SECRETARIA DE EDUCAÇÃO MÉDIA E TECNOLÓGICA

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1 MEC MINISÉRIO D EDUCÇÃO SECRERI DE EDUCÇÃO MÉDI E ECNOLÓGIC CENRO FEDERL DE EDUCÇÃO ECNOLÓGIC DO ESPIRIO SNO GERÊNCI DE POIO O ENSINO COORDENDORI DE RECURSOS DIDÁICOS Curs: Frmçã Ctud em Gerreferecmet plcd Cdstr Rurl Módul 7: justmet de Observções COORDENDORI DE GEOMÁIC

2 MEC MINISÉRIO D EDUCÇÃO SECRERI DE EDUCÇÃO MÉDI E ECNOLÓGIC CENRO FEDERL DE EDUCÇÃO ECNOLÓGIC DO ESPIRIO SNO GERÊNCI DE POIO O ENSINO COORDENDORI DE RECURSOS DIDÁICOS Módul 7: justmet de Observções Prf Gerld Psss mrm Egeher Cvl UFES (987) Mestre em Egehr Cvl: rsprtes EESC-USP (4) CEFEES - Crdedr de Gemátc JUNHO - 5

3 Sumár CPÍULO - NOÇÕES DE JUSMENO DE OBSERVÇÕES 6 INRODUÇÃO 6 MÉODO DOS MÍNIMOS QUDRDOS 8 Represetçã Mtrcl d Méd CPÍULO - EORI DOS ERROS 5 INRODUÇÃO 5 LGUNS CONCEIOS 5 Err Verdder 5 Err prete (e) 5 Resídu (v) 5 4 Dscrepâc 6 DESVIO PDRÃO 6 Err Mám lerável (lerâc) - em 6 4 IPOS DE ERROS: ORIGENS E CRCERÍSICS 8 4 Errs Grssers (Equívcs) 8 4 Errs Sstemátcs u cumultvs 8 4 Errs cdets u letórs 9 5 CLSSIFICÇÃO DS OBSERVÇÕES 5 Drets 5 Idrets 5 Drets Cdcds 6 VLOR MIS PROVÁVEL DE UM GRNDEZ 7 MEDIDS DE DISPERSÃO 7 Vrâc 7 Desv Pdrã CPÍULO - DISRIBUIÇÃO NORML 4 INRODUÇÃO 4 Prbblddes 4 Vrável Ctíu 4 DISRIBUIÇÕES NORMIS 6 Crcterístcs ds Dstrbuções Nrms 8 Dstrbuçã Nrml cm Mdel Relçã etre s Errs cdets u letórs e Curv Nrml 4 dstrbuçã Nrml Pdrzd 5 bel Nrml Pdrzd 4 CPÍULO 4 - PROPGÇÃO DE ERROS 4

4 4 INRODUÇÃO 4 4 FUNÇÃO LINER 4 4 FUNÇÃO NÃO-LINER 4 44 LINERIZÇÃO VRIÂNCI E CORRELÇÃO Vrâc Cvrâc Cefcete de Crrelçã PROPGÇÃO D VRIÂNCI DE OBSERVÇÕES INDEPENDENES 5 47 PROPGÇÃO DE VRIÂNCI DE OBSERVÇÕES CORRELCIONDS Prpgçã de um Úc Fuçã Prpgçã de ms de um Fuçã 59 CPÍULO 5 - JUSMENO PELO MÉODO PRMÉRICO 7 5 INRODUÇÃO 7 5 MODELO MEMÁICO DO MÉODO PRMÉRICO 7 5 Equçã Nrml 75 5 VRIÂNCI 76 5 Mtrz de Pes 76 5 Vrâc prr 77 5 Vrâc Psterr ROIN PR PLICÇÃO DO MÉODO PRMÉRICO EXERCÍCIOS 78 CPÍULO 6 - QULIDDE DO JUSMENO 9 6 ESE DE HIPÓESES 9 6 DEECÇÃO OULIER E LOCLIZÇÃO DE ERRO GROSSEIRO 95 6 Outlers 96 6 ESES DE QULIDDE DO JUSMENO 96 6 este Glbl d Vrâc Psterr 96 6 este Blterl 97 6 este Ulterl álse ds Resultds d este Glbl este Dt Spg - Detecçã de Outler CPÍULO 7 - ELIPSE DE ERROS 4 7 NÁLISE CLÁSSIC D ELIPSE DE ERRO 5 7 NÁLISE D ELIPSE DE ERRO RVÉS DO CÍRCULO DE MOHR 6 7 PDRÕES DS ELIPSES DE ERRO 8 CPÍULO 8 - LINERIZÇÃO DE LGUNS MODELOS FUNCIONIS

