FUNDAÇÃO GETÚLIO VARGAS ESCOLA DE ECONOMIA DE SÃO PAULO GUSTAVO DE FARO COLEN NUNES

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1 FUNDAÇÃO GETÚLIO VARGAS ESCOLA DE ECONOMIA DE SÃO PAULO GUSTAVO DE FARO COLEN NUNES MODELO DA DINÂMICA DE UM LIVRO DE ORDENS PARA APLICAÇÕES EM HIGH- FREQUENCY TRADING SÃO PAULO 2013

2 GUSTAVO DE FARO COLEN NUNES MODELO DA DINÂMICA DE UM LIVRO DE ORDENS PARA APLICAÇÕES EM HIGH- FREQUENCY TRADING Dissertação apresentada ao Programa de Mestrado Profissional em Economia da Fundação Getúlio Vargas/EESP, como parte dos requisitos para a obtenção do título de Mestre em Economia, linha de Finanças Quantitativas. Orientador: Prof. Dr. Afonso de Campos Pinto SÃO PAULO 2013

3 Nunes, Gustavo de Faro Colen Modelo da dinâmica de um livro de ordens para aplicações em highfrequency trading / Gustavo de Faro Colen Nunes f. Orientador: Afonso de Campos Pinto Dissertação (MPFE) - Escola de Economia de São Paulo. 1. Mercado de ações. 2. Bolsa de Valores de São Paulo. 3. Finanças - Métodos estatísticos. 4. Investimentos - Análise. I. Pinto, Afonso de Campos. II. Dissertação (MPFE) - Escola de Economia de São Paulo. III. Título. CDU

4 GUSTAVO DE FARO COLEN NUNES MODELO DA DINÂMICA DE UM LIVRO DE ORDENS PARA APLICAÇÕES EM HIGH- FREQUENCY TRADING Dissertação apresentada ao Programa de Mestrado Profissional em Economia da Fundação Getúlio Vargas/EESP, como parte dos requisitos para a obtenção do título de Mestre em Economia, linha de Finanças Quantitativas. Data da Aprovação: 01 / 02 / 2013 Banca Examinadora: Prof. Dr. Afonso de Campos Pinto (Orientador) FGV EESP Prof. Dr. Alessandro Martim Marques FGV EESP Prof. Dr. Oswaldo Luiz do Valle Costa USP Escola Politécnica

5 Agradecimentos Aos meus pais e à Lu, que me incentivaram a seguir este caminho, mesmo sabendo que tal caminho me afastaria deles. Ao Dr. Afonso e também ao Dr. Roberto, dois tipos diferentes de doutores que me orientaram tanto nessa dissertação como na vida.

6 Resumo As operações de alta frequência (High-Frequency Trading - HFT) estão crescendo cada vez mais na BOVESPA (Bolsa de Valores de São Paulo), porém seu volume ainda se encontra muito atrás do volume de operações similares realizadas em outras bolsas de relevância internacional. Este trabalho pretende criar oportunidades para futuras aplicações e pesquisas nesta área. Visando aplicações práticas, este trabalho foca na aplicação de um modelo que rege a dinâmica do livro de ordens a dados do mercado brasileiro. Tal modelo é construído com base em informações do próprio livro de ordens, apenas. Depois de construído o modelo, o mesmo é utilizado em uma simulação de uma estratégia de arbitragem estatística de alta frequência. A base de dados utilizada para a realização deste trabalho é constituída pelas ordens lançadas na BOVESPA para a ação PETR4. Palavras-chave: Dinâmicas de livros de ordem, High-frequency trading, Arbitragem estatística, Bolsa de Valores de São Paulo, Mercado de ações.

7 Abstract High-frequency trading (HFT) are increasingly growing on BOVESPA (São Paulo Stock Exchange), but their volume is still far behind the volume of similar operations performed on other internationally relevant exchange markets. The main objective of this work is to create opportunities for future research and applications in this area. Aiming at practical applications, this work focuses on applying a model that governs the dynamics of the order book to the Brazilian market. This model is built based in the information of the order book alone. After building the model, a high frequency statistical arbitrage strategy is simulated to validate the model. The database used for this work consists on the orders posted on the equity PETR4 in BOVESPA. Keywords: Order book dynamics, High-frequency trading, Statistical arbitrage, São Paulo stock exchange, Equity market.

8 8 Sumário Lista de Figuras Introdução Revisão Bibliográfica Modelo Mercado de ordens limitadas e de mercado Livro de ordens Distância ao melhor preço Modelo proposto Metodologia Estimação dos parâmetros Simulação de Monte Carlo Estratégia de high-frequency trading Resultados Dados utilizados Parâmetros estimados Resultados da estratégia Conclusão Referências bibliográficas...48

9 9 Lista de Figuras Figura 1 Representação do livro de ordens...19 Figura 2 Chegada de uma ordem de mercado de compra...20 Figura 3 Chegada de uma ordem de mercado de venda...21 Figura 4 Chegada de uma ordem limitada de compra...22 Figura 5 Chegada de uma ordem limitada de venda...22 Figura 6 Cancelamento de uma ordem de compra...23 Figura 7 Cancelamento de uma ordem de venda...24 Figura 8 Distância ao melhor preço antes e depois da chegada de uma ordem de mercado.25 Figura 9 Taxas de chegada de ordens limitadas...41 Figura 10 Probabilidades de cancelamentos das ordens...41 Figura 11 Distribuição dos tamanhos das ordens de mercado...42 Figura 12 Distribuição dos tamanhos das ordens limitadas...43

