Ensino Fundamental e Médio MATEMÁTICA MATRIZES DE REFERÊNCIA PARA A AVALIAÇÃO SARESP

Transcrição

1 Ensino Fundamental e Médio MATEMÁTICA MATRIZES DE REFERÊNCIA PARA A AVALIAÇÃO SARESP

2 EXECUÇÃO Coordenação Geral Maria Inês Fini GOVERNO DO ESTADO DE SÃO PAULO Governador José Serra Vice-Governador Alberto Goldman Secretário da Educação Paulo Renato Souza Secretário-Adjunto Guilherme Bueno de Camargo Chefe de Gabinete Fernando Padula Coordenadora de Estudos e Normas Pedagógicas Valéria de Souza Concepção Maria Silvia Brumatti Sentelhas Maria Eliza Fini Jayme do Carmo Leme Iuná Calza Maria Inês Fini Zuleika de Felice Murrie Equipe Técnica Alessandra Regina Brasca Roberto Monge Liberato COLABORADORES Criação e Editoração Gráfica André Ferreira Martins Andrew de Felice Murrie Felipe Ferreira Martins Apoio FDE Fundação para o Desenvolvimento da Educação CTP Impressão e Acabamento Esdeva Indústria Gráfica S.A. Coordenador de Ensino da Região Metropolitana da Grande São Paulo José Benedito de Oliveira Coordenador de Ensino do Interior Rubens Antonio Mandetta de Souza Fundação para o Desenvolvimento da Educação FDE Presidente Fábio Bonini Simões de Lima A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo autoriza a reprodução do conteúdo do material de sua titularidade pelas demais secretarias de educação do país, desde que mantida a integridade da obra e dos créditos, ressaltando que direitos autorais protegidos* deverão ser diretamente negociados com seus próprios titulares, sob pena de infração aos artigos da Lei nº 9.610/98. * Constituem direitos autorais protegidos todas e quaisquer obras de terceiros reproduzidas no material da SEE-SP que não estejam em domínio público nos termos do artigo 41 da Lei de Direitos Autorais. Catalogação na Fonte: Centro de Referência em Educação Mario Covas S239m v. 3 São Paulo (Estado) Secretaria da Educação. Saresp 2008:Matrizes de referência para a avaliação: Matemática/ Secretaria da Educação; coordenação geral, Maria Inês Fini. - São Paulo : SEE, v. 3 ISBN Saresp 2. Matemática 3. Rendimento Escolar 4. Avaliação educacional 5. Ensino Fundamental 6. Ensino Médio 7. São Paulo I. Fini, Maria Inês. II. Título. CDU: (815.6)

3 Prezados professores e gestores, Ao consolidarmos a estruturação do currículo oficial da educação básica de São Paulo, agora com ampla participação dos professores que aplicaram as propostas curriculares conforme orientações dos Cadernos do Professor e avaliaram essa experiência oferecendo valiosos subsídios para os ajustes necessários à proposta original, cabe à Secretaria de Estado da Educação de São Paulo tornar mais clara a vinculação do Sistema de Avaliação de Rendimento Escolar do Estado de São Paulo (Saresp) ao currículo. Vamos fazê-lo apresentando a todos vocês documentos como o presente que lhes permitirão melhor compreender a vinculação entre currículo e avaliação e, principalmente, compreender a reformulação feita na fundamentação conceitual e na metodologia do Saresp para que ele pudesse estar de fato a serviço de mais e melhor aprendizagens para nossas crianças e jovens e mais condições de trabalho para toda equipe escolar. Como observarão, este trabalho já contou com ampla participação dos professores-coordenadores das oficinas pedagógicas, o que contribuiu para aumentar o envolvimento de professores nesse processo. A partir dessa ação, esperamos iniciar uma capacitação na área de avaliação que resultará em melhoria das práticas avaliativas em sala de aula e na melhor utilização dos resultados das avaliações nas ações de planejamento e suporte ao ensino e, consequentemente, em melhoria da aprendizagem. Paulo Renato Souza Secretário de Estado da Educação 3 volume-03l (revisado 7).indd 3 03/08/09 21:27:06

4 4 volume-03l (revisado 7).indd 4 03/08/09 21:27:06

5 sumário Apresentação 7 1. Saresp: Matrizes de Referência para a Avaliação As referências da avaliação Habilidades Conteúdos Competências Cognitivas Matrizes de Referência para Avaliação em Matemática Matriz de Referência para Avaliação do Saresp Matemática Matriz de Referência para Avaliação do Saresp Matemática 4ª do Ensino Fundamental (em formato de lista) Matriz de Referência para Avaliação do Saresp Matemática Matriz de Referência para Avaliação do Saresp Matemática 6ª do Ensino Fundamental (em formato de lista) Matriz de Referência para Avaliação do Saresp Matemática Matriz de Referência para Avaliação do Saresp Matemática 8ª do Ensino Fundamental (em formato de lista) Matriz de Referência para Avaliação do Saresp Matemática Matriz de Referência para Avaliação do Saresp Matemática 3ª do Ensino Médio (em formato de lista) Exemplos de itens comentados por Habilidade Exemplos de Itens comentados por Habilidade Exemplos de Itens Comentados por Habilidade 93 5 volume-03l (revisado 7).indd 5 03/08/09 21:27:06

6 6 volume-03l (revisado 7).indd 6 03/08/09 21:27:06

7 Apresentação A avaliação da Educação Básica do estado de São Paulo, denominada Saresp Sistema de Avaliação de Rendimento Escolar do Estado de São Paulo, utiliza procedimentos metodológicos formais e científicos cada vez mais aprimorados para coletar e sistematizar dados e produzir informações sobre o desempenho dos alunos ao término das segundas, quartas, sextas e oitavas s ou, no caso do ensino de nove anos, terceiras, quintas, sétimas e nonas s do Ensino Fundamental, bem como da terceira do Ensino Médio. Em 2007, muitas mudanças foram introduzidas ao Saresp, de maneira a torná-lo cada vez mais adequado tecnicamente às características de um sistema de avaliação em larga escala, que permita acompanhar a evolução da qualidade do sistema estadual de ensino ao longo dos anos. Citamos algumas dessas mudanças. Os itens das provas foram pré-testados, o que resultou em instrumentos dotados de mais qualidade métrica. Houve também a adequação das habilidades avaliadas no Saresp às do Sistema de Avaliação da Educação Básica Saeb/Prova Brasil, para a quarta e oitava s e terceira do Ensino Médio. Finalmente, os resultados do Saresp foram colocados na escala do Saeb. Desde 1995, o desempenho dos alunos da educação básica do Brasil tem sido medido por meio da métrica do Saeb. A escala de proficiência já é bastante conhecida e seu uso permite a comparação dos resultados dos alunos no Saresp com aqueles obtidos no Saeb e na Prova Brasil. A escolha dos números que definem os pontos da escala de proficiência é arbitrária e construída a partir dos resultados da aplicação do método estatístico de análise dos resultados denominado TRI (Teoria de Resposta ao Item). No entanto, a opção da Secretaria de Estado da Educação de São Paulo (SEE-SP) de usar a mesma régua do Saeb não significa que ela não possa interpretar cada ponto da escala a partir dos resultados da aplicação de seus próprios instrumentos e agrupar os diferentes pontos da escala em níveis qualificados de desempenho. Porém, é somente a partir de 2008 que todas as mudanças foram implantadas. Cumpre destacar que a avaliação se dará em todas as áreas curriculares, alternando ano a ano a periodicidade delas. Anualmente serão avaliadas as disciplinas Língua Portuguesa e Matemática e, anual e alternadamente, as áreas Ciências da Natureza (Ciências, Física, Química e Biologia) e Ciências Humanas (História, Geografia). Em 2008, foram avaliadas as disciplinas Língua Portuguesa, Matemática, Ciências, Física, Química e Biologia. É necessário também mencionar que na avaliação em Matemática foram introduzidos itens com respostas construídas pelos alunos, por meio das quais poderão ser verificadas as diferentes estruturas de seu pensamento lógico-matemático. Esses processos não poderiam ser observados apenas com a utilização de itens de múltipla escolha, nos quais se obtém apenas o resultado final das contas e das operações lógicas, mas não se detectam os procedimentos utilizados pelos alunos no cumprimento das tarefas. Vale ainda destacar que o Saresp passa a contar, a partir de 2008, com uma base curricular comum a 7 volume-03l (revisado 7).indd 7 03/08/09 21:27:06

8 todos os alunos da educação básica de seu sistema de ensino como apoio às referências da avaliação, uma vez que na organização de um sistema de avaliação o principal problema é explicitar uma resposta à seguinte pergunta: O que avaliar? Pergunta para a qual a resposta mais significativa só pode ser: Aquilo que o aluno deveria ter aprendido. A rede pública de ensino do estado de São Paulo, em 2007, não tinha um currículo claramente definido para a educação básica. Se as reformas educacionais havidas no Brasil na década de 1990 propuseram, para esse nível da educação, parâmetros e diretrizes gerais devidamente consolidados pela LDB Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional, de 1996, também delegaram que esses Vale ainda destacar que o Saresp passa a contar, a partir de 2008, com uma base curricular comum a todos os alunos da educação básica de seu sistema de ensino como apoio às referências da avaliação, uma vez que na organização de um sistema de avaliação o principal problema é explicitar uma resposta à seguinte pergunta: O que avaliar? Pergunta para a qual a resposta mais significativa só pode ser: Aquilo que o aluno deveria ter aprendido. parâmetros e diretrizes fossem desenvolvidos na forma de currículo pelos sistemas de ensino e em projetos pedagógicos nas escolas de todo o Brasil. Entretanto, nem todos os sistemas de ensino fizeram a necessária mediação, em razão do que, em diversos sistemas, cada escola passou a desenvolver sua proposta pedagógica a partir de um currículo presumido, muitas vezes inspirado nos livros didáticos. Em São Paulo não foi diferente e, em que pesem boas experiências desenvolvidas em algumas escolas, não havia parâmetros de equidade sistêmica entre elas, desde que, na prática, cada qual praticava seu próprio currículo. Houve então a necessidade de se diagnosticar criticamente a existência dos muitos currículos, implícitos ou não, praticados nas escolas da rede estadual, e de se tomar uma firme decisão em favor do estabelecimento de um currículo mínimo e comum a todas as escolas, de forma explícita, para todo o sistema, em cujo contorno e definição deveriam estar configuradas e indicadas as bases dos conhecimentos e das competências e habilidades a serem efetivamente desenvolvidas pelos alunos na escola e, com elas, a indicação das expectativas de aprendizagem para cada /ano e ciclo, possíveis de serem avaliadas ao fim de cada um deles, com transparência e eficácia. Uma clara definição das expectativas de aprendizagem a serem obtidas é fundamental para a operacionalização do currículo e da avaliação. De um lado, ela orienta a organização dos projetos pedagógicos em cada escola e dá clareza à sociedade sobre o compromisso para com o desenvolvimento das crianças e dos jovens. De outro, permite que os professores compreendam a vinculação entre as expectativas de aprendizagem do currículo e as habilidades expressas na matriz de referência da avaliação. Para os primeiros anos da Educação Básica já estava estruturado na Secretaria de Estado da Educação de São Paulo, desde o princípio de 2007, um projeto denominado Ler e Escrever, voltado para o primeiro segmento da escolaridade básica (1ª a 4ª s). Esse projeto elege a identificação das expectativas de aprendizagem para cada e disciplina desse ciclo e, a partir delas, a formação continuada dos professores na própria escola, com distribuição de material de apoio didático-pedagógico para alunos e professores e um suporte ao trabalho dos professores da 1ª, com a contratação de estagiários universitários, que recebem o auxílio de uma bolsa denominada Bolsa Alfabetização. As bases conceituais desse projeto é que constituem as referências de avaliação desse ciclo da Educação Básica. 8 volume-03l (revisado 7).indd 8 03/08/09 21:27:06

9 O currículo das s finais do Ensino Fundamental e do Ensino Médio foi reestruturado a partir de agosto de 2007, com base em cinco princípios estruturais: currículo é cultura; currículo referido a competências; currículo que tem como prioridade a competência leitora e escritora; currículo que articula as competências para aprender; currículo contextualizado no mundo do trabalho. O movimento que resultou na estruturação desses princípios partiu da retomada histórica das propostas curriculares já desenvolvidas na Secretaria de Estado da Educação de São Paulo, destacadamente na década de 1980 e princípio dos anos Esse trabalho anterior e os referenciais nacionais para a educação básica constituíram o acervo de reflexão inicial das equipes que elaboraram as devidas atualizações teóricometodológicas e os ajustes necessários às exigências do contexto sociocultural da atualidade. Foram elaborados então os documentos básicos para cada área do conhecimento envolvida na proposta. A partir dos documentos básicos do currículo, esses princípios foram traduzidos em eixos de trabalho bem articulados que geraram mais dois grupos de documentos. O primeiro refere-se aos documentos de apoio à gestão da aprendizagem na sala de aula, dirigidos aos professores, e o segundo, aos documentos de apoio à gestão do currículo no âmbito das escolas, dirigidos aos gestores. A Proposta Curricular, referência comum a todas as escolas da rede, descreve o elenco das metas de aprendizagens desejáveis em cada área, estabelecendo os conteúdos disciplinares a serem desenvolvidos em cada ano ou ciclo e o que se espera que os alunos sejam capazes de realizar com esses conteúdos, expresso na forma de competências e habilidades claramente avaliáveis. A Proposta Curricular, referência comum a todas as escolas da rede, descreve o elenco das metas de aprendizagens desejáveis em cada área, estabelecendo os conteúdos disciplinares a serem desenvolvidos em cada ano ou ciclo e o que se espera que os alunos sejam capazes de realizar com esses conteúdos, expresso na forma de competências e habilidades claramente avaliáveis. Com as indicações do que os alunos devem minimamente aprender em cada área do conhecimento, em cada etapa da escolarização, as referências para a avaliação puderam então ser estruturadas. Maria Inês Fini Coordenadora Geral 9 volume-03l (revisado 7).indd 9 03/08/09 21:27:06

10 1. Saresp: Matrizes de Referência para a Avaliação Em busca da construção de referências para orientar a estruturação das Matrizes, especialistas em avaliação organizaram as respectivas propostas iniciais das áreas curriculares a serem avaliadas no Saresp, tendo por base a Proposta Curricular do Estado de São Paulo, considerando também os documentos que balizam as avaliações nacionais e internacionais. A primeira versão dessas Matrizes foi apresentada aos autores da Proposta Curricular para a realização da primeira leitura crítica. A seguir, especialistas da CENP Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas da SEE/SP realizaram nova leitura crítica e fizeram sugestões que impuseram inúmeros ajustes, após o que as Matrizes foram discutidas em reuniões técnicas, em formato de oficinas, com professores coordenadores das Oficinas Pedagógicas das áreas envolvidas na avaliação, representando todas as Diretorias Regionais, convocados oficialmente. Nessas oficinas, professores coordenadores analisaram as Matrizes propostas e efetivaram também uma leitura crítica, com sugestões de ajustes. Puderam também sugerir o ano/ciclo mais adequado para a avaliação das habilidades propostas nas Matrizes, bem como opinar sobre a retirada ou a inclusão de habilidades não contempladas inicialmente. Desse cuidadoso trabalho realizado por diferentes grupos é que resultou a proposta final das Matrizes de Referência do Saresp As referências da avaliação Quando se utilizam Matrizes em situações de avaliação torna-se necessário responder algumas perguntas: Como definir uma matriz de referência? Como, a partir dela, propor questões em cada disciplina? Como ajustar as questões propostas para determinada prova à matriz que lhe serve de referência? Como interpretar resultados das provas a partir das referências de sua construção? Por que essa matriz e não outra? Como justificar teoricamente o valor de suas proposições? Segundo o Dicionário Houaiss da língua portuguesa, o termo matriz refere-se ao lugar onde algo é gerado e/ou criado. Na Álgebra, corresponde ao arranjo de m.n elementos matemáticos dispostos num quadro retangular ou quadrado que comporta m linhas e n colunas. Matriz representa a fonte ou a origem (de outras coisas), está na base (de algo) ou que tem grande relevância. No campo da Educação, é fundamental definir uma matriz de referência em situações de aprendizagem e ensino. Por esse intermédio pode-se avaliar, mesmo que de modo indireto e inferencial, a ocorrência de efetiva aprendizagem. Pode-se, ainda, estabelecer correspondências entre uma situação (o ensino e a aprendizagem em sala de aula) e outra (o que é legítimo de ser avaliado em uma prova, por exemplo). Quanto ao 10 volume-03l (revisado 7).indd 10 03/08/09 21:27:06

11 instrumento de avaliação em si mesmo, pode-se comparar a matriz de referência proposta (em sua perspectiva geral) com as habilidades aferidas nesse instrumento específico. Uma matriz de referência de avaliação pode ter muitas finalidades. A mais importante delas é o seu poder de sinalização das estruturas básicas de conhecimentos a serem construídas por crianças e jovens por meio dos diferentes componentes curriculares em cada etapa da escolaridade básica. Na avaliação em processo ou formativa, aquela que o professor realiza no dia a dia com a classe por meio do uso de múltiplos instrumentos e registros, a especificação das habilidades na matriz apresenta importantes mecanismos para que ele possa acompanhar o desenvolvimento dos alunos de sua turma em relação a sua proposta de trabalho, tendo em vista o cumprimento da proposta curricular no ano letivo. Por um lado, numa avaliação em larga escala como é o Saresp, em que se avalia a evolução da qualidade do sistema público de ensino de São Paulo, com a indicação das competências e habilidades básicas a serem desenvolvidas pelos alunos, em cada etapa da escolarização, a todos os atores internos do sistema de ensino e a toda a comunidade externa, reafirma-se o compromisso da Secretaria de Estado da Educação de São Paulo de monitorar o desenvolvimento do plano de metas vinculado à melhoria da qualidade da educação de maneira clara e objetiva, de tal forma a promover os ajustes necessários para que os alunos tenham acesso à construção dos conhecimentos a que têm direito. Por outro, a indicação das habilidades a serem avaliadas em cada etapa da escolarização orienta a elaboração das questões das provas para que os instrumentos possam estar a serviço do que realmente se quer avaliar. No caso do Saresp, a matriz foi elaborada a partir da nova Proposta Curricular do Estado de São Paulo. Os conteúdos, competências e habilidades apontados na Proposta, para cada e disciplina do currículo, indicam as bases conceituais da matriz proposta para avaliação. Com isso, configuram-se as referências que possibilitam, de um lado, a construção das provas por seus elaboradores, e de outro, a posição (segundo níveis de desempenho) dos alunos que as realizarem. Os indicadores relativos a esta posição são obtidos por uma Escala de Proficiência, por intermédio da qual se define o quanto e o quê cada aluno ou escola realizaram no contexto desse exame. Uma matriz de referência de avaliação pode ter muitas finalidades. A mais importante delas é o seu poder de sinalização das estruturas básicas de conhecimentos a serem construídas por crianças e jovens por meio dos diferentes componentes curriculares em cada etapa da escolaridade básica. No caso do Saresp, a matriz foi elaborada a partir da nova Proposta Curricular do Estado de São Paulo. Os conteúdos, competências e habilidades apontados na Proposta, para cada e disciplina do currículo, indicam as bases conceituais da matriz proposta para avaliação. Com isso, configuram-se as referências que possibilitam, de um lado, a construção das provas por seus elaboradores, e de outro, a posição (segundo níveis de desempenho) dos alunos que as realizarem. Os indicadores relativos a esta posição são obtidos por uma Escala de Proficiência, por intermédio da qual se define o quanto e o quê cada aluno ou escola realizaram no contexto desse exame. A Escala de Proficiência do Saresp, a partir de 2007, está na mesma métrica utilizada pelo Saeb, que é o exame nacional de referência para a Educação Básica do Brasil desde A partir de 2007, portanto, os resultados obtidos pelos alunos paulistas nos dois exames ao longo dos anos tornaram-se passíveis de comparação. 11 volume-03l (revisado 7).indd 11 03/08/09 21:27:06

12 Observemos a Figura 1, a seguir: Conteúdos Escala de Proficiência AVALIAÇÃO Níveis de Desempenho Habilidades Matemática Língua Portuguesa Ciências Humanas Ciências da Natureza Competências Figura 1. Relações entre habilidades, conteúdos e competências avaliadas e expressas nos níveis de desempenho da Escala de Proficiência do SARESP nas disciplinas de Matemática, Língua Portuguesa, Ciências da Natureza e Ciências Humanas. Os vértices da Figura 1 contêm os três aspectos fundamentais da Matriz. Ela se refere à verificação de conteúdos disciplinares, por intermédio da utilização de habilidades, graças às quais se poderá inferir o grau de proficiência das competências cognitivas desenvolvidas pelos alunos em seu processo de escolarização. A avaliação de competências, por intermédio destes dois indicadores (habilidades associadas a conteúdos em uma situação de prova) justifica-se pelo compromisso assumido no currículo, em fase de implementação, das escolas públicas do Estado de São Paulo. Trata-se do propósito de caracterizar a missão da escola, entendida como um lugar e um tempo em que competências fundamentais ao conhecimento humano são aprendidas e valorizadas. Essas competências expressam a função emancipadora da escola, ao assumir que dominar competências é uma forma de garantir que houve aprendizagem efetiva dos alunos. O lado esquerdo da Figura 1 representa a Escala de Proficiência, que sintetiza o domínio dos conteúdos e habilidades alcançados, o que permite inferir o nível de domínio das competências avaliadas. O lado direito da Figura 1 relaciona conteúdos e competências cuja função é o objetivo do Saresp, isto é, verificar se os professores estão ensinando (os conteúdos esperados para os anos escolares avaliados) e os alunos aprendendo (isto é, com que nível de proficiência dominam as competências avaliadas). Tal função supõe considerar as habilidades expressas para resolver as questões ou tarefas propostas nas provas. O lado inferior da Figura 1 relaciona habilidades e competências avaliadas em relação aos conteúdos disciplinares. No centro do triângulo encontra-se a avaliação, ela mesma, e sua função de observar e promover o cumprimento do compromisso social da escola com a aprendizagem efetiva de seus alunos. Considerando-se que esta avaliação é efetuada em todo o Estado de São Paulo, e que as condições do exame, a estrutura e o funcionamento das escolas são equivalentes, ao menos na maioria dos casos, pode-se assim comparar, por um desempenho individual, um esforço coletivo, o que possibilita verificar o quanto cada escola está podendo cumprir sua função social. 12 volume-03l (revisado 7).indd 12 03/08/09 21:27:06

13 A estrutura da matriz de referência do Saresp está resumida nas Figuras 1, anterior, e 2, um pouco mais à frente, compostas por dois triângulos. Na Figura 1, os vértices indicam os elementos valorizados na matriz e por seus lados (esquerdo, direito e inferior), os objetivos (domínio de conteúdos básicos e estruturantes relativos a Matemática, Língua Portuguesa, Ciências da Natureza e Ciências Humanas) e as modalidades de expressão de seus resultados (níveis de desempenho) Habilidades As habilidades possibilitam inferir, pela Escala de Proficiência adotada, o nível em que os alunos dominam as competências cognitivas, avaliadas relativamente aos conteúdos das disciplinas e em cada ou ano escolares. Os conteúdos e as competências (formas de raciocinar e tomar decisões) correspondem, assim, às diferentes habilidades a serem consideradas nas respostas às diferentes questões ou tarefas das provas. Elas funcionam como indicadores ou descritores das aprendizagens que se espera os alunos terem realizado no período avaliado. Possibilitam, igualmente, pelo nível alcançado, ordenar posições e localizar cada escola, por intermédio do desempenho de seus alunos, no conjunto das escolas ou sistema educacional do Estado de São Paulo. Por essa razão, as habilidades devem ser caracterizadas de modo objetivo, mensurável e observável. Elas possibilitam saber o que é necessário que o aluno faça para dar conta e bem do que foi solicitado em cada questão ou tarefa. As habilidades possibilitam inferir, pela Escala de Proficiência adotada, o nível em que os alunos dominam as competências cognitivas, avaliadas relativamente aos conteúdos das disciplinas e em cada ou ano escolares. Os conteúdos e as competências (formas de raciocinar e tomar decisões) correspondem, assim, às diferentes habilidades a serem consideradas nas respostas às diferentes questões ou tarefas das provas. Além disso, a indicação das habilidades é útil na elaboração dos itens das provas. Graças a elas, os elaboradores podem adequar os conteúdos de cada disciplina à competência que se quer valorizar naquela questão ou tarefa. Elas são, portanto, indicadores preciosos para a produção e análise posterior dos dados, que justificam os objetivos da avaliação do rendimento escolar dos alunos. 13 volume-03l (revisado 7).indd 13 03/08/09 21:27:07

14 1.3. Conteúdos A Matriz representa um recorte dos conteúdos do currículo e também privilegia algumas competências e habilidades a eles associadas. Ela não faz uma varredura de todas as aprendizagens que o currículo possibilita. Retrata as estruturas conceituais mais gerais das disciplinas e também as competências mais gerais dos alunos (como sujeitos do conhecimento), que se traduzem em habilidades específicas, estas sim responsáveis pelas aprendizagens. As expectativas de aprendizagens representam o que se objetiva que os alunos desenvolvam em relação à proposta curricular. As habilidades indicadas na Matriz de Referência para a Avaliação em larga escala, como é a do Saresp, descrevem as estruturas mais gerais da inteligência que, se bem avaliadas, evidenciarão o quadro real do efetivo desenvolvimento dos alunos ao tempo de realização da prova. A Matriz representa um recorte dos conteúdos do currículo e também privilegia algumas competências e habilidades a eles associadas. Ela não faz uma varredura de todas as aprendizagens que o currículo possibilita. Retrata as estruturas conceituais mais gerais das disciplinas e também as competências mais gerais dos alunos (como sujeitos do conhecimento), que se traduzem em habilidades específicas, estas sim responsáveis pelas aprendizagens Competências Cognitivas Competências cognitivas são modalidades estruturais da inteligência. Modalidades, pois expressam o que é necessário para compreender ou resolver um problema. Ou seja, valem por aquilo que integram, articulam ou configuram como resposta a uma pergunta. Ao mesmo tempo, são modalidades porque representam diferentes formas ou caminhos de se conhecer. Um mesmo problema pode ser resolvido de diversos modos. Há igualmente muitos caminhos para se validar ou justificar uma resposta ou argumento. 14 Além de estruturais, as modalidades da inteligência admitem níveis de desenvolvimento. Cada nível expressa um modo particular (relativo ao processo de desenvolvimento). O nível seguinte incorpora o anterior, isto é, conserva seus conteúdos, mas os transforma em uma forma mais complexa de realização, compreensão ou observação. Entende-se por competências cognitivas as modalidades estruturais da inteligência, ou melhor, o conjunto de ações e operações mentais que o sujeito utiliza para estabelecer relações com e entre os objetos, situações, fenômenos e pessoas que deseja conhecer. Elas expressam o melhor que um aluno pôde fazer em uma situação de prova ou avaliação, no contexto em que isso se deu. Como é próprio ao conceito de competência, o que se verifica é o quanto as habilidades dos alunos, desenvolvidas ao longo do ano letivo, no Competências cognitivas são modalidades estruturais da inteligência. Modalidades, pois expressam o que é necessário para compreender ou resolver um problema. Ou seja, valem por aquilo que integram, articulam ou configuram como resposta a uma pergunta. Ao mesmo tempo, são modalidades porque representam diferentes formas ou caminhos de se conhecer. Um mesmo problema pode ser resolvido de diversos modos. Há igualmente muitos caminhos para se validar ou justificar uma resposta ou argumento. volume-03l (revisado 7).indd 14 03/08/09 21:27:07