5 8 ÂNGULOS 8 Equçã ds âguls: 8 ZIMUES 4 8 Fuçã zmute 5 8 Dervd d equçã d âgul (Eq 89) em relçã X 5 8 Dervd d equçã d âgul (Eq 89) em relçã Y 5 84 Dervd d equçã d âgul (Eq 89) em relçã X 6 85 Dervd d equçã d âgul (Eq 89) em relçã Y 6 8 DISÂNCIS 7 8 Fuçã dstâc 7 8 Dervds prcs 7 CPÍULO 9 - NOÇÕES DE DERIVDS 8 9 DEFINIÇÃO DE DERIVD 9 9 REGRS DE DERIVÇÃO CPÍULO - NOÇÕES DE MRIZ CONCEIO DE MRIZ IPOS DE MRIZES Mtrz qudrd Mtrz detdde de rdem Mtrz trspst PRODUO DE MRIZ 4 MRIZ INVERS 4 Mtrz vers prtr d mtrz djut e determte 5 BIBLIOGRFI

6 6 Gerreferecmet de Imóves Rurs justmet de Observções Cpítul - Nções de justmet de Observções Itrduçã bterms um medd de que se requer cfç, tutvmete, ós repetms s bservções e ã cfms em pes um bservçã Ms, prtr de várs bservções de um mesm grdez, que resultd fl represet melhr estmtv? O justmet de bservções cud d resluçã de prblems deste tp, bem cm d estmtv de precsã d sluçã dtd O justmet de bservções, lém de presetr um sluçã úc, tr s bservções justds csstetes cm mdels mtemátcs prprds Ns css ms smples, s medções sã relzds sbre s próprs grdezs cógts Qud ts cógts se lgm pr equções de cdçã, prblem tr-se mes smples Outrs vezes, medem-se grdezs que se vculm às cógts trvés de relções fucs checds É cs de bservções drets u prâmetrs (e crdeds, lttudes, etc) Em qusquer ds css, que buscms é purfcr s bservções ds csstêcs que rmlmete s cmphm, u melhr, justá-ls, jutmete, cm prâmetrs (qud estem) um mdel mtemátc lgums dfculddes surgem qud precsms pderr bservções, u sej, qud devems trbur "ms pes" às bservções de mr precsã (mer desv pdrã) trbuçã de pes pressupõe checmet d precsã ds medds sã efetuds Eempl plctv-: fgur esquemtz um peque rede de velmet gemétrc Em fuçã ds desíves medds, lttude de RN pde ser trsprtd té RN; cm sã dverss s cmhs pssíves, várs sã s sluções Fgur - Rede de velmet Cpítul : Nções de justmet de Observções

7 Gerreferecmet de Imóves Rurs justmet de Observções 7 O justmet, etrett, cduzrá um sluçã úc, trd s bservções justds csstetes cm mdel mtemátc dtd ltertvmete, lttude de RN pde ser "fd" cm de RN; este cs s bservções sã justds de tl mer que trsprte de lttudes prtr de RN prduz em RN vlr prefd Eempl : Fgur mstr s vértces P e Q de um cde de trgulçã já justd, rzã pel qul sus crdeds sã csderds "fs" N plgl PBCQ medem-se s âguls e s lds (eletrcmete) dmtd que ts bservções sejm, um cs del, sets de errs; mesm ssm s crdeds trsprtds prtr de P pdem ã "fechr" em Q Neste cs, em que ã há errs de bservções, s crdeds clculds prtr de P pdem ã "fechr" em Q devd mdel mtemátc d cálcul d trsprte, fet em superfíce dferete d superfíce em que frm clculds s crdeds de P e Q Pr eempl, pde-se csderr que P e Q frm clculds prjeçã UM e cálcul d plgl pl tpgráfc Fgur - rsprte de crdeds cm pts trvés de pts fs (juçã) Eempl : Fgur mstr s âguls de um qudrláter cmplet de um trgulçã gedésc Deps de justds, sm ds âguls de cd um ds trâguls esfércs d qudrláter deverá ser gul 8 ms ecess esférc d trâgul Fgur - Âguls de trâguls esfércs de trgulções gedéscs GEOMÁIC - CEFEES

