Teoria da Homologia Singular

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1 Universidade Federal de São Carlos Centro de Ciências Exatas e de Tecnologia Departamento de Matemática Teoria da Homologia Singular Autor: Alexandre Baldan Orientador: Prof. Dr. Dirceu Penteado Disciplina: Trabalho de Conclusão do Curso B Curso: Bacharelado e Licenciatura Plena em Matemática Professores Responsáveis: Dra. Karina Schiabel Silva Dr. Tomas Edson Barros Dra. Vera Lúcia Carbone São Carlos, 20 de janeiro de 2012.

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3 Teoria da Homologia Singular Autor: Alexandre Baldan Orientador: Prof. Dr. Dirceu Penteado Disciplina: Trabalho de Conclusão do Curso B Curso: Bacharelado e Licenciatura Plena em Matemática Professores Responsáveis: Dra. Karina Schiabel Silva Dr. Tomas Edson Barros Dra. Vera Lúcia Carbone Instituição: Universidade Federal de São Carlos Centro de Ciências Exatas e de Tecnologia Departamento de Matemática São Carlos, 20 de janeiro de Alexandre Baldan Prof. Dr. Dirceu Penteado

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5 Aos meus pais, Milton e Abigail, e a minha namorada, Drieli, dedico.

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7 Agradecimentos Agradeço primeiramente a Deus por me proporcionar mais essa alegria de chegar até aqui. Agradeço aos meus familiares, meus pais Milton e Abigail, meus irmãos Juliano e Marcelo, minha avó Adelina, meu tio Jayme Fallaci e minha tia Rosa, que sempre me apoiaram e me incentivaram a ir além com os estudos. À minha namorada Drieli, que todos os dias me incentiva e me dá forças para seguir em busca dos meus objetivos e luta comigo para alcançá-los, aos meus amigos Jonatha, Ricardo e Ruben, que sempre estiveram presentes. Agradeço também a todos os meus amigos do grupo PET-Matemática, que nesses 3 anos fizeram parte não apenas de minha formação acadêmica, mas também de minha formação como pessoa, proporcionando novas amizades e um notável incentivo a realização de trabalhos em grupo, proporcionando um desenvolvimento diferenciado. Ao nosso tutor do grupo PET-Matemática, Prof. Dr. Pedro Luiz Aparecido Malagutti, que contribuiu de forma incomensurável para o desenvolvimento de todos, sempre nos incentivando ao estudo tanto do bacharelado quanto ao da licenciatura em matemática, estando sempre preocupado em nos atender quando precisamos e com o nosso desenvolvimento acadêmico, se dispondo a nos auxiliar em nossos estudos. Ao meu orientador deste trabalho, Prof. Dr. Dirceu Penteado, que contribuiu muito para o meu desenvolvimento acadêmico e científico, me aconselhando e me orientando também em outros trabalhos como os de Iniciação Científica no início de minha graduação.

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9 Resumo Este trabalho tem como objetivo principal apresentar a Teoria da Homologia Singular e uma de suas principais propriedades que é a sua invariância por homotopia. Tal invariância significa que se duas aplicações contínuas entre espaços topológicos são homotópicas então temos que elas induzem uma homotopia de cadeia no nível singular. Para tanto, faremos uso de métodos de demonstrações bem difundidos como o método dos modelos acíclicos, que é devida a Eilenberg-McLane, e da construção cone. Faremos também um estudo sobre alguns casos especiais de aplicação da homologia singular, como, por exemplo, mostrar que os grupos de homologia singular reduzida de um ponto ou de conjuntos convexos de R n são triviais. Palavras-chave: Homologia Singular, Homotopia, Sequências Exatas, Funtores.

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11 ix Sumário Introdução xv 1 Conceitos Preliminares Categorias Funtores Covariantes e Contravariantes Homotopia Complexos de Cadeia e Homologia Complexos de Cadeia Homologia de um Complexo de Cadeia Aplicações de Cadeia Induzida em Homologia de Aplicações de Cadeia Complexos de Cadeia Exatos O Cone de uma Aplicação A Suspensão de um Complexo de Cadeia O Homomorfismo de Conexão de uma Sequência Exata de Aplicações de Cadeia Complexos de Cadeia: Mais Alguns Conceitos Subcomplexos de Cadeia Complexos de Cadeia Quocientes Sequências Exatas de Homologia O Homomorfismo de Conexão : H n K H n 1 K Homotopia de Cadeias Homologia e Homotopia Complexos de Cadeia Contráteis Complexos de Cadeia Livres Complexos de Cadeia Curtos Teoria da Homologia Singular Simplexos Padrão Aplicações Lineares de q para R n

12 x Sumário O Operador Face O Complexo de Cadeia Singular Simplexos Singulares e Seus Grupos Abelianos Livres O Operador Bordo e o Complexo de Cadeia Singular A Aplicação de Cadeia Generalização para Pares de Espaços Topológicos A Homologia Singular Algumas Aplicações e Casos Especiais Teoria da Homotopia entre Espaços Topológicos e Homotopia de Cadeias 45 Referências Bibliográficas 51

13 xi Lista de Figuras 5.1 Projeção de σ sobre P

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15 xiii Lista de Tabelas simplexo padrão e 2-simplexo padrão

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17 xv Introdução Com o intuito de apresentarmos um estudo sobre a Teoria da Homologia Singular e provarmos uma de suas principais propriedades que é a sua invariância por homotopia, começaremos o nosso trabalho com um estudo sobre alguns conceitos básicos e essenciais para o desenvolvimento deste, tais como Categorias, Categorias Duais, Categorias Produtos, Subcategorias Incompletas e Completas, Funtores Covariantes, Contravariantes e de Duas Variáveis. Ainda nesse sentido, estudaremos a Teoria da Homotopia entre espaços Topológicos desenvolvendo suas principais propriedades. No capítulo 2 estudaremos detalhadamente vários conceitos que envolvem o conceito de Complexos de Cadeia, tais como a Homologia de um Complexo de Cadeia, Aplicação de Cadeia, Complexos de Cadeia Exatos, O Cone de uma Aplicação e a Suspensão de um Complexo de Cadeia. No capítulo 3 apresentaremos mais alguns desses conceitos tais como Subcomplexos de Cadeia e Complexos de Cadeia Quocientes, e assim, desenvolveremos os conceitos de sequências exatas de homologia e de Homomorfismo de conexão de uma sequência exata de aplicações de cadeia. No capítulo 4 estudaremos os conceitos de Homotopia de Cadeia, Complexos de Cadeia Contráteis, Complexos de Cadeia Livres e Complexos de Cadeia Curtos. No capítulo 5 transferiremos todos esses conceitos anteriores estudados para o nível Singular e apresentaremos a Teoria da Homologia Singular. No último capítulo, provaremos que uma homotopia no nível de espaços topológicos induz uma homotopia de cadeia no nível singular.

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19 1 Capítulo 1 Conceitos Preliminares 1.1 Categorias Definição 1.1 (Categoria). Uma categoria C é constituída do que segue: (i) Uma classe de objetos, denotados por Ob(C). (ii) Para cada par X, Y de objetos, tem-se um conjunto de morfismos de X para Y, denotado por C(X, Y ) ou [X, Y ]. (iii) Para cada tripla ordenada de objetos X, Y, Z, tem-se uma aplicação de C(X, Y ) C(Y, Z) para C(X, Z) chamada de composição. A imagem de (α, β) C(X, Y ) C(Y, Z) será denotada por β α ou βα e será chamada de composta de α por β. E ainda, deve valer os seguintes dois axiomas: (iv) (Associatividade): Para todo morfismo α, β e γ tais que X α Y β Z γ W tem-se γ (β α) = (γ β) α. (v) Para cada objeto X Ob(C), existe um morfismo identidade id = id X : X X tal que α id X = α e id Y α = α, sempre que α : X Y. Observação 1.2. O morfismo identidade descrito no axioma (v) é facilmente verificado que é único, pois id 1 X = id1 X id2 X = id2 X. Observação 1.3. Quando não houver perigo de confusão, denotaremos também uma classe de objetos simplesmente por C ao invés de Ob(C).

