O PROCESSO DE DETECÇÃO DE BORDAS DE CANNY: FUNDAMENTOS, ALGORITMOS E AVALIAÇÃO EXPERIMENTAL

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "O PROCESSO DE DETECÇÃO DE BORDAS DE CANNY: FUNDAMENTOS, ALGORITMOS E AVALIAÇÃO EXPERIMENTAL"

Transcrição

1 Aais do Simpósio Brasileiro de Geomática, Presidete Prudete - SP, 9-13 de julho de. p O PROCESSO DE DETECÇÃO DE BORDAS DE CANNY: FUNDAMENTOS, ALGORITMOS E AVALIAÇÃO EXPERIMENTAL GIOVANE MAIA DO VALE ALUIR PORFÍRIO DAL POZ Uiversidade Estadual Paulista - Uesp Faculdade de Ciêcias e Tecologia - FCT Departameto de Cartograia, Presidete Prudete - SP {gmvale, RESUMO: Este artigo descreve e discute os udametos teóricos e os aspectos algorítmico e computacioal do processo de detecção de bordas de Cay. Baseia-se em dois critérios básicos de desempeho, i.e., os critérios de detecção e localização. Estes dois critérios estão sujeitos aida a um terceiro, cohecido como ijução de resposta múltipla, que orça o processo detecção a detectar uma úica borda ode eiste somete uma borda verdadeira. O pricipal objetivo do trabalho de Cay é o desevolvimeto de um detector ótimo para o tipo de bordas mais comum em images digitais, i.e., as bordas tipo degrau. Um das pricipais costatações de Cay é que o operador ótimo ecotrado é muito semelhate à ução gerada pela primeira derivada da ução Gaussiaa. Em complemeto a este operador, são também propostos um processo cohecido como supressão ão máima, que tem por ução pricipal o aiameto das bordas, e um outro processo cohecido como histerese e que se baseia uma dupla limiarização, cuja ução é a de elimiar a ragmetação das bordas causada pelo ruído da imagem. Este trabalho apreseta, além dos aspectos teóricos e computacioais acima mecioados, também algus resultados eperimetais obtidos com images sitéticas e reais. ABSTRACT: This paper describes ad discusses the theoretical udametals ad the computatioal ad algorithmic aspects o the Cay edge detectio process. It is based o two basic perormace criteria, i.e., the detectio ad localizatio criteria. Both criteria must be still uder a third oe, which is kow as the multiple respose costrait ad eorces the edge detectio process to detect sigle edge where there is oly oe true edge. The major goal o Cay work is the developmet o a optimal detector or the most commo edge occurrece i digital images, i.e., the step edges. Oe o most importat idig o Cay is that the optimal operator oud is very similar to the irst derivative o the gaussia uctio. I complemet to this operator, it is proposed two processes that are kow as the omaimum suppressio ad the hysteresis. The goal o the omaimum suppressio is the edge thiig, which allows the detected edges to be oe-piel width. The hysteresis is based o a double thresholdig ad its goal is to elimiate edge ragmetatio due to the image oisy. This paper also presets, i additio to the theoretical ad computatioal aspects above metioed, some eperimetal results obtaied with sythetic ad real images. 1 INTRODUÇÃO As bordas costituem iormação de alta reqüêcia e ecerram propriedades sigiicativas de uma imagem. Estas propriedades icluem descotiuidades otométricas, geométricas e as características ísicas dos objetos. Tais propriedades do objeto são passadas à imagem pois, variações pertietes ao objeto ocasioam variações os tos de ciza da imagem. Para que se obteha resultados acurados os passos subsequetes à detecção das bordas, é ecessário que esta detecção seja eiciete e coiável. A im de que as variações dos tos de ciza sejam detectadas (bordas) é ecessário diereciar a imagem. Quado a imagem é diereciada, as variações dos íveis de ciza são detectadas e, por coseqüêcia, detecta-se também o ruído, que é uma orma idesejável de variação. Para que as bordas espúrias ão sejam etão detectadas, deve-se suavizar a imagem ates da detecção. Cotudo, eistem eeitos ioportuos ligados à suavização, i. e., perda de iormação e deslocameto de estruturas de eições proemietes o plao da imagem. Além disso, eistem diereças etre as propriedades dos operadores diereciais comumete utilizados, o que ocasioa bordas dieretes. Logo, é diícil ormular um algoritmo de detecção de bordas que possua um bom desempeho em diereciados cotetos e capture os requisitos ecessários aos estágios subsequetes de processameto (Ziou e Tabboe, 1997). Cosequetemete, o tocate ao processameto de imagem digital, uma variedade de

2 Aais do Simpósio Brasileiro de Geomática, Presidete Prudete - SP, 9-13 de julho de. detetores de bordas tem sido desevolvidos visado dieretes propósitos, com ormulações matemáticas diereciadas e com propriedades algorítmicas distitas. Com base os problemas acima mecioados, Cay (1986), desevolveu um processo de detecção de bordas a partir de critérios de quatiicação de desempeho de operadores de bordas cohecidos como: critério de detecção e critério de localização. Estes critérios de desempeho aida estão sujeitos ao critério de resposta múltipla, que correspode ao ato de que deve haver, a saída do operador, uma úica resposta para uma úica borda. Para que os critérios sejam aproimadamete atedidos, Cay aproima o operador ótimo, obtido a partir dos três critérios de desempeho, pela primeira derivada da ução Gaussiaa. Em complemeto a este operador, oi proposto um processo chamado supressão ão máima (supressão de valores de piels que ão orem máimos locais a direção trasversal à borda), que causaria um aiameto da borda, atededo à ijução de resposta múltipla, e uma limiarização adaptativa (histerese) com complemetação de bordas, para elimiar a ragmetação dos cotoros das bordas. Este trabalho tem por motivação a discussão de aspectos teóricos e computacioais do processo de detecção de bordas de Cay. A seção apreseta a deiição e o desevolvimeto dos critérios de desempeho. A dedução do iltro ótimo a partir dos critérios de desempeho, é apresetada a seção 3. A justiicativa da aproimação do iltro ótimo pela primeira derivada da ução Gaussiaa ecotra-se a seção 4. Na seção 5 ecotram-se aspectos pertietes à estimação do ruído e limiarização. A seguir, a seção 7 são apresetados os aspectos algorítmico e computacioal. As cosiderações iais são apresetadas a seção 8. CRITÉRIOS DE DESEMPENHO Dada sua importâcia, os detetores de borda (step edge detectors) azem parte de muitos sistemas de visão computacioal. Suas aplicações são icotáveis e uma de suas pricipais características é a de reduzir drasticamete a quatidade de dados a serem processados, preservado iormações estruturais importates sobre a roteira dos objetos. Qualquer que seja o detetor e a técica evolvida, é ecessário que este ateda à três critérios básicos (Cay, 1986), a saber: 1) Taa de Erro: (SNR) sial/ruído, este critério eqüivale a maimizar a razão sial/ruído. Maimizar a razão sial/ruído implica em miimizar o ruído. ) Localização: Potos de borda devem estar bem localizados, isto é a distâcia etre os potos etraídos pelo detetor e o "cetro" verdadeiro da borda deve ser miimizada. 3) Resposta: O detetor de borda ão deve idetiicar múltiplos piels de borda ode eiste um úico, ou seja, deve-se obter uma úica resposta para uma úica borda. Este critério está implicitamete cotido o 1º critério pois quado ocorrem duas respostas para uma mesma borda, etão, uma deverá ser cosiderada alsa. Cotudo, a ormulação matemática do 1º critério ão egloba ecessariamete a questão de resposta múltipla, sedo ecessário eplicitá-la..1 Detecção e Localização Teoricamete estabelecidas as metas de desempeho de um detetor de bordas, o que se quer agora é sitetizá-las matematicamete de modo a se torarem uma errameta aplicável. Sem perda de geeralidade, os siais serão trabalhados de orma uidimesioal, pois o comportameto das bordas é aálogo para o caso bidimesioal, eceto o caso da ocorrêcia de quias. A iltragem de uma borda ruidosa com o iltro da igura 1a) (operador diereça), dá origem a um sial iltrado que apreseta muitos máimos locais (serrilhameto). Porém, quado a borda é iltrada com o iltro mostrado a igura 1b), o que se obtém é um sial iltrado mais suave (Cay, 1986). a) b) () g() As bordas que ocorrem a imagem ão devem ser coudidas e ão se deve detectar bordas alsas, ou seja, o detetor deveria ter baia probabilidade de: Falhar ao detectar potos de borda verdadeiros; detectar, alsamete, potos ão pertecetes à borda. Visto que ambas as probabilidades são uções mootoicamete decrescetes, em ução da razão Figura 1 Filtros diereciais Em seu trabalho, Cay (1986) eplicita que as bordas devem ser cosideradas como um máimo local o resultado da iltragem (igura ). Por este motivo, o iltro da igura 1a) ão tem desempeho tão bom quado comparado ao iltro da igura 1b), pois o sial resultate da iltragem é "serrilhado", podedo apresetar mais de um máimo as adjacêcias da borda.

3 Aais do Simpósio Brasileiro de Geomática, Presidete Prudete - SP, 9-13 de julho de. G() H G () epressa como H () + H G (). Se esta resposta total tem um máimo em, etão: H' ( ) + H' G ( ) = (4) Figura - Ilustração da borda G() como máimo local a saída do operador (H G ()) Serão abordadas iicialmete as questões relativas à razão sial/ruído e à localização. Seja () a resposta de impulso do iltro e G() a borda. Assumi-se que a borda está cetrada em =. Etão, a resposta de impulso do iltro para esta borda, em relação ao seu cetro, é dada pela covolução: Lembrado que a Série de Taylor é dada por: h h h () = ( ) + '( ) + '' ( )+...+ ( )+.. 1!!! ode h = -, com R. Logo, a epasão de Taylor de H' G ( ), em relação à origem (Mac-Lauri), é dada por: = G H G( ) () d (1) assumido que o iltro tem resposta de impulso iito o itervalo [-, ] com <, ou seja, o suporte do iltro (cojuto de potos do domíio ode a ução ão se aula) é compacto (Limitado e Fechado) (Gomes, 1994). O erro médio quadrático da resposta para o ruído () somete, será: H { E[ ()* ()] } 1 = = () d () ode ² é a amplitude do ruído médio quadrático por uidade de comprimeto, ou seja, ² é o quadrado da quatização do ruído (Lim, 199). Deii-se etão o primeiro critério como o resultado da razão sial/ruído, epresso pelo quociete das respostas acima descritas: 1 G( ) SNR = (3) H' G ( ) = H' G () + H'' G () + O( ) (5) Notar que: H' G ( ) = H' G () + ( - )/ 1! H'' G () + O( ) (6) Como H' G () = o primeiro termo da epasão (eq. 5) é igorado. Além disso, como é pequeo, igora-se os termos quadrático e de ordem superior. Assim, das equações 4 e 5, tem-se: Pois: H'' G () - H' ( ) (7) H' G ( ) H'' G () E, substituido a equação acima a equação 4: H' ( ) + H'' G () Na equação 3, acima, pode-se perceber que se o deomiador, que é o erro médio quadrático da resposta para o ruído somete, teder à zero, SNR aumetará, isto é, se o ruído a imagem or próimo de zero a detecção será tato melhor. Dessa orma percebe-se que a orma matemática sitetiza bem a oção ituitiva. Como as bordas estão cetradas em =, a ausêcia do ruído deveria haver este poto um máimo local, para a resposta. Sedo esta represetada por H G (), etão H' G () =. Se H () é a resposta do iltro para o ruído somete, etão a resposta total pode ser H' ( ) é uma quatidade radômica Gaussiaa e segudo Cay (1986) sua variâcia é dada por: E[H' ( )²] = ' () d (8) ode E[y] é o valor esperado de y (esperaça de y). Combiado este resultado com a equação 7 (substituido H' G ( ) por H'' G ()), tem-se:

