Geradores de Números Aleatórios

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1 Geradores de Números Aleatórios Índice O papel da estatística na engenharia e na ciência... Probabilidade Os conceitos de experimento, espaço amostral e evento Axiomas de probabilidade O conceito de variável aleatória Distribuições e variáveis aleatórias discretas Distribuições e variáveis aleatórias contínuas Exemplos de funções densidade de probabilidade Média e variância da distribuição Momentos Medidas amostrais Geradores de números pseudo-aleatórios em computador Pseudo-aleatoriedade em computadores digitais Geradores de números pseudo-aleatórios uniformes Propriedades adicionais de um GNA Geradores lineares Geradores portáveis Outros geradores Testes para geradores de números pseudo-aleatórios Geradores de Números Pseudo-Aleatórios em Computação Evolutiva Distribuição normal a partir de uma distribuição uniforme Referências Tópico 8 Geradores de Números Aleatórios O papel da estatística na engenharia e na ciência As teorias científicas lidam com conceitos, não com a realidade. Embora elas seam formuladas para corresponder à realidade, esta correspondência é aproximada e a ustificativa para todas as conclusões teóricas é baseada em alguma forma de raciocínio indutivo. Athanasios Papoulis Métodos estatísticos fornecem ferramentas importantes para a engenharia, com teor descritivo e analítico para operar com a variabilidade presente nos dados observados. A estatística lida com a coleta, apresentação, análise e uso de dados em tomada de decisão e na solução de problemas. Um estatístico usa as leis fundamentais da probabilidade e da inferência estatística para elaborar conclusões acerca de determinado experimento. Tópico 8 Geradores de Números Aleatórios

2 Obetivo: Descrever e modelar a variabilidade e tomar decisões na presença de variabilidade (inferência estatística). Fundamento: o modelo deve possuir ao menos um elemento intrinsecamente aleatório. A variabilidade é resultante de mudanças nas condições sob as quais as observações são feitas, de características do sistema de medidas e do processo de amostragem. Exemplo: Amostras de ganho de um transistor 5,0 / 5,4 / 5,3 / 5,9 / 5,08 A informação contida nas amostras demonstra de forma conclusiva que o ganho do transistor é menor que 5,50? Quanta confiança pode se ter de que o ganho no transistor está contido no intervalo [5,00; 5,30]? Tópico 8 Geradores de Números Aleatórios 3 Estatística inferencial: estimação pontual de parâmetros; estimação de intervalos de confiança; teste de hipóteses; transferência de conclusões das amostras para as populações; generalização. Estatística descritiva: aplicação de métodos gráficos e numéricos na organização e apresentação da informação em uma forma sucinta. Probabilidade A probabilidade é a linguagem empregada na fundamentação matemática da inferência estatística. Trata-se de uma disciplina exata e desenvolvida a partir de um encadeamento lógico de deduções a partir de um conunto de axiomas claramente definidos. Há uma óbvia quebra de continuidade entre os elementos de probabilidade apresentados em cursos introdutórios e os conceitos mais elaborados necessários nas aplicações do dia-a-dia. Tópico 8 Geradores de Números Aleatórios 4

3 O importante é observar que, quando se aplica a teoria de probabilidade ao mundo real, ela se mostra eficaz. Exemplo : As raízes da teoria de probabilidade estão associadas aos ogos de azar, em Monte Carlo, no século 7. Exemplo : Parte do sucesso da indústria aponesa é atribuída ao emprego de métodos estatísticos na produção, gerenciamento e planeamento (não apenas gerar relatórios, mas extrair conclusões ou realizar inferências). Exemplo 3: Prévia Eleitoral (procedimento sistemático para elaboração do experimento e coleta de dados) Coleção de todos os indivíduos (população) Processo de amostragem Inferência sobre toda a população Tópico 8 Geradores de Números Aleatórios 5. Os conceitos de experimento, espaço amostral e evento Experimento é o termo utilizado para indicar a realização de algo, ou a observação de algo, que acontece sob certas condições, levando a um resultado. Ocasionalmente, a natureza de um experimento faz com que o seu resultado sea definido unicamente pelas condições nas quais o experimento é realizado. Na prática, todavia, observa-se que muitos experimentos não apresentam a propriedade de repetitividade, mesmo sob condições supostamente idênticas. Este é o caso quando existem fatores que influenciam o resultado, mas que não são de conhecimento do experimentador ou que o experimentador não pode controlar e, também, quando os fatores que supostamente estão sob controle, na verdade não estão. Tópico 8 Geradores de Números Aleatórios 6

