÚMEROS RELATIVOS INTEIROS, OPERAÇÕES E PROPRIEDADES Os cojutos uméricos foram surgido a partir da ecessidade do homem de apresetar resultados para algumas operações matemáticas. Iicialmete era preciso cotar quatidades, criado-se assim o cojuto dos úmeros aturais: N { 0,1,,,...}. Cohecedo-se o cojuto dos úmeros aturais como seria possível a operação ( )? Para torar sempre possível a subtração, foi criado o cojuto dos úmeros iteiros relativos: Z {..-, -, -1, 0, +1, +, +, } Represetação dos úmeros iteiros a reta umérica Vamos traçar uma reta e marcar o poto 0 (origem), em que está o úmero real zero. À direta do poto 0, com uma certa uidade de medida, assialaremos os potos que correspodem aos úmeros positivos e à esquerda de 0, com a mesma uidade, assialaremos os potos que correspodem aos úmeros egativos. Notas: 1. Os úmeros iteiros positivos podem ser idicados sem o sial de +. Ex.: O zero ão é positivo em egativo. Todo úmero iteiro possui um atecessor e um sucessor. Exs.: + é o sucessor de + -6 é o atecessor de -. O valor absoluto ou módulo de um úmero iteiro é a distâcia desse úmero à origem. Exs.:

6 Números opostos ou simétricos Na reta umerada, os úmeros opostos estão a uma mesma distâcia do zero. Observe que cada úmero iteiro, positivo ou egativo, tem um correspodete com sial diferete. Exs.: O oposto de +1 é -1. O oposto de - é +. O oposto de +9 é -9. O oposto de - é +. O oposto de zero é o próprio zero. Comparação de úmeros iteiros Observado-se a represetação gráfica dos úmeros iteiros a reta. Dados dois úmeros quaisquer, o que está à direita é o maior deles, e o que está à esquerda, o meor deles. a) -1 > -, porque -1 está à direita de -. b) + > -, porque + está a direita de - c) - meor -, porque - está à esquerda de -. d) - meor +1, porque - está à esquerda de +1. Operações com úmeros iteiros 1. Adição a) Adição de úmeros iteiros positivos A soma de dois úmeros iteiros positivos é um úmero positivo. a) (+) + (+) +7 b) (+1) + (+) + c) (+6) + (+) +9 Simplificado a maeira de escrever a) b) c) Observe que escrevemos a soma dos úmeros iteiros sem colocar o sial + da adição e elimiamos os parêteses das parcelas. 6

7 b) Adição de úmeros iteiros egativos A soma de dois úmeros iteiros egativos é um úmero egativo a) (-) + (-) - b) (-1) + (-1) - c) (-7) + (-) -9 Simplificado a maeira de escrever a) - - b) c) -7-9 Observe que podemos simplificar a maeira de escrever deixado de colocar o sial de + a operação e elimiado os parêteses das parcelas. c) Adição de úmeros com siais diferetes A soma de dois úmeros iteiros de siais diferetes é obtida subtraido-se os valores absolutos, dado-se o sial do úmero que tiver maior valor absoluto. a) (+6) + (-1) + b) (+) + (-) - c) (-10) + (+) -7 Simplificado a maeira de escrever a) b) + - c) Quado as parcelas são úmeros opostos, a soma é igual a zero. Exemplos a) (+) + (-) 0 b) (-8) + (+8) 0 c) (+1) + (-1) 0 Simplificado a maeira de escrever a) + 0 b) c) Para obter a soma de três ou mais úmeros adicioamos os dois primeiros e, em seguida, adicioamos esse resultado com o terceiro, e assim por diate. a) b)

8 Propriedades da adição 1) Fechameto: a soma de dois úmeros iteiros é sempre um úmero iteiro. Ex.: (-) + (+7) ( +) ) Comutativa: a ordem das parcelas ão altera a soma. Ex.: (+) + (-) (-) + (+) ) Elemeto eutro: o úmero zero é o elemeto eutro da adição. Ex.: (+8) (+8) +8 ) Associativa: a adição de três úmeros iteiros, podemos associar os dois primeiros ou os dois últimos, sem que isso altere o resultado. Ex.: [(+8) + (-) ] + (+) (+8) + [(-) + (+)] ) Elemeto oposto: qualquer úmero iteiro admite um simétrico ou oposto.. Subtração Ex.: (+7) + (-7) 0 A operação de subtração é uma operação iversa à operação da adição. a) (+8) (+) (+8) + (-) + b) (-6) (+9) (-6) + (-9) -1 c) (+) (-) ( +) + (+) +7 Notas: 1) Para subtrairmos dois úmeros relativos, basta que adicioemos ao primeiro o oposto do segudo. ) A subtração o cojuto Z tem apeas a propriedade do fechameto (a subtração é sempre possível) Elimiação de parêteses 1) Parêteses precedidos pelo sial positivo (+) Ao elimiarmos os parêteses e o sial positivo (+) que os precede, devemos coservar os siais dos úmeros cotidos esses parêteses. a) + (- + ) - + b) + ( + 7) + -7 ) Parêteses precedidos pelo sial egativo (-) Ao elimiarmos os parêteses e o sial de egativo (-) que os precede, devemos trocar os siais dos úmeros cotidos esses parêteses.. Multiplicação a) -( + ) b) -( ) c) -(+8) (-) d) -(+) (+) - -6 e) (+10) (-) (+) a) Multiplicação de dois úmeros de siais iguais Observe os exemplos: a) (+). (+) +10 b) (+). (+7) +1 c) (-). (-) +10 d) (-). (-7) +1 Coclusão: Se os fatores tiverem siais iguais o produto é positivo. 8