4 Aais do Simpósio Brasileiro de Geomática, Presidete Prudete - SP, 9-13 de julho de. E[ ' ] = δ (9) G'( ) ' Pela desigualdade de Schwarz, acima descrita, para itegrais, mostra-se que SNR é limitado superiormete por: 1 G ( ) d (1) ode δ é uma aproimação para o desvio padrão de. Fialmete, a localização é deiida como o iverso de δ, isto é: G'( ) ' Localizaçã o = (1) ' As equações 3 e 1 são as órmulas matemáticas para o primeiro e o segudo critérios e reduzem o problema de projeto do iltro à maimização de ambas as órmulas, simultaeamete. A im de que isso ocorra, maimiza-se o produto da primeira equação pela seguda. Por equato será usado o produto dos critérios para bordas arbitrárias, isto é, se buscará maimizar: G( ) G'( ) ' ' (11) Esta equação deve possuir uma ijução adicioal a solução, pois, até aqui, ehuma deiição sobre a elimiação de respostas múltiplas oi descrita matematicamete. Tal problema será eplicitado a próima seção.. Elimiação de Respostas Múltiplas Ao se estabelecer o problema de detecção de bordas, oi especiicado que as bordas deveriam ser detectadas como máimos locais a resposta de um iltro liear aplicado à imagem. Os critérios de detecção até aqui itroduzidos medem a eicácia do iltro a discrimiação etre o sial e o ruído o cetro da borda. Porém tais critérios ão levam em cosideração o comportameto as proimidades da borda. Como poderá ser visto a seguir, o primeiro e o segudo critérios podem ser trivialmete maimizados. Seja k e h duas uções reais itegráveis em [a, b], etão a desigualdade de Schwarz para itegrais é dada por: b b b k().h() d [k()] d. [h()] d a a a E o limite superior para a Localização: 1 G ' ( ) d (13) Se ambos os limites são atedidos, etão o produto de SNR pela localização é maimizado quado () = G(-) para [-, ]. Assim, de acordo com os dois primeiros critérios, o detetor ótimo de bordas tipo degrau deve possuir também a orma de um degrau, como o operador diereça. Como este operador possui uma bada muito larga, sua aplicação, gera, devido ao ruído, respostas com muitos máimos, gerado muitos máimos alsos de borda. Como oi visto ateriormete a iltragem com operadores diereça apreseta iúmeros picos (serrilhado), as adjacêcias da borda verdadeira, diicultado ou impossibilitado a seleção de um úico poto de borda. É ecessário adicioar aos critérios um quesito que diga que a ução ão terá muitas respostas para uma úica borda a vizihaça do degrau. É ates ecessário limitar o úmero de picos a resposta, de modo que haja baia probabilidade de serem detectadas mais que uma borda. O ideal seria azer a distâcia etre os picos a resposta do ruído se aproimar à largura da resposta do operador para um úico degrau de borda. Esta largura seria uma ração da largura do operador. A distâcia etre máimos adjacetes a resposta de devido ao ruído, deotado por ma, será o dobro de zc, que é a distâcia média etre potos críticos desta resposta, ou seja: ode, zc é dado por: zc ma = zc (14) 1 + ' =π (15) + " Pode-se, etão, aproimar a distâcia ma para alguma ração k da largura do operador: ma ( ) = k (16)

5 Aais do Simpósio Brasileiro de Geomática, Presidete Prudete - SP, 9-13 de julho de. A epressão 15 represeta a ijução de resposta múltipla. Note que o úmero ótimo de k seria o que proporcioasse apeas um máimo para a região de resposta do iltro. Sedo a largura da região ode se cocetra o suporte do iltro, o úmero de máimos (N ) da resposta devido ao ruído é dado por: N = = (17) k k = ma Como A é uma costate positiva, pode-se retirá-la da itegral e do módulo e, como também u 1 () é ulo para <, a equação pode ser rescrita como: A SNR = () + Lembrado que k é o úmero que estabelece a distâcia etre máimos a região de suporte do operador, veriica-se que quato mais próimo de zero k estiver, maior será o úmero máimos devido ao ruído. É iteressate otar que a distâcia etre máimos varia a mesma proporção com que a largura do operador é escaloado. Para tato, supor que é obtido escaloado por um ator de escala, i. e., () = ( ). Substituido esta epressão a equação 14, tem-se que ma ( ) = ma ( ), visto que se está lidado com um espaço de uções. Assumido agora que o suporte do iltro é [-, ], tem-se que o suporte de é escaloado por, i. e., o suporte de é [-, ]. Portato, as larguras de suporte de e são, respectivamete, e ( ). Fica etão provado que a distâcia etre máimos e a largura do operador são escaloadas pelo ator de escala. Outra costatação importate é que o úmero de máimos o itervalo de suporte de é ivariate em relação ao escaloameto de. De ato, o úmero de máimos N ( ) para é a razão etre a largura de suporte de (i. e., ()) e o itervalo etre máimos para (i.e., ma ()), i. e., N ( ) = () / ma () = / ma (). Este é eatamete o úmero de máimos para. 3 UM DETETOR PARA BORDAS (STEP EDGES) Uma borda tipo degrau pode ser epressa matematicamete por G() = A u 1 (), ode A é a amplitude da borda e u 1 () é dada por:, para < u 1 () = (18) 1, para E substituido G() a equação 3: Au 1( ) SNR = (19) Substituido G() a equação 1: + A (u 1( ))'. ' Localizaçã o= (1) + ' Como u 1 () varia muito abruptamete em =, logo (u 1 (-))', isto é (u 1 ())' = - δ (), sedo δ () o delta de Dirac (Butkov, 1968). Pode-se etão rescrever a equação 1 como: A Localização = + [ δ()] ' = + ' A '() + ' () O umerador da Localização possui tal orma pois, pela propriedade de iltragem da ução δ (), tem-se (Butkov, 1968): + δ( ) h() d = h() ode h() é uma ução cotíua qualquer. (3) Quado se toma h () = '(), chega-se ao umerador da equação. Ambos os critérios melhoram diretamete com a razão A/, que pode ser chamada razão sial/ruído da imagem. Agora, remove-se esta depedêcia da imagem e deie-se duas medidas de desempeho Σ e Λ, as quais depedem somete do iltro: A SNR = ( ) ode ( ) = (4) +

6 Aais do Simpósio Brasileiro de Geomática, Presidete Prudete - SP, 9-13 de julho de. A '() Localizaçã o = Λ( ') ode Λ( ') = (5) ' + Supor agora que seja um iltro escaloado espacialmete, costruído a partir de, ode () = ( ), com >1 sedo um ator de escala. Notar que se o itervalo de suporte de é [-, ], etão o itervalo correspodete para é [-, ]. Isso sigiica que as larguras de suporte de impulso de e são respectivamete e (). Pode-se dizer etão que é um iltro estreito e um iltro mais largo. Quado se substitui as equações (4) e (5), obtémse as uções de desempeho do iltro escaloado: 1 ( ) = Σ( ) e Λ( ' ) = Λ( ') (6) A solução obtida a partir da maimização da epressão 7 é uma classe de uções, todas relacioadas ao logo do espaço-escala. Ecotrar a ução que maimize a equação 7 é um trabalho bastate compleo, que evolve o uso de cálculo variacioal. A aplicação desta técica aida requer que a equação 6 seja rearrajada através da técica dos multiplicadores de Lagrage, que possibilita a obteção de uma orma passível de ser, posteriormete, trasormada a equação dierecial de 4ª ordem de Euler-Lagrage. A solução geral para a equação de Euler-Lagrage o semi-itervalo de suporte orma: () = a e + a α 1 α 4e α se ω + a e cos ω + c [-, ] tem a seguite cos ω + a e α 3 se ω + (8) ode a1, a, a 3, a 4, α, ω e c são as icógitas a determiar. A ução 8 está sujeita às seguites codições de cotoro: A primeira destas equações mostra que um iltro com larga resposta de impulso terá melhor razão sial/ruído que um iltro estreito quado aplicado à imagem. Matematicamete, se variar é imediato que ( ) variará diretamete. A seguda implica que um iltro estreito dará melhor localização que um largo. Matematicamete, se variar, etão Λ ( ' ) terá uma variação iversamete proporcioal a. Nota-se que as variações são iversamete relacioadas, isto é, ambos os critérios ou crescem ou decrescem por. Trata-se etão de um pricípio de icerteza relacioado com a detecção (SNR) e localização, ão podedo melhorá-los simultaeamete, ou seja, se a localização melhora, etão a detecção tem seu resultado piorado e vice-versa. É iteressate otar que esse resultado teórico está relacioado com questões práticas de projetos de iltros de detecção de borda. Por eemplo, quado se usa uma máscara de dimesão pequea, a sesibilidade aos detalhes será maior. Ielizmete esta sesibilidade ão aumeta apeas pelos detalhes reais da imagem, mas também pelos detalhes espúrios da imagem, causados pricipalmete pelo ruído da imagem. Com um iltro largo gaha-se a detecção de detalhes mas perde-se em localização. A discussão acima sugere que o critério para determiação do iltro () ótimo é dado pelo produto das equações (4) e (5), visto que este produto é ivariate às mudaças de escala: '() Σ( ). Λ( ') =. (7) + + ' () = (-) = ' () = s ' (-) = (9) ode s é um icógita costate igual à declividade da ução a origem. Visto que () é assimétrica, pode-se esteder a equação 8 para todo o itervalo de suporte [-, ] usado o ato de que (-) = - (). As quatro codições de cotoro possibilitam ecotrar as quatidades de a 1, a, a 3 e a 4 em ução das icógitas α, ω, c e s. Aplicado as codições de cotoro 9 à equação 8, obtém-se um sistema de equações para a obteção dos valores de a 1, a, a 3 e a 4 em ução das icógitas α, ω, c e s. Como c é uma costate de itegração gerada a obteção da equação 8, pode-se arbitrá-la, icado os parâmetros icógitos reduzidos a 3 ( α, ω e β =s/c). Ielizmete isso ão reduz a compleidade do problema, pois aida é ecessário determiar os valores destes parâmetros que maimizam a codição de iltro ótimo (eq. 7). Se ão bastasse, alta impor o critério de resposta múltipla. Como uma solução aalítica para este problema é iviável, um processo de otimização umérica é recomedado. A orma do iltro depede, etão, da ijução de respostas múltiplas, isto é, depede da distâcias etre as respostas adjacetes ( ma ). Em geral, o ideal é que as respostas adjacetes estejam o mais distates possível, acilitado a separação do pico verdadeiro dos alsos. Segudo Cay (1986), quato meor o espaçameto etre as respostas adjacetes, mais ígreme é a ução a origem. Assim, um iltro muito ígreme, em relação à origem, beeicia o critério de localização, mas ão é avorável aos outros critérios. Por outro lado, um iltro meos ígreme, em relação à origem, é desavorável ao

