Método das Forças. Exemplos de Aplicação em Vigas

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1 Exemplos de plicação em Vigas

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3 Vigas EXEPLO: nalise a viga da figura por meio do étodo das orças considerando como incógnita redundante o momento fletor no apoio B. espreze o efeito das deformações devidas à força cortante no cálculo dos coeficientes. igura Viga contínua igura Estrutura isostática fundamental Propriedades geométricas da seção I B, (,7) I B 5,7667 m I I BC B, (,5) I BC,8,7 I I, 7 I BC B m ódulo de elasticidade constante: E constante ase L igura ase L

4 Vigas igura iagrama de momento fletor ase L QL QL B Lmdx + BC Lmdx (8) (5) + E (,7 I) 55,9,67 67, (5 + ) ,857 QL QL ase igura 5 ase igura 6 iagrama de momento fletor ase ( m ) dx + B BC ( m ) dx E (,7 I ),685

5 Vigas Cálculo da redundante QL + Q Q QL + Q Q 6,857,685 Q + Cálculo dos esforços nas barras Q,88 knm 8 V 8 V 5 V 5 V BE B C Pontos de cortante nulo Vão B (8) +,88 (8),88 (5) 8,88 (5) 8 +,88 V V V BE V C 6,5 kn B 95,9 kn 9,98 kn 5, kn 6,5 X B X B, m Vão BC V V E 5, +, kn 5, + + 8,98 kn (Logo tem-se que a força cortante muda de sinal sob o ponto ) Pontos de momento máximo Vão B (,), 6,5, 5 knm ÁX ÁX Vão BC (sob o ponto ) () 5, 68, 5kNm ÁX ÁX 5

6 Vigas iagrama de esforços solicitantes igura 7 iagrama de força cortante igura 8 iagrama de momento fletor 6

7 Vigas EXEPLO: nalise a viga da figura através do étodo das orças considerando como incógnitas redundantes os momentos fletores nos apoios e B. espreze o efeito das deformações devidas à força cortante no cálculo dos coeficientes. ado: constante em todos os vãos da viga. igura 9 Viga contínua igura Estrutura isostática fundamental ase L igura ase L igura iagrama de momento fletor ase L 7

8 Vigas QL QL L L + + B m dx BC m dx C (6) 8 QL Lmdx QL L L + + B m dx BC m dx C Lmdx QL (6) [ ( + ) () + ] 6 () QL QL 66 ase igura ase igura iagrama de momento fletor ase ( m ) dx ( m ) dx ( m ) dx m m m m m m B BC C B BC C dx dx dx 8

9 Vigas ase igura 5 ase igura 6 iagrama de momento fletor ase m dx m dx m dx + + ( ) ( ) ( ) B BC + C Cálculo das redundantes Q QL Q Q Q / ( ) [ / ] ( ) 7 8 QL 66 9 Q 7 / 7 ( ), Q kn m 9,5 7 / 9

10 Vigas Esforços nas barras 6 V 6 V V BE B (6), + 9,5 (6) +, 9,5 6 9,5 + () VCE 6 + 9,5,5 V C Pontos de cortante nulo Vão B V V V V V BE 5, kn B CE C 6,88 kn 5,8 kn,6 kn, kn 5, X B X B, 9m Vão BC V V EE E 5,8 5,8 6 V V EE E 6,8 kn,6 kn Logo o momento máximo no vão BC será no ponto E. Pontos de momento máximo Vão B (,9),9 5,, 7, 5kNm ÁX ÁX omento no ponto central do vão () 5,, 7, knm Vão BC () 5,8 9,5 7, knm ÁX ÁX

11 Vigas iagrama de esforços solicitantes igura 7 iagrama de força cortante igura 8 iagrama de momento fletor

12 Vigas EXEPLO: Resolver a viga da figura pelo étodo das orças. Considerar apenas as deformações por flexão. ado: constante. igura 9 Viga Contínua Q Q igura Estrutura isostática fundamental ase L igura ase L igura iagrama de momento fletor ase L

13 Vigas ase igura ase igura iagrama de momento fletor ase ase igura 5 ase igura 6 iagrama de momento fletor ase

14 Vigas Cálculo dos deslocamentos 8 L ( QL dx x ) + ( m dx x ) dx + ( x + ) ( dx x ) dx 6, L ( QL dx x ) + ( m dx x ) dx + ( Cálculo dos coeficientes de flexibilidade + x ) dx ( x ) dx 9, 8 mm ( dx ) dx, 8 mm ( 5, dx x ) dx 8 8 m m ( dx ) dx 7,6666 ase inal Cálculo das redundantes 6,666, 5, QL 9, 5, 7,6666 QL Q Q { } Q + Q QL,8,6696,6696,678,8 Q,6696,6696,678 6,666, 9,,85

15 Vigas Cálculo das demais reações de apoio igura 7 Reações de apoio V V +,,85 + V 9, 7 kn + +, + 8,85 8, 9 knm iagrama de esforços solicitantes igura 8 iagrama de força cortante igura 9 iagrama de momento fletor 5

16 Vigas EXEPLO: Calcule a viga contínua abaixo usando o método das forças e em seguida trace os diagramas finais de força cortante e momento fletor. espreze as deformações devidas à força cortante no cálculo dos coeficientes. igura Viga contínua ados: Seção transversal das barras B, E e E cm x 5cm. Seção transversal das barras BC e C cm x cm. Grau de indeterminação estática (g.i.e.): - nº de vinculos externos nº de equações de equilibrio - g.i.e. 6- igura Estrutura isostática fundamental Propriedades geométricas das seções transversais Barras B, E e E 5 cm,m I I 5 8, cm,8 m Barras BC e C 8cm,8m I 6666,67 cm I,667 m 6

17 Vigas ase L igura ase L Utilizando tabelas de deslocamentos em vigas isostáticas: - ' ' QL QL + QL ' QL ' B 5, 5,,5 + B QL B BC 669,57 E QL '' BC,5 BC - ' ' QL QL + QL ' QL ' BC,5 BC [ ( + ) ] QL '' + + C 6 C C C,5 7 + QL BC C 8669,659 E 7 C - ' ' QL QL + QL ' [ ( + ) ], QL ' + + C 6 C C C 6 ( + 5) 5 6,6667 QL '' 6 5 E 6 E E E 6, 79, + QL C E 96 97,5 E E 79, 6, C 7

18 Vigas ase (Q ; Q ; Q ) + ' ' ' igura ase ' '' 6 B BC 68,6 E BC 577, E ase (Q ; Q ; Q ) 6 BC 68,6 E igura ase + ' ' ' ' '' 6 BC C 6,85 E C 86,785 E 8

19 Vigas ase (Q ; Q ; Q ) 6 C 6,85 E igura 5 ase + ' ' ' 5 ' '' C E 9,78 E ase inal Cálculo das redundantes: Q QL + Q Q QL 669, ,659 E 97,5 577, 68,6 68,6 86,785 6,85 6,85 9,78 E Resolvendo-se o sistema:,65 knm Q,95 knm 9,88 knm ESTRUTUR INL: igura 6 Indicação dos momentos fletores nos apoios 9

20 Vigas Cálculo das reações de apoio kn V V B B C 9,75 ' ',95,65 ' ' + kn V V C C B,5 ',65,95 ' + + ( ) ( ) kn V V C C 5,88 '' 9,88,95 '' + ( ) kn V V C, ',95 9,88 ' ( ) kn V V E 9,98 ' ', 9,88 6 '' 5 + ( ) ( ) kn V V E E, 9, Resumindo: kn V kn V V V kn V V V kn V V V kn V E C C C B B B, 7, 76, 75,, '' ' '' ' '' ' kn V V B B 5,66 ',65 ' + + kn V V B,,65 +