4 O resultado não pode, então, ser predito a partir do conhecimento das condições sob as quais o experimento foi realizado. Neste caso, fala-se do experimento como sendo um experimento envolvendo o acaso ou, simplesmente, experimento aleatório. Devido à imprevisibilidade ou ao elemento do acaso no experimento, o tipo de modelo matemático usual envolvendo equações determinísticas é inadequado e um novo tipo de estrutura matemática é necessário para representar os fenômenos de interesse, denominados processos estocásticos. Uma vez que o resultado do experimento não é previsível, ele vai ser um dentre os muitos resultados possíveis. O espaço amostral de um experimento aleatório é o conunto de todos os resultados possíveis do experimento, sendo geralmente denotado por S. Tópico 8 Geradores de Números Aleatórios 7 Normalmente, é interessante focalizar a atenção em subconuntos do espaço amostral S. Para tanto, define-se um evento como qualquer subconunto E do espaço amostral S (E S).. Axiomas de probabilidade O ingrediente principal do modelo matemático de um experimento aleatório é a noção de probabilidade, a qual formaliza o conceito de que alguns eventos são mais verossímeis do que outros, em termos de suas frequências de ocorrência relativas. Os axiomas de probabilidade permitem a manipulação de combinações de eventos (eventos compostos). Sea S um espaço amostral, sea ε uma classe que comporta todos os possíveis eventos em S, e sea P uma função de valores reais definida em ε. Então P é Tópico 8 Geradores de Números Aleatórios 8

5 denominada de função de probabilidade e P E é denominada de probabilidade do evento E se os seguintes axiomas forem válidos: Axioma : Para todo evento E, 0 P E. O axioma determina que a probabilidade de que o resultado de um experimento está contido em E é algum número real entre 0 e. Axioma : P S =. O axioma determina que, com probabilidade igual a, o resultado está contido no espaço amostral S. Axioma 3: Para qualquer sequência de eventos mutuamente exclusivos (isto é, eventos para os quais E E = quando i ), i E, E, K E i = i= i= P U P E i Tópico 8 Geradores de Números Aleatórios 9 Algumas proposições simples podem ser deduzidas a partir dos axiomas enumerados acima: Proposição : Dado que E e E c são eventos sempre mutuamente exclusivos e, visto que E E c = S, pelos Axiomas e temos que: = P S = P E E = P E + P E. De forma equivalente, a equação acima pode ser escrita como: P E c = P E. Em palavras, a proposição afirma que a probabilidade de um evento não ocorrer é igual a menos a probabilidade do evento ocorrer. c c Proposição : P E F = P E + P F P E F. Tópico 8 Geradores de Números Aleatórios 0

6 Para deduzir a fórmula para P E F é necessário lembrar que ( E F) pode ser escrito como a união de dois eventos disuntos E e ( E c F). Assim, utilizando o Axioma 3, temos que: P E F = P E ( E F) c = P E + P E c F Além disto, como F = ( E F) ( E F), obtemos pelo Axioma 3 que: c P F = P E F + P E c F Ou, de forma equivalente: P E F = P F P E F, completando assim a prova de que P E F = P E + P F P E F. Tópico 8 Geradores de Números Aleatórios Esta proposição pode também ser demonstrada utilizando o diagrama de Venn mostrado abaixo. E F I II III S As divisões no diagrama mostram três seções mutuamente exclusivas. Em palavras, a seção I representa todos os pontos em E que não estão em F (isto é, c E F ); a seção II representa todos os pontos que estão tanto em E quanto em F (isto é, estão em E (isto é, E F ), e a seção III representa todos os pontos em F que não E c F ). Tópico 8 Geradores de Números Aleatórios

7 Do diagrama de Venn, observamos que: E F = I II III E = I II F = II III Como I, II e III são mutuamente exclusivos, temos pelo Axioma 3 que: P E F = P I + P II + P III P E = P I + P II P F = P II + P III Mostrando que P E F = P E + P F P II. Visto que II = E F, temos então: P E F = P E + P F P E F, que é conhecida como a lei de adição de probabilidades. Em palavras, pode ser expressa como: Tópico 8 Geradores de Números Aleatórios 3 A probabilidade do evento E ou do evento F ocorrer é a soma de suas probabilidades em separado menos a probabilidade de ambos ocorrerem. No caso dos eventos E e F serem mutuamente exclusivos, eles não terão pontos em comum e, portanto, P E F = 0. Neste caso, P E F = P E + P F, como á indicado pelo axioma 3. Maiores detalhes sobre definições, axiomas, e exemplos envolvendo teoria de probabilidade consultar PAPOULIS (99, caps. e ). Dentre os conceitos adicionais mais importantes, e que não serão abordados aqui, estão o de probabilidade condicional e o teorema de Bayes (vea exemplos.9 e. de PAPOULIS, 99). Tópico 8 Geradores de Números Aleatórios 4