7 Aais do Simpósio Brasileiro de Geomática, Presidete Prudete - SP, 9-13 de julho de. critério de localização, mas os critérios de detecção e de respostas múltiplas são beeiciados. Portato, o critério de otimização umérica mecioado acima deve ecotrar um cojuto de parâmetros que balaceie otimamete os três critérios. Cay (1986) apreseta a seguite epressão matemática para o critério de resposta múltipla: '() = rσ σ s (3) Tabela 1 - Parâmetros dos iltros e medidas de desempeho de vários iltros ma ΣΛ r α ω β 1,15 4,1,15 4,5955,15 63,97566,3,87,313 1,471, ,686 3,5,13,417 7,85869, ,88 4,8 1,57,515 5,65, ,61 5 1, 1,33,561 3,4558,7161 4, , 1,1,576,5 1,56939, ,4,75,484,97 3,535 7,477 Fote: Cay, ode σ s é o desvio padrão do ruído e r é o ator de desempeho de resposta múltipla. O ator r varia o itervalo [, 1] e, quato mais próimo estiver de 1, mais aastadas estarão as respostas múltiplas. Os resultados obtidos por otimização umérica para vários iltros são dados a tabela 1. Os coeicietes a 1, a, a 3 e a 4, para todos estes iltros podem ser ecotrados tomado c = 1. O maior valor de r obtido usado otimização umérica é,576, que correspode ao iltro.º 6 da tabela 1. Como mostra a tabela 1, o iltro que apreseta um melhor balaceameto é o 6, sedo desta orma deomiado ótimo. Etretato, caso se esteja disposto à tolerar uma ligeira redução o desempeho r de resposta múltipla, pode-se obter uma melhora sigiicativa os outros dois critérios. Por eemplo, os iltros 4 e 5 tem um produto ΛΣ sigiicativamete melhor que o iltro 6 e somete uma pequea redução de r. Quado plotados (igura 3), pode-se ver que os iltros 4 e 5 têm uma declividade maior em relação à origem, sugerido que o gaho o desempeho está pricipalmete a localização. O desível abrupto próimo à origem sugere que, a covolução, as diereças sejam drásticas, privilegiado a localização, ao passo que, o iltro 6, a trasição, a origem, é mais suave e orece um melhor balaceameto etre detecção e localização, apesar de orecer um meor ídice r. 1) ) 3) 4) 5) 6) 7) Fote: Cay, 1986 Figura 3 - O operador ótimo para vários valores de ma. De cima para baio, se tem os seguites valores de ma :,15,,3,,5,,8, 1, 1,, e 1,4. 4 UMA APROXIMAÇÃO EFICIENTE O iltro ótimo recém derivado (.º 6, tabela 1), pode ser aproimado pela primeira derivada da ução Gaussiaa G'() (igura 4), ode: G () = ep (31) σ A razão para que se utilize esta ução reside o ato de que ela apreseta uma eiciete orma para computar a etesão bidimesioal do iltro. Para o mometo, serão comparados o desempeho teórico da primeira derivada da ução Gaussiaa com o operador ótimo. Figura 4 - Primeira derivada da ução Gaussiaa O iltro ica etão: G '() = ep (3) σ σ e os termos do critério de desempeho (eqs. 7 e 3) são dados por: 1 '() = σ + s π = σ G () = π ' () = 3 4σ (33) O ídice de desempeho total (eq. 7) para este operador é: Σ ( ). Λ( ') =,9 (34)

8 Aais do Simpósio Brasileiro de Geomática, Presidete Prudete - SP, 9-13 de julho de. Equato o valor r calculado a partir da equação (3) é: '() = rσ r =,51 σ s (35) O desempeho ΣΛ da primeira derivada da ução Gaussiaa é % pior que o desempeho do operador ótimo. Quato ao ator r, veriica-se que é pior 1%. Provavelmete, seria diícil detectar uma diereça desta magitude visualmete, veriicado-se o desempeho dos dois operadores em images reais, e, por causa da primeira derivada do operador Gaussiao poder ser computada com muito meos esorço em duas dimesões, dada também a sua simplicidade e separabilidade, ela tem sido, a prática, usada com eclusividade. A resposta de impulso dos dois operadores podem ser comparadas, visualmete, a igura 5. Notar que as respostas de impulso de ambos os iltros são bastate semelhates, o que ituitivamete sugere um desempeho semelhate. a) b) () G() Figura 5 - a) Detetor Ótimo de Bordas; b) Primeira derivada da ução Gaussiaa 5 ESTIMAÇÃO DO RUÍDO E LIMIARIZAÇÃO A airmação "ão há imagem sem ruído", ielizmete é verdadeira. Idepedete da causa ou do tipo de ruído, a verdade é que ele sempre está presete e, por ser um eveto radômico, ão pode ser predito ou medido acuradamete em uma imagem, visto que, ão se pode separar ruído de dados da imagem. Dada a atureza radômica do ruído, o que se pode azer, algumas vezes, é caracterizar seu eeito a imagem através de uma distribuição de probabilidade com média e desvio-padrão especíicos. Eistem dois tipos de ruído que podem ser tratados dessa orma: ruído idepedete do sial e ruído depedete do sial. O ruído idepedete do sial é radômico e estatisticamete idepedete do dados da imagem, isto é, é adicioado aos piels da imagem resultado uma imagem ruidosa (Parker, 1997). Freqüetemete, isto ocorre quado uma imagem é eletroicamete trasmitida de um local a outro ou até mesmo quado de sua aquisição (sesor). Pode-se epressar esta idéia através da adição: B = A + N ode B é a imagem ruidosa, A é a imagem sem ruído e N é o ruído, lembrado que A e N ão são correlacioados. Comumete, por uma questão prática, assume-se que este tipo de ruído segue a distribuição ormal (ruído Gaussiao), com média zero e um presumido desviopadrão. Quado se toma images com os parâmetros de ruído cohecidos ( µ e σ ), o que se veriica é que este ruído possui uma distribuição homogêea sobre a imagem. Dessa orma pode-se etão, tratar o problema de estimação do ruído através da idéia de que bordas também azem parte do ruído (ieer-hop, apud Parker, 1997). A imagem seria iltrada e a variâcia do ruído seria estimada a partir de uma média local calculada em uma área restrita da imagem iltrada. Cotudo, esta orma de estimação de parâmetros do ruído é sesível às bordas e os parâmetros estimados serão tedeciosos, torado-se pouco úteis. Uma solução para este problema cosiste em se costruir um histograma global da imagem iltrada (amplitude/reqüêcia) e aalisá-lo, cosiderado que a resposta para as bordas são baias reqüêcias com valores altos de amplitude e que o ruído represetará o restate das respostas. Assim, pode-se eetuar a média com valores de amplitude da imagem de etrada que, o histograma, apresetem amplitudes meores que 8%, por eemplo. No caso de ruído depedete do sial o ível de ruído para cada poto a imagem é uma ução de seu ível de ciza (Parker, 1997). Isto é, o ruído esta relacioado ao ível de ciza dos piels da imagem através de alguma ução. Felizmete esta orma de ruído é meos importate e pode ser melhor cotorado (Parker, 1997). Até mesmo com a estimação do ruído, o detetor de borda é suscetível à ragmetação, pricipalmete se um úico limiar or usado. A ragmetação é a separação de um cotoro de borda causado pela lutuação da saída do operador acima e abaio do limiar, ao logo do cotoro (Cay, 1986). Caso se teha um úico limiar T 1 e, supodo que se teha uma borda que possua uma média de tos de ciza de mesmo valor ( T 1 ), haverão valores da borda acima e abaio do limar até mesmo quado o ruído é isigiicate. O resultado da limiarização serão ragmetos de bordas. É também muito diícil iar um limiar tal que haja uma pequea probabilidade de se detectar borda espúria quado o detetor possui grade sesibilidade. Uma solução possível para este problema é eetuar a média da magitude ao logo de parte do cotoro da borda. Se a média está acima de um limiar, o segmeto iteiro é detectado. Se a média está abaio do limiar, ão se detecta ehuma parte do cotoro. Na implemetação do operador de Cay a limiarização é eetuada com histerese (duplo limiar) e é acompahada de um processo de "complemetação das bordas", isto é, se qualquer parte de um cotoro está acima do maior limar T 1, etão estes potos são imediatamete detectados, ormado um cojuto L 1. O