9 b) Multiplicação de dois úmeros de siais diferetes Observe os exemplos: a) (+). (-) -6 b) (-). (+) -0 c) (+6). (-) -0 d) (-1). (+7) -7 Coclusão: Se dois produtos tiverem siais diferetes o produto é egativo. Regra prática dos siais a multiplicação SINAIS IGUAIS: O RESULTADO É POSITIVO (+) a) (+). (+) (+) b) (-). (-) (+) SINAIS DIFERENTES: O RESULTADO É NEGATIVO (-) a) (+). (-) (-) b) (-). (+) (-) c) Multiplicação com mais de dois úmeros Multiplicamos o primeiro úmero pelo segudo, o produto obtido pelo terceiro e assim sucessivamete, até o último fator. a) (+). (-). (+) (-6). (+) -0 b) (-). (-). (-). (-6) (+1). (-). (-6) (-60). (-6) +60 Propriedades da multiplicação. Divisão 1) Fechameto: o produto de dois úmeros iteiros é sempre um úmero iteiro. Ex.: (+). (-) (-10) ) Comutativa: a ordem dos fatores ão altera o produto. Ex.: (-). (+) (+). (-) ) Elemeto Neutro: o úmero +1 é o elemeto eutro da multiplicação. Ex.: (-6). (+1) (+1). (-6) -6 ) Associativa: a multiplicação de três úmeros iteiros, podemos associar os dois primeiros ou os dois últimos, sem que isso altere o resultado. Ex.: (-). [(+). (-) ] [ (-). (+) ]. (-) ) Distributiva Ex.: (-). [(-) +(+)] (-). (-) + (-). (+) A divisão é a operação iversa da multiplicação Observe: a) (+1) : (+) (+), porque (+). (+) +1 b) (-1) : (-) (+), porque (+). (-) -1 c) (+1) : (-) (-), porque (-). (-) +1 d) (-1) : (+) (-), porque (-). (+) -1 9

10 Regra prática dos siais a divisão As regras de siais a divisão é igual a da multiplicação: SINAIS IGUAIS: O RESULTADO É POSITIVO (+) a) (+) : (+) (+) b) (-) : (-) (+) SINAIS DIFERENTES: O RESULTADO É NEGATIVO (-) a) (+) : (-) (-) b) (-) : (+) (-) NÚMEROS FRACIONÁRIOS, OPERAÇÕES E PROPRIEDADES Cohecedo-se o cojuto dos úmeros iteiros como seria possível a operação (:10)? Para torar sempre possível a divisão, foi criado o cojuto dos Números Racioais, formado por todos os úmeros que podem ser escritos a forma de fração, são eles: 10 1) Iteiros: ; ) Decimais exatos: 1 0, ; 1 ) Dízimas periódicas: 0,... FRAÇÕES As frações são úmeros represetados a forma y x ; ;. 6 8 O úmero x é o umerador da fração e y o deomiador. Para que uma fração exista é ecessário que o deomiador seja diferete de zero ( y 0 ). Leitura de uma fração Algumas frações recebem omes especiais: 1/ um quarto 1/6 um sexto 1/8 um oitavo / dois quitos 1/1000 um milésimo 7/100 sete cetésimos 1/11 um oze avos 7/10 sete ceto e vite avos /1 quatro treze avos 10