8 8 Gerreferecmet de Imóves Rurs justmet de Observções Métd ds Míms Qudrds Csderd cs d medd dret de um grdez X; sejm l, l,,l, s vlres btds em um sére de bservções N mpssbldde de bter verdder vlr de Xˆ, deve-se ctetr cm um estmtv ms prvável dtd, vlr Xˆ cm ms prvável e clculd s resídus (dfereç etre vlr ms prvável e cd um ds bservções), têm-se: Xˆ - l v Xˆ - l v L L L Xˆ - () l v Esses resídus sã vlres deschecds prr que smds às bservções bruts reprduzem vlr estmd Xˆ Mudd crtér, pderíms eleger um vlr dferete um v cjut de resídus: Xˆ cm ms prvável, st resultr em Xˆ - l v () e ssm pr dte: Xˆ - l v () Qul ds vlres Xˆ, Xˆ, Xˆ deveríms dtr? Em utrs plvrs, cm esclher um crtér que permt etrr ds bservções repetds l, dscreptes etre s, um vlr úc pr represetr cógt X? Cpítul : Nções de justmet de Observções

9 Gerreferecmet de Imóves Rurs justmet de Observções 9 Há ms de duzets s, s gedessts fzerm su pçã, segud cmh dcd pr Guss e Legedre: cetr cm melhr estmtv de X, vlr que tre mím smtór ds qudrds ds resídus Qud s bservções ã ferecem mesm gru de cfç, els devem ser "hmgeezds" trvés de pess p : p v m (4) Obs: Qut melhr precsã d equpmet de medd, mr vlr d pes tulmete, lgugem mtrcl é ms usul devd su smplcdde e fcldde de cálcul V P V m (5) de: V : vetr clu ds resídus P : mtrz qudrd ds pess V v v M v P p p M p Obs: mtrz de pes mstrd crrespde à bservções depedetes (bservções ã crrelcds), ps preset elemets pes dgl prcpl Suph que dtems Xˆ cm vlr ms prvável de um grdez sbre qul frm eecutds bservções, repetds em cdções supstmete smlres ssm, s resídus serm: Xˆ - l v, - l v Xˆ, L L L, Xˆ - v l Cfrme prcíp ds míms qudrds (MMQ), tems: φ V V ( Xˆ l ) mím GEOMÁIC - CEFEES

10 Gerreferecmet de Imóves Rurs justmet de Observções Dervd d fuçã φ e guld- zer, btems vlr mím d fuçã: φ Xˆ ( Xˆ l ) Xˆ l ) ( Xˆ l ) L ( Xˆ l ) ( Xˆ l l L l l Xˆ l Xˆ epressã btd crrespde à méd rtmétc, prtt qud méd rtmétc é dtd cm estmtv de um grdez, cscetemete, estms plcd prcp ds míms qudrds Cclusã: méd rtmétc smples é um plcçã d métd ds míms qudrds usd qud s bservções sã drets e de gul precsã Represetçã Mtrcl d Méd X e e L ˆ b e de: L b : vetr clu ds bservções; V : vetr clu ds resídus; e : vetr clu utár sm ds resídus de um justmet pel métd ds míms qudrds é gul zer Est é um prpredde mprtte ds resídus V e () Cpítul : Nções de justmet de Observções

11 Gerreferecmet de Imóves Rurs justmet de Observções Eercíc plctv -4: justr s vlres de gus precsões:,45;,54;,4;,4 e,47 Sluçã: Cálcul d vlr justd: L b,45,54,4,4,47 e ( ) e,45,54 e L ( ),4 b,45,54,4,4, 47,4,47 e L 5,8 e e 5 b ˆ e Lb 5,8,456 e e 5 X X ˆ,456 Cálcul ds resídus: v,456 -,45,6 v,456 -,54,84 v,456,4 v 4,456 -,4,56,6 v 5,456 -,47,4 GEOMÁIC - CEFEES

