Capítulo 3. Aritmética de Computadores

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1 Capítulo 3 Aritmética de Computadores

2 Aritmética para Computadores Operações com inteiros Adição e subtração Multiplicação e divisão Lidado com estouro aritmético Números reais em ponto flutuante Representação e operações

3 Adição de Inteiros Exemplo: Estouro se o resultado estiver fora do intervalo Somando operandos +ve e ve, não existe estouro Somando dois operandos +ve Estouro se o resultado do bit de sinal é 1 Somando dois operandos ve Estouro se o resultado do bit de sinal é = = = 10 = 0 + carry de 1 p/ próxima posição

4 Subtração de Inteiros Adiciona negação do segundo operando Exemplo: = 27 (13) = 14 27: : : Estouro se o resultado estiver fora do intervalo Subtraindo dois operandos +ve ou dois operandos ve, não existe estouro (lembrete: x y = x + (-y)) Subtraindo operando +ve de ve Estouro se o resultado do bit de sinal for 0 Subtraindo operando ve de +ve Estouro se o resultado do bit de sinal for 1 Complementa e adiciona = = = toma emprestado 10 1=1

5 Condições de Estouro Combinação de operações, operandos e resultados que indicam estouro

6 Lidando com Estouro Algumas linguagens (e.g., C) ignoram estouro Use as instruções do MIPS addu, addui, subu para ignorar o estouro Outras linguagens (e.g., Ada, Fortran) exigem lançar uma exceção Use as instruções do MIPS add, addi, sub para considerar estouro No estouro, invocar o manipulador de exceção Salvar PC no registrador do contador de programa da exceção (EPC) Salta para o endereço do tratador pré-definido Instrução mfc0 (move do coprocessador reg) pode acessar o valor do EPC, para retornar depois da ação corretiva

7 Aritmética para Multimedia Processamento gráfico e de mídia opera em vetores de dados de 8 e 16 bits Use somador de 64 bits, com cadeia de carry particionado Opera em vetores de 8 8-bit, 4 16-bit, ou 2 32-bit SIMD (single-instruction, multiple-data) Saturando operações Para overflow, o resultado é o maior valor representável c.f. módulo aritmético de complemento de 2 E.g., botão com saturação pararia no volume mais alto w w l ( r ( r mod 2 ) 2 unsigned _ overflow

8 Multiplicação Começe com a abordagem de multiplicação longa multiplicando multiplicador produto Copia multiplicando se o dígito for 1 Comprimento do produto é a soma dos comprimentos do operando O comprimento da multiplicação de um multiplicando n e um multiplicador m é um produto n + m

9 Hardware de Multiplicação O LSB do multiplicador determina se o multipicando é adicionado ao registrador do produto Inicialmente 0 Estes três passos são repetidos 32 vezes para obter o produto

10 Exemplo Usando números de 4 bits para salvar espaço, multiplique ou usando o algoritmo de multiplicação

11 Multiplicador Otimizado Executa os passos em paralelo: soma/desloca O multiplicador e o multiplicando são deslocados enquanto o multiplicando é adicionado ao produto Caso o bit do multiplicador seja um O produto é deslocado para direita O multiplicador é colocado no MSB do registrador de produto Um ciclo por soma do produto parcial

12 Multiplicador Mais Rápido Usa somadores múltiplos Balanceamento de custo/desempenho Este hardware desenrola o laço para usar 31 somadores Várias multiplicação executadas em paralelo para minimizar tempo

13 Multiplicação do MIPS Dois registradores de 32 bits para o produto HI: 32 bits mais significante LO: 32 bits menos significante Instruções mult rs, rt / multu rs, rt Produto de 64 bits em HI/LO mfhi rd / mflo rd Move de HI/LO para rd Pode tesar o valor de HI para checar se o produto estourou os 32 bits mul rd, rs, rt 32 bits menos significante do produto > rd

14 Exercício 1 Efetue as seguintes operações a) b) c) d)

15 Exercício 2 Efetue as seguintes multiplicações: a) b) c)

16 Exercício 3 Usando números de 4 bits para salvar espaço, multiplique ou usando o algoritmo de multiplicação

17 Divisão divisor quociente dividendo resto operandos de n-bit produz quociente e resto de n-bit dividendo Checa por divisor 0 Abordagem da divisão longa Se os bits do divisor dividendo 1 bit no quociente, subtrai Caso contrário 0 bit no quociente, abaixa próximo bit de dividendo Restaurando a divisão Faz a substração, e se o resto for < 0, adiciona o divisor de volta Divisão com sinal Divide usando valores absoluto Ajusta o sinal do quociente e resto quando necessário Dividendo=Quociente Divisor+Resto Dividendo=9 8+2=74

18 Exercício Realize a divisão de por Realize a divisão de por

19 Hardware da Divisão Inicialmente divisor na metade esquerda Inicialmente dividendo

20 Exemplo Usando uma versão de 4 bits do algoritmo, tente dividir 7 10 por 2 10 ou por

21 Exercício Usando uma versão de 4 bits do algoritmo, tente dividir 6 10 por 2 10 ou por

22 Divisor Otimizado Combina o registrador do quociente com a metade direita do registrador do resto Um ciclo por subtração do resto parcial Parece bastante como um multiplicador! Mesmo hardware pode ser usado para ambos

23 Divisão Mais Rápida Não pode usar hardware paralelo como no multiplicador Subtração está condicionada no sinal do resto Divisores mais rápidos geram mútiplos bits do quociente por passo Ainda exige múltiplos passos

24 Divisão do MIPS Usa registradores HI/LO para resultado HI: resto de 32 bits LO: quociente de 32 bits Instruções div rs, rt / divu rs, rt Sem estouro ou checagem de divisão por 0 Software deve executar checagens se necessário Usa mfhi, mflo para acessar resultado

25 Ponto Flutuante Representação de números não-inteiros Incluindo números muito pequenos e muito grandes Como notação científica (um dígito à esquerda do ponto decial) Em binário ±1.xxxxxxx 2 2 yyyy Tipos float e double em C normalizado não normalizado Normalizado: um número em notação de ponto flutuante que não tem líder 0s

26 Padrão de Ponto Flutuante Definido pela IEEE Std Desenvolvido em resposta a divergência de representações Problemas de portabilidade de código científico Agora, quase universalmente adotado Duas representações Precisão simples (32-bit) Precisão dupla (64-bit)

27 Formato de Ponto Flutuante IEEE r. simples: 8 bits r. dupla: 11 bits S Expoente x = ( 1) S r. simples: 23 bits r. dupla: 52 bits Fração (1+ Fração) 2 (Expoente Viés) O significante representa o número de 24- ou 53-bits que é 1 mais a fração; e a fração quando referimos o número de 23- e 52-bits S: bit de sinal (0 positivo, 1 negativo) Para suportar ainda mais bits, IEEE 754 faz o uso implícito do líder 1-bit dos números binários normalizados precisão simples: o número é 24 bits (implica 1+uma fração de 23 bits) Precisão dupla: o número é 53 bits (implica 1+uma fração de 52 bits) Expoente: excesso de representação: expoente real+viés Assegure que o expoente é não sinalizado Simples: Viés = 127; Duplo: Viés = 1023

28 Formato de Ponto Flutuante IEEE Os bits da fração representam um número entre 0 e 1 e E representa o valor no campo do expoente Se numerarmos os bits da fração da esquerda para direita s1, s2, s3,, então o valor é S ( ) ( ( 1) ( 2 ) ( 3 ) ) E V 1 1+ s1 2 + s2 2 + s3 2 + K 2 A notação desejável deve representar o expoente mais negativo como e o mais positivo como Esta convenção é chamda notação de viés Expoente sendo subtraído do viés para representar o maior e menor valor do expoente real Se usarmos o bit de sinal em E, diminuiríamos o intervalo de número que podem ser representados

29 Intervalo da Precisão Simples Expoentes e reservado Menor valor Expoente: expoente real = = 126 Fração: significante = 1.0 ± ± Maior valor Expoente: expoente real = = +127 Fração: significante 2.0 ± ±

30 Intervalo da Precisão Dupla Expoentes e reservado Menor valor Expoente: expoente real = = 1022 Fração: significante = 1.0 ± ± Maior valor Expoente: expoente real = = Fração: significante 2.0 ± ±