21 Vigas IGRS INIS igura 7 - iagrama de força cortante igura 8 - iagrama de momento fletor Cálculo dos coeficientes do exemplo usando o princípio dos trabalhos virtuais (P.T.V.): iagrama de momento fletor nas diversas fases: igura 9 - iagramas da SE L igura - iagramas da SE

22 Vigas igura - iagramas da SE igura - iagramas da SE Lmi Cálculo dos deslocamentos: SE L : QLi dx QL ( )dx + B + BC,5 5,,5 + QL B BC B BC ( ) dx 669,57 QL ( ) dx + ( BC C ) dx+ C ( ) dx + ( C ( +,5) 6( +,5),5 QL + + BC C C 6 9,5 8669,659 QL, I BC I E BC ( ) ( ) BC C ) dx + C 6,5 QL ( )dx + ( C C ) dx + C ( ) dx + ( E ) dx + E ( ) dx

23 Vigas QL C,6 + E QL C,5 + ( 6 ) 6 C 6,5 + (, + + ) + ( 6,9 +,) E C 6 (,5 + ) 6 ( +,6) + 6, 79, 97,5 + E C 6 E E 6 Coeficientes de flexibilidade: B ( ) dx + ( ( ) ( ) + BC ) dx 6, 97, + E E B BC 577, E BC ( ) dx BC 6 68,6 E 68,6 E BC ( ) dx + ( ( ) ( ) + C ) dx 97, 9,6 + E E BC C 86,8 E C ( ) dx C ( ) 6,8 6 E 6,8 E C ( ) dx + ( ( ) ( ) + E 5 ) dx 5 9,6 8 + E E C E 9,7 E

24 Vigas EXEPLO5: Calcule as reações de apoio da viga da figura utilizando o método das forças. Considere as deformações devidas à força cortante e ao momento fletor. seção transversal usada trata-se de um perfil soldado de aço, padrão VS-8x, conforme figura. ados: E,x kn/cm (aço) G8x kn/cm (aço) igura - Viga cm f L S,8 77,5 6cm L I 557cm,9 6 Estrutura isostática fundamental: G.I.E - ase L igura - Estrutura isostática fundamental igura 5 - ase L,5,9,5 QL 765 8, ( 7,79 +,56) 7, cm

25 Vigas ase igura 6 - ase,9,6,58 +, Equação de compatibilidade: Q Q QL + Q QL 7,765 Q 69,8kN (Reação vertical no apoio B),7,7 Cálculo das reações de apoio finais: (usando o método da superposição de efeitos) L V V + V Q 5 69,8 8, 6kN (para cima) L + Q 5 69,8 55, 6kNm (sentido anti-horário) Caso fossem desprezadas as deformações devidas à força cortante: ql QL 7, 79cm 8 L Q 68, 75KN, V 8,5kN emais reações de apoio : 56,5kNm Erros cometidos devido à não consideração das deformações devidas à força cortante: 68,75 69,8 - Erro% Q :,6% 69,8 8,5 8,6 - Erro % V :,8% 8,6 56,5 55,6 - Erro % a :,98% 55,6 - Observação : O cálculo de QL e de se baseou no resultado obtido no exemplo a seguir, onde foi calculada a flecha na extremidade livre da viga em balanço, pelo.c.u., considerando as deformações devidas ao momento fletor e à força cortante. 5

26 Vigas EXEPLO6: Calcule a flecha na extremidade livre da viga em balanço submetida ao carregamento indicado, usando o método da carga unitária. Considere as deformações devidas ao momento fletor e à força cortante. ados: igura 7 Viga em balanço E, G - material elástico linear isotrópico,i - constantes geométricas da seção f s - fator de forma para cisalhamento ase L Estrutura dada submetida ao carregamento real igura 8 ase L (omento fletor) (orça cortante) igura 9 iagramas de força cortante e momento fletor - ase L 6

27 Vigas Para efeito de integração o diagrama L pode ser decomposto como : ase U igura 5 ecomposição do diagrama de momento fletor Carrega-se a estrutura dada com uma carga unitária correspondente ao deslocamento que se pretende determinar. No caso, carga unitária vertical aplicada em B. igura 5 ase U (orça cortante) (omento fletor) igura 5 iagramas de força cortante e momento fletor - ase U plicando-se a equação do.c.u. L mu VL v u B dx + f S dx G ql ql B PL + ( L) L + 8 B L P + f S L L + q + f G 8 S L G f G S ( L)( L) + ( P + ql + P) L Observar na resposta acima a influência da carga P, ª parcela, na qual está explícita a PL influência das deformações de flexão ( ) e a influência das deformações devidas à força L cortante ( P f S ). G L e forma análoga, na ª parcela (influência de q) tem-se q (influência das deformações 8 L de flexão) e f S q (influência da força cortante). G 7

28 Vigas EXEPLO7: Calcule a flecha no meio do vão da viga abaixo, considerando a contribuição da flexão e do cisalhamento. ados: E, kn / cm G 8 kn / cm igura 5 Viga bi-apoioada Propriedades geométricas da seção: I 557cm ES L 8cm 6cm ES + L cm ator de forma para cisalhamento: f S L 6,9 ase L ase U igura 5 ase L igura 55 ase U 8

29 Vigas m dx + vv f S dx O deslocamento é composto de duas parcelas, uma devida G à flexão e outra devida ao cisalhamento. (infl.do momento) c (infl. da força cortante) Utilizando a tabela de integrais de produto, tem-se: - contribuição do momento fletor ( ) 5. 5 Substituindo os valores:,8m C - contribuição da força cortante ( ) f S 5 C G (. 5 Substituindo os valores: C,m flecha será então: + C,8 +,,9m influência da força cortante no deslocamento total é, então: C C,59 corresponde a 5,9% do deslocamento total. 9

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31 Exemplos de plicação em Treliças

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33 Treliças EXEPLO: eterminar os esforços nas barras da treliça da figura abaixo utilizando o método das forças. ados: Econstante. sen cos ( α), 6 ( α), 8 igura Treliça Grau de indeterminação estática: ( m + v) ( + 6) G. I. E n Q N B igura - Estrutura isostática fundamental Equação de compatibilidade (deslocamento axial relativo na seção transversal da barra B) : Q

34 Treliças ase L N cos N sen ( α ) N C cos( α ) ( α ) N sen( α ) C N + N 6,5 N C 5, 8 N 7, 9 N NC 8, N 6, 5 N N, C C ase Q ( N B ) ( α) N C sen( α) N N C N sen V ( α) + N cos( α) + H N cos C ( α ) N, 65 N 65 N cos, C Cálculo dos coeficientes Barra L i { L } i { n } L i N { n } i { N L n L} i ( ),5 7,9 -,65 -,9,97656 C,5 -, -,65 6,8,97656 B,, Σ -97,66,95 QL i N L n L E i 97,66 E ( n ) L E i i,95 E

35 Treliças Cálculo da redundante 97, 66 QL E Q QL + Q,95 E Q ( 97,66),95 Q QL,7 Esforços axiais finais N i ( N L ) + ( n ) Q i i (,7) 57, kn N 7,9,65 8 (,7) 5, kn N C,,65 86 N B Q, 7 kn 5

36 Treliças EXEPLO: Calcular a treliça da figura abaixo utilizando o método das forças. ados: Econstante. Grau de indeterminação estática: ( m + v) ( 6 + ) G. I. E n Incógnitas Redundantes: o Q reação horizontal em B o Q força normal na barra 6 igura Treliça Equações de compatibilidade: igura - Estrutura isostática fundamental Q Q 6

37 Treliças ase L, ase e ase ase L ase ase Quadro resumo dos esforços nas diversas fases igura 5 ase L, ase e ase Barra { E } i L i { L } i N { n } i { n } i E E 5 E - E 5-5 E 5 6 E 7