8 3 O conceito de variável aleatória Ao se arremessar um dado, é sabido que o valor ξ da face que ficar para cima vai ser um número entre e 6, mas não é possível predizer este valor. Quando uma lâmpada entra em operação, o seu tempo de vida ξ também não pode ser predito. Nesses dois casos, ξ é uma variável aleatória ou estocástica. Arremesso de dado e Lâmpada em operação são experimentos. O conunto {,, 3, 4, 5, 6} e o intervalo real de unidades de tempo [0, + ) são os espaços amostrais correspondentes. São eventos: Número par na face que ficou para cima: E = {, 4, 6}; Lâmpada com tempo de vida inferior a 400 unidades de tempo: E = [0, 400). Tópico 8 Geradores de Números Aleatórios 5 Logo, uma variável aleatória é uma função que aloca um ponto do espaço amostral a cada resultado de um experimento aleatório. Dito de outro modo, uma variável aleatória é uma função associada a um experimento, sendo que a realização do experimento leva esta variável a assumir um valor dependente do acaso, mas pertencente ao respectivo espaço amostral. Cada vez que um experimento é realizado, o resultado obtido indica a ocorrência ou não de um determinado evento (subconunto do espaço amostral). Formalização do conceito: Uma variável aleatória ξ é uma função com as seguintes propriedades: ξ assume valores no espaço amostral S de um experimento; Para todo evento E S, a probabilidade de que ξ assuma um valor x E após a realização do experimento, dada por P x E = P E, é bem definida (embora possa ser desconhecida). Tópico 8 Geradores de Números Aleatórios 6

9 Como o evento pode ser qualquer, é possível considerar eventos do tipo: E x, onde x S. Logo, temos que, para todo x S, a probabilidade de que ξ valha x após a realização do experimento, dada por P ξ = x = P x, é bem definida. Considerando que as probabilidades mencionadas acima são bem definidas, para toda variável aleatória, então é sempre possível obter uma função distribuição de probabilidade definida em todo o espaço amostral. Geralmente, se emprega a função distribuição cumulativa de probabilidade. Para tal, sea x S e suponha que E(z) = {x x z}. Então, a função distribuição cumulativa de probabilidade associada à variável aleatória ξ é dada na forma: Fξ ( z) = P x E( z) = P E( z) = P x x z Apesar desta definição de função distribuição de probabilidade ser muito genérica (atende a qualquer tipo de variável aleatória), apenas uma quantidade reduzida de tipos de distribuição são verificados em aplicações práticas. Tópico 8 Geradores de Números Aleatórios 7 Neste ponto do texto, o mais importante é dividir estes poucos tipos em duas classes:. Distribuições discretas: ocorrem em experimentos que requerem contagem. Exemplos: pessoas com menos de 30 anos, mortes por câncer, produtos com defeito.. Distribuições contínuas: ocorrem em experimentos que requerem medidas. Exemplos: tensão elétrica, pressão sanguínea, vazão de rio. Para cada uma das duas classes, a respectiva função distribuição de probabilidade F ξ ( ) terá sempre associada a si: Uma função massa de probabilidade f ξ ( ), no caso discreto; Uma função densidade de probabilidade f ξ ( ), no caso contínuo. Deste modo, o conhecimento do comportamento de uma das funções, F ξ ( ) ou f ξ ( ), em todo o espaço amostral á é suficiente para se obter a outra função. Tópico 8 Geradores de Números Aleatórios 8

10 3. Distribuições e variáveis aleatórias discretas Uma variável aleatória ξ e sua distribuição de probabilidade são discretas se o espaço amostral (onde ξ assume valores) contém apenas um número finito de elementos ou um número infinito, mas contável, de elementos. Neste caso, a função massa de probabilidade assume a forma: f ξ p se z = x ( =,,...) ( z) = 0 alhures e a correspondente função distribuição de probabilidade é dada por: F ( ) ξ z = f ξ x = tal que x z tal que x z onde x, =,,..., são elementos do espaço amostral. Exemplo: No caso de um dado não-viciado, a variável aleatória ξ, representando a face que ficar para cima após o arremesso do dado, tem as seguintes funções massa e distribuição de probabilidade: ( ) p Tópico 8 Geradores de Números Aleatórios 9 6 f ξ ( z ) F ξ ( z ) z z Tópico 8 Geradores de Números Aleatórios 0