15 cotidiano da classe e segundo as diversas situações propostas pelo professor, puderam se aplicar na situação de exame. Sobretudo no caso de uma avaliação externa, em que tantos outros fatores estão presentes, favorecendo ou prejudicando o desempenho do aluno. Trata-se de uma situação de comparação, em condições equivalentes, e que, por isso mesmo, põe em jogo um conjunto de saberes, nos quais o aspecto cognitivo (que está sendo avaliado) deve considerar tantos outros (tempo, expectativas, habilidades de leitura e cálculo, atenção, concentração etc.). Por isso, a concepção de competência implica uma visão ou compreensão da inteligência humana que realiza ou compreende, no nível em que o faz, como estrutura de conjunto. São vários os aspectos cognitivos em jogo: saber inferir, atribuir sentido, articular partes e todo, excluir, comparar, observar, identificar, tomar decisões, reconhecer, fazer correspondências. Do ponto de vista afetivo, ocorre o mesmo: saber prestar atenção, sustentar um foco, ter calma, não ser impulsivo, ser determinado, confiante, otimizar recursos internos etc. Igualmente, do ponto de vista social, verifica-se se o aluno é capaz de seguir regras, ser avaliado em uma situação coletiva que envolva cooperação e competição (limites de tempo, definição das respostas, número de questões, entre outros), respeito mútuo etc. As competências que estruturam a avaliação do Exame Nacional do Ensino Médio (Enem), por exemplo, possibilitam verificar o quanto o jovem que conclui sua educação básica pôde levar consigo em termos de linguagem, compreensão de conceitos científicos, enfrentamento de situações-problema, argumentação e condição de compartilhar e contribuir, como jovem, para a sociedade da qual faz parte. O mesmo se aplica ao Programa Internacional de Avaliação de Alunos (Pisa), da Organização para Cooperação e Desenvolvimento Econômico (OECD). Nessa proposta, alunos de quinze anos são avaliados em um conjunto de operações mentais ou competências sobre sua capacidade de reproduzir, compreender e refletir sobre conteúdos ou operações em Leitura, Matemática e Ciências. Na Figura 2, a seguir, apresentamos uma síntese das competências cognitivas avaliadas no exame do Saresp. Grupo III Esquemas Operatórios Realizar COMPETÊNCIAS Compreender Grupo II Esquemas Procedimentais Observar Grupo I Esquemas Presentativos Figura 2. Grupos de competências avaliadas nas provas do SARESP e as funções (observar, realizar e compreender) valorizadas. 15 volume-03l (revisado 7).indd 15 03/08/09 21:27:07

16 Os vértices do triângulo indicam os grupos de competências avaliadas e os esquemas cognitivos que lhes correspondem. No lado esquerdo, apresenta-se a função realizar, proceder bem em face de um objetivo ou problema, que implica a relação entre os esquemas dos Grupos III e II. No lado direito, apresenta-se a função compreender que implica a relação entre os esquemas dos Grupos III e I. No lado inferior, apresenta-se a função observar, que implica a relação entre os esquemas dos Grupos I e II. A seguir, propõe-se uma análise destas competências. Grupo I: Competências para observar. O Grupo I refere-se aos esquemas presentativos ou representativos, propostos por Jean Piaget. Graças a eles, os alunos podem ler a prova, em sua dupla condição: registrar perceptivamente o que está proposto nos textos, imagens, tabelas ou quadros e interpretar este registro como informação que torna possível assimilar a questão e decidir sobre a alternativa que julgam mais correta. A leitura do objeto (a prova) supõe, como mínimo, o domínio e, portanto, o uso das seguintes habilidades: observar, identificar, descrever, localizar, diferenciar ou discriminar, constatar, reconhecer, indicar, apontar. Graças a elas pode-se avaliar o nível de desenvolvimento de uma forma de abstração fundamental aos processos de conhecimento. Esta forma compõe o Grupo I de habilidades, pois ela é, de fato, a condição primeira para a produção de uma resposta em face de um problema ou questão. As habilidades que lhe correspondem possibilitam verificar o quanto e o como o aluno pôde considerar, antes de decidir por uma melhor resposta, as informações propostas na pergunta. Todas elas, com efeito, sugerem o interesse primeiro pela boa leitura ou interpretação do problema, observando, isto é, guardando este momento tão importante em um processo de tomada de decisão. Observar, ler para reproduzir não significa apenas reagir perceptivamente, mas sim identificar, reconhecer, indicar, apontar semelhanças e diferenças, definir posições ou relações entre as coisas, envolvê-las entre si, isto é, definir suas diversas possibilidades de relação, fazer constatações, enfim, estabelecer correspondências entre aquilo que está escrito ou proposto como problema no objeto (questões da prova) e aquilo que o aluno que vai decidir por uma reposta pôde assimilar (isto é, ler, interpretar): 16 volume-03l (revisado 7).indd 16 03/08/09 21:27:07

17 HABILIDADES DO GRUPO I Observar para levantar dados, descobrir informações nos objetos, acontecimentos, situações etc. e suas representações. Identificar, reconhecer, indicar, apontar, dentre diversos objetos, aquele que corresponde a um conceito ou a uma descrição. Identificar uma descrição que corresponde a um conceito ou às características típicas de objetos, da fala, de diferentes tipos de texto. Localizar um objeto, descrevendo sua posição ou interpretando a descrição de sua localização, ou localizar uma informação em um texto. Descrever objetos, situações, fenômenos, acontecimentos etc. e interpretar as descrições correspondentes. Discriminar, estabelecer diferenciações entre objetos, situações e fenômenos com diferentes níveis de semelhança. Constatar alguma relação entre aspectos observáveis do objeto, semelhanças e diferenças, constâncias em situações, fenômenos, palavras, tipos de texto etc. Representar graficamente (por gestos, palavras, objetos, desenhos, gráficos etc.) os objetos, situações, sequências, fenômenos, acontecimentos etc. Representar quantidades por meio de estratégias pessoais, de números e de palavras. 17 volume-03l (revisado 7).indd 17 03/08/09 21:27:07

18 Grupo II: Competências para realizar. As habilidades relativas às competências do Grupo II caracterizam-se pelas capacidades de o aluno realizar os procedimentos necessários às suas tomadas de decisão em relação às questões ou tarefas propostas na prova. Ou seja, saber observar, identificar, diferenciar e, portanto, considerar todas as habilidades relativas às competências para representar que, na prática, implicam traduzir estas ações em procedimentos relativos ao conteúdo e ao contexto de cada questão em sua singularidade. O problema é que na prática não basta decidir por um procedimento, mas é necessário fazê-lo bem. As habilidades relativas às competências do Grupo I estão focadas nas informações ou características das questões ou temas propostos, ou seja, nos observáveis relativos aos objetos (conteúdos avaliados). As habilidades relativas às competências, no Grupo II, estão focadas nas atividades dos alunos, no quê e como fazem. Estas habilidades implicam procedimentos de classificar, seriar, ordenar, conservar, compor, decompor, fazer antecipações, calcular, medir, interpretar. As habilidades relativas ao Grupo II referem-se, portanto, a transformações. Procedimentos são modos de estabelecer relações, que transformam os conteúdos relacionados dando-lhes uma configuração diferente de acordo com essas relações: HABILIDADES DO GRUPO II Classificar organizar (separando) objetos, fatos, fenômenos, acontecimentos e suas representações, de acordo com um critério único, incluindo subclasses em classes de maior extensão. Seriar organizar objetos de acordo com suas diferenças, incluindo as relações de transitividade. Ordenar objetos, fatos, acontecimentos, representações, de acordo com um critério. Conservar algumas propriedades de objetos, figuras etc. quando o todo se modifica. Compor e decompor figuras, objetos, palavras, fenômenos ou acontecimentos em seus fatores, elementos ou fases etc. Fazer antecipações sobre o resultado de experiências, sobre a continuidade de acontecimentos e sobre o produto de experiências. Calcular por estimativa a grandeza ou a quantidade de objetos, o resultado de operações aritméticas etc. Medir, utilizando procedimentos pessoais ou convencionais. Interpretar, explicar o sentido que têm para nós acontecimentos, resultados de experiências, dados, gráficos, tabelas, figuras, desenhos, mapas, textos, descrições, poemas etc. e apreender este sentido para utilizá-lo na solução de problemas. Grupo III: Competências para compreender. Estas competências implicam o uso de esquemas operatórios. As competências relativas a esse Grupo III devem ser analisadas em duas perspectivas. Primeiro, estão presentes e são mesmo essenciais às competências cognitivas ou às operações mentais destacadas nos Grupos I e II. Porém, quando referidas a eles, têm um lugar de meio ou condição, mas não de fim. Ou seja, atuam de modo a possibilitar realizações via esquemas procedimentais (Grupo II) ou leituras via esquemas de representação (Grupo I). Como Grupo III, estes esquemas ou competências expressam-se de modo consciente e permitem compreensões próprias a este nível de elaboração cognitiva. 18 volume-03l (revisado 7).indd 18 03/08/09 21:27:07

19 Por essa razão possibilitam, por suas coordenações, planejamento e escolha de estratégias para resolver problemas ou realizar tarefas pouco prováveis, ou mesmo impossíveis nos níveis anteriores. Referem-se, assim, a operações mentais mais complexas, que envolvem pensamento proposicional ou combinatório, graças ao qual o raciocínio pode ser agora hipotético-dedutivo. As habilidades que permitem inferir o domínio destas operações de nível superior são as seguintes: analisar fatos, acontecimentos ou possibilidades na perspectiva de seus princípios, padrões e valores; aplicar relações conhecidas em situações novas, que requerem tomadas de decisão, prognósticos ou antecipações hipotéticas; formular julgamentos de valor sobre proposições; criticar, analisar e julgar em situações relativas a temas não redutíveis à experiência estrito senso; formular ou compreender explicações causais que envolvem relações e situações complexas; apresentar conclusões, fazer proposições ou compartilhar projetos em grande escala ou domínio abrangente; argumentar ou fazer suposições que envolvem grande número de relações ou perspectivas; fazer prognósticos que implicam interpretações não redutíveis a casos conhecidos; fazer generalizações ou deduções que implicam bom domínio da lógica; apresentar justificativas ou explicações sobre acontecimentos, experiências ou proposições. HABILIDADES DO GRUPO III Analisar objetos, fatos, acontecimentos, situações, com base em princípios, padrões e valores. Aplicar relações já estabelecidas anteriormente ou conhecimentos já construídos a contextos e situações diferentes; aplicar fatos e princípios a novas situações, para tomar decisões, solucionar problemas, fazer prognósticos etc. Avaliar, isto é, emitir julgamentos de valor referentes a acontecimentos, decisões, situações, grandezas, objetos, textos etc. Criticar, analisar e julgar, com base em padrões e valores, opiniões, textos, situações, resultados de experiências, soluções para situações-problema, diferentes posições assumidas diante de uma situação etc. Explicar causas e efeitos de uma determinada sequência de acontecimentos. Apresentar conclusões a respeito de ideias, textos, acontecimentos, situações etc. Levantar suposições sobre as causas e efeitos de fenômenos, acontecimentos etc. Fazer prognósticos com base em dados já obtidos sobre transformações em objetos, situações, acontecimentos, fenômenos etc. Fazer generalizações (indutivas) a partir de leis ou de relações descobertas ou estabelecidas em situações diferentes, isto é, estender de alguns para todos os casos semelhantes. Fazer generalizações (construtivas) fundamentadas ou referentes às operações do sujeito, com produção de novas formas e de novos conteúdos. Justificar acontecimentos, resultados de experiências, opiniões, interpretações, decisões etc. 19 volume-03l (revisado 7).indd 19 03/08/09 21:27:07

20 É necessário destacar ainda que muitas competências e habilidades indicadas na Proposta Curricular, embora importantes para o desenvolvimento dos alunos e para o trabalho em sala de aula, não foram incluídas nas Matrizes, pois não são passíveis de serem avaliadas em instrumentos formais de provas realizadas em larga escala, como é o Saresp. Devem, entretanto, fazer parte do trabalho de avaliação formativa contínua, realizado pelos professores. A seguir são apresentadas as Matrizes de Referência para a Avaliação do Saresp 2008 por disciplinas e s a serem avaliadas. 20 volume-03l (revisado 7).indd 20 03/08/09 21:27:07

21 Saresp 2. Matrizes de Referência para Avaliação em título Matemática volume-03l (revisado 7).indd 21 03/08/09 21:27:07

22 volume-03l (revisado 7).indd 22 03/08/09 21:27:07

23 2.1. Matriz de Referência para Avaliação do Saresp Matemática 4ª Ensino Fundamental 6ª Ensino Fundamental 8ª Ensino Fundamental 3ª Ensino Médio volume-03l (revisado 7).indd 23 03/08/09 21:27:07

24 COMPETÊNCIAS DO SUJEITO GRUPO I Competências para observar GRUPO II Competências para realizar GRUPO III Competências para compreender Objetos do conhecimento (conteúdos) Tema 1 Números, operações, funções H01 Identificar a localização de números naturais na reta numérica. H03 Escrever um número natural pela sua decomposição em forma polinomial. H04 Identificar diferentes representações de um mesmo número racional. H02 Relacionar a escrita numérica às regras do sistema posicional de numeração. H10 Calcular o resultado de uma adição ou subtração de números naturais. H11 Calcular o resultado de uma multiplicação ou divisão de números naturais. H12 Resolver problemas que envolvam a adição ou a subtração, em situações relacionadas aos seus diversos significados. H13 Resolver problemas que envolvam a multiplicação e a divisão, especialmente em situações relacionadas à comparação entre razões e à configuração retangular. H05 Identificar a localização de números racionais representados na forma decimal na reta numérica. H14 Resolver problemas que utilizam a escrita decimal de cédulas e moedas do sistema monetário brasileiro. H06 Identificar fração como representação que pode estar associada a diferentes significados (parte/todo, quociente, razão). H07 Identificar a fração decimal correspondente a um número decimal dado e viceversa. H15 Resolver problemas com números racionais expressos na forma decimal que envolvam diferentes significados da adição ou subtração. H16 Resolver problema que envolvam noções de porcentagem (25%, 50%, 100%). H08 Identificar sequências numéricas. H09 Identificar e localizar na reta números naturais escritos com três e quatro dígitos. Tema 2 Espaço e forma H17 Descrever a localização e a movimentação de pessoas ou objetos no espaço, em diversas representações gráficas, dando informações sobre pontos de referência e utilizando o vocabulário de posição (direita/ esquerda, acima/abaixo, entre, em frente/ atrás). 4ª H18 Identificar formas geométricas tridimensionais como esfera, cone, cilindro, cubo, pirâmide, paralelepípedo ou, formas bidimensionais como: quadrado, triângulo, retângulo e círculo sem o uso obrigatório da terminologia convencional. H19 Identificar semelhanças e diferenças entre polígonos, usando critérios como número de lados, número de ângulos, eixos de simetria e rigidez, sem o uso obrigatório da terminologia convencional. H20 Identificar a ampliação ou redução de uma dada figura plana. 24 volume-03l (revisado 7).indd 24 03/08/09 21:27:07

25 COMPETÊNCIAS DO SUJEITO GRUPO I Competências para observar GRUPO II Competências para realizar GRUPO III Competências para compreender Objetos do conhecimento (conteúdos) Tema 3 Grandezas e medidas H21 Identificar horas e minutos, por meio da leitura de relógios digitais e de ponteiro. H22 Reconhecer unidades de medida usuais de comprimento, de superfície, de capacidade, de tempo e de temperatura. H23 Estimar a medida de grandezas utilizando unidades de medida convencionais ou não. H24 Efetuar cálculos que envolvam valores de cédulas e moedas em situações de compra e venda. H26 Resolver problemas significativos utilizando unidades de medida padronizadas como km/m/cm/mm, kg/g/mg, l/ml. H27 Resolver problemas que envolvam o cálculo do perímetro de figuras planas, desenhadas em malhas quadriculadas. H25 Estabelecer relações entre unidades de medida de tempo. H28 Resolver problemas que envolvam o cálculo ou estimativa de áreas de figuras planas, desenhadas em malhas quadriculadas. Tema 4 Tratamento da informação H29 Ler e/ou interpretar informações e dados apresentados em tabelas e construir tabelas. H30 Ler e/ou interpretar informações e dados apresentados em gráficos e construir gráficos (particularmente gráficos de colunas). 4ª 25 volume-03l (revisado 7).indd 25 03/08/09 21:27:07

26 Matriz de Referência para Avaliação do Saresp Matemática 4ª do Ensino Fundamental (em formato de lista) Competência de Área 1 Desenvolver o raciocínio quantitativo e o pensamento funcional, isto é, o pensamento em termos de relações e a variedade de suas representações, incluindo as simbólicas, as algébricas, as gráficas, as tabulares e as geométricas. Tema 1 Números, operações, funções. H10 Calcular o resultado de uma adição ou subtração de números naturais. (GII) H11 Calcular o resultado de uma multiplicação ou divisão de números naturais. (GII) H12 Resolver problemas que envolvam a adição ou a subtração, em situações relacionadas aos seus diversos significados. (GIII) H01 Identificar a localização de números naturais na reta numérica. (GI) H02 Relacionar a escrita numérica às regras do sistema posicional de numeração. (GII) H03 Escrever um número natural pela sua decomposição em forma polinomial. (GI) H13 Resolver problemas que envolvam a multiplicação e a divisão, especialmente em situações relacionadas à comparação entre razões e à configuração retangular. (GIII) H14 Resolver problemas que utilizam a escrita decimal de cédulas e moedas do sistema monetário brasileiro. (GIII) 4ª H04 Identificar diferentes representações de um mesmo número racional. (GI) H05 Identificar a localização de números racionais representados na forma decimal na reta numérica. (GI) H06 Identificar fração como representação que pode estar associada a diferentes significados (parte/todo, quociente, razão). (GI) H15 Resolver problemas com números racionais expressos na forma decimal que envolvam diferentes significados da adição ou subtração. (GIII) H16 Resolver problemas que envolvam noções de porcentagem (25%, 50%, 100%). (GIII) H07 Identificar a fração decimal correspondente a um número decimal dado e vice-versa. (GI) H08 Identificar sequências numéricas. (GI) H09 Identificar e localizar na reta números naturais escritos com três e quatro dígitos. (GI) 26 volume-03l (revisado 7).indd 26 03/08/09 21:27:07

27 Competência de Área 2 Compreender as propriedades dos objetos e a sua posição relativa e desenvolver o raciocínio espacial por meio de construções e de formas. Tema 2 Espaço e forma. H17 Descrever a localização e a movimentação de pessoas ou objetos no espaço, em diversas representações gráficas, dando informações sobre pontos de referência e utilizando o vocabulário de posição (direita/esquerda, acima/abaixo, entre, em frente/atrás). (GI) H18 Identificar formas geométricas tridimensionais como esfera, cone, cilindro, cubo, pirâmide, paralelepípedo ou, formas bidimensionais como: quadrado, triângulo, retângulo e círculo sem o uso obrigatório da terminologia convencional. (GI) H19 Identificar semelhanças e diferenças entre polígonos, usando critérios como número de lados, número de ângulos, eixos de simetria e rigidez, sem o uso obrigatório da terminologia convencional. (GI) H22 Reconhecer unidades de medida usuais de comprimento, de superfície, de capacidade, de tempo e de temperatura. (GI) H23 Estimar a medida de grandezas utilizando unidades de medida convencionais ou não. (GII) H24 Efetuar cálculos que envolvam valores de cédulas e moedas em situações de compra e venda. (GII) H25 Estabelecer relações entre unidades de medida de tempo. (GII) H26 Resolver problemas significativos utilizando unidades de medida padronizadas como km/m/cm/mm, kg/g/ mg, l/ml. (GIII) H27 Resolver problemas que envolvam o cálculo do perímetro de figuras planas, desenhadas em malhas quadriculadas. (GIII) H28 Resolver problemas que envolvam o cálculo ou estimativa de áreas de figuras planas, desenhadas em malhas quadriculadas. (GIII) H20 Identificar a ampliação ou redução de uma dada figura plana. (GI) Competência de Área 3 Construir e ampliar noções de variação de grandeza para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano. Compreender e fazer uso das medidas, ou de sistemas convencionais. Tema 3 Grandezas e medidas. H21 Identificar horas e minutos, por meio da leitura de relógios digitais e de ponteiro. (GI) Competência de Área 4 Ler, construir e interpretar informações de variáveis expressas em gráficos e tabelas. Tema 4 Tratamento da informação. H29 Ler e/ou interpretar informações e dados apresentados em tabelas e construir tabelas. (GIII) H30 Ler e/ou interpretar informações e dados apresentados em gráficos e construir gráficos (particularmente gráficos de colunas). (GIII) 4ª 27 volume-03l (revisado 7).indd 27 03/08/09 21:27:07

28 volume-03l (revisado 7).indd 28 03/08/09 21:27:07

29 2.2. Matriz de Referência para Avaliação do Saresp Matemática 4ª Ensino Fundamental 6ª Ensino Fundamental 8ª Ensino Fundamental 3ª Ensino Médio volume-03l (revisado 7).indd 29 03/08/09 21:27:07

30 COMPETÊNCIAS DO SUJEITO GRUPO I Competências para observar GRUPO II Competências para realizar GRUPO III Competências para compreender Objetos do conhecimento (conteúdos) Tema 1 Números, operações, funções, iniciação à Álgebra H01 Reconhecer as principais características do sistema decimal: contagem, base, valor posicional. H04 Representar medidas não-inteiras utilizando frações. H06 Representar quantidades não-inteiras utilizando notação decimal. H08 Compreender a relação entre as representações fracionária e decimal de um número. H05 Fazer cálculos que envolvam adições e subtrações de frações. H07 Fazer cálculos que envolvam adições e subtrações de números decimais. H09 Efetuar cálculos com potências. H10 Efetuar cálculos com multiplicação e divisão de números decimais. H11 Efetuar cálculos com adição, subtração, multiplicação e divisão com negativos. H02 Estabelecer relações entre números naturais tais como ser múltiplo de, ser divisor de e reconhecer números primos e números compostos. H03 Resolver problemas que envolvam as quatro operações básicas entre números inteiros (adição, subtração, multiplicação e divisão). H13 Aplicar uma ordem de operações ao resolver problemas (parênteses, multiplicação, divisão, adição e subtração). H12 Ler e escrever expressões algébricas correspondentes a textos matemáticos escritos em linguagem corrente e, vice-versa. H15 Expressar e resolver problemas por meio de equações. H14 Resolver equações do 1º grau. Tema 2 Espaço e forma H16 Identificar formas planas e espaciais em situações do cotidiano e por meio de suas representações em desenhos e em malhas. H18 Identificar figuras espaciais a partir de suas planificações. H20 Identificar simetria axial e de rotação na leitura das representações dos objetos no dia-a-dia e das figuras geométricas. H17 Classificar formas planas e espaciais. H19 Determinar área e perímetro de uma figura utilizando composição e decomposição de figuras. H21 Identificar elementos e classificar poliedros. Tema 3 Grandezas e medidas / Proporcionalidade H26 Identificar a soma das medidas dos ângulos de um triângulo (180 ) e de um polígono de n lados (por decomposição em triângulos). H22 Realizar medidas usando padrões e unidades não-convencionais ou de outros sistemas de medida dados. H27 Resolver problemas que envolvam medidas de ângulos de triângulos e de polígonos em geral. H23 Aplicar as principais características do sistema métrico decimal: unidades, transformações e medidas. H29 Resolver situações-problema que envolvam grandezas direta ou inversamente proporcionais. 6ª H24 Reconhecer ângulos como mudança de direção ou giros, identificando ângulos retos e não-retos. H25 Efetuar cálculos que envolvam medidas de ângulos. H28 Reconhecer situações que envolvam proporcionalidade. H30 Reconhecer o conceito de razão em diversos contextos: proporcionalidade, escala, velocidade, porcentagem etc. H31 Reconhecer pi como uma razão constante da geometria. H32 Usar desenhos de escalas para resolver problemas do cotidiano que incluam distância (como em leitura de mapas). 30 volume-03l (revisado 7).indd 30 03/08/09 21:27:08

31 GRUPO I Competências para observar COMPETÊNCIAS DO SUJEITO GRUPO II Competências para realizar GRUPO III Competências para compreender Objetos do conhecimento (conteúdos) Tema 4 Tratamento da informação / Probabilidade / Estatística H36 Identificar o gráfico adequado para representar um conjunto de dados e informações. (gráficos elementares barras, linhas, pontos). H33 Resolver problemas que envolvam probabilidade de eventos simples. H34 Identificar e interpretar informações transmitidas por meio de tabelas. H35 Identificar e interpretar informações transmitidas por meio de gráficos. H37 Utilizar diagramas de árvore para resolver problemas simples de contagem. H38 Resolver problemas que envolvam a ideia do princípio multiplicativo de contagem. 6ª 31 volume-03l (revisado 7).indd 31 03/08/09 21:27:08

