X Encontro Nacional de Educação Matemática Educação Matemática, Cultura e Diversidade Salvador BA, 7 a 9 de Julho de 2010

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1 FILOSOFIA DA MATEMÁTICA DO QUASE-EMPIRÍSMO E HISTÓRIA DA MATEMÁTICA: TRAÇANDO ALGUMAS CONSIDERAÇÕES SOBRE O ENSINO DE GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA Gustavo Barbosa 1 Universidade Estadual Paulista - UNESP gvbarbosa@gmail.com Renata Cristina Geromel Meneghetti 2 Universidade de São Paulo - USP rcgm@icmc.usp.br Resumo: Este trabalho tem como objetivo refletir sobre as abordagens metodológicas adotadas no curso de graduação em Matemática a partir de duas vertentes: (a) levando em consideração aspectos filosóficos e históricos da Matemática e (b) focalizando o método heurístico de Lakatos, ou, sua Lógica do Descobrimento Matemático. Os autores buscam, a partir dessa investigação, traçar algumas reflexões sobre como a História da Matemática e a Filosofia da Matemática de Lakatos poderiam auxiliar na compreensão de objetos matemáticos em cursos de graduação em Matemática, principalmente no que se refere às demonstrações Matemáticas. Palavras-chave: Filosofia da Matemática; História da Matemática; Lakatos; Heurística; Ensino e aprendizagem na Graduação. Introdução Em sua obra Crítica da Razão Pura, Immanuel Kant ( ) lamentava que as provas filosóficas carecessem da mesma armadura que tinham as provas matemáticas. Para ele e seus contemporâneos esta armadura parecia-lhes invulnerável. Entretanto, no início do século XX, devido a vários fatores, como paradoxos da teoria dos conjuntos, opiniões divergentes com relação aos fundamentos, etc., a tradicional confiabilidade nas provas matemáticas e em seu rigor conclusivo ficou abalada. Assim surgia a concepção de que as demonstrações matemáticas estão abertas à críticas, como qualquer outro raciocínio científico (PERMINOV, 1988). O escopo deste artigo é abordar como a filosofia da matemática do quaseempirísmo do matemático e filósofo húngaro Imre Lakatos ( ) faz uso da 1 Doutorando em Educação Matemática UNESP, Campus de Rio Claro, SP. gvbarbosa@gmail.com 2 Docente do Instituto de Ciências Matemáticas e Computação USP, São Carlos. rcgm@icmc.usp.br 1

2 História da Matemática para mostrar de que maneira as críticas 3 referidas acima auxiliam o desenvolvimento matemático. Nossa proposta é focalizar o método heurístico de Lakatos e refletir sobre alguns aspectos concernentes à metodologia do ensino da Matemática e também a sua heurística nos cursos de graduação em Matemática. Entendemos a atividade heurística, de acordo com Balieiro (2004 apud Puchkin 4, 1976, p. 8), como sendo um processo psíquico pelo qual o indivíduo cria, elabora e descobre um método (até então desconhecido), útil à resolução de um problema. Grosso modo, a heurística pode ser entendida como a arte de descobrir. No contexto focalizado neste trabalho, a atividade heurística na Matemática é um processo que ocorre de forma lenta, e na qual a Matemática não-formal (quaseempírica) ajuda no desenvolvimento da Matemática formal mediante incessante aperfeiçoamento de opiniões por especulação e crítica, pela lógica das provas e refutações. Mas de que maneira uma abordagem que leve em consideração tal desenvolvimento pode auxiliar o ensino da Matemática em nível de graduação? Eis a nossa pergunta. Fundamentação Teórica Este trabalho caracteriza-se como um estudo bibliográfico pautado em duas vertentes: (a) levando em consideração aspectos filosóficos e históricos da Matemática e (b) focalizando o método heurístico de Lakatos, ou, sua Lógica do Descobrimento Matemático. Inicialmente foi traçado um panorama geral da Filosofia da Matemática, no qual percorremos algumas de suas principais correntes com o propósito de compreender os aspectos históricos a respeito da constituição do conhecimento matemático e também de contextualizar as idéias de Lakatos. Na seqüência foram focalizadas aquelas que são consideradas as fontes primárias de nosso estudo, a saber, as obras Provas e refutações: a lógica do descobrimento matemático (LAKATOS, 3 Num sentido amplo, as críticas que Lakatos propôs são contra-exemplos históricos que fizeram com que os matemáticos desenvolvessem uma prova para a conjectura de Euler, a qual afirma que, para todo poliedro, vale a relação V A + F = 2, onde V é o número de vértices, A é o número de arestas e F é o número de faces do poliedro. 4 Puchkin, V. N. Heurística: A Ciência do Pensamento Criador. Rio de Janeiro: Zahar,