20 2 1. Conceitos Preliminares Vejamos alguns exemplos de categorias: Exemplo 1.4. A categoria dos conjuntos, onde C=Sets será sua notação. Seus objetos são conjuntos arbitrários, ou seja, Ob(Sets)= classe de todos os conjuntos. Seus morfismos são aplicações, ou seja, [X, Y ] = conjunto de todas as aplicações de X para Y, e a composição tem o significado usual. Exemplo 1.5. A categoria dos grupos abelianos, onde C=A G será sua notação. Nesta, Ob(A G)= classe de todos os grupos abelianos, [X, Y ] =Hom(X, Y ) é o conjunto de todos os homomorfismos de X para Y, e a composição tem o significado usual. Exemplo 1.6. A categoria dos espaços topológicos, onde C=Top será sua notação. Nesta Ob(Top)= classe de todos os espaços topológicos, [X, Y ] = conjunto de todas as aplicações continuas de X para Y, e a composição tem o significado usual. Exemplo 1.7. A categoria homotopia, onde C=Htp será sua notação. Esta categoria será estudada na seção 1.3. Seus objetos são os mesmos da categoria Top, mas seus morfismos não são aplicações no sentido usual. Definição 1.8 (Categoria Dual ou Oposta). Seja C uma categoria. Definimos a categoria dual, ou oposta, de C, denotada por C op, sendo tal que Ob(C op ) = Ob(C), C op (X, Y ) = C(Y, X) e a composição β α = α β, α, β C op (X, Y ), onde denota a composição em C op e a composição em C. Definição 1.9 (Categoria Produto). Sejam C 1 e C 2 categorias. Definimos a categoria produto C=C 1 C 2 tal que: (i) Ob(C) = Ob(C 1 ) Ob(C 2 ) = classe de todos os pares (X 1, X 2 ), onde X i Ob(C i ). (ii) C((X 1, X 2 ), (Y 1, Y 2 )) =C 1 (X 1, Y 1 ) C 2 (X 2, Y 2 ). (iii) (β 1, β 2 ) (α 1, α 2 ) = (β 1 α 1, β 2 α 2 ). Definição 1.10 (Subcategoria (Incompleta)). Sejam C e C categorias. A categoria C é chamada uma subcategoria (incompleta) de C se satisfaz as seguintes condições: (i) Ob(C ) Ob(C). (ii) C (X, Y ) C(X, Y ), X, Y Ob(C ). (iii) As composições de α C (X, Y ) por β C (Y, Z ) coincidem em C e em C. (iv) Os morfismos identidades de X Ob(C ) coincidem em C e em C. E se além disso, C (X, Y ) =C(X, Y ), X, Y Ob(C ), então C é chamado de subcategoria completa de C. Observação Observe que uma subcategoria completa C de uma categoria C é completamente determinada pela classe de seus objetos, Ob(C ). Por exemplo, a categoria de todos os conjuntos finitos (e todas as aplicações) é uma subcategoria completa de Sets.

21 1.2. Funtores Covariantes e Contravariantes 3 Observação Como exemplos de subcategorias incompletas, tomemos para os exemplos 1.4, 1.5 e 1.6 dados anteriormente, C (X, Y ) = conjunto de todos os morfismos injetivos (ou todos sobrejetivos), e Ob(C ) = Ob(C). Definição Sejam α C(X, Y ) e β C(Y, X) morfismos tal que βα = id. Então, dizemos que β é um inverso à esquerda de α e que α é um inverso à direita de β. Observação Veja que se α admite um inverso à esquerda β l e também um inverso à direita β r então temos que β l = β l id = β l (αβ r ) = (β l α)β r = idβ r = β r. Neste caso, dizemos que α é uma equivalência, ou um isomorfismo, e seu inverso, ou isomorfismo inverso, β l = β r é comumente denotado por α 1. Desse modo, diremos que dois objetos X, Y Ob(C) são equivalentes, ou isomorfos, se existe uma equivalência α C(X, Y ). Por exemplo, uma equivalência em C=Sets é uma aplicação bijetora, uma equivalência em C=Top é um homeomorfismo e uma equivalência em C=A G é um isomorfismo no sentido usual. 1.2 Funtores Covariantes e Contravariantes Definição 1.15 (Funtor Covariante). Sejam C e D duas categorias. T :C D é um funtor, ou um funtor covariante, se é constituído de: (i) Uma aplicação T : Ob(C) Ob(D). Dizemos que (ii) Aplicações T = T XY :C(X, Y ) D(T X, T Y ), para cada X, Y Ob(C), que preservam composições e identidades, ou seja, satisfaz ainda (iii) T (β α) = (T β) (T α), para todos morfismos X α Y β Z em C, e (iv) T (id X ) = id T X, X Ob(C). Definição 1.16 (Funtor Contravariante). Sejam C e D duas categorias. Dizemos que T :C D é um cofuntor, ou um funtor contravariante, se é constituído de: (i) Uma aplicação T : Ob(C) Ob(D). (ii) Aplicações T :C(X, Y ) D(T Y, T X), para cada X, Y Ob(C), que preservam composições e identidades, ou seja, satisfaz ainda (iii) T (β α) = (T α) (T β), para todos morfismos X (iv) T (id X ) = id T X, X Ob(C). α Y β Z em C, e Observação Pela definição anterior, temos que um cofuntor de C para D é um funtor de C para a categoria dual D op, ou equivalentemente, um funtor de C op para D. Definição 1.18 (Funtor de Duas Variáveis). Um funtor T :C 1 C 2 D, onde C 1 C 2 é uma categoria produto, veja definição 1.9, é chamado um funtor de duas variáveis (com valores em D).

22 4 1. Conceitos Preliminares Observação Os funtores possuem um papel fundamental para a compreensão completa deste trabalho e sendo assim, o leitor irá se deparar com diversos deles durante sua leitura. A critério de ilustrar como um exemplo neste momento, de forma trivial, consideremos o funtor identidade T = ID :C C dado por ID(X) = X, X Ob(C) e ID(α) = α, α C(X, Y ). Observação Observe que se T :C D e U :D E são funtores então a composição UT :C E definida por (UT )(X) = U(T (X)), X Ob(C), e (UT )(α) = U(T (α)), α C(X, Y ), também é um funtor. 1.3 Homotopia Definição 1.21 (Homotopia). Sejam X e Y espaços topológicos e I = [0, 1] R o intervalo unitário. Então uma homotopia ou deformação de X para Y é uma aplicação contínua Φ : X [0, 1] Y. Em uma forma mais intuitiva, observemos que para cada t [0, 1] temos uma aplicação contínua Φ t : X Y, com Φ t (x) = Φ(x, t). Se tomarmos a família a um parâmetro {Φ t } 0 t 1 claramente isso determina Φ, e vice-versa. Portanto, {Φ t } 0 t 1 também é chamada uma homotopia ou deformação. Uma forma clara de compreendermos o que é uma homotopia de um espaço topológico X a outro Y, é fixando x X e variando t [0, 1], assim podemos pensar em Φ(x, t) como sendo a trajetória que x descreve em Y durante a unidade de tempo [0, 1]. A deformação Φ é então uma família de tais trajetórias em Y, indexadas pelo parâmetro x X. Definição 1.22 (Homotopia de Aplicações Contínuas). Sejam f 0, f 1 : X Y duas aplicações contínuas, onde X e Y são espaços topológicos. Então, f 0 e f 1 são ditas serem homotópicas se existe uma deformação {Φ t : X Y } 0 t 1 tal que f 0 = Φ 0 e f 1 = Φ 1 e escrevemos Φ : f 0 f 1, ou simplesmente f 0 f 1. Também dizemos que Φ é uma deformação de f 0 para f 1. Ainda, se A X e Φ : X [0, 1] Y é tal que Φ t A = Φ 0 A, t [0, 1], dizemos que Φ é uma homotopia relativa a A e escrevemos Φ : f 0 f 1 rel A. E também, se f 1 for uma aplicação constante, dizemos que a homotopia Φ : f 0 f 1 é uma homotopia nula, e f 0 = Φ 0 é dita ser homotopicamente nula. Proposição A relação de homotopia é uma relação de equivalência. Demonstração. De fato, consideremos a homotopia constante {Φ t = f} 0 t 1, então claramente Φ é uma deformação de f para f, ou seja, f f e logo é reflexiva. Para a propriedade de simetria basta observarmos que se {Φ t } : f 0 f 1 é uma deformação de f 0 para f 1 então tomamos {Φ 1 t } : f 1 f 0 que é uma deformação de f 1 para f 0 e logo é simétrica. Para a propriedade de transitividade vejamos que:

23 1.3. Homotopia 5 Se Φ : f 0 f 1 e Φ : f 1 f 2, então tomamos Φ : f 0 f 2 tal que logo é transitiva. Φ 2t, para 0 2t 1 Φ t = Φ 2t 1, para 1 2t 2 Definição 1.24 (Classe de Homotopia de Aplicações Contínuas). A classe de equivalência de uma aplicação contínua f : X Y, onde X e Y são espaços topológicos, sob, é chamada classe de homotopia de f, e será denotada por [f]. Proposição A relação de homotopia é compatível com a composição,i.e., se f 0, f 1 : X Y e g 0, g 1 : Y Z são aplicações contínuas tais que f 0 f 1 e g 0 g 1, então g 0 f 0 g 1 f 1. Demonstração. Ora, como a composição de aplicações contínuas é ainda contínua, se Φ : f 0 f 1 e Φ : g 0 g 1, então tomemos Φ : g 0 f 0 g 1 f 1 tal que Φ t = Φ t Φ t. Assim, podemos fazer a seguinte definição: Definição 1.26 (Composição de Classes de Homotopia de Aplicações Contínuas). Sejam [f] e [g] classes de homotopia de aplicações contínuas. Definimos a composição de [f] por [g] por [g] [f] = [g f]. Desse modo, acabamos de mostrar que espaços topológicos e classes de homotopia de aplicações contínuas formam uma categoria, veja definição 1.1, e passaremos a denotá-la por Htp. Observação Como mencionamos no exemplo 1.7, Ob(Htp) = Ob(Top) = classe de todos os espaços topológicos e Htp(X, Y ) = {[f] : f Top(X, Y )} = conjunto de todas as classes de homotopia de aplicações contínuas. Se atribuirmos a cada aplicação contínua f Top(X, Y ) sua classe de homotopia [f] Htp(X, Y ) obteremos um funtor, π : Top Htp tal que πx = X, X Ob(Top), e πf = [f]. Uma ferramenta de extrema importância em Topologia Algébrica são os funtores t :Top A, onde A é uma categoria algébrica como grupos, anéis, e outros. Esses funtores em geral são invariantes por homotopia, ou seja, se temos que f 0 f 1 tf 0 = tf 1. Equivalentemente, temos que t se fatora por meio de π, ou seja, t = t π, onde Top Htp π A. t Desse modo, temos que t perde todas as informações sobre Top que foram perdidas por π. Em geral em Htp, também não se faz distinção entre espaços topológicos X e Y se eles são equivalentes, ou seja, se existem aplicações f : X Y e g : Y X tais que

24 6 1. Conceitos Preliminares fg id Y e gf id X. Essas aplicações são chamadas equivalências de homotopia (recíprocas), e X e Y são chamados homotopicamente equivalentes, em símbolos X Y. Os funtores t como descrevemos acima assumem o mesmo valor sobre espaços homotopicamente equivalentes, pois transformam equivalências de homotopia f : X Y em equivalências tf : tx = ty. Definição 1.28 (Par de Espaços). Um par de espaços (X, A) consiste de um espaço X junto com um subespaço A. Definição 1.29 (Aplicação de Pares). Sejam (X, A) e (Y, B) pares de espaços. Uma aplicação de pares f : (X, A) (Y, B) é uma aplicação f : X Y tal que f(a) B. Observação Se (X, A) e (Y, B) são pares de espaços topológicos, podemos tomar a aplicação de pares f : (X, A) (Y, B) como uma aplicação contínua f : X Y tal que f(a) B, e assim temos que pares de espaços e suas aplicações de pares formam uma nova categoria, sob a composição de aplicações usual, que passaremos a denotar por Top (2). Além disso, se atribuirmos a cada espaço X Ob(Top) o par de espaços (X, ) Ob(Top (2) ) e a cada aplicação f Top(X, Y ) a aplicação de pares correspondente em Top (2) ((X, ), (Y, )), obtemos um funtor T :Top Top (2). Este funtor então, identifica Top como uma subcategoria completa de Top (2), veja o último parágrafo da definição 1.10, ou seja, podemos escrever X = (X, ). Observação Triplas, etc., de espaços, e aplicações entre eles, podem ser definidos de maneira análoga a que fizemos para pares de espaços, por exemplo, a tripla de espaços (X, A, B) consiste de um espaço X, um subespaço A e um subespaço B de A. Podemos também estender todas as noções que fizemos anteriormente para homotopia e categorias, para pares, triplas, etc., de espaços topológicos, como abaixo: Uma homotopia entre aplicações de pares contínuas f 0, f 1 : (X, A) (Y, B) é, por definição, uma família a um parâmetro Φ t : (X, A) (Y, B), com 0 t 1, como em 1.21 e em 1.22, com Φ 0 = f 0 e Φ 1 = f 1, e escrevemos f 0 f 1. Segue então que é uma relação, como em 1.23, que é compatível com a composição, como em Identificando aplicações homotópicas podemos definir a categoria homotopia Htp (2) e um funtor π : Top (2) Htp (2), tal que π(x, A) = (X, A), e πf = [f] = classe de homotopia de f.

25 7 Capítulo 2 Complexos de Cadeia e Homologia 2.1 Complexos de Cadeia Sejam J Z um conjunto de índices e λ um domínio ideal principal. Definição 2.1 (Complexo de Cadeia). Um complexo de cadeia é um par (C = {C n } n J, ), onde C é um Λ-módulo graduado e : C C é um morfismo de grau 1 tal que = 0 (Refere-se a composição de morfismos que é trivial em cada C n ). Em outras palavras, um complexo de cadeia (C, ) é uma sequência n+1 C n+1 n Cn Cn 1 de λ-módulos C n e morfismos n de grau 1, chamados operadores bordos, tal que n n+1 = 0 n J. Definamos Z n (C) = Ker( n ) = n 1 (0) e B n (C) = Im( n+1 ) = n+1 (C n+1 ). Assim, passaremos a denominar de n-cadeias os elementos de C n, de n-ciclos os elementos de Z n (C) e de n-bordos os elementos de B n (C). 2.2 Homologia de um Complexo de Cadeia A condição de que n n+1 = 0, n J, em um complexo de cadeia (C = {C n } n J, ), significa que B n (C) Z n (C), ou seja, B n (C) é um λ-submódulo de Z n (C), e assim podemos formar o λ-módulo quociente Zn(C) B n(c) e definimos: Definição 2.2 (n-ésimo Grupo de Homologia de um Complexo de Cadeia). Dizemos que H n (C) é o n-ésimo grupo de homologia do complexo de cadeia (C, ) se H n (C) = Z n(c) B n (C), e seus elementos são chamados de classes n-ésimas de homologia.