11 Classificação das Frações Quato à classificação a fração pode ser: a) REDUTÍVEL: É quado a fração admite simplificação. Isso ocorre se o umerador e o deomiador forem divisíveis por um mesmo úmero. Ex.: a fração 8 tato o umerador quato o deomiador são úmeros divisíveis por. Assim, podemos escrever que 1. 8 b) IRREDUTÍVEL: É quado a fração ão admite simplificação. 7 Ex.: A fração é uma fração que ão admite simplificação. 6 c) APARENTE: É quado o umerador é múltiplo do deomiador. 10 Ex.:. d) PRÓPRIA: É uma fração irredutível que possui umerador meor que o deomiador. 7 Ex.:. 6 e) IMPRÓPRIA: É uma fração irredutível que possui umerador maior ou igual ao deomiador. Exs.: 6 6 ;. 7 6 f) EQUIVALENTE: Quado duas frações represetam uma mesma parte do iteiro, são cosideradas equivaletes. Ex.: 8 é uma fração equivalete à 1, pois ambas represetam metade de um iteiro. Número Misto Toda fração imprópria, que ão seja aparete, pode ser represetada por uma parte iteira seguida de uma parte fracioada. Ex.: 6 6, ou seja, represeta partes iteiras mais a fração própria Processo Repetimos o deomiador 7 da fração imprópria; Dividimos o úmero 6 por sete para obtermos a parte iteira ; Colocamos como umerador da fração própria o resto da divisão obtida etre 6 e 7. Operações etre Frações 1. Redução de Frações ao Meor Deomiador Comum Para reduzirmos duas ou mais frações ao meor deomiador comum, devemos determiar o m.m.c dos deomiadores, dividir o m.m.c ecotrado pelos deomiadores e, o resultado dessa divisão, multiplicar pelos umeradores. Ex.: Reduzir as frações e 6 ao meor deomiador. Processo:, ,

12 . Comparação etre Frações 1 caso: Deomiadores iguais Dadas duas ou mais frações com o mesmo deomiador, a maior dessas frações será aquela que tiver maior umerador. Ex.: Comparado as frações ; caso: Deomiadores diferetes 7 ; 1 teremos: 1 7 < < ou 7 1 > >. Para compararmos duas ou mais frações que possuam deomiadores diferetes, reduzimos as frações ao meor deomiador comum e procedemos de acordo com o 1 caso. Ex.: Compare as frações ; 7 ; 6 1. Processo: ; ; ; ; Como > > temos que caso: Numeradores iguais > >. Dadas duas ou mais frações com o mesmo umerador, a maior dessas frações será aquela que tiver meor deomiador. Ex.: Comparado as frações. Adição e Subtração ; ; 7 teremos 1 caso: Adição ou subtração com deomiadores iguais > > ou 7 7 < <. Para adicioar ou subtrair frações com deomiadores iguais, basta coservar o deomiador comum e adicioar ou subtrair os umeradores. Ex.: caso: Adição ou subtração com deomiadores diferetes Para adicioar ou subtrair frações com deomiadores diferetes, basta reduzirmos as frações ao meor deomiador comum e procedermos como o primeiro caso. Ex.: Multiplicação e Divisão 1 caso: Multiplicação Para multiplicar duas ou mais frações, basta dividirmos o produto dos umeradores pelo produto dos deomiadores. Ex.:

13 Observação: Sempre que possível, devemos fazer a simplificação dos umeradores com os deomiadores, ates de efetuarmos o produto. Essa simplificação pode ser feita com umerador e deomiador da mesma fração ou etão com umerador de uma fração e deomiador de outra. Etão, a operação aterior, teríamos: 9 / / caso: Divisão 1 Para dividir uma fração por outra, basta multiplicar a primeira pelo iverso da seguda. Exemplo: FRAÇÃO DECIMAL É toda fração cujo deomiador é uma potêcia de 10 com expoete ão ulo (10, 100, 1000 ) a) 10 7 ; b) ; c) NÚMEROS DECIMAIS EXATOS As frações decimais podem ser escritas a forma de úmeros decimais exatos. 7 a) 0,7; 10 b) 0,0; c) 0, Nos úmeros decimais exatos, a vírgula separa a parte iteira da parte decimal. Leitura de um úmero decimal exato Para ler um, úmero decimal, procedemos do seguite modo: 1 ) Lê -se a parte iteira ) Lê-se a parte decimal, seguida da palavra: décimos se houver uma casa decimal. cetésimos se houver duas casas decimais. milésimos se houver três casas decimais. a), (cico iteiros e três décimos). b) 1, (um iteiro e trita e quatro cetésimos). c) 1,007 (doze iteiros e sete milésimos). 1

14 Se a parte iteira for igual a zero, lê-se apeas a parte decimal. a) 0, lê-se quatro décimos. b) 0,8 lê-se trita e oito cetésimos. Trasformação de fração decimal em úmero decimal Escrevemos o umerador e cotamos da direita para a esquerda tatas casas quato são os zeros do deomiador para colocarmos a vírgula a), 10 1 b) 1, c) 0, Quado a quatidade de algarismos do umerador ão for suficiete para colocar a vírgula, acrescetamos zeros à esquerda do úmero. 9 a) 0, b) ,007 Trasformação de úmero decimal em fração decimal O umerador será o úmero decimal sem a vírgula, e o deomiador é o úmero 1 acompahado de tatos zeros quatos forem os algarismos do úmero decimal depois da vírgula. 7 a) 0, b) 8, 100 c) 0, Operações com úmeros decimais 1. Adição e Subtração Colocamos vírgula debaixo de vírgula e operamos como se fossem úmeros aturais. a),6 +,19,6,19 + 7,8 b) 8,,61 8,,61,81 1