11 Em muitas aplicações, existe o interesse em medidas de probabilidade do tipo P x q < ξ x r, ou sea, a probabilidade de que ξ assuma qualquer valor no intervalo x q < x x, onde x q e x r não precisam necessariamente ser r elementos de S. Da definição F ( z) = P x x z de função distribuição de ξ probabilidade, pode-se deduzir que: P x q < ξ x = F x ) F ( x ). r ξ( r ξ q Como a variável aleatória ξ é discreta, resulta: P x q < ξ x r = tal que Uma consequência direta é o resultado a seguir: tal que x S p x q < x xr = p. Tópico 8 Geradores de Números Aleatórios 3. Distribuições e variáveis aleatórias contínuas Uma variável aleatória ξ e sua distribuição de probabilidade são contínuas se o espaço amostral (onde ξ assume valores) contém um número infinito e incontável de elementos. Neste caso, valem as seguintes relações entre as funções distribuição F ξ ( ) e densidade f ξ ( ) de probabilidade: dfξ ( z) z fξ ( z) = e F ξ ( z) = P x x z = dz fξ( x) dx Como no caso discreto, existe o interesse em medidas de probabilidade do tipo P x q < ξ x r, ou sea, a probabilidade de que ξ assuma qualquer valor no intervalo x q < x x, onde x q e x r não precisam necessariamente ser r elementos de S. Da definição F ( z) = P x x z de função distribuição de ξ probabilidade, pode-se deduzir que: Tópico 8 Geradores de Números Aleatórios

12 P x q < ξ x = F x ) F ( x ). r ξ( r ξ q Para uma variável aleatória ξ contínua, resulta: xr f x ξ q P x < ξ x = ( x) dx q r + ξ dx Uma consequência direta é o resultado: f ( x) =. Exemplo: Uma variável aleatória ξ com distribuição normal, média 0 e variância, tem como funções densidade e distribuição de probabilidade: Função densidade de probabilidade Função distribuição de probabilidade f ξ (z) 0.5 F ξ (z) z z Tópico 8 Geradores de Números Aleatórios Exemplos de funções densidade de probabilidade Normal: uma variável aleatória contínua ξ é chamada normal ou gaussiana se sua densidade de probabilidade pode ser expressa na forma: f ( z η) ( ) σ ξ z = e σ π Uniforme: uma variável aleatória contínua ξ é chamada uniforme no intervalo [x,x ] se sua densidade de probabilidade pode ser expressa na forma: f ξ ( z) = x 0 x se x alhures z x Binomial: uma variável aleatória discreta ξ tem uma distribuição binomial de ordem n se sua densidade de probabilidade pode ser expressa na forma: f ( z) ξ = n k = 0 n k p q k Tópico 8 Geradores de Números Aleatórios 4 n k δ( z k)

13 Exemplos: Sabendo que a probabilidade de um evento A ocorrer em um dado experimento é p, a probabilidade deste evento A ocorrer k vezes em n k experimentos (sob as mesmas condições) é dada por: P A ocorrer k vezes n k = p k n k ( p) e a probabilidade deste evento A ocorrer até k vezes em n k experimentos (sob as mesmas condições) é dada por: P A ocorrer até k vezes 3.4 Média e variância da distribuição = k r= 0 n p r r ( p) A função distribuição de probabilidade F ξ ( ), ou equivalentemente a função massa ou densidade de probabilidade f ξ ( ), determinam completamente uma n r Tópico 8 Geradores de Números Aleatórios 5 variável aleatória. Sendo assim, parâmetros e propriedades (como simetria) da variável aleatória podem ser obtidos a partir destas funções de probabilidade. Dado o tipo de distribuição e na presença de simetria, a média e a variância passam a descrever completamente a variável aleatória. Definição : O valor médio ou a média de uma variável aleatória ξ é dado por: ξ = fξ x x ( ), para o caso discreto (o somatório é sobre todos os valores possíveis de ); ξ = + xf ( x) dx, para o caso contínuo. ξ A média é também conhecida como esperança matemática: E[ξ] = ξ. Por hipótese, é suposto que a série (caso discreto) converge absolutamente e que a integral (caso contínuo) existe (tem um valor finito). Definição : A distribuição é dita ser simétrica em relação a um valor c se f ( c + z) = f ( c z). Tópico 8 Geradores de Números Aleatórios 6

14 Teorema : Se uma distribuição é simétrica em relação a um valor c e tem média ξ, então ξ = c. Definição 3: A variância de uma distribuição é denotada por σ, sendo dada por: σ = ( ξ) f ξ( x x ), para o caso discreto (o somatório é sobre todos os valores possíveis de ); + σ = ( ξ) x f ( x) dx, para o caso contínuo. ξ Por hipótese, é suposto que a série (caso discreto) converge absolutamente e que a integral (caso contínuo) existe (tem um valor finito). Com exceção do caso em que f(z) = em um único ponto e se anula alhures, para o qual resulta σ = 0, em todos os outros casos, sempre vai ocorrer σ > 0. Definição 4: A raiz quadrada da variância é denominada desvio-padrão, tendo por notação σ. Tópico 8 Geradores de Números Aleatórios 7 Como consequência, a variável aleatória ξ N tem média zero e variância unitária. 3.5 Momentos ξ ξ = σ Definição 5: Para qualquer variável aleatória ξ e qualquer função contínua g( ): R R, a esperança matemática de g(ξ) é dada por: E g( ξ) = g( x ) f ( ), para o caso discreto (o somatório é sobre [ ] ξ x todos os valores possíveis de ); + E g( ξ) = g( x) f ( x) dx, para o caso contínuo. [ ] k Tomando g( ) = ξ ξ ξ, k =,,..., as esperanças matemáticas acima representam o k-ésimo momento de ξ. Tópico 8 Geradores de Números Aleatórios 8