26 8 2. Complexos de Cadeia e Homologia Pela definição anterior, definição 2.2, temos que classes de homologia são classes de equivalência de ciclos, e assim, dois ciclos z n, z n Z n (C) são equivalentes, se e somente se, as suas diferença é um bordo, mais formalmente, z n z n (mod B n (C)) z n z n B n (C). A classe de homologia de um ciclo z será denotada por [z]. 2.3 Aplicações de Cadeia Definição 2.3 (Aplicação de Cadeia). Sejam (C, ) e (C, ) complexos de cadeia. Um morfismo f : C C de grau zero é chamado de uma aplicação de cadeia se o diagrama C f C C f C comuta, ou seja, vale que f = f, ou mais especificamente que n f n = f n 1 n n J Z. Deste modo, temos que se f e f são aplicações de cadeia tais que C f C f C, então a composta ff : C C definida por (ff ) n = f n f n também é uma aplicação de cadeia. De fato, como f e f são aplicações de cadeia, temos respectivamente que valem (i) n f n = f n 1 n e (ii) nf n = f n 1 n n J Z e assim, n (ff def. ) n = n (f n f n) = ( n f n )f n (i) = (f n 1 n)f n = = f n 1 ( nf n) (ii) = f n 1 (f n 1 n) = (f n 1 f n 1) n def. = def. = (ff ) n 1 n. Além disso, acabamos de mostrar que complexos de cadeia e aplicações de cadeia formam uma categoria, veja definição 1.1, e assim, passaremos a denotá-la por A G. Um resultado imediato que temos é que uma aplicação de cadeia f é um isomorfismo em A G se, e somente se, cada f n é um isomorfismo em A G. 2.4 Induzida em Homologia de Aplicações de Cadeia Seja f : C C uma aplicação de cadeia. A relação de que (i) n f n = f n 1 n implica que f n (Z n (C )) Z n (C) e que f n (B n (C )) B n (C), pois para quaisquer z n Z n (C ) e

27 2.4. Induzida em Homologia de Aplicações de Cadeia 9 b n B n (C ) temos: 0 = n(z n) = (f n 1 n)(z n) (i) = ( n f n )(z n) f n (z n) Z n (C), e b n = n+1(b n+1), para algum b n+1 C n+1 f n (b n) = (f n n+1)(b n+1) (i) = ( n+1 f n+1 )(b n+1) f n (b n) Im( n+1 ) = B n (C). Portanto, se tomarmos os quocientes Zn(C ) B n(c ) = H n(c ) e Zn(C) B n(c) = H n(c) temos que f induz um morfismo bem definido de grau zero H n f : H n (C ) H n (C) tal que (H n f)[z n] = [f n (z n)]. Se ff é uma aplicação de cadeia que é dada pela composição de duas aplicações de cadeia f e f, temos que (H n (ff ))[z n] def. = [(ff ) n (z n)] def. = [(f n f n)(z n)] def. = def. = [f n (f n(z n))] def. = H n f[f n(z n)] def. = def. = (H n fh n f )[z n]. Além disso, se tomarmos f = id C : C C temos que (H n (id C ))[z n ] def. = [id C (z n )] = [z n ] H n (id C ) = id Hn(C). Portanto, acabamos de mostrar que a homologia é um funtor que vai da categoria A G para a categoria A G, veja definição 1.15, ou seja, H n : A G A G. Observação 2.4. Para facilitar a notação em alguns casos, denotaremos H n f por f. Pensando em funtores, se tomarmos os ciclos Z(C) = {Z n (C)} n J, os bordos B(C) = {B n (C)} n J, ou a homologia H(C) = {H n (C)} n J de um complexo de cadeia, temos claramente que Z, B e H são funtores covariantes da categoria A G para a categoria GA G de grupos abelianos graduados, cujos morfismos ϕ : G G, com G, G Ob(GA G), desta categoria são sequências ϕ n : G n G n de homomorfismos ordinários. Além disso, podemos realizar várias incorporações de categorias, como por exemplo: Cada grupo abeliano graduado G GA G pode se tornar um complexo de cadeia bastando tomarmos = 0. Isto define uma incorporação GA G A G. Vale notar que dado G GA G, o complexo de cadeia (G, = 0) é tal que Z(G) = G, B(G) = 0 e H(G) = G.

28 10 2. Complexos de Cadeia e Homologia Outra incorporação que podemos fazer é definindo o que segue: Definição 2.5. Seja A um grupo abeliano e k Z. Definimos e denotamos por (A, k) o grupo abeliano graduado tal que (A, k) n = A se n = k, e (A, k) n = 0 se n k, ou seja, (A, k) é concentrado no nível k, e igual a A neste. Portanto, pela definição acima, temos uma incorporação A G GA G. 2.5 Complexos de Cadeia Exatos Definição 2.6 (Complexo de Cadeia Exato). Seja (C = {C n } n J, ) um complexo de cadeia. Dizemos que (C, ) é um complexo de cadeia exato, ou acíclico, se e somente se, Ker( n ) = Im( n+1 ), n J, ou seja, se e somente se, H n (C) = 0, n J. Observação 2.7. O termo acíclico empregado na definição anterior, refere-se ao fato de que neste complexo de cadeia não há mais ciclos além dos bordos, em cada nível n, n J. Desse modo, homologia então pode ser vista como uma medida para a falta de exatidão de um complexo de cadeia. Definição 2.8 (Soma Direta de Complexos de Cadeia). Seja {(C λ, λ )} λ A uma família de complexos de cadeia. Vamos definir a soma direta dos complexos de cadeia desta família, denotada por (C λ, λ ) A G, do seguinte modo: λ ( ) (C λ, λ ) := C λ,, onde λ λ [ ] C λ λ n = λ C λ n e n {c λ } = { λ n(c λ )}, ou seja, tomamos a soma direta dos módulos graduados C λ em cada nível n e deixamos o operador bordo n : Cn λ Cn 1 λ atuar componente a componente. λ λ Observação 2.9. Como consequência da definição acima temos que Z n ( λ C λ ) def. = Ker( n ) = λ Ker( λ n) def. = λ Z n (C λ ) (2.1) e B n ( λ C λ ) def. = Im( n+1 ) = λ Im( λ n+1) def. = λ B n (C λ ), (2.2) e assim, temos que ( ) Z C λ λ def. = { Z n ( λ C λ )} n J 2.1 = { } Z n (C λ ) λ n J 2.8 = λ Z(C λ ), (2.3)

29 2.6. O Cone de uma Aplicação 11 ( ) B C λ λ def. = { B n ( λ C λ )} n J 2.2 = { } B n (C λ ) λ n J 2.8 = λ B(C λ ) (2.4) e ainda que ( ) H C λ λ def. = Z ( λ Cλ) B ( λ Cλ ) = λ Z(Cλ ) λ B(Cλ ) = λ Z(C λ ) B(C λ ) def. = λ H(C λ ). Observação De modo análogo ao feito na definição 2.8, podemos definir o produto direto de complexos de cadeia. 2.6 O Cone de uma Aplicação Definição 2.11 (Cone de uma aplicação). Sejam (K, K ) e (L, L ) dois complexos de cadeia e f : K L uma aplicação de cadeia. Definimos o cone da aplicação f, denotado por (Cf, Cf ), como sendo o novo complexo de cadeia tal que (Cf) n = L n K n 1 ( ) e n Cf (y, x) = n L (y) + f n 1 (x), n 1(x) k, (y, x) (Cf) n. De fato, podemos verificar facilmente que (Cf, Cf ) é um complexo de cadeia. Consideremos o diagrama abaixo: n+1 K K n+1 K K n n 1 n K K n 1 K n 2 f n+1 f n f n 1 f n 2 L n+1 L n+1 L n L n L n 1 L n 1 L n 2 Cf n+1 (Cf) n+1 (Cf) Cf n n (Cf) n 1 Claramente (Cf) n = L n K n 1 é um grupo abeliano para todo n J Z, pois L n e K n 1 o são. E também temos que n Cf Cf n+1 = 0, n J Z, pois ( n Cf n+1)(y, Cf x) def. = Cf ( def. = ( = ( def. = = ( ) ( ) n n+1(y, Cf def. x) = n Cf n+1(y) L + f n (x), n K def. (x) = ) n L ( n+1(y) L + f n (x)) + f n 1 ( n K (x)), n 1( K n K (x)) = ) n L ( n+1(y)) L + n L (f n (x)) f n 1 ( n K (x)), n 1( K n K def. (x)) = ) ( n L n+1)(y) L + ( n L f n )(x) (f n 1 n K )(x), ( n 1 K n K )(x) = ( 0 + ( L n f n )(x) (f n 1 K n )(x), 0 ) ( ) = (0, 0).

30 12 2. Complexos de Cadeia e Homologia ( ) pois f : K L é uma aplicação de cadeia e então temos que (f n 1 K n )(x) = ( L n f n )(x) A Suspensão de um Complexo de Cadeia Considere a definição de cone de uma aplicação dada em Se tomarmos o complexo de cadeia (L, L ) = (0, = 0), teremos que a aplicação de cadeia f : K L será tal que f = 0. Então definimos: Definição Sob as condições acima, o cone da aplicação f = 0, denotado por (K +, K+ ), é chamado a suspensão do complexo de cadeia (K, K ), e é dado por (K + ) n = K n 1 e K+ n (x) = K n 1(x), x (K + ) n. ( ) Note que K + = {K n 1 } n J. Como H(K), = 0 A G, vide final da seção 2.4, ( ( ) +, ( + sua suspensão H(K)) + = 0 é tal que H(K)) = {Hn 1 (K)} n J, e assim temos que e mais geralmente, H n (K + ) def. = Z n(k + ) B n (K + ) = Ker( K n 1) Im( K n ) def. n ) = Ker( K+ Im( K+ n+1) def. = Z n 1(K) B n 1 (K) def. = Ker( K n 1) Im( K n ) def. = H n 1 (K), ( H(K + ) def. = {H n (K def. +. )} n J = {H n 1 (K)} n J = H(K)) = (2.5) curta Tendo em vista os conceitos já apresentados, podemos formar uma sequência exata de aplicações de cadeia tal que 0 L l Cf k K + 0 (2.6) l(y) = (y, 0), y L e k(y, x) = x, (y, x) Cf. Além disso, esta sequência, sequência 2.6, se fatora em todos os seus níveis, ou seja, para todo n J, existem aplicações j n e q n com 0 L n l n j n (Cf) n k n q n (K + ) n 0

31 2.6. O Cone de uma Aplicação 13 tais que j n l n = id Ln, k n q n = id (K + ) n e l n j n + q n k n = id (Cf)n. (2.7) Explicitamente: Como l n (y) = (y, 0), y L n, j n (y, x) = y, (y, x) (Cf) n. Como k n (y, x) = x, (y, x) (Cf) n, q n (x) = (0, x), x (K + ) n. E assim segue as relações em 2.7. Observação Observe que as aplicações l e q são monomorfismos e que as aplicações k e j são epimorfismos. Observação Quando uma sequência exata de aplicações de cadeia se fatora em todos os seus níveis dizemos que ela cinde. Observação Em geral, a sequência exata 2.6 não se fatorará como aplicação de cadeia, ou seja, as aplicações existentes em todos os seus níveis j n e q n de sua fatoração, em geral não serão aplicações de cadeia. Veja o seguinte exemplo: ( ) Tomemos (K, K ) = (L, L ) = (Z, 0), = 0 A G e f : K L aplicação de cadeia tal que f = id. Assim, (Cf) n = ( ) C(id) = n 0 Z, se n = 1 Z 0, se n = 0 0 0, se n 0, 1 com e ( ) n C(id) (y, x) = (x, 0), (y, x) C(id), n ) (K + ) n = ((Z, 0) + n Z, se n = 1 = 0, se n 1 = ( ) (Z, 1) n com (Z,0)+ n = 0. Logo, a sequência exata 2.6 para este exemplo, é Forma Aberta Forma Fechada

32 14 2. Complexos de Cadeia e Homologia j 1 l 1 0 Z q 1 Z Lembrando que k 1 L 1 =0 C(id) 1 j 0 Z l 0 Z 0 q 0 (Z,0)+ 1 =0 0 L 0 =0 0 j 1 C(id) 0 k 0 q 1 (Z,0)+ 0 = l 1 k 1 (Z, 0) j l C(id) (Z, 0) l(y) = (y, 0), y (Z, 0), j(y, x) = y, (y, x) C(id), k(y, x) = x, (y, x) C(id) e q(x) = (0, x), x (Z, 0) +, obtemos facilmente que j e q não são aplicações de cadeia, pois: Para j: ( ) (i) j 0 C(id) 1 (0, x) = j 0 (x, 0) = x. ) (ii) ( L1 j 1 (0, x) = 1 L (0) = 0. q k Logo, de (i) e (ii) temos que j 0 C(id) 1 L 1 j 1 j C(id) L j. Portanto, j não é uma aplicação de cadeia. E o mesmo temos para q, pois: (iii) (iv) ) (q 0 (Z,0)+ 1 (x) = q 0 (0) = (0, 0). ( ) C(id) 1 q 1 (x) = C(id) 1 (0, x) = (x, 0). Logo, de (iii) e (iv) temos que q 0 (Z,0)+ 1 C(id) 1 q 1 q (Z,0)+ C(id) q. Portanto, q não é uma aplicação de cadeia. Definição O cone da aplicação id : K K é chamado cone de K, e será

33 2.6. O Cone de uma Aplicação 15 denotado por CK. Assim, a sequência exata 2.6 para este caso torna-se 0 K l CK k K + 0.

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35 17 Capítulo 3 O Homomorfismo de Conexão de uma Sequência Exata de Aplicações de Cadeia 3.1 Complexos de Cadeia: Mais Alguns Conceitos Observação 3.1. Como por definição todo A-módulo, onde A é um anel com elemento unidade 1 0, é um grupo abeliano com respeito a operação de adição, quando não houver perigo de confusão, poderemos nos referir a um A-módulo dado simplesmente como sendo um grupo abeliano Subcomplexos de Cadeia Definição 3.2 (Subcomplexo de Cadeia). Seja (C, ) um complexo de cadeia. Se C n C n, n J, é uma sequência de subgrupos tal que (C n) C n 1, n J, então C n+1 C n C n 1, = C é em si um complexo de cadeia, chamado de subcomplexo de cadeia do complexo de cadeia (C, ). Assim, temos claramente que a aplicação inclusão i : C C é uma aplicação de cadeia, devido a definição de Complexos de Cadeia Quocientes Sejam (C, ) um complexo de cadeia e (C, = C ) um subcomplexo de cadeia do complexo de cadeia (C, ). Como temos que C n C n, n J, podemos formar os

36 3. O Homomorfismo de Conexão de uma Sequência Exata de Aplicações de 18 Cadeia quocientes Cn, n J, e assim, temos que C n n induz um homomorfismo bem definido n : C n C n C n 1 C n 1 dado por n [c] = [ n (c)] tal que n n+1 = 0. E então definimos: Definição 3.3 (Complexo de Cadeia Quociente). Definimos o complexo de cadeia ( C C, ) construído acima como sendo o complexo de cadeia quociente de (C, ) por (C, ). Dessa forma, temos claramente que a projeção natural p : C C C, que atribui a cada c C a sua classe lateral em C C, é uma aplicação de cadeia, devido a definição de. Exemplo 3.4. Seja f : K L uma aplicação de cadeia. O Ker(f) definido por (Ker(f)) n = Ker(f n ) e a Im(f) definida por (Im(f)) n = Im(f n ) formam subcomplexos de cadeia dos complexos de cadeia (K, K ) e (L, L ), respectivamente, pois Ker(f n ) K n e Im(f n ) L n, n J, e como f é uma aplicação de cadeia vale a relação de que ( ) L n f n = f n 1 K n, e assim temos que: (i) K n (Ker(f n )) Ker(f n 1 ) : De fato, seja z Ker(f n ) então 0 = f n (z) = L n (f n (z)) = ( L n f n )(z) ( ) = (f n 1 K n )(z) = f n 1 ( K n (z)) K n (z) Ker(f n 1 ). Logo, K n (Ker(f n )) Ker(f n 1 ). (ii) L n (Im(f n )) Im(f n 1 ) : De fato, seja b Im(f n ) então b = f n (k), para algum k K n L n (b) = L n (f n (k)) = ( L n f n )(k) ( ) = (f n 1 K n )(k) = f n 1 ( K n (k)) L n (b) Im(f n 1 ). Logo, L n (Im(f n )) Im(f n 1 ). Observação 3.5. Observe que pelo Teorema do Isomorfismo, ou também Teorema do Homomorfismo dependendo do autor, que diz: Teorema 3.6 (Teorema do Isomorfismo). Se ϕ : A B é um homomorfismo então a aplicação ϕ : A Ker(ϕ) Im(ϕ) que associa a cada ā A está bem definida e é um isomorfismo. Ker(ϕ) a imagem ϕ(a) Im(ϕ), Demonstração. A demonstração é bem simples e pode ser encontrada nos livros 2, 4, 6, 7 e 10. temos então que K Ker(f) = Im(f). Isto será útil para o que segue.

37 3.2. Sequências Exatas de Homologia 19 Visto os conceitos de subcomplexos de cadeia e de complexos de cadeia quocientes, já podemos mostrar facilmente que a sequência 0 K i K p K K 0 das aplicações de cadeia inclusão e projeção, definidas nas duas últimas seções, formam uma sequência exata, o que significa que ( ) K 0 K n K n é exata para cada n J. Reciprocamente, se 0 K i K K n 0 (3.1) p K 0 (3.2) é uma sequência exata curta, em cada nível, de aplicações de cadeia então K = i(k ) e K = K i(k ) curta 3.2 é da forma 3.1. pela observação 3.5, isto é, a menos de isomorfismos cada sequência exata 3.2 Sequências Exatas de Homologia Nosso objetivo nesta seção é construir o homomorfismo de conexão de uma sequência exata de aplicações de cadeias e estudar as suas principais propriedades. Para isso, comecemos provando a seguinte proposição: i p Proposição 3.7. Se 0 K K K 0 é uma sequência exata de aplicações de cadeia então a sequência HK i p HK HK também é exata (H é um funtor meio-exato). Contudo, em geral i não é um monomorfismo e p não é um epimorfismo. Demonstração. Precisamos mostrar que Im(i ) = Ker(p ). Ora, para mostrar que Im(i ) Ker(p ) basta observarmos que pi = 0, e assim temos que p i prop. = (pi) = 0 = 0. Agora para mostrarmos que Ker(p ) Im(i ) façamos o seguinte: Lembremos primeiramente que como p e i são aplicações de cadeia temos que ( ) p = p e que ( ) i = i. Seja [z] Ker(p ), logo z Z(K) K e assim temos que (1) p(z) = (x ), para algum x K. Escolha (2) x p 1 (x ). Assim, p(z (x)) = p(z) p( (x)) (1) = (x ) (p )(x) ( ) = (x ) ( p)(x) = = (x ) (p(x)) (2) = (x ) (x ) = 0,

38 3. O Homomorfismo de Conexão de uma Sequência Exata de Aplicações de 20 Cadeia logo z (x) Ker(p) z (x) = i(z ) (3), para algum z K. Mais ainda, temos que i( (z )) = (i )(z ) ( ) = ( i)(z ) = (i(z )) (3) = (z (x)) = (z) ( (x)) = 0 0 = 0, o que implica que (z ) = 0, pois i é um monomorfismo. Assim z Z(K ), logo i [z ] def. = [i(z )] (3) = [z (x)] = [z], pois (x) B(K). Em particular, [z] Im(i ). Como mencionado na proposição anterior, em geral i não é um monomorfismo e p não é um epimorfismo (logo H não é nem direita, nem esquerda exata na sequência). Um exemplo deste fato é fornecido pelo mesmo exemplo que demos para mostrar que uma sequência exata em geral não se fatora como aplicação de cadeia, veja observação 2.15, ou seja, considere a seguinte sequência: 0 (Z, 0) i=l C(Z, 0) p=k (Z, 1) 0. Assim, temos que HC(Z, 0) = 0, H(Z, 0) = (Z, 0) Ker(i ) = (Z, 0) e H(Z, 1) = (Z, 1) Im(p ) O Homomorfismo de Conexão : H n K H n 1 K Como anteriormente, seja 0 K i K p K 0 (3.3) uma sequência exata curta de aplicações de cadeia. Consideremos os homomorfismos (sem ) H n 1 K p 1 (Z n (K )) p H n K onde p(x) = [p(x)] e (x) = [i 1 ( (x))]. Note que p(x) Z n (K ) e que esta definição para faz sentido, pois p é uma aplicação de cadeia e 0 = ( p)(x) = (p )(x) e assim temos que (x) p 1 (0) = Ker(p) = Im(i), e ainda ( i 1 ( (x)) ) = i 1( ( (x)) ) = 0, o que implica que i 1 ( (x)) Z(K ). Além disso, claramente p = [ ] p é um epimorfismo. Como exibido no diagrama acima, queremos definir o homomorfismo = p 1 : H n K H n 1 K. Para que esteja bem definido, observemos ainda que se x, y p 1 (Z n (K )) são tais que px = c 1 = py temos que p(x y) = 0 x y Ker( p) e que

39 3.2. Sequências Exatas de Homologia 21 c 1 = p 1 c 1 = x = y (x y) = 0 x y Ker( ). Portanto, falta-nos ainda verificar se Ker( p) = 0. Mas veja, dado x Ker( p) temos que 0 = p(x) def. = [p(x)] p(x) B(K ) o que significa que p(x) = (p(y)) = p( (y)), para algum y K, logo p(x (y)) = 0 x (y) Ker(p). Como Ker(p) = Im(i) temos que x (y) = i(y ), para algum y K, assim (x) = (i(y )) i 1 ( (x)) = i 1 ( (i(y ))) = (i 1 (i(y ))) = (y ) e então [i 1 ( (x))] = [ (y )] = 0. Portanto, a passagem para quociente da sequência 3.3 produz um único homomorfismo = p 1 : H n K H n 1 K, com [p(x)] = [i 1 ( (x))], ou equivalentemente, = p 1 : H n K H n 1 K, com [y] = [i 1 ( (p 1 (y)))], com y = p(x) Z n (K ), e x = p 1 y p 1 (Z n (K )), e assim definimos: Definição 3.8 (Homomorfismo de conexão). O homomorfismo = p 1 : H n K H n 1 K, com [p(x)] = [i 1 ( (x))], construído acima é chamado homomorfismo de conexão da sequência 3.3. Vejamos as principais propriedades de : Proposição 3.9. a) Naturalidade: Se 0 K i K p K 0 f 0 L j f f L q L 0 é um diagrama comutativo de aplicações de cadeia com linhas exatas então H n K H n 1 K f f H n L H n 1 L também é comutativo, i.e., f = f. b) Exatidão: A sequência Hn K i Hn K p H n K Hn 1 K i Hn 1 K p,

40 3. O Homomorfismo de Conexão de uma Sequência Exata de Aplicações de 22 Cadeia chamada sequência de homologia de 3.3 é exata. Demonstração. a) Seja [px] HK. Então f [px] def. = f [i 1 K x] def. = [f i 1 K x] hip. = [j 1 f K x] hip. = hip. = [j 1 L fx] def. = [qfx] hip. = [f px] def. = def. = f [px]. b) Pela proposição 3.7, resta-nos apenas mostrar a exatidão sobre HK e HK, ou seja, que Im( ) = Ker(i ) e que Im(p ) = Ker( ). Façamos: (i) Im( ) Ker(i ) : Seja [px] HK. Então i [px] def. = i [i 1 K x] def. = [ii 1 K x] = [ K x] = 0. (ii) Ker(i ) Im( ) : Seja [z ] Ker(i ). Assim, 0 = i [z ] def. = [iz ] iz = K x, para algum x K, ou ainda que z = i 1 K x. Como px = p K x = piz = 0, pois Im(i) = Ker(p), temos que px Z(K ) e assim segue que [z ] = [i 1 K x] def. = [px]. (iii) Im(p ) Ker( ) : Seja [z] HK. Assim, z Z(K) e então p [z] def. = [pz] def. = [i 1 K z] = 0. (iv) Ker( ) Im(p ) : Seja [px] Ker( ). Assim, 0 = [px] def. = [i 1 K x] i 1 K x = x, para algum x K, ou ainda que K x = i x = K ix. Logo, K (x ix ) = 0 x ix Z(K), e assim segue que P [x ix ] = [px pix ] = [px], pois Im(i) = Ker(p). Vamos agora provar um corolário que podemos obter deste teorema de forma direta. Porém para isso, precisaremos do seguinte lema: Lema 3.10 (Lema das Cinco). Se A 1 α 1 A2 α 2 A3 α 3 A4 α 4 A5 ϕ 1 ϕ 2 B 1 β 1 B 2 β 2 B 3 β 3 B 4 β 4 B 5 ϕ 3 ϕ 4 ϕ 5 é um diagrama comutativo com linhas exatas e ϕ 1, ϕ 2, ϕ 4 e ϕ 5 são isomorfismos, então assim também é ϕ 3.

41 3.2. Sequências Exatas de Homologia 23 Demonstração. Vide o livro 2, pág. 8. Corolário Se 0 K K K 0 0 L L L 0 é um diagrama comutativo de aplicações de cadeia com linhas exatas e se duas das setas verticais induzir isomorfismos em homologia, em seguida o mesmo acontece com a terceira. Demonstração. Pelo item a) da proposição anterior 3.9, temos que as setas verticais induzem aplicações entre as sequências exatas de homologia das linhas exatas do diagrama. Como duas em cada três dessas aplicações são isomorfismos, temos portanto, que as terceiras aplicações são isomorfismos, pelo Lema das Cinco Definição Uma sequência exata 0 K i K K 0 de aplicações de cadeia cinde se se fatora em todos os seus níveis, ou seja, existem aplicações K n j n q n K n K n, n J, tais que ji = id, pq = id e ij + qp = id. p Observação Uma sequência exata de aplicações de cadeia que cinde não necessariamente se fatora como aplicação de cadeia, vide observação Desse modo, temos então que o homomorfismo de conexão : HK HK tem uma conveniente descrição como segue: Proposição A sequência de aplicações d n = j n 1 q n : K n K n 1 = (K ) + n é uma aplicação de cadeia e o homomorfismo induzido em homologia d : H n K H n (K ) + = H n 1 K coincide com o homomorfismo de conexão. Demonstração. Primeiramente vamos mostrar que a sequência de aplicações d n é uma aplicação de cadeia, ou seja, que vale ( ) + n d n = d n 1 n, n Z.

42 3. O Homomorfismo de Conexão de uma Sequência Exata de Aplicações de 24 Cadeia Lembremos que ( ) + n = n 1 por definição. Então façamos: i n 2 ( n 1d n ) = (i n 2 n 1)j n 1 n q n = ( n 1 i n 1 )j n 1 n q n = n 1 (i n 1 j n 1 ) n q n = = n 1 (id q n 1 p n 1 ) n q n = n 1 n q n n 1 q n 1 p n 1 n q n = = 0 n 1 q n 1 (p n 1 n )q n = n 1 q n 1 ( np n )q n = = n 1 q n 1 n(p n q n ) = n 1 q n 1 nid = = (id) n 1 q n 1 n = (i n 2 j n 2 + q n 2 p n 2 ) n 1 q n 1 n = = i n 2 (j n 2 n 1 q n 1 ) n q n 2 (p n 2 n 1 )q n 1 n = = i n 2 (d n 1 ) n q n 2 ( n 1p n 1 )q n 1 n = = i n 2 ( d n 1 n) q n 2 n 1(p n 1 q n 1 ) n = = i n 2 ( d n 1 n) q n 2 n 1(id) n = = i n 2 ( d n 1 n) 0 = = i n 2 ( d n 1 n). Assim, como i é um monomorfismo, obtemos que n 1d n = d n 1 n n 1d n = d n 1 n ( ) + n d n = d n 1 n. Como n Z que tomamos é qualquer, temos que d : K (K ) + é uma aplicação de cadeia. Vamos mostrar agora que d e coincidem. Ora, tomemos z Z(K ). Então [z ] = [i 1 qz ] = [j qz ] = [dz ] = d [z ]. Corolário Se f : K L é uma aplicação de cadeia então o homomorfismo de conexão da sequência exata 2.6, 0 L Cf K + 0, coincide com Hf : HK HL Demonstração. De fato, como esta sequência se fatora em todos os seus níveis por q(x) = (0, x), j(y, x) = y e temos que j q = f, pela proposição anterior 3.14 terminamos. Corolário Se f : K L é uma aplicação de cadeia então Hf : HK HL é um isomorfismo se, e somente se, o cone da aplicação f, Cf, é acíclica, H(Cf) = 0. Demonstração. Basta tomarmos a sequência exata de homologia 3.9 b) e utilizarmos o corolário anterior 3.15.

43 25 Capítulo 4 Homotopia de Cadeias Definição 4.1 (Homotopia de Aplicações de Cadeia). Sejam f, g : K K aplicações de cadeia. Uma homotopia s entre f e g, em símbolos s : f g, é uma sequência de homomorfismos s n : K n K n+1 tal que n+1s n + s n 1 n = f n g n, n J Z. Escrevemos f g e dizemos que f e g são homotópicas, se tal s existe. Proposição 4.2. A relação de homotopia é uma relação de equivalência. Demonstração. De fato, 0 : f f, pois 0 = = f f, logo é reflexiva. Se s : f g então s : g f, pois como s : f g s + s = f g (1) e assim, ( s) + ( s) = s s = ( s + s ) (1) = (f g) = g f, logo é simétrica. Se s : f g e t : g h então s + t : f h, pois como s : f g s + s = f g (i) e como t : g h t + t = g h (ii) e assim, (s + t) + (s + t) = s + t + s + t = ( s + s ) + ( t + t ) (i) (ii) = (i) (ii) = (f g) + (g h) = f + ( g + g) h = f + 0 h = = f h, logo é transitiva. Definição 4.3 (Classe de Homotopia de uma Aplicação de Cadeia). A classe de equivalência de uma aplicação de cadeia f : K K, sob, é chamada classe de homotopia de f, e será denotada por [f]. Proposição 4.4. A relação de homotopia é compatível com a composição, ou seja, se f g : K K e f g : K K então f f g g.