10 10 1. Introdução A formação dos preços nos mercados financeiros é feita a partir da interação entre as ordens de compra e venda. Esta interação se dá através de um processo dinâmico e bastante complexo. Estudos dos mecanismos envolvidos na negociação de ativos financeiros são tradicionalmente focados em mercados orientados a preços determinados por um formador de mercado (market maker), que compra e vende papéis a preços que ele determina, fornecendo assim liquidez através deste processo. Há alguns anos, a evolução tecnológica nas grandes bolsas de valores ao redor do mundo abriu espaço para o surgimento de plataformas automáticas de negociação e esse processo foi substituído por sistemas eletrônicos, onde os preços passaram a ser formados por ordens e não mais determinados pelo market maker, embora essa figura ainda tenha o papel de fornecer liquidez ao mercado. Neste novo desenho, ordens de compra ou de venda de determinado ativo são relacionadas em um livro de ordens. Cada ordem lançada possui o preço ao qual o operador que lançou a ordem pretende comprar ou vender determinado ativo e a quantidade deste ativo que se deseja negociar. Caso mude de ideia, o operador pode cancelar a ordem lançada, uma vez que a mesma ainda não tenha sido executada. Neste novo método as ordens que são lançadas ficam gravadas em um livro de ordens onde ficam até serem canceladas ou executadas. Uma ordem A é executada quando é lançada uma ordem de mercado B que consome A. Ordens de mercado de compra (venda) são aquelas que têm o preço melhor ou igual ao melhor preço de venda (compra) do livro. A prioridade de execução das ordens se dá pelo preço e pela ordem de chegada ao livro (isso não é válido em todos os mercados, mas é válido para o escopo deste trabalho). Aqui se aplica um modelo que rege a dinâmica de um livro de ordens de um determinado ativo. Após construir o modelo baseado nas ordens lançadas, o modelo é testado ao ser utilizado em uma estratégia de arbitragem estatística. Os dados utilizados contêm todos os eventos ocorridos no livro de ordens, diferentemente de dados de alta frequência Nível I e Nível II, tipicamente utilizados em

11 11 trabalhos similares, que apresentam fotografias dos níveis mais altos do livro de ordens ao longo do tempo. Embora contenham mais informações que os dados de alta frequência Nível I e Nível II, os dados aqui utilizados precisaram ser tratados antes de serem utilizados. Existem várias maneiras de modelar o livro de ordens. Este trabalho foca nos modelos de filas que usam leilão duplo. Dentre estes modelos, existem aqueles que modelam apenas as ordens com melhor preço de compra e venda e os que levam em conta mais níveis do livro de ordens. Este trabalho utiliza um modelo que leva em conta vários níveis do livro de ordens na sua criação. Sua relevância se dá pelo fato de possibilitar aplicações práticas em estratégias de arbitragem estatística de alta frequência (High-Frequency Trading - HFT). As estratégias de HFT estão em forte crescimento na BOVESPA e ainda não existem muitas publicações nacionais relevantes sobre este assunto. Aqui, além de se modelar o livro de ordens, o mesmo é testado com uma estratégia deste tipo. Vale salientar que os modelos de livros de ordens ainda estão em fase de aperfeiçoamento. Existem frentes de pesquisa que levam em conta o comportamento dos agentes e os motivos que os levam a tomar determinadas decisões e as que se baseiam apenas em dados. Este trabalho está divido em quatro partes. O próximo capítulo é uma revisão da bibliografia sobre o assunto onde é retratado o estado da arte de estudos semelhantes e traçado o caminho que se desenrolou para a criação do modelo aqui utilizado. Ainda no segundo capítulo mostra-se a inserção deste trabalho dentro deste contexto e as contribuições que este pretende fazer ao campo de conhecimento. O terceiro capítulo define o conceito de livro de ordem e os eventos que o alteram para poder ainda apresentar o modelo aqui proposto. Já no quarto capítulo explica-se como construir e testar este modelo com o método de simulações Monte Carlo. Após demonstrar a base utilizada para criar o modelo e como o fazer a partir de um conjunto de informações de mercado, serão demonstrados e discutidos, no quinto capítulo, os resultados obtidos tanto na criação do modelo como nos testes com ele feitos para uma estratégia de

12 12 arbitragem estatística. Essa dissertação é concluída no sexto capítulo e último, o qual apresenta as principais conclusões e possíveis caminhos a serem perseguidos na sua extensão.

13 13 2. Revisão Bibliográfica Após o inicio dos mercados de ordens limitadas iniciaram-se estudos com o objetivo de compreender a formação dos preços e sua dinâmica. Um dos primeiros trabalhos relevantes nesse caminho é o de Parlour (1998). Nele, o autor cria um modelo onde cada trader tem que escolher entre colocar uma ordem de mercado que será executada imediatamente ou colocar uma ordem limitada buscando um preço melhor e correndo o risco dessa ordem não ser executada. Para tomar essa decisão ele analisa o estado do livro de ordens para saber suas chances de execução, e também leva em conta que os futuros traders analisarão o estado do livro de ordens após sua ordem ser colocada. A partir disso ele toma sua decisão visando maximizar sua utilidade, levando em conta sua aversão ao risco. Embora não seja o foco deste trabalho, vale mencionar que muitos outros estudos seguem a linha de criação de modelos baseados no comportamento dos traders. Um exemplo é Foucault (2005), onde se considera a existência de dois tipos de traders, os impacientes e os pacientes. Os impacientes lançam ordens de mercado e conseguem resultados imediatos, enquanto os pacientes lançam ordens limitadas e conseguem preços melhores correndo o risco de não executar suas ordens, ou executá-las depois de um longo período de tempo. A proporção entre traders impacientes e pacientes determina a dinâmica do livro de ordens. Aqui não se foca em modelos que levam em conta as preferências dos traders ou seus incentivos. Segue-se outra linha, onde os traders não têm estratégias e agem de maneira randômica. Um dos primeiros trabalhos que abordam este tema é Maslov (2000), onde é criado um modelo simples, no qual traders podem colocar ordens limitadas ou a mercado e tem como parâmetro a proporção entre elas. Os tamanhos das ordens são unitários e as distâncias das ordens limitadas em relação ao melhor preço tem um limite determinado e seguem uma distribuição uniforme. Embora seja um modelo extremamente simples e que não leva em conta as estratégias dos traders, o