38 Treliças Cálculo dos coeficientes das matrizes e vetores { L} i { n } L i Barra { N L n L} i { N L n L} i ( n ) { n n L} i ( ),5-5 5,5,5 5, Σ -57,6 -,85 8,,85 QL 6 i N L n L E i 57,6 E QL 6 i N ( n ) L n L E L E 6 i i i, E,85 E 6 n n L i E ( n ) L E 6 i i i,85 E 8, E Notar que nos somatórios acima o índice i varia de a 6, onde 6 é o número de barras da treliça. 8

39 Treliças Cálculo das redundantes 57,6,85 8, QL E E 8,,85 Q QL + Q Q 5,858 kn Q -, kn orças normais finais N i ( N L ) + ( n ) Q + ( n ) Q (Superposição de efeitos) i i i N,858 (barra C) N 5,858 (barra B) N - 9, (barra C) N (barra B) N 5 (barra BC) N 6 -, (barra ) 9

40 Treliças EXEPLO: Considerando a treliça da figura e a relação de áreas das suas barras, determinar o valor da área mínima necessária para as barras tracionadas, sendo a tensão admissível do aço igual a 6 pa. Utilizar o método da flexibilidade. (Obs.: não é necessário analisar as barras comprimidas, que dependem do índice de esbeltez). igura 6 - Treliça ados: E 5 GPa Estrutura isostática fundamental G.I.E ( b + v ) n ( + ) igura 7 Estrutura isostática fundamental Equações de compatibilidade : Q Q

41 Treliças ase L: igura 8 ase L,5 tanα, α 6, 87,5 tan β, β 6, 57 senα,6 cosα,8 sen β,7 cos β, VC +,5 VC 8, 75 kn V 8,75 + V V 8, 75 kn H + H H kn igura 9 orças normais nas barras ase L Nó : V N.,6 8,75 N, E E 5 H,5,8 + N B N B 5 kn kn

42 Treliças Nó B: V N EB H N B NBC NBC 5 kn Nó E: V N.,6 + N + N.,6 E EB CE,5,6 + + N CE.,6 N CE, 5 kn H N.,8 N N.,8 E E CE (,5),8 N kn,5,8 N Nó : H N E N.,89 E E 5 5 N.,89 N, 7 kn V N C + N.,7 N C +,7,7 N C kn Nó C: H N.,8 + N N CE BC C,5,8 5 N C N C kn V N CE.,6 + N + 8,75 C,5,6 + N C + 8,75 N C kn Nó : V + N.,7 H N C + N.,89 N, 7 N C kn kn ase : (Q ; Q ) igura ase. V ' V ' V V ' H H ' C c

43 Treliças Nó : V N igura orças normais nas barras ase E H N Nó B: V N BC B H N EB Nó E: V N.,6 + N + N.,6 N E EB CE H N.,8 + N + N.,8 N E E Nó : H N E N.,89 N V N C + N.,7 N CE Nó C: H N.,8 + N N N CE BC V N CE.,6 + N N Nó : V N.,7 N C H N C + N.,89 N C C C C CE E C

44 Treliças ase : (Q ; Q ) igura ase V " V V " H H " c Nó : N E Nó : N C Nó B: N EB Nó C: N CE Nó E: N CE Nó : N igura orças normais nas barras ase ; N B ; N BC,6 ; N,8 C ; N,6 E ; N,8 C ; N,6

45 Treliças Barra { } i L i { L } i N { n } i { n } i, -5, -5 -,8, -,5,5 5, 5 -,8 6,5,7 7,5 -,6 8,5 - -,6 9,5 -,5,5 Barra N L n L i N L ( n ) n 8 L i L i n ( n ) n L i,6667,6667,5 L,67 5 8, ,65 Σ,65,,5,7,7,5,5,767 QL QL i 5

46 Treliças Equação de compatibilidade Q QL + Q QL + Q Q E,65 +, E,5,5,767 Q Q Q,7 kn Q,78 kn Esforços nas barras da estrutura hiperestática N N L + n.q + n.q N -5+.,7 9,7 kn N -5+.,7,8.,78-9,7 kn N -, kn N,5 kn N 5 5,8.,78,577 kn N 6,7 kn N 7 -,6.,78 -,567 kn N 8 -,6.,78 -,567 kn N 9 -,5 +.,78-6,97 kn N,78 kn Área mínima σ adm 6Pa 6kN / cm max, 7kN σ,7 max min min min, 796 σ adm 6 cm 6

47 Treliças EXEPLO: Calcule as forças normais da treliça da figura utilizando o étodo da lexibilidade (étodo das orças). ados: E,x kn/cm Área da seção transversal das barras: , cm 7, cm 5 6 5, cm 9, cm igura - Treliça 7

48 Treliças Estrutura Isostática undamental - Grau de Inderteminação Estática: Incógnitas Redundantes: força normal na barra 5 força normal na barra a a igura 5 Estrutura Isostática undamental,, 7,565,,5 6,5,99,6,89,7 8

49 Treliças ase L a a Reações de poio: igura 6 ase L Nó I:,89,89,7,7,8 Nó G:,7 5,89 9

50 Treliças Nó H: 5,7,6 79,57,89,99 85 Nó :,99 77,,6, Nó C:, Nó :,99,99,98,6,6,556 Nó E:,6,6 77, Nó B:,99,667,6,556 5

51 Treliças ase a a igura 7 ase Reações de poio: Nó I: Nó : Nó C: Nó : 5

52 Treliças Nó B: Nó :,99,99,6,6 Nó G:,99,99,6,6 Nó H:,99 ase a a igura 8 ase 5

53 Treliças Reações de poio: Nó I: Nó : Nó : Nó G: Nó H: Nó C:,99,99,6,6 Nó E:,6,6,99,99 Nó :,99 5

54 Treliças Quadro Resumo dos Esforços xiais: Barra,8,8,8 -,8-5 -,6 -,99 5 5,6 6 5,6 79, ,99 8 -,556 -,6 -,6 9,6 77,,667 -,99 5,6 5,6 -,98 -,99,6-77, 5,556 6, -,6 7, Cálculo dos Coeficientes das atrizes e Vetores: Barra ,575, -,865,7 5,66 6 5,66 7,9,7 8,5856,5856,,, 9 -,66,5,66-7,77778,66, ,57667, 7 7,998 -,9568,8758,,658 5

55 Treliças 7,998,8758,9568,,658 Solução do Sistema de Equações 7,998,9568,,8758,,658 8,58 8,68 Esforços xiais inais,8,8 7, 6,6 8,58,76 8,99 9, 7,,8 8,68, 7,8 77,,556,8, 55

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57 Exemplos de plicação em Pórticos

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59 Pórticos nálise de Pórticos Planos eformações possíveis de ocorrer nos pórticos são devidas a: omento letor orça Normal orça Cortante m Nn x dx + dx + f s E Vv dx G eformação preponderante: evida a momento fletor Cálculo dos coeficientes: - Considerar sempre o efeito das deformações devidas ao momento fletor QLj m j Nn j Vv j dx + dx + f s dx E G ij mim j nin j viv j dx + dx + f s dx E G 59

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61 Pórticos EXEPLO: nalisar o pórtico dado considerando as deformações por flexão e as deformações axiais. ados: - constante. - E constante. - Seção Transversal: x5 cm. B C igura Pórtico plano Grau de indeterminação estática: B B C igura - Estrutura isostática fundamental ase L B B igura ase L C 6

62 Pórticos iagramas orça normal: nula nas duas barras B B B B C (V L) ( L) C igura iagramas de força cortante e momento fletor ase L ase B B igura 5 ase C iagramas B B B B B C C C (N ) (V ) ( ) igura 6 iagramas de força normal, força cortante e momento fletor ase 6