9 Aais do Simpósio Brasileiro de Geomática, Presidete Prudete - SP, 9-13 de julho de. restate dos potos que se ecotram abaio do maior limiar T 1 e acima do meor limiar T (potos do cotoro e potos ão pertecetes a ele) ormam um segudo grupo de piels L. O procedimeto algorítmico cosiste em buscar o cojuto de potos detectados L 1 a ocorrêcia de etremidades de cotoros e, o segudo cojuto de potos L, escolher piels que completem estes cotoros. O algoritmo eetua este preechimeto até que ão hajam mais ragmetos de cotoros isolados em L 1 ou que ão hajam mais potos em L que possam ser aproveitados. A probabilidade de ragmetação é muito reduzida pois, para um cotoro ser ragmetado, ele precisa lutuar sobre o maior limiar e abaio do meor limiar. Também a probabilidade de alsos potos de borda isolados é reduzida pois a magitude de tais potos precisa estar acima do maior limiar. A razão do maior para o meor limiar a implemetação está a aia de dois ou três para um, isto é: Q[i, j] 1/ * S[i, j] Q[i, j] (S[i, j] - S[i+1, j] +S[i, j+1] - S[i+1, j+1])/ ode * deota a covolução. ou (39) As diereças iitas tem sua média eetuada através das máscaras, mostradas acima, tal que, as derivadas parciais são computadas em potos de mesmas coordeadas. A magitude e orietação do gradiete são computadas por órmulas de coversão de coordeadas retagulares para polar: T = = (36) 1 T ou T1 3T M [i, j] = P[i,, j] + Q[i, j] (4) 6 ASPECTOS ALGORÍTMICO E COMPUTACIONAL No que diz respeito aos aspectos algorítmicos e computacioais, serão epostos abaio algus detalhes que se destiam à implemetação do processo de detecção elaborado por Cay. Como se sabe, a covolução e a diereciação são associáveis e a Gaussiaa separável, dessa orma pode-se eetuar, a pricípio, a suavização da imagem com o iltro de suavização Gaussiao, usado iltragem separável. O resultado será uma matriz de dados S[i, j], ode: S[i, j] = G[i, j, σ ] * I[i, j] (37) e σ é o desvio padrão da Gaussiaa e cotrola o grau de suavização. Esta etapa, por ser uma bastate usual, ão requer uma eplicação mais aproudada. O gradiete da matriz suavizada S[i, j] pode ser etão computado por uma máscara de aproimações de primeira-diereça, para produzir duas matrizes de derivadas parciais P[i, j], derivada em, e Q[i, j], derivada em y (Jai, 1995): P[i, j] 1/ * S[i, j] P[i, j] (S[i, j+1] - S[i, j] + S[i+1, j+1] - S[i+1, j])/ ou (38) θ [ i, j] = arcta(q[i, j],p[i, j]) (41) ode a ução arco-tagete toma duas compoetes, em y e em, e gera o âgulo da direção do gradiete. Sabedo-se que potos de borda são máimos o resultado da iltragem, pode-se etão, selecioar estes potos e obter uma melhor localização para a borda através da técica de supressão ão máima. A supressão ão máima é o aulameto de piels cujos valores ão são máimos locais, em peris limitados, a direção perpedicular à borda, ou seja, busca-se, a direção do gradiete da imagem, por valores de piels que são máimos locais. A matriz de magitudes da imagem M[i, j] terá valores maiores ode o gradiete é maior, porém, este ato ão é suiciete para idetiicar as bordas. Note que bordas são caracterizadas por mudaças bruscas o ível de brilho, logo, ecotrá-las implica em ecotrar locais ode a magitude de M[i, j] é um máimo local. Para idetiicar bordas, os cumes largos da matriz M[i, j] precisam ser aiados, tal que, somete a magitude em potos de grade itesidade permaeçam. A igura 6 ilustra o caso ode o piel cetral (c, l) é eamiado. O valor de (c, l) é um máimo local e a direção do gradiete é de 45º. Neste caso, supodo que uma máscara 33 percorre M[i, j] e compara a magitude do gradiete do piel cetral (c, l) com a magitude de seu viziho o setido do gradiete (c+1, l-1) e com a magitude de seu viziho o setido cotrário ao do gradiete (c-1, l+1), veriica-se que os piels em ciza terão seus valores igualados a zero.

10 Aais do Simpósio Brasileiro de Geomática, Presidete Prudete - SP, 9-13 de julho de. M[i, j] Direção da Borda Figura 6 - Esquema de supressão ão máima quado a direção do gradiete é de 45º. A supressão ão máima, etão, aia os cumes de magitude do gradiete em M[i, j], pela supressão de todos os valores ao logo da liha do gradiete que ão são valores pico dos cumes. O algoritmo começa por limitar o âgulo θ [i, j] do gradiete em um dos quatro setores da igura 7: 18º l - 1 l l+1 135º ζ [ i, j] = Setor ( θ[i, j]) (4) 5º 3 c -1 c c +1 9º Figura 7 Setores cosiderados para a supressão ão máima Esta orma de distribuição de setores é proposta em Jai (1995) e tem como objetivo classiicar âgulos itermediários do gradiete por setores, visto que, a prática, piels vizihos do piel de reerêcia estarão em um destes quatro setores. Estabelecidos os setores, uma máscara 33 é passada, de modo que seja eita a comparação do piel cetral M[i, j], ao logo da liha do gradiete, comparado-o com seu dois vizihos, de acordo com o setor ζ[i, j] determiado. Se a magitude do elemeto eamiado M[i, j] ão or maior que a de seus vizihos, ao logo da liha do gradiete, etão M[i, j] recebe zero de magitude. Este processo aia de modo geral os cumes até a espessura de um piel. Assim, cosiderado esta etapa tem-se: N[i, j] = sm(m[i, j], ζ[i, j]) (43) º Direção do Gradiete 45º 315º º ode N[i, j] deota o processo de supressão ão máima. Os valores ão ulos em N[i, j] correspodem a picos em M[i, j]. Apesar da iltragem Gaussiaa suavizar a imagem iicialmete, N[i, j] coterá muitos ragmetos de alsas bordas causadas por ruídos e detalhes de tetura. O cotraste dos ragmetos de alsas bordas é pequeo e, como já oi discutido ateriormete, pode-se pesar em elimiar detalhes espúrios por meio de uma limiarização aplicada em N[i, j], ou seja, os valores N[i, j] abaio do limiar serão mudados para zero. Mesmo com a aplicação da limiarização, alsas bordas aida ocorrerão. A permaêcia de alsas bordas, após a limiarização de N[i, j], pode ter como motivo a escolha de um limiar τ baio (also positivo) e/ou pela ocorrêcia de porções de cotoro real que podem ter sido perdidos (also egativo) devido à suavização do cotraste da borda por uma sombra ou devido à escolha de um limiar τ alto demais. A escolha do correto limiar é diícil e evolve tetativa e erro. Um esquema de limiarização eicaz, como oi visto, evolve o uso de histerese, que cosiste a limiarização com dois limiares τ 1 e τ, com τ 1 τ ou τ 1 3 τ. Aplica-se a limiarização duas vezes, em N[i, j], uma com τ 1 e outra com τ, e se obtém, respectivamete, duas images limiarizadas T 1 [i, j] e T [i, j]. Dessa orma T 1 coterá poucas alsas bordas, porém poderá ter alhas de cotoro (alsos egativos). O algoritmo de dupla limiarização liga bordas por curvas. Quado o algoritmo ecotra o im de um cotoro em T 1 ele busca em T, através de uma vizihaça-de-8, por as bordas que podem ser ligadas ao cotoro em T 1. O algoritmo cotiua a completar bordas de T 1 a partir de potos buscados em T até que descotiuidades de bordas de T 1 teham sido elimiadas ou que ão hajam potos em T que possam ser aproveitados. O algoritmo eetua a complemetação das bordas como um subproduto do histerese e solucioa algus problemas da escolha de limiar. O algoritmo do Operador de Cay ica: 1. Ler a imagem I[i, j] a ser processada;. Criar uma máscara de suavização Gaussiaa G[i, j, σ ] para covoluir com a imagem de etrada I[i, j]. O desvio padrão desta Gaussiaa é um parâmetro para o detetor de borda; 3. Usar aproimações de diereças iitas (equações 38 e 39) para se obter as derivadas parciais sobre a imagem suavizada e compute a magitude M[i, j] e orietação do gradiete θ [i, j](equações 4 e 41); 4. Aplicar a supressão ão máima a magitude do gradiete (equação 43); 5. Usar o algoritmo de histerese para detectar e eetuar a complemetação das bordas (sítese de eição); e;

11 Aais do Simpósio Brasileiro de Geomática, Presidete Prudete - SP, 9-13 de julho de. 6. Armazear/visualizar as borda detectadas. 7 EXPERIMENTO E AVALIAÇÃO Nesta subseção são apresetados algus relutados e a avaliação do processo de detecção de bordas. Os resultados obtidos oram gerados através de um programa de computador em liguagem C. A detecção oi eetuada em uma imagem sitética (igura 8) e em uma imagem real (igura 11). De acordo com a teoria de Cay, os limiares oram matidos ios, sedo que o maior limiar correspode a 3% da escala de tos de ciza e o maior limiar correspode a 8%. O desvio-padrão da Gaussiaa utilizada para suavização variou, sedo que os valores utilizados oram: σ = 1 as iguras.9 e 1 e σ = 3, as iguras 1 e 13. A imagem sitética oi eita o sotware Pait Shop Pro e ela oi adicioado 5% de ruído. Figura 8 Imagem de sitética Figura 11 Imagem de sitética Figura 9 Detecção eetuada com σ =1 Figura 1 Detecção eetuada com σ =1 Figura 1 Detecção eetuada com σ =3 Figura 13 Detecção eetuada com σ =3

12 Aais do Simpósio Brasileiro de Geomática, Presidete Prudete - SP, 9-13 de julho de. Tato a detecção com a imagem sitética como a detecção com a imagem real, pode-se ver itidamete que quato maior o desvio-padrão meor a quatidade de bordas espúrias. É ecessário, o etato, se tomar cuidado com o σ adotado a suavização pois, se or muito alto haverá um borrameto das bordas e, cosequetemete, um decréscimo a localização e detecção. Os resultados do detetor, em ambos os casos, mostrou-se satisatório. Veriica-se que em todas as images, mesmo aquelas detectadas com alto σ, praticamete ão houve ragmetação das bordas, o que, comprova a eicácia do "processo de completar bordas" com os resultados do histerese. O detetor também se mostrou eiciete a localização das bordas. Tal desempeho é devido à supressão ão máima, que reduz as bordas a um piels de espessura. 8 CONSIDERAÇÕES FINAIS Ao se utilizar um detetor de bordas, espera-se que, a partir de seu resultado ial, se possa ecotrar os objetos de iteresse com pouco esorço computacioal, com baia probabilidade de ambigüidade e com ível satisatório de acurácia. De acordo com os eemplos aalisados, veriicouse que o processo de detecção de bordas de Cay mostrou-se bastate leível, idepedete da origem da imagem utilizada. Mesmo visualmete, pode-se veriicar que a ragmetação das bordas relevates da imagem oi miimizada, mesmo com o uso de um alto σ. Tal ato pode ser atribuído ao comportameto satisatório do processo de histerese. Cabe lembrar que, mesmo sedo robusto e eiciete ao detectar bordas, o operador de Cay aida está suscetível aos eeitos idesejáveis da suavização Gaussiaa. No etato, se σ é adotado de modo coerete, i. e., estimado a partir da quatização do ruído o balaceameto etre detecção e localização propicia uma resultado de ótima qualidade. Por último, vale ressaltar que a supressão ão máima combiada com a histerese permite obter iormações de cotoro com alta qualidade e riqueza de detalhes, o que certamete beeicia as etapas subsequetes de qualquer processo automático ou semiautomático de etração de eições cartográicas em images digitais. AGRADECIMENTOS Os autores agradecem à CAPES, pelo suporte, sob a orma de bolsa de Demada Social CAPES, cocedida ao mestrado Giovae Maia do Vale a partir de 1 de maio de 1. REFERÊNCIAS BUTKOV, E. Física Matemática. St. Jhs's Uiversity, New York - Editora Guaabara S. A. - pp. 4-39, CANNY, J. A Computatioal Approach to Edge Detectio. IEEE Trasactios o Patter Aalysis ad Machie Itelligece, V. 8,. 6, pp , GOMES J., VELHO L. Computação Gráica: Imagem. Série de Computação e Matemática. IMPA/SBM, Rio de Jaeiro, 44 p, JAIN, R.; Kasturi, R; Schuck, B. G. Machie Visio. MIT Press ad McGraw-Hill, Ic New York 1995 LIM, Jae S. Two-dimesioal sigal ad image prossecig. Departmet o Egieerig ad Computer Sciece Massachusetts Istitute o Techology - Petice Hall PTR PARKER, J. R. Algorithms or Image Processig ad Computer Visio. Joh iley & Sos, Ic., New York, 417p, ZIOU D., TABBONE S. Edge Detectio Techiques - A Overview. Iteratioal Joural o Patter Recogitio ad Image Aalysis,Vol. 8, No. 4, pp , also Techical Report, No. 195, Dept. Math. et Iormatique, Uiversité de Sherbrooke, 41 pages, 1997.