12 Gerreferecmet de Imóves Rurs justmet de Observções Sm ds resídus: e V,6,84 ( ),56,6,84,56,6, 4,6,4 e V Eempl plctv 5: Determe cmprmet ms prvável d dstâc etre s pts e B, d esquem b, sbed-se que dstâc etre estes pts f btd trvés de dus medds prcs C, 89m e CB, 7m e um medd ttl B 54, 5 m C B trvés ds dds pdems estbelecer s segutes equções ds bservções: l l l Ds equções ds bservções pdems bter s equções ds resídus: v,89 v,7 v 54,5 plcd prcíp ds míms qudrds, tems: v (,89) (,7) ( 54,5) mím Cpítul : Nções de justmet de Observções

13 Gerreferecmet de Imóves Rurs justmet de Observções GEOMÁIC - CEFEES mím v 97,5) 9 9 ( 94,49) 6,4 ( ) 57,7 47,78 ( 97,5 94,49 57,7 7,4 56,78 v ,4 56,78 ), ( f Dervd epressã ), ( f em fuçã de cd um ds vráves e guld zer: 56,78 4 f 7,4 4 f m 86, m 67, Lg, vlr ms prvável d dstâc m B 5 54, Eempl plctv 6: Fzer eempl plctv 5, usd cálcul mtrcl 54,5,7,89 b L Xˆ X L equçã rml d justmet prmétrc, mstrd segur, será demstrd em cpítuls psterres ˆ b L P P X () L b P P ) ( X ˆ () Resluçã: P

14 Gerreferecmet de Imóves Rurs justmet de Observções Cpítul : Nções de justmet de Observções 4 N 667,,667 N 54,5,7,89,667,,,667 ˆX,67,86 ˆX

15 Gerreferecmet de Imóves Rurs justmet de Observções 5 Cpítul - er ds Errs Itrduçã N medçã de um determd grdez, lmtçã hum, mperfeçã strumetl e stbldde d turez sã ftres que mpedem etdã bslut ds medds Os resultds de um mesm medd, repetd várs vezes pr um mesm perdr, prvvelmete ã serã dêtcs, pr mr que sej cudd empregd s bservções ssm, pdems frmr que, de um frm u de utr, tds s medds ctêm errs fm de checer melhr ter ds errs, presetrems lgus ccets mprttes e crrquers justmet de bservções lgus Ccets Err Verdder É dfereç etre bservçã de um grdez físc e seu verdder vlr N prátc, ã se chece vlr verdder d grdez, ms vlr ms prvável dest grdez Err prete (e) Err prete u smplesmete err (e) é dfereç, etre bservçã de um grdez ( l ) e seu vlr ms prvável ( l ) e l l () Resídu (v) Dem-se de resídu vlr smétrc d err prete, u sej, é grdez cm mesm vlr d err prete, prém cm sl ctrár (crreçã d errs) É um ds elemets ms mprttes plcçã d justmet de bservções, ps métd ds míms qudrds e s álses pósjustmet fudmet-se quldde desse resídus v l l () GEOMÁIC - CEFEES

16 6 Gerreferecmet de Imóves Rurs justmet de Observções 4 Dscrepâc É dfereç etre s vlres de dus bservções de um mesm grdez lgums vezes dscrepâc é chmd de err Desv Pdrã O vlr ms prvável de um grdez é quele pr qul sm d qudrd ds resídus é mím ssm, bsed prcp ds míms qudrds, desv pdrã é defd cm rz d méd ds qudrds ds resídus ( l l ) () Obs: Qud úmer de bservções é mr que, dvsr d Eq () é Err Mám lerável (lerâc) - em É err mám dmssível, u sej, bservções cujs errs ecedm este vlr devem ser descrtds, ps pdem cter errs grssers Esse err é detfcd trvés d curv dstrbuçã de prbblddes rml reduzd bel - - Prbbldde ds errs tleráves Prbbldde de rejeçã % 5% %,% Númer de desv pdrã,65,96,58,9 O err tlerável pressupõe especfcçã prr de um crtér esttístc de rejeçã bel mstr lgums prbblddes de errs tleráves, bseds curv de dstrbuçã rml reduzd (vrável reduzd - z) Eempl plctv - Em um perçã de cmp frm fets leturs de zmutes, mstrds bel Clcule: ) desv pdrã ds bservções; Cpítul : er ds Errs