32 Matriz de Referência para Avaliação do Saresp Matemática 6ª do Ensino Fundamental (em formato de lista) Competência de Área 1 Desenvolver o raciocínio quantitativo e o pensamento funcional, isto é, o pensamento em termos de relações e a variedade de suas representações, incluindo as simbólicas, as algébricas, as gráficas, as tabulares e as geométricas. Aplicar expressões analíticas para modelar e resolver problemas. Tema 1 Números, operações, funções, iniciação à Álgebra. H01 Reconhecer as principais características do sistema decimal: contagem, base, valor posicional. (GI) H02 Estabelecer relações entre números naturais tais como ser múltiplo de, ser divisor de e reconhecer números primos e números compostos. (GIII) H03 Resolver problemas que envolvam as quatro operações básicas entre números inteiros (adição, subtração, multiplicação e divisão). (GIII) H08 Compreender a relação entre as representações fracionária e decimal de um número. (GI) H09 Efetuar cálculos com potências. (GII) H10 Efetuar cálculos com multiplicação e divisão de números decimais. (GII) H11 Efetuar cálculos com adição, subtração, multiplicação e divisão com negativos. (GII) H12 Ler e escrever expressões algébricas correspondentes a textos matemáticos escritos em linguagem corrente e, vice-versa. (GII) H13 Aplicar uma ordem de operações ao resolver problemas (parênteses, multiplicação, divisão, adição e subtração). (GIII) H14 Resolver equações do 1º grau. (GII) H15 Expressar e resolver problemas por meio de equações. (GIII) 6ª H04 Representar medidas não-inteiras utilizando frações. (GI) H05 Fazer cálculos que envolvam adições e subtrações de frações. (GII) H06 Representar quantidades não-inteiras que utilizam notação decimal. (GI) H07 Fazer cálculos que envolvam adições e subtrações de números decimais. (GII) 32 volume-03l (revisado 7).indd 32 03/08/09 21:27:08

33 Competência de Área 2 Compreender as propriedades dos objetos e a sua posição relativa e desenvolver o raciocínio espacial por meio de construções e de formas. Tema 2 Espaço e forma. H16 Identificar formas planas e espaciais em situações do cotidiano e por meio de suas representações em desenhos e em malhas. (GI) H17 Classificar formas planas e espaciais. (GII) H18 Identificar figuras espaciais a partir de suas planificações. (GI) H23 Aplicar as principais características do sistema métrico decimal: unidades, transformações e medidas. (GII) H24 Reconhecer ângulos como mudança de direção ou giros, identificando ângulos retos e não-retos. (GII) H25 Efetuar cálculos que envolvam medidas de ângulos. (GII) H26 Identificar a soma das medidas dos ângulos de um triângulo (180 ) e de um polígono de n lados (por decomposição em triângulos). (GI) H27 Resolver problemas que envolvam medidas de ângulos de triângulos e de polígonos em geral. (GIII) H19 Determinar área e perímetro de uma figura utilizando composição e decomposição de figuras. (GII) H28 Reconhecer situações que envolvam proporcionalidade. (GII) H20 Identificar simetria axial e de rotação na leitura das representações dos objetos no dia-a-dia e das figuras geométricas. (GI) H21 Identificar elementos e classificar poliedros. (GII) H29 Resolver situações-problema que envolvam grandezas direta ou inversamente proporcionais. (GIII) H30 Reconhecer o conceito de razão em diversos contextos: proporcionalidade, escala, velocidade, porcentagem etc. (GII) Competência de Área 3 Construir e ampliar noções de variação de grandeza para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano. Compreender e fazer uso das medidas, ou de sistemas convencionais, para o cálculo de perímetros, áreas, volumes e relações entre as diferentes unidades de medida. Tema 3 Grandezas e medidas / Proporcionalidade. H31 Reconhecer pi como uma razão constante da geometria. (GII) H32 Usar desenhos de escalas para resolver problemas do cotidiano que incluam distância (como em leitura de mapas). (GIII) 6ª H22 Realizar medidas usando padrões e unidades não-convencionais ou de outros sistemas de medida dados. (GII) 33 volume-03l (revisado 7).indd 33 03/08/09 21:27:08

34 Competência de Área 4 Ler, construir e interpretar informações de variáveis expressas em gráficos e tabelas. Fazer uso das ferramentas estatísticas para descrever e analisar dados, realizar inferências e fazer predições. Compreender o caráter aleatório e nãodeterminístico dos fenômenos naturais e sociais e utilizar os conceitos e algoritmos adequados para medidas e cálculos de probabilidade. Tema 4 Tratamento da informação / Probabilidade / Estatística. H33 Resolver problemas que envolvam probabilidade de eventos simples. (GIII) H34 Identificar e interpretar informações transmitidas por meio de tabelas. (GIII) H35 Identificar e interpretar informações transmitidas por meio de gráficos. (GIII) H36 Identificar o gráfico adequado para representar um conjunto de dados e informações. (gráficos elementares barras, linhas, pontos). (GII) H37 Utilizar diagramas de árvore para resolver problemas simples de contagem. (GIII) H38 Resolver problemas que envolvam a ideia do princípio multiplicativo de contagem. (GIII) 6ª 34 volume-03l (revisado 7).indd 34 03/08/09 21:27:08

35 2.3. Matriz de Referência para Avaliação do Saresp Matemática 4ª Ensino Fundamental 6ª Ensino Fundamental 8ª Ensino Fundamental 3ª Ensino Médio volume-03l (revisado 7).indd 35 03/08/09 21:27:08

36 COMPETÊNCIAS DO SUJEITO GRUPO I Competências para observar GRUPO II Competências para realizar GRUPO III Competências para compreender Objetos do conhecimento (conteúdos) Tema 1 Números, operações, funções (racionais / potenciação, número reais, expressões algébricas, equações, gráficos cartesianos, equações do 2º grau, funções) H01 Reconhecer as diferentes representações de um número racional. H02 Identificar fração como representação que pode estar associada a diferentes significados. H03 Reconhecer as representações decimais dos números racionais como uma extensão do sistema de numeração decimal, identificando a existência de ordens como décimos, centésimos e milésimos. H04 Representar os números reais geometricamente na reta numerada. H05 Identificar a expressão algébrica que expressa uma regularidade observada em sequências de números ou figuras (padrões). H06 Identificar um sistema de equações do 1º grau que expressa um problema. H09 Utilizar a notação científica como forma de representação adequada para números muito grandes ou muitos pequenos. H10 Efetuar cálculos que envolvam operações com números racionais (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação expoentes inteiros e radiciação). H11 Efetuar cálculos simples com valores aproximados de radicais. H12 Realizar operações simples com polinômios. H13 Simplificar expressões algébricas que envolvam produtos notáveis e fatoração. H14 Expressar as relações de proporcionalidade direta entre uma grandeza e o quadrado de outra por meio de uma função do 2º grau. H15 Resolver problemas com números racionais que envolvam as operações (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação). H16 Resolver problemas que envolvam porcentagem. H17 Resolver problemas que envolvam equações com coeficientes racionais. H18 Resolver sistemas lineares (métodos da adição e da substituição). H19 Resolver problemas que envolvam equações do 2º grau. H20 Resolver problemas envolvendo relações de proporcionalidade direta entre duas grandezas por meio de funções do 1º grau. H07 Identificar a relação entre as representações algébrica e geométrica de um sistema de equações do 1º grau. H08 Reconhecer a representação geométrica dos produtos notáveis. Tema 2 Espaço e forma H22 Identificar a localização/movimentação de objeto em mapas, croquis e outras representações gráficas. H23 Identificar propriedades comuns e diferenças entre figuras bidimensionais e tridimensionais, relacionando-as com as suas planificações. H28 Usar o plano cartesiano para representação de pares ordenados; coordenadas cartesianas e equações lineares. H21 Reconhecer a semelhança entre figuras planas, a partir da congruência das medidas angulares e da proporcionalidade entre as medidas lineares correspondentes. H24 Identificar propriedades de triângulos pela comparação de medidas de lados e ângulos. H25 Reconhecer a conservação ou modificação de medidas dos lados, do perímetro, da área em ampliação e/ou redução de figuras poligonais usando malhas quadriculadas. H29 Resolver problemas que utilizam propriedades dos polígonos (soma de seus ângulos internos, número de diagonais, cálculo da medida de cada ângulo interno nos polígonos regulares). H30 Resolver problemas em diferentes contextos, que envolvam triângulos semelhantes. 8ª H26 Reconhecer ângulos como mudança de direção ou giros, identificando ângulos retos e não-retos. H27 Reconhecer círculo/circunferência, seus elementos e algumas de suas relações. 36 volume-03l (revisado 7).indd 36 03/08/09 21:27:08

37 GRUPO I Competências para observar COMPETÊNCIAS DO SUJEITO GRUPO II Competências para realizar GRUPO III Competências para compreender Objetos do conhecimento (conteúdos) Tema 3 Grandezas e medidas (Tales, Pitágoras / Áreas, volumes, proporcionalidade / Semelhança / Trigonometria, corpos redondos) H31 Calcular áreas de polígonos de diferentes tipos, com destaque para os polígonos regulares. H32 Calcular o volume de prismas em diferentes contextos. H33 Utilizar a razão pi no cálculo do perímetro e da área da circunferência. H34 Calcular a área e o volume de um cilindro. H35 Aplicar o Teorema de Tales como uma forma de ocorrência da ideia de proporcionalidade, em diferentes contextos. H36 Resolver problemas em diferentes contextos, que envolvam as relações métricas dos triângulos retângulos. (Teorema de Pitágoras). H37 Resolver problemas em diferentes contextos, a partir da aplicação das razões trigonométricas dos ângulos agudos. H38 Resolver problemas que envolvam o cálculo de perímetro de figuras planas. H39 Resolver problemas que envolvam o cálculo de área de figuras planas. H40 Resolver problemas que envolvam noções de volume. H41 Resolver problemas que utilizam relações entre diferentes unidades de medida. Tema 4 Tratamento da informação / Probabilidade / Estatística H43 Associar informações apresentadas em listas e/ou tabelas simples aos gráficos que as representam e vice-versa. H42 Resolver problemas que envolvam informações apresentadas em tabelas e/ou gráficos. H44 Resolver problemas que envolvam processos de contagem; princípio multiplicativo. H45 Resolver problemas que envolvam ideias básicas de probabilidade. 8ª 37 volume-03l (revisado 7).indd 37 03/08/09 21:27:08

38 Matriz de Referência para Avaliação do Saresp Matemática 8ª do Ensino Fundamental (em formato de lista) Competência de Área 1 Desenvolver o raciocínio quantitativo e o pensamento funcional, isto é, o pensamento em termos de relações e a variedade de suas representações, incluindo as simbólicas, as algébricas, as gráficas, as tabulares e as geométricas. Aplicar expressões analíticas para modelar e resolver problemas. Tema 1 Números, operações, funções (racionais / potenciação, números reais, expressões algébricas, equações, gráficos cartesianos, equações do 2º grau, funções). H07 Identificar a relação entre as representações algébrica e geométrica de um sistema de equações do 1º grau. (GI) H08 Reconhecer a representação geométrica dos produtos notáveis. (GI) H09 Utilizar a notação científica como forma de representação adequada para números muito grandes ou muitos pequenos. (GII) H10 Efetuar cálculos que envolvam operações com números racionais (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação expoentes inteiros e radiciação). (GII) H01 Reconhecer as diferentes representações de um número racional. (GI) H11 Efetuar cálculos simples com valores aproximados de radicais. (GII) 8ª H02 Identificar fração como representação que pode estar associada a diferentes significados. (GI) H03 Reconhecer as representações decimais dos números racionais como uma extensão do sistema de numeração decimal, identificando a existência de ordens como décimos, centésimos e milésimos. (GI) H04 Representar os números reais geometricamente na reta numerada. (GI) H05 Identificar a expressão algébrica que expressa uma regularidade observada em sequências de números ou figuras (padrões). (GI) H06 Identificar um sistema de equações do 1º grau que expressa um problema. (GI) H12 Realizar operações simples com polinômios. (GII) H13 Simplificar expressões algébricas que envolvam produtos notáveis e fatoração. (GII) H14 Expressar as relações de proporcionalidade direta entre uma grandeza e o quadrado de outra por meio de uma função do 2º grau. (GII) H15 Resolver problemas com números racionais que envolvam as operações (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação). (GIII) H16 Resolver problemas que envolvam porcentagem. (GIII) H17 Resolver problemas que envolvam equações com coeficientes racionais. (GIII) 38 volume-03l (revisado 7).indd 38 03/08/09 21:27:08

39 H18 Resolver sistemas lineares (métodos da adição e da substituição). (GIII) H27 Reconhecer círculo/circunferência, seus elementos e algumas de suas relações. (GII) H19 Resolver problemas que envolvam equações do 2º grau. (GIII) H20 Resolver problemas que envolvam relações de proporcionalidade direta entre duas grandezas por meio de funções do 1º grau. (GIII) Competência de Área 2 Compreender as propriedades dos objetos e a sua posição relativa e desenvolver o raciocínio espacial por meio de construções e de formas. Tema 2 Espaço e forma. H21 Reconhecer a semelhança entre figuras planas, a partir da congruência das medidas angulares e da proporcionalidade entre as medidas lineares correspondentes. (GII) H22 Identificar a localização/movimentação de objeto em mapas, croquis e outras representações gráficas. (GI) H23 Identificar propriedades comuns e diferenças entre figuras bidimensionais e tridimensionais, relacionandoas com as suas planificações. (GI) H24 Identificar propriedades de triângulos pela comparação de medidas de lados e ângulos. (GII) H25 Reconhecer a conservação ou modificação de medidas dos lados, do perímetro, da área em ampliação e/ ou redução de figuras poligonais usando malhas quadriculadas. (GII) H26 Reconhecer ângulos como mudança de direção ou giros, identificando ângulos retos e não-retos. (GII) H28 Usar o plano cartesiano para representação de pares ordenados; coordenadas cartesianas e equações lineares. (GI) H29 Resolver problemas que utilizam propriedades dos polígonos (soma de seus ângulos internos, número de diagonais, cálculo da medida de cada ângulo interno nos polígonos regulares). (GIII) H30 Resolver problemas em diferentes contextos, que envolvam triângulos semelhantes. (GIII) Competência de Área 3 Construir e ampliar noções de variação de grandeza para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano. Compreender e fazer uso das medidas, ou de sistemas convencionais, para o cálculo de perímetros, áreas, volumes e relações entre as diferentes unidades de medida. Tema 3 Grandezas e medidas (Tales, Pitágoras / Áreas, volumes, proporcionalidade / Semelhança / Trigonometria, corpos redondos). H31 Calcular áreas de polígonos de diferentes tipos, com destaque para os polígonos regulares. (GII) H32 Calcular o volume de prismas em diferentes contextos. (GII) H33 Utilizar a razão pi no cálculo do perímetro e da área da circunferência. (GII) H34 Calcular a área e o volume de um cilindro. (GII) H35 Aplicar o Teorema de Tales como uma forma de ocorrência da ideia de proporcionalidade, em diferentes contextos. (GIII) 39 8ª volume-03l (revisado 7).indd 39 03/08/09 21:27:08

40 H36 Resolver problemas em diferentes contextos, que envolvam as relações métricas dos triângulos retângulos. (Teorema de Pitágoras). (GIII) H37 Resolver problemas em diferentes contextos, a partir da aplicação das razões trigonométricas dos ângulos agudos. (GIII) H38 Resolver problemas que envolvam o cálculo de perímetro de figuras planas. (GIII) H39 Resolver problemas que envolvam o cálculo de área de figuras planas. (GIII) H40 Resolver problemas que envolvam noções de volume. (GIII) H41 Resolver problema utilizando relações entre diferentes unidades de medida. (GIII) Competência de Área 4 Ler, construir e interpretar informações de variáveis expressas em gráficos e tabelas. Fazer uso das ferramentas estatísticas para descrever e analisar dados, realizar inferências e fazer predições. Compreender o caráter aleatório e nãodeterminístico dos fenômenos naturais e sociais e utilizar os conceitos e algoritmos adequados para medidas e cálculos de probabilidade. Tema 4 Tratamento da informação. H42 Resolver problemas que envolvam informações apresentadas em tabelas e/ou gráficos. (GIII) H43 Associar informações apresentadas em listas e/ou tabelas simples aos gráficos que as representam e vice-versa. (GII) H44 Resolver problemas que envolvam processos de contagem; princípio multiplicativo. (GIII) H45 Resolver problemas que envolvam ideias básicas de probabilidade. (GIII) 8ª 40 volume-03l (revisado 7).indd 40 03/08/09 21:27:08

41 2.4. Matriz de Referência para Avaliação do Saresp Matemática 4ª Ensino Fundamental 6ª Ensino Fundamental 8ª Ensino Fundamental 3ª Ensino Médio volume-03l (revisado 7).indd 41 03/08/09 21:27:08

42 COMPETÊNCIAS DO SUJEITO GRUPO I Competências para observar GRUPO II Competências para realizar GRUPO III Competências para compreender Objetos do conhecimento (conteúdos) Tema 1 Números, operações, funções H05 Descrever as características fundamentais da função do 1º grau, relativas ao gráfico, crescimento/decrescimento, taxa de variação. H06 Descrever as características fundamentais da função do 2º grau, relativas ao gráfico, crescimento, decrescimento, valores máximo ou mínimo. H12 Resolver equações e inequações simples, usando propriedades de potências e logaritmos. H13 Resolver equações trigonométricas simples, compreendendo o significado das condições dadas e dos resultados obtidos. H01 Expressar matematicamente padrões e regularidades em sequências numéricas ou de imagens. H02 Resolver problemas que envolvam Progressões Aritméticas. H03 Resolver problemas que envolvam Progressões Geométricas. H09 Identificar os gráficos de funções de 1º e de 2º graus, conhecidos os seus coeficientes. H04 Representar, por meio de funções, relações de proporcionalidade direta, inversa, e direta com o quadrado. H10 Reconhecer a função exponencial e suas propriedades relativas ao crescimento ou decrescimento. H16 Identificar os resultados de operações entre números complexos representados no plano de Argand-Gauss. H17 Identificar a localização de números reais na reta numérica. H07 Resolver problemas que envolvam equações do 1º grau. H08 Resolver problemas que envolvam equações do 2º grau. H11 Aplicar o significado de logaritmos para a representação de números muito grandes ou muito pequenos, em diferentes contextos. H14 Resolver situações-problema por intermédio de sistemas lineares até a 3ª ordem. H15 Aplicar as relações entre coeficientes e raízes de uma equação algébrica na resolução de problemas. Tema 2 Espaço e forma H20 Representar pontos, figuras, relações e equações em sistemas de coordenadas cartesianas. H21 Reconhecer a equação da reta e o significado de seus coeficientes. H22 Representar graficamente inequações lineares por regiões do plano. H19 Caracterizar polígonos regulares inscritos e circunscritos em circunferências. H25 Relacionar diferentes poliedros ou corpos redondos com suas planificações. H18 Aplicar as propriedades fundamentais dos polígonos regulares em problemas de pavimentação de superfícies. H27 Resolver problemas que envolvam razões trigonométricas no triângulo retângulo (seno, cosseno, tangente). H23 Identificar as equações da circunferência e das cônicas na forma reduzida, com centro na origem. H24 Identificar figuras semelhantes mediante o reconhecimento de relações de proporcionalidade. 3ª E.M. H26 Identificar a relação entre o número de vértices, faces e/ou arestas de poliedros expressa em um problema. 42 volume-03l (revisado 7).indd 42 03/08/09 21:27:09

43 GRUPO I Competências para observar COMPETÊNCIAS DO SUJEITO GRUPO II Competências para realizar GRUPO III Competências para compreender Objetos do conhecimento (conteúdos) Tema 3 Grandezas e medidas H28 Resolver problemas que envolvam as relações métricas fundamentais em triângulos retângulos. H29 Resolver problemas que envolvam relações métricas fundamentais (comprimentos, áreas e volumes) de sólidos como o prisma e o cilindro. H30 Resolver problemas que envolvam relações métricas fundamentais (comprimentos, áreas e volumes) de sólidos, como a pirâmide e o cone. H31 Resolver problemas que envolvam relações métricas fundamentais (comprimentos, áreas e volumes) da esfera e de suas partes. H32 Identificar fusos, latitudes e longitudes com as propriedades características da esfera terrestre. Tema 4 Tratamento da informação H33 Resolver problemas que envolvam probabilidades simples. H34 Aplicar os raciocínios combinatórios aditivo e/ou multiplicativo na resolução de situações-problema. H35 Resolver problemas que envolvam o cálculo de probabilidades de eventos que se repetem seguidamente; o binômio de Newton e o triângulo de Pascal. H36 Interpretar e construir tabelas e gráficos de frequências a partir de dados obtidos em pesquisas por amostras estatísticas. H37 Calcular e interpretar medidas de tendência central de uma distribuição de dados (média, mediana e moda) e de dispersão (desvio padrão). H38 Analisar e interpretar índices estatísticos de diferentes tipos. 3ª E.M. 43 volume-03l (revisado 7).indd 43 03/08/09 21:27:09

44 Matriz de Referência para Avaliação do Saresp Matemática 3ª do Ensino Médio (em formato de lista) Competência de Área 1 Desenvolver o raciocínio quantitativo e o pensamento funcional, isto é, o pensamento em termos de relações e a variedade de suas representações, incluindo as simbólicas, as algébricas, as gráficas, as tabulares e as geométricas. Aplicar expressões analíticas para modelar e resolver problemas. H08 Resolver problemas envolvendo equações do 2º grau. (GIII) H09 Identificar os gráficos de funções de 1 e de 2 graus, conhecidos os seus coeficientes. (GI) H10 Reconhecer a função exponencial e suas propriedades relativas ao crescimento ou decrescimento. (GI) Tema 1 Números, operações, funções. H01 Expressar matematicamente padrões e regularidades em sequências numéricas ou de imagens. (GIII) H02 Resolver problemas que envolvam Progressões Aritméticas. (GIII) H03 Resolver problemas que envolvam Progressões Geométricas. (GIII) H04 Representar por meio de funções, relações de proporcionalidade direta, inversa, e direta com o quadrado. (GIII) H05 Descrever as características fundamentais da função do primeiro grau, relativas ao gráfico, crescimento/decrescimento, taxa de variação. (GI) H06 Descrever as características fundamentais da função do segundo grau, relativas ao gráfico, crescimento, decrescimento, valores máximo ou mínimo. (GI) H11 Aplicar o significado de logaritmos para a representação de números muito grandes ou muito pequenos, em diferentes contextos. (GIII) H12 Resolver equações e inequações simples, usando propriedades de potências e logaritmos. (GII) H13 Resolver equações trigonométricas simples, compreendendo o significado das condições dadas e dos resultados obtidos. (GII) H14 Resolver situações-problema por intermédio de sistemas lineares até a 3ª ordem. (GIII) H15 Aplicar as relações entre coeficientes e raízes de uma equação algébrica na resolução de problemas. (GIII) H16 Identificar os resultados de operações entre números complexos representados no plano de Argand- Gauss. (GI) H17 Identificar a localização de números reais na reta numérica. (GI) 3ª E.M. H07 Resolver problemas envolvendo equações do 1º grau. (GIII) 44 volume-03l (revisado 7).indd 44 03/08/09 21:27:09

45 Competência de Área 2 Compreender as propriedades dos objetos e a sua posição relativa e desenvolver o raciocínio espacial por meio de construções e de formas. Tema 2 Espaço e forma. H18 Aplicar as propriedades fundamentais dos polígonos regulares em problemas de pavimentação de superfícies. (GIII) Competência de Área 3 Construir e ampliar noções de variação de grandeza para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano. Compreender e fazer uso das medidas, ou de sistemas convencionais, para o cálculo de perímetros, áreas, volumes e relações entre as diferentes unidades de medida. Tema 3 Grandezas e medidas. H19 Caracterizar polígonos regulares inscritos e circunscritos em circunferências. (GII) H28 Resolver problemas que envolvam as relações métricas fundamentais em triângulos retângulos. (GIII) H20 Representar pontos, figuras, relações e equações em sistemas de coordenadas cartesianas. (GI) H21 Reconhecer a equação da reta e o significado de seus coeficientes. (GI) H22 Representar graficamente inequações lineares por regiões do plano. (GI) H23 Identificar as equações da circunferência e das cônicas na forma reduzida, com centro na origem. (GI) H29 Resolver problemas que envolvam relações métricas fundamentais (comprimentos, áreas e volumes) de sólidos como o prisma e o cilindro. (GIII) H30 Resolver problemas que envolvam relações métricas fundamentais (comprimentos, áreas e volumes) de sólidos como a pirâmide e o cone. (GIII) H31 Resolver problemas que envolvam relações métricas fundamentais (comprimentos, áreas e volumes) da esfera e de suas partes. (GIII) H24 Identificar figuras semelhantes mediante o reconhecimento de relações de proporcionalidade. (GI) H32 Identificar fusos, latitudes e longitudes com as propriedades características da esfera terrestre. (GIII) H25 Relacionar diferentes poliedros ou corpos redondos com suas planificações. (GII) H26 Identificar a relação entre o número de vértices, faces e/ou arestas de poliedros expressa em um problema. (GI) H27 Resolver problemas que envolvam razões trigonométricas no triângulo retângulo (seno, cosseno, tangente). (GIII) 3ª E.M. 45 volume-03l (revisado 7).indd 45 03/08/09 21:27:09

46 Competência de Área 4 Ler, construir e interpretar informações de variáveis expressas em gráficos e tabelas. Fazer uso das ferramentas estatísticas para descrever e analisar dados, realizar inferências e fazer predições. Compreender o caráter aleatório e nãodeterminístico dos fenômenos naturais e sociais e utilizar os conceitos e algoritmos adequados para medidas e cálculos de probabilidade. Tema 4 Tratamento da informação. H33 Resolver problemas que envolvam probabilidades simples. (GIII) H34 Aplicar os raciocínios combinatórios aditivo e/ou multiplicativo na resolução de situações-problema. (GIII) H35 Resolver problemas que envolvam o cálculo de probabilidades de eventos que se repetem seguidamente; o binômio de Newton e o triângulo de Pascal. (GIII) H36 Interpretar e construir tabelas e gráficos de frequências a partir de dados obtidos em pesquisas por amostras estatísticas. (GIII) H37 Calcular e interpretar medidas de tendência central de uma distribuição de dados (média, mediana e moda) e de dispersão (desvio padrão). (GIII) H38 Analisar e interpretar índices estatísticos de diferentes tipos. (GIII) 3ª E.M. 46 volume-03l (revisado 7).indd 46 03/08/09 21:27:09

47 3. Exemplos de itens comentados por Habilidade 4ª Ensino Fundamental 6ª Ensino Fundamental 8ª Ensino Fundamental 3ª Ensino Médio volume-03l (revisado 7).indd 47 03/08/09 21:27:09