63 Pórticos ase B B C igura 7 ase iagramas B B B B B B C C C (N ) (V ) ( ) igura 8 iagramas de força normal, força cortante e momento fletor ase ase B B C igura 9 ase 6

64 Pórticos iagramas orça normal: nula nas duas barras. orça cortante: nula nas duas barras. B B C Propriedades geométricas igura iagrama de momento fletor ase,,5 I,,5, m,8 m 8 8 I I Cálculo de QL QLj L j L j L j dx + dx + dx + B m BC m B N n E BC N L n E j dx QL ( )( 5) 5 5 QL ( ) 5 6 QL Cálculo dos coeficientes de ij i j i j i j dx + dx + dx + B m m + BC ( )( ) m m B n n E BC nin j dx E E E

65 Pórticos 65 ( ) ( ) ( ) E E ase inal 5 8 5,67 8, QL Q QL Q +,9,59 5,757 Q Caso fosse omitido o efeito das deformações axiais: 5 8 5, 8, 6 5 QL,857,86 6,7 Q

66 Pórticos Esforços finais (considerando as deformações axiais) B B C Por equilíbrio: igura Esforços finais H 5,76 kn V 8,6 6,6 kn 8 5,6 +, 68, 8 knm H C 5,76 kn V C,6 kn C, + 5,76, 6 knm iagramas de esforços solicitantes B (N) C (V) C B () igura iagramas de força normal, força cortante e momento fletor C 66

67 Pórticos EXEPLO: Calcular as reações de apoio do pórtico da figura utilizando o método da flexibilidade, incluindo as deformações devidas ao momento fletor, à força normal e à cortante. Traçar os diagramas finais de esforços solicitantes. igura Pórtico plano ados: E 5 GPa ν, G.I.E + - G.I.E. igura Estrutura isostática fundamental Propriedades geométricas Área 5.,5 + 5.,5 +,. 7,5 65 cm. 7,5 I ,98 cm. E..5 kn 9.8, knm 67

68 Pórticos ase L tan β igura 5 ase L sen β,89 cos β,7 H H L 5,5 6. VCL. 5, VCL, 75 kn V V +,75.5,5 5 V 56, kn L L 5 igura 6 ecomposição dos esforços ase L 68

69 Pórticos (N L ) (V L ) ( L ) igura 7 iagramas da fase L Barra BC: V 6,5 X 6,5 X X,5 m X,5 + 6,5X X,5 m X,8 knm ase (Q ; Q ) igura 8 ase 69

70 Pórticos 6. V ' V ' V V' 6 H H ' C C 6 iagramas igura 9 ecomposição dos esforços ase (N ) (V ) ( ) igura iagramas da ase 7

71 Pórticos ase (Q ; Q ) igura ase VC " VC ", 667 kn V V", 667 kn H H " kn iagramas igura ecomposição dos esforços ase (N ) (V ) ( ) igura iagramas da fase 7

72 Pórticos Cálculo dos deslocamentos QL QL QL + 98,,5 6 5 ( +,667),7 +,667 (,5 + (,5) ) (,667 ) + [( 5,) (,9),7] 5,65,5 QL,65 x 5 QL 98,,5 [( 5,) (,),7] 6 rad + (,667),7 +,667 +,667 (,5 (,5) ),88,76 QL,86 x 6 m Cálculo dos coeficientes de flexibilidade , 6 ( ( +,667,667 ) +,667 +,667 ) [(,9 ),7 ],7 +,667,9 x [(,,7 ) ],667,7, , + 5, x 98, 6 + 5,6 (,667) ( +,667),7 + (,667) (,667) [(,9) (,) (,7) ] 7

73 Pórticos Equação de compatibilidade Q QL + Q,65 x,86 x +,9 x,6 x,6 x, x Q. Q Q 5,55 kn m Q -8,656 kn m Estrutura Hiperestática V V L + V.Q + V.Q V 56,5 -,667. 5,55 + (-,6667). (- 8,656)) V 87,76 kn V C V CL + V C.Q + V C.Q V C,75 +,667. 5,55 +,6667. (- 8,656) V C 7, kn H H L + H.Q + H.Q H - - (-8,656) H 8,656 kn Estrutura inal 7,kN 8,656kN 5,55kNm 8,656kN 87,76kN igura Reações de apoio 7

74 Pórticos iagramas inais 8,656kN N,kN 7,76kN,89m,7kN V,kN,55kNm,55kNm,kNm 5,55kNm igura 5 iagramas de força normal, força cortante e momento fletor 7

75 Pórticos EXEPLO: Calcular o pórtico da figura abaixo pelo método das forças considerando: () s deformações devidas ao momento fletor, força cortante e força normal. () penas as deformações devidas ao momento fletor e à força normal. () penas as deformações devidas ao momento fletor. dotar como incógnitas redundantes o momento no apoio (Q ) e o momento fletor na extremidade B da barra B (Q ). ados: - Seção transversal retangular constante: bcm; hcm - ódulo de elasticidade: E,x 7 kn/m - Coeficiente de Poisson: ν, α igura 6 Pórtico plano igura 7 - Estrutura isostática fundamental (E.I.) 75

76 Pórticos Propriedades Geométricas do Pórtico e da Seção Transversal, (,) I 75 I,667 o α rc tan, 5 m,,,8m sendo Econstante E 75 Cos( α),9858 Sen( α),966 Seção retangular f s, E G E E, G ( + υ) ( 75 I),5, 5 Comprimento da Barra BC l BC 5, 99m Cosα ase L igura 8 ase L Reações de poio: ( B) B H H H H H C H C C 5 V 6 V 86, kn V VC + 86, 6 VC 57, 6kN 76

77 Pórticos iagramas da ase L C C B B V L N L C B L igura 9 iagrama de força normal, força cortante e momento fletor ase L ase (Q ; Q ) igura ase Reações de poio: ( B) B H H H H H C H C C 5 V + V 5 V V VC VC 5 77

78 Pórticos iagramas da ase C C B B N V C B igura iagramas de força normal, força cortante e momento fletor ase ase (Q ; Q ) igura ase 78

79 Pórticos Reações de poio: ( B) B H + H H H H C H C C 5 V + V 5 V V VC VC 5 iagramas da ase C C B B N V C B igura iagramas de força normal, força cortante e momento fletor ase 79

80 Pórticos ase inal () Considerando as deformações devidas ao momento fletor, força cortante e força normal. Cálculo do Vetor QL : m N n dx + dx + f E V v dx G + + L L L QL S QL QL QL m N n dx + dx + f E V v dx G + + L L L QL S QL QL QL Influência do omento letor: QL 7, ( ) 5,99 75, 5,99 79 QL + + Influência da orça Normal: 8, 86, (,) (,,) 5,99 95 QL E + 5 E 7, 86, (,79)(,, ) 5,99 8 QL E E Influência da orça Cortante: QL,, (,96)( 6,8 56,8) 5,99 8 QL G G Portanto: 8,95 8,95, QL + + E 75 7,79 7,8,8 7,79 7,8,8 6, 55 QL E G 75,5 8

81 Pórticos Cálculo da atriz : ( m ) ( n ) ( v ) dx + dx + f dx + + S E G m m n n v v S E G dx + dx + f dx + + ( m ) ( n ) ( v ) dx + dx + f dx + + S E G - Influência do omento letor: (,) 6 (,) + (,) 5,99,6997 Influência da orça Normal:,68 + (,) 5,99 E 5 E,7,,79 5,99 E 5 5 E + (,79) 5,99 E 5,958 E Influência da orça Cortante:, G, G, G, G 8