3 1978) e também A crítica e o desenvolvimento do conhecimento (LAKATOS, 1979). As fontes secundárias constituem-se de todas as outras obras encontradas na bibliografia, como livros e artigos que auxiliam na sustentação da discussão. No final, foram traçadas algumas reflexões referentes ao processo de ensino e aprendizagem em cursos de graduação em Matemática sob a perspectiva do quaseempirismo e da história da Matemática. Alguns aspectos históricos da Filosófica da Matemática Segundo Dossey (1992, p. 40, tradução nossa) as discussões acerca da natureza da Matemática datam desde o século IV a.c. na Grécia antiga. Entre seus maiores contribuintes estão Platão e seu aluno Aristóteles. Ainda, de acordo com este autor, Platão considerou que os objetos da Matemática têm existência própria, isto é, estão além de nossa mente, num mundo externo. Dessa forma, Platão criou distinções entre as idéias da mente e suas representações, que são compreendidas no mundo por nossos sentidos. Diferentemente de seu mestre, Aristóteles defendeu uma concepção da Matemática baseada na própria realidade, onde os conhecimentos eram obtidos através da experimentação, observação e abstração. Tradicionalmente, a Matemática tem sido vista como paradigma do conhecimento. Euclides erigiu há anos uma magnífica estrutura lógica com seus Elementos, servindo como exemplo de certeza e verdade até o final do século XIX. Newton utilizou a forma dos Elementos em seu Principia, e Spinoza em sua Ética (ERNEST, 1991, p. 4, tradução nossa). Descartes desenvolveu o seu método acreditando na idéia de que a Matemática era o conhecimento mais certo e infalível de todos. Esse filósofo tomou a metodologia da Matemática juntamente com seus critérios de verdade como regra para toda e qualquer forma de conhecimento. Assim, a Matemática seria então, para Descartes, fundamentada em princípios racionais e lógicos, opinião que foi posteriormente compartilhada pelo matemático alemão Leibniz. (MENEGHETTI, 2006, p. 59). 3

4 No final do século XIX, as novas investigações a respeito da natureza da Matemática, livres da dependência de experimentação e percepção, logo encontraram novos problemas com o aparecimento de paradoxos no sistema dos números reais e também na teoria dos conjuntos. Em decorrência dessa crise dos fundamentos, três novas correntes filosóficas da Matemática surgiram para tentar lidar com esses problemas: o Logicismo, o Formalismo e o Intuicionismo. Tais correntes buscaram fornecer uma sólida fundamentação para a Matemática, entretanto, em todos os três casos, tal fundamentação deveria ser absolutamente segura e sistemática, além de reduzir a Matemática a algo mais simples e evidente. Por esse motivo, o Logicismo, o Formalismo e o Intuicionismo ficaram conhecidos como correntes absolutistas, fundacionais ou até mesmo justificacionistas da Filosofia da Matemática. Apesar de suas diferenças, tais propostas concordaram em reservar à Matemática o posto único de ciência indubitável. Muitos de seus defensores acreditavam que ao contrário do que ocorre nas chamadas ciências naturais, a Matemática não está aberta à falsificação empírica. Contudo, como aponta Meneghetti (2009), essas correntes falharam em seus propósitos, e a natureza do saber matemático passou a ser novamente questionada. A Filosofia da Matemática de Lakatos Quase-empirismo é o nome atribuído à filosofia da matemática desenvolvida por Imre Lakatos. Sua visão da Matemática leva em consideração a atividade dos matemáticos, isto é, o que eles fazem e têm feito, com todas as imperfeições inerentes a qualquer atividade ou criação humana. O quase-empirismo passou a representar uma nova direção na Filosofia da Matemática (TYMOCZKO 5, 1986 apud ERNEST, 1991, p. 35, tradução nossa), pois prioriza a prática da Matemática. Influenciado pelos trabalhos de Karl Popper e Thomas Kuhn, Lakatos adaptou a filosofia da ciência desses filósofos à Matemática fazendo as alterações que ele considerava necessárias. Em colaboração com Alan Musgrave, Lakatos organizou a 5 TYMOCZKO, T. (ed.) New Directions in the Philosophy of Mathematics, Boston, Birkhauser. 4