14 14 mesmo apresenta comportamentos desejados como caudas pesadas nas variações dos preços. Luckock (2001) propõe um modelo mais completo, onde as chegadas das ordens seguem processos de Poisson e o intervalo entre chegadas aumenta conforme a distância ao melhor preço aumenta. Para chegar nesse modelo o autor utilizou as funções de oferta e demanda e a partir delas definiu os intervalos entre chegadas para diferentes níveis do livro de ordens. Este modelo não leva em conta cancelamentos de ordens e todas as ordens possuem o mesmo tamanho, assim como em Maslov (2000). O modelo de Luckock (2001) apresenta outros comportamentos desejados além dos já presentes em Maslov (2000), sendo um exemplo, a possibilidade de determinar-se a janela onde os preços são negociados, fornecendo assim uma explicação quantitativa para os fenômenos de suporte e resistência observados no mercado. Luckock e Skipper (2001), utilizando o modelo de Luckock (2001), fazem simulações de Monte Carlo. No seu trabalho eles mencionam a necessidade da utilização de simulações de Monte Carlo em vez de análises puramente matemáticas, devido à natureza complexa dos livros de ordens e da dinâmica de formações de preços. Vários estudos começaram a buscar mais propriedades estatísticas dos livros de ordens, a exemplo do trabalho de Gopikrishnan et al (2000). Neste, os autores analisam estatisticamente a premissa de que o volume move os preços. Para isso, são analisadas as ordens de mercado e seus tamanhos. O trabalho conclui, após analisar informações de 1994 e 1995 do mercado norte americano de ações, que a distribuição dos tamanhos das ordens de mercado segue uma função de lei de potência. A partir deste trabalho, Maslov e Mills (2001), usando dados de alta frequência Nível II da NASDAQ (Associação Nacional Corretora de Valores e Cotações Automatizadas) observaram valores próximos nos tamanhos das ordens de mercado dos observados em Gopikrishnan et al (2000), seguindo a mesma função de lei de potência. Maslov e Mills (2001) também analisam os tamanhos das ordens limitadas e percebem que funções de lei de potência também se aplicam neste caso, porém com

15 15 parâmetros menores que para ordens de mercado. Os autores ainda sugerem uma distribuição log-normal para um melhor ajuste dos tamanhos observados para ordens limitadas, porém com características de decaimento um pouco diferentes das observadas para funções de lei de potência em ordens de tamanhos maiores. Bouchaud et al (2002) analisam a chegada de ordens para três ações da bolsa de Paris e percebem que a quantidade de chegadas segue uma distribuição de função de lei de potência quando analisada em relação a sua distância para o melhor preço. A partir dessas observações, cria-se um modelo semelhante ao de Luckock (2001), porém utilizando uma função de lei de potência para determinar os intervalos entre chegadas a determinadas distâncias do melhor preço. Zovko e Farmer (2002) analisam de maneira semelhante à Bouchaud et al (2002) cinquenta papéis da bolsa de Londres e chegam a conclusões semelhantes às de Bouchaud et al (2002), porém com parâmetros distintos para a função de lei de potência que rege o decaimento da chegada de ordens a níveis cada vez mais distantes do melhor preço. Os autores propõe uma explicação para tal fenômeno baseada na paciência dos traders. Quanto mais paciente for o trader, mais distante do topo do livro de ordens ele colocará sua ordem, visando assim retornos melhores ao custo de esperar mais tempo por esses retornos e correndo o risco de não executar sua ordem. Smith et al (2003) apresentam um modelo que segue a mesma linha de Bouchaud et al (2002), porém mais abrangente. O seu modelo de apresenta cancelamentos que podem ocorrer randomicamente para qualquer operação com certa probabilidade e utiliza ordens que seguem um tamanho fixo. São derivados modelos analíticos para calcular algumas propriedades do livro de ordens. Ainda é mencionado que o uso de ordens com tamanhos que seguem as distribuições propostas por Gopikrishnan et al (2000) e Maslov e Mills (2001) ao invés do uso de ordens de tamanho fixo, geraria resultados qualitativamente diferentes. Luckock (2003) traz várias análises analíticas de probabilidades que fazem referência ao modelo descrito em Luckock (2001). É mencionado, assim como em

16 16 Smith et al (2003), que para que as probabilidades fossem calculadas analiticamente, foram utilizadas ordens de tamanho único no modelo, e com isso, o modelo não representa corretamente o mercado em momentos de maior instabilidade. Potters e Bouchaud (2003) estudam o tempo de vida das ordens limitadas colocadas à determinada distância do melhor preço. Os autores analisam dados das bolsas de Paris, Londres e Nova York e encontram diferentes parâmetros para a função de lei de potência que determina a quantidade de chegadas de ordens em relação à distância ao melhor preço para diferentes mercados. Também são discutidas as diferentes probabilidades de cancelamento de ordens que decrescem conforme se aumenta a distância do melhor preço e, relaciona-se este fato à proposição de Zovko e Farmer (2002), de que as ordens mais distantes do melhor preço são de traders mais pacientes, que por isso não as cancelam com tanta frequência. Avellaneda e Stoikov (2008) propõem uma estratégia para um formador de mercado com aversão a risco, utilizando as funções de lei de potência para determinar o tempo entre chegadas das ordens e também os tamanhos das ordens. A partir disto, eles calculam a probabilidade de uma ordem limitada, colocada a certa distância do melhor preço, ser realizada dentro de um determinado espaço de tempo, similar ao tempo de vida de Potters e Bouchaud (2003). Utilizando-se da probabilidade da ordem ser executada e da quantidade do ativo que o market maker tem em sua posse e à sua aversão, é criada uma estratégia para o market maker dar liquidez ao mercado de maneira a diminuir significantemente a variância da quantidade do ativo em posse sem grandes impactos nos retornos esperados. Cont et al (2010) sugerem um modelo que expande aquele proposto em Bouchaud et al (2002), incluindo cancelamentos de ordens como sendo probabilidades da ordem ser cancelada. Tais probabilidades dependem da distância ao melhor preço. Para calculá-las foi levado em conta o tamanho médio das filas do livro de ordens e a quantidade de cancelamentos que ocorreram a determinadas distâncias do melhor preço. O trabalho continua utilizando ordens de tamanho fixo, e deriva métodos analíticos para calcular várias probabilidades de interesse.

17 17 Baseando-se no modelo de Cont et al (2010) para obter os intervalos entre chegadas de ordens e também as probabilidades de cancelamento das ordens, este trabalho propõe um modelo semelhante, porém com o tamanho das ordens seguindo uma distribuição de função de lei de potência, como os sugeridos em Maslov e Mills (2001) e Gopikrishnan et al (2000). Já para a distribuição dos tamanhos das ordens limitadas, utiliza-se uma função log-normal como proposto por Maslov e Mills (2001). Embora não permita derivar probabilidades analíticas como em Cont et al (2010), Smith et al (2003) e Luckock (2003), essa propriedade traz características desejáveis como eventos extremos que modelam melhor o mercado em momentos de maior instabilidade. Tal modelo é então testado utilizando-se simulações de Monte Carlo para calcular retornos esperados de uma estratégia de HFT. Esses resultados são comparados com retornos que seriam obtidos caso tal estratégia fosse realizada para um determinado ativo negociado na BOVESPA.

