Métodos de Análise do Comportamento Sísmico de Muros de Gravidade

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1 Métodos de Análise do Comportmento Sísmico de Muros de Grvidde Tni B. Ubillús Deprtmento de Engenhri Civil Pontifíci Universidde Ctólic do Rio de Jneiro, Rio de Jneiro, Brsil, Celso Romnel Deprtmento de Engenhri Civil Pontifíci Universidde Ctólic do Rio de Jneiro, Rio de Jneiro, Brsil, RESUMO: O projeto de estruturs de contenção de solos submetidos crregmentos sísmicos é um importnte tem d engenhri geotécnic, principlmente nos píses ndinos. A bordgem mis comum de solução consiste no emprego de métodos de equilíbrio limite (métodos pseudoestáticos) ou métodos empíricos bsedos em deslocmentos permnentes d estrutur. Um método pseudo-estático clássico é o formuldo por Okbe (196) e Mononobe (199) enqunto que o método sugerido por Richrds e Elms (1979) represent um clsse de métodos de projeto de muros de grvidde bsedos em deslocmentos permnentes dmissíveis. Neste trblho, métodos pr nálise do comportmento sísmico de muros de grvidde são comprdos, enftizndo-se sus vntgens e limitções, bem como são discutidos os vários spectos de modelgem numéric que devem ser cuiddosmente considerdos pr ssegurr um simulção computcionl representtiv do problem. PALAVRAS-CHAVE: Comportmento Sísmico, Muro de Grvidde, Deslocmentos Permnentes, Elementos Finitos. 1 INTRODUÇÃO No Peru, como em vários píses ndinos, o comportmento de estruturs de contenção é considerdo um problem geotécnico importnte, devido à tividde sísmic intens que ocorre em extenss regiões o longo d cost do Pcífico. A ruptur de estruturs de contenção pode cusr grndes dnos em estrds, brrgens, indústris, etc., com riscos vids humns bem como com grves consequêncis econômics, sociis e mbientis. Este trblho present um revisão de lguns métodos propostos n litertur pr o projeto de muros de grvidde sob crregmento sísmico, procurndo, trvés de um exemplo numérico, comprr os resultdos obtidos com plicção de diferentes bordgens de cálculo. COMPORTAMENTO ESTÁTICO Métodos de equilíbrio limite são bstnte plicdos n nálise do comportmento estático de estruturs de contenção, tludes de solo, cpcidde de crg de fundções, etc., em prte devido à simplicidde mtemátic d formulção, em prte pel long e contínu experiênci de utilizção no projeto de obrs geotécnics..1 Método de Coulomb (1776) Considerndo o muro de grvidde de ltur H representdo n figur 1, o equilíbrio ds forçs tuntes sobre um cunh de solo grnulr, com peso específico γ e ângulo de trito φ, result n seguinte expressão pr o empuxo tivo: 1 P A = K A γ H (1)

2 com o coeficiente de empuxo tivo K A definido por: K = ( ) ( φ ) cos - θ A cosθ cos δ+θ 1+ ( φ ) ( φ ) ( ) ( ) sen δ+ sen - β cos δ+θ cos β - θ () onde δ é o ângulo de trito d interfce solo muro e os ângulos β e θ são indicdos n figur. P A δ θ α A β φ F Figur 1. Cunh de solo delimitd pel superfície do terro, fce do muro de grvidde e superfície de ruptur (esquerd); polígono ds forçs tuntes sobre cunh de solo (direit) Krmer (1996). 3 COMPORTAMENTO DINÁMICO A respost dinâmic de estruturs de contenção é complex. Vlores dos deslocmentos e de tensões dependem do comportmento do terro, do solo de fundção, d inérci e rigidez d estrutur, ds crcterístics do registro sísmico, etc. De modo gerl sbe-se que: As estruturs podem se movimentr por trnslção ou rotção. Dependendo ds crcterístics do muro, mbos os movimentos ocorrem ou um deles pode ser prepondernte (Ndim e hitmn, 1984). A mgnitude e distribuição ds tensões são influencids pelo tipo de movimento (Sherif e Fng, 1984). O empuxo máximo do solo gerlmente ocorre qundo o muro present trnslção ou rotção contr o terro (empuxo pssivo), tornndo-se mínimo no sentido oposto (empuxo tivo). P A F A posição do ponto de plicção do empuxo moviment-se o longo d fce do muro em contto com o terro, pois distribuição ds tensões nest interfce vri com o tempo. Vlores de tensões residuis podem permnecer tuntes sobre estrutur, mesmo pós o término do evento sísmico (hitmn, 1990). 