31 Precisão do Ponto Flutuante Precisão relativa Todos os bits de fração são significativos Simples: aproximadamente 2 23 Equivalente a 23 log dígitos decimais de precisão Duplo: aproximadamente 2 52 Equivalente a 52 log dígitos decimais de precisão

32 Exemplo de Ponto Flutuante (1) Representar 0.75 O número é também -3/4 10 ou -3/ Representado pela fração binária / ou = ( 1) , onde S = Fração = Expoente Real (i.e., ER = E - V) deve ser igual a 1 Simples: E = = 126 = Duplo: E = = 1022 = Simples: Duplo: sinal expoente fração

33 Exemplo de Ponto Flutuante (2) Qual número é representado pelo seguinte flutuante de precisão simples S = 1 (representa número negativo) Fração = = = 0.25 Expoente = = 129 x = ( 1) 1 ( ) 2 ( ) = ( 1) = 5.0

34 Exercício (1) Representar -0.5 em ponto flutuante com precisao simples e dupla Representar 0.25 em ponto flutuante com precisao simples e dupla Representar em ponto flutuante com precisao simples e dupla

35 Exercício (2) Qual número é representado pelo seguinte flutuante de precisão simples

36 Adição de Ponto Flutuante Consideremos um exemplo decimal de 4 dígitos Alinhas os pontos decimais Deslocar número com expoente menor Adicionar significante = Normalizar o resultado & checar estouro positivo/negativo Arredondar e normalizar, se necessário

37 Adição de Ponto Flutuante Agora consideremos um exemplo binário de 4 digitos ( ) 1. Alinhar pontos binários Deslocar número com expoente menor Adicionar significante = Normalizar resultado & checar estouro positivo/negativo , sem estouro positivo/negativo 4. Arredondar e renormalizar, se necessário (sem mudança) = 8 / 2 7 =

38 Hardware para Adicionar PF Muito mais complexo do que o somador de inteiros Fazê-lo em um ciclo de relógio levaria muito tempo Muito mais longo do que operações com números inteiros Relógio mais lento penaliza todas as instruções Somador de ponto flutuante geralmente leva mais ciclos de relógio Pode ser pipelined

39 Algoritmo do Somador de PF Passo 1 e 2 similar ao exemplo do slide anterior Adicionar o significante do número com o menor expoente e então somar os dois significantes Passo 3 normaliza os resultados, forçando a verificação do estouro Precisão simples: o máximo exp. é 127 e o mínimo é -126 Precisão dupla: o máximo exp. é 1023 e o mínimo é -1022

40 Hardware para Somador de PF subtrai expoentes multiplexador Passo 1 Passo 2 multiplexador Passo 3 Passo 4

41 Exercício Tente somar os números e em binário usando o algoritmo do somador em ponto flutuante

42 Multiplicação de Ponto Flutuante Consideremos um exemplo decimal de 4 dígitos Adicionar expoentes Para expoentes negativos, subtrair viés de soma Novo expoente = 10 + ( 5) = 5 2. Multiplicar significantes = Normalizar o resultado & checar estouro Arredondar e renomalizar, se necessário Determinar o sinal do resultado apartir dos sinais dos operandos

43 Multiplicação de Ponto Flutuante Agora consideremos um exemplo binário de 4 bits ( ) 1. Adicionar expoentes Novo expoente: 1 + ( 2) = 3 Viés: ( ) + ( ) = = Multiplicar significantes = Normalizar o resultado & checar estouro sem estouro positivo/negativo 4. Arredondar e renormalizar, se necessário (nenhuma mudança) 5. Determinar o sinal: +ve ve ve = 14 / 2 6 = ER = E - V

44 Algoritmo do Multiplicador de PF Inicia com o cálculo do novo do produto, seguido da multiplicação dos significantes e por uma normalização Checa se houve estouro no tamanho do expoente, e então o produto é arredondado Se o arredondamento levar a normalização, checa-se novamente o tamanho dos expoentes

45 Hardware para Aritmética de PF Multiplicador de ponto flutuante é de complexidade similar ao somador Mas usa um multiplicador para o significante em vez de um somador Hardware de ponto flutuante geralmente realiza Adição, subtração, multiplicação, divisão, raiz quadrada Conversão entre ponto flutuante inteiro Operações geralmente levam vários ciclos de relógio Pode ser pipelined

46 Instruções de PF no MIPS Hardware de PF é o coprocessador 1 Processador adjunto que estende o ISA Registradores de PF são separados Precisão simples de 32: $f0, $f1, $f31 Pareado para decisão dupla: $f0/$f1, $f2/$f3, Versão 2 do MIPs ISA suporta reg s de PF de bit Instruções de PF operam somente em registradoresde PF Programas geralmente não realizam operações de inteiro em PF, ou vice-versa Mais registradores com impacto mínimo no tamanho do código Instruções de load e store de PF lwc1, ldc1, swc1, sdc1 w word d double word

47 Instruções de PF no MIPS Aritmética de precisão simples add.s, sub.s, mul.s, div.s e.g., add.s $f0, $f1, $f6 Aritmética de precisão dupla add.d, sub.d, mul.d, div.d e.g., mul.d $f4, $f4, $f6 Comparação de precisão simples e dupla c.xx.s, c.xx.d (xx representa eq, lt, le, ) Seta ou limpa bit do código de condição do PF e.g. c.lt.s $f3, $f4 Desvia num código de condição de PF (true ou false) bc1t, bc1f e.g., bc1t TargetLabel

48 Exemplo de PF: F para C Código C : float f2c (float fahr) { return ((5.0/9.0)*(fahr )); } fahr em $f12, resultado em $f0, literais no espaço de memória global Código MIPS compilado: f2c: lwc1 $f16, const5($gp) lwc1 $f18, const9($gp) div.s $f16, $f16, $f18 lwc1 $f18, const32($gp) sub.s $f18, $f12, $f18 mul.s $f0, $f16, $f18 jr $ra 0($gp) 4($gp) 8($gp)

49 Interpretação de Dados The BIG Picture Bits não têm significado inerente Eles podem representar inteiros com/sem sinal, números de ponto flutuante e instruções Interpretação depende das instruções aplicadas Representações computacionais de números Intervalo e precisão finita Necessário levar em conta o tamanho finito das palavras nos programas

50 Associatividade Programas paralelos podem intercalar operações em ordens inesperadas Suposição da associatividade pode falhar devido as aproximações e a precisão limitada (x+y)+z x -1.50E+38 y 1.50E E+00 z E+00 x+(y+z) -1.50E E E+00 O número x10 38 é muito maior do que 1 Precisa validar programas paralelos sob diferentes níveis de paralelismo

51 Divisão e Deslocamento para Direita Deslocamento para esquerda por i multiplica um inteiro por 2 i Deslocamento para direita divide por 2 i? Somente para inteiros sem sinal Para inteiros com sinal Deslocamento à direita aritmético: replica o bit de sinal e.g., 5 / >> 2 = = 2 O resultado é em vez de ; próximo, mas não exato c.f >>> 2 = = +62

52 Observações Finais (1) Aritmética de suporte dos ISAs Inteiros com sinal e sem sinal Aproximação de ponto flutuante para números reais Intervalo e precisão limitada Operações podem causar estouro positivo e negativo ISA do MIPS Instruções do núcleo: 54 mais frequentemente usadas (próximo slide) 100% do SPECINT, 97% do SPECFP Outras instruções: menos frequente

53 Observações Finais (2)

54 Exercício 1 Tente multiplicar os números e em binário usando o algoritmo do multiplicador em ponto flutuante

55 Exercício 2 Emule o código assembly da conversão de Farenheit para Celsius usando o emulador Mars Dica: converta os números para ponto flutuante, antes de inserir nos registradores $f0, $f1, etc Para uma entrada de 40 farenheit, o resultado é 0x408e38e4 ou Para checar os resultados, use o conversor disponível no site

56 Exercício 3 Escreva um programa em assembly do MIPS que capture o valor do raio de uma esfera e exiba o valor do volume e da área da superfície da esfera. Sabe-se que o volume da esfera é dado por (4/3) π r 3 e que a área da superfície é dada por 4 π r 2. Assuma π=3.14 Dica: transforme o valor de π em uma fração