48 Competência de Área 1 Desenvolver o raciocínio quantitativo e o pensamento funcional, isto é, o pensamento em termos de relações e a variedade de suas representações, incluindo as simbólicas, as algébricas, as gráficas, as tabulares e as geométricas. Tema 1 Números, operações, funções H01 Identificar a localização de números naturais na reta numérica. (GI) Observe a reta numérica: A letra P representa o número a. 4. b. 5. c. 6. d. 7. Identificar nessa reta que a letra P representa o número 7. Isso exige que o aluno reconheça a correspondência entre a graduação da reta com os números naturais já estabelecida com o 0, o 1 e o 3 e, então, faça a contagem das marcas até P. 4ª H02 Relacionar a escrita numérica às regras do sistema posicional de numeração. (GII) Assinale a alternativa que mostra corretamente o número em que 2 representa duzentos. a b c d Saber utilizar as regras do sistema de numeração decimal implica reconhecer que a posição ocupada por um número é que vai determinar seu valor nesse número, isto é, seu valor relativo. A leitura do número já indica esse valor. Desse modo, a alternativa D, com o número cinquenta e três mil duzentos e trinta e quatro, é a correta. 48 volume-03l (revisado 7).indd 48 03/08/09 21:27:09

49 H03 Escrever um número natural pela sua decomposição em forma polinomial. (GI) Jéssica representou em um ábaco, como na figura a seguir, um número composto por 3 unidades de milhar + 2 dezenas + 3 unidades. Esse número é o: a b c d A forma como está apresentada a decomposição do número nessa questão é um modo simplificado da expressão 3 x x x 1. O aluno deve reconhecer o tipo de agrupamento que corresponde a cada ordem do número, isto é, que na unidade de milhar o agrupamento é de 1000 unidades, e se há 3 desses grupos tem-se 3000 unidades, na dezena tem-se o agrupamento de 10 unidades e se há 2 desses grupos tem-se 20 unidades, na unidade não há agrupamento e, então, tem-se apenas 3 unidades. Desse modo, a quantidade total de unidades é expressa pelo número 3023, alternativa C. A presença do ábaco na questão serve de suporte ao aluno para que ele estabeleça a relação entre o descrito na questão e as ordens que normalmente usa em tabelas como UM C D U. 4ª 49 volume-03l (revisado 7).indd 49 03/08/09 21:27:09

50 H04 Identificar diferentes representações de um mesmo número racional. (GI) Observe as figuras que se seguem. A parte em branco da figura I, as bolas em cinza da figura II e a parte pintada da figura III podem ser representadas, nesta ordem, pelos números: a. b. 4ª c. d. Uma questão desse tipo exige que o aluno tenha tido diferentes experiências com representações de números racionais. Em cada um dos quadros I, II e III tem-se representações de parte de um todo, nos quadros I e III com quantidades contínuas e no quadro II com quantidade discreta. Nas alternativas as representações são fracionária, decimal e percentual. A relação exigida no quadro I, a mais usual, solicita a fração que corresponde à parte não pintada da figura, que nesse caso coincide com a parte pintada e é. A relação exigida no quadro II, não usual, solicita que se reconheça que metade das bolinhas estão pintadas e que essa metade pode ser representada por 0,5. A última relação a ser estabelecida solicita que se perceba que a parte pintada é de um todo que está divido em 100 partes e, portanto, como são 30 dessas partes, pode ser representada por 30%. Desse modo a alternativa correta é a C. 50 volume-03l (revisado 7).indd 50 03/08/09 21:27:09

51 H05 Identificar a localização de números racionais representados na forma decimal na reta numérica. (GI) Observe a reta numérica: A letra Q representa o número a. 1,6. b. 1,4. c. 0,6. d. 0,4. O conhecimento requerido nessa questão é a percepção de que ao se dividir em 10 partes cada intervalo entre dois números consecutivos da reta numérica temos a possibilidade de localizarmos com mais precisão números racionais, na sua forma fracionária ou decimal, expressando décimos. Nessas situações a relação de atividades com números associadas a atividades com medidas é essencial, uma vez que esse tipo de divisão da reta numérica é a mesma da régua graduada em centímetros e milímetros. H06 Identificar fração como representação que pode estar associada a diferentes significados (parte/ todo, quociente, razão). (GI) Observe a figura: A fração que representa a parte pintada em relação ao total é a. b. c. d. 4ª A relação da fração à parte pintada de um todo contínuo como o da questão é a situação mais usual em sala de aula. Um diferencial que essa situação coloca é o de não aparecer na parte pintada a divisão correspondente ao restante da figura, exigindo que se visualize que ali estão duas das partes da figura toda e, portanto, refere-se à fração da alternativa D. 51 volume-03l (revisado 7).indd 51 03/08/09 21:27:10

52 H07 Identificar a fração decimal correspondente a um número decimal dado, e vice-versa. (GI) O número 0,7 pode ser representado pela fração a. b. c. d. Para resolver essa questão é necessário que o aluno reconheça que a fração decimal, isto é, a fração cujo denominador é uma potência de 10 (1, 10, 100, 1000, etc.), é a representação fracionária mais diretamente ligada à representação decimal de um número, inclusive fornecendo a leitura desse número. Assim, ao número 0,7 (sete décimos) corresponde a fração (sete décimos). H08 Identificar sequências numéricas. (GI) Observe a sequência: 4ª O número que deve ser colocado na casa vazia desta sequência é a. 85. b. 90. c. 93. d Essa questão pode ser resolvida percebendo-se que se trata de uma sequência em que cada elemento é 9 a mais que o anterior, ou então observando que os números que formam a sequência apresentam uma regularidade em que enquanto o algarismo das unidades diminui de 1 em 1, o algarismo das dezenas cresce de 1 em 1. De um ou de outro modo, pode-se perceber que o número que completará a sequência é o 93, alternativa C. 52 volume-03l (revisado 7).indd 52 03/08/09 21:27:10

53 H09 Identificar e localizar na reta números naturais escritos com três ou quatro dígitos. (GI) Observe a reta a seguir. O número 537 está localizado no ponto a. P. b. Q. c. S. d. T. Para resolver essa questão é preciso perceber que a reta apresentada tem sua graduação de 1 em 1, começando em 520. Além disso, o aluno pode chegar à resposta por dois caminhos, um em que ele saiba recitar a sequência numérica natural a partir do 530 para fazer corresponder cada número recitado a uma marca da reta para encontrar no 537 a letra T. Outra possibilidade é a de fazer a contagem regressiva a partir do 540 ou subtrair 3 de 540. H10 Calcular o resultado de uma adição ou subtração de números naturais. (GII) Subtraindo 429 de 2.362, obtemos a b c d A questão apresenta uma proposta de subtração que normalmente não é explorada por professores. Nesse caso tem-se uma das possíveis maneiras de traduzir para a linguagem verbal a subtração Outras possibilidades de se ler essa subtração são: de retirar 429, calcular a diferença entre 429 e 2362, quanto 2362 tem a mais que 429, quanto que 429 tem a menos que Isto quer dizer que se deve explorar subtrações sob esses diversos aspectos e não apenas apresentando a conta já pronta para ser efetuada ou apenas para ser armada e efetuada. 4ª 53 volume-03l (revisado 7).indd 53 03/08/09 21:27:10

54 H11 Calcular o resultado de uma multiplicação ou divisão de números naturais. (GII) Dividindo 369 por 3 obtemos: a b c d Essa proposta, embora não se distancie de situações normalmente tratadas em sala de aula, também tem a característica de solicitar em linguagem verbal um cálculo de operação, sem dar a sentença matemática. Outras referências em linguagem verbal ligadas à divisão poderão ser utilizadas, tais como: obter o quociente entre 369 e 3, repartir 369 por 3, se 369 é o dividendo e 3 é o divisor, então o quociente será... A divisão solicitada não apresenta dificuldade, pois basta dividir cada um dos algarismos do número por 3 e obter 123. H12 Resolver problemas que envolvam a adição ou a subtração, em situações relacionadas aos seus diversos significados. (GIII) Bete precisa pesar seu cachorrinho, mas ele não para quieto na balança. Então Bete subiu na balança com ele. Observe quanto a balança marcou. Como Bete pesa 29 kg então seu cachorrinho pesa a. 61 kg. b. 51 kg. c. 5 kg. d. 3 kg. 4ª Essa é uma situação-problema em que em seu enunciado não há palavrachave que associa a solução a uma determinada conta. É um problema de subtração, mas a solução pela adição também pode ser a escolhida pelos alunos, pois não é trabalhosa, exige apenas uma contagem de 29 a 32, o que leva à alternativa D, 3 kg. 54 volume-03l (revisado 7).indd 54 03/08/09 21:27:10

55 H13 Resolver problemas que envolvam a multiplicação e a divisão, especialmente em situações relacionadas à comparação entre razões e à configuração retangular. (GIII) A professora precisou colocar cadeiras na biblioteca para fazer uma reunião com os pais dos alunos. Pediu para que os alunos a ajudassem a organizar 8 fileiras com 6 cadeiras. A quantidade de cadeiras utilizadas para arrumar a biblioteca foi a. 50. b. 48. c. 14. d. 8. Essa é uma situação-problema de configuração retangular em que o aluno precisa reconhecer que a organização referida no enunciado está associada ao cálculo de uma multiplicação para se obter o total de cadeiras de modo mais rápido. No entanto, não se descarta a possibilidade de o aluno usar a adição de parcelas iguais mesmo sendo em número de fileiras não tão baixo. Desse modo poderá chegar ao resultado 48 da alternativa B. H14 Resolver problemas que utilizam a escrita decimal de cédulas e moedas do sistema monetário brasileiro. (GIII) Observe o cofrinho de Mateus. Nele cabem cinquenta moedas de R$ 0,25. Assinale a alternativa que mostra a quantia que Mateus conseguirá guardar se utilizar somente moedas de R$ 0,25. a. R$ 25,00. b. R$ 12,50. c. R$ 10,00. d. R$ 2,50. 4ª É interessante observar que no enunciado desse problema um dos dados relevantes para a solução (cinquenta moedas) está apresentado em linguagem corrente e não numericamente. Espera-se com isso que o aluno leia o enunciado procurando o número com o qual deverá relacionar os R$ 0,25. Além disso, ao calcular o total de reais correspondente ao total deverá fazer um cálculo que envolve número decimal e um número terminado em zero (0,25 x 50) e ter o controle da colocação da vírgula no resultado obtido, tendo então R$ 12,50, alternativa B. 55 volume-03l (revisado 7).indd 55 03/08/09 21:27:10

56 H15 Resolver problemas com números racionais expressos na forma decimal que envolvam diferentes significados da adição ou subtração. (GIII) Observe as alturas de Carlos e Edu. A diferença entre as alturas dos dois meninos é a. 0,35m. b. 0,25m. c. 2,95m. d. 2,90m. A situação-problema apresentada tem significado de comparação embora não haja questão do tipo quanto a mais ou quanto a menos. A questão colocada para calcular a diferença entre as alturas propõe algumas dificuldades aos alunos, pois esse termo está relacionado à subtração apenas em matemática, pois em situações cotidianas o termo refere-se a buscar o que duas ou mais coisas têm de distintas. Desse modo, é necessário que os alunos tratem de questões desse tipo em diversas situações envolvendo a subtração. Além disso, trata-se de uma subtração entre números decimais que exigem do aluno o cuidado na organização dos dados para os cálculos, embora a gravura já sirva de suporte para o estabelecimento de qual número é o maior para a montagem da conta 1,60 1,35, cujo resultado será 0,25. Alternativa B. H16 Resolver problemas que envolvam noções de porcentagem (25%, 50%, 100%). (GIII) 4ª Na escola aprendi que um índice representado em porcentagem pode ser escrito como fração e decimal. Li no jornal que 50% dos brasileiros não sabem localizar o Brasil no mapa. Dizendo a mesma coisa de outra forma, a. 1/2 (metade) dos brasileiros não sabem localizar o Brasil no mapa. b. 1/4 (um quarto) dos brasileiros não sabem localizar o Brasil no mapa. c. 1/8 (um oitavo) dos brasileiros não sabem localizar o Brasil no mapa. d. 1/16 (um dezesseis avos) dos brasileiros não sabem localizar o Brasil no mapa. A questão coloca o aluno diante de uma situação em que deve reconhecer que 50% correspondem à metade da população referida e que essa metade pode ser escrita em representação fracionária e, no caso, como ½, que tem na alternativa A tal resultado. Essa alternativa traz ainda um suporte que é o termo metade escrito entre parênteses. 56 volume-03l (revisado 7).indd 56 03/08/09 21:27:10

57 Competência de Área 2 Compreender as propriedades dos objetos e a sua posição relativa e desenvolver o raciocínio espacial por meio de construções e de formas. Tema 2 Espaço e forma H17 Descrever a localização e a movimentação de pessoas ou objetos no espaço, em diversas representações gráficas, dando informações sobre pontos de referência e utilizando o vocabulário de posição (direita/esquerda, acima/abaixo, entre, em frente/atrás). (GI) Observe o parque de diversões representado abaixo. Assinale a alternativa que mostra a localização do carrossel. a. N3. b. P3. c. N2. d. P2. 4ª A questão requer do aluno uma leitura do diagrama a partir de dois referenciais: um numérico e outro alfabético para optar pela alternativa D. Tal representação é um trabalho preliminar à introdução ao plano cartesiano a ser abordado nas s finais do ensino fundamental. Embora pareça mais natural a leitura como a apresentada na questão, para uma melhor aproximação ao plano cartesiano a leitura deve ser feita primeiro na linha horizontal e depois na vertical. 57 volume-03l (revisado 7).indd 57 03/08/09 21:27:10

58 H18 Identificar formas geométricas tridimensionais como esfera, cone, cilindro, cubo, pirâmide, paralelepípedo, ou formas bidimensionais como quadrado, triângulo, retângulo e círculo, sem o uso obrigatório da terminologia convencional. (GI) A casca de sorvete tem a forma de um a. cubo. b. cilindro. c. cone. d. prisma. A questão exige que o aluno visualize um copinho de sorvete para ter a real ideia do sólido a que a questão se refere. Fazer relações dos sólidos geométricos com objetos do mundo real é um recurso importante nesta fase da aprendizagem, embora o uso correto dos nomes desses sólidos possam demorar um pouco para os alunos assimilarem, por isso é recomendável que se use constantemente em sala de aula os nomes corretos dos sólidos. H19 Identificar semelhanças e diferenças entre polígonos, usando critérios como número de lados, número de ângulos, eixos de simetria e rigidez, sem o uso obrigatório da terminologia convencional. (GI) Assinale a alternativa que mostra o número do quadrilátero que tem seus quatro ângulos retos. 4ª I II III IV a. I. b. II. c. III. d. IV. A questão exige que o aluno saiba reconhecer ângulo reto pela posição de suas semirretas ou que identifique o quadrado como uma figura que possui os quatro ângulos retos e aponte a alternativa A como resposta. 58 volume-03l (revisado 7).indd 58 03/08/09 21:27:10

59 H20 Identificar a ampliação ou redução de uma dada figura plana. (GI) Observe a figura e assinale a alternativa que mostra uma ampliação dela. a. b. c. d. Reconhecer a ampliação de uma figura requer que se observe que as características da figura se mantêm e que há apenas uma ampliação das medidas dos lados, e que essa ampliação ocorre de modo proporcional a fim de não deformar o objeto original. Assim, a figura ampliada é a da alternativa B, que atende a todas essas condições. 4ª 59 volume-03l (revisado 7).indd 59 03/08/09 21:27:10

60 Competência de Área 3 Construir e ampliar noções de variação de grandeza para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano. Compreender e fazer uso das medidas, ou de sistemas convencionais. Tema 3 Grandezas e medidas H21 Identificar horas e minutos, por meio da leitura de relógios digitais e de ponteiro. (GI) A mãe de Tomás deixou um bilhete com os horários que ele deveria cumprir pela manhã. Em relação ao bilhete, é correto dizer que Tomás deve a. almoçar ao meio-dia e quinze. b. fazer lição de casa quando faltarem quinze minutos para o meio-dia. c. tomar banho e arrumar-se às onze horas e quinze minutos. d. tomar café da manhã às sete horas. 4ª A leitura de horas em relógio analógico é um conhecimento necessário para o dia a dia de todas as pessoas e é isso que essa questão avalia. Dois horários aí colocados são particularmente interessantes, 9 horas e quinze para meio-dia, que apresentam a mesma configuração, mas com os ponteiros em ordem trocada. No entanto a questão solicita outro horário que não esses, referindo-se à alternativa C. 60 volume-03l (revisado 7).indd 60 03/08/09 21:27:10

61 H22 Reconhecer unidades de medida usuais de comprimento, de superfície, de capacidade, de tempo e de temperatura. (GI) João foi se pesar e, ao subir na balança, percebeu que a mancha no visor não o deixava ver a unidade de medida. Sabendo que João tem 10 anos então a balança deve estar indicando 35 a. quilômetros. b. quilogramas. c. centímetros. d. segundos. A identificação de unidades de medida adequadas a cada tipo de grandeza é uma habilidade importante para as situações cotidianas. Essa questão avalia isso, colocando uma situação familiar ao aluno em que ele deve reconhecer que a unidade de medida de massa, que usualmente chamamos de peso, é o quilograma indicado na alternativa B. H23 Estimar a medida de grandezas utilizando unidades de medida convencionais ou não. (GII) Observe a conversa entre estes quatro amigos. Assinale a alternativa que mostra corretamente as alturas dos quatro amigos. Luís Frederico João Paulo a. 1,59 m 1,42 m 1,52 m 1,39 m b. 1,45 m 1,56 m 1,39 m 1,28 m c. 1,59 m 1,42 m 1,49 m 1,39 m d. 1,61 m 1,56 m 1,42 m 1,27 m 4ª Para resolver essa questão o aluno precisará ler atentamente os balões de cada criança para estabelecer as relações entre suas alturas. Além disso, precisará saber realizar as transformações entre metro e centímetro de modo a identificar que as alturas dos meninos são: Luis = 1,59m; Frederico = 1,42m; João = 1,49m e Paulo = 1,39 m, indicadas pela alternativa C. 61 volume-03l (revisado 7).indd 61 03/08/09 21:27:11

62 H24 Efetuar cálculos que envolvam valores de cédulas e moedas em situações de compra e venda. (GII) Mamãe só tem moedas em sua carteira como a representada a seguir. Usando somente moedas como esta, para comprar um pacote de macarrão de R$ 3,00, mamãe precisa ter a. 3 moedas. b. 6 moedas. c. 9 moedas. d. 12 moedas. Problemas envolvendo o sistema monetário têm várias possibilidades de caminhos para a solução. Esse, por exemplo, pode ser resolvido calculando-se a divisão de R$ 3,00 por R$ 0,25, ou pode-se considerar que com 4 moedas forma-se R$ 1,00. Então, para se obter R$ 3,00, serão necessárias 3 x 4 =12 moedas. O aluno pode pensar ainda em formar R$ 0,50 com duas moedas e depois descobrir quantas serão necessárias para formar R$ 3,00. H25 Estabelecer relações entre unidades de medida de tempo. (GII) Meia hora equivale a a. 15 minutos, pois uma hora equivale a 60 minutos. b. 30 minutos, pois uma hora equivale a 60 minutos. c. 60 minutos, pois uma hora equivale a 60 minutos. d. 120 minutos, pois uma hora equivale a 60 minutos. 4ª Essa questão avalia se o aluno reconhece a relação que existe entre hora e minuto e, consequentemente, se identifica quantos minutos correspondem à meia hora. H26 Resolver problemas significativos utilizando unidades de medida padronizadas como km/m/cm/ mm, kg/g/mg, l/ml. (GIII) Se uma receita de bolo pede um copo de leite, e um copo de leite equivale a 200 ml, com um litro de leite é possível preparar a. 6 receitas iguais. b. 5 receitas iguais. c. 4 receitas iguais. d. 3 receitas iguais. 62 volume-03l (revisado 7).indd 62 03/08/09 21:27:11

63 Nessa questão o aluno precisa saber que 1 litro é igual a 1000 mililitros e que ml é o símbolo para mililitro. Assim, ele poderá estabelecer que 5 x 200 ml = 1000 ml e, portanto, é possível preparar 5 receitas iguais. H27 Resolver problemas que envolvam o cálculo do perímetro de figuras planas, desenhadas em malhas quadriculadas. (GIII) Observe a figura desenhada na malha quadriculada. Se cada quadradinho mede 1 cm de lado, o perímetro da figura é, em cm, igual a a. 52. b. 30. c. 22. d. 18. Para resolver essa questão o aluno precisa reconhecer que o perímetro é igual à soma das medidas dos lados de uma figura, e que a medida a que nos referimos é obtida a partir do quadriculado. Como cada lado do quadradinho mede 1 cm, então o perímetro da figura será dado por = 30, alternativa B. 4ª 63 volume-03l (revisado 7).indd 63 03/08/09 21:27:11

64 H28 Resolver problemas que envolvam o cálculo ou estimativa de áreas de figuras planas, desenhadas em malhas quadriculadas. (GIII) O quadradinho seguinte tem lados de 1 centímetro e, é claro, sua área mede 1 centímetro quadrado. A área, em cm 2, da figura pintada na malha de quadradinhos é a. 20. b. 18. c. 16. d ª A área é a medida de uma superfície obtida a partir de uma unidade de medida de superfície, isto é, uma superfície só pode ser medida com outra superfície. Essa é a intenção, nessa questão, ao se apresentar a superfície de um quadradinho como valendo 1 cm². Trata-se da determinação da unidade de medida a ser utilizada para medir a superfície da figura dada. Desse modo, obter a área da figura significa contar quantos quadradinhos recobrem essa figura. Para realizar essa contagem os alunos precisarão visualizar os quadradinhos da malha quadriculada que estão recobertos pela pintura da figura, apoiando-se naqueles que não estão pintados, obtendo um total de 16 quadradinhos, que corresponde à alternativa C. 64 volume-03l (revisado 7).indd 64 03/08/09 21:27:11

65 Competência de Área 4 Ler, construir e interpretar informações de variáveis expressas em gráficos e tabelas. Tema 4 Tratamento da informação H29 Ler e/ou interpretar informações e dados apresentados em tabelas e construir tabelas. (GIII) A professora de Educação Física esclareceu que, apesar de ser mais frequente a expressão pesar-se na balança do que medir a sua massa, o correto é dizer que a balança dá a medida da massa e que peso está relacionado com a força da gravidade. No início do ano letivo esta professora mediu as alturas e os pesos dos alunos do 4o ano. Os resultados do peso estão registrados na tabela. Massa (kg) Número de alunos A quantidade de alunos que têm peso maior que 28 kg é a. 8. b. 24. c. 27. d. 39. O enunciado da questão informa aos alunos o que significa a massa (kg) que aparece na tabela. A apropriação por parte de todos de que o que usualmente chamamos de peso é, na verdade, a medida da massa de um corpo é o que os especialistas da área de ciências da natureza esperam, pois para essa área essa diferenciação é conceitualmente importante. É interessante ressaltar nessa questão a abordagem dada à tabela. Não se trata de simplesmente se obter um determinado valor ou o total do que está ali representado, mas sim de identificar um certo grupo de informações que atendem a uma determinada característica, no caso, alunos com massa superior a 28 kg. Assim, deve-se calcular o número de alunos com massas iguais a 29 kg, 30 kg e 31 kg, isto é, = 24, que corresponde à alternativa B. 4ª 65 volume-03l (revisado 7).indd 65 03/08/09 21:27:11

66 H30 Ler e/ou interpretar informações e dados apresentados em gráficos e construir gráficos (particularmente gráficos de colunas). (GIII) Os alunos da 4ª do Ensino Fundamental fizeram uma pesquisa sobre o ritmo de música que mais gostam. Cada um poderia escolher um único tipo de música. Para representar os resultados da pesquisa utilizaram o gráfico a seguir. A quantidade de votos para a música clássica foi a. 10. b. 7. c. 5. d. 4. Para responder a essa questão é preciso realizar a leitura do gráfico, localizando qual coluna referese aos dados obtidos sobre música clássica e, em seguida, verificar a altura atingida por essa coluna. Desse modo, obtém-se o valor 5, que corresponde à alternativa C. 4ª 66 volume-03l (revisado 7).indd 66 03/08/09 21:27:11

67 4. Exemplos de Itens comentados por Habilidade 4ª Ensino Fundamental 6ª Ensino Fundamental 8ª Ensino Fundamental 3ª Ensino Médio volume-03l (revisado 7).indd 67 03/08/09 21:27:11

68 Competência de Área 1 Desenvolver o raciocínio quantitativo e o pensamento funcional, isto é, o pensamento em termos de relações e a variedade de suas representações, incluindo as simbólicas, as algébricas, as gráficas, as tabulares e as geométricas. Aplicar expressões analíticas para modelar e resolver problemas. Tema 1 Números, operações, funções, iniciação à Álgebra H01 Reconhecer as principais características do sistema decimal: contagem, base, valor posicional. (GI) Por ocasião das Olimpíadas de Pequim, o jornalzinho de um colégio publicou uma notícia com a seguinte manchete: População da China é a maior do mundo com 1,307 bilhão de habitantes. De acordo com essa informação, a população da China supera 1 bilhão de habitantes em a. 307 mil. b. 3,07 milhões. c. 307 milhões. d. 3,07 bilhões. A escrita de números muito grandes usando a representação com vírgula é hoje muito comum em jornais. A leitura e o reconhecimento da grandeza desses números estão apoiados nas regras do sistema de numeração decimal e no significado de unidade de medida que indica a posição da vírgula no número. Assim, na notação 1,307 bilhão, devemos identificar o bilhão como a unidade de medida utilizada e o 1 (algarismo antes da vírgula) como a quantidade dessa unidade. Os algarismos após a vírgula vão, então, indicar os décimos, centésimos e milésimos dessa unidade. Nesse caso temos 307 milésimos de bilhão, isto é, de ou 307 x , que corresponde a 307 milhões. 6ª H02 Estabelecer relações entre números naturais, tais como ser múltiplo de, ser divisor de e reconhecer números primos e números compostos. (GIII) Paulão trabalha na seção de embalagens de bolinhas de gude. Ele só usa embalagens de dois tipos: caixa azul, para 6 bolinhas, ou caixa verde, para 8 bolinhas. Paulão calculou que, com a quantidade de bolinhas produzida sexta-feira passada, ele poderia ter usado apenas as caixas azuis, sem que sobrasse nenhuma bolinha. Pensando mais um pouco, ele observou que, se usasse apenas as caixas verdes, teria acontecido o mesmo! 68 volume-03l (revisado 7).indd 68 03/08/09 21:27:11