5 obra intitulada A crítica e o desenvolvimento do conhecimento, que constitui o quarto volume das Atas do Seminário Internacional sobre Filosofia da Ciência, realizado em 1965 em Londres. Nesse livro, Lakatos desempenha o papel de mediador na discussão travada entre Popper e Thomas Kuhn a respeito do desenvolvimento científico. Molina (2001) argumenta que, segundo Lakatos, não haveria diferenças entre o desenvolvimento das ciências naturais e o desenvolvimento da Matemática, ou seja, não pode existir uma epistemologia própria da Matemática, fora da epistemologia geral das ciências empíricas. Desta forma, Lakatos estende o falsificacionismo popperiano à Matemática. Popper propôs uma lógica da descoberta científica, na qual ele argumenta que a ciência avança através de processos de conjecturas e refutações. Mas, enquanto Popper considerava as refutações das teorias empíricas como definitivas, Lakatos afirmava a possibilidade de defender sempre uma teoria Matemática contra uma possível refutação. Ele expôs sua metodologia explicitamente na obra Provas e Refutações: a lógica do descobrimento matemático, que foi postumamente publicada. A Epistemologia da Matemática apresentada nesse trabalho não pode ser concebida à parte da História da Matemática. Lakatos apresenta suas concepções epistemológicas como sendo uma reconstrução racional da História da Matemática. O cerne dessa Epistemologia está no método de provas e refutações, um método de heurística Matemática. Sob o atual domínio do formalismo, é-se tentado a parafrasear Kant: a história da Matemática, à falta da orientação da filosofia, tornou-se cega, ao passo que a filosofia da matemática, voltando as costas aos fenômenos mais curiosos da história da Matemática, tornou-se vazia. (LAKATOS, 1978, p. 15, grifo do autor) Nesta obra, este autor apresentou o seu método de provas e refutações que, em sua opinião, forneceria as bases para uma correta interpretação da História da Matemática. O método de Lakatos é ilustrado através de uma interpretação histórica da conjectura de Euler, a qual afirma que para todo poliedro vale a relação V A + F = 2, onde V é o número de vértices, A é o número de arestas e F é o número de faces do poliedro. São apresentados contra-exemplos para tal conjectura surgidos ao longo dos 5

6 anos, o que fez com que as hipóteses fossem reformuladas, ou, lapidadas, isto é, limitadas de modo a evitar tais contra-exemplos. Sob essa dinâmica, a prova, ou o percurso da prova, parece corresponder a um esforço mútuo que levou anos para chegar a sua formulação final. Segundo o método de provas e refutações, a aparição de contraexemplos a uma conjectura leva a uma análise mais acurada da prova da conjectura, a fim de identificar os lemas ocultos que não são satisfeitos pelos contra-exemplos. Estes lemas são agregados como condições à conjectura primitiva, dando origem, assim, a uma conjectura melhorada. Pelo contrário, outras atitudes face à aparição de contra-exemplos revelam-se estéreis. A rendição, isto é, face à aparição dos contra-exemplos, declarar simplesmente que a conjectura é falsa, não leva ao progresso da Matemática, fecha o caminho ao aprimoramento da conjectura. (MOLINA, 2001, p. 149) Na utilização de seu método, Lakatos enfatiza a importância de se considerar os fatores históricos para o desenvolvimento da Matemática: A forma dialogada deve refletir a dialética do caso; significa conter uma espécie de racionalidade reconstruída ou história destilada. A verdadeira história aparecerá nas notas de pé de página, a maioria das quais, portanto, deve ser tomada como parte orgânica deste ensaio. (LAKATOS, 1978, p. 18, grifo do autor) O interesse dominante na Filosofia da Matemática parece se mover para além do programa absolutista descrito anteriormente, pois torna necessário o abandono da pretensão de ditar à Matemática regras de comportamento, para abordá-la como um esforço humano para organizar sua experiência no mundo. Nesta tarefa, os filósofos da Matemática não podem mais ignorar a história dessa ciência, pois o conhecimento matemático como nos é transmitido não é todo concentrado no momento presente, mas sim distribuído ao longo dos séculos. A proposta é de que as inquietações próprias da Filosofia da Matemática devem incluir questões externas como seu contexto social e suas origens históricas, além de questões internas relativas ao seu conhecimento, existência e justificação. Como a história ilustra, o conhecimento em cada disciplina, 6

7 incluindo a Matemática, se dá por uma constante mudança de estado. A epistemologia não fornece uma adequada explicação para o conhecimento se este se concentra apenas numa formulação estática e ignora a dinâmica de seu crescimento. A Matemática é multifacetada, e da mesma forma que um corpo de conhecimentos proposicionais, pode ser descrita através de seus conceitos, características, história e prática. A visão falibilista considera o conhecimento matemático como falível e corrigível, e este nunca deve ser considerado livre de correções. Sendo assim, a proposta falibilista da natureza da Matemática reconhece que os erros nos levam a reconsiderar a teoria e conseqüentemente a um crescimento do conhecimento. Considerações Finais As contribuições aqui sugeridas são o resultado das discussões e reflexões teóricas realizadas pelos autores a partir dos estudos efetuados e da experiência dos mesmos; um enquanto educador matemático e o outro, na época da realização dessa pesquisa, enquanto aluno de graduação em bacharelado em Matemática. Entendemos que a importância de se examinar a História e a Filosofia da Matemática reside no fato de que toda e qualquer prática, seja ela educativa, científica e/ou tecnológica como no caso da Matemática fundamenta-se em um contexto cultural que está sujeito a toda sorte de interesses. Para nós, o estudo da Matemática feito através de seu viés histórico e filosófico reivindica o vínculo da Matemática com as outras atividades humanas ou mesmo entre as diversas áreas dessa ciência, criando um rico mosaico no qual ficam evidentes os interesses e preocupações dos matemáticos ao longo dos séculos. Além disso, concordamos com Meneghetti (2009) que defende que atualmente o movimento nas filosofias atuais da Matemática é de se reconhecer (ou recuperar) outros aspectos importantes na constituição do saber matemático, tais como: a falibilidade; os caracteres intuitivo, experimental e temporal; os aspectos históricos, culturais e os advindos com as revoluções científicas. Para essa mesma autora, há a importância de haver-se um equilíbrio entre os aspectos intuitivo e lógico no processo de constituição do conhecimento matemático. Entendendo o intuitivo como um conhecimento de 7

8 apreensão imediata, podendo ou não ter origem na experiência e, o lógico, como sendo o meio pelo qual sistematizamos/formalizamos o conhecimento. A partir desses pressupostos, consideramos as idéias de Lakatos como uma importante fonte de inspiração para abordagens no processo de ensino e aprendizagem da Matemática na graduação em Matemática, no que se refere ao aspecto lógico do conhecimento matemático, especificamente para o caso das demonstrações em Matemática. Vale salientar que as idéias de Lakatos não são auto-suficientes para dar conta do processo de ensino e aprendizagem de Matemática, sendo que algumas de suas limitações já foram abordadas por Cardoso (1997). As principais críticas dessa última autora referem-se à utilização da filosofia da Matemática de Lakatos no ensino fundamental e médio. Entretanto, na graduação em Matemática e referente ao aspecto lógico do conhecimento matemático, entendemos que a proposta delineada por Lakatos em Provas e Refutações muito pode contribuir. Outras ricas contribuições dessa teoria ao ensino foram também apontadas por Garnica (1996). Segundo nossa percepção, a forma como Lakatos expõe suas idéias em Provas e refutações, isto é, como um diálogo Socrático, leva os alunos a terem uma posição mais ativa e desinibida frente ao desenvolvimento das idéias matemáticas. Compreendemos que um melhor entendimento da Matemática apresentada na graduação pode ser feito mediante incessante aperfeiçoamento de opiniões por especulação e crítica, pela lógica das provas e refutações. Além disso, este processo deve ocorrer de forma dinâmica e dialética 6. Tal postura evita, por exemplo, uma exposição estática do conteúdo como um amontoado de axiomas, definições, lemas, teoremas, e suas respectivas demonstrações, o que muitas vezes faz com que os alunos se percam em tanta informação e acabem perdendo de vista os seus objetivos, isto é, a essência daquilo que na verdade está por trás da teoria e que deve de fato ser compreendido ou, como tal teoria se encaixa de forma mais geral no edifício da Matemática e quais suas possíveis ramificações em outras áreas do conhecimento. Do ponto de vista da aprendizagem, justificar a necessidade da construção dos conceitos, explorar suas propriedades, conectando as implicações da teoria com diferentes áreas da Matemática, faz muita diferença. Uma 6 Empregamos o termo dialética no sentido utilizado por Lakatos, isto é, como um diálogo socrático. 8

9 abordagem histórica permite que a objetividade da Matemática venha à tona, as definições aparecem como uma necessidade de se superar obstáculos, os contraexemplos permitem se fazer os devidos ajustes na teoria. Ainda do ponto de vista do rigor matemático, sua necessidade pode ser mais bem compreendida, uma vez que sua função é lapidar a teoria, buscando sempre evitar as ambigüidades e contra-exemplos, o que torna clara a necessidade da justeza da linguagem matemática. Por todos esses fatores, compreendemos que utilizar uma abordagem inspirada na teoria de Lakatos, sempre que possível, no que se refere ao caráter lógico do conhecimento matemático acrescentaria muito na construção dos conhecimentos matemáticos dos graduandos em Matemática. Referências BALIEIRO, I. F. Arquimedes, Pappus, Descartes e Polya Quatro Episódios da História da Heurística. Tese de Doutorado Tese (Doutorado em Educação Matemática). Instituto de Geociências e Ciências Exatas. Universidade Estadual Paulista. Rio Claro, SP CARDOSO, V. C. As Teses Falibilista e Racionalista de Lakatos e a Educação Matemática. Dissertação de Mestrado Dissertação (Mestrado em Educação Matemática). Instituto de Geociências e Ciências Exatas. Universidade Estadual Paulista. Rio Claro, SP DOSSEY, J. A. The Nature of mathematics: its role and its influence. In: GROUWS, D. A. Handbook of research on mathematics teaching and learning. New York: Macmillan, p ERNEST, P. The Philosophy of mathematics education. Bristol: The Farmer, p The Dialogical nature of mathematics. In:. (Org.) Mathematics, education and philosophy: an international perspective. London: The Farmer, p GARNICA, A. V. M. Lakatos e a Filosofia das Provas e Refutações: contribuições para a Educação Matemática. In: Educação e Sociedade, n o 56/ , Campinas: 1996, CEDES, Papirus. 9

10 LAKATOS, I. Provas e refutações: a lógica do descobrimento matemático. Rio de Janeiro: Zahar, A Crítica e o desenvolvimento do conhecimento. São Paulo: Cultrix/EDUSP, MENEGHETTI, R.C.G. Pensando uma filosofia da educação Matemática à luz da história e da filosofia da Matemática. In:. (Org.). Educação Matemática: vivências refletidas. São Paulo: Centauro, p O Intuitivo e o Lógico no Conhecimento Matemático: análise de uma proposta pedagógica em relação a abordagens filosóficas atuais e ao contexto educacional da Matemática. BOLEMA: Boletim de Educação Matemática. Rio Claro (SP). Ano 22. n.32, 2009, p MOLINA, J. A. Lakatos como filósofo da Matemática. In: Episteme, Porto Alegre, n.13, Disponível em: < >. Acesso em: 17 out PERMINOV, V. Y. On The reliability of mathematical proofs. In: Revue Internationale de Philosophie, Bruxelles, v. 42, n. 167,