18 18 3. Modelo Antes de apresentar o modelo aqui proposto, será brevemente descrito o funcionamento do mercado e a forma de operação do livro de ordens. Em seguida serão mencionados os eventos que podem ocorrer e como estes eventos alteram o estado do livro de ordens. Define-se também como calcular a distância ao melhor preço, variável que será amplamente utilizada ao longo deste trabalho Mercado de ordens limitadas e de mercado Em um mercado de ordens limitadas os traders podem inserir dois tipos de ordem: ordens limitadas e ordens de mercado. Uma ordem limitada é uma ordem que pode ser executada ao preço determinado ou a um preço melhor. Uma ordem de mercado de compra (venda) é uma ordem que é executada ao preço do melhor preço de venda (compra) que existir imediatamente quando lançada. Existem também ordens limitadas a mercado, que são ordens limitadas de compra (venda) que têm o preço melhor ou igual ao preço da melhor ordem de venda (compra). Neste trabalho, tais ordens serão tratadas como ordem de mercado. As ordens limitadas ficam registradas em um livro de ordens. Este trabalho visa modelar a dinâmica de tal livro Livro de ordens O livro de ordens contém as ordens limitadas de compra e de venda vigentes. Os eventos que alteram o livro de ordem são: (i) chegada de uma nova ordem limitada, (ii) cancelamento de uma ordem limitada, e (iii) chegada de uma nova ordem de mercado. Quando ocorre uma chegada de uma nova ordem limitada a um determinado preço, ela vai para o final da fila das ordens limitadas a este preço. Quando ocorre a chegada de uma nova ordem a mercado de compra (venda) ela é casada com as ordens de venda (compra) no melhor preço de venda (compra), executando primeiro as ordens de venda

19 19 (compra) que chegaram à fila de tal preço anteriormente. Ordens de cancelamento podem ocorrer em qualquer nível de qualquer fila e retiram a ordem cancelada da fila. A Figura 1 mostra como se dá a representação do livro de ordens. Um tick é a diferença mínima entre o preço de duas ordens. O tamanho mínimo é a menor quantidade que pode ser negociada de determinado ativo. As ordens podem ser de diversos tamanhos, contanto que o tamanho da ordem seja um múltiplo do tamanho mínimo. As ordens limitadas de compra estão agrupadas em filas na parte inferior da figura, onde cada fila contém as ordens limitadas a um mesmo preço. Já as ordens limitadas de venda estão agrupadas na parte superior da figura. As filas mais próximas do centro da figura são as filas que têm preços melhores preços. Em cada fila, a proximidade ao centro da figura, determina a ordem de execução. Sempre que uma ordem de mercado de compra (venda) chega ao livro de ordens, ela é casada com as ordens limitadas que se encontram na fila de melhor preço de venda (compra), seguindo a ordem de execução das ordens da fila e executando as ordens que estão mais ao centro da figura. Figura 1 Representação do livro de ordens

20 20 A Figura 2 mostra do lado esquerdo a chegada de uma ordem de mercado de compra (em cinza escura). Ao chegar ao livro de ordens, esta ordem é casada com a primeira ordem de venda da fila que tem as ordens com o melhor preço de venda. Tal ordem está destacada em verde escuro. O novo estado do livro de ordens é então mostrado no lado direito da figura. Após a execução da ordem de mercado de compra, a ordem limitada que casou com a ordem de mercado sai do livro de ordens, e a ordem que restou na fila de venda com o melhor preço é deslocada mais para o centro da figura, passando a ser a primeira ordem do melhor preço de venda. Vale notar que no livro de ordens a direita da figura, só existe uma ordem na fila do melhor preço de venda, e esta ordem tem o tamanho de três tamanhos mínimos. Figura 2 Chegada de uma ordem de mercado de compra A Figura 3 mostra uma situação similar à Figura 2, porém para a chegada uma ordem de mercado de venda (em verde escuro). Neste caso, a fila impactada é a fila com o melhor preço de compra. A ordem de compra que chega ao livro de ordens tem o tamanho de dois tamanhos mínimos. A primeira ordem da fila de melhor preço de compra tem o tamanho de um tamanho mínimo e é casada com a ordem de mercado. Porém a ordem de mercado ainda não foi totalmente executada, faltando ainda um tamanho mínimo. O restante da ordem de mercado é então casado com um pedaço da

21 21 segunda ordem limitada da fila de melhor preço de compra, fazendo com que esta ordem limitada seja parcialmente executada. O novo estado do livro de ordens é então mostrado no lado direito da figura. A primeira ordem da fila de compra foi retirada do livro de ordens e a segunda ordem foi parcialmente executada, sendo que a parte que ainda não foi executada passou a ocupar a primeira posição na fila de ordens de compra de melhor preço. Figura 3 Chegada de uma ordem de mercado de venda A Figura 4 exemplifica a chegada de uma ordem limitada de compra. Ao lado esquerdo da figura, podemos ver, em cinza escuro, a ordem com tamanho de dois tamanhos mínimos chegando a terceira fila de compra. Do lado direito da figura o novo estado do livro de ordens é demonstrado, aonde a ordem que chegou foi para a última posição da fila em que entrou.

22 22 Figura 4 Chegada de uma ordem limitada de compra A Figura 5 é similar à Figura 4, porém neste caso a ordem limitada que chega é uma ordem de compra e seu tamanho é o tamanho mínimo. Na parte direita da figura, pode-se observar que a quinta fila de venda está maior e que a ordem limitada que chegou se encontra no final desta fila. Figura 5 Chegada de uma ordem limitada de venda

23 23 Na Figura 6 pode ser observado o comportamento do livro de ordens quando uma ordem é cancelada. A ordem limitada de compra com tamanho de três tamanhos mínimos, destacada em cinza escuro, que se encontra na quarta fila, foi cancelada e retirada do livro, fazendo com que o estado do livro passe a ser o representado à direita da figura. Figura 6 Cancelamento de uma ordem de compra A Figura 7 mostra um cancelamento de uma ordem de venda. Neste caso, a ordem cancelada é a primeira ordem da primeira fila de venda. Após ser cancelada, a ordem que era a segunda ordem da primeira fila passa a ser a primeira ordem da primeira fila. O novo estado do livro de ordens pode ser observado à direita da figura.