15 Se o úmero de casas depois da vírgula for diferete, igualamos com zeros à direita a), ,,70,00 + 0, 8,1 b),,,0, 1,67. Multiplicação de úmeros decimais 1 caso: Multiplicação Multiplicamos os úmeros decimais como se fossem úmeros aturais. O úmeros de casas decimais do produto é igual à soma do úmero de casas decimais dos fatores. a),6 x,,6 x, 7,87 b) 0,7 x 0,00 x0,7 0,00 0,00081 Na multiplicação de um úmero decimal por uma potêcia de 10 (10, 100, 1000,...), basta deslocar a vírgula para a direita uma quatidade de casas equivaletes ao úmero de zeros da potêcia de dez. a),78 x 10 7,8 b),78 x , c),78 x d) 0,098 x 100 9,8 caso: Divisão Igualamos as casas decimais do dividedo e do divisor e dividimos como se fossem úmeros aturais. a) 17,68 : 7, Igualado-se as casas decimais, teremos: 1768 : 70, b) 1,7 : Igualado-se as casas decimais, teremos: 17 : 00,09 1

16 DÍZIMAS Na divisão de um úmero decimal por uma potêcia de 10 (10, 100, 1000,...), basta deslocar a vírgula para a esquerda uma quatidade de casas equivaletes ao úmero de zeros da potêcia de dez. a) 79, : 10 7,9 b) 79, : 100,79 c) 79, : ,79 d), ; ,0 São úmeros que possuem ifiitas casas decimais. 1 0,... 1,... 1, ,1... ; π, Os úmeros ; ; ; ; π são deomiados geratriz das dízimas apresetadas acima Dízimas ão periódicas As dízimas ão periódicas ou aperiódicas são aquelas que ão possuem período defiido. Dos exemplos citados acima é possível verificar que e π geram dízimas ão periódicas. Dízimas periódicas As dízimas periódicas são aquelas que possuem período defiido. Dos exemplos citados ateriormete é possível verificar que ; ; geram dízimas periódicas Observações: 1) Todos os radicais iexatos geram dízimas aperiódicas; ) Período é o úmero que se repete após a vírgula, a dízima periódica; ) Dízimas periódicas simples são aquelas que apresetam o período logo após a vírgula; ) Dízimas periódicas compostas são aquelas que apresetam parte ão periódica (úmero que aparece etre a vírgula e o período); ) O úmero que aparece à esquerda da vírgula é deomiado parte iteira. Represetação e omeclatura Cosidere a dízima periódica 1,... 1,() Etão, 1, 1 é a parte iteira é a parte ão periódica é o período 16

17 Obteção da geratriz da dízima periódica 1º caso: Dízima periódica simples sem a parte iteira O umerador da geratriz é formado pelo úmero que forma o período e, o deomiador, por uma quatidade de oves que correspode à quatidade de algarismos que o período possui. Exemplo: 0, ,() 0, º caso: Dízima periódica simples com a parte iteira O umerador da geratriz é formado pela parte iteira seguida da periódica, meos a parte iteira. O deomiador é formado por uma quatidade de oves que correspode à quatidade de algarismos que o período possui. Exemplo: 1, ,() 1, º caso: Dízima periódica composta sem a parte iteira O umerador da geratriz é formado pela parte ão periódica seguida da periódica, meos a parte ão periódica. O deomiador é formado por uma quatidade de oves que correspode à quatidade de algarismos que o período possui, seguido de uma quatidade de zeros que correspode à quatidade de algarismos que a parte ão periódica possui. Exemplo: 0, ,(6) 0, 6 º caso: Dízima periódica composta com a parte iteira O umerador é formado pela parte iteira seguida da parte ão periódica e periódica, meos a parte iteira seguida da parte ão periódica. O deomiador é formado por uma quatidade de oves que correspode à quatidade de algarismos que o período possui, seguido de uma quatidade de zeros que correspode à quatidade de algarismos que a parte ão periódica possui. Exemplo:, ,(6), 6 Em cálculos que aparecem dízimas periódicas devemos trasformá-las em frações, ates de efetuarmos as operações. 17