A letra x representa números reais, portanto

A letra x representa números reais, portanto Aula 0 FUNÇÕES UFPA, 8 de março de 05 No ial desta aula, você seja capaz de: Saber dizer o domíio e a imagem das uções esseciais particularmete esta aula as uções potêcias; Fazer o esboço de gráico da

Leia mais

INTEGRAÇÃO NUMÉRICA. b a

INTEGRAÇÃO NUMÉRICA. b a INTEGRAÇÃO NUMÉRICA No cálculo, a itegral de uma ução oi criada origialmete para determiar a área sob uma curva o plao cartesiao. Ela também surge aturalmete em dezeas de problemas de Física, como por

Leia mais

Cap. 4 - Estimação por Intervalo

Cap. 4 - Estimação por Intervalo Cap. 4 - Estimação por Itervalo Amostragem e iferêcia estatística População: cosiste a totalidade das observações em que estamos iteressados. Nº de observações a população é deomiado tamaho=n. Amostra:

Leia mais

ISCTEM Análise Matemática II Curso de Engenharia Informática

ISCTEM Análise Matemática II Curso de Engenharia Informática ISCTEM Aálise Matemática II Curso de Egeharia Iormática Fuções reais de várias variáveis reais: ites e cotiuidade.. FUNÇÕES REAIS DE VÁRIAS VARIÁVEIS REAIS Até agora oram estudadas uções reais de uma só

Leia mais

CAPÍTULO IV DESENVOLVIMENTOS EM SÉRIE

CAPÍTULO IV DESENVOLVIMENTOS EM SÉRIE CAPÍTUO IV DESENVOVIMENTOS EM SÉRIE Série de Taylor e de Mac-auri Seja f ) uma fução real de variável real com domíio A e seja a um poto iterior desse domíio Supoha-se que a fução admite derivadas fiitas

Leia mais

Cap. VI Histogramas e Curvas de Distribuição

Cap. VI Histogramas e Curvas de Distribuição TLF /11 Capítulo VI Histogramas e curvas de distribuição 6.1. Distribuições e histogramas. 6 6.. Distribuição limite 63 6.3. Sigificado da distribuição limite: frequêcia esperada e probabilidade de um

Leia mais

DESIGUALDADES, LEIS LIMITE E TEOREMA DO LIMITE CENTRAL. todas as repetições). Então, para todo o número positivo ξ, teremos:

DESIGUALDADES, LEIS LIMITE E TEOREMA DO LIMITE CENTRAL. todas as repetições). Então, para todo o número positivo ξ, teremos: 48 DESIGUALDADES, LEIS LIMITE E TEOREMA DO LIMITE CENTRAL LEI DOS GRANDES NÚMEROS Pretede-se estudar o seguite problema: À medida que o úmero de repetições de uma experiêcia cresce, a frequêcia relativa

Leia mais

Ajuste de Curvas pelo Método dos Quadrados Mínimos

Ajuste de Curvas pelo Método dos Quadrados Mínimos Notas de aula de Métodos Numéricos. c Departameto de Computação/ICEB/UFOP. Ajuste de Curvas pelo Método dos Quadrados Míimos Marcoe Jamilso Freitas Souza, Departameto de Computação, Istituto de Ciêcias

Leia mais

5. ANÁLISE DE SISTEMAS DA CONFIABILIADE DE SISTEMAS SÉRIE-PARALELO

5. ANÁLISE DE SISTEMAS DA CONFIABILIADE DE SISTEMAS SÉRIE-PARALELO 5. ANÁLISE DE SISTEMAS DA CONFIABILIADE DE SISTEMAS SÉRIE-PARALELO 5.1 INTRODUÇÃO Um sistema é defiido como todo o cojuto de compoetes itercoectados, previamete determiados, de forma a realizar um cojuto

Leia mais

CORRELAÇÃO Aqui me tens de regresso

CORRELAÇÃO Aqui me tens de regresso CORRELAÇÃO Aqui me tes de regresso O assuto Correlação fez parte, acompahado de Regressão, do programa de Auditor Fiscal, até 998, desaparecedo a partir do cocurso do ao 000 para agora retorar soziho.

Leia mais

Virgílio A. F. Almeida DCC-UFMG 1/2005

Virgílio A. F. Almeida DCC-UFMG 1/2005 Virgílio A. F. Almeida DCC-UFMG 1/005 !" # Comparado quatitativamete sistemas eperimetais: Algoritmos, protótipos, modelos, etc Sigificado de uma amostra Itervalos de cofiaça Tomado decisões e comparado

Leia mais

Teorema do Limite Central, distribuição amostral, estimação por ponto e intervalo de confiança

Teorema do Limite Central, distribuição amostral, estimação por ponto e intervalo de confiança Teorema do Limite Cetral, distribuição amostral, estimação por poto e itervalo de cofiaça Prof. Marcos Pó Métodos Quatitativos para Ciêcias Sociais Distribuição amostral Duas amostrages iguais oriudas

Leia mais

Capítulo I Séries Numéricas

Capítulo I Séries Numéricas Capítulo I Séries Numéricas Capitulo I Séries. SÉRIES NÚMERICAS DEFINIÇÃO Sedo u, u,..., u,... uma sucessão umérica, chama-se série umérica de termo geral u à epressão que habitualmete se escreve u u...

Leia mais

Wavelets. Jorge Salvador Marques, Motivação

Wavelets. Jorge Salvador Marques, Motivação Wavelets Jorge Salvador Marques, 9 Motivação Jorge Salvador Marques, 9 Qual é a melhor escala? Os obectos aparecem a imagem com dimesões muito diferetes Não uma escala úica que sea apropriada Há uma escala

Leia mais

Teorema do Limite Central, distribuição amostral, estimação por ponto e intervalo de confiança

Teorema do Limite Central, distribuição amostral, estimação por ponto e intervalo de confiança Teorema do Limite Cetral, distribuição amostral, estimação por poto e itervalo de cofiaça Prof. Marcos Pó Métodos Quatitativos para Ciêcias Sociais Distribuição amostral Duas amostrages iguais oriudas

Leia mais

4 Teoria da Probabilidade

4 Teoria da Probabilidade 48 4 Teoria da Probabilidade Apresetam-se este capítulo coceitos de probabilidade e de estimação de fuções desidade de probabilidade ecessários ao desevolvimeto e compreesão do modelo proposto (capítulo

Leia mais

Análise de Algoritmos. Análise de Algoritmos. Análise de Algoritmos. Análise de Algoritmos. Análise de Algoritmos. Análise de Algoritmos

Análise de Algoritmos. Análise de Algoritmos. Análise de Algoritmos. Análise de Algoritmos. Análise de Algoritmos. Análise de Algoritmos Aálise de Algoritmos Aálise de Algoritmos Prof Dr José Augusto Baraauskas DFM-FFCLRP-USP A Aálise de Algoritmos é um campo da Ciêcia da Computação que tem como objetivo o etedimeto da complexidade dos

Leia mais

Mecânica dos Sólidos II

Mecânica dos Sólidos II Curso de Egeharia Civil Uiversidade Estadual de Marigá Cetro de Tecologia Departameto de Egeharia Civil Mecâica dos Sólidos II Bibliografia: Beer, F. P.; Johsto, Jr. E. R.; DEWolf, J. T. Resistêcia dos

Leia mais

Análise de Regressão Linear Múltipla I

Análise de Regressão Linear Múltipla I Aálise de Regressão Liear Múltipla I Aula 04 Gujarati e Porter, 0 Capítulos 7 e 0 tradução da 5ª ed. Heij et al., 004 Capítulo 3 Wooldridge, 0 Capítulo 3 tradução da 4ª ed. Itrodução Como pode ser visto

Leia mais

ESTATÍSTICA- II DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA. 1- CONCEITO É a série estatística que tem o tempo, o espaço e a espécie como variáveis dependentes.

ESTATÍSTICA- II DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA. 1- CONCEITO É a série estatística que tem o tempo, o espaço e a espécie como variáveis dependentes. ESTATÍSTICA- II DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA 1- CONCEITO É a série estatística que tem o tempo, o espaço e a espécie como variáveis depedetes. - DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA a) Dados Brutos É um cojuto resultate

Leia mais

CAP. I ERROS EM CÁLCULO NUMÉRICO

CAP. I ERROS EM CÁLCULO NUMÉRICO CAP I ERROS EM CÁLCULO NUMÉRICO 0 Itrodução Por método umérico etede-se um método para calcular a solução de um problema realizado apeas uma sequêcia fiita de operações aritméticas A obteção de uma solução

Leia mais

DERIVADAS DE FUNÇÕES11

DERIVADAS DE FUNÇÕES11 DERIVADAS DE FUNÇÕES11 Gil da Costa Marques Fudametos de Matemática I 11.1 O cálculo diferecial 11. Difereças 11.3 Taxa de variação média 11.4 Taxa de variação istatâea e potual 11.5 Primeiros exemplos

Leia mais

Soluções dos Exercícios do Capítulo 6

Soluções dos Exercícios do Capítulo 6 Soluções dos Eercícios do Capítulo 6 1. O poliômio procurado P() a + b + c + d deve satisfazer a idetidade P(+1) P() +, ou seja, a(+1) + b(+1) + c(+1) + d a + b + c + d +, o que é equivalete a (a 1) +

Leia mais

SUPPORT VECTOR MACHINE - SVM

SUPPORT VECTOR MACHINE - SVM SUPPORT VECTOR MACHINE - SVM Defiição 2 Máquias de Vetores Suporte (Support Vector Machies - SVMs) É uma técica de classificação supervisioada Trata-se de um classificador liear biário ãoprobabilístico

Leia mais

... Newton e Leibniz criaram, cada qual em seu país e quase ao mesmo tempo, as bases do cálculo diferencial.