17 Gerreferecmet de Imóves Rurs justmet de Observções 7 b) err mám de tlerâc pr prbbldde de rejeçã d err de %; desv pdrã d méd bel - zmutes d Eempl plctv zmutes zmutes (grus) Resídus (V ) V 6º º º 6 658º º º 8 6 6º 5 658º -7 6º 657º º 6578º º 6 65º º 65º º º º º º 5 656º º º 8 6 Méd Méd (grus) Sm ( V ) Sm ( V ) 6º º 5767 ) Cálcul d desv pdrã: ( l l ) 57,67 7, b) Cálcul d err de tlerâc cm prbbldde de rejeçã de %: e m,58 7, e m 8,6 Emd bel, ccluíms que ã é ecessár elmr ehum zmute, ps tds s resídus fcrm b d err mám tlerável ( e 8,6 ) m c) Cálcul desv pdrã d méd: M eq 7, M M,8 Obs: epressã d desv pdrã d méd é btd d ter de prpgçã de errs zmute méd e precsã: z 6,8 ±,8 GEOMÁIC - CEFEES

18 8 Gerreferecmet de Imóves Rurs justmet de Observções 4 ps de Errs: Orges e Crcterístcs 4 Errs Grssers (Equívcs) Errs grssers sã errs, em grde prte, prveete de mperíc e descuds d perdr u flh strumetl Estes errs pdem ser evtds cm cudd e teçã, crd-se perções de ctrle, cmprd-se s vlres btds cm medds já checds, tmd-se cudds regstr ds dds de bservções pr evtr egs, strud e tred s perdres e repetd s perções Eempls de errs grssers: err d úmer de metrs de um medd; desteçã d tdr trc de dígts u d tçã de um dstâc, letur e/u tçã de um âgul Cm dvet de strumets eletrôcs, ghu mprtâc estud ds errs grssers Esss bservções (medções) sã gerlmete descrregds utmtcmete d strumet e prcessds cmputdr sem um crítc d bservdr Ess v metdlg de bteçã de dds fz cm que errs grssers ã sejm percebds pel perdr ssm é cveete que se trduz prcessmet ds bservções testes que detectem s errs grssers prte d justmet de bservções que estud esse ssut é demd detecçã de utlers Outlers sã resídus que cfrme determd teste esttístc ultrpssm cert vlr crítc 4 Errs Sstemátcs u cumultvs Pdem ser prveetes de um cus permete, checd u ã, que s brg cmetê-l segud um le determd Qud s cuss desses errs sã checds, pdems mdelá-l trvés de lgum fuçã mtemátc e elmá-l Esses errs crcterzm-se pr crrer sempre em um mesm setd e cservrem em medções sucessvs, mesm vlr Decrrem ds defcêcs d bservdr, d strumet e u d métd usd Dí dzer-se que s errs sstemátcs pdem se rgr ds ftes que se seguem: Errs sstemátcs trduzds pel bservdr - Qud pr lgum prblem de vsã d bservdr s medds têm dscrepâc sstemátc em relçã vlr ms prvável Errs sstemátcs trduzds pel strumet Us de strumets em cdções dferetes dquels pr s qus frm clbrds Istrumet ã clbrd: suphms um dstâc btd prtr de t medções cm tre, supstmete de metrs dstâc ttl ser de 8 metrs, ms detectd, psterrmete, que tre th reldde, m, ccluíms que dstâc pssu um err sstemátc de,8 m Cpítul : er ds Errs

19 Gerreferecmet de Imóves Rurs justmet de Observções 9 Errs sstemátcs trduzds pel mdel mtemátc Utlzçã de um mdel bsed em equçã mtemátc ã represettv d feôme 4 Errs cdets u letórs Ocrrem devd cuss deschecds e ctrláves Crcterzm-se pr crrerem cs qusquer que sejm s bservdres, s strumets e s métds Em gerl sã errs peques, prém evