Primos Gêmeos. Série Rádio Cangália

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1 Primos Gêmeos Série Rádio Cangália Objetivos 1. Apresentar o conceito de números primos gêmeos. 2. Revisar a demonstração de que há infinitos números primos.

2 Primos Gêmeos Série Rádio Cangália Conteúdos Números primos. Duração Aprox. 10 minutos. Objetivos 1. Apresentar o conceito de números primos gêmeos. 2. Revisar a demonstração de que há infinitos números primos. Sinopse O programa apresenta a curiosidade dos números primos gêmeos e o fato de que ninguém sabe com certeza se há um número finito deles ou não. Material relacionado Vídeos: Surpresa para os calouros; Áudios: O que é número primo, A diferença dos primos, Números primos, 21 divisores naturais; Experimento: Morto ou vivo, Torre de Hanói; Software: Embaralhando imagens. Primos Gêmeos 2/12

3 Introdução Sobre a série A série Rádio Cangália apresenta programas descontraídos de variedades que usualmente abordam uma informação ou notícia de conhecimentos gerais, com comentários de um professor de matemática. Os temas não são tratados em profundidade, mas oferecem oportunidade de o professor trabalhar assuntos interdisciplinares em sala de aula ou em atividades extraclasse. O programa pode trazer também uma piada ou uma frase célebre, sem preocupações maiores além de oferecer motivos de discussão em torno de um conteúdo e reforçar a descontração. Sobre o programa Um número primo só pode ser dividido, com resultado inteiro, por UM e por ele próprio. Os números primos são os blocos mais fundamentais da aritmética e são úteis para a criptografia moderna. O número 2 é o primeiro primo e o único que é par. Todos os demais são ímpares. Assim, o único par de primos consecutivos são 2 e 3. No entanto existem duplas de primos em que a diferença entre o maior e o menor é 2. Isto é, na sequência dos números naturais, esses números primos gêmeos tem apenas outro número (que é par) entre eles. Esses duetos de números primos são chamados de primos gêmeos. Por exemplo: (3,5); (5,7); (11,13); (17,19); (29,31); (1997,1999) etc. Os matemáticos não sabem se existem infinitos primos gêmeos. Já sabemos, desde Euclides, que há infinitos números primos, mas até hoje ninguém conseguiu provar se há uma quantidade finita ou infinita de primos gêmeos. Tudo indica, com a ajuda de computadores, que a quantidade de primos gêmeos não tem limite. Primos Gêmeos 3/12

4 Em 2002 foi descoberta uma dupla de primos gêmeos com mais de cinqüenta mil dígitos. Isto não é suficiente para resolver o problema dos primos gêmeos. O programa foi desenvolvido a partir das seguintes falas, que são reproduzidas abaixo sem as devidas correções gramaticais ou ortográficas de um texto escrito servem apenas para acompanhar o programa: Olá alunos! E olá professor! Começa aqui mais uma Rádio Cangalha! Eu sou a Ivone Eu sou o Henrique e estamos aqui com o nosso eterno convidado, o Professor Leumas! Olá professor! Oi, Ivone, oi Henrique. Poxa, vocês não vão acreditar no que eu descobri hoje, muito bacana! [como crianças] O quê? O quê? Descobri que você e o Henrique são primos! Ãh... [animado] Ué, não estão felizes? Ah, e não só vocês são primos, como também são primos gêmeos! Ãhn!?! É que eu estou falando do conceito matemático de números primos gêmeos, claro. Porque a Ivone tem vinte e nove anos, e você tem trinta e um Henrique! Números primos gêmeos! Nossa professor, que susto. Poxa, com assunto de parentesco não se brinca né. Existem consequências morais, pessoais e legais por trás disso, sabe? [assertiva] Isso, isso. Morais e pessoais. [pausa] Não que eu não goste do Henrique, é que...hm... Primos Gêmeos 4/12

5 Bem, acho melhor eu descontrair um pouco e explicar o conceito por trás dos números primos. [comentando para Ivone] Uau, é a primeira vez que a matemática me deixa mais confortável com alguma coisa! Os números primos são aqueles números que só são divisíveis, ou seja, só geram coeficientes inteiros, se divididos por si mesmos ou por um. Ué, mas todos os números são divisíveis por eles mesmos, e um. Quando dividimos por UM, o resultado é o mesmo, e quando dividimos por eles próprios, o resultado dá um. Que sem graça. Mas Henrique, eu disse que os números primos só são divisíveis por eles mesmos, e um. Hm, então devem ser poucos os números que são assim. Na verdade, tem bastante. Entre zero e cem, temos vinte e cinco números primos! Um quarto! Um quarto de primos! Parece a pior festa surpresa do mundo! Mas e aí, professor, o que faz um par de números primos serem gêmeos? É a existência de um número par entre eles. Por exemplo, no sistema decimal, temos apenas dois números primos imediatamente consecutivos, que são o dois e o três. Sendo que o dois é o único número primo par! Exato. Mas o mais perto de números consecutivos que temos, numa lista de números primos, são aqueles que estão distantes por apenas um número. Hm, a diferença entre eles dá dois, como a minha idade e a da Ivone, trinta e um e vinta e nove! [desconfortável] Isso, isso...vinte e nove. He. Mas qual a importância disso tudo, professor? Os números primos têm alguma outra propriedade interessante? Primos Gêmeos 5/12

6 Isso mesmo. Para isso, ele partiu da afirmação de que é possível decompor todo número inteiro em números primos. Ou seja, todo número inteiro ou é primo, ou é múltiplo de primos! E essa decomposição se chama fatoração! Isso mesmo. E também sabemos que, na fatoração de qualquer número xis, os números primos que usamos são totalmente diferentes dos que usamos para fatorar o número seguinte, xis mais um. Acho que é um bom assunto para o próximo bloco! Bacana, voltamos já já com mais Rádio Cangalha! Olá professor e alunos, estamos de volta com a Rádio Cangalha, para conversar sobre algumas propriedades dos números primos. Vamos lá professor Leumas? Bem antes de tudo, vou comentar como Euclides nos demonstrou que os números primos são infinitos! E ele fez isso de um jeito interessante, pois quis provar a tese contrária, de que os números primos são finitos e chegou a um absurdo! Ah, o famoso reductio ad absurdum! A fatoração de um número é totalmente diferente da fatoração do número que o segue! Interessante. Foi com isso em mente que Euclides pensou no seguinte: se os números primos fossem finitos, ou seja, não continuassem ao infinito, então existiria um número zê que, se fatorado, seria composto pela multiplicação de todos esses números.. Faz sentido, se multiplicássemos todos os primos, teríamos outro número inteiro. Nada de novo aí. Mas é aí que está a sacada: como o número seguinte a outro é fatorado por números primos diferentes, um número zê mais um, teria que possuir, em sua fatoração, um número primo que não Primos Gêmeos 6/12

7 estava na série finita de primos, que imaginamos no começo da idéia. Ou ele mesmo é outro número primo! Hm, e por aí vai. O número seguinte a zê mais um mostraria outro número primo, e outro, Ad infinitum até o infinito! Então temos um reductio ad absurdum ad infinitum! Quem diria que a resposta ia estar toda na Grécia e Roma antiga... Ai, ai, pirações do Henrique...Mas, professor, se os números primos são infinitos, os primos gêmeos também? Essa pergunta gera muita discussão, pois os matemáticos ainda não conseguem achar a resposta! [pasmos] Como assim!? Bem, as contas com computadores parecem indicar que os primos gêmeos são mesmo infinitos o maior par descoberto até hoje tem mais de cinqüenta mil dígitos! Mas prova matemática que é bom, nada. Mas poxa, se os números primos dão tanto trabalho, porque os matemáticos ficam perdendo tempo com eles? Como vimos, todos os números naturais são primos ou são compostos por números primos [cético] Ainda não me surpreendeu muito. Ah é? E quanto à conjectura de que todo número par maior do que quatro é composto pela soma de dois números primos? [desafiadora] Mas e isso, já foi provado?...não. Mas também não foi desprovado, é essa a questão. [ameaçadora] E o número mil novecentos e noventa e nove, é primo? É, uhm...deixe me ver uma coisinha na minha calculadora... [surpreso] Como assim professor? Uma calculadora? [pasma] Achei que o senhor era um matemático! Primos Gêmeos 7/12

8 Qual o problema de um matemático usar uma calculadora? Um matemático sem calculadora é como um poeta sem, hm [perde-se] um dicionário de rimas... Não foi um bom exemplo. Algumas coisas só na calculadora mesmo. Mas você não tinha dito que computadores conseguem descobrir primos de até cinquenta mil dígitos? E computadores funcionam via algoritmos... Vocês estão certos, mas o fato é que, se um programa de computador vai checar se um número é primo, ele simplesmente tenta dividí-lo por todos os números menores que ele. É, números primos parecem ser complicados mesmo. Falando nisso, se não me engano, mil novecentos e noventa e nove é um número primo. E mil novecentos e noventa e sete também. Primos gêmeos. Que bonitinho! Que tal encerrar o programa com esse momento de ternura numérico? Peraí Henrique, falta a frase célebre de hoje! A frase célebre de hoje vêm do matemático Paul Erdös, que disse Deus pode não brincar de dados com o Universo, mas tem algo de estranho com esses números primos... [contente] Ahá! Não sou só eu, viram? E olha que o Erdös ganhou uma medalha de Fields, a mais disputada pelos matemáticos. Ok, ok, professor acreditamos em você. E a frase Erdös é uma réplica a Einstein, que disse que Deus joga dados com o Universo. Então o que você acha que significa o fato de eu e você sermos primos gêmeos, Ivone? Ai, não acredito, Henrique. Erdös estava falando de números e Einstein da física quântica. Como assim? Ele queria que eu falasse que juntos formaríamos um par. Primos Gêmeos 8/12

9 Mas bem que divididos nós daríamos um quadrado perfeito, vinte e cinco! [levemente desapontada] Agora eu não sei se isso foi um elogio, uma piada ou nerdice sua mesmo. Talvez os três, primos. Entenderam? Três?...Tem todo um contexto envolvido. Ih, se as piadas estão ficando ruins é porque é hora de encerrar o programa. Até mais gente! Sugestões de atividades Antes da execução O professor pode passar uma lista de números primos entre 1 e 1000 para os alunos e solicitá-los que contabilizem o seguinte: 1. Quantos números primos existem entre 1 e 3? 2. Idem entre 1 e 9? 3. Idem entre 1 e 27? 4. Idem entre 1 e 81? 5. Idem entre 1 e 3 5 =243? 6. Idem entre 1 e 3 6 =729? A lista pode ser distribuída em uma folha para dois alunos ou se possível apenas projetada em tela: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, , 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, Primos Gêmeos 9/12

10 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997. Resposta A quantidade de números primos menores ou iguais a um dado número x é uma função denominada pi(x). Assim as respostas às perguntas acima são: 1. pi(3)=2 2. pi(3 2 )=4 3. pi(3 3 )=9 4. pi(3 4 )=22 5. pi(3 5 )=53 6. pi(3 6 )=129 Aproveitamos a lista e já temos que pi(1.000)=168. Desafiar os alunos para dizer quanto eles acham que seria pi(10.000). Isto é, quantos primos existem entre 1 e 10 mil? Os alunos não têm elementos suficientes para acertarem o valor que é de pi(10.000)= O objetivo da reflexão é preparar para o problema dos primos gêmeos. Durante a execução Escreva no quadro os nomes e os dados numéricos mencionados no programa à medida que eles forem falados. Ao final do primeiro bloco, solicitar aos alunos reconhecerem as duplas de primos gêmeos da lista dos primos de 1 a Depois da execução O programa afirma que os matemáticos não conseguiram demonstrar definitivamente se há infinitos números primos gêmeos ou não, apesar dos computadores terem encontrados MUITOS primos gêmeos. Primos Gêmeos 10/12

11 Problema ConsidereCalcular o produto de cada dupla de números primos gêmeos e somar um. Existe um fator em comum desse resultado? Solução Para os alunos ganharem percepção, fazer a operação, com a ajuda de uma calculadora, para os primeiros casos: 3, =16 5, =36 11, =144 17, =326 Claramente todos os resultados são pares. Mais do que isto, percebemos que são múltiplos de 4. Este resultado pode ser generalizado facilmente. Estamos tratando de números p>2, tais que p=2k-1 é um número primo, para k>1 e o seu primo gêmeo será 2k+1. Assim a operação sugerida pelo problema é 2 1, =4 Assim, de fato o resultado da operação sempre vai ser múltiplo de 4. Observamos ainda que, exceto para o primeiro cálculo, os três demais exemplos que calculamos são múltiplos de 36. Seria esse um resultado em geral? De fato são. Para mostrar isso fazemos a seguinte afirmação: todos os números naturais maiores que um podem ser escritos como uma das seguintes formas: 6 4, 6 3, 6 2, 6 1, 6 e 6 +1, 1. Em outras palavras organizamos os números naturais na seguinte tabela (infinita): Tabela 1 Uma partição especial dos números naturais >1. m 6m-4 6m-3 6m-2 6m-1 6m 6m Primos Gêmeos 11/12

12 Assim, podemos dizer que os números primos maiores que 3 não podem estar nas coluna 6m-4 nem 6m-2 pois contêm números pares, nem nas coluna 6m-3 ou 6m pois contém múltiplos de 3. Assim os números primos gêmeos em questão só podem ser do tipo 6m-1 e 6m+1. E pare esses tipos de números a operação leva a múltiplos de 36, a saber: 6 1, =36 Sugestões de leitura Weisstein, Eric W. "Prime Counting Function." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. Página visitada em 5/Nov/2011: Weisstein, Eric W. "Twin Primes." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. Página visitada em 5/Nov/2011: Ficha técnica Autor Samuel Rocha de Oliveira e Luis Ricardo Sarti Coordenação de Mídias Audiovisuais Prof. Dr. Eduardo Paiva Coordenação Geral Prof. Dr. Samuel Rocha de Oliveira Universidade Estadual de Campinas Reitor Fernando Ferreira Costa Vice-reitor Edgar Salvadori de Decca Pró-Reitor de Pós-Graduação Euclides de Mesquita Neto Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Diretor Caio José Colletti Negreiros Vice-diretor Verónica Andrea González-López Primos Gêmeos 12/12