18 MÚLTIPLOS E DIVISORES, MÁXIMO DIVISOR COMUM E MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM DIVISÃO EUCLIDIANA Numa divisão Euclidiaa é possível idetificar o dividedo, divisor, quociete e o resto. Dividedo divisor resto quociete Podemos relacioar o Dividedo (D), o quociete (Q), o divisor (d) e o resto (R) através de uma equação. Assim, D Q. d + R Observações: 1. O meor resto possível é zero;. O maior resto possível é uma uidade meor que o quociete;. 0 resto < quociete;. Cosidere dois úmeros A e B. Dizemos que A é divisível por B quado o resto da divisão for zero. MÚLTIPLOS E DIVISORES DE UM NÚMERO NATURAL Cosidere a operação. 10. Nesta operação podemos verificar que: e são divisores do úmero 10 e são fatores do úmero é múltiplo dos úmeros e 10 é divisível por e NÚMEROS PRIMOS Um úmero atural diferete de zero e 1 será primo se, e somete se, for divisível por 1 e por ele mesmo. Ou seja, quado o úmero possuir apeas dois divisores aturais. Ex.: Os úmeros {,,,7,11,1,17,19,,...} são algus dos ifiitos úmeros primos. Observações: 1. O úmero é o úico par que é primo.. Os úmeros {,6,8,9,10,1,1,1,16,18,0,1,,...} são cosiderados úmeros compostos. Esses úmeros podem ser escritos em fução de uma multiplicação etre úmeros primos. Podemos tomar como exemplo o úmero 6 que pode ser escrito em fução dos primos e, pois, 6.. OBTENÇÃO DO MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (M.M.C.) 1. Através da decomposição simultâea Em algus casos o método utilizado acima se tora trabalhoso. O m.m.c. de dois ou mais úmeros aturais pode ser ecotrado através da decomposição simultâea dos úmeros dados. Ex.: Ecotre o m.m.c dos úmeros 10 e 8. 10, 8 60, 0, 1 1, 1, 7 1, 7 7 1, 1 m.m.c.(10, 8) O m.m.c.(10, 8) é obtido através do produto etre os fatores primos ecotrados através da decomposição simultâea dos úmeros 10 e 8. 18

19 . Através da decomposição simples O m.m.c também pode ser obtido através da decomposição particular de cada um dos úmeros dados. Ex.: Ecotre o m.m.c dos úmeros 10 e O m.m.c.(10, 8) é dado pela multiplicação dos fatores primos comus e ão comus, com maior expoete possível. Logo, m.m.c.(10, 8) Nas decomposições acima se pode observar que e são fatores primos comus e que e 7 são fatores primos ão comus. PROBLEMAS ENVOLVENDO M.M.C. O m.m.c pode ser utilizado a resolução de problemas que evolve fatos ou feômeos cíclicos ou repetitivos. Exemplos Resolvidos: 1. Dois ciclistas saem jutos, o mesmo istate e o mesmo setido, do mesmo poto de partida de uma pista circular. O primeiro dá uma volta em 1 segudos e o outro em 10 segudos. Calcule os miutos que levarão para se ecotrar ovamete. a) 1.0 b) 1 c) 10 d) 60 e) Resolução: Temos aí um clássico problema de m.m.c. O primeiro ciclista dá uma volta em 1 segudos. O segudo ciclista dá uma volta em 10 segudos. Existiu uma coicidêcia. A próxima coicidêcia ocorrerá o m.m.c. etre 1 e m.m.c.(1, 10) segudos. A questão pediu a resposta em miutos. Como 1 miuto correspode a 60 segudos, para obtermos a resposta em miutos basta dividirmos 1.0 por segudos segudos miutos 0 Logo a alterativa correta é a letra "e". 19

20 . (PUC SP) Numa liha de produção, certo tipo de mauteção é feita a máquia A a cada dias, a máquia B, a cada dias, e a máquia C, a cada 6 dias. Se o dia de dezembro foi feita a mauteção as três máquias, após quatos dias as máquias receberão mauteção o mesmo dia. Resolução: Temos que determiar o m.m.c etre os úmeros, e 6.,, 6,,, 1, 1, 1, 1 m.m.c.(,, 6)... 1 Dessa forma, cocluímos que após 1 dias, a mauteção será feita as três máquias. Portato, dia 1 de dezembro.. Um médico, ao prescrever uma receita, determia que três medicametos sejam igeridos pelo paciete de acordo com a seguite escala de horários: remédio A, de em horas, remédio B, de em horas e remédio C, de 6 em 6 horas. Caso o paciete utilize os três remédios às 8 horas da mahã, qual será o próximo horário de igestão dos mesmos? Resolução: Calcular o m.m.c. dos úmeros, e 6.,, 6 1,, 1, 1, 1 m.m.c.(,, 6).. 6 O míimo múltiplo comum dos úmeros,, 6 é igual a 6. De 6 em 6 horas os três remédios serão igeridos jutos. Portato, o próximo horário será às 1 horas. OBTENÇÃO DO MÁXIMO DIVISOR COMUM (M.D.C.) 1. Através da decomposição simples O m.d.c. também pode ser obtido através da decomposição particular de cada um dos úmeros dados. Ex.: Ecotre o m.d.c. dos úmeros 10 e 8. Como vimos ateriormete: 10.. e O m.d.c. (10, 8) é dado pela multiplicação dos fatores primos comus, com meor expoete possível. Logo, m.d.c.(10, 8). 1.. Através do método das divisões sucessivas O método das divisões sucessivas será utilizado para obteção do m.d.c. de apeas dois úmeros aturais. O método é utilizado da seguite forma: 1) Divide-se o maior úmero pelo meor. ) Divide-se o divisor pelo resto obtido a primeira divisão. ) Repete-se o mesmo procedimeto até que se ecotre um resto zero. ) O m.d.c. será o divisor obtido quado se tem resto zero. ) Cosidere dois úmeros aturais A e B, ode A é múltiplo de B. Neste caso, pode-se afirmar que m.m.c.(a,b) A e, como B é divisor de A, o m.d.c.(a,b) B. 6) Dados dois úmeros aturais A e B se pode afirmar que: m.m.c.(a,b). m.d.c.(a,b) A.B. 0