... Newton e Leibniz criaram, cada qual em seu país e quase ao mesmo tempo, as bases do cálculo diferencial. DERIVADAS INTRODUÇÃO O Cálculo Diferecial e Itegral, criado por Leibiz e Newto o século XVII, torou-se logo de iício um istrumeto precioso e imprescidível para a solução de vários problemas relativos à

Leia mais

CAP. VI DIFERENCIAÇÃO E INTEGRAÇÃO NUMÉRICA

CAP. VI DIFERENCIAÇÃO E INTEGRAÇÃO NUMÉRICA CAP. VI DIFRNCIAÇÃO INGRAÇÃO NUÉRICA 6. DIFRNCIAÇÃO NUÉRICA m muitas circustâcias tora-se diícil obter valores de derivadas de uma ução: derivadas que ão são de ácil obteção; emplo (calcular a ª derivada:

Leia mais

Estudando complexidade de algoritmos

Estudando complexidade de algoritmos Estudado complexidade de algoritmos Dailo de Oliveira Domigos wwwdadomicombr Notas de aula de Estrutura de Dados e Aálise de Algoritmos (Professor Adré Bala, mestrado UFABC) Durate os estudos de complexidade

Leia mais

Problema de Fluxo de Custo Mínimo

Problema de Fluxo de Custo Mínimo Problema de Fluo de Custo Míimo The Miimum Cost Flow Problem Fluo de Custo Míimo O Problema de Fluo de Custo Míimo (The Miimum Cost Flow Problem) Este problema possui papel pricipal etre os modelos de

Leia mais

Capítulo 5 Cálculo Diferencial em IR n 5.1 Definição de função de várias variáveis: campos vetoriais e campos escalares.

Capítulo 5 Cálculo Diferencial em IR n 5.1 Definição de função de várias variáveis: campos vetoriais e campos escalares. 5. Defiição de fução de várias variáveis: campos vetoriais e. Uma fução f : D f IR IR m é uma fução de variáveis reais. Se m = f é desigada campo escalar, ode f(,, ) IR. Temos assim f : D f IR IR (,, )

Leia mais

CONCEITOS BÁSICOS E PRINCÍPIOS DE ESTATÍSTICA

CONCEITOS BÁSICOS E PRINCÍPIOS DE ESTATÍSTICA 1 CONCEITOS BÁSICOS E PRINCÍPIOS DE ESTATÍSTICA 1. Coceitos Básicos de Probabilidade Variável aleatória: é um úmero (ou vetor) determiado por uma resposta, isto é, uma fução defiida em potos do espaço

Leia mais

Amostras Aleatórias e Distribuições Amostrais. Probabilidade e Estatística: afinal, qual é a diferença?

Amostras Aleatórias e Distribuições Amostrais. Probabilidade e Estatística: afinal, qual é a diferença? Amostras Aleatórias e Distribuições Amostrais Probabilidade e Estatística: afial, qual é a difereça? Até agora o que fizemos foi desevolver modelos probabilísticos que se adequavam a situações reais. Por

Leia mais

Lista de Exercícios Método de Newton

Lista de Exercícios Método de Newton UNEMAT Uiversidade do Estado de Mato Grosso Campus Uiversitário de Siop Faculdade de Ciêcias Eatas e Tecológicas Curso de Egeharia Civil Disciplia: Cálculo Diferecial e Itegral I Lista de Eercícios Método

Leia mais

UNIVERSIDADE DO ALGARVE ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA

UNIVERSIDADE DO ALGARVE ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA UNIVERSIAE O ALGARVE ESCOLA SUPERIOR E TECNOLOGIA CURSO BIETÁPICO EM ENGENHARIA CIVIL º ciclo Regime iuro/nocturo isciplia de COMPLEMENTOS E MATEMÁTICA Ao lectivo de 7/8 - º Semestre Cosidere a ução :

Leia mais

BINÔMIO DE NEWTON. O desenvolvimento da expressão 2. a b é simples, pois exige somente quatro multiplicações e uma soma:

BINÔMIO DE NEWTON. O desenvolvimento da expressão 2. a b é simples, pois exige somente quatro multiplicações e uma soma: 07 BINÔMIO DE NEWTON O desevolvimeto da epressão a b é simples, pois eige somete quatro multiplicações e uma soma: a b a b a b a ab ba b a ab b O desevolvimeto de a b é uma tarefa um pouco mais trabalhosa,

Leia mais

1.1. Ordem e Precedência dos Cálculos 1) = Capítulo 1

1.1. Ordem e Precedência dos Cálculos 1) = Capítulo 1 Capítulo. Aritmética e Expressões Algébricas O estudo de cálculo exige muito mais que o cohecimeto de limite, derivada e itegral. Para que o apredizado seja satisfatório o domíio de tópicos de aritmética

Leia mais

lim Px ( ) 35 x 5 ), teremos Px ( ) cada vez mais próximo de 35 (denotaremos isso da forma Px ( ) 35 ). UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA CAMPUS IV-CCAE

lim Px ( ) 35 x 5 ), teremos Px ( ) cada vez mais próximo de 35 (denotaremos isso da forma Px ( ) 35 ). UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA CAMPUS IV-CCAE CURSO DISCIPLINA PROFESSOR I) Itrodução ao Limite de uma Fução UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA CAMPUS IV-CCAE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Limite de uma Fução José Elias

Leia mais

DETERMINANDO A SIGNIFICÂNCIA ESTATÍSTICA PARA AS DIFERENÇAS ENTRE MÉDIAS

DETERMINANDO A SIGNIFICÂNCIA ESTATÍSTICA PARA AS DIFERENÇAS ENTRE MÉDIAS DTRMINANDO A SIGNIFIÂNIA STATÍSTIA PARA AS DIFRNÇAS NTR MÉDIAS Ferado Lag da Silveira Istituto de Física - UFRGS lag@if.ufrgs.br O objetivo desse texto é apresetar através de exemplos uméricos como se

Leia mais

Prova Escrita de MATEMÁTICA A - 12o Ano a Fase

Prova Escrita de MATEMÁTICA A - 12o Ano a Fase Prova Escrita de MATEMÁTICA A - 1o Ao 00 - a Fase Proposta de resolução GRUPO I 1. Como a probabilidade do João acertar em cada tetativa é 0,, a probabilidade do João acertar as tetativas é 0, 0, 0, 0,

Leia mais

2.2. Séries de potências

2.2. Séries de potências Capítulo 2 Séries de Potêcias 2.. Itrodução Série de potêcias é uma série ifiita de termos variáveis. Assim, a teoria desevolvida para séries ifiitas de termos costates pode ser estedida para a aálise

Leia mais

( ) 4. Novo Espaço Matemática A 12.º ano Proposta de Teste de Avaliação [maio 2015] GRUPO I. f x

( ) 4. Novo Espaço Matemática A 12.º ano Proposta de Teste de Avaliação [maio 2015] GRUPO I. f x Novo Espaço Matemática A º ao Proposta de Teste de Avaliação [maio 05] Nome: Ao / Turma: Nº: Data: - - GRUPO I Os sete ites deste grupo são de escolha múltipla Em cada um deles, são idicadas quatro opções,

Leia mais

Exercício: Mediu-se os ângulos internos de um quadrilátero e obteve-se 361,4. Qual é o erro de que está afetada esta medida?

Exercício: Mediu-se os ângulos internos de um quadrilátero e obteve-se 361,4. Qual é o erro de que está afetada esta medida? 1. Tratameto estatísticos dos dados 1.1. TEORIA DE ERROS O ato de medir é, em essêcia, um ato de comparar, e essa comparação evolve erros de diversas origes (dos istrumetos, do operador, do processo de

Leia mais

Prova-Modelo de Matemática

Prova-Modelo de Matemática Prova-Modelo de Matemática PROVA Págias Esio Secudário DURAÇÃO DA PROVA: miutos TOLERÂNCIA: miutos Cotações GRUPO I O quarto úmero de uma certa liha do triâgulo de Pascal é. A soma dos quatro primeiros

Leia mais

AULA Subespaço, Base e Dimensão Subespaço.

AULA Subespaço, Base e Dimensão Subespaço. Note bem: a leitura destes apotametos ão dispesa de modo algum a leitura ateta da bibliografia pricipal da cadeira TÓPICOS Subespaço. ALA Chama-se a ateção para a importâcia do trabalho pessoal a realizar

Leia mais

UNIDADES, ERROS E GRÁFICOS

UNIDADES, ERROS E GRÁFICOS UNIDADES ERROS E GRÁFICOS. Gradeas Físicas e Uidades SI: Sstème Iteratioal d Uités Sèvres Fraça http://www.bipm.r http://phsics.ist.gov/cuu As gradeas e uidades de base do SI Gradea Uidade Nome Símbolo

Leia mais

Aula 06 Transformadas z

Aula 06 Transformadas z Aula 06 Trasformadas Trasformadas Na aálise de sistemas cotíuos por vees é mais vatajoso o uso da frequêcia complexa s. No caso de sistemas discretos, uma ferrameta bastate comum usada para passar um sial

Leia mais

A finalidade de uma equação de regressão seria estimar valores de uma variável, com base em valores conhecidos da outra.

A finalidade de uma equação de regressão seria estimar valores de uma variável, com base em valores conhecidos da outra. Jaete Pereira Amador Itrodução A aálise de regressão tem por objetivo descrever através de um modelo matemático, a relação existete etre duas variáveis, a partir de observações dessas viráveis. A aálise

Leia mais

AULA 17 A TRANSFORMADA Z - DEFINIÇÃO

AULA 17 A TRANSFORMADA Z - DEFINIÇÃO Processameto Digital de Siais Aula 7 Professor Marcio Eisecraft abril 0 AULA 7 A TRANSFORMADA Z - DEFINIÇÃO Bibliografia OPPENHEIM, A.V.; WILLSKY, A. S. Siais e Sistemas, a edição, Pearso, 00. ISBN 9788576055044.