15 Tomando ( ) ( ) k g ξ = ξ ξ representam o k-ésimo momento central de ξ., k =,,..., as esperanças matemáticas acima Lembre-se que o operador esperança matemática é linear, ou sea: E [ x x ] = E[ x ] + E[ ] + ; x E[ α x] = αe[ x] 4 Medidas amostrais, com α determinístico e constante. Média amostral (N amostras): x = N N x k k = Variância amostral: σ = ( x k x) N N k = Desvio-padrão amostral: σ = ( x k x) N N k = Tópico 8 Geradores de Números Aleatórios 9 N Covariância amostral: σ = ( x x )( x x ) i N k = ik i k Coeficiente de correlação amostral: r i σi = σ σ i 5 Geradores de números pseudo-aleatórios em computador Como utilizar o computador digital, a mais precisa e determinística dentre todas as máquinas concebidas pela mente humana, para produzir números aleatórios? Exploração do nível elevado de redundância: computadores digitais executam automaticamente, a cada passo do processo de computação, correções da traetória de seu estado físico por meio da representação binária do estado interno de seus componentes. Tópico 8 Geradores de Números Aleatórios 30

16 Possíveis implicações: vantagens e desvantagens da computação digital. Visto que qualquer programa vai produzir uma saída inteiramente previsível, a geração de números aleatórios por parte de computadores digitais representa uma impossibilidade conceitual. Sequências geradas por computador digital: pseudo-aleatórias; Saídas de processos físicos intrinsecamente aleatórios: aleatórias. Exemplos: Arremesso de um dado, movimento browniano, etc. Será que Deus oga dados? [STEWART, 989] 6 Pseudo-aleatoriedade em computadores digitais Poucos livros devotados ao estudo de métodos numéricos para implementação computacional abordam números aleatórios [DAHLQUIST & BJORCK, 974 (cap. 4); FORSYTHE et al., 977 (cap. 0)]. Tópico 8 Geradores de Números Aleatórios 3 Definição prática (incompleta) de pseudo-aleatoriedade no contexto de sequências geradas por computador digital: em relação aos programas computacionais que utilizam suas saídas, um programa determinístico que produz sequências pseudo-aleatórias deve ser diferente em todos os aspectos mensuráveis e estatisticamente não-correlacionado. Dito de outra forma, dados dois geradores de números pseudo-aleatórios, ao acoplá-los independentemente a um programa específico de aplicação, deve-se obter o mesmo resultado estatístico. Caso contrário, pelo menos um dos geradores é inadequado para a aplicação em questão. Conclusão: O gerador deve ser tão aleatório quanto for requerido pela aplicação. Desse modo, um bom gerador para uma dada aplicação pode falhar espetacularmente em outras aplicações. Tópico 8 Geradores de Números Aleatórios 3

17 Felizmente, existem testes estatísticos que contribuem no sentido de avaliar a adequação de um dado gerador para cada classe de aplicações [L ECUYER, 99], embora uma aplicação específica possa conduzir um gerador a expressar seus pontos fracos. 7 Geradores de números pseudo-aleatórios uniformes Conforme definido por L ECUYER [994], um gerador de números pseudoaleatórios uniformes em computadores digitais tem um estado que evolui em um espaço S, composto por um número finito de estados, de acordo com uma recorrência na forma: s n = f(s n ), n, sendo que s 0 S é denominada a semente, e f: S S, é a função de transição. No n-ésimo passo, a saída do gerador é dada por u n = g(s n ), com g: S [0,] sendo a função de saída. Tópico 8 Geradores de Números Aleatórios 33 A sequência de saída do gerador é, portanto, {u n, n 0}. O espaço de saída poderia ser mais geral, mas é suposto aqui o intervalo [0,]. Como S é finito, a sequência {u n, n 0} deve ser periódica, possivelmente depois de transcorrido um transitório inicial. Se ρ for o período da sequência {u n, n 0}, então é deseável tomar ρ o mais próximo possível da cardinalidade de S, para evitar desperdício de memória e para permitir a aplicação do gerador em casos de demanda elevada, ou sea, em situações em que o gerador é acionado com muita frequência. Para sequências binárias, com u n tendo b bits, o valor ótimo para o período é ρ = b. 8 Propriedades adicionais de um GNA Além do atendimento das condições de aleatoriedade, é importante que um gerador de números pseudo-aleatórios em computadores digitais apresente: Tópico 8 Geradores de Números Aleatórios 34