82 Pórticos, G 5,99 + (,96),65 G Somando as três contribuições:,68,,68, E G 75,5,7,,7, E G 75,5,8,777,6997,958,65,6997,958, E G 75,5,76 Solução do Sistema de Equações (Cálculo das Redundantes): Q QL + Q,,8,777 QL 6,55,777,76 9,5 Q kn.m, () Considerando apenas as deformações devidas ao momento fletor e à força normal. Solução do Sistema de Equações: Q QL + Q,,8,95 QL 6,5,95,7,6 Q,86 8

83 Pórticos () Considerando apenas as deformações devidas ao momento fletor. Solução do Sistema de Equações: Q QL + Q,5 QL 7,79,5,6997,856 Q,7 Comparação dos Resultados Resumo dos Resultados lexão + xial lexão + xial lexão + Cisalhamento Q 9,5,6,856 knm Q -, -,86 -,7 knm Erros considerando apenas deformações devidas à flexão:,856 9,5 Q %,95% 9,5,7 +, Q %,66%, Erros considerando deformações devidas à flexão e à força axial:,6 9,5 Q % 5,57% 9,5,86 +, Q %,5%, 8

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85 Exemplos de plicação em Grelhas

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87 Grelhas EXEPLO: Calcule os esforços na grelha abaixo usando o étodo das orças. espreze as deformações devidas à força cortante. igura Grelha Estrutura Isostática undamental igura Estrutura Isostática undamental ase L igura ase L 87

88 Grelhas ases, e igura ases, e omentos letores 88

89 Grelhas omentos de Torção Cálculo dos eslocamentos L. m dx + TL. t GJ QL dx GJ ( 9)(, )., + (,5)(, )., + {( 9)(, )., } QL QL GJ 95 QL L. m dx + TL. t GJ QL dx. ( 8)(, )., QL + 7 QL L. m QL dx + TL. t GJ dx 89

90 Grelhas QL + GJ. (,)( 9)., +.(,5)(, )., +.( 8)(,)(,) {( 9)(, ).,} 7,5 8 7,5 5 QL + + GJ 957, 5 QL Cálculo dos coeficientes de lexibilidade m dx + t GJ dx {(,) (,) + (,) (,) } + (, ) (,) + (,) (,) { } GJ GJ m. m dx + t. t GJ dx + m. m dx + t. t GJ dx + GJ GJ (,)(, )., + (, )(, )., + {(,)(, )., (,)(,).,} + m dx + t GJ dx {(,) (,) + (,) (,) } + (, ) (,) (, ) (,) { } + GJ GJ

91 Grelhas m. m dx + t. t GJ dx 9 + GJ 9 m dx + t GJ dx + GJ (,) (,) + (,) (,) + (,) (,) + (,) (,) {(,) (,) + (,) (,) } GJ ase inal QL , Condições de Compatibilidade: Resolvendo o sistema de equações: Q QL +.Q Q QL +.Q Q Obtém se: Q, kn.m Q -8,5 kn.m Q -6,9 kn.m 9

92 Grelhas EXEPLO: Calcular as reações de apoio da grelha da figura abaixo através do método das forças. ados: E constante. G E /,5 Propriedades Geométricas das Seções J igura 5 Grelha vista superior (Planta) b β h b β, h h - Barras B e C: b h β,,8 b J B,8 h b J B,8 h I B b h h J I B B,8 h h,69 J B,69 I B - Barra BC: β,,5, (,5 ) (,),888 J BC,888, (,5),7 9

93 Grelhas J I BC B, J, I (,),5 I I BC BC B B Estrutura Isostática undamental evido à simetria do problema, tem-se que a força cortante e o momento torçor são nulos na seção de simetria. penas o momento fletor é diferente de zero nesta seção. Portanto, lançando mão desta característica, a estrutura isostática fundamental pode ser tomada como a apresentada na figura abaixo. ase L igura 6 Estrutura isostática fundamental E.I.. igura 7 ase L 9

94 Grelhas Por equilíbrio tem-se: igura 8 Equilíbrio das barras e nós iagramas igura 9 - ecomposição dos momentos na barra B orça cortante omento torçor omento fletor 9

95 Grelhas ase igura ase iagramas igura - Equilíbrio e ecomposição dos omentos na Barra B orça cortante omento torçor omento fletor 95

96 Grelhas Cálculo dos eslocamentos QL QL Lm TLt dx + dx GJ B + GJ 7 B (,6)( 8 8) 5 + ( )( 9) ( 6,8 5) BE,5 56 QL B BE GJ B B B,69 B Cálculo dos coeficientes de flexibilidade [(,6) 5] + ( ) + (,8) [ 5] B BE GJ B,8,,5, B BE GJ B B B,69 B,8 5,89,6 B B ase inal 5,89,6 QL B B Q QL + Q Q B 5,89,6 B 8,97 knm Cálculo das reações de apoio V Y X V L YL XL + V Por simetria: V 8 kn X Y + + Q Q YQ XQ Q Q kn m 8, kn m Y Y X Y V + 8, kn m + ( ) ( 8.97) ( ) ( 8.97) kn m 8 + V 8 kn ( ) ( 8.97) 96

97 Grelhas EXEPLO: Calcular a grelha abaixo considerando o carregamento indicado, sendo a altura das barras h,6 m. Considerar como incógnitas redundantes os momentos reativos no apoio C. igura Grelha GJ,5 Estrutura Isostática undamental G. I. E. + igura Estrutura Isostática undamental ase L igura ase L 97

98 Grelhas RL 8, RL + ( 6) (8 + ) 6 6 RL RL ( ) 9,6, 9,6 iagramas da ase L Barra B: - omento torçor: nulo. - omento fletor: Barra C: - omento torçor: nulo. - omento fletor: igura 5 iagramas de momentos fletor e torçor ase L ase Q ; Q ) ( igura 6 ase 98

99 Grelhas iagramas da ase Barra B: - omento torçor: nulo. - omento fletor: Barra C: - omento fletor: nulo. - omento torçor: igura 7 iagramas de momentos fletor e torçor ase ase Q ; Q ) ( igura 8 ase 99

100 Grelhas iagramas da ase Barra B: - omento torçor: nulo. - omento fletor: Barra C: - omento torçor: nulo. - omento fletor: igura 9 iagramas de momentos fletor e torçor ase Cálculo dos eslocamentos 6 6 6, 8, 8, QL , QL 8, 8, Cálculo dos Coeficientes de lexibilidade GJ ( 8),9 8, ( ) + + GJ ( ) 8 + ( ) GJ,9667,9,

101 Grelhas Equação de Compatibilidade Q QL + Q 6, QL Q ( Q QL ) 59,8,7667,,77,5,,9667,5,7 ssim sendo, Q,55 t m Q 9,988 t m Cálculo das Reações de poio R RL RL + 9,6, RQ Q,,75,55 RQ,,5 Q,5 9,988 R R 9,6, +,, 8,5,5,99,75,55,5 9,988,5

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103 Exemplos de plicação em Estruturas Sujeitas a Variação de Temperatura e/ou Recalques de poio

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105 Vigas EXEPLO: viga principal de uma ponte, já executada, simplesmente apoiada nos topos dos pilares, B e C, sofreu recalques (verticais para baixo) nas fundações dos pilares B e C, localizadas no leito do rio, de,5 cm e,8 cm respectivamente. valie os esforços introduzidos na estrutura em decorrência destes recalques, usando o método das forças, determinando as reações de apoio e traçando os diagramas de forças cortantes e momentos fletores. ados: Ex 7 kn/m Seção Transversal igura Viga principal de uma ponte igura Viga contínua Grau de Indeterminação Estática: Q -,5 m igura - Estrutura isostática fundamental E.I.. 5

106 Vigas ase R QR,8,56 7 m igura ase R ase igura 5 ase - igura 6 iagrama de momento fletor ase ( 6,667) + ( 6,667) 5 ase inal + Q QR Q,56 + Q kn m,5 7, E 6 knm I, m Q, 8,6 kn 6