3.1 Método de Mononobe-Okbe (199) Os métodos rígido-plásticos, ou pseudoestáticos, são bsedos no equilíbrio de forçs. Determinm os vlores ds forçs tuntes sobre o muro de grvidde, bem como seus respectivos pontos de plicção, possibilitndo o cálculo de um ftor de segurnç contr ruptur d estrutur. Um método pseudoestático clássico foi desenvolvido por Okbe (196) e Mononobe (199), tulmente conhecido como o método de Mononobe- Okbe. As forçs tuntes sobre um cunh de solo grnulr, seco, são mostrds n Figur. Adicionlmente às forçs estátics considerds n figur 1 do método de Coulomb (1776), o equilíbrio de forçs gor envolve s forçs pseudo-estátics equivlentes às forçs de inérci 1, com componentes horizontl e verticl k h e k v, respectivmente, onde k h e k v são os chmdos coeficientes sísmicos. δ P k h θ β k v α () φ F k v k h Figur. Forçs tuntes sobre cunh de solo tiv no método de Mononobe-Okbe (esquerd); polígono de forçs incluindo s forçs pseudo-estátics k h e k v (direit) - Krmer (1996). 1 ms de sentidos contrários, de cordo com o princípio de d Alembert. P (b) F

3 O empuxo tivo totl P pode ser expresso de mneir similr à presentd pr condição estátic (equção 1), i.e. P = ( ) K γ H 1 - k v (3) com o coeficiente de empuxo tivo K n condição pseudo-estátic definido por: ( φ ) ( ) ( ) K =cos - θ - ψ / cos(ψ)cos θ cos δ+θ+ψ ( φ) ( φ ) ( ) ( ) sen δ + sen - β - ψ 1+ cos δ + θ + ψ cos β - θ 1 kh onde φ-β ψ e ψ = tn 1 kv (4) O empuxo tivo totl P (equção 3) pode ser subdividido n componente estátic P A (equção 1) e n componente pseudo-estátic P P = PA + P (5) Admitindo que componente estátic tu n elevção H/3, prtir d bse do muro, Seed e hitmn (1970) recomendm que componente pseudo-estátic sej loclizd à distânci 0,6H d bse. Assim, elevção h do ponto de plicção d forç resultnte (empuxo tivo totl P ) é clculd pel médi ponderd, Estruturs de contenção devem presentr estbilidde durnte ocorrênci de crregmentos sísmicos e, dicionlmente, não devem sofrer deslocmentos permnentes excessivos pós o finl d excitção que possm comprometer su utilidde. Richrds e Elms (1979) propuserm um método pr nálise sísmic de muros de grvidde bsedo em deslocmentos dmissíveis d estrutur. O método estim deslocmentos permnentes de mneir nálog o trdicionl método de Newmrk (1965) empregdo n determinção de deslocmentos permnentes em tludes de solo sob crregmento sísmico. N figur 3, entre os pontos o e s celerções do solo e d estrutur são iguis. A prtir do ponto, qundo o ftor de segurnç pseudo-estático contr o deslizmento d bse tinge o vlor crítico 1, estrutur pss se movimentr com celerção horizontl de escomento constnte e o solo com celerções horizontis superiores entre os pontos e b. Est diferenç entre vlores de celerção, integrd um vez no tempo t b, produzirá velociddes reltivs d estrutur e, trvés de um integrção dicionl no mesmo intervlo de tempo, deslocmentos reltivos permnentes d estrutur, como ilustrdo nos gráficos d figur. h = P A H + P 0,6H 3 P (6) Seed e hitmn (1970) concluem tmbém que s celerções verticis (ou coeficientes sísmicos k v ) podem ser ignords qundo d utilizção do método de Mononobe-Okbe pr cálculo do empuxo tivo no projeto de muros de grvidde. 3. Método de Richrds-Elms (1979) Figur 3. Esquem pr cálculo dos deslocmentos permnentes d estrutur de contenção (Richrds e Elms, 1979). Do ponto b o ponto c s velociddes do solo e do muro novmente coincidem, ms estrutur volt presentr vlores de velocidde e deslocmentos permnentes reltivos entre os pontos c e d qundo