44 26 4. Homotopia de Cadeias Demonstração. Primeiramente lembremos que como f e g são aplicações de cadeia temos que f = f (i) e g = g (ii), respectivamente. Assim, se s : f g s + s = f g (1) e então f s : f f f g, pois (f s) + (f s) = ( f )s + f (s ) (i) = (f )s + f (s ) = f ( s) + f (s ) = = f ( s + s ) (1) = f (f g) = f f f g. Do mesmo modo, temos que se s : f g s + s = f g (2) e então s g : f g g g, pois (s g) + (s g) = ( s )g + s (g ) (ii) = ( s )g + s ( g) = ( s )g + (s )g = = ( s + s )g (2) = (f g )g = f g g g. Portanto, pela transitividade de temos que f s + s g : f f g g. Assim, podemos fazer a seguinte definição: Definição 4.5 (Composição de Classes de Homotopia de Aplicações de Cadeia). Sejam [f] e [f ] classes de homotopia de aplicações de cadeia. Definimos a composição de [f] por [f ] por [f ] [f] = [f f]. Desse modo, acabamos de mostrar que complexos de cadeia e classes de homotopia de aplicações de cadeia formam uma categoria, e passaremos a denotá-la por H G. Observação 4.6. Veja que Ob(H G) = Ob( A G) = classe de todos os complexos de cadeia e H G(K, L) = {[f] : f A G(K, L)} = conjunto de todas as classes de homotopia de aplicações de cadeia. Se atribuirmos a cada aplicação de cadeia f A G(K, L) sua classe de homotopia [f] H G(K, L) obteremos um funtor covariante π : A G H G tal que πk = K, K Ob( A G), e πf = [f]. Uma aplicação de cadeia f : K K cuja classe de homotopia é uma equivalência em H G, ou seja, existem aplicações de cadeia K f K f K tal que f f id K e ff id K, é chamada equivalência de homotopia. Os complexos de cadeia (K, ) e (K, ) são chamados homotopicamente equivalentes e escrevemos (K, ) (K, ). A aplicação f é chamada de homotopia inversa de f. 4.1 Homologia e Homotopia Proposição 4.7. Se f g : K K então f = g : HK HK, i.e., aplicações de cadeia homotópicas induzem o mesmo homomorfismo em homologia.

45 4.2. Complexos de Cadeia Contráteis 27 Demonstração. Seja [z] HK z Z(K) (1). Se s : f g s + s = f g (2), e então temos que f [z] g [z] def. = [fz] [gz] prop. = [fz] + [ gz] def. = [fz gz] = [(f g)z] (2) = pois sz B(K ). (2) = [( s + s )z] = [ sz + s z] (1) = [ sz + 0] = [ sz] = 0, Corolário 4.8. Se f : K K é uma equivalência de homotopia então f : HK HK é um isomorfismo. Demonstração. De fato, como f é uma equivalência de homotopia então temos que ff id K e f f id K, e assim f f prop. = (ff ) 4.7 = id = id e f f prop. = (f f) 4.7 = id = id. Portanto, f é um isomorfismo. Observação 4.9. Equivalentemente à proposição 4.7, temos que a homologia vista como um funtor H se fatora por meio de H G, ou seja, existe um diagrama comutativo de funtores A G H G A G π H H G Assim, o corolário acima, corolário 4.8, diz simplesmente que o funtor H leva equivalências em equivalências. 4.2 Complexos de Cadeia Contráteis Definição 4.10 (Complexo de Cadeia Contrátil). Seja (K, ) um complexo de cadeia. Se id k 0, ou equivalentemente (K, ) 0, dizemos que (K, ) é um complexo de cadeia contrátil. Pelo corolário 4.8 temos que se (K, ) 0 então HK = 0. Para a recíproca desse resultado temos a seguinte proposição: Proposição Seja (K, ) um complexo de cadeia acíclico, i.e., HK = 0. Então (K, ) 0 se, e somente se, para todo n J, Z n (K) é uma soma direta de K n. Para demostrarmos este resultado, precisamos definir e demonstrar o que segue:

46 28 4. Homotopia de Cadeias Definição Sejam {A λ } λ Λ e A grupos abelianos. Uma família de homomorfismos {p λ : A A λ } λ Λ (resp. {i λ : A λ A} λ Λ ) é chamada representação do produto direto (resp. representação da soma direta) se {p λ } : A λ A λ (resp. {i λ } : λ A λ A) é um isomorfismo. Proposição Se Λ é finito e se {p λ : A A λ }, resp. {i λ : A λ A}, λ Λ, são famílias de homomorfismos tal que p λ i λ = id Aλ, p λ i µ = 0, para µ λ, i λ p λ = id A, (4.1) λ então {p λ } é uma representação do produto direto e {i λ } é uma representação da soma direta. Reciprocamente, se p = {p λ : A A λ } λ Λ é uma representação do produto direto então existe uma única família {i λ : A λ A} que satisfaz 4.1. Analogamente para representações de somas diretas. Observação Em particular, uma sequência exata curta 0 A α A α A 0 se fatora se, e somente se, Im(α ) (resp. Im(α )) é uma componente da representação da soma direta (resp. representação do produto direto) A A = A. Demonstração. (Proposição 4.13.) Vide 2, pág. 10. Demonstração. (Proposição 4.11.) ( ) Tome s : id K 0, ou seja, temos que s + s = id K. Como (K, ) é acíclico, temos que B(K) = 0 s B(K) = id B(K). Logo, a sequência exata 0 Z(K) K B(K) 0 se fatora, e pela proposição 4.13 e observação 4.14, temos que Z(K) é uma soma direta de K. ( ) Suponhamos que t : B(K) K tal que t = id. Logo temos que K = Z(K) tb(k) = B(K) tb(k). Definamos s tal que s B(K) = t e s tb(k) = 0. Então ( s + s ) B(K) = t = id e ( s + s ) tb(k) = s tb(k) = t tb(k) = id. Observação Um exemplo de um complexo de cadeia (K, ) tal que HK = 0 e (K, ) não é homotopicamente equivalente a 0, é K n = Z 4 e n = multiplicação por 2, n J. Se fosse, Z 4 seria isomorfo a Z 2 Z 2 e { 0, 2} = Z 2. Absurdo! A proposição 4.11 é particularmente útil em conexão com o que segue:

47 4.3. Complexos de Cadeia Livres 29 Proposição Se o cone de uma aplicação de cadeia f : K L é contrátil, Cf 0, então f é uma equivalência de homotopia. A recíproca também é verdadeira. Demonstração. Vide 2, pág Complexos de Cadeia Livres Definição 4.17 (Complexo de Cadeia Livre). Um complexo de cadeia (K, ) é chamado livre, se K n é livre, n J Z. Proposição Seja (K, ) um complexo de cadeia livre. Z n (K) é uma soma direta de K n. Então o grupo de ciclos Para demostrarmos este fato vamos fazer uso das seguintes proposições: Proposição Todo subgrupo de um grupo abeliano livre é livre. Proposição Se F é um grupo abeliano livre então toda sequência exata curta 0 A A α F 0 se fatora. (Por isso A = A F.) Demonstração. (Proposições 4.19 e 4.20.) Ambas as demonstrações encontram-se na pág. 12 do livro 2. Demonstração. (Proposição 4.18) Como pela proposição 4.19 temos que todo subgrupo de um grupo abeliano livre é livre, temos que B(K) K é livre, e assim a sequência exata 0 Z(K) K B(K) + 0 se fatora, pela proposição 4.20, e portanto, K = Z(K) B(K) +. Proposição Seja f : K L uma aplicação de cadeia entre complexos de cadeia livres. Se f : HK = HL então f é uma equivalência de homotopia. Demonstração. Pela proposição 4.16, é suficiente mostrarmos que Cf 0, e para mostrarmos que Cf 0, pela proposição 4.11, é suficiente mostrarmos que HCf = 0 e que os ciclos Z(Cf) são somas diretas. Este último segue da proposição 4.18, pois (Cf, ) é tal que (Cf) n = L n K n 1 que é livre n J. E HCf = 0, pelo corolário Observação Veja que a proposição acima, proposição 4.21, é a recíproca do corolário 4.8 demonstrado na seção Complexos de Cadeia Curtos Definição 4.23 (Complexo de Cadeia Curto). Seja (K, ) um complexo de cadeia. Se n Z tal que K i = 0, i n, n + 1 e n+1 : K n+1 K n é monomórfica, então dizemos que (K, ) é um complexo de cadeia curto. Observe que essencialmente um complexo de cadeia curto é concentrado no nível n. E além disso, se K n = Z então dizemos que (K, ) é um complexo de cadeia elementar.