21 NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI Dois ou mais úmeros aturais são primos etre si quado a decomposição desses úmeros ão apresetarem fatores primos comus. Ex.: Cosidere os úmeros e 1. Como. e 1.7, os mesmos ão apresetam fatores comus e, portato, são primos etre si. Observações: 1. O m.d.c. de dois ou mais úmeros primos etre si é 1.. O m.m.c. de dois ou mais úmeros primos etre si é o produto desses úmeros.. Dois úmeros aturais cosecutivos sempre serão primos etre si. PROBLEMAS ENVOLVENDO M.D.C. Exemplos Resolvidos: 1. Uma idústria de tecidos fabrica retalhos de mesmo comprimeto. Após realizarem os cortes ecessários, verificou-se que duas peças restates tiham as seguites medidas: 16 cetímetros e cetímetros. O gerete de produção ao ser iformado das medidas, deu a ordem para que o fucioário cortasse o pao em partes iguais e de maior comprimeto possível. Como ele poderá resolver essa situação? Resolução: Devemos ecotrar o m.d.c. etre 16 e, esse valor correspoderá à medida do comprimeto desejado m.d.c.(16, ) Portato, os retalhos podem ter 78 cm de comprimeto.. Uma empresa de logística é composta de três áreas: admiistrativa, operacioal e vededores. A área admiistrativa é composta de 0 fucioários, a operacioal de 8 e a de vededores com 6 pessoas. Ao fial do ao, a empresa realiza uma itegração etre as três áreas, de modo que todos os fucioários participem ativamete. As equipes devem coter o mesmo úmero de fucioários com o maior úmero possível. Determie quatos fucioários devem participar de cada equipe e o úmero possível de equipes. Resolução: Determiado o úmero total de fucioários de cada equipe: Ecotrar o m.d.c. etre os úmeros 8, 6 e

22 Decomposição em fatores primos: m.d.c.(8, 6, 0). 6 Determiado o úmero total de equipes: : 6 19 equipes O úmero de equipes será igual a 19, com 6 participates cada uma.. Um comerciate quer distribuir 60 larajas, 7 maças, 8 peras e 6 magas etre várias sacolas, de modo que cada uma recebesse o mesmo e o maior úmero possível de uma espécie de fruta. Qual o úmero total de sacolas obtidas? Resolução: Determiado o úmero total de frutas de cada sacola: Ecotrar o m.d.c. etre os úmeros 60, 7, 8 e Decomposição em fatores primos: m.d.c.(60, 7, 8, 6).. 1 Determiado o úmero total de sacolas: : 1 18 sacolas O úmero de sacolas será igual a 18, com 1 frutas cada uma. NÚMEROS REAIS O diagrama abaixo represeta de forma simplificada o cojuto dos úmeros reais: N: Naturais Z: Iteiros Q: Racioais I: Irracioais R: Reais

23 CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS (N): O cojuto dos Números Naturais é represetado por N {0,1,,,,,...}. N * {1,,,,,...} represeta o cojuto dos Números Naturais ão ulos. CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS (Z): O cojuto dos Números Iteiros é represetado por Z {...,-,-,-1,0,1,,,,...}. Notas: Z * {...,-,-,-1,1,,,,...} represeta o cojuto dos Números Iteiros ão ulos. Z * + {1,,,,...} represeta o cojutos dos Números Iteiros Positivos que equivale ao cojuto dos Números Naturais ão ulos. Z+ {0,1,,,,...} represeta o cojuto dos Números Iteiros ão egativos que é equivalete ao cojuto dos Números Naturais. Z * - {...,-,-,-,-1} represeta o cojuto dos Números Iteiros Negativos. Z- {...,-,-,-1,0} represeta o cojuto dos Números Iteiros ão positivos. CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS (Q): O cojuto dos Números Racioais é obtido através da uião dos Números Iteiros e as frações ão aparetes positivas e egativas. Assim, todo Número Racioal pode ser escrito a forma a/b, com a Z, b Z e b 0. Ex.: {-,-/,-1,-1/,1/,...} De acordo com os exemplos é possível otar que os Números Racioais podem gerar úmeros decimais exatos (-/ -1,) ou úmeros decimais periódicos (1/ 0,...). CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS (I): Número Irracioal é todo úmero que está ou pode ser escrito a forma decimal ifiita e ão-periódica. Um dos úmeros irracioais mais cohecidos é o π, que se obtém dividido o comprimeto de uma circuferêcia pelo seu diâmetro (π,119...). As raízes quadradas ão exatas de úmeros aturais também são úmeros irracioais ( 1, ). CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS (R): O cojuto dos Números Reais é dado pela uião dos cojutos de Números Racioais e Irracioais. CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS (C): A raiz de um radical de ídice par e radicado egativo é impossível em R, pois, por exemplo, ão existe úmero real que, elevado ao quadrado, dê um úmero egativo. Exemplo: ão é um Número Real; é um Número Complexo. POTENCIAÇÃO Cosidere dois úmeros aturais x e, com > 1. Deomiamos potêcia de base x elevada ao expoete, o úmero x que é o produto de fatores iguais a x. Assim, x x.x.x.x... x fatores Ex... 1