18 repetitividade; portabilidade; custo computacional baixo por geração; simplicidade de implementação. 9 Geradores lineares São geralmente os modelos fornecidos pelos sistemas computacionais. Envolvem a geração de uma sequência I, I, I 3,... de inteiros entre 0 e m pela relação de recorrência I + = ( ai + c) mod m, =,,... m é denominado módulo, a e c são inteiros positivos denominados multiplicador e incremento, respectivamente. A recorrência vai certamente produzir, para algum = p m, I = I k (k < ), ou sea, ela vai ter um período p m. Tópico 8 Geradores de Números Aleatórios 35 Se o período for p = m, todo inteiro entre 0 e m vai ocorrer em alguma das próximas m iterações, fazendo com que a escolha do valor inicial I 0 da recorrência (semente da geração pseudo-aleatória) não influa de forma significativa no resultado estatístico associado a sequências longas. Vantagem: é um método de geração muito rápido, simples de implementar e repetitivo para uma mesma máquina. Desvantagens: não é portável, está preso a uma correlação sequencial e os bits menos significativos são menos aleatórios que os bits mais significativos. Exemplo : Para gerar números inteiros pseudo-aleatórios entre 0 e 9, recomenda-se o uso dos bits mais significativos (suponha RAND_MAX = 3767): use I() = (int) (0.0*rand()/(RAND_MAX+.0)); no lugar de I() = rand()%0; Tópico 8 Geradores de Números Aleatórios 36

19 Exemplo : Embora existam procedimentos bem menos custosos para a geração de sequências pseudo-aleatórias de bits [PRESS et al., 99 (cap. 7)], é possível empregar a ideia da amostragem tipo roullete wheel: divide-se a roleta ao meio, associando cada metade a um bit. Mais uma vez estão sendo considerados os bits mais significativos. 0 Geradores portáveis Gerador implementável em qualquer linguagem de programação e em qualquer máquina, produzindo sempre o mesmo comportamento estatístico e apresentando, para uma mesma semente, a mesma sequência de números. Há evidências, teóricas e empíricas, de que tomando c = 0 na recursão I + = ( ai + c) mod m, =,,... produz-se resultados tão bons quanto aqueles fornecidos pelos geradores lineares com c 0, se for feita uma escolha cuidadosa para a e m. Tópico 8 Geradores de Números Aleatórios 37 Uma escolha possível é a = 7 5 = 6807 e m = 3 = No entanto, não é possível implementar a recursão (com c = 0) com estes valores de a e m em qualquer linguagem de alto nível, á que o produto de a por m excede o maior valor admitido para um inteiro de 3 bits. Alternativa : Implementação em linguagem de montagem, empregando registradores de 64 bits. Desvantagem: esta implementação não é portável. Alternativa : Felizmente, existe um algoritmo que permite obter o resultado do produto de dois inteiros de 3 bits, módulo uma constante de 3 bits, sem utilizar qualquer valor intermediário maior que 3 bits. Este algoritmo está baseado na seguinte fatoração para m: m = a fix m + ( m mod a) = aq + r a Tópico 8 Geradores de Números Aleatórios 38

20 onde fix m fornece a parte inteira da razão m. Para um inteiro z tal que a a 0 < z < m, pode ser mostrado que, tomando r < q, tanto a ( z mod q) quanto r fix z q assumem valores inteiros no conunto { 0,...,m }, e que a( z mod q) r fix z q az mod m = a( z mod q) r fix z m q + Sugestões para os valores de m, a, q e r: se 0 se < 0 m a q r Tópico 8 Geradores de Números Aleatórios 39 O período destes três geradores portáveis é 3 = Observação: Escalonar para o intervalo [0,]. Repare que a semente 0 nunca deve ser utilizada, da mesma forma que o valor 0 não vai ser produzido para qualquer semente diferente de 0. Dentre os geradores simples, este é o mais recomendado para aplicação, embora possa ainda ser aperfeiçoado [PRESS et al., 99 (cap. 7)]. Outros geradores Lineares multivariáveis: I = ( a I + a I + L + a I ) mod m + 0 k k Lineares multivariáveis com incremento pseudo-aleatório: I = ( a I + a I + L+ a I + c ) mod m + 0 k k c fix a 0 I + a I + L + a k I k + c + = m Tópico 8 Geradores de Números Aleatórios 40