107 Vigas Cálculo das demais Reações igura 7 Reações de apoio V 7 + 8,6 V,7 kn C V V 8,6 + VC V 5,89 kn C iagramas de Esforços Solicitantes 5,89kN,7kN igura 8 iagrama de força cortante 9,68kNm igura 9 iagrama de momento fletor 7

108 Treliças EXEPLO: Obter os esforços nas barras da estrutura abaixo. lém da carga indicada, considerar um deslocamento vertical de cm no apoio para baixo (no sentido negativo do eixo y). dotar como redundantes o esforço interno na barra B e a reação vertical no apoio (direção do eixo y). Todas as barras têm seção constante de cm e módulo de elasticidade EkN/cm. Estrutura Isostática undamental: Grau de Indeterminação Estática: ( m + v) ( 8 + ) 5 G. I. E n Incógnitas Redundantes: o Q força normal na barra B o Q reação vertical no apoio igura - Treliça igura Estrutura isostática fundamental E.I.. 8

109 Treliças ase L sen cos ( 6 ) ( 6 ),866,5,5 α rc tan 6, 565,,5 β rc tan 5,5 Nó C: igura ase L sen ( α ), 7 cos ( α ), 89 sen ( β ), 77 cos ( β ), 77 V 5,866 + N EC,7 N 96,85 H 5,5 N N,89 N,6 BC EC EC BC Nó B: V N EB H N,6 B Nó : H N E Nó E: H N,89 N,77 N N,7 EC E E E Nó : V N + N,77 N 86,6 E 9

110 Treliças ase R δ QR R i i δ i - cm -, m i ase Nó C: V N EC H N BC igura ase Nó B: V N EB +,77 N,77 H N B +,77 N,77 Nó : Nó E: H N E +,77 N,77 H N + N,77 N Nó : E E V N + N,77 N,77 E Reação Vertical em (R ): V R + N +,77 R EB B E E

111 Treliças ase Nó C: V N EC H N BC igura ase Nó B: V N EB H N B Nó : H N E Nó E: H N E Nó : V N N Reação Vertical em (R ): V R + N R

112 Treliças Quadro Resumo dos Esforços: Barra { E } i L { } i L i N { n } i { n } i B E,5,6 BC E,,6 E,5 86,6 E E,5 -,7 B E,5 E E,5 EB E,5 EC E,5-96,85 Cálculo dos Coeficientes: { L} i { n } L i Barra { N L n L} i { N L n L} i ( n ) { n n L} i ( ) B -8,7,75 BC -9,856 9,9,75 -,6,5 E -59,87,5 B,5 E,75 EB,75 EC

113 Treliças QL 8 8 N L n L 7,6 N L n L 9,9 QL E E i E E i i ( (,) ) ( ( ) (,) ), QR QR i ( n ) L E 8 i i 7, E 8 n n L i E ( n ) L E 8 i i i,5 E,6 E Cálculo das redundantes kn E cm kn cm QL,8 6,86 QR, QS,8,8 QL + QR + 6,86, 9,8,9 5, ,5 7, 6 6 Q QS + Q Q 87, kn Q 56,5 kn Esforços finais nas barras N i ( N L ) + ( n ) Q + ( n ) Q i i i N B -9, kn N BC,6 kn N, kn N E 6,5 kn N B 87, kn N E -,9 kn N EB -,9 kn N EC -96,8 kn

114 Pórticos EXEPLO: Resolver o pórtico da figura pelo método da flexibilidade. Considerar, além do carregamento indicado, as seguintes solicitações:. eslocamentos dos apoios: - Rotação de, rad no sentido anti-horário no apoio ; - Recalque vertical de cm no apoio C.. Variação de temperatura na barra B, sendo esta variação na face superior de º C ( T s º C) e na face inferior de º C ( T i º C). Para o efeito da carga aplicada, considerar apenas as deformações por flexão. igura 5 - Pórtico igura 6 - Estrutura Isostática undamental

115 Pórticos ase L igura 7 ase L iagrama de momento fletor ase T (Variação da temperatura) igura 8 ase t Variação da temperatura Variação uniforme: TG o C dδ α T G dx x 5 dx Variação linear: T T - 5 ( T T ) [ ( ) ] dθ α dx dx 5 x h, dx 5

116 Pórticos ase R (Rotação no apoio ) a opção cálculo geométrico de QR e QR : L C 5 m tg β β L C β. L C,. 5, m igura 9 - cálculo geométrico de QR e QR sen α,6 5 cos α,8 5 QR QR. sen. cos α α,.,6,.,8,6,8 a opção étodo da carga unitária (P.T.V. para corpos rígidos): i Ri. δ i R i reações de apoio devido à carga unitária correspondente a δ i deslocamentos do apoio 6

117 Pórticos ase igura ase ase igura iagramas - ase igura ase igura iagramas - ase 7

118 Pórticos Cálculo dos eslocamentos Cargas: QL,x,x Temperatura: QT 6,8 x - QT, x - Q T 6,8x,x Recalque (pela ª opção) Observar que a rotação do apoio é positiva: [,,], 6 QR [,,], 8 QR QR,6,8,. +., ,..., 8

119 Pórticos ase inal Q { Q - QS } QS QL + QR + QT QS Q, x, x,,6 6,8 x + +,8, x,67,89 Q - QS,67,9 8, , Q 6,5 8,65 Comparação das Soluções igura - iagrama de momentos fletores Solução considerando-se apenas o carregamento propriamente dito: QL,x,x QL + Q Q Q, kn 7,5 9

120 Pórticos Solução considerando-se carregamento e variação de temperatura QS, x, x 6,8 x +, x,667 x,867 x QS + Q Q,9 Q kn,9 Solução considerando-se carregamento, variação de temperatura e recalque de apoio QS, x, x,6 6,8 x + +,8, x,67,89 QS + Q Q Q 6,5 kn 8,65

121 Grelhas EXEPLO: Calcule as redundantes e as reações de apoio da grelha abaixo usando o método das forças. Considere, além do carregamento indicado, uma variação de temperatura linear ao longo da altura na barra B, sendo esta variação dada por uma redução de temperatura de ºC na face superior e um acréscimo de ºC na face inferior. Considere também, um recalque vertical para baixo no apoio C igual à cm e uma rotação β, rad no apoio, em torno do eixo y, conforme indicado. ados: (constantes para todas as barras) igura 5 Grelha E G,5 α,8m I,667 6 f s 5 J β h b β 5 7 kn / m /º C 7 kn / m m 7, b b, h h m

122 Grelhas Q Q Q, ase L igura 6 - Estrutura isostática fundamental E.I.. Z Reações de apoio : V X() Y() V X Y kn + X Y knm 96kNm igura 7 ase L igura 8 Equilíbrio de barras e nós ase L

123 Grelhas iagramas da ase L ase Reações de apoio: Z V X ( B) Y ( B) V X Y kn X Y knm knm igura 9 ase igura - Equilíbrio de barras e nós ase

124 Grelhas iagramas da ase ase Reações de apoio: Z V X ( ) Y ( ) Y X + X knm igura ase igura Equilíbrio de barras e nós ase

125 Grelhas iagramas da ase B B B ase Reações de apoio: Z V X ( ) Y ( ) X Y + Y knm igura ase igura Equilíbrio de barras e nós ase 5

126 Grelhas iagramas da ase B B B ase T Variação uniforme de temperatura induz apenas rotação. T T α dθ 5 ( T T ) dx ( ( ) ) h, dx dx igura 5 ase T QT m dθ ( ).dx 8 QT m dθ QT m dθ ( ).dx 6