24 24 Figura 7 Cancelamento de uma ordem de venda 3.3. Distância ao melhor preço Existe certa falta de consenso na literatura ao se definir o conceito de distância ao melhor preço. Como o modelo proposto neste trabalho é criado para papéis de alta liquidez, onde o spread entre o melhor preço de compra e o melhor preço de venda costuma ser de apenas um tick, foi utilizada a definição de Cont et al (2010). Eles definem a distância ao melhor preço como sendo o número de ticks entre o preço de uma ordem de compra (venda) e o preço da melhor ordem de venda (compra). A Figura 8 mostra as distâncias ao melhor preço das filas de compra e de venda antes e depois da chegada de uma ordem de mercado de compra. A figura mostra também o comportamento do livro de ordens ao chegar uma ordem de mercado de compra, em cinza escuro, que tem tamanho maior que a soma dos tamanhos das ordens da primeira fila de venda. Quando isso ocorre, a ordem de mercado limpa a fila de melhor preço. Como a ordem de mercado ainda não terminou de ser executada, seu tamanho restante é casado com a primeira ordem da segunda fila de venda, sendo esta parcialmente executada. Ao lado direito da figura pode-se observar o novo estado

25 25 do livro de ordens e as novas distâncias ao melhor preço das filas de compra e venda. Vale notar que para as ordens de venda de determinado preço, a distância ao melhor preço não foi alterada, enquanto para as ordens de compra a distância aumentou uma unidade. Figura 8 Distância ao melhor preço antes e depois da chegada de uma ordem de mercado 3.4. Modelo proposto O modelo aqui proposto é um modelo estilizado de um livro de ordens baseado em observações de Gopikrishnan et al (2000), Maslov e Mills (2001), Bouchaud et al (2002) e Potters e Bouchaud (2003). Este modelo é semelhante ao apresentado em Cont et al (2010), porém o tamanho das ordens de mercado e limitadas seguem distribuições sugeridas em Gopikrishnan et al (2000) e Maslov e Mills (2001). Este modelo visa representar a dinâmica que existe em um livro de ordens. O modelo é representado por dois vetores de filas, um contendo as ordens de compra e o outro contendo as ordens de venda. Cada fila de um vetor contém as

26 26 ordens de compra (venda) limitadas de mesmo preço, onde as ordens da fila seguem uma disciplina FIFO (First-In, First-Out) em relação ao horário de chegada. Ordens de mercado, ordens limitadas e cancelamentos são enviados por vários traders que atuam de maneira independente no mercado. Sendo assim, esse modelo assume que a chegada de, ordens de mercado, ordens limitadas e cancelamentos, seguem processos de Poisson. A taxa média de chegada das ordens de mercado, tanto de compra quando de venda, é de chegadas por intervalo de tempo. Ordens limitadas, tanto de compra como de venda, chegam à distância do melhor preço com frequência média de ( ) chegadas por intervalo de tempo : ( )= (1) onde e são parâmetros do modelo. Já os cancelamentos de ordens à distância do melhor preço ocorrem com frequência de cancelamentos por intervalo de tempo. Neste modelo considera-se que: =, > (2) com sendo a distância máxima ao melhor preço utilizada na obtenção dos dados que serão utilizados para a obtenção dos parâmetros do modelo. Isso decorre do fato de que é obtido diretamente dos dados ao invés de seguir uma função, como é o caso das taxas médias de chegada de ordens limitadas. O modelo definido acima foi sugerido por Cont et al (2010), onde foi utilizado um intervalo de tempo δ de um minuto e tamanho fixo para as ordens. Este trabalho adiciona a este modelo tamanhos variáveis de ordens de mercado e de ordens limitadas. Os tamanhos das ordens de mercado seguem uma função de lei de potência, como observado por Gopikrishnan et al (2000) e Maslov e Mills (2001). E os tamanhos das ordens limitadas segue uma função log-normal proposta por Maslov e Mills (2001). As ordens de mercado neste modelo tem um tamanho mínimo N. O tamanho de uma ordem qualquer deve ser um múltiplo de, e o tamanho máximo de uma ordem é. Assim sendo, existem tamanhos possíveis de ordens, onde:

27 27 = (3) Os tamanhos das ordens de mercado obedecem a seguinte função de massa de probabilidade: ( )= (4) onde é um parâmetro do modelo que determina o formato da distribuição e é tal que para determinado : ( ) =1 (5) Com isso, podemos calcular o tamanho médio de uma ordem de mercado, como sendo: = ( ) =1 (6) Já os tamanhos das ordens limitadas obedecem a seguinte função de massa de probabilidade: ( )= ( ( )) / (7) onde e são parâmetros do modelo que determinam o formato da distribuição e é tal que, para determinados e : ( ) =1 (8) sendo: Com isso, podemos calcular o tamanho médio de uma ordem limitada, como = ( ) =1 (9) Portanto, para utilização deste modelo são necessários os parâmetros,,,,,,,,, e, 1.

28 28 4. Metodologia Este capítulo descreve os passos necessários para a construção do modelo sugerido a partir de dados de mercado e descreve o modelo de arbitragem estatística utilizado para testá-lo. O processo de obtenção dos parâmetros do modelo é de grande importância para que o mesmo apresente propriedades desejadas como, por exemplo, um total de volume negociado ao longo de um determinado período similar ao observado na janela de tempo utilizada em sua construção Estimação dos parâmetros Inicialmente determina-se uma janela de tempo onde será observado o comportamento do livro de ordens de um determinado ativo. Essa janela, de tamanho, pode ser de anos, dias ou até mesmo horas. Das informações contidas nessa janela, obtêm-se dados das ordens de mercado e, para preços a uma distância de até do melhor preço, obtém-se também os cancelamentos, as ordens limitadas e as somas dos tamanhos das ordens de venda e compra. Para designar a distância ao melhor preço será utilizada a variável, 1. Considera-se também que foram feitas observações ao longo da amostra e utiliza-se, 1, para representar cada uma dessas observações. São utilizadas para a construção do modelo as seguintes informações da janela : tamanho mínimo observado de uma ordem, onde o tamanho de todas as ordens observadas é múltiplo de tamanho máximo observado de uma ordem número observado de ordens de mercado que chegaram ao decorrer de