4 celerção horizontl do solo ultrpss novmente o vlor d celerção horizontl de escomento d estrutur. A plicção do método de Richrds-Elms necessit d estimtiv d celerção de escomento d estrutur. Pr o muro de grvidde com peso w d figur 4, qundo cunh de solo tiv for submetid um celerção suficiente pr cusr o deslizmento do muro sobre su bse, s equções de equilíbrio dinâmico permitem escrever, n iminênci do movimento: T = + P cos g ( δ + θ) ( δ + θ) (7) N = + Psen (8) Considerndo N = N tn φb, onde φ b é o ângulo de trito do solo de fundção, é possível determinr celerção de escomento por: φ ( ) ( ) P cos δ+θ - P sen δ+θ = tn b- g w β θ (9) pr ser plicdo. A solução d equção 9 deve ser feit, portnto, de form itertiv. Utilizndo o método de dupl integrção no tempo, cim menciondo, Richrds e Elms (1979) propuserm seguinte correlção pr determinção dos deslocmentos permnentes de muros de grvidde. v d = mx mx perm 4 pr 0. 3 (10) mx onde v mx é velocidde máxim e mx celerção horizontl máxim, mbs n superfície do solo. hitmn e Lio (1985) identificrm lguns erros no desenvolvimento do método de Richrds-Elms (1979), decorrentes de hipóteses simplificdors dotds. Dentre ests, mis importnte é desconsiderção d respost dinâmic do terro e dos mecnismos mecânicos que combinm movimentos de rotção e de trnslção. hitmn e Lio (1985), utilizndo os resultdos de nálises de deslocmentos permnentes em 14 csos históricos publicdos por ong (198), propuserm então seguinte correlção pr estimtiv do deslocmento permnente do muro de grvidde: P.Sen(δ+θ) P 37 v d perm = mx exp mx -9.4 mx (11) P.Cos(δ+θ) g w 4 MODELAGEM NUMÉRICA Figur 4. Muro de grvidde sob ção de forçs pseudoestátics. Richrds e Elms (1979) recomendm que P sej vlido pelo método de Mononobe- Okbe (199) o qul, por su vez, tmbém necessit do conhecimento prévio do vlor de N T Neste trblho o progrm computcionl Plxis D (Finite Element Code for Soil nd Rock Anlses) foi empregdo pr investigr o comportmento sísmico de um muro de grvidde, com o objetivo de comprr os resultdos de um nálise mis brngente com os resultdos previstos pelos métodos proximdos descritos n seção nterior. 4.1 Descrição do problem O muro é constituído por um mteril

5 homogêneo, isotrópico e linermente elástico (módulo de elsticidde E, coeficiente de Poisson ν) e o solo representdo mecnicmente trvés do modelo elstoplástico de Mohr-Coulomb (E, ν, coesão c, ângulo de trito φ, ângulo de diltânci Ψ ). Vlores ds proprieddes dos mteriis estão listdos n tbel 1. O critério de resistênci de Mohr Coulomb é utilizdo pr descrição do comportmento mecânico n interfce solo-estrutur, utilizndo um ftor multiplictivo R inter pr indicr um redução d resistênci o longo d interfce solo/muro (elementos de interfce). Vlores típicos de R inter estão listdos n tbel. considerndo-se k v = 0, β = 0, θ = 0, δ = 9.6 (correspondente R inter = 0,8), φ = 35 e diversos vlores do coeficiente sísmico horizontl k h. A figur 5 mostr grficmente vrição do coeficiente de empuxo tivo K com vlores de celerção horizontl normlizd k h = h /g, obtid pelos métodos de Mononobe-Okbe (199) e elementos finitos. Observ-se que, de mneir gerl, há bo concordânci entre estes resultdos. A figur 6 indic vrição do ponto de plicção do empuxo tivo Mononobe-Okbe Análisis Pseudo-estático 0.70 c inter =R intercsolo csolo (1) tn φ =R tnφ tnφ (13) inter inter solo solo Rinter < 1 considerr Ψ int er = 0 cso contrrio, Ψ inter = Ψ (14) solo K k h Tbel 1. Proprieddes dos mteriis. Mteril E (kp) ν Ψ ( o ) φ ( ο ) c (kp) γ (kn/m 3 ) Solo 1.5x Muro 50x Figur 5. Vrição do coeficiente de empuxo tivo K com celerção horizontl normlizd k h determind pelo método de Mononobe-Okbe (199) e por elementos finitos. Tbel. Vlores típicos de ftores de redução de resistênci R inter (Pérez More, 003) Mononobe-Okbe Análisis Pseudo-estático Tipo de Interfse R inter Arei/ço Argil/ço 0.5 Arei/concreto Solo/geogrelh Solo/geotextil 1 h/h k h 4. Análise pseudo-estátic A simulção numéric por elementos finitos de um nálise pseudo-estátic foi feit plicndose um forç de corpo em todos os elementos d mlh com vlor equivlente um celerção horizontl de vlor constnte. Os resultdos ssim obtidos form então comprdos com os previstos pel solução de Mononobe-Okbe, Figur 6. Vrição do ponto de plicção h do empuxo tivo, determindo pelos métodos de Mononobe-Okbe (199) e por elementos finitos. 4.3 Análise sísmic O celerogrm mostrdo n figur 7 se refere o terremoto de Lim (Peru) ocorrido em outubro de 1974, com um durção superior 90 segundos. Este registro foi normlizdo pr

6 um vlor máximo de celerção de 0,5g. Acelerción (cm/s ) g Tiempo (s) Figur 7. Acelerogrm do terremoto de Lim (1974) normlizdo pr um celerção máxim de 0,5g. Pr evitr problems de reflexão de onds espúris nos contornos d mlh de elementos finitos, form utilizdos contornos silenciosos (Lsmer e Kuhlemeer, 1969), constituídos por mortecedores viscosos dispostos o longo dos contornos lteris do modelo discreto. As componentes de tensão norml σ n e de tensão cislhnte τ nos mortecedores viscosos devem ser iguis σ n = c 1ρ C p u& x (15) τ = -c ρ C s u& (16) onde ρ é mss específic do solo, Cp e Cs s velociddes de propgção ds onds P e S, respectivmente, c 1 e c são coeficientes de mortecimento, u& x e u& s velociddes d prtícul ns direções x e. De cordo com hite et l (1977), os coeficientes c 1 e c dependem do vlor do coeficiente de Poisson ν do solo, como indicdo n Tbel 3. Nest pesquis form utilizdos c 1 = e c = correspondentes o vlor υ = 0.5. A figur 8 mostr mlh de elementos finitos utilizd ns nálises sísmics, plicndo-se n bse do modelo, correspondente à profundidde do substrto rochoso, o celerogrm d figur 7. Tbel 3. Vlores de c 1 e c em função do coeficiente de Poisson υ do solo (hite et l, 1977). Coef. de Poisson c 1 c Coef. de Poisson c 1 c ν ν Figur 8. Mlh de elementos finitos utilizd n nálise sísmic. O espectro de frequêncis d excitção sísmic e s velociddes de propgção ds onds no mciço de solo podem fetr precisão dos resultdos numéricos. Kuhlemeer e Lsmer (1973) recomendm que pr um representção eficiente d trnsmissão ds onds trvés d mlh, o tmnho do elemento l deve ser menor do que 1/10 1/8 do comprimento de ond ssocid à mior frequênci do celerogrm de entrd. 5 RESULTADOS 5.1 Método de Richrds-Elms (1979) Os vlores d celerção de fluênci determindos com bse ns equções 3, 4 e 9, num processo de cálculo itertivo, resultrm em = 0.3g pr interfce rugos (R inter = 0.8) entre bse do muro e o solo de fundção e = 0.17g pr um interfce lis (R inter = 0.48). Pr determinr os deslocmentos permnentes pelo método de Richrds-Elms (1979) é necessário tmbém conhecer celerção e velocidde máxim n superfície do terreno, mx e v mx, respectivmente, presentds nos gráficos ds figurs 9 e Método de hitmn-lio (1985) Com bse ns figurs 9 e 10, plicção d

7 equção 11 é imedit, resultndo nos vlores indicdos n tbel Rinter = Cim del muro Rinter Pie del muro Rinter = Cim del muro Rinter = Pie del muro 5.3 Método dos Elementos Finitos Os resultdos ds nálises numérics pelo método dos elementos finitos, relizds com o progrm computcionl Plxis D, estão presentdos n figur 11, com históri dos deslocmentos do muro de grvidde. Desplzmiento (m) Tiempo (s) Acelerción (m/s ) Tiempo (s) Rinter = 0.81 Rinter = 0.48 = 0.3g = 0.17g Figur 9. Acelerções n superfície do terreno pr o sismo de Lim (1974) normlizdo pr um celerção máxim de 0.5g, = 0.3g e = 0.17g. Figur 11. Históri dos deslocmentos do muro de grvidde pr o sismo de Lim (1974) normlizdo pr um celerção horizontl máxim de 0.5g. Tbel 4. Deslocmentos permnentes do muro de grvidde considerndo o sismo normlizdo de Lim (1974). Método Richrds-Elms (1979) hitmn-lio (1985) Elementos finitos Deslocmento (m) R inter = 0.8 Deslocmento (m) R inter = Velocidd (m/s) Tiempo (s) Rinter = 0.81 Rinter = 0.48 Figur 10. Velociddes n superfície do terreno pr o sismo de Lim (1974) normlizdo pr um celerção máxim de 0.5g. D nálise dos gráficos d figur 11 é possível então estimr-se os vlores dos deslocmentos permnentes do muro, observndo-se formção de um ptmr onde os vlores ficm prticmente constntes o longo do tempo, indicndo ocorrênci de deformções plástics irrecuperáveis (tbel 4). 6 CONCLUSÕES Muros de grvidde são normlmente projetdos utilizndo o trdicionl método pseudo-estático de Mononobe-Okbe, ou lterntivmente trvés do método de Richrds-Elms (1979), bsedo n nlogi do bloco rígido de Newmrk (1965). Um ds principis deficiêncis do método de Richrds-Elms é que este não consider os efeitos de rotção d estrutur, ms pens consider hipótese de ruptur devido o deslizmento do muro sobre su bse. O método pseudo-estático de Mononobe- Obke (199) present um vrição quse liner dos coeficientes de empuxo com celerção horizontl, mostrndo bo proximção com s correspondentes quntiddes clculds neste cso com o método dos elementos finitos. Nest pesquis form determindos vlores previstos de deslocmento do muro de grvidde bstnte discrepntes entre si,

8 qundo clculdos pelos métodos de Richrds-Elms (1979), hitmn-lio (1985) e pelo método dos elementos finitos. Observções semelhntes sobre est dispridde de resultdos tmbém form registrds n litertur. N figur 11 observ-se que prte superior do muro sofre um deslocmento mior comprdo com o seu pé, indicndo movimentos de trnslção e de rotção, tnto mis importntes qunto menor for o ftor de interção solo / muro R inter. REFERÊNCIAS Sherif, M., Fng, Y. (1984). Dnmic erth pressures on wlls rotting bout the top. Soils nd Foundtions, v.4, n.4, pp hite,., S. Vllipn, I.K.Lee. (1977). Unified Boundr for Finite Dnmic Models. J. Eng. Mech., ASCE, 103, hitmn, R. V., Lio, S. (1985). Seismic Design of Grvit Retining lls. Deprtment of Civil Engineering, Msschusetts Institute of Technolog, Cmbridge, Msschusetts. hitmn, R. (1990). Seismic Design nd Behvior of Grvit Retining lls. Soil Mechnics Specilt Conference, Geotechnicl Specil Publiction No. 5. ASCE. ong, C. (198). Seismic Anlsis nd n Improved Design Procedure for Grvit Retining lls, M.S. Thesis. Deprtment of Civil Engineering, MIT, Cmbridge, USA. Coulomb C.A. (1776). Essi sur une ppliction des règles des mximis et minimis quelques problèmes de sttique reltifs l'rchitecture. Mémoires de l'acdemie Role Divers Svnts, vol. 7, p, Krmer, S.L. (1996). Geotechnicl Erthquke Engineering. Prentice-Hll, Inc. Kuhlemeer, R.L.; Lsmer, J. (1973) Finite element method ccurc for wve propgtion problems. J. Soil Mech. Founds Div. ASCE, v. 99, p Lsmer, J., Kuhlemeer, R. (1969), Finite Dnmic Model for Infinite Medi, Journl of the Engineering Mechnics Division, ASCE. Mononobe N. (199). On the Determintion of Erth Pressures during Erthqukes. orld Engineering Congress, Toko, Jpn, v.9, p Ndim F., hitmn R.V. (198), A Numericl Model for Evlution of Seismic Behvior of Grvit Retining lls. Deprtment of Civil Engineering, Msschusetts Institute of Technolog. Ndim F., hitmn R.V. (1984), Coupled Sliding nd Tilting of Grvit Retining lls During Erthqukes, Proc. Eighth orld Conf. on Erthquke Engineering, v.3, p Newmrk N. (1965). Effects of Erthqukes on Dms nd Embnkments. Géotechnique, vol. 115, n., p Okbe S. (196). Generl Theor on Erth Pressures, Journl of the Jpnese Societ of Civil Engineering, vol. 1, n.1. Plxis - Finite Element Code for Soil nd Rock Anlses. Reference Mnul. Richrds, R. Jr; Elms, D. G. (1979). Seismic Behvior of Grvit Retining lls. Journl of the Geotechnicl Engineering Division, ASCE, GT4, v.105, p Seed, H., hitmn R. (1970). Design of Erth Retining Structures for Dnmic Lods. Specilt Conference, Lterl Stresses in the Ground nd Design of Erth Retining Structures, ASCE.