21 Geradores não-lineares: I ( I ) mod m + = Combinação de geradores [L ECUYER, 996] Testes para geradores de números pseudo-aleatórios Para uma discussão mais aprofundada do que vem a ser aleatoriedade e de como detectá-la, vea KNUTH [98]. De acordo com Kolmogorov, uma sequência infinita de bits é aleatória se ela não puder ser descrita por uma sequência menor que ela mesma. Impossibilidade prática Ser diferente Ser não-distinguível. Em princípio, todos os procedimentos de teste supõem que um gerador de números pseudo-aleatórios em um computador digital é uma função determinística que produz uma sequência de números, os quais emulam uma Tópico 8 Geradores de Números Aleatórios 4 variável aleatória definida como um processo de amostragem i.i.d. (independent and identically distributed) que resulta na distribuição U(0,) (distribuição uniforme no intervalo [0,]). Duas classes de testes são comumente empregadas [L ECUYER, 99]:. Testes teóricos: são específicos para cada classe de geradores e se concentram na estrutura intrínseca de cada gerador para derivar características de comportamento da sequência de pontos, ao longo de todo um período.. Testes empíricos: tentam encontrar evidências estatísticas contra a hipótese nula: A sequência é obtida a partir de um processo de amostragem i.i.d. da distribuição U(0,). O que pode ser dito a respeito de um gerador de números pseudo-aleatórios que passou por todos os testes implementados? Formalmente, nada fica demonstrado, mas é possível aumentar a confiança nos resultados obtidos com a utilização deste gerador. Tópico 8 Geradores de Números Aleatórios 4

22 3 Geradores de Números Pseudo-Aleatórios em Computação Evolutiva Valores aleatórios são requeridos em praticamente todas as etapas de um algoritmo evolutivo: Inicialização da população; Seleção de indivíduos; Definição de pontos de corte para crossover; Definição de genes que sofrerão mutação; Definição de um dentre mais de dois alelos candidatos em operações de mutação associadas a atributos descritíveis por um alfabeto finito; Definição de um dentre vários operadores alternativos; Argumento de operadores genéticos mais elaborados (mutação em ponto flutuante); etc. Tópico 8 Geradores de Números Aleatórios 43 Estudos recentes sugerem que a escolha do gerador de números pseudoaleatórios pode afetar o desempenho de um algoritmo evolutivo, embora de forma não-intuitiva (CANTÚ-PAZ, 00; DAIDA et al., 999; MEYSENBURG, 997; MEYSENBURG & FOSTER, 999a; MEYSENBURG & FOSTER, 999b; MEYSENBURG et al., 00). Também é sabido que pequenas modificações no gerador podem causar grande variação na qualidade do resultado do processo evolutivo. Por exemplo, alterando-se a semente do gerador. Para tanto, testes específicos de qualidade foram definidos de modo a explorar diretamente a forma como um algoritmo evolutivo utiliza um gerador de números pseudo-aleatórios. Estes testes específicos se mostraram necessários, pois os testes convencionais não apresentam correlação significativa com os resultados obtidos. Tópico 8 Geradores de Números Aleatórios 44

23 Em outras palavras, geradores considerados de baixa qualidade conduzem, em alguns casos, a melhores resultados unto ao processo evolutivo quando comparados a geradores de melhor qualidade (avaliados segundo testes convencionais). Dentre todos os geradores de números pseudo-aleatórios disponíveis, unto à comunidade de computação evolutiva o Mersenne Twister (MT) é o mais aceito (MATSUMOTO & NISHIMURA, 998). Cabe destacar também a proposta de MARSAGLIA (003): Complimentary- Multiply-With-Carry (CMWC). Também é possível operar com bases de dados que contêm sequências binárias puramente aleatórias, que podem ser encontradas em Tópico 8 Geradores de Números Aleatórios 45 4 Distribuição normal a partir de uma distribuição uniforme Dispondo de um gerador com distribuição uniforme, uma distribuição normal de média µ e variância σ, x ~ N( µ,σ ) ou então com u u ~ U ( 0 ),, (BOX & MULLER, 958). 5 Referências, pode ser obtida na forma: ( u ) cos( ) x = µ + σ loge πu ( u ) sen( ) x = µ + σ loge πu. Esta é a bem conhecida transformação de Box-Muller BÄCK, T., FOGEL, D.B. & MICHALEWICZ, Z. (eds.) Evolutionary Computation : Advanced Algorithms and Operators, Chapter 4: Efficient implementation of algorithms, Institute of Physics Publishing, 000. BOX, G.E.P. & MULLER, M.E. A note on the generation of random normal deviates, The Annals of Mathematical Statistics, vol. 9, no., pp. 60 6, 958. Tópico 8 Geradores de Números Aleatórios 46