29 29 tamanho médio observado das ordens de mercado que chegaram ao decorrer de número observado de ordens limitadas à distância do melhor preço que chegaram ao decorrer de número observado de ordens limitadas de tamanho que chegaram ao decorrer de às distâncias, 1 do melhor preço tamanho médio observado das ordens limitadas que chegaram ao decorrer de número observado de cancelamentos à distância do melhor preço que chegaram ao decorrer de tamanho médio observado dos cancelamentos observados que chegaram ao decorrer de, soma dos tamanhos das ordens limitadas de compra da fila à distância do melhor preço na -ésima observação feita no decorrer de, soma dos tamanhos das ordens limitadas de venda da fila à distância do melhor preço na -ésima observação feita no decorrer de Notar a diferença entre e, onde o primeiro se refere ao tamanho mínimo observado, enquanto o segundo se refere ao tamanho mínimo utilizado no modelo. A mesma consideração se aplica a e, e e tambném a e. A quantidade de passos na janela, é definida como sendo: = (10) onde é o tamanho de cada passo. Ao definir, é importante que esse tamanho seja pequeno suficiente para serem ignorados os casos de chegada de mais de uma ordem por intervalo nos processos de Poisson. Sugere-se que seja tal que < 10,

30 30 sendo a taxa média de chegada das ordens de mercado tanto de compra como de venda, onde: = (11) Assim pode-se definir o tamanho δ de cada passo e também τ e λ. Já as taxas médias, ( ), de chegadas por intervalo de tempo são estimadas através dos parâmetros e. Para obter esses parâmetros é feita uma minimização de erros quadráticos, como indicado abaixo: min, (12) Para obter, calcula-se inicialmente os valores e, que são, respectivamente, as quantidades médias de ordens nas filas de compra e venda a distância do melhor preço. Esses valores são obtidos a partir das fórmulas: =, ( ) e =, ( ) (13) onde é o número de observações realizadas ao longo de. Calculam-se, 1, como sendo: = + 2 (14) Determina-se então antes de seguir com os cálculos dos parâmetros que definem as distribuições dos tamanhos das ordens. Pode-se utilizar como sendo o tamanho máximo permitido para uma ordem no ambiente em que os dados foram obtidos. Caso não se tenha essa informação sugere-se utilizar dentro do intervalo 2 10, levando-se em conta que tem baixo, porém significante, impacto nos valores e alto impacto no tempo de cálculo dos parâmetros que seguem, além de ter também um significante impacto no tempo de cálculo do tamanho das ordens quando executadas as simulações.

31 31 Segue-se para o cálculo de ξ, que define a distribuição dos tamanhos das ordens de mercado. Como não queremos alterar o total do volume negociado em determinado período, calcula-se ξ, tal que. Para isso, varia-se ξ e calcula-se e utilizando as Equações 4, 5 e 6 até se encontrar ξ, tal que. Calcula-se, número total observado de ordens limitadas que chegaram ao decorrer de às distâncias, 1 do melhor preço, como sendo: = ou = (15) Para encontrar os parâmetros e, que definem a distribuição dos tamanhos das ordens limitadas, faz-se a seguinte minimização para encontrar : ( ) (16) para cada, varia-se e calcula-se e utilizando as Equações 7, 8 e 9 até se encontrar, tal que o volume de ordens limitadas lançadas até a distância do melhor preço em determinado espaço de tempo seja semelhante ao observado na amostra, de maneira que: (17) 4.2. Simulação de Monte Carlo Com os parâmetros do modelo estimados, é discutida a aplicabilidade do modelo. Para tal, este trabalho sugere a utilização de simulações de Monte Carlo para calcular retornos esperados de uma estratégia de arbitragem estatística qualquer. Depois de calculados os retornos esperados, os mesmos devem ser comparados com retornos da mesma estratégia quando aplicada a dados reais fora da janela de observação.

32 32 Arbitragem estatística é o termo adotado para a execução de uma determinada estratégia várias vezes, no sentido de obter-se retornos positivos para um grande número de execuções. Algumas execuções serão lucrativas e outras não, porém após várias execuções, o retorno total é positivo. Até mesmo para estratégias simples, o cálculo analítico dos retornos esperados é muito complexo. Porém, isso pode ser realizado de maneira menos árdua através da utilização de simulações de Monte Carlo. Para calcular o retorno esperado de uma estratégia são realizadas simulações e se divide a soma dos retornos de cada simulação por, obtendo-se um valor médio. Em cada simulação, o livro de ordens é analisado a cada passo de duração. Dentro de um intervalo de um passo podem ocorrer chegadas de ordens de mercado, ordens limitadas e cancelamentos. Para simular a ocorrência desses eventos usam-se números aleatórios, 0 <1 que seguem uma distribuição uniforme. Para melhores resultados, utiliza-se bem pequeno, de modo a minimizar a ocorrência de mais de um evento em um mesmo passo, o que não é desejável, já que a ordem das chegadas de diferentes tipos de eventos num mesmo período pode alterar o impacto que os mesmos geram no livro de ordens. Além disso, com bem pequeno podem ser ignorados os casos de chegadas de mais de uma ordem do mesmo tipo para os processos de Poisson e considerar que as probabilidades de chegada de uma ordem de mercado, chegada de uma ordem limitada à distância do melhor preço, e cancelamento de uma ordem no intervalo de tempo são, ( ) e, respectivamente. Para verificar a ocorrência destes eventos, basta então verificar se para cada um deles, um número aleatório, 0 <1, é menor que os parâmetros, ( ) e. Caso ocorra uma ordem de mercado, seu tamanho é obtido a partir de um número aleatório, 0 <1, e a função ( ), onde = ( ). A função ( ) é a função inversa da função de densidade acumulada ( ), definida como

33 33 ( )= ( ) (18) Para calcular = ( ) usa-se o seguinte algoritmo: 1) =0 2) é incrementado em 3) se ( ), = caso contrário, voltar ao passo 2 Caso ocorra uma ordem limitada, seu tamanho, é obtido utilizando-se um número aleatório, 0 <1, e a função ( ), onde = ( ). A função ( ) é a função inversa da função de densidade acumulada ( ), definida como ( )= ( ) (19) Para calcular = ( ) usa-se o seguinte algoritmo: 1) =0 2) é incrementado em 3) se ( ), = caso contrário, voltar ao passo 2 Os cancelamentos não precisam ter seus tamanhos calculados, pois eles simplesmente cancelam uma ordem qualquer que tem seu tamanho já determinado. Este modelo não considera que cancelamentos possam ser parciais, porém mantém o volume dos cancelamentos realizados ao longo de determinado tempo igual ao observado, ao se considerar n no cálculo das probabilidades de ocorrências de cancelamentos. Em cada simulação as ordens da estratégia são monitoradas e, diferente das outras ordens do livro, nunca são canceladas. Caso as ordens da estratégia sejam executadas, é calculado o retorno obtido. Quando a estratégia precisa ser zerada, como maneira de se evitar grandes perdas, ou devido a um longo período decorrido, as

34 34 ordens limitadas da estratégia viram ordens de mercado e se calcula então o retorno obtido. Quando a média dos retornos das simulações for positiva, entende-se que é um momento oportuno para utilizar a estratégia, e a mesma é então testada com dados reais obtidos da BOVESPA a fim de verificar se, na média, o retorno das estratégias que tiveram retornos simulados positivos é também positivo, mostrando assim a possiblidade de utilização prática do modelo proposto para arbitragem estatística. Embora este modelo parta da premissa que os traders enviam ordens ao livro de ordens sem seguir nenhuma estratégia, foi levado em conta que, ao se testar as estratégias com os dados observados na BOVESPA, o fato de inserir ordens no livro de ordens poderia alterar o comportamento das ordens subsequentes, viesando assim os resultados obtidos. Para diminuir esse impacto, sugere-se a utilização de estratégias com ordens de tamanhos pequenos. Embora simulações de Monte Carlo não sejam ideais para aplicações práticas de estratégias de trading, devido ao seu longo tempo para calcular retornos esperados, elas permitem simular estratégias mais complexas. Vale ressaltar que em arbitragens estatísticas, o tempo é menos relevante que em arbitragens puras, mas ainda é um impeditivo significante para aplicações práticas. Porém, esse tempo pode ser reduzido em diversas vezes com a utilização de computação paralela para calcular as simulações, onde vários processadores ou computadores calculam poucas trajetórias, tornando assim o tempo de cálculo aceitável para aplicações práticas Estratégia de high-frequency trading A estratégia de HFT utilizada neste trabalho para testar o modelo não se baseia em nenhum modelo matemático e foi criada com o simples intuito de testar o modelo proposto. Seu principal objetivo é ter certa complexidade que permita estressar o modelo em questão para verificar sua robustez e demonstrar a sua flexibilidade quando utilizado em conjunto com simulações de Monte Carlo.

35 35 Assim sendo, essa estratégia consiste em lançar uma ordem de mercado de venda (compra) de tamanho igual à soma dos tamanhos das ordens que se encontram na fila de compra (venda) de melhor preço, limpando assim a fila de melhor preço de compra (venda). Em seguida são lançadas ordens limitadas, 1 de compra (venda) a preços menores (maiores). A ordem de mercado tem tamanho e cada uma das ordens limitadas, 1 tem tamanho. A estratégia é aplicada quando a soma dos tamanhos das ordens de compra (venda) nas filas de distâncias 1 e 2 ao melhor preço, for menor que a soma dos tamanhos das ordens de venda (compra) na fila de distância 1 ao melhor preço. Isso será feito somente para tamanhos pequenos de, visando minimizar os impactos que as ordens da estratégia geram nas chegadas das ordens. Considera-se um tamanho pequeno, quando o mesmo é menor ou igual a 5. Além disso, essa estratégia só é aplicada quando a diferença entre o melhor preço de venda e o melhor preço de compra for de um tick. A estratégia é zerada quando o melhor preço de compra (venda) ficar acima (abaixo) do melhor preço de ou quando se passar um minuto desde o lançamento das ordens. Visando retornos maiores, as distâncias dos preços das ordens limitadas ao melhor preço de venda (compra) observado depois da execução de, variam conforme o estado do livro de ordens, podendo chegar a 4 ticks. Uma ordem limitada executada a distância de 4 ticks de distância do melhor preço gera um retorno de 3 para a estratégia. Após a execução de, as distâncias ao melhor preço são alteradas, e depois dessa alteração determinam-se os preços das ordens limitadas. Uma ordem limitada de venda (compra) só será lançada à distância de 3 ticks do melhor preço, caso a soma das quantidades das ordens de venda (compra) a essa distância do melhor preço seja maior que soma das quantidades das ordens de compra (venda) a essa distância do melhor preço mais o tamanho de. Uma ordem limitada de venda

36 36 (compra) só será lançada à distância de 4 ticks do melhor preço caso a condição anterior tenha sido cumprida e a soma das quantidades das ordens de venda (compra) a essa distância seja maior que soma das quantidades das ordens de compra (venda) a essa distância mais o tamanho de. Caso nenhuma ordem limitada seja lançada a distância de 3 ou 4 ticks do melhor preço, todas elas serão lançadas à distância de 2 ticks do melhor preço. Quando existem ordens limitadas lançadas à distância de 4 ticks do melhor preço, as quantidades de ordens limitadas lançadas a preços diferentes dependem do tamanho de. Para =5, serão lançadas duas ordens limitadas à distância de 4 ticks do melhor preço, duas à distância de 3 ticks do melhor preço e uma à distância de 2 ticks do melhor preço. Se =4, serão lançadas duas ordens limitadas à distância de 4 ticks do melhor preço, uma à distância de 3 ticks do melhor preço e uma à distância de 2 ticks do melhor preço. Quando =3, serão lançadas uma ordem limitada à distância de 4 ticks do melhor preço, uma à distância de 3 ticks do melhor preço e uma à distância de 2 ticks do melhor preço. Para =2, serão lançadas uma ordem limitada à distância de 4 ticks do melhor preço e uma à distância de 3 ticks do melhor preço. E para =, será lançada uma ordem limitada à distância de 4 ticks do melhor preço. Quando existem ordens limitadas lançadas à distância de 3 ticks do melhor preço, porém não existirem ordens lançadas à distância de 4 ticks do melhor preço, as quantidades de ordens limitadas lançadas a preços diferentes também depende do tamanho de. Para =5, serão lançadas três ordens limitadas à distância de 3 ticks do melhor preço e duas à distância de 2 ticks do melhor preço. Se =4, serão lançadas três ordens limitadas à distância de 3 ticks do melhor preço e uma à distância de 2 ticks do melhor preço. Quando =3, serão lançadas duas ordens limitadas à distância de 3 ticks do melhor preço e uma à distância de 2 ticks do melhor preço. Para =2, serão lançadas uma ordem limitada à distância de 3 ticks do melhor preço e uma à distância de 2 ticks do melhor preço. E para =, será lançada uma ordem limitada à distância de 2 ticks do melhor preço.