69 Assinale alternativa que mostra o número de bolinhas que Paulão embalou nessa sexta-feira. a b c d Para resolver a questão é necessário reconhecer que o número a ser obtido é múltiplo de 6 e também é múltiplo de 8. Um procedimento possível é o de escrever o conjunto dos múltiplos de cada número e encontrar o múltiplo comum que satisfaz o problema, mas como os números presentes nas alternativas são de valores altos esse procedimento pode ser custoso. Então, pode-se partir do menor múltiplo comum, diferente de zero, dos dois números e escrever o conjunto dos múltiplos comuns. Tem-se, então: mmc(6,8) = 24 e o conjunto dos múltiplos comuns será o conjunto dos múltiplos de 24: M(24) = {0, 24, 48, 72, 96, 120, 144,...} o que fornece 120 como o número procurado. Outra possibilidade é de o aluno testar cada uma das alternativas verificando qual dos números é divisível por 6 e por 8. H03 Resolver problemas que envolvam as quatro operações básicas entre números inteiros (adição, subtração, multiplicação e divisão). (GIII) Uma escola tem 18 turmas e cada uma comporta, no máximo, 34 alunos. Para o ano de 2008, foram preenchidas todas as vagas, e a direção da escola conseguiu organizar as turmas em três períodos, com quantidades iguais de alunos e sem sobrar nenhum. O total de alunos em cada período é a b c d Para obter o total de alunos em cada período é preciso obter o total de alunos da escola e dividi-lo por 3. Essa resolução vai exigir um cálculo de multiplicação com fatores de 2 algarismos: 18 x 34 = 612 e a divisão: 612 : 3. Essa divisão é fonte de erros para os alunos pois o quociente tem um zero intercalado (612:3 = 204). Em sala de aula é necessário apresentar constantemente situações de divisão com esse tipo de quociente para que os alunos possam expressar suas dúvidas e tenham oportunidade de superá-las. 6ª 69 volume-03l (revisado 7).indd 69 03/08/09 21:27:11

70 H04 Representar medidas não-inteiras utilizando frações. (GI) Assinale a alternativa que mostra corretamente a fração que representa a parte hachurada da figura a seguir. a. b. c. d. Essa questão chama a atenção por apresentar uma divisão de um inteiro em partes correspondentes a outras frações desse inteiro, o que não é usual na maioria dos livros didáticos. Para resolver essa situação é preciso reconhecer que a parte pintada da figura corresponde ao que falta às outras frações para completar o inteiro, isto é, trata-se de calcular a subtração., alternativa B. H05 Fazer cálculos que envolvam adições e subtrações de frações. (GII) Na casa de Mariana o gasto diário de água com descargas correspondia a da capacidade da caixa d água. Com a troca por descargas mais econômicas, esse consumo passou a ser de da capacidade da mesma caixa d água. Logo, a fração da caixa d água economizada com essa troca foi de a. b. 6ª c. d. Nesse problema o aluno precisa fazer a relação entre uma situação de economia com a operação subtração e reconhecer que é maior do que. Assim a solução esperada é dada por, alternativa B. 70 volume-03l (revisado 7).indd 70 03/08/09 21:27:12

71 H06 Representar quantidades não-inteiras que utilizam notação decimal. (GI) Assinale a alternativa que mostra um número compreendido entre 2,31 e 2,32. a. 2,305. b. 2,205. c. 2,315. d. 2,309. A intercalação de números decimais é mais uma das dificuldades que os alunos enfrentam no trato com esse tipo de número. Pesquisas apontam que é comum os alunos considerarem esses números como sendo apenas a justaposição de dois números inteiros e, assim, tomarem 2,32 como menor do que 2,315, pois 32 é menor do que 315. Em atividades desse tipo é importante ressaltar a necessidade de se comparar números representados com o mesmo número de casas decimais, isto é, representados com as mesmas ordens decimais. H07 Fazer cálculos que envolvam adições e subtrações de números decimais. (GII) Em uma corrida de 100 metros entre dois amigos, um deles percorreu a distância em 22,5 segundos, e o outro em 23,34 segundos. O vencedor da corrida chegou à frente do outro em a. 0,16 segundo. b. 0,46 segundo. c. 0,71 segundo d. 0,84 segundo. A determinação do tempo solicitado exige o cálculo de uma subtração, que, nesse caso, é entre dois números decimais: 23,34 22,5 = 0,84. Mesmo que um dos números apresente uma casa decimal a menos que o outro esse cálculo normalmente não causa problemas aos alunos. 6ª 71 volume-03l (revisado 7).indd 71 03/08/09 21:27:12

72 H08 Compreender a relação entre as representações fracionária e decimal de um número. (GI) Assinale a alternativa que mostra corretamente a escrita de a. 0,50. b. 0,75. c. 0,30. d. 0,80. na forma decimal. A identificação de um número fracionário com sua representação na forma decimal pode ser feita calculando-se a divisão entre numerador e denominador. No caso dessa questão, a divisão de 6 por 8 resulta em 0,75. O aluno poderá também simplificar a fração, obtendo ¾ fazer a divisão de 3 por 4 e chegar a 0,75. H09 Efetuar cálculos com potências. (GII) Resolva a expressão a seguir e marque a alternativa que corresponde ao resultado. a. 3 4 b. 2 2 c. 3 d. 7 As propriedades de potências são o que o aluno precisa usar para resolver essa questão de modo mais rápido, pois ele perceberá que 2³. 2³ poderá ser simplificado com o denominador e restará apenas 3, alternativa A. No entanto, ele poderá também resolver a questão apenas aplicando a definição de potenciação, expandindo as potências e fazendo a simplificação. 6ª 72 volume-03l (revisado 7).indd 72 03/08/09 21:27:12

73 H10 Efetuar cálculos com multiplicação e divisão de números decimais. (GII) Miguel parou em um posto para abastecer o carro e observou a seguinte tabela de preços. COMBUSTÍVEL PREÇO POR LITRO Álcool R$ 0,79 Gasolina comum R$ 2,34 Gasolina aditivada R$ 2,37 Diesel R$ 1,85 Após o abastecimento, o visor da bomba indicava: Preço Total R$ 83,25 LITROS 45,00 O carro de Miguel foi abastecido com a. álcool. b. gasolina comum. c. gasolina aditivada. d. diesel. O enunciado dessa situação-problema apoia-se em conhecimento social do aluno. Para determinar qual o combustível utilizado é preciso saber o preço pago por litro pelo consumidor. Assim, ele deverá calcular a divisão 83,25 : 45,00. O modo como foi fornecida a quantidade de litros (45,00) já auxilia o aluno a tratar da divisão pois indica a mesma quantidade de casas decimais do dividendo. O resultado dessa divisão, 1,85, fornece o preço por litro do diesel. Portanto, alternativa D. 6ª 73 volume-03l (revisado 7).indd 73 03/08/09 21:27:12

74 H11 Efetuar cálculos com adição, subtração, multiplicação e divisão com negativos. (GII) Em um jogo, o valor de cada ponto perdido é 4, e o valor de cada ponto ganho é +3. Ana perdeu 13 pontos e ganhou 15 pontos. Fazendo os cálculos, pode-se verificar que o total de pontos de Ana é a. 10 b. 7 c. 3 d. 11 Para resolver a questão o aluno precisa reconhecer tratar-se de operações com números negativos. Como o contexto é de jogo que, normalmente, os alunos se interessam e envolve perda e ganho, que é a abordagem que a maioria dos livros didáticos utiliza, torna-se fácil esse reconhecimento. Ele poderá calcular: 13 x (- 4) + 15 x 3 = = - 7 (alternativa B) H12 Ler e escrever expressões algébricas correspondentes a textos matemáticos escritos em linguagem corrente, e vice-versa. (GII) Uma empresa de entregas em domicílio cobra, na grande São Paulo, R$ 5,00 fixos por entrega, mais R$ 0,03 em cada 1 grama. No interior do Estado, ela cobra o preço da grande São Paulo acrescido de 10%. O preço de entrega de uma encomenda de x gramas para o interior de São Paulo, em R$, é igual a a. b. c. 6ª d. 74 volume-03l (revisado 7).indd 74 03/08/09 21:27:12

75 A mudança do registro escrito em língua natural para o registro algébrico normalmente é fonte de erros para os alunos. Uma grande quantidade de situações envolvendo essa mudança, de modo que os alunos possam expressar sua forma de escrita em álgebra, antes de o professor apresentar a dele, é necessária para ajudá-los na construção desse conhecimento. Nesse caso, eles devem perceber que o valor 5, sendo fixo, não poderá estar associado ao peso x da encomenda. Assim, o preço de entrega na grande São Paulo será dado por 5 + 0,03x. Para a entrega no interior deve-se aumentar 10%. Então os alunos precisam reconhecer que esses 10% são calculados pela divisão do valor da entrega (5 + 3x) por 10, o que leva à alternativa B. H13 Aplicar uma ordem de operações ao resolver problemas (parênteses, multiplicação, divisão, adição e subtração). (GIII) O valor da expressão (2 + 4) x 3 + (3 : 3) + 4 x 2 é a. 22 b. 27 c. 23 d. 15 Essa questão exige apenas que os alunos reconheçam a ordem da realização das operações acompanhadas de parênteses. Desse modo precisam calcular: 6 x = = 27, alternativa B. H14 Resolver equações do 1o grau. (GII) Se então y vale a. 2 b. c. d. 2. 6ª Equações fracionárias normalmente são consideradas muito difíceis pelos alunos, que trazem um preconceito já para com os cálculos com frações. Nesse caso, a interpretação de que o fato de a fração estar igualada a 1 significa que o numerador e o denominador são números iguais e, portanto, podemos escrever. O que nos leva a perceber que e, novamente temos uma fração igualada a 1, isto é, y = 2, alternativa D. 75 volume-03l (revisado 7).indd 75 03/08/09 21:27:12

76 H15 Expressar e resolver problemas por meio de equações. (GIII) A soma da idade de Carlos e João é 45 anos. Sabendo que a idade de Carlos é o dobro da idade de João, podemos dizer que a idade de Carlos é a. 20 anos. b. 30 anos. c. 40 anos. d. 50 anos. Nessa questão a mudança de registro da língua natural para a linguagem algébrica se dá apenas pela tradução direta do texto, assim os alunos precisam estabelecer uma representação para a idade de Carlos, por exemplo, C, e outra para a idade de João, por exemplo, J. A situação ficará expressa por: Resolvendo o sistema obtém-se que J = 15 e C = 30, alternativa B. É importante ressaltar que problemas desse tipo, com números baixos, também podem ser resolvidos por estimativas ou tentativas. 6ª 76 volume-03l (revisado 7).indd 76 03/08/09 21:27:12

77 Competência de Área 2 Compreender as propriedades dos objetos e a sua posição relativa e desenvolver o raciocínio espacial por meio de construções e de formas. Tema 2 Espaço e forma H16 Identificar formas planas e espaciais em situações do cotidiano e por meio de suas representações em desenhos e em malhas. (GI) Observe os objetos a seguir e pense nas figuras espaciais que podem ser associadas a eles. I II III Assinale a alternativa que mostra a relação correta entre os objetos e as figuras geométricas. a. b. c. d. I II III esfera cubo cilindro. esfera cilindro cubo. cilindro esfera cubo. cubo esfera cilindro. Essa questão requer apenas o reconhecimento das formas geométricas ligadas a seus nomes. Para isso, os alunos precisam usar em sala de aula esses nomes para que ocorra sua memorização. 6ª 77 volume-03l (revisado 7).indd 77 03/08/09 21:27:12

78 H17 Classificar formas planas e espaciais. (GII) I II III IV V As figuras acima mostram origamis (dobraduras), vistos de frente, e que Mariana faz como artesanato. Eles serão usados para construir móbiles para uma aula de Geometria. Mariana só pode usar aqueles cujas faces são trapézios e triângulos. Ela deve escolher apenas os origamis representados nas figuras a. I, II. b. II, III e V. c. II, III e IV. d. I e V. A questão requer o reconhecimento das formas triângulo e trapézio presentes nas figuras, além da observação de que devem ter apenas essas formas, o que leva à alternativa D. H18 Identificar figuras espaciais a partir de suas planificações. (GI) 6ª Figura 1 Figura 2 Figura 3 As figuras 1, 2 e 3 correspondem, respectivamente, às planificações dos sólidos: a. Cubo, cone, pirâmide. b. Pirâmide, cilindro, cubo. c. Cubo, cilindro, pirâmide. d. Pirâmide, cone, cubo. 78 volume-03l (revisado 7).indd 78 03/08/09 21:27:13

79 A visualização das figuras espaciais a partir de suas planificações são exercícios que precisam ser realizados em sala de aula, pois seu desenvolvimento se dá pela experimentação dos alunos com esse tipo de situação. H19 Determinar área e perímetro de uma figura utilizando composição e decomposição de figuras. (GII) A figura ao lado representa o salão de festa de um clube formado por quadrados de lados iguais a 6m. Para reformar esse espaço, o orçamento do trabalho de um pedreiro depende do valor do perímetro e da área do salão. Assinale a alternativa que mostra corretamente e, nesta ordem, as medidas do perímetro, em metros, e da área, em metros quadrados. a. 36 e 180. b. 72 e 180. c. 48 e 30. d. 72 e 36. Nessa questão os alunos precisam reconhecer que o perímetro é a soma das medidas dos lados e, portanto, será 12 x 6 = 72, e que a área será dada por 5 x 6² = 5 x 36 = 180, que corresponde à alternativa B. 6ª 79 volume-03l (revisado 7).indd 79 03/08/09 21:27:13

80 H20 Identificar simetria axial e de rotação na leitura das representações dos objetos no dia-a-dia e das figuras geométricas. (GI) Ao final dos resultados das Olimpíadas de Pequim, os quatro primeiros países no rol de medalhas foram: China Estados Unidos Rússia Grã-Bretanha Entre as bandeiras desses países, apresentam simetria apenas as dos países: a. Grã-Bretanha e China. b. Rússia e Estados Unidos. c. Rússia e Grã-Bretanha. d. China e Estados Unidos. Os alunos precisam visualizar nas bandeiras aquelas nas quais se pode traçar pelo menos um eixo de simetria. A bandeira da Grã-Bretanha já contém em seu desenho as indicações dos eixos de simetria possíveis de serem considerados. A outra bandeira que apresenta a possibilidade de se ter um eixo de simetria é a da Rússia, com um único eixo vertical. H21 Identificar elementos e classificar poliedros. (GII) 6ª O número de faces de um prisma, em que a base é um polígono de n lados é a. n 1. b. n. c. n + 2. d. 2n + 1. Essa questão exige uma generalização por parte dos alunos. Esse tipo de atividade se faz necessária ser vivida em diversas situações de sala de aula, pois se os alunos não tiverem explorado anteriormente situações similares eles terão pouca chance de resolver o que está proposto aqui. Eles devem observar que o número de faces laterais de um prisma corresponde ao número de lados do polígono das bases. Logo, se esse polígono tem n lados, o prisma terá n faces laterais mais as duas faces, que são as bases do polígono, o que leva à alternativa C. 80 volume-03l (revisado 7).indd 80 03/08/09 21:27:13

81 Competência de Área 3 Construir e ampliar noções de variação de grandeza para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano. Compreender e fazer uso das medidas, ou de sistemas convencionais, para o cálculo de perímetros, áreas, volumes e relações entre as diferentes unidades de medida. Tema 3 Grandezas e medidas/proporcionalidade H22 Realizar medidas usando padrões e unidades não-convencionais ou de outros sistemas de medida dados. (GII) Fernanda fazia os preparativos para a festa junina de sua escola e precisou da medida do perímetro do pátio. Ela observou que o pátio da escola tinha a forma de um quadrado e mediu um lado do pátio com seus próprios passos. Descobriu que um lado desse quadrado media 150 passos. Sabendo que Fernanda deu passos de aproximadamente meio metro de comprimento, pode-se afirmar que o perímetro do pátio mede, em metros, cerca de a b c d O perímetro solicitado nessa questão é novamente o do quadrado. Os alunos precisam fazer a transformação da medida em passos para a medida em metros conhecendo a relação: 1 passo mede 0,5 m. Podem fazer calculando antes o perímetro em passos e depois calculando o perímetro. Então, tem-se: 150 x 0,5 = 75m 4 x 75 = 300 m. 6ª 81 volume-03l (revisado 7).indd 81 03/08/09 21:27:13

82 H23 Aplicar as principais características do sistema métrico decimal: unidades, transformações e medidas. (GII) Flávia possui quatro quebra-cabeças quadrados e deseja fazer um quadro com o menor deles. Seu quarto não é muito grande e como pretende pendurar o quebra-cabeça na parede do quarto, é importante que ela escolha o menor. O quebra-cabeça I possui área de 2500cm 2, o II possui área de 0,09m 2, o III possui área de 16dm 2 e o IV possui área de mm 2. Flávia deve escolher o quebra-cabeças a. I. b. II. c. III. d. IV. Nessa questão os alunos devem comparar as áreas dos quadrados para escolher a menor delas. Como cada uma está fornecida em uma unidade de medida diferente, para poder compará-las é preciso deixálas expressadas na mesma unidade, optamos aqui em usar o cm 2 como a unidade de referência. Assim, temos: (I) 2500 cm 2. (II) 0,09m 2 = 900 cm 2. (III) 16dm 2 = 1600 cm 2. (IV)360000mm 2 = 3600 cm 2. O quadro de menor área será o de 900 cm 2. H24 Reconhecer ângulos como mudança de direção ou giros, identificando ângulos retos e não-retos. (GII) 6ª O relógio a seguir marca 9h: Assinale a alternativa que mostra corretamente qual a medida do ângulo formado pelos 2 ponteiros, indicado na figura. a. 180º b. 90º c. 60º d. 45º 82 Para essa questão basta reconhecer a perpendicularidade entre os dois ponteiros e que esta é a característica de ângulos retos, que medem 90º. Portanto, alternativa B. volume-03l (revisado 7).indd 82 03/08/09 21:27:13

83 H25 Efetuar cálculos que envolvam medidas de ângulos. (GII) Na figura ao lado, AB e CD são retas que se cortam em O. A medida de AÔC é o quádruplo da medida de BÔC. A medida de AÔD é a. 30º 6. b. 36º. c. 108º. d. 10º 8. Para resolver essa questão os alunos precisam reconhecer que ângulos formados por semirretas opostas medem 180º, e que ângulos opostos pelo vértice têm a mesma medida. Chamando de â a medida de AÔC e de ê a medida de BÔC temos: Resolvendo o sistema obtemos: ê = 36º e â = 144º. Como a medida pedida é a de AÔD e ele é oposto pelo vértice a BÔC, concluímos que ele também mede 36º, alternativa B. 6ª 83 volume-03l (revisado 7).indd 83 03/08/09 21:27:13

84 H26 Identificar a soma das medidas dos ângulos de um triângulo (180 ) e de um polígono de n lados (por decomposição em triângulos). (GI) Pode-se calcular a medida do ângulo indicado por x na figura sem necessidade de uso do transferidor. Sua medida é igual a a. 115º. b. 125º. c. 125º. d. 135º. Essa questão pode ser resolvida por meio do cálculo da soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo como a própria figura sugere, ou por meio da soma das medidas dos ângulos internos de um quadrilátero. Fazendo pelo segundo procedimento teremos que 90º + 90º + 15º + 50º + x = 360º ou x = 115º, que corresponde à alternativa A H27 Resolver problemas que envolvam medidas de ângulos de triângulos e de polígonos em geral. (GIII) O vértice A de uma folha de papel retangular será dobrado sobre o lado BC de forma que as medidas BE e BA sejam iguais, como mostra a figura. Nas condições dadas, a medida do ângulo, que é um dos ângulos internos do triângulo BA E, é a. 45º b. 60º c. 100º d. 120º 6ª Os alunos precisam reconhecer que os ângulos do triângulo BA E são 90º, 45º e 45º, por se tratar de um triângulo retângulo isósceles. Então a única alternativa que corresponde a esses valores é a A. 84 volume-03l (revisado 7).indd 84 03/08/09 21:27:13

85 H28 Reconhecer situações que envolvam proporcionalidade. (GII) Se dobrarmos o volume de água contida em cada um dos recipientes indicados na figura, a altura h da água dobrará apenas no(s) recipiente(s) a. 4. b. 3. c. 2. d. 1. Para resolver essa questão basta aos alunos que usem experiências cotidianas e/ou bom-senso para perceber que apenas no recipiente 2 dobrar a altura do líquido corresponderá ao dobro do volume de água. Esta questão pode servir de sugestão aos professores como experiência a ser realizada em sala de aula como um modo de verificação do princípio de Cavalieri: Dados dois sólidos e um plano, se todo plano paralelo ao dado, interceptando um sólido também intercepta o outro, e se estas intersecções têm a mesma área, então os sólidos têm o mesmo volume. H29 Resolver situações-problema que envolvam grandezas direta ou inversamente proporcionais. (GIII) Jonas, com sua bicicleta, pedala na pista circular de ciclismo do clube. Ao dar 4 voltas, ele percorre m. Se quiser percorrer 8 km, mantendo o mesmo ritmo, ele dará um número de voltas igual a a. 2. b. 5. c. 10. d ª Para resolver essa questão é necessário fazer a transformação de metro para quilômetro, ou vice-versa. Transformando metros em quilômetros temos: 1.600m = 1,6 km em 4 voltas. Para saber quantas voltas serão necessárias para obter 8 km os alunos poderão lançar mão de vários procedimentos: podem dividir 8 por 1,6 e depois multiplicar o resultado por 4; podem ir contando de 4 em 4 voltas enquanto somam os quilômetros rodados, podem usar a relação de proporcionalidade e ir multiplicando 1,6 km e 4 pelos mesmos números até obter 8 km ou testar os números presentes nas alternativas. 85 volume-03l (revisado 7).indd 85 03/08/09 21:27:13

86 H30 Reconhecer o conceito de razão em diversos contextos: proporcionalidade, escala, velocidade, porcentagem etc. (GII) Em uma cidade com 320 praças públicas, foi feita uma avaliação da situação destes locais e o resultado foi alarmante, conforme dados da tabela seguinte. PROBLEMAS PERCENTUAL DAS PRAÇAS Falhas no calçamento 48% Falta de iluminação 25% Áreas verdes mal cuidadas 60% Lixeiras destruídas ou sem lixeiras 75% Isso significa que, nessa cidade, há 128 praças a. sem falhas no calçamento. b. com falta de iluminação. c. com áreas verdes bem cuidadas. d. com lixeiras em bom estado. Para responder a essa questão os alunos podem usar vários procedimentos. Podem calcular todas as porcentagens apresentadas na tabela, que seria um processo mais longo, e nesse caso é interessante chamar a atenção deles para que observem que ao calcular os 25% correspondentes à falta de iluminação terão também, por subtração desse valor do total de praças, a quantidade relativa a 75% das praças com lixeiras destruídas ou sem lixeira, uma vez que 25% e 75% são porcentagens complementares. Além disso, é conveniente ressaltar que o cálculo de porcentagens poderá ser feito utilizando diferentes procedimentos como: ao calcular 25%, pode-se simplesmente dividir o total por 4, pode-se ainda calcular mentalmente 10% e 5% para compor 25% ou calcular 0,25 x 320. Outro procedimento de solução é o de calcular diretamente quantos por cento de 320 correspondem as 128 praças referidas na questão, fazendo o cálculo da razão entre 128 e 320. Ao fazer os cálculos obter-se-á 40%, que corresponde ao complementar de 60%, isto é, alternativa C. 6ª H31 Reconhecer pi como uma razão constante da geometria. (GII) Os alunos da professora Raquel levaram para a sala de aula vários objetos que tinham alguma superfície que fosse circular. Com régua, fita métrica e barbante, os alunos da professora Raquel mediram os comprimentos e os diâmetros de várias circunferências mostradas em figuras pela professora. Anotaram os resultados das medidas em uma tabela. 86 volume-03l (revisado 7).indd 86 03/08/09 21:27:13

87 Veja as anotações dos alunos na tabela. Figuras I II III IV Comprimento (em cm) ,8 x 38,2 Diâmetro (em cm) ,3 Como existe uma relação entre o comprimento e o diâmetro de uma circunferência, o valor de x é, aproximadamente, igual a a. 279,8. b c d. 91,4. Para resolver essa questão os alunos precisam identificar que a relação entre o comprimento e o diâmetro da circunferência apresentada no enunciado refere-se à razão entre as medidas desses elementos. Assim, pode-se buscar essa razão em qualquer das medidas obtidas em uma mesma circunferência. Então, calculando-se a razão, obtém-se 3,1. Para manter a mesma razão deve-se ter para x o valor 310. H32 Usar desenhos de escalas para resolver problemas do cotidiano que incluam distância (como em leitura de mapas). (GIII) O esquema a seguir, na malha quadriculada de 1 cm x 1 cm, representa o percurso da casa de João até a sua escola. Sabendo-se que cada 1 cm na malha corresponde a 12 metros, qual é a distância real em metros que João percorre para ir à escola? Assinale a alternativa que mostra a distância real, em metros, percorrida por João. a b c d ª Para responder adequadamente a essa questão basta aos alunos contarem quantos lados de quadrados constituem esse percurso e depois multiplicar esse número por 12. Desse modo, tem-se: 11 x 12 = volume-03l (revisado 7).indd 87 03/08/09 21:27:13

88 Competência de Área 4 Ler, construir e interpretar informações de variáveis expressas em gráficos e tabelas. Fazer uso das ferramentas estatísticas para descrever e analisar dados, realizar inferências e fazer predições. Compreender o caráter aleatório e não-determinístico dos fenômenos naturais e sociais e utilizar os conceitos e algoritmos adequados para medidas e cálculos de probabilidade. Tema 4 Tratamento da informação/probabilidade/estatística H33 Resolver problemas que envolvam probabilidade de eventos simples. (GIII) O diretor da escola de Ana fará um sorteio entre as cinco salas de sexta da escola, e a sala vencedora ganhará um passeio a um lindo parque em sua cidade. Ana estuda em uma das salas de 6a e gostaria muito de ganhar esse passeio. O diretor colocará em uma caixa cinco pedaços de papel, um para cada classe, e sorteará um deles. A chance da sala de Ana ser sorteada é de a. 50%. b. 35%. c. 25%. d. 20%. 6ª Para resolver a essa questão os alunos precisam colocar em jogo seu conhecimento sobre probabilidade, reconhecendo que se trata de uma razão entre o número de possibilidades favoráveis ao que se quer e o número total de ocorrências do fato estudado. Nesse caso, favorável ao sorteio da classe de Ana existe um só pedaço de papel indicando sua classe entre os cinco que estão na caixa. Assim, a probabilidade será de. Como as respostas estão na forma percentual, pode-se dividir 1 por 5 para indicar a alternativa D, 20%. 88 volume-03l (revisado 7).indd 88 03/08/09 21:27:13

89 H34 Identificar e interpretar informações transmitidas por meio de tabelas. (GIII) Quatro times de futebol disputam o campeonato Bom de Bola. Observe a seguinte tabela. Bom de Bola Times Vitórias Empates Derrotas I II III IV Sabendo que cada vitória vale 4 pontos e cada empate vale 2 pontos, podemos concluir que a equipe que está em primeiro lugar no campeonato é a equipe: a. I. b. II. c. III. d. IV. A solução dessa questão depende apenas de se calcular os pontos de cada equipe a partir dos dados da tabela e dos valores dos pontos relativos ao empate e à vitória. Desse modo temos: Equipe I: 4 x x 2 = = 24. Equipe II: 3 x x 2 = = 24. Equipe III: 6 x x 2 = = 26. Equipe IV: 5 x x 2 = = 28. A equipe IV é a vencedora. Portanto, alternativa D. 6ª 89 volume-03l (revisado 7).indd 89 03/08/09 21:27:14

90 H35 Identificar e interpretar informações transmitidas por meio de gráficos. (GIII) O gráfico indica o tempo que um forno leva para esfriar depois que é desligado. O tempo que esse forno leva para atingir a temperatura de 120 oc depois de ter sido desligado é de a. 15 minutos. b. 13 minutos. c. 11 minutos. d. 9 minutos. Não é usual o trabalho, em 6ª, com esse tipo de gráfico. No entanto os gráficos de linha já fazem parte de situações presentes nos Cadernos do Aluno na nova proposta curricular. A questão refere-se a uma temperatura que não está explicitada no eixo de temperaturas. Então os alunos precisam identificar a escala usada para a graduação desse eixo para então localizar 120 ºC e, em seguida, com apoio do quadriculado, localizar no gráfico o ponto que corresponde a esse valor e, aí relacionar esse ponto ao eixo do tempo. Também nesse eixo há que se identificar a escala utilizada para a obtenção do valor correspondente ao tempo. Desse modo, tem-se que a escala usada no eixo das temperaturas é de 1 lado do quadradinho (1 unidade) para cada 20 ºC. 6ª Assim, o tempo correspondente está no meio do intervalo de 10 a 20, isto é, 15 minutos (alternativa A). 90 volume-03l (revisado 7).indd 90 03/08/09 21:27:14

91 H36 Identificar o gráfico adequado para representar um conjunto de dados e informações (gráficos elementares barras, linhas, pontos). (GII) O gráfico a seguir representa o número de vagas disponíveis para pessoas com alguma deficiência em diferentes empresas Indústria Serviços Comércio Transportes Financeiras Fonte: FOLHA DE S. PAULO, 17 ago Assinale a alternativa que mostra o gráfico de setores que representa esses mesmos dados. a. b. c. d. 6ª Essa questão pode ser respondida apenas com recursos de comparação visual entre os gráficos, estabelecendo que sendo a coluna referente à indústria a mais alta, ela, certamente, deve corresponder ao maior setor circular, o que já nos remete à alternativa D. No entanto, convém conferir os outros setores com as outras colunas do gráfico original. Verifica-se que a segunda coluna referente a serviços, e a terceira, referente a comércio, são aproximadamente iguais, assim como no gráfico de setores. O mesmo acontece com transporte e finanças, o que confirma ser a alternativa D a correta. 91 volume-03l (revisado 7).indd 91 03/08/09 21:27:15

92 H37 Utilizar diagramas de árvore para resolver problemas simples de contagem. (GIII) Ana possui 2 calças jeans (c1 e c2), 3 blusas (b1, b2 e b3) e 2 tênis (t1 e t2). Os modos diferentes que ela pode se vestir usando uma de cada dessas peças, está parcialmente representado na árvore de possibilidades abaixo: c1 b1 b2 t1 t2 t1 t2 t1 Seguindo a mesma representação usada na primeira parte da árvore, uma das combinações que Ana poderá usar, indicada pelo ramo em destaque na árvore é: a. c2 b2 t1 b. c2 b3 t1 c. c21 b2 t2 d. c2 b1 t2 b3 t2 c2 Para resolver essa questão os alunos precisam perceber o modo de organização presente na árvore e que cada um de seus ramos representa uma possibilidade de combinação das peças. Assim, o ramo destacado indica a combinação c2 b3 t1, isto é, a calça 2 com a blusa 3 e o tênis 1. Portanto, alternativa B. H38 Resolver problemas que envolvam a ideia do princípio multiplicativo de contagem. (GIII) 6ª O Sr. Armando tem três carros: um azul, um branco e um verde, que são sempre estacionados um ao lado do outro. Assinale a alternativa que mostra de quantos modos diferentes os três carros podem ser dispostos segundo sua cor. a. 3. b. 4. c. 6. d. 12. Como são 3 carros, um de cada cor, os alunos podem representar todas as possibilidades de disposição dos carros de acordo com a cor. Assim, representando o azul por A, o branco por B e o verde por V, tem-se: - fixando a posição do azul e variando as outras: ABV e AVB. - fixando a posição do branco e variando as outras: BAV e BVA. -fixando a posição do verde e variando as outras: VBA e VAB. 92 O que dá um total de 6 posições diferentes ao se considerar a cor dos carros. volume-03l (revisado 7).indd 92 03/08/09 21:27:15

93 5. Exemplos de Itens Comentados por Habilidade 4ª Ensino Fundamental 6ª Ensino Fundamental 8ª Ensino Fundamental 3ª Ensino Médio volume-03l (revisado 7).indd 93 03/08/09 21:27:15

94 Competência de Área 1 Desenvolver o raciocínio quantitativo e o pensamento funcional, isto é, o pensamento em termos de relações e a variedade de suas representações, incluindo as simbólicas, as algébricas, as gráficas, as tabulares e as geométricas. Aplicar expressões analíticas para modelar e resolver problemas. Tema 1 Números, operações, funções (racionais/potenciação, números reais, expressões algébricas, equações, gráficos cartesianos, equações do 2º grau, funções). H01 Reconhecer as diferentes representações de um número racional. (GI) No jogo Encontrando Números Iguais são lançados 5 dados especialmente preparados para isso. Observe esta jogada. Os dados com números iguais são a. 1, 2 e 4. b. 1, 3 e 4. c. 2, 3 e 5. d. 3, 4 e 5. Nesse exercício o aluno precisa saber comparar frações e números decimais. Os dados 1 e 3 diferem apenas no zero após a última casa decimal. Portanto são iguais. Transformando as frações em números decimais podemos verificar que não são iguais aos dados 1 e 3, restando apenas o número misto do dado 4, que podemos, por meio da soma, verificar que também é igual aos valores dos dados 1 e 3. Logo a correta é a alternativa B. 8ª 94 volume-03l (revisado 7).indd 94 03/08/09 21:27:15

95 H02 Identificar fração como representação que pode estar associada a diferentes significados. (GI) Observe as situações apresentadas nos quadros seguintes. A fração de suco em um refresco feito com 2 partes de suco e 3 de água Divida 2 folhas de papel entre 5 crianças São 2 mulheres das 5 pessoas na sala São 2 bolas em cada um dos 5 pacotes A fração pode ser usada para representar as situações: a. I, II e III. b. II, III e IV. c. I, II e IV. d. I, III e IV. Neste exercício é necessário que os alunos reconheçam a razão como uma forma de comparar grandezas. Na primeira situação temos 2 copos de suco para 5 copos de refresco; na segunda a divisão de duas folhas para 5 crianças, e na terceira, a composição da sala onde duas entre cinco pessoas são mulheres. Na quarta situação, temos 10 bolas divididas em cinco pacotes, portanto não configurando a ideia de 2 para 5, ou 2 em 5. 8ª 95 volume-03l (revisado 7).indd 95 03/08/09 21:27:15

96 H03 Reconhecer as representações decimais dos números racionais como uma extensão do sistema de numeração decimal, identificando a existência de ordens como décimos, centésimos e milésimos. (GI) Colocando-se em ordem crescente os números a seguir: x = 0,02 t = 0,025 y = 0,2 w = 0,12 z = 0,001 encontra-se: a. z < x < y < t < w. b. z< x < t < w < y. c. t < w < z < x < y. d. z < y < x < w < t. A ordenação de números racionais na forma decimal requer que os alunos reconheçam a necessidade de todos estarem com o mesmo número de casas decimais, isto é, com as mesmas ordens decimais. Desse modo, tem-se: x = 0,020 t = 0,025 y = 0,200 w = 0,120 z = 0,001 de onde se conclui que z < x < t < w < y, alternativa B. H04 Representar os números reais geometricamente na reta numerada. (GI) A figura a seguir ilustra a reta dos números reais no intervalo entre 0 e 1. Este intervalo está dividido em 4 intervalos menores. 8ª 96 volume-03l (revisado 7).indd 96 03/08/09 21:27:15

97 A qual destes 4 intervalos pertence o número real representado pela fração? a. Intervalo I. b. Intervalo II. c. Intervalo III. d. Intervalo IV. Esta questão requer do aluno o conhecimento de comparação de decimais. Primeiro compara-se os inteiros, depois os décimos, centésimos etc. Neste caso,, portanto o número está entre 0,01 e 0,1, ou seja, no intervalo II. H05 Identificar a expressão algébrica que expressa uma regularidade observada em sequências de números ou figuras (padrões). (GI) As figuras a seguir representam caixas numeradas de 1 a n, contendo bolinhas, em que a quantidade de bolinhas em cada caixa varia em função do número dessa caixa. A observação das figuras permite concluir que o número de bolinhas da enésima caixa é dado pela expressão a. n 2. b. (n-1) 2. c. (n+1) 2. d. n É necessário que o aluno conheça o que são números quadrados perfeitos e saiba associar a eles a área de quadrados. Posto isso, verificando que à caixa de número 1 correspondem 4 bolinhas (2²); à caixa de número 2, 9 bolinhas (3²); à de número 3, 16 bolinhas (4²) e, assim por diante, chega-se à conclusão de que a de número n deverá ter (n+1)² bolinhas. 8ª 97 volume-03l (revisado 7).indd 97 03/08/09 21:27:15

98 H06 Identificar um sistema de equações do 1º grau que expressa um problema. (GI) Um professor apresentou aos seus alunos o seguinte problema: As questões de uma prova são avaliadas por pontos, de modo que um acerto vale 5 pontos positivos e um erro vale 3 pontos negativos. Em uma prova com 30 questões, Mirella fez 54 pontos. Quantas questões Mirella acertou? Para resolver o problema, o professor denominou x e y ao número de questões acertadas e erradas por Mirella, respectivamente, e pediu aos alunos que escrevessem o sistema de equações que conduz à solução do problema. Assinale a alternativa que mostra corretamente o sistema de equações pedido pelo professor. a. b. c. d. Esta questão requer capacidade de ler e interpretar texto. Ao ler que Mirella acertou x questões e errou y, e não tendo nenhuma observação sobre questões em branco, o aluno deve perceber que a soma dos acertos e dos erros dá exatamente o número de questões da prova, isto é, x + y = 30. Se cada acerto vale 5 pontos, então temos 5x pontos ganhos, e se cada erro vale 3 pontos negativos, então temos - 3y pontos, e a soma desses pontos nos leva ao total de pontos feitos, portanto à equação 5x 3y = 54. H07 Identificar a relação entre as representações algébrica e geométrica de um sistema de equações do 1º grau. (GI) O sistema é representado geometricamente pelo gráfico: 8ª Então, a coordenada (a,b) do ponto de intersecção das duas retas é dada por a. a =2, b=2. b. a = -1, b=1. c. a = 1, b =1. d. a= -2, b=2. 98 volume-03l (revisado 7).indd 98 03/08/09 21:27:16

99 Nesta questão o aluno precisa primeiramente saber que a solução do sistema é um par ordenado representado geometricamente pela intersecção das duas retas. A partir disso deve ter conhecimento sobre resolução de um sistema de equações do primeiro grau, pelo método da soma ou substituição. Assim temos x = 1 e y = 1, que corresponde à alternativa C. H08 Reconhecer a representação geométrica dos produtos notáveis. (GI) Qual das figuras a seguir em relação à área hachurada representa a expressão algébrica (m + 2) 2? A) C) B) D) Esta questão requer conhecimento de que dois segmentos consecutivos sobre uma mesma reta formam um novo segmento de medida igual à soma das medidas dos dois. O aluno deve também saber que a área de um quadrado é igual ao quadrado do seu lado. Portanto a única resposta certa é a alternativa A. H09 Utilizar a notação científica como forma de representação adequada para números muito grandes ou muitos pequenos. (GII) O raio da Terra, no equador, é de aproximadamente metros, e a distância aproximada da Terra à Lua é de metros. Podemos também apresentar corretamente o raio da Terra e a distância da Terra à Lua, respectivamente, por 3 a. 6,4 x 10 metros, e 3,84 x 10 5 metros. -6 b. 6,4 x 10 metros, e 3,84 x 10 8 metros. 6 c. 6,4 x 10 metros, e 3,84 x 10 8 metros. 8 d. 6,4 x 10 metros, e 3,84 x metros. Nesta questão é necessário o conceito de notação científica como uma simplificação da escrita de números muito grandes ou muito pequenos. A notação científica é dada pelo produto de um número maior ou igual a 1 e menor ou igual a 10 multiplicado por uma potência de 10. Essa potência de 10 é que indicará o número de ordens do sistema de numeração decimal deverá ser considerada no número. Assim, = 6,4 x 10 6 e = 3,84 x 10 8, que corresponde à alternativa C. 8ª 99 volume-03l (revisado 7).indd 99 03/08/09 21:27:16

100 H10 Efetuar cálculos que envolvam operações com números racionais (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação expoentes inteiros e radiciação). (GII) A expressão pode ser representada por a. b. c. d. 7 A questão requer conhecimento de operações com frações e o cuidado de observar a ordem das operações, ou seja, primeiro a potenciação, depois a divisão, ou a simplificação e, por último, a adição: H11 Efetuar cálculos simples com valores aproximados de radicais. (GII) Pode-se dizer que a medida, em metros, do comprimento da hipotenusa de um triângulo retângulo de catetos medindo 2m e 3m está entre a. 2 e 2 b. 3 e 2 c. 2 e 3 d. 6 e 3 Os alunos precisarão reconhecer, comparar e operar com números reais expressos na forma de radicais, além de identificarem que a um triângulo retângulo pode-se aplicar o teorema de Pitágoras. Desse modo, tem-se: x 2 = ( 2) 2 + ( 3) 2 x 2 = x 2 = 5 x = ± 5 sabendo que 4 < 5 < 9 2 < 5 < 3 8ª H12 Realizar operações simples com polinômios. (GII) Considere os polinômios p= 3x 2 + 2x + 3 e q= 4x volume-03l (revisado 7).indd /08/09 21:27:16

101 O valor numérico do polinômio p q, para x=1, é a. 4. b. 5. c. 6. d. 7. É necessário que os alunos tenham conhecimento sobre subtração de polinômios e de valor numérico. A subtração também poderá ser tratada como a soma de p com o oposto de q. p q = 3x 2 + 2x + 3 (4x 3) p q = 3x 2 + 2x + 3 4x + 3 p q = 3x 2 2x + 6 VN = 7 H13 Simplificar expressões algébricas que envolvam produtos notáveis e fatoração. (GII) Um quadrado cuja medida do lado é (x+k) tem área dada por x 2 +8x+16. Pode-se concluir que o valor de k é a. 2. b. 3. c. 4. d. 5. A questão requer que o aluno saiba que a área do quadrado é igual ao quadrado do seu lado, saiba efetuar o produto notável, seja por meio da regra ou do produto dos polinômios, e como comparar polinômios igualando os coeficientes de termos de mesmo expoente. Desse modo tem-se: (x + k) 2 = x 2 + 8x + 16 x 2 + 2kx + k 2 = x 2 + 8x k = 8 k = 4 8ª 101 volume-03l (revisado 7).indd /08/09 21:27:16

102 H14 Expressar as relações de proporcionalidade direta entre uma grandeza e o quadrado de outra por meio de uma função do 2º grau. (GII) Sabemos que um corpo em queda livre cai de forma que a distância (d) percorrida seja proporcional ao quadrado do tempo (t) decorrido desde o início da queda. Isto é, d = kt 2, (onde d é a distância percorrida, t é o tempo de queda e k é a razão constante entre d e t 2 ). Após 3 segundos de queda, o corpo caiu 45 metros. Então, a relação entre a distância percorrida e o tempo após a queda pode ser expressa por 2 a. d = 2t 2 b. d = 4t 2 c. d = 5t 2 d. d = 6t O exercício requer habilidade com leitura e interpretação de texto, pois as informações sobre a relação entre a distância e o tempo estão todas presentes no enunciado. A constante k é dada pela razão entre a distância e o tempo elevado ao quadrado. Portanto:. Encontrando-se o valor de k, basta substituí-lo na fórmula dada. H15 Resolver problemas com números racionais que envolvam as operações (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação). (GIII) Um salão quadrado de lado l = 4,5m será revestido com piso. Sabemos que a área de piso necessária será dada por A = l 2. O dono do salão já possui 12,75m 2 de piso, e sabe que não será suficiente para revestir todo o salão. Quantos m 2 de piso ele precisa ainda comprar? a. 4,25 m 2. b. 5,75 m 2. c. 7,50 m 2. d. 9,50 m 2. Além de ler o problema com atenção, os alunos também precisam lidar com operações com números decimais: 8ª A = 4,5m 2 A = 20,25m 2. Sabendo-se o total da área a ser revestida basta subtrair dela a metragem que já se tem de piso: q = 20,25 12,75 q = 7,50m 2, sendo q a quantia de piso a ser comprado. 102 volume-03l (revisado 7).indd /08/09 21:27:16

103 H16 Resolver problemas que envolvam porcentagem. (GIII) Na cidade de São Paulo há um total de carteiros, sendo que apenas aproximadamente 6% deles são mulheres. Fonte: VEJA. São Paulo: Abril, 7 nov (adaptado). Assinale a alternativa que representa o número de carteiros dessa cidade, por sexo. a. Homens: 6036 Mulheres: 6 b. Homens: 5680 Mulheres: 362 c. Homens: 5316 Mulheres: 720 d. Homens: 4531 Mulheres: 1511 A questão requer o emprego de proporcionalidade e o reconhecimento de seu significado. É preciso obter o número de mulheres que corresponde a 6%. Os procedimentos de cálculo de porcentagem são vários. Em um deles pode-se considerar que como 6 em cada 100 carteiros (6%) são mulheres e se o número total de carteiros é 6042, basta calcular x 6 = 362,52 ou 0,06 x 6042 = 362,52. Fazendo uma aproximação adequada chega-se ao número 362. Então o número de homens será dado por , que corresponde à alternativa B. H17 Resolver problemas que envolvam equações com coeficientes racionais. (GIII) O perímetro de um retângulo é 48 cm. A medida do lado maior é o triplo da medida do lado menor. A área deste retângulo, em cm 2, é igual a a. 24. b. 48. c d Essa questão requer conhecimento sobre perímetro soma das medidas dos lados de um polígono; e sobre a área do retângulo base.x altura. Além disso é preciso ainda ter domínio da escrita algébrica. Lado menor x Lado maior 3x 8ª 2x + 2 3x = 48 8x = 48 x = 6cm 3x = 18cm A = 6 x 18cm A = 108cm volume-03l (revisado 7).indd /08/09 21:27:16

104 H18 Resolver sistemas lineares (métodos da adição e da substituição). (GIII) A soma das idades de Andréa e Rosana é 12. Quando Andréa tiver o dobro da idade que tem hoje, Rosana terá o triplo da idade que tem hoje, e essa soma será igual a 28. Quantos anos têm, respectivamente, Andréa e Rosana hoje? a. 12 e 8. b. 12 e 4. c. 16 e 12. d. 8 e 4. Essa questão requer habilidade em resolver problemas, ou seja, ler e interpretar a questão e saber registrar a ideia para armar a equação ou sistema para a resolução do problema e utilizar a resolução algébrica necessária. Andréa Rosana Soma das idades Hoje x y 12 Futuro 2x 3y 28, resolvendo o sistema, seja por adição ou substituição, encontramos as idades, x = 8 e y = 4. H19 Resolver problemas que envolvam equações do 2º grau. (GIII) A área do quadrado seguinte é 49 cm 2. O valor de X, em cm, é a. 5 b. 6 c. 9 d. 11 X+2 X+2 8ª O aluno deve saber que a área do quadrado é dada pelo quadrado do lado e saber calcular o quadrado de um binômio, seja pela regra de produtos notáveis, seja pelo produto dos binômios, podendo ainda resolver a equação sem resolver o produto notável: A = (x +2) 2 (x + 2) 2 = 49 x + 2 = ± 49 x + 2 = ±7, sabendo que x deve ser maior do que 2 para que a medida do lado seja positiva, considera-se apenas o número positivo 7, assim x + 2 = 7 x = 5cm 104 volume-03l (revisado 7).indd /08/09 21:27:16

105 H20 Resolver problemas que envolvam relações de proporcionalidade direta entre duas grandezas por meio de funções do 1º grau. (GIII) Carla está calculando o custo de uma viagem de carro. Ela sabe que, para andar 120 km, seu carro consome 15 litros de combustível, cujo preço é R$ 2,00 o litro. Para uma viagem de 960 km, Carla gastará, apenas com combustível: a. R$ 120,00. b. R$128,00. c. R$ 220,00. d. R$ 240,00. A questão requer conhecimento de proporcionalidade, que pode ser representada por uma tabela como a seguinte. distância litros 120 km km x Como as grandezas são diretamente proporcionais, temos: ; simplificando 960 por 120 e multiplicado o resultado por 15 temos: x = 120 litros, sendo R$ 2,00 o preço de cada litro temos que Carla gastará R$ 240,00 com combustível. 8ª 105 volume-03l (revisado 7).indd /08/09 21:27:16

106 Competência de Área 2 Compreender as propriedades dos objetos e a sua posição relativa e desenvolver o raciocínio espacial por meio de construções e de formas. Tema 2 Espaço e forma. H21 Reconhecer a semelhança entre figuras planas, a partir da congruência das medidas angulares e da proporcionalidade entre as medidas lineares correspondentes. (GII) As telas dos aparelhos de televisão têm formatos distintos. Um aparelho de televisão do tipo letterbox tem lados da tela na proporção 4:3. Os televisores com telas widescreen têm lados na proporção 16:9. Tela do tipo letterbox Tela do tipo widescreen As telas dos dois aparelhos de televisão do tipo letterbox e widescreens mostrados nas figuras medem a mesma altura h. As larguras de suas telas são, respectivamente, iguais a a. 8ª b. c. d. 106 volume-03l (revisado 7).indd /08/09 21:27:17

107 A questão requer conhecimento de proporcionalidade e aplicação da propriedade fundamental das proporções: o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. Na questão temos: H22 Identificar a localização/movimentação de objeto em mapas, croquis e outras representações gráficas. (GI) O GPS é um sistema que permite, por meio de satélites, obter as coordenadas em latitudes e longitudes de um objeto na face da Terra. Se a leitura do GPS informa que um objeto se encontra na latitude 22,5º e na longitude de 38,7º, então, na figura seguinte (que imita a tela de um radar) o objeto estará em qual quadrante: a. Q1. b. Q11. c. Q9. d. Q4. A questão exige atenção à leitura do GPS, percebendo que a leitura se dá da esquerda para a direita, pois corresponde aos meridianos da Terra, e o Brasil encontra-se à esquerda do meridiano de Greenwich, que é a origem (0º), e de cima para baixo, pois estamos no hemisfério sul, abaixo da linha do Equador, ao contrário dos eixos que estamos acostumados. 8ª 107 volume-03l (revisado 7).indd /08/09 21:27:17

108 H23 Identificar propriedades comuns e diferenças entre figuras bidimensionais e tridimensionais, relacionando-as com as suas planificações. (GI) Uma menina recortou vários triângulos equiláteros iguais em cartolina. Resolveu então construir poliedros com aqueles triângulos, colando-os com fita adesiva uns aos outros. Ela lembrava que havia aprendido na escola que seria possível construir três dos poliedros de Platão com aqueles triângulos. Ela construiu, com 4 triângulos, o tetraedro, e com 20 triângulos, o icosaedro. Mas esqueceu qual era o terceiro poliedro regular convexo que podia construir apenas com triângulos equiláteros. Esse poliedro é o a. pentaedro. b. hexaedro. c. octaedro. d. dodecaedro. A questão requer conhecimento sobre os poliedros de Platão. Só existem 5 tipos de poliedros de Platão, sendo que com faces triangulares são: tetraedro (4 faces); octaedro (8 faces) e icosaedro (20 faces). Portanto, fora os que ela já construiu, resta o octaedro a ser construído com os triângulos que a menina recortou. H24 Identificar propriedades de triângulos pela comparação de medidas de lados e ângulos. (GII) O terreno de um condomínio tem a forma triangular, como indica a planta a seguir. Nos pontos A, B e C serão construídos 3 edifícios e o playground, que deve servir aos 3 prédios, vai ser construído no ponto P. A distância de cada um dos edifícios ao playground deve ser a mesma. Para que isso aconteça o ponto P (que representa o playground) deve estar sobre a. as medianas do triângulo α. b. as mediatrizes dos lados do triângulo. c. as bissetrizes dos ângulos do triângulo. d. as alturas relativas aos lados do triângulo. 8ª A resolução dessa questão requer conhecimento sobre os segmentos notáveis de um triângulo e suas propriedades: mediana segmento que vai do vértice ao ponto médio do lado oposto; o encontro das três medianas de um triângulo é um ponto denominado baricentro, que divide cada mediana em duas partes tais que, a parte que sai do vértice é o dobro da outra; altura segmento que vai do vértice ao lado oposto e é perpendicular a ele; o encontro das três alturas é denominado ortocentro; bissetriz interna segmento que vai do vértice ao lado oposto e divide o ângulo interno ao meio; o encontro das três bissetrizes é denominado incentro, ponto este que está à mesma distância dos lados do triângulo. 108 volume-03l (revisado 7).indd /08/09 21:27:17

109 H25 Reconhecer a conservação ou modificação de medidas dos lados, do perímetro, da área em ampliação e/ou redução de figuras poligonais usando malhas quadriculadas. (GII) Na figura a seguir, a figura B é uma ampliação da figura A. Para esta transformação podemos afirmar que A B a. o perímetro de B se manteve o mesmo de A, e os ângulos internos corres- pondentes dobraram de valor. b. o perímetro de B passou a ser o triplo do perímetro de A, e os ângulos inter- nos correspondentes não se alteraram. c. o perímetro de B passou a ser o dobro do perímetro de A, e os ângulos internos correspondentes não se alteraram. d. o perímetro de B passou a ser o dobro do perímetro de A, e os ângulos internos correspondentes também dobraram de valor. O problema requer conhecimento de semelhança. Dois polígonos são semelhantes quando seus ângulos são respectivamente congruentes e seus lados são respectivamente proporcionais. Pela malha da figura percebe-se que a altura do paralelogramo maior é o dobro do menor e como em todo polígono semelhante todos os seus segmentos correspondentes são proporcionais, então o perímetro do maior também é o dobro do perímetro do menor. 8ª 109 volume-03l (revisado 7).indd /08/09 21:27:17

110 H26 Reconhecer ângulos como mudança de direção ou giros, identificando ângulos retos e não-retos. (GII) Se girarmos o ponteiro do marcador abaixo em 120º no sentido horário, sobre qual quadrante ele ficará? a. Q1 b. Q2 c. Q3 d. Q4 A questão exige que o aluno identifique na figura que o ponteiro e a linha indicativa do diâmetro do círculo formam um ângulo de 90 e que se o ponteiro girar até ficar na posição oposta ele terá descrito um ângulo de 180 o que, considerando o movimento em sentido horário, leva à conclusão de que girar 120 significa que o ponteiro estará no quadrante Q2, alternativa B. 8ª 110 volume-03l (revisado 7).indd /08/09 21:27:17

111 H27 Reconhecer círculo/circunferência, seus elementos e algumas de suas relações. (GII) No jardim da cidadezinha que Ana, Bia e Cris moram há um canteiro em forma de um círculo de dois metros de raio, com pequenos caminhos que se encontram no centro, onde há um relógio de sol, conforme representado na figura. As três meninas estão posicionadas como mostra a figura. A que distância as três estão do relógio de sol? a. Ana a 1 m, Bia a 2 m e Cris a 3 m do relógio de sol. b. Ana a 1 m, Bia e Cris a 2 m do relógio de sol. c. Ana, Bia e Cris estão a 2 m do relógio de sol. d. Ana, Bia e Cris estão a 1 m do relógio de sol. O aluno precisa ter conhecimento sobre a definição de uma circunferência: linha fechada cujos pontos estão à mesma distância de um ponto chamado centro. Quando se considera também os pontos internos dessa circunferência, tem-se um círculo. Se as meninas estão sobre a circunferência e o relógio está no centro dela, todas estão distantes exatamente 2 metros, que é o raio dessa circunferência. 8ª 111 volume-03l (revisado 7).indd /08/09 21:27:17

112 H28 Usar o plano cartesiano para representação de pares ordenados; coordenadas cartesianas e equações lineares. (GI) A linha representada no sistema de eixos abaixo descreve a rota de um avião no radar. Como o avião voa em linha reta (entre as longitudes 0º e 60º), a cada grau de longitude é possível se prever a latitude em que o avião estará. Se chamarmos de x a longitude e de y a latitude, a equação que descreve a rota do avião no radar é dada por: a. y = 2x + 10 b. y = x 20 c. y = 2x 20 d. y = 2x + 20 É necessário que os alunos tenham conhecimentos sobre função do primeiro grau e de como definir a lei dessa função. Do gráfico temos como tomar dois pares ordenados (10,0) e (20,20), sabendo que o primeiro elemento do par ordenado se refere a x e o segundo a y, e que a equação de uma função do primeiro grau é da forma y=ax+b, montamos o sistema de equações:, resolvendo esse sistema por adição ou subtração encontramos a = 2 e b = 20. Portanto, montando a equação, encontramos y = 2x 20. H29 Resolver problemas que utilizam propriedades dos polígonos (soma de seus ângulos internos, número de diagonais, cálculo da medida de cada ângulo interno nos polígonos regulares). (GIII) A seguir está representada uma parte de um polígono regular, com o valor de um de seus ângulos notáveis. 8ª Apenas com essa informação é possível concluir que o polígono é um a. octógono (8 lados). b. eneágono (9 lados). c. decágono (10 lados). d. dodecágono (12 lados). 112 volume-03l (revisado 7).indd /08/09 21:27:18

113 A questão requer conhecimento sobre ângulo central de um polígono regular, sobre a medida da soma dos ângulos internos de um triângulo e a medida de um ângulo de volta inteira. Sabendo que um polígono regular é composto por triângulos isósceles congruentes, basta saber a medida do ângulo central c e saber em quantas partes esse ângulo divide o ângulo de 360º. 72º + 72º + c = 180º c = 36º, como 36 é a décima parte de 360, então o polígono tem 10 lados. H30 Resolver problemas em diferentes contextos, que envolvam triângulos semelhantes. (GIII) Para as comemorações de aniversário de uma cidade, foi construído um grande painel de forma triangular na fachada de um edifício, sendo AB paralelo a CD. Dados: VA = 10 m; AC =5 m e CD =18 m. Portanto, AB mede: a. 9 m. b. 12 m. c. 15 m d. 16 m Esse exercício requer conhecimento sobre triângulos semelhantes: dois triângulos são semelhantes quando têm dois ângulos congruentes. Se dois triângulos são semelhantes seus lados e todos os seus segmentos correspondentes são proporcionais. Para resolver essa questão, primeiro verificamos que os triângulos VAB e VCD são semelhantes pois têm o ângulo V em comum, e sendo os segmetos AB e CD paralelos, os ângulos das bases são congruentes, logo os triângulos são semelhantes. Portando podemos escrever a proporcionalidade dos lados: x = 12. 8ª 113 volume-03l (revisado 7).indd /08/09 21:27:18

114 Competência de Área 3 Construir e ampliar noções de variação de grandeza para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano. Compreender e fazer uso das medidas, ou de sistemas convencionais, para o cálculo de perímetros, áreas, volumes e relações entre as diferentes unidades de medida. Tema 3 Grandezas e medidas (Tales, Pitágoras/Áreas, volumes, proporcionalidade/semelhança/trigonometria, corpos redondos). H31 Calcular áreas de polígonos de diferentes tipos, com destaque para os polígonos regulares. (GII) Mercedes decidiu colocar um toldo em seu quintal, cobrindo uma área quadrada com 2m de lado. Quando foi comprar o toldo, gostou muito de um que tinha um formato hexagonal com 1 m de lado, mas, apesar da diferença, achou que com ele conseguiria cobrir a região quadrada. Ao chegar a casa, porém, viu que não era bem assim... Qual a diferença aproximada entre a área que Mercedes queria cobrir e a área que o hexágono cobriu? 2 a. 1,4 m 2 b. 2,6 m 2 c. 4 m 2 d. 5,4 m O quintal que Mercedes precisa cobrir tem a área de um quadrado de 2m de lado, portanto 4 m², pois A 4 = l 2, e o toldo que ela comprou tem área igual a, pois a área do hexágono pode ser calculada como seis vezes a área do triângulo equilátero de mesmo lado, aproximadamente 1,4 m²., então a diferença é de H32 Calcular o volume de prismas em diferentes contextos. (GII) 8ª Carrego todos os dias em minha mochila o livro de Português e o de Matemática. Cada um deles tem 27 cm de altura e 20 cm de comprimento, mas o de Português tem 3 cm de largura, enquanto o de Matemática só tem 2 cm. O volume que esses dois livros ocupam da minha mochila é a cm³. b cm³. c cm³. d cm³. 114 volume-03l (revisado 7).indd /08/09 21:27:18

115 O volume de um paralelepípedo é dado pela fórmula V = a x b x c, onde a representa sua altura, b sua largura e c seu comprimento, portanto V p = 20 x 27 x 3 V p = 1620cm 3 ; V m = 20 x 27 x 2 V m = 1080cm 3, assim sendo o volume que esses cadernos ocupam na mochila é de V = 2700cm 3. H33 Utilizar a razão pi no cálculo do perímetro e da área da circunferência. (GII) Considere uma bicicleta cujo diâmetro total das rodas, incluindo os pneus, é de 64 cm. Assinale a alternativa que mostra corretamente a quantidade aproximada de metros que a bicicleta percorre a cada volta completa de suas rodas. a. 1. b. 1,5. c. 2. d. 2,5. Sabendo-se que o comprimento da circunferência é dado por C = π x d, considerando π 3,1 e sendo d o diâmetro da roda, e que a cada volta completa de suas rodas a bicicleta percorre exatamente esse comprimento, temos C = 64 x 3,1 C 198,4cm; sendo 1 metro igual a 100 centímetros então C 2m H34 Calcular a área e o volume de um cilindro. (GII) Para ligar dois bairros de uma cidade foi construído um túnel com 25 metros de comprimento e 6 metros de largura. Considere π = 3. O volume aproximado de terra que foi retirado para ser aberto o túnel é, em metros cúbicos, igual a a. 212,5. b c. 337,5. d Um túnel tem o formato aproximado de uma metade de um cilindro, sendo a sua largura o diâmetro da base e seu comprimento a altura do cilindro. Conhecendo-se a fórmula do volume do cilindro temos 8ª 115 volume-03l (revisado 7).indd /08/09 21:27:18

116 H35 Aplicar o Teorema de Tales como uma forma de ocorrência da ideia de proporcionalidade, em diferentes contextos. (GIII) 1 a prateleira 2 a prateleira 3 a prateleira Cristina vai fazer um armário para guardar os produtos de limpeza e utensílios domésticos. Percebeu que para ocupar melhor o espaço deve organizar as prateleiras internas em três alturas diferentes: a segunda prateleira terá o dobro da altura da primeira e, a terceira, o triplo da altura da primeira. A altura total do armário é 1,80 m. Pode-se afirmar que as alturas da primeira, segunda e terceira prateleiras são, nesta ordem e, em cm, iguais a a. 30, 60 e 90. b. 20, 70, e 90. c. 40, 80 e 120. d. 35, 70 e 75. O aluno deve perceber que a única prateleira da qual não se tem informação é a primeira, portanto sua altura será indicada por x. A partir dessa ideia basta escrever em função da primeira o valor das outras duas: a segunda terá o dobro da altura da primeira, ou seja, 2x; a terceira terá o triplo da altura da primeira, 3x. Sabendo-se que a altura total do armário é de 180 centímetros, temos x + 2x +3x = 180 x = 30cm. H36 Resolver problemas em diferentes contextos, que envolvam as relações métricas dos triângulos retângulos. (Teorema de Pitágoras). (GIII) Observe o triângulo retângulo representado a seguir, em que as medidas de alguns de seus elementos são conhecidas. O valor de x é a. 10. b. 8. c. 6. d. 4. 8ª Essa questão requer conhecimento de relações métricas no triângulo retângulo. Identificando x como a altura relativa à hipotenusa e 4 e 16 como as projeções dos catetos sobre a hipotenusa temos altura 2 = projeção x projeção x 2 = 4 x 16 x = volume-03l (revisado 7).indd /08/09 21:27:18

117 H37 Resolver problemas em diferentes contextos, a partir da aplicação das razões trigonométricas dos ângulos agudos. (GIII) Um bombeiro sobe uma escada de 15 m de comprimento, que forma uma ângulo de 60 com o solo. Usando 0,87 como valor aproximado de sen60, assinale a alternativa que mostra a altura aproximada que o bombeiro está do solo, quando chega ao topo da escada. a. 10,23 m. b. 12,14 m. c. 13,05 m. d. 14,55 m. A questão requer conhecimento de razões trigonométricas e suas aplicações. Identificando a escada como a hipotenusa do triângulo retângulo e a altura como o cateto oposto ao ângulo dado, temos H38 Resolver problemas que envolvam o cálculo de perímetro de figuras planas. (GIII) As rodas de uma bicicleta têm 70 cm de diâmetro. Assinale a alternativa que mostra a distância, em metros, percorrida pela bicicleta após 100 voltas das rodas. (Considere π 3,14) a. 109,9. b. 219,8. c. 3846,5. d Lembrando que a distância percorrida pela bicicleta é 100 vezes o comprimento da circunferência de suas rodas, temos C = π x d C = 3,14 x 0,70 C = 2,198m, portanto d = 219,8m 8ª 117 volume-03l (revisado 7).indd /08/09 21:27:18

118 H39 Resolver problemas que envolvam o cálculo de área de figuras planas. (GIII) A figura a seguir é composta de triângulos equiláteros de lado l = 3cm. Se adotarmos que estes triângulos têm altura aproximada de 2,6cm, a área total da figura será de aproximadamente a. 14,4 cm 2. b. 15,6 cm 2. c. 16,5 cm 2. d. 17,2 cm 2. A figura é composta de 4 triângulos congruentes, sabendo que, temos que H40 Resolver problemas que envolvam noções de volume. (GIII) Na confecção de uma peça de base quadrada, como a indicada a seguir, o volume aproximado de acrílico necessário é (considere π = 3,14) a cm³. b cm³. c cm³. d cm³. A questão requer conhecimento da fórmula do volume do prisma retangular e do volume do cilindro. Sabendo que a fórmula do volume do prisma é V p = A b x h e sendo a base do prisma um quadrado, temos V p = 10 2 x 25 V p = 2500cm 3. Sendo a fórmula do volume do cilindro V c = π x r 2 x h, temos V c = 3,14 x 4 2 x 25 Vc = 1256cm 3. O volume aproximado de acrílico necessário será a diferença entre os dois volumes, sendo que o cilindro é oco, portanto temos: V a = V a = 1244cm 3. 8ª 118 volume-03l (revisado 7).indd /08/09 21:27:19

119 H41 Resolver problemas que utilizam relações entre diferentes unidades de medida. (GIII) Maurren Maggi, natural de São Carlos, no interior de São Paulo, ganhou a medalha de ouro no salto em distância na Olimpíada de Pequim, saltando 7,04 metros. Um fusca tem uma largura de 1,54 metros e considere que alguns fuscas são colocados lado a lado, com uma distância de aproximadamente 30 cm entre eles. O número de fuscas necessários para conseguir uma distância equivalente ao salto da brasileira é a. 2. b. 3. c. 4. d. 5. A leitura do problema nos indica que o que precisamos encontrar é o número de fuscas que deverão ser colocados lado a lado, e vamos chamar essa quantidade de x. Se entre esses carros será deixada uma distância de 30 cm, teremos (x 1) vezes esse espaço, portanto nossa equação ficará: 1,54 x + 0,30 (x 1) = 7,04 1,84x = 7,34 x 4. 8ª 119 volume-03l (revisado 7).indd /08/09 21:27:19

120 Competência de Área 4 Ler, construir e interpretar informações de variáveis expressas em gráficos e tabelas. Fazer uso das ferramentas estatísticas para descrever e analisar dados, realizar inferências e fazer predições. Compreender o caráter aleatório e não-determinístico dos fenômenos naturais e sociais e utilizar os conceitos e algoritmos adequados para medidas e cálculos de probabilidade. Tema 4 Tratamento da informação. H42 Resolver problemas que envolvam informações apresentadas em tabelas e/ou gráficos. (GIII) O gráfico mostra a contagem da população do Brasil obtida pelos censos e estimativas realizados pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE). Ao se analisar este gráfico, pode-se afirmar que o primeiro ano em que se verificou que a população brasileira ultrapassou a marca de 100 milhões de habitantes foi o de a b c d A questão requer atenção e correta interpretação do texto e do gráfico. Em 1970 a população era de 93,1 bilhões de habitantes, já na década seguinte esse número pulou para 119,0 bilhões, portanto sendo o ano em que a população ultrapassou o limite dos 100 bilhões de habitantes. 8ª 120 volume-03l (revisado 7).indd /08/09 21:27:19

121 H43 Associar informações apresentadas em listas e/ou tabelas simples aos gráficos que as representam, e vice-versa. (GII) A população de uma pequena cidade do interior de Minas Gerais variou entre 1987 e 1996 segundo o gráfico a seguir. A população dessa cidade era de habitantes: a. Entre 1987 e b. Entre 1990 e c. Entre 1993 e d. Após A questão requer atenção na visualização do gráfico. Traçando uma linha paralela ao eixo horizontal por um ponto próximo ao valor de no eixo P até encontrar o gráfico e pelo ponto de encontro dessa linha com o gráfico traçarmos uma linha perpendicular ao eixo t, encontramos um valor entre 1993 e 1996, conforme indicado na figura a seguir. 8ª 121 volume-03l (revisado 7).indd /08/09 21:27:19

122 H44 Resolver problemas que envolvam processos de contagem; princípio multiplicativo. GIII) O pátio da escola de Pedro foi enfeitado com bandeirolas coloridas para a festa junina. O professor de matemática, encarregado dessa tarefa, resolveu propor aos alunos as seguintes condições para a confecção das bandeirolas: 1. Devem ser formadas por três faixas, como o modelo seguinte. 2. Para as faixas 1 e 3 devem ser usadas as cores Verde, Amarelo, Vermelho, ou Azul. 3. Para a faixa 2 podem-se usar apenas as cores Amarelo ou Vermelho. 4. Todas as bandeirolas deverão ter 3 cores distintas. Antes de iniciar o trabalho, o professor propôs que os alunos descobrissem o número de bandeirolas diferentes que poderiam ser obtidas com essas condições. A turma, que resolveu corretamente o problema, descobriu que esse número é a. 10. b. 12. c. 16. d. 20. O aluno poderia numerar as cores por: Amarelo (1); vermelho (2); azul (3); verde (4) e armar todas as possibilidades como no esquema a seguir. O esquema possibilita que se determine as 12 bandeiras com três cores distintas. 8ª 122 volume-03l (revisado 7).indd /08/09 21:27:19

123 H45 Resolver problemas que envolvam ideias básicas de probabilidade. (GIII) As cinco cartelas numeradas representadas a seguir foram colocadas numa caixa. Se forem retiradas duas cartelas da caixa, simultaneamente e ao acaso, a probabilidade de que a soma dos valores das cartelas retiradas seja 5 ou 6 é a. b. c. d. Há 10 possibilidades de formarmos pares diferentes entre as 5 cartelas na caixa. Dentre esses pares apenas 4 têm por soma 5 ou 6. Portanto 4 entre 10 pares somam 5 ou 6, ou seja 8ª 123 volume-03l (revisado 7).indd /08/09 21:27:19

124 volume-03l (revisado 7).indd /08/09 21:27:19

125 6. Exemplos de Itens Comentados por Habilidade 4ª Ensino Fundamental 6ª Ensino Fundamental 8ª Ensino Fundamental 3ª Ensino Médio volume-03l (revisado 7).indd /08/09 21:27:19

126 Competência de Área 1 Desenvolver o raciocínio quantitativo e o pensamento funcional, isto é, o pensamento em termos de relações e a variedade de suas representações, incluindo as simbólicas, as algébricas, as gráficas, as tabulares e as geométricas. Aplicar expressões analíticas para modelar e resolver problemas. Tema 1 Números, operações, funções. H01 Expressar matematicamente padrões e regularidades em sequências numéricas ou de imagens. (GIII) Na figura um quadrado foi dividido ao meio, pela diagonal. Depois, a metade superior foi divida ao meio, e assim sucessivamente. Imagine que seja sempre possível continuar dividindo a figura. Pode-se afirmar que na décima segunda partição da figura encontra-se a representação do número a. b. c. d. O conhecimento requerido nessa questão é a relação existente de cada partição com um número racional. Além desse conhecimento deve-se fazer o tratamento do número para compreensão de como, de como, e assim por diante. Feito o tratamento dos números se evidenciará que a primeira partição se relaciona a, a segunda a, a terceira a,..., a décima segunda a (alternativa B). 3ª E.M. Vale ressaltar que o tratamento do número racional é decisivo para a observação dessa regularidade. 126 volume-03l (revisado 7).indd /08/09 21:27:20

127 H02 Resolver problemas que envolvam Progressões Aritméticas. (GIII) Para participar de uma maratona um atleta inicia um treinamento mensal, em que corre todo dia e sempre 2 minutos a mais do que correu no dia anterior. Se no 6º dia este atleta correu durante 15 minutos, pode-se afirmar que no 28º dia ele correrá durante a. 30 minutos. b. 45 minutos. c. 59 minutos. d. 61 minutos. A ideia requerida para essa questão é de Progressão Aritmética podendo ou não utilizar a fórmula a n = a 1 + (n 1) r, pois não é dada pelo enunciado. Inicialmente deve-se determinar o primeiro termo utilizando as informações do 6º dia e a razão r que equivale a 2 (a 6 = a 1 + (6 1) 2 a 1 = 5). Posteriormente determina-se o vigésimo oitavo termo (a 28 = 5 + (28 1) 2 a 28 = 59). Essa questão também pode ser resolvida utilizando a contagem, pois a partir do 6º dia faltam 22 dias para se chegar ao 28º dia. Como o atleta corre 2 minutos a mais por dia, basta somar os 44 minutos desses 22 dias mais os 15 minutos dos 6 primeiros dias, totalizando os 59 minutos. O conhecimento da fórmula não garante o êxito da questão, por isso a explicitação dela no enunciado seria favorável nessa questão. H03 Resolver problemas que envolvam Progressões Geométricas. (GIII) O proprietário de uma loja de celulares projetou a evolução das suas vendas imaginando que elas cresceriam mensalmente segundo uma progressão geométrica de razão 3. Se no 1o mês ele vendeu 185 celulares pode-se concluir que ele terá vendido celulares no a. 2º mês. b. 3º mês. c. 5º mês. Use: a n = a 1 q n-1 d. 6º mês. A ideia requerida para essa questão é de Progressão Geométrica. No entanto é necessária a resolução de uma equação exponencial para determinar o resultado. Como o primeiro termo é dado (a 1 = 185), a resolução se resume ao cálculo: = 185,3 n 1 81 = 3 n = 3 n 1 4 = n 1 n = 5 Deve-se tomar cuidado na contextualização de problemas usando fórmulas, pois como não foi dada nenhuma restrição no enunciado, em dois anos esse vendedor teria vendido, segundo a fórmula, quase 6 trilhões de celulares. 3ª E.M. 127 volume-03l (revisado 7).indd /08/09 21:27:20

128 H04 Representar, por meio de funções, relações de proporcionalidade direta, inversa e direta com o quadrado. (GIII) Uma função do tipo y=kx, com k R + pode representar a relação entre duas grandezas, em que I. x representa o número de pães a ser comprado e y o valor a ser pago; II. x representa o número de minutos em que uma torneira permanece aberta e y o número de litros de água consumidos; III. x representa a medida do lado de um terreno quadrangular e y a medida de sua área. Está correto apenas o que se afirma em a. I. b. I e II. c. I e III. d. II e III. O conhecimento requerido nessa questão é de uma relação de proporcionalidade direta. Como k é positivo, temos uma função linear crescente, logo se x aumenta, y também aumenta proporcionalmente, sendo a constante k a razão dessa proporcionalidade. Nessas condições a primeira afirmativa é satisfeita, pois k será o valor unitário dos pães. A segunda afirmação também é satisfeita, sendo k a constante que expressa a quantidade de litros de água escoada pela torneira em um minuto. Já a terceira afirmação não é verdadeira, pois não existe uma proporcionalidade linear. Vale ressaltar que a segunda afirmação é mais complexa que a primeira, devido à compreensão da constante k. H05 Descrever as características fundamentais da função do 1o grau, relativas ao gráfico, crescimento/decrescimento, taxa de variação. (GI) Considere a representação gráfica da função f(x). Em relação a f(x), pode-se afirmar que a. os seus coeficiente linear e angular são ambos positivos. b. o seu coeficiente linear é positivo e o seu coeficiente angular é negativo. c. o seu coeficiente linear é negativo e o seu coeficiente angular é positivo. d. os seus coeficientes linear e angular são ambos negativos. 3ª E.M. 128 volume-03l (revisado 7).indd /08/09 21:27:20

129 A ideia principal dessa questão está em focar os coeficientes angular e linear de uma equação do 1º grau. O conhecimento necessário para a resolução é o fato de que se a reta expressa uma função decrescente, seu coeficiente angular é negativo, e se ela intercepta o eixo das ordenadas num valor positivo, seu coeficiente linear é positivo. Atividades como essa são pouco exploradas nos livros didáticos, principalmente por não apresentarem números, deixando a cargo dos alunos essa conclusão. H06 Descrever as características fundamentais da função do 2º grau, relativas ao gráfico, crescimento, decrescimento, valores máximo ou mínimo. (GI) Observe a representação gráfica da função f(x). Em relação a f(x), pode-se afirmar que a. o seu valor é negativo para todo x [, 3]. b. as duas raízes não são números reais. c. o seu valor mínimo é positivo. d. o seu valor é negativo para todo x ] 3,2[ Essa questão evoca o conhecimento de funções, raízes, números reais, máximos e mínimos. Pelo gráfico, a função apresentada sugere uma função do 2o grau com raízes 2 e -3. Como 2 e -3 são as raízes, o valor da função nesses pontos é nulo, não podendo ser considerados negativos; assim, o intervalo a ser considerado é aberto ] 3,2[, o que corresponde à alternativa D. 3ª E.M. 129 volume-03l (revisado 7).indd /08/09 21:27:20

130 H07 Resolver problemas que envolvam equações do 1º grau. (GIII) Se hoje a soma da idade de Thiago com a sua metade e o seu triplo corresponde a noventa e nove anos, então sua idade atual é a. 28 anos aproximadamente. b. 16 anos e meio. c. 22 anos. d. 54 anos. O conhecimento requerido nessa questão é escrever o problema em linguagem matemática e resolver uma equação do 1º grau. Essa transcrição se dá pela equação. Pesquisas apontam que a maior dificuldade dos alunos está na transcrição do problema da língua natural para a linguagem matemática. Porém o problema apresenta uma fração que também acarreta uma dificuldade para resolução de equações. Em sala de aula, em exercícios assim, é importante observar se o erro acontece na montagem da equação ou na resolução da equação para que as intervenções do professor sejam mais eficazes. H08 Resolver problemas que envolvam equações do 2o grau. (GIII) O dono de um cinema constatou que, aos domingos, quando o preço do ingresso é x reais, ele consegue vender (300 10x) ingressos por sessão. Se o total arrecadado em uma sessão de domingo nesse cinema fosse R$ 2.210,00, pode-se concluir que o preço cobrado pelo ingresso nesse dia, em reais, pode ter sido a. 14 ou 16. b. 13 ou 17. c. 12 ou 18. d. 11 ou 19. O conhecimento requerido nessa questão é escrever o problema em linguagem matemática e resolver uma equação do 2º grau. Essa transcrição se dá pela equação (300 10x) x = Do mesmo modo, existe a dificuldade de escrever o problema em linguagem matemática e a resolução da equação do 2º grau com valores altos. Assim, é importante que os professores abordem em sala de aula situações em que se tenha de resolver equações envolvendo números mais altos e também com coeficientes fracionários ou decimais. 3ª E.M. 130 volume-03l (revisado 7).indd /08/09 21:27:20

131 H09 Identificar os gráficos de funções de 1º e de 2º graus, conhecidos os seus coeficientes. (GI) Uma função de 2º grau é expressa genericamente por f(x) = ax 2 + bx + c, onde a, b e c são coeficientes reais, com a 0. Se uma função do 2º grau tem o coeficiente a negativo, b negativo e c nulo, então, o gráfico que melhor a representa é o da alternativa a. b. c. d. A ideia principal dessa questão é focar os coeficientes de uma função do 2º grau. O conhecimento necessário para resolução é saber que se o coeficiente a for negativo, resulta em uma parábola de concavidade para baixo, se o coeficiente c for nulo resulta numa raiz igual a zero, sendo suficiente para se determinar a alternativa C. Vale ressaltar que essa questão apresenta uma característica estrutural e que os livros costumam não apresentar problemas com esse enfoque. Para a resolução desse problema não é necessário analisar o sinal do coeficiente b, pois não há uma alternativa com uma parábola com concavidade para baixo, raiz nula e a outra positiva. A falta dessa alternativa é coerente pois demandaria um conhecimento muito abstrato para determinar que a raiz diferente de zero teria um sinal negativo. H10 Reconhecer a função exponencial e suas propriedades relativas ao crescimento ou decrescimento. (GI) Dadas as funções f: R R e g: R R, tais que e ; podemos afirmar que a. f é crescente e g é decrescente. b. f é decrescente e g é crescente. c. g é crescente e f é crescente. d. g é decrescente e f é decrescente. O conhecimento requerido nessa questão é determinar o crescimento e decrescimento de uma função exponencial pela observação da base. Uma função exponencial será crescente quando sua base for maior que 1 e será decrescente se sua base estiver entre 0 e 1. Desse modo, a alternativa A é a correta. 3ª E.M. 131 volume-03l (revisado 7).indd /08/09 21:27:20

132 H11 Aplicar o significado de logaritmos para a representação de números muito grandes ou muito pequenos, em diferentes contextos. (GIII) O ph de uma solução é um número que mede o seu nível de acidez, numa escala que vai de 0 a 14. O ph é calculado a partir da concentração C de íons H+ nessa solução, medida em mols por litro, por meio da relação: ph = log 10 C. Considere na tabela as informações sobre duas soluções I e II. Solução ph Concentração de íons H+ (mols/litro) I 4 X II 7 Y Nessas condições, é correto concluir que a. X = 1000Y. b. Y = 1000X. c. X = 2Y. d. Y = 2X. Os conhecimentos requeridos nessa questão são das propriedades das potencias e do logaritmo. Pela aplicação da definição do logaritmo no enunciado temos que C = 10 PH. Nas soluções I e II temos que X = 10 4 e Y = 10 7 = = 10 3 x, logo X=1000Y. Questões como essa exigem bom conhecimento da definição de logaritmos e boa manipulação de expressões algébricas. H12 Resolver equações e inequações simples, usando propriedades de potências e logaritmos. (GII) Para finalizar um problema um aluno deve resolver a equação 3 x =2. Como dispõe de uma calculadora será possível encontrar o valor de x se utilizar a tecla log x para calcular o valor de log 2 e log 3 e efetuar as seguintes operações, nas respectivas ordens: a. Subtrair o valor de log 3 do valor de log 2. b. Multiplicar o valor de log 2 com o valor de log 3. c. Dividir o valor de log 2 pelo valor de log 3. d. Dividir o valor de log 3 pelo valor de log 2. 3ª E.M. Os conhecimentos requeridos nessa questão são a definição e mudança de base do logaritmo. Pela aplicação da definição do logaritmo na expressão 3 x = 2 temos log 3 2 = x. Já pela propriedade de mudança de base temos que. Essa questão destaca que a calculadora nem sempre é eficiente sem alguns conhecimentos básicos de matemática. 132 volume-03l (revisado 7).indd /08/09 21:27:20

133 H13 Resolver equações trigonométricas simples, compreendendo o significado das condições dadas e dos resultados obtidos. (GII) No triângulo retângulo ABC da figura, α é a medida, em graus, do ângulo ĉ. Se o lado AB mede a. α = 90º. b. α =60º. c. α =40º. d. α =30º. e o lado BC mede sen α, então: O conhecimento da relação seno e de valores do seno para ângulos mais usuais em problemas desse tipo são necessários para resolução dessa questão. Aplicando a relação temos que, logo α=60º. Nessa questão o uso do lado BC como a relação sen α pode propiciar uma confusão pois estamos calculando uma relação em que um dos lados é a própria relação. No entanto é uma boa oportunidade para reforçar junto aos alunos que sen α é um número. H14 Resolver situações-problema por intermédio de sistemas lineares até a 3ª ordem. (GIII) Um clube promoveu um show de música popular brasileira ao qual compareceram 200 pessoas, entre sócios e não-sócios. No total, o valor arrecadado foi de R$ 1.400,00, e todas as pessoas pagaram ingresso. O preço do ingresso era R$ 10,00 e cada sócio pagou metade desse valor. Pode-se afirmar que o número de sócios presentes ao show foi a b c d Essa questão leva à necessidade de compor um sistema de equações para resolvê-la. Se S são os sócios e N os não-sócios teremos S + N = 200 e 5 S + 10 N = Ao resolvermos o sistema obtemos S = 120, que corresponde à alternativa B. 3ª E.M. 133 volume-03l (revisado 7).indd /08/09 21:27:21

134 H15 Aplicar as relações entre coeficientes e raízes de uma equação algébrica na resolução de problemas. (GIII) Uma equação do 3º grau tem como raízes os números 2, 3 e -1. Uma expressão possível para esta equação é a. (x+2)(x-3)(x-1)=0. b. (x-2)(x-3)(x+1)=0. c. (x-2)(x+3)(x-1)=0. d. (x+2)(x+3)(x+1)=0. O conhecimento necessário para a resolução é o de reconhecer que equações podem ser escritas em sua forma fatorada quando se conhece suas raízes. Assim, segundo a expressão: a(x x 1 ) (x x 2 ) (x x 3 ) = 0, sendo x 1, x 2, x 3 raízes da equação, tem-se (x 2) (x -3) (x + 1) = 0, alternativa B. H16 Identificar os resultados de operações entre números complexos representados no plano de Argand-Gauss. (GI) Dados os números complexos: z 1 = 3 e z 2 = 2+3i o número z 1 + z 2 pode ser representado no plano de Argand-Gauss pelo vetor representado em a. b. c. d. O conhecimento requerido nessa questão é o de soma de números complexos e sua representação gráfica. Como z 1 + z 2 = 5 + 3i o afixo desse número complexo é o par (5,3), indicado na alternativa A. H17 Identificar a localização de números reais na reta numérica. (GI) 3ª E.M. Assinale a única alternativa correta para a dízima periódica a=0, a. a>1. b. a<1. c. a=1. d. a<0, volume-03l (revisado 7).indd /08/09 21:27:21

135 O conhecimento requerido nessa questão é o de obtenção da fração geratriz de uma dízima periódica. O número 0, pode ser interpretado como, alternativa C. Competência de Área 2 Compreender as propriedades dos objetos e a sua posição relativa e desenvolver o raciocínio espacial por meio de construções e de formas. Tema 2 Espaço e forma. H18 Aplicar as propriedades fundamentais dos polígonos regulares em problemas de pavimentação de superfícies. (GIII) O retângulo ABCD da figura a seguir foi obtido a partir de um mosaico de hexágonos regulares, de modo que os pontos A, B, C e D correspondem aos centros dos hexágonos em cujo interior se encontram. Assim, admitindo que o retângulo seja pavimentado com partes de hexágonos recortados, sem perdas, o menor número de hexágonos que possibilita essa pavimentação é a. 4 b. 6 c. 8 d. 10 O conhecimento requerido nessa questão está na composição e decomposição dos hexágonos. Podese observar que existem 4 hexágonos inteiros, 4 partes de meio hexágono e 4 partes de um quarto de hexágono, totalizando = 6, alternativa B. 3ª E.M. 135 volume-03l (revisado 7).indd /08/09 21:27:21

136 H19 Caracterizar polígonos regulares inscritos e circunscritos em circunferências. (GII) No quadrilátero inscrito CAFE, o ângulo CÂF mede 50º. O valor do ângulo FÊC é a. FÊC=50º. b. FÊC=130º. c. FÊC=40º. d. Não dá para calcular. O conhecimento requerido nessa questão é o de que num quadrilátero inscrito numa circunferência seus ângulos opostos são suplementares, isto é, somam 180º. Como o ângulo CÂF é dado, e mede 50º, seu suplementar é 130º. Portanto alternativa B. H20 Representar pontos, figuras, relações e equações em sistemas de coordenadas cartesianas. (GI) Os pontos a (3;-2), b(4;2), c(3;6) e d(2;2) são vértices de um a. quadrado. b. retângulo. c. trapézio. d. losango. O conhecimento requerido nessa questão é o de representar pontos no plano cartesiano e sobre as propriedades dos quadriláteros. Ao se representar os pontos do enunciado observa-se que forma um quadrilátero com 4 lados de mesma medida e ângulos internos diferentes de 90º. Nessas condições o losango é a figura representada. 3ª E.M. 136 volume-03l (revisado 7).indd /08/09 21:27:21

137 H21 Reconhecer a equação da reta e o significado de seus coeficientes. (GI) Observe a reta r representada no gráfico cartesiano. A equação da reta r representada no gráfico é a. b. c. d. O conhecimento requerido nessa questão é o de interpretação das informações da representação gráfica de uma reta. A leitura do coeficiente angular da reta na representação gráfica pode ser obtida pela relação observada nos eixos x e y como.o coeficiente linear é o valor em que a reta intercepta o eixo y, logo b = 2. Pela equação reduzida da reta. Alternativa D. ax x + b obtemos 3ª E.M. 137 volume-03l (revisado 7).indd /08/09 21:27:22

138 H22 Representar graficamente inequações lineares por regiões do plano. (GI) Qual das alternativas apresenta a inequação cuja representação gráfica está abaixo? a. y x b. y x c. y x + 1 d. y x + 1 O conhecimento requerido nessa questão é a conversão da representação gráfica para a representação simbólica da solução de uma inequação. A solução de uma inequação do 1º grau consiste em determinar um conjunto finito ou infinito de pontos que satisfazem uma desigualdade. Sua representação costuma ser simbólica ou gráfica. Nessa questão o conjunto infinito de pontos estaria localizado abaixo da reta que divide o plano em duas partes. Como a reta é representada pela equação y = x + 1, a solução será y x + 1, alternativa C. H23 Identificar as equações da circunferência e das cônicas na forma reduzida, com centro na origem. (GI) Qual das representações da circunferência corresponde à equação x 2 + y 2 = 9 a. b. c. d. 3ª E.M. O conhecimento requerido nessa questão é o de que uma circunferência de centro na origem possui como equação reduzida a equação x 2 + y 2 = r². Pela observação do enunciado, determina-se que o gráfico seria o de uma circunferência de centro na origem e raio igual a 3. A alternativa que expressa essa representação é a B. 138 volume-03l (revisado 7).indd /08/09 21:27:22

139 H24 Identificar figuras semelhantes mediante o reconhecimento de relações de proporcionalidade. (GI) O desenho ao lado foi feito numa malha formada por quadrados idênticos, e a árvore menor foi obtida a partir de uma redução da árvore maior em que foram mantidas as proporções originais. Se a altura da árvore maior é igual a 60, então a altura da árvore menor vale a. 30. b. 20. c. 15. d. 12. A ideia de semelhança e proporcionalidade é necessária para perceber que existe uma redução da figura da direita em relação a da esquerda. Tomando-se o tronco da árvore como referência, observa-se uma redução de 6 unidades de altura para 2 unidades de altura, logo um terço da altura. Como a árvore maior tem altura de 60 cm, a árvore menor terá um terço do seu valor, determinado pela alternativa B. 3ª E.M. 139 volume-03l (revisado 7).indd /08/09 21:27:22

140 H25 Relacionar diferentes poliedros ou corpos redondos com suas planificações. (GII) Num dado cúbico, ficam em faces opostas os números: 1 e 6, 2 e 5, 3 e 4. Observe as figuras dadas e responda quais representam planificações possíveis de um dado. a. 1 e 2. b. 1 e 3. c. 2 e 3. d. Nenhuma. O conhecimento requerido nessa questão é de planificação de um cubo. Nessa questão pode-se observar que só é possível formar um cubo as planificações 1 e 3 (alternativa B). No entanto a planificação 2, ao ser montada, não forma um cubo, e ao dobrar-se as faces 6 2 3, teríamos uma soma de faces opostas igual a 9. Essa questão poderia se tornar mais desafiadora se em lugar de perguntar qual das planificações forma um cubo, fornecer diferentes planificações e perguntar qual apresenta a soma das faces opostas igual a 7. H26 Identificar a relação entre o número de vértices, faces e/ou arestas de poliedros expressa em um problema. (GI) A razão entre o número de vértices de um prisma de base pentagonal e o número de vértices de uma pirâmide também de base pentagonal, é a. 2. b. c. d. 4. 3ª E.M. 140 volume-03l (revisado 7).indd /08/09 21:27:23

141 O conhecimento requerido nessa questão é o de determinação de vértices de um poliedro. Como um prisma de base pentagonal tem 10 vértices e uma pirâmide de base pentagonal tem 6 vértices a razão entre eles é, que corresponde à alternativa B. Vale ressaltar que não é significativa a razão entre esses dois objetos matemáticos e portanto pode estar disfarçando um erro que pode ter sido ocasionado mais pela interpretação do que pela determinação dos vértices. Uma sugestão para minimizar essa situação seria solicitar qual seria o número de vértices de um prisma e de uma pirâmide. H27 Resolver problemas que envolvam razões trigonométricas no triângulo retângulo (seno, cosseno, tangente). (GIII) Observe a figura. O homem tem 1,80 m de altura e sua sombra mede 2m. Se a sombra da árvore mede 5m, a altura da árvore, em metros, é a. 6,3. b. 5,7. c. 4,5. d. 3,6. O conhecimento requerido nessa questão é de semelhança de triângulos. Dois triângulos semelhantes apresentam a proporção de seus lados iguais, logo a relação da altura da árvore pela altura do homem será igual ao tamanho da sombra da árvore pelo tamanho da sombra do homem. Efetuando-se esse cálculo obtém-se 4,5 m. Vale ressaltar que para resolução dessa questão não se utiliza as noções de seno, cosseno ou tangente, como sugere a habilidade. 3ª E.M. 141 volume-03l (revisado 7).indd /08/09 21:27:23

142 Competência de Área 3 Construir e ampliar noções de variação de grandeza para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano. Compreender e fazer uso das medidas, ou de sistemas convencionais, para o cálculo de perímetros, áreas, volumes e relações entre as diferentes unidades de medida. Tema 3 Grandezas e medidas. H28 Resolver problemas que envolvam as relações métricas fundamentais em triângulos retângulos. (GIII) Observe a figura. O triângulo MNP é retângulo, NQ = 24 cm e PQ= 6 cm A altura h = MQ mede, em cm: a. 6. b. 8. c. 10. d. 12. N! Q M P O conhecimento requerido nessa questão são as relações métricas fundamentais em triângulos retângulos, mais especificamente a relação da altura em função das bases que é dado pelo fórmula h² = m.n. Dadas as medidas dos segmentos NQ = 24 cm e PQ= 6 cm obtemos m.n=144 cuja raiz quadrada é 12, logo alternativa D. H29 Resolver problemas que envolvam relações métricas fundamentais (comprimentos, áreas e volumes) de sólidos, como o prisma e o cilindro. (GIII) 3ª E.M. 142 Fonte: FOLHA DE S. PAULO. São Paulo,12 julho volume-03l (revisado 7).indd /08/09 21:27:23

143 Sabendo que o papel higiênico forma um rolo cilíndrico com 10 cm de altura e 5 cm de raio, cuja parte interna também é um cilindro circular reto com 2 cm de raio, calcule o volume de papel utilizado por Garfield em sua travessura, imaginando que ele o tenha usado por completo. Despreze o ar existente entre uma folha e outra. a. 70π cm 3. b. 90π cm 3. c. 210π cm 3. d. 290π cm 3. O conhecimento requerido nessa questão é de cálculo do volume de um cilindro pela fórmula V= A b.h. Como o solicitado é o volume de papel, necessita-se calcular o valor do cilindro maior de raio 5 que equivale a 250π cm 3 e subtrair do volume do cilindro menor de raio 2 que equivale a 40π cm 3, obtendo como resposta a alternativa C. Essa questão pressupõe o conhecimento do cálculo dá área de uma circunferência pela fórmula A=π.r², que é necessária para o cálculo do volume. H30 Resolver problemas que envolvam relações métricas fundamentais (comprimentos, áreas e volumes) de sólidos, como a pirâmide e o cone. (GIII) O centro de um cubo de 12 cm de aresta forma com uma de suas bases uma pirâmide cujo volume, em cm 3, é a b c d O conhecimento requerido nessa questão é de cálculo do volume de um cubo e a percepção da decomposição do cubo em pirâmides. Como o lado do cubo é 12 cm, seu volume será dado por V = 12³ = cm³. Pela observação, percebe-se que o volume do cubo é equivalente ao volume de 6 pirâmides cujas bases são as faces do cubo. Logo o volume da pirâmide será o volume do cubo dividido em 6 partes, resultando como resposta a alternativa B. 3ª E.M. 143 volume-03l (revisado 7).indd /08/09 21:27:23

144 H31 Resolver problemas que envolvam relações métricas fundamentais (comprimentos, áreas e volumes) da esfera e de suas partes. (GIII) Uma creche deve distribuir 243 l de gelatina em pequenas porções para suas crianças. Para encher os potes serão utilizadas conchas com o formato de semiesfera de 3 cm de raio e em cada um deles serão colocadas 3 conchas de gelatina. Qual o número de potes que serão formados? Use π = 3 e v esfera = π R 3 a b c d O conhecimento requerido nessa questão é de transformações de unidades de medidas e cálculos operatórios. Inicialmente deve-se determinar o volume de uma concha de gelatina. A fórmula para o cálculo do volume da esfera é fornecida pelo enunciado, mas o aluno deve perceber que o volume de uma concha corresponde à metade de uma esfera ou que 3 conchas vão corresponder ao volume de uma esfera e meia. Considerando o volume da concha como e que em cada pote cabem 3 conchas, então o volume do pote é V p = 3.54 = 162cm 3. Como cm³ = 1 l, o volume do pote pode ser expresso por 0,162 l. Para se determinar a quantidade de potes, basta dividir o volume de gelatina pelo volume do pote, em litros, para obter como resultado a alternativa C. H32 Identificar fusos, latitudes e longitudes com as propriedades características da esfera terrestre. (GIII) O globo terrestre é dividido de norte a sul por 24 meridianos que demarcam os fusos horários em cada região. A maior parte do território brasileiro tem dois fusos. O ângulo formado pelos meridianos que determinam esses dois fusos horários em nosso País é de a. 20º b. 30º c. 45º d. 60º 3ª E.M. O conhecimento requerido nessa questão é o de latitude e longitude. A longitude do globo terrestre é dividida em 360º. Logo passam 24 meridianos pela linha longitudinal, cada meridiano dista 15 graus do meridiano subsequente. Se cada fuso horário determina 15 graus, 2 fusos horários equivalem a 30º, tendo como resposta a alternativa B. 144 volume-03l (revisado 7).indd /08/09 21:27:23

145 Competência de Área 4 Ler, construir e interpretar informações de variáveis expressas em gráficos e tabelas. Fazer uso das ferramentas estatísticas para descrever e analisar dados, realizar inferências e fazer predições. Compreender o caráter aleatório e não-determinístico dos fenômenos naturais e sociais e utilizar os conceitos e algoritmos adequados para medidas e cálculos de probabilidade. Tema 4 Tratamento da informação. H33 Resolver problemas que envolvam probabilidades simples. (GIII) Considere que um casal pretende ter 4 filhos e que a probabilidade de nascimento de crianças do sexo masculino é a mesma do nascimento de uma criança do sexo feminino. A probabilidade de nascerem todos do mesmo sexo é a. b. c. d. O conhecimento requerido nessa questão é probabilidade. A probabilidade de ocorrer um evento é dada pela divisão entre os casos favoráveis e os casos possíveis, logo a probabilidade de ser homem é e a de ser mulher também é. Como se pede a probabilidade de 4 filhos do mesmo sexo, temos que ter H e H e H e H ou M e M e M e M, portanto correspondendo a alternativa B. 3ª E.M. 145 volume-03l (revisado 7).indd /08/09 21:27:23

146 H34 Aplicar os raciocínios combinatórios aditivo e/ou multiplicativo na resolução de situações-problema. (GIII) Um videogame, com o fim de identificar e personalizar os jogadores, permite que eles criem faces de pessoas a partir da composição de algumas características fornecidas, tais como: rosto, cabelo, olhos, boca e acessórios, conforme a tabela a seguir. Rosto Cabelo Olhos Boca Acessórios Redondo Curto Amendoados Pequena Óculos Quadrangular Comprido Redondos Grande Boné Comprido Sem cabelo Aparelho dentário Com esses dados pode-se concluir que o número de faces diferentes que podem ser formadas usando esse videogame é a b c. 57. d. 13. O conhecimento requerido nessa questão é o de combinatória. Para se personalizar as faces dos jogadores pode-se combinar rosto, cabelo, olhos, boca, acessórios, ou seja, 3,3,2,2,3 possibilidades, respectivamente. Logo, para determinar todas as combinações deve-se efetuar a multiplicação de resultando como resposta a alternativa B. H35 Resolver problemas que envolvam o cálculo de probabilidades de eventos que se repetem seguidamente; o binômio de Newton e o triângulo de Pascal. (GIII) Se lançarmos um dado (não viciado) duas vezes, a probabilidade de obtermos o número 6 nas duas jogadas é a. b. c. d. 3ª E.M. O conhecimento requerido nessa questão é probabilidade. Se a probabilidade de obtermos qualquer número de um dado é, para se ter sucesso em duas tentativas a probabilidade é de. Portanto, alternativa D. 146 volume-03l (revisado 7).indd /08/09 21:27:23

147 H36 Interpretar e construir tabelas e gráficos de frequências a partir de dados obtidos em pesquisas por amostras estatísticas. (GIII) As notas que os dez alunos de uma classe tiveram em uma prova de Biologia foram transcritas pelo professor na tabela seguinte. Número Nota 9,2 7,0 5,2 6,3 2,7 4,5 8,5 3,2 7,8 5,8 Para visualizar melhor o desempenho da turma, o professor dividiu as notas em três grupos descritos a seguir, e construiu com eles um gráfico de setores. G1: notas maiores ou iguais a 6,0. G2: notas entre 4,0 e 6,0. G3: notas menores ou iguais a 4,0. O gráfico que corresponde aos dados apresentados é a. b. c. d. O conhecimento requerido nessa questão é de organização dos dados e de gráfico setorial. Primeiramente se quantifica o número de alunos em cada um dos três grupos (G1, G2 e G3). Pela contagem temos no primeiro grupo 5 alunos, no segundo 3 alunos e no terceiro 2 alunos. Se o total de alunos é 10, o grupo G1 deverá ter uma região que corresponde à metade da região de uma circunferência. A alternativa que atende a essa estratégia de resolução é a alternativa B. 3ª E.M. 147 volume-03l (revisado 7).indd /08/09 21:27:24

148 H37 Calcular e interpretar medidas de tendência central de uma distribuição de dados (média, mediana e moda) e de dispersão (desvio padrão). (GIII) O gráfico representa a distribuição de medalhas olímpicas do Brasil. Considerando o total de medalhas, independentemente da ordem cronológica em que foram ganhas, podemos dizer sobre a média (Me), a mediana (Md) e a moda (Mo) do número total de medalhas. MEDALHAS OLÍMPICAS DO BRASIL a. Me = 5, Md = 2, Mo = 3. b. Me = 4, Md = 3, Mo = 15. c. Me = 4, Md = 2, Mo = 3. d. Me = 5, Md = 3, Mo = 3. OLIMPÍADAS O conhecimento requerido nessa questão é de média, moda e mediana. Organizando os dados em rol temos: Quantidade de medalhas: 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3,3, 3, 4, 6, 6, 8, 10, 12, 15. A média é a somatória das medalhas dividida pela quantidade de eventos. Logo teremos uma média de 4,8 ou me = 5 medalhas. A mediana é o número que divide a amostra em duas partes iguais. Como temos 17 observações, a mediana é a 9a observação, logo Md = 3. A moda é o valor que mais se repete, logo Mo = 3. 3ª E.M. 148 volume-03l (revisado 7).indd /08/09 21:27:24

149 H38 Analisar e interpretar índices estatísticos de diferentes tipos. (GIII) Fonte: VEJA, São Paulo, 25 jun De acordo com a notícia acima podemos concluir que: a. 69% da população de São Paulo e Rio de Janeiro fazem refeição rápidas em padarias. b. Os gastos com padarias, fast-food e bares superam os gastos com restaurantes. c. Os gastos com restaurantes correspondem a mais da metade do gasto total com alimentação fora de casa. d. dos gastos com alimentação fora de casa correspondem às padarias. Questões desse tipo devem ser respondidas a partir da leitura e confronto de cada uma das alternativas com os dados fornecidos pela notícia e tabela. Ao se fazer esse movimento percebe-se que a alternativa A será descartada, pois a porcentagem referida não diz respeito ao que a alternativa coloca. O cálculo de é suficiente para que se descarte a alternativa B. O cálculo aproximado de 107 : 2 fornece 53 e pouco como resultado, o que é suficiente para a verificação de que a alternativa C é a correta. Para ter maior garantia da resposta pode-se ainda verificar que a alternativa D está errada apenas realizando o cálculo de 3 x 31. 3ª E.M. 149 volume-03l (revisado 7).indd /08/09 21:27:25