24 BULMER, M.G. Principles of Statistics, Dover, 979. CANTÚ-PAZ, E. On Random Numbers and the Performance of Genetic Algorithms, Proceedings of the Genetic and Evolutionary Computation Conference (GECCO 0), vol., pp. 3-38, Morgan Kaufmann Publishers, 00. DAHLQUIST, G. & BJORCK, A. Numerical Methods, Prentice-Hall, 974. DAIDA, J.M., AMPY, D.S., RATANASAVETAVADHANA, M., LI, H. & CHAUDHRI, O.A. Challenges with verification, repeatability, and meaningful comparison in genetic programming: Gibson s magic in Banzhaf, W., Daida, J., Eiben, A.E., Garzon, M.H., Honavar, V., Jakiela, M. & Smith, R.E. (eds.) Proceedings of the Genetic and Evolutionary Computation Conference (GECCO 99), vol., pp , Morgan Kaufmann Publishers, 999. DOS REIS, S.F. Introdução ao Estudo de Probabilidade, Notas de Aula do Curso de Genética Populacional Teórica, IB/Unicamp, 00. EVANS, D.H. Probability and Its Applications for Engineers, ASQC Quality Press, 99. FORSYTHE, G.E., MALCOLM, M.A. & MOLER, C.B. Computer Methods for Mathematical Computations, Prentice-Hall, 977. KNUTH, D.E. The Art of Computer Programming: Seminumerical Algorithms, Addison-Wesley, Vol., nd edition, 98. KREYSZIG, E. Advanced Engineering Mathematics, 7th edition, John Wiley & Sons, 993. L ECUYER, P. Testing random number generators, Proceedings of the 99 Winter Simulation Conference, IEEE Press, pp , 99. Tópico 8 Geradores de Números Aleatórios 47 L ECUYER, P. Uniform random number generation, Annals of Operations Research, vol. 53, pp. 77-0, 994. L ECUYER, P. Combined multiple recursive generators, Operations Research, vol. 44, no. 5, pp. 86-8, 996. LINDGREN, B.D. Statistical Theory, Macmillan Publishing Company, 976. LIPSCHUTZ, S. Theory and Problems of Probability, McGraw-Hill Book Company, 965. MARDIA, K.V., KENT, J.T. & BIBBY, J.M. Multivariate Analysis, Academic Press, 979. MARSAGLIA, G. Random number generators, Journal of Modern Applied Statistical Methods, vol., no., pp. -3, 003. MATSUMOTO, M. & NISHIMURA, T. Mersenne twister: A 63-dimensionally equidistributed uniform pseudorandom number generator, ACM Transactions on Modeling and Computer Simulation, vol. 8, no., pp. 3-30, 998. MEYSENBURG, M.M. The effect of pseudo-random number generator quality on the performance of a simple genetic algorithm, Master s Thesis, University of Idaho, 997. MEYSENBURG, M.M. & FOSTER, J.A. Random generator quality and GP performance, in Banzhaf, W., Daida, J., Eiben, A.E., Garzon, M.H., Honavar, V., Jakiela, M. & Smith, R.E. (eds.) Proceedings of the Genetic and Evolutionary Computation Conference (GECCO 99), vol., pp. -6, Morgan Kaufmann Publishers, 999a. MEYSENBURG, M.M. & FOSTER, J.A. Randomness and GA performance revisited, in Banzhaf, W., Daida, J., Eiben, A.E., Garzon, M.H., Honavar, V., Jakiela, M. & Smith, R.E. (eds.) Proceedings of Tópico 8 Geradores de Números Aleatórios 48

25 the Genetic and Evolutionary Computation Conference (GECCO 99), vol., pp , Morgan Kaufmann Publishers, 999b. MEYSENBURG, M.M., HOELTING, D., MCELVAIN, D. & FOSTER, J.A. How Random Generator Quality Impacts Genetic Algorithm Performance, Proceedings of the Genetic and Evolutionary Computation Conference (GECCO 0), vol., pp , Morgan Kaufmann Publishers, 00. MONTGOMERY, D.C. & RUNGER, G.C. Applied Statistics and Probability for Engineers, John Wiley & Sons, 994. MOOD, A.M. & GRAYBILL, F.A. Introduction to the Theory of Statistics, McGraw-Hill Book Company, 963. PAPOULIS, A. Probability, Random Variables, and Stochastic Processes, Third Edition, McGraw-Hill, 99. PRESS, W.H., TEUKOLSKY, S.A., VETTERLING, W.T. & FLANNERY, B.P. Numerical Recipes in C - The Art of Scientific Computing, Cambridge University Press, nd edition, 99. ROSS, S. A First Course in Probability, Macmillan Publishing Company, 984. STEWART, I. Does God Play Dice? The New Mathematics of Chaos, London: Basil Blackwell, 989. WALPOLE, R.E. & MYERS, R.H. Probability and Statistics for Engineers and Scientists, Fifth Edition, Macmillan Publishing Company, 993. Tópico 8 Geradores de Números Aleatórios 49

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