37 37 5. Resultados Neste capítulo, são detalhados os dados que foram utilizados para criar e testar o modelo. Em seguida são apresentados e discutidos os resultados obtidos tanto na obtenção dos parâmetros como nos testes realizados para verificar a validade do modelo Dados utilizados Os dados utilizados para criar e testar este modelo foram fornecidos pela BOVESPA, contendo as informações referentes ao mês de março de Esses dados estão separados em três arquivos: um arquivo de ordens de compra, um de ordens de venda e um de negócios realizados. Os arquivos de ordens de compra e de venda são similares e contêm o horário de chegada de cada ordem com precisão de microssegundos, um número de identificação da ordem, o papel ao qual a ordem se refere, a data em que foi inserida a ordem no livro de operações, a quantidade que se deseja vender ou comprar e o preço desejado. Ainda nesses arquivos é informado se a ordem foi cancelada, modificada ou completamente executada e a quantidade da ordem que foi executada antes da mesma ser cancelada ou modificada. Para ordens que foram modificadas, indica-se também o número de identificação da nova ordem. Esse arquivo contém também um campo que indica o horário do final do tratamento para informar o horário do cancelamento ou da modificação da ordem com precisão de segundos. O arquivo de negócios contém os instantes em que foram realizados os negócios com precisão de microssegundos, os números de identificação das ordens que geraram cada negócio, o valor desses negócios e as quantidades de ordens negociadas. É interessante ressaltar que quando uma única ordem é casada com várias ordens, é registrado um evento para cada uma das várias ordens e o preço pode ser diferente para dois ou mais desses eventos. Isso ocorre, por exemplo, quando uma

38 38 ordem a mercado de compra (venda) tem tamanho maior que a soma dos tamanhos das ordens limitadas de venda (compra) na fila de melhor preço de venda (compra). Para poder utilizar essas informações, resolveu-se criar uma lista de eventos a partir desses arquivos, onde cada evento representa a chegada de uma ordem de mercado, a chegada de uma ordem limitada ou o cancelamento de uma ordem. Para isso, foram feitas algumas considerações. Cada modificação de uma ordem que alterasse o preço da ordem foi considerada como sendo dois eventos, um de cancelamento e um de lançamento de ordem limitada. Já as ordens que foram alteradas tendo apenas seu tamanho reduzido, foram consideradas como sendo um cancelamento parcial. Isso foi feito pois, quando uma ordem tem apenas seu tamanho reduzido, ela não perde sua posição na fila, diferentemente de uma ordem que muda de preço. O maior problema encontrado com os dados foi a falta de precisão nos horários dos cancelamentos. O campo que informa o horário de cancelamento de uma ordem tem a precisão de segundos e por análise dos dados concluiu-se que esse valor é sempre arredondado para o segundo inferior. Para melhorar significantemente essa informação foram analisadas as operações negociadas parcialmente no período em que as mesmas poderiam ter sido canceladas e se readequou o horário de cancelamento das mesmas. O mesmo foi feito para operações que tiveram seu tamanho reduzido, já que a informação do momento em que esta redução foi feita também tinha a precisão de segundos. As ordens que tiveram modificação de preço não tiveram este problema, uma vez que a nova ordem criada tem a precisão em microssegundos do momento em que a mesma entrou no livro de operações. Após fazer esses ajustes no livro de ordens, foram ainda excluídas algumas ordens de compra (venda) que tinham sido negociadas, porém, a ordem de venda (compra) que estava listada no arquivo de negócios não existia. Excluiu-se também as chamadas ordens combinadas, que podem ser feitas a qualquer momento em preços que não são os melhores preços de compra e venda. Tais ordens fogem do escopo desse trabalho.

39 39 Fora as exclusões mencionadas foram também corrigidos alguns erros percebidos em horários, preços e quantidades quando cabíveis. Esses erros foram encontrados ao tentar cruzar as informações das negociações com as informações das ordens de compra e venda. Depois de concluído este tratamento foram calculados os melhores preços de compra e de venda a cada instante e verificou-se a integridade do livro de ordens. Ainda foram encontrados diversos erros nos dados, como por exemplo, ordens que deveriam ter sido executadas e não foram. Alguns erros puderam ser corrigidos e alguns eventos foram excluídos. Depois de várias buscas por erros e inconsistências nos dados, foi criado um conjunto de operações consistente e íntegro com as ordens de mercado, ordens limitadas e cancelamentos enviados a BOVESPA no dia primeiro de março de Devido ao longo tempo despendido para se obter um dia de observações integras, todas as simulações aqui realizadas levam em conta informações do livro de ordens da BOVESPA para o papel PETR4 no dia primeiro de março de Considerou-se o uso de outros dados, porém um dos objetivos desse trabalho é verificar se o modelo se aplica ao mercado brasileiro e, já que os valores observados por Maslov e Mills (2001) e Gopikrishnan et al (2000) variam pouco quando analisados com diferentes janelas de tempo e em diferentes períodos, constatou-se que os dados, mesmo que de apenas um dia, eram adequados para a realização deste trabalho. Ainda quanto aos dados, embora vários ajustes tenham sido feitos e algumas ordens tenham sido excluídas, o número de valores alterados é muito pequeno perto do volume total de dados. Vale ainda salientar que a grande maioria dos outros trabalhos usam tipos diferentes de dados, os chamados dados de alta frequência de Nível II, onde a informação que se têm são fotografias das somas dos tamanhos das ordens a serem negociadas nos cinco melhores preços de compra e venda.