127 Grelhas ase R β Utiliza-se o P.T.V. para corpos rígidos para obter os deslocamentos devidos ao recalque de apoio (rotação β). O deslocamento correspondente a cada redundante é obtido multiplicando o recalque pela reação de apoio devida a uma carga unitária aplicada na direção da redundante. (ases, e ). igura 6 ase R QR QR QR +, +,, QR QR QR Cálculo dos deslocamentos,, Nn E m Vv G dx + dx + f S. dx + T m GJ T dx QL GJ [ QL + [ f dx] + S [ G dx] dx] + f 96 GJ G S [( ( ) ) ] + [( ( ) ) ] +,857 m QL GJ [ dx] [( ) ],56 rad GJ QL [ dx] 96 ( ) 6 rad 7

128 Grelhas Cálculo dos coeficientes GJ [ ( ) dx] ( ) f dx] + S [ G + [ f ( ) dx + ( ) dx + ( ) dx] [ ] ( ) ( ) + +,58 S [( ( ) ) ] + ( ) + ( ) GJ G [ GJ dx] + [ [( ) ] + 9,6 GJ ( ) dx] [ dx] ( ),5 ( ). dx+ ( GJ GJ [( ) ] + ( ) [ ] +,99 GJ ).dx GJ [ ( ) dx] + [ ( ) dx] +,5 GJ ase inal Q QL + QR + QT + Q Q QL,,857,56 6, QR,, QT 8 8

129 Grelhas Somando teremos - QS QS,7,56,,58 9,6,5 9,7kN Q,kNm,kNm 9,6,99,5,5 Reações de poio igura 7 Reações de apoio V V Y X + 9,7 V ( ) +, ( 9,7 ) ( 9,7 ) +, 5,7kN + + Y X Y X,6kNm 9,8kNm 9

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131 Exemplos de plicação em Estruturas com Barras de Seção Variável

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133 Barras de Inércia Variável ESTRUTURS CO BRRS E SEÇÃO VRIÁVEL Considere a barra com altura variando ao longo do eixo x. igura Barra de seção variável Pode-se escrever a altura h em função de x h(x). s grandezas I(x), (x), J(x) são características geométricas da seção que variam também ao longo de x. Equação do método da carga unitária: nn E( x) m ( x) vv G( x) dx + dx + f S dx + tt dx GJ ( x) evido à variação de h e à variação das caraterísticas geométricas I(x), (x) e J(x) a integração analítica do º membro torna-se muito trabalhosa ou mesmo impossível. No caso de barras com h variando linearmente e parabolicamente (mísulas retas e m parabólicas, respectivamente), a integral dx pode ser resolvida por meio de tabelas ( x) como as de Guldan. Para barras de seção transversal variável de acordo com uma lei qualquer, o problema deve ser resolvido segundo um esquema de integração numérica. Integração numérica: integral representa a área sob a curva da função f(x), entre as retas xa e xb. igura Área sob a curva f(x)

134 Barras de Inércia Variável Esta integral pode ser aproximada na forma: b a f ( x) dx N i f ( x i ) W i sendo: N número de pontos de integração; W i peso ; x i ponto de integração (ou ponto amostral ou nó) ; f(x i ) valor de f(x) no ponto x i ; Esquemas de integração com intervalos iguais integrar numericamente uma função no intervalo [a,b] é integrar um polinômio P n (x) que aproxime a função f(x) no intervalo. Vantagens de integrar o polinômio P n (x) ao invés de f(x): f(x) pode ser de integração difícil ou até mesmo impossível, enquanto o polinômio é de integração direta; f(x) às vezes não é conhecida, sendo dada através de tabela de valores de pares ordenados obtidos experimentalmente. igura unção f(x) a ser integrada Sendo dados K pares ordenados ( x k, f k ), aproxima-se a função f(x) pelo polinômio P n (x) na forma: f P ( x) Pn ( x) + Rn ( x ( x) f l ( x) n ) K K Sendo: l K ( x) polinômios aproximados, obtidos em função dos pares ordenados (x k, f k ) Rn(x) Resto

135 Barras de Inércia Variável Esquemas de integração numérica com intervalos iguais mais usados: - Regra dos trapézios função aproximadora linear, - Regra de Simpson função aproximadora é um polinômio de º grau. Esquema de integração com intervalos desiguais Quadratura de Gauss-Lengendre. Estes esquemas são baseados na propriedade de ortogonalidade de polinômios. ois polinômios g n (x) e g m (x) de uma família de funções g k (x) são ortogonais no intervalo [a,b], se: b a b a W ( x) g W ( x) ( x) g ( x) dx se n m [ g ( x) ] dx c( n) se n m n m n família de polinômios de Legendre possui ortogonalidade no intervalo [-,] com relação à função W(x). 5

136 Barras de Inércia Variável O problema de integração de uma função f ( ξ ) no intervalo [, ] fica reduzido a: f ( ξ ) dξ N i f ( ξ ) i w i ξ [, ] onde N é o número de pontos amostrais (raízes dos polinômios de Legendre) e W i são os pesos, obtidos pela condição de ortogonalidade destes polinômios. Os passos para integração numérica com a Quadratura de Gauss-Legendre são os seguintes: efinir o número de pontos amostrais; Obter ξ i e Wi de tabelas apropriadas; Proceder a mudança de coordenadas físicas x para coordenadas naturais ξ ; Efetuar o somatório de aproximação da integral. integração é exata se f (ξ ) é um polinômio de ordem N- ou inferior, conforme mostrado na tabela abaixo. N(nº de pontos amostrais) Ordem do polinômio integrado exatamente Por exemplo, para integrar exatamente um polinômio do 5º grau são necessários pontos amostrais. ntes de usar a Quadratura de Gauss Legendre é necessária a mudança para as coordenadas naturais ξ, como no exemplo abaixo. l f ( x) dx x [,] l x ξ l ( ξ + ) dx dξ 6

137 Barras de Inércia Variável l N l l l l l l f ( x) dx f ( ξ + ) dξ f ( ξ + ) dξ f ξ i ( + ) i W i l l f ( x) dx N i f ( x i ) w i Tabela de pesos W i e pontos amostrais ξ i para a Quadratura de Gauss-Legendre N W i ξ i -,577569,577569, , , , , , ,866, ,998,65555,998,78585,866 5, ,967986, ,5869, ,786867,5869,696885, ,79 -,9695, ,66986, ,86986,67995,86986,67657,66986,79,9695 7

138 Vigas EXEPLO: etermine as reações de apoio para a viga da figura abaixo. h( x),9,x I( x) b h ( x), (,9,x ) igura Viga de seção variável ase L L 7x x igura 5 Reações e diagrama de momento fletor ase L 8

139 Vigas ase x 6 igura 6 Reações e diagrama de momento fletor ase Cálculo dos deslocamentos QL L m L L i L dx dξ ( ) x E I E m L N Lm I Wi i L E N i m I i i W i L xi ( ξ i + ) ξ W i i x i h i I i ( L ) i (m ) i L m W I i m W I,77597, ,8,676,88, -,7-66,667 8,5,,888889,,6,6 8, -,5 -, 6,78 -,77597,555556,676,8,96, -,887-5,8 5,55-885,8 5, , QL ( 885,8) E E 7,65 5,755 E E 566, Q ( Q QL ) 6,55kNm 7,65 R R B 7 + 6,55 99,9kN 6 7 6,55,9kN 6 Q 6,55kNm i 9

140 Vigas EXEPLO: Calcular a viga da figura através do método da flexibilidade e usando integração numérica via Quadratura de Gauss-Legendre no cálculo dos deslocamentos. altura máxima da viga, sobre o apoio B, é de 85,5 cm e no trecho constante é de 5 cm. largura da seção transversal é constante e igual a cm e o módulo de elasticidade E é constante. Grau de indeterminação estática (G.I.E.) Estrutura isostática fundamental adotada igura 7 viga de seção variável Q igura 8 Estrutura isostática fundamental ase L L BRR B: x,x, L BRR BC: x,5x, igura 9 Reações e equações de momento fletor ase L