Leia mais

Recredenciamento Portaria MEC 347, de D.O.U

Recredenciamento Portaria MEC 347, de D.O.U Portaria MEC 347, de 05.04.0 - D.O.U. 0.04.0. ESTATÍSTICA I / MÉTODOS QUANTITATIVOS E PROCESSO DECISÓRIO I / ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO Elemetos de Probabilidade Quest(i) Ecotramos, a atureza, dois

Leia mais

O PROBLEMA DE TRANSPORTES SOB A ÓTICA DOS MODELOS DE EQUILÍBRIO ESPACIAL DE MERCADO

O PROBLEMA DE TRANSPORTES SOB A ÓTICA DOS MODELOS DE EQUILÍBRIO ESPACIAL DE MERCADO O PROBLEMA DE TRANSPORTES SOB A ÓTICA DOS MODELOS DE EQUILÍBRIO ESPACIAL DE MERCADO Sérgio Ferado Mayerle, Dr. UFSC / CTC / EPS - mayerle@eps.ufsc.br - Floriaópolis - SC Thiago Dedavid de Almeida Bastos

Leia mais

3ª Lista de Exercícios de Programação I

3ª Lista de Exercícios de Programação I 3ª Lista de Exercícios de Programação I Istrução As questões devem ser implemetadas em C. 1. Desevolva um programa que leia dois valores a e b ( a b ) e mostre os seguites resultados: (1) a. Todos os úmeros

Leia mais

Métodos de Amostragem

Métodos de Amostragem Métodos de Amostragem Amostragem aleatória Este é o procedimeto mais usual para ivetários florestais e baseia-se o pressuposto de que todas as uidades amostrais têm a mesma chace de serem amostradas a

Leia mais

Capítulo VII: Soluções Numéricas de Equações Diferenciais Ordinárias

Capítulo VII: Soluções Numéricas de Equações Diferenciais Ordinárias Capítulo VII: Soluções Numéricas de Equações Difereciais Ordiárias 0. Itrodução Muitos feómeos as áreas das ciêcias egearias ecoomia etc. são modelados por equações difereciais. Supoa-se que se quer determiar

Leia mais

ESTUDO DA SECAGEM DE BANANAS ATRAVÉS DO MODELO DE DIFUSÃO USANDO SOLUÇÕES ANALÍTICAS

ESTUDO DA SECAGEM DE BANANAS ATRAVÉS DO MODELO DE DIFUSÃO USANDO SOLUÇÕES ANALÍTICAS WWWCONVIBRAORG ESTUDO DA SECAGEM DE BANANAS ATRAVÉS DO MODELO DE DIFUSÃO USANDO SOLUÇÕES ANALÍTICAS ANDRÉA F RODRIGUES 1, WILTON P SILVA 2, JOSIVANDA P GOMES 3, CLEIDE M D P S SILVA 4, ÍCARO CARVALHO RAMOS

Leia mais

Universidade São Judas Tadeu Faculdade de Tecnologia e Ciências Exatas Laboratório de Física e Química

Universidade São Judas Tadeu Faculdade de Tecnologia e Ciências Exatas Laboratório de Física e Química Uiversidade São Judas Tadeu Faculdade de Tecologia e Ciêcias Exatas Laboratório de Física e Química Aálise de Medidas Físicas Quado fazemos uma medida, determiamos um úmero para caracterizar uma gradeza

Leia mais

1 Distribuições Amostrais

1 Distribuições Amostrais 1 Distribuições Amostrais Ao retirarmos uma amostra aleatória de uma população e calcularmos a partir desta amostra qualquer quatidade, ecotramos a estatística, ou seja, chamaremos os valores calculados

Leia mais

AMOSTRAGEM ALEATÓRIA DISTRIBUIÇÕES POR AMOSTRAGEM

AMOSTRAGEM ALEATÓRIA DISTRIBUIÇÕES POR AMOSTRAGEM 6 AMOSTRAGEM ALEATÓRIA DISTRIBUIÇÕES POR AMOSTRAGEM Quado se pretede estudar uma determiada população, aalisam-se certas características ou variáveis dessa população. Essas variáveis poderão ser discretas

Leia mais

Intervalos de Confiança

Intervalos de Confiança Itervalos de Cofiaça Prof. Adriao Medoça Souza, Dr. Departameto de Estatística - PPGEMQ / PPGEP - UFSM - 0/9/008 Estimação de Parâmetros O objetivo da Estatística é a realização de iferêcias acerca de

Leia mais

Matriz em banda. largura de banda superior: número de diagonais não nulas, acima da diagonal principal X 0 X X 0 X X 0 X X 0 0

Matriz em banda. largura de banda superior: número de diagonais não nulas, acima da diagonal principal X 0 X X 0 X X 0 X X 0 0 Matriz em bada X X X X X 0 0 0 0 0 0 0 X X 0 X 0 0 0 0 0 0 0 0 X X X X X X X 0 0 0 0 0 0 X X X X 0 X 0 0 0 0 0 X 0 X X X X X X X 0 0 0 X 0 X X 0 X X 0 X X 0 0 0 X X X X X X X X X X 0 0 0 0 X 0 0 X X X

Leia mais

Mas o que deixou de ser abordado na grande generalidade desses cursos foi o estudo dos produtos infinitos, mesmo que só no caso numérico real.

Mas o que deixou de ser abordado na grande generalidade desses cursos foi o estudo dos produtos infinitos, mesmo que só no caso numérico real. Resumo. O estudo das séries de termos reais, estudado as disciplias de Aálise Matemática da grade geeralidade dos cursos técicos de liceciatura, é aqui estedido ao corpo complexo, bem como ao caso em que

Leia mais

ESCOLA BÁSICA DE ALFORNELOS

ESCOLA BÁSICA DE ALFORNELOS ESCOLA BÁSICA DE ALFORNELOS FICHA DE TRABALHO DE MATEMÁTICA 9.º ANO VALORES APROXIMADOS DE NÚMEROS REAIS Dado um úmero xe um úmero positivo r, um úmero x como uma aproximação de x com erro iferior a r

Leia mais

MOQ 13 PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA. Professor: Rodrigo A. Scarpel

MOQ 13 PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA. Professor: Rodrigo A. Scarpel MOQ 13 PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA Professor: Rodrigo A. Scarpel rodrigo@ita.br www.mec.ita.br/~rodrigo Programa do curso: Semaas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 11 12 13 14 15 e 16 Itrodução à probabilidade evetos

Leia mais

CEDERJ - CENTRO DE EDUCAÇÃO SUPERIOR A DISTÂNCIA DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO

CEDERJ - CENTRO DE EDUCAÇÃO SUPERIOR A DISTÂNCIA DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO CEDERJ - CENTRO DE EDUCAÇÃO SUPERIOR A DISTÂNCIA DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO MATERIAL DIDÁTICO IMPRESSO CURSO: Física DISCIPLINA: Iformática para o Esio de Física CONTEUDISTA: Carlos Eduardo Aguiar AULA

Leia mais

10 - Medidas de Variabilidade ou de Dispersão

10 - Medidas de Variabilidade ou de Dispersão 10 - Medidas de Variabilidade ou de Dispersão 10.1 Itrodução Localizado o cetro de uma distribuição de dados, o próximo passo será verificar a dispersão desses dados, buscado uma medida para essa dispersão.

Leia mais

O jogo MAX_MIN - Estatístico

O jogo MAX_MIN - Estatístico O jogo MAX_MIN - Estatístico José Marcos Lopes Resumo Apresetamos este trabalho um jogo (origial) de treiameto para fortalecer os coceitos de Média, Mediaa, Moda, Desvio Padrão e Desvio Médio da Estatística

Leia mais

CAPÍTULO 6 - ESTIMAÇÃO E TESTES DE HIPÓTESES

CAPÍTULO 6 - ESTIMAÇÃO E TESTES DE HIPÓTESES CAPÍTULO 6 - ESTIMAÇÃO E TESTES DE HIPÓTESES 6. INTRODUÇÃO INFERÊNCIA ESTATÍSTICA Estimação por poto por itervalo Testes de Hipóteses População X θ =? Amostra θ Iferêcia Estatística X, X,..., X 6. ESTIMAÇÃO

Leia mais

DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE

DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE Seja uma v.a. que assume os valores,,..., com probabilidade p, p,..., p associadas a cada elemeto de, sedo p p... p diz-se que está defiida

Leia mais

Resposta de Sistemas de 2 a Ordem à Excitação Periódica Não Harmônica

Resposta de Sistemas de 2 a Ordem à Excitação Periódica Não Harmônica Resposta de Sistemas de a Ordem à Excitação Periódica Não Harmôica 1 18 Resposta de Sistemas de a Ordem à Excitação Periódica Não Harmôica 1 INTRODUÇÃO Muitas vezes, a excitação é uma fução periódica,

Leia mais

Capítulo II - Sucessões e Séries de Números Reais

Capítulo II - Sucessões e Séries de Números Reais Capítulo II - Sucessões e Séries de Números Reais 2 Séries de úmeros reais Sabemos bem o que sigifica u 1 + u 2 + + u p = p =1 e cohecemos as propriedades desta operação - comutatividade, associatividade,

Leia mais

Sumário. 2 Índice Remissivo 19

Sumário. 2 Índice Remissivo 19 i Sumário 1 Estatística Descritiva 1 1.1 Coceitos Básicos.................................... 1 1.1.1 Defiições importates............................. 1 1.2 Tabelas Estatísticas...................................

Leia mais

2 OPERAÇÕES E REPRESENTAÇÃO BÁSICAS EM 2D

2 OPERAÇÕES E REPRESENTAÇÃO BÁSICAS EM 2D 2 OPERAÇÕES E REPRESENTAÇÃO BÁSICAS EM 2D Neste capítulo abordaremos os aspectos pricipais em um sistema gráfico 2D: Trasformações 2D e o Sistema de Coordeadas Homogêeo Como Modelamos as Traformações de

Leia mais

ESTIMAÇÃO POR INTERVALO (INTERVALOS DE CONFIANÇA)

ESTIMAÇÃO POR INTERVALO (INTERVALOS DE CONFIANÇA) 06 ETIMÇÃO OR INTERVLO (INTERVLO DE CONINÇ) Cada um dos métodos de estimação potual permite associar a cada parâmetro populacioal um estimador. Ora a cada estimador estão associadas tatas estimativas diferetes

Leia mais

INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL

INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL 1 Mat-15/ Cálculo Numérico/ Departameto de Matemática/Prof. Dirceu Melo LISTA DE EXERCÍCIOS INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL A aproximação de fuções por poliômios é uma das ideias mais atigas da aálise umérica,

Leia mais

ESTATÍSTICA. PROF. RANILDO LOPES U.E PROF EDGAR TITO

ESTATÍSTICA. PROF. RANILDO LOPES  U.E PROF EDGAR TITO ESTATÍSTICA PROF. RANILDO LOPES http://ueedgartito.wordpress.com U.E PROF EDGAR TITO Medidas de tedêcia cetral Medidas cetrais são valores que resumem um cojuto de dados a um úico valor que, de alguma

Leia mais

Tópicos: Análise e Processamento de BioSinais. Mestrado Integrado em Engenharia Biomédica. Faculdade de Ciências e Tecnologia. Universidade de Coimbra

Tópicos: Análise e Processamento de BioSinais. Mestrado Integrado em Engenharia Biomédica. Faculdade de Ciências e Tecnologia. Universidade de Coimbra Cap. 5-Trasformada de Z Uiversidade de Coimbra Aálise e Processameto de BioSiais Mestrado Itegrado em Egeharia Biomédica Faculdade de Ciêcias e Tecologia Uiversidade de Coimbra Slide Aálise e Processameto

Leia mais

ENGENHARIA DA QUALIDADE A ENG AULA 3 TEOREMA DO LIMITE CENTRAL INTRODUÇÃO AO CONTROLE ESTATÍSTICO DE PROCESSO

ENGENHARIA DA QUALIDADE A ENG AULA 3 TEOREMA DO LIMITE CENTRAL INTRODUÇÃO AO CONTROLE ESTATÍSTICO DE PROCESSO ENGENHARIA DA QUALIDADE A ENG 09008 AULA 3 TEOREMA DO LIMITE CENTRAL INTRODUÇÃO AO CONTROLE ESTATÍSTICO DE PROCESSO PROFESSOR: CARLA SCHWENGBER TEN CATEN Teorema do limite cetral A soma (e sua média) de

Leia mais

SUPERPOSIÇÃO DE ONDAS E ONDAS ESTACIONÁRIAS

SUPERPOSIÇÃO DE ONDAS E ONDAS ESTACIONÁRIAS Notas de aula- Física II Profs. Amauri e Ricardo SUPERPOSIÇÃO DE ONDAS E ONDAS ESTACIONÁRIAS Superposição de Odas O pricípio de superposição é uma propriedade do movimeto odulatório. Este pricípio afirma

Leia mais

DFS Série Discreta de Fourier DFT Transformada Discreta de Fourier Convolução Circular

DFS Série Discreta de Fourier DFT Transformada Discreta de Fourier Convolução Circular Sistemas de Processameto Digital Egeharia de Sistemas e Iformática Ficha 4 5/6 4º Ao/ º Semestre DFS Série Discreta de Fourier DFT Trasformada Discreta de Fourier Covolução Circular Para calcular a DFT,

Leia mais

Quantificando os Fenômenos Biológicos

Quantificando os Fenômenos Biológicos 1 ECOSSISTEMA Os ecossistemas estão costituídos por comuidades. A comuidade é uma uidade ecológica de visualização meos clara a atureza que outros coceitos como o de idivíduo ou mesmo o de população, que

Leia mais

PREVISÃO DE PRECIPITAÇÃO

PREVISÃO DE PRECIPITAÇÃO 4 PREVISÃO DE PRECIPITAÇÃO PROBABILIDADE NOS PROJETOS Em Egeharia o cohecimeto das magitudes das precipitações apreseta grade iteresse prático por sua freqüete aplicação os projetos hidráulicos. Nos projetos

Leia mais

PROVA DE MATEMÁTICA DA UNIFESP VESTIBULAR 2011 RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia Gouveia.

PROVA DE MATEMÁTICA DA UNIFESP VESTIBULAR 2011 RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia Gouveia. PROVA DE MATEMÁTICA DA UNIFESP VESTIBULAR 0 Profa Maria Atôia Gouveia 6 A figura represeta um cabo de aço preso as etremidades de duas hastes de mesma altura h em relação a uma plataforma horizotal A represetação

Leia mais

ESTIMAÇÃO DA PROPORÇÃO POPULACIONAL p

ESTIMAÇÃO DA PROPORÇÃO POPULACIONAL p ESTIMAÇÃO DA PROPORÇÃO POPULACIONAL p Objetivo Estimar uma proporção p (descohecida) de elemetos em uma população, apresetado certa característica de iteresse, a partir da iformação forecida por uma amostra.

Leia mais

F- MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON

F- MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON Colégio de S. Goçalo - Amarate - F- MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON Este método, sob determiadas codições, apreseta vatages sobre os método ateriores: é de covergêcia mais rápida e, para ecotrar as raízes, ão

Leia mais

2.3 Dimensionamento segundo as normas de outros países

2.3 Dimensionamento segundo as normas de outros países Cap. 2 Revisão bibliográfica 30 2.3 Dimesioameto segudo as ormas de outros países A seguir estão apresetados os critérios de dimesioameto, referete ao assuto em questão, de ormas de países com larga tradição

Leia mais

META Suprir algumas deficiências sobre álgebra ensinada em matemática no nível médio

META Suprir algumas deficiências sobre álgebra ensinada em matemática no nível médio ÁLGEBRA BÁSICA Aula 5 META Suprir algumas deficiêcias sobre álgebra esiada em matemática o ível médio OBJETIVOS Ao fi al desta aula, o aluo deverá: defi ir coceitos matemáticos de álgebra básica; iterpretar

Leia mais

( ) ( ) ( ) ( ) 4.4- Forma de Newton-Gregory para o polinômio interpolador.

( ) ( ) ( ) ( ) 4.4- Forma de Newton-Gregory para o polinômio interpolador. 44- Forma de Newto-Gregory para o poliômio iterpolador No caso em que os ós da iterpolação x 0, x,, x são igualmete espaçados, podemos usar a orma de Newto-Gregory para obter p (x Estudaremos iicialmete

Leia mais

Secção 1. Introdução às equações diferenciais

Secção 1. Introdução às equações diferenciais Secção. Itrodução às equações difereciais (Farlow: Sec..,.) Cosideremos um exemplo simples de um feómeo que pode ser descrito por uma equação diferecial. A velocidade de um corpo é defiida como o espaço

Leia mais

Capítulo 39: Mais Ondas de Matéria

Capítulo 39: Mais Ondas de Matéria Capítulo 39: Mais Odas de Matéria Os elétros da superfície de uma lâmia de Cobre foram cofiados em um curral atômico - uma barreira de 7,3 âgstros de diâmetro, imposta por 48 átomos de Ferro. Os átomos

Leia mais

O Átomo de Hidrogênio

O Átomo de Hidrogênio Física IV Poli geharia létrica: 11ª Aula (3/08/014) Pro. Alvaro Vaucci Na última aula vimos: h eito Compto: ' 0 (1 cos ) ( Lei decompto) mc e Ou seja, um óto (comportameto corpuscular), além de possuir

Leia mais

b) Fabrico de peças cilíndricas Capítulo 5 - Distribuições conjuntas de probabilidades e complementos X - comprimento da peça Y - diâmetro da peça

b) Fabrico de peças cilíndricas Capítulo 5 - Distribuições conjuntas de probabilidades e complementos X - comprimento da peça Y - diâmetro da peça Capítulo 5 - Distribuições cojutas de probabilidades e complemetos 5.1 Duas variáveis aleatórias discretas. Distribuições cojutas, margiais e codicioais. Idepedêcia Em relação a uma mesma eperiêcia podem

Leia mais

GABARITO DO GE5 ONDAS ESTACIONÁRIAS, BATIMENTOS E EFEITO DOPPLER

GABARITO DO GE5 ONDAS ESTACIONÁRIAS, BATIMENTOS E EFEITO DOPPLER GABARTO DO GE ONDAS ESTACONÁRAS, BATMENTOS E EFETO DOPPLER.9 Exercícios de Fixação G.E..9.1) Duas odas 1 e estão presetes em uma corda: y 1 (3 mm) se [(, rad/m)x - (1,7 rad/s)t] y (3 mm) se [(, rad/m)x

Leia mais

1. Revisão Matemática

1. Revisão Matemática Sequêcias de Escalares Uma sequêcia { } diz-se uma sequêcia de Cauchy se para qualquer (depedete de ε ) tal que : ε > 0 algum K m < ε para todo K e m K Uma sequêcia { } diz-se ser limitada superiormete

Leia mais

NOTAÇÕES. denota o segmento que une os pontos A e B. In x denota o logarítmo natural de x. A t denota a matriz transposta da matriz A.

NOTAÇÕES. denota o segmento que une os pontos A e B. In x denota o logarítmo natural de x. A t denota a matriz transposta da matriz A. MATEMÁTICA NOTAÇÕES é o cojuto dos úmeros compleos. é o cojuto dos úmeros reais. = {,,, } i deota a uidade imagiária, ou seja, i =. Z é o cojugado do úmero compleo Z Se X é um cojuto, PX) deota o cojuto

Leia mais

Séquências e Séries Infinitas de Termos Constantes

Séquências e Séries Infinitas de Termos Constantes Capítulo Séquêcias e Séries Ifiitas de Termos Costates.. Itrodução Neste capítulo estamos iteressados em aalisar as séries ifiitas de termos costates. Etretato, para eteder as séries ifiitas devemos ates

Leia mais

Prova Escrita de Matemática A

Prova Escrita de Matemática A EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO Decreto-Lei.º 74/2004, de 26 de março Prova Escrita de Matemática A 2.º Ao de Escolaridade Prova 65/.ª Fase Critérios de Classificação 0 Págias 202 COTAÇÕES GRUPO I.

Leia mais

2 Conceitos Básicos de Redes de Bragg

2 Conceitos Básicos de Redes de Bragg Capítulo Coceitos Básicos de Redes de Bragg 1 Coceitos Básicos de Redes de Bragg.1. Redes de Bragg em fibras ópticas Uma rede de Bragg gravada em uma fibra óptica costitui uma modulação local e periódica

Leia mais

2. COMBINAÇÃO LINEAR E DEPENDÊNCIA LINEAR DE VETORES

2. COMBINAÇÃO LINEAR E DEPENDÊNCIA LINEAR DE VETORES CAPITULO II COMBINAÇÃO LINEAR E DEPENDÊNCIA LINEAR DE VETORES Acreditamos que os coceitos de Combiação Liear (CL) e de Depedêcia Liear serão melhor etedidos se forem apresetados a partir de dois vetores

Leia mais

Escola de Engenharia de Lorena EEL USP Departamento de Engenharia Química DEQUI Disciplina: Normalização e Controle da Qualidade NCQ

Escola de Engenharia de Lorena EEL USP Departamento de Engenharia Química DEQUI Disciplina: Normalização e Controle da Qualidade NCQ 1 Escola de Egeharia de orea EE SP Departameto de Egeharia Química DEQI Disciplia: Normalização e Cotrole da Qualidade NCQ Capítulo : Amostragem por Variáveis (MI STD 1) SEÇÃO A.1 Objetivo Este capítulo

Leia mais

arxiv: v1 [math.ho] 3 Sep 2014

arxiv: v1 [math.ho] 3 Sep 2014 Álbum de figurihas da Copa do Mudo: uma abordagem via Cadeias de Markov Leadro Morgado IMECC, Uiversidade Estadual de Campias arxiv:409.260v [math.ho] 3 Sep 204 Cosiderações iiciais 6 de maio de 204 Com

Leia mais

PROJETO DE MECANISMOS DE 4 BARRAS PARA OBTER UMA TRAJETÓRIA DESEJADA COM AUXÍLIO COMPUTACIONAL

PROJETO DE MECANISMOS DE 4 BARRAS PARA OBTER UMA TRAJETÓRIA DESEJADA COM AUXÍLIO COMPUTACIONAL PROJETO DE MECANISMOS DE 4 BARRAS PARA OBTER UMA TRAJETÓRIA DESEJADA COM AUXÍLIO COMPUTACIONAL Alcir Doizete de Souza, Carlos Sergio Pivetta 2, Osvaldo Prado De Rezede 3 Aa Maria Fortes da Foseca 4, Roberto

Leia mais

Objetivos. Os testes de hipóteses ser: Paramétricos e Não Paramétricos. Testes não-paramétricos. Testes paramétricos

Objetivos. Os testes de hipóteses ser: Paramétricos e Não Paramétricos. Testes não-paramétricos. Testes paramétricos Objetivos Prof. Lorí Viali, Dr. http://www.pucrs.br/famat/viali/ viali@pucrs.br Testar o valor hipotético de um parâmetro (testes paramétricos) ou de relacioametos ou modelos (testes ão paramétricos).

Leia mais