24 Notas: Numa potêcia de base for egativa, se o expoete for par o resultado será positivo e, se o expoete for ímpar, teremos um resultado egativo. Exs.: ( - ) 16 e ( - ) - 8 Para elevar uma fração a um expoete, elevam-se o umerador e o deomiador da fração a esse expoete: x x y y Ex.: Defiições 1.1. Número elevado ao expoete ulo Por defiição temos x 0 1, desde que x 0. Exs.: ( 6) Idetermiado 1.. Número elevado ao expoete uitário Por defiição temos Exs.: 1 1 ( ) x 1 x. 1.. Potêcia de expoete iteiro egativo Por defiição temos x x x x. Exs.: / zero egativo / (ão existe solução)

25 . Propriedades.1. Produto de potêcias com bases iguais Devemos coservar a base e somar os expoetes: + Exs.: 1 + x x m x + m Os expoetes permaecem com os mesmos siais durate a operação... Divisão de potêcias com bases iguais Devemos coservar a base e subtrair os expoetes: 1 Exs.: ( ) x x m x m O sial do expoete do deomiador muda durate a operação... Potêcia de uma potêcia m Devemos coservar a base e multiplicar os expoetes: ( x ) x Ex.: ( ) 6 8 Em algumas expressões podemos ter uma potêcia de ordem superior: ( ) m x m x 81 Ex.: Veja que a resolução é feita de cima para baixo, ou seja, primeiro resolvemos... Potêcia de um produto ou divisão ( x y) x y m Ex.: RADICIAÇÃO A radiciação é uma operação matemática oposta à poteciação (ou expoeciação). Para um úmero real a, a expressão a represeta o úico úmero real x que verifica x a e tem o mesmo sial que a (quado existe). Assim temos: a x x a ode: a: radicado : ídice do radical ( N / 1) x: raiz -ésima de a : radical

26 Quado é omitido, sigifica que é igual a e o símbolo de radical refere-se à raiz quadrada. Ex.: 6 8, pois Propriedades Para a e b positivos tem-se: 1.1. Radical de um produto a b a b Ex.: Radical de um quociete a b a b Ex.:. 1.. Radical de uma potêcia Devemos coservar a base e dividir o expoete da potêcia pelo ídice da raiz. m a m a Ex.:. 1.. Radical de outro radical m a m a Ex.: 1. Racioalização de deomiadores Processo pelo qual se trasforma uma fração em outra cujo deomiador ão tem radicais. a) X b X b X b X b. b b b b b) c) X a m m X a X a. m m a a a X a + b X ( a + b) m a b ( a b) X ( a b) a b. Observação: (a + b) (a b) a b 6

27 EXPRESSÕES NUMÉRICAS Para resolvermos as expressões uméricas, devemos seguir a seguite seqüêcia de operações: 1. As potêcias e as raízes;. Os produtos e os quocietes, a ordem em que aparecem (esquerda para a direita);. As somas e as difereças, em qualquer ordem;. Nas expressões que apresetarem parêteses, colchetes e chaves, devemos começar pelas expressões eles cotidas, a partir do mais itero (parêteses). Exemplos Resolvidos: 1. Ecotre o valor da expressão umérica: 1+[(x6-)-(10-6:)+1] Resolução: 1+[(.6-)-(10-6:)+1] 1+[(18-)-(10-)+1] 1+[16-7+1] 1+[9+1] Ecotre o valor da expressão umérica: [( 16 : ). ]:.( 9 ) Resolução: [( 16 : ). ]:.( 9 ) [(:).9]:.(9-8) [.9]:.1 18: Ecotre o valor da expressão umérica: [( 10 1) : ( + : )] Resolução: ) [( 10 1 : ( + : )] [(10-) :(+8:)] [ :(+)] [:] 7

28 . Ecotre o valor da expressão umérica: Resolução: QUESTÕES DE PROVAS DE CONCURSOS 1. [Assist. Serv. Saúde II.-(Aux. Serv. Saúde)-SES-MS/011-Fud. Escola Gov.].(Q.) Os úmeros decimais represetados por A 0,6; B 0,6; C 0,7 e D 0,00 quado colocados em ordem decrescete assumem as seguites posições: a) C, A, D e B b) D, C, A e B c) B, A, D e C d) A, D, C e B e) C, D, A e B 1. [Assist. Adm. II-(NM)-(M)-PMCG-MS/01-FAPEC].(Q.7) O úmero racioal é etre: 00 a) 0,01 e 0,0. b) 0,0 e 0,0. c) 0,0 e 0,0. d) 0,0 e 0,06. e) 0,0 e 0,0. Cosiderado o úmero decimal ifiito, , respoda as questões e seguites:. [Assist. Adm. II-(NM)-(M)-PMCG-MS/008-FADEMS].(Q.8) Qual é a represetação fracioaria do úmero? a) 9 7 b) 9 c) d) 7 e) 7 8

29 . [Assist. Adm. II-(NM)-(M)-PMCG-MS/008-FADEMS].(Q.9) Qual é o valor da raiz quadrada de? a) 1,... b) 1,... c) 1,... d) 1, e) 1, [Oficial-PM-MS/01-Fud. Escola Gov.].(Q.6) Todos os úmeros decimais e dízimas periódicas podem ser escritos a forma b a, com a Z e b z*, o que defie um úmero racioal. Se b a é a mais simples fração geratriz do úmero N 1, ,..., etão a b é um úmero: a) par. b) múltiplo de. c) divisível por 7. d) múltiplo de 11. e) primo. 6. [Aux. Jud. I-(Ap. Oper.)-(NM)-(V)-TJ-MS/009-FADEMS].(Q.16) Se o úmero N a) N 1 b) N c) N,9 d) N 9, e) N 0, 0, 81 etão o valor de N é 7. [Técico Metrológico-(Admiistração)-(NS)-(T)-SAD-AEMS-MS/01-FAPEC].(Q.7) Cosiderado as propriedades da poteciação, pode-se afirmar que a metade do úmero 0 (dois elevado a trita) é: a) 1 b) 1 c) d) 8 e) 9 8. [Téc. Adm.-(NM)-(M)-SAD-SEJUSP-DETRAN-MS/01-FAPEC]. (Q.9) O valor da expressão a) 10 b) 1 c) 16 d) 18 e) é: 9. [Assist. Serv. Saúde II.-(Aux. Serv. Saúde)-SES-MS/011-Fud. Escola Gov.].(Q.7) Na expressão umérica 0 + x o valor de x pode ser expresso por: a) 0 b) ² c) 0.² d) ³ e) - 9

30 10. (Moitor de Aluos-PMCG-SEMAD-MS/011-FAPEC).(Q.) Qual é o valor da expressão umérica a seguir? a) 8 b) 6 c) d) e) [Agete Metrológico-(NM)-(T)-SAD-AEM-MS/01-FAPEC]. (Q.1) Utilizado as propriedades da Poteciação e Radiciação pode-se afirmar que o valor da expressão E é igual a: a) 0 b) 0 c) 0 d) 06 e) [Aux. Jud. I-(Ap. Oper.)-(NM)-(M)-TJ-MS/009-FADEMS]. (Q.16) Se o úmero N 0, 16 etão é correto afirmar. a) N 0,0 b) N 0, c) N 0,8 d) N 0,08 e) N 0, (Moitor de Aluos-PMCG-SEMAD-MS/011-FAPEC).(Q.1) Se o úmero N , etão é correto afirmar que: a) N 18 b) N 16 c) N 1 d) N 10 e) N 8 1. [Téc.-Adm. Educação-(Auxiliar em Admiistração)-(Classe C)-(NM)-(T)-UFMS/01-COPEVE].(Q.16) Observe a sequêcia de raízes: 9 7, 89 67, , , A sequêcia acima permite que se coclua, corretamete, que a soma de todos os algarismos da raiz quadrada de é igual a a) 9. b) 61. c) 67. d) 76. e)

31 GABARITOS (179 QUESTÕES) 1 CONJUNTOS NUMÉRICOS: Números Naturais, Iteiros, Racioais (fracioários e decimais) e Reais. Operações e Propriedades C E A D A B E D D A A B E B A C D E C B B D E NÚMEROS E GRANDEZAS PROPORCIONAIS: Razões e Proporções. Divisão Proporcioal. Regras de Três Simples e Composta C B A E D B C E B B C C E D D E B E D C E E C E A B A A B B B A C PORCENTAGEM E DESCONTOS D B D A B C E C B B A C C E D B JUROS B B E C A D B E SISTEMAS DE MEDIDAS: Área, Volume, Massa, Capacidade e Tempo. Sistema Moetário Brasileiro E C C C A D B D E E E C C C B E C B B A A B C A D 6 FUNÇÕES ALGÉBRICAS B D A E A E A E B C A A E A C A E D D A 106

32 7 EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES: de 1º e º graus B B E D E A E E B D D C A C C C B E B C B E B B E B E C C E A E A A C A B 8 ANÁLISE COMBINATÓRIA: Arrajos, Permutações, Combiações B C D E D A A 9 PROBABILIDADE B C D D A D A D D A 107