141 Vigas SE BRR B BRR BC m x 8 m 8 x Variação de inércia das barras igura Reações e equações de momento fletor ase igura imensões das barras (em metros) x 5,6m h,5m 5,6m x 8,m h I ( x) ( x) bh ( x) b,m,5 + (,855,5), ( x 5,6) m b,m Barra B: ξ W i x i h i i I i ( L ) i (m ) i L m W I i m W I -,968,69,75,5,8,8,69 7,6,56 -,587,786,865,5,8 5,7,56 5,8,5,56889,,5,8 8,,5 9,688 68,668,587,786 6,95,5798,85 5,7,767 65, ,775,968,69 7,67,7995,857,8,959 7,9 5, ,78 9,987 i

142 Vigas Barra BC: ξ W i x i h i i I i ( L ) i (m ) i L m W I i m W I -,968,69,75,7995,857,,959,9576 5,6875 -,587,786,865,5798,85,78,767 5,66 86,775,56889,,5,8 6,,5 89,6 68,668,587,786 6,95,5,8,65,56,,5,968,69 7,67,5,8 -,86,69 -,756,56 5,96 9,987 Q QL QL QL ', E ' + ' ', E + Q QL QL + ' ' QL [ 88,78 + 5,96 ] 9,5tf. m 8, 9,5 V,,8 8, 9,5 V ' B, + 5,7 8, [ 9, ,987] 9,976 E 5,868 E i V '' V ' C B 9,5,, +,67 8, 9,5,,, 8, V '' C, igura Reações de apoio

143 Vigas Reações de poio R R R B C V V ' V ' B C,8tf + V" + V" B C 5,7 +,67 9,8tf, +, 5,tf iagramas inais igura iagrama de força cortante m m igura iagrama de momento fletor

144 Grelhas EXEPLO: Para a grelha com barra de seção variável representada na figura abaixo, utilize o método das forças (flexibilidade) para obter as reações de apoio e trace os diagramas de esforços solicitantes nas barras, quando a grelha estiver submetida à seguinte variação de temperatura: - variação positiva de graus centígrados na face superior ( T s ) - variação negativa de graus centígrados na face inferior ( T i ) estrutura é de concreto armado, com módulo de elasticidade E x 7 kn/m, coeficiente de Poisson ν, e coeficiente de dilatação térmica α -5 / o C. imensões das barras (seção retangular): Barra B: Barra BC: largura constante de cm, altura de 8 cm junto ao ponto e altura de 5 cm junto ao ponto B. largura constante de cm, altura constante de 5 cm. Utilize a quadratura de Gauss com 5 pontos para cálculo dos deslocamentos. T? s T? s? T i T? i igura Grelha com barra de seção variável

145 Grelhas SOLUÇÃO: Estrutura Isostática undamental: igura 5 Estrutura Isostática undamental ase T Barra B: 5 α T T dθ dx h,8,75x Equação da altura: y y a y, 75x ( ) ( ) ( x ) o x o h,8, 75x 5 dx dx,8,75x ase igura 6 ase 5

146 Grelhas V V + V X Y +,6,6 X 5,5 5,5 Y Y X Equações de omentos nas Barras: Barra B: x + 5,5 igura 7 Esforços nas barras ase T,6 Barra BC: T x + 6

147 Grelhas Cálculo dos Coeficientes Quadratura de Gauss, considerando 5 pontos de integração, tem-se: Barra B: ε i w i x i h i I i β i J i,968,69,86,57,6 x -,55, x -,587,786,769,569,7 x -,667,87 x -,,56889,,65,577 x -,69, x - -,587,786,96,777 6,5 x -,768,65 x - -,968,69,876,7859 8,9 x -,8,76 x - dθ m i t i (m i dθ) w i (m i w i )/I i (t i w i )/J i -7,78 x -,6876,6 -, x - 98,8 56,65-7,7 x -,6,6-8,5 x - 9,5 75,66-6,5 x -,5,6 -,5 x - 5,56 76,9-5,7 x -,5769,6 -,99 x - 5,55,98-5,9 x - 5,6,6-6,6 x - 86,8 99,99 Σ -,9 x - 5,7 99,9 Barra BC: ε i w i x i h i I i β i J i,968,69,8597,5,8 x -,58,6 x -,587,786,77,5,8 x -,58,6 x -,,56889,5,5,8 x -,58,6 x - -,587,786,69,5,8 x -,58,6 x - -,968,69,7,5,8 x -,58,6 x - dθ m i t i (m i dθ) w i (m i w i )/I i (t i w i )/J i -8 x -,7 -,667 x -5,5-8 x -,69 -,65 x -,9-8 x -,5-6,87 x - 6, -8 x -,77-8,86 x -,9-8 x -,8597-5, x - 99,76 Σ -, x - 88,8 l Onde: xi ( εi + ) l B mi wi l B ti wi + + l BC mi wi l BC + t E Ii G Ji E Ii G 5,7 + 99,9 + 88, ,5,7 i wi J i 7

148 Grelhas QT QT l l N N B BC ( mi dθi wi ) + ( mi dθi wi ) i i (,9 ) + (, ),98 Q QL + QT + Q,98 +,7 Q Q 5,78 kn Por superposição de efeitos tem-se: V C Q 5,78 kn V V C 5,78 kn X Y,6 5,78 5,8 kn m 5,5 5,78,8 kn m iagramas inais da Estrutura igura 8 iagramas inais 8

149 Exemplo de plicação em rcos

150

151 rco EXEPLO: eterminar as reações de apoio no arco da figura utilizando o método da flexibilidade. x rco com eixo parabólico: y ( x) x x ϕ igura rco parabólico ados: Seção transversal retangular: b cm h cm E,x 7 kn / m,9 x 6 kn.m ; E,8 x 7 kn. ase L ase igura Esquemas de carregamento e reações de apoio 5

152 rco Condição de Compatibilidade Q QL +.Q m nn ds + ds; E ϕ dx ds cosϕ dx ds cosϕ dy dx x tgϕ ϕ tg x ase L ϕ x m N L L x x L 5 x x 5 ( x ) ( 5 x) sinϕ N ( 5 x 5) sinϕ 5 m x m L ϕ ase N y x cosϕ ( x) / ϕ ϕ QL QL Lm dx NLn dx + cosϕ E cosϕ N N l Lm l wi + i cosϕ E ( m ) dx ( n ) l N i + cosϕ m cos wi ϕ i i dx E cosϕ l + E N i i NLn wi cosϕ n cos ϕ i i w. i 5

153 rco ε i w i x i cos ϕ i -,96798,6969,98,7 -,5869,78687,65,885, ,,,5869, ,87,885,96798,6969 9,68,7 Li m i Lm w m i cosϕ i cosϕ i,98,89 57,878, ,6,55 59, 6,857 5, 5, 555,55, 85,6,55 59, 6,857,98,89 57,878,5566 w 6857, ( ) 8,69 ( ) i QL QL N Li n i NLn w n i cosϕ i cosϕ i -8,87,7 -,8,756-6,9,885 -,6,,,5689-6,9,885 -,6, -8,87,7 -,8,756 ( ) ( ) 6857, + 6,9,8,567,,566 7 w 5,88 ( ),768 ( ) ( 5,88) i,9 6,59 ( ) ( ) 8,69 +,8 +, (,768),68 Q Q QL,566,68 8,98kN 5

154 rco Esforços inais No meio do vão: (xm) N N V V L L L + m Q + n Q + v Q N V ( 8,98) + ( 8,98) ( 8,98) 5kN 55, knm 8,98kN No quarto do vão: (x5m) 875 +,75 N 55,9 +,89 V,8 +,7 ( 8,98),7 knm ( 8,98) ( 8,98),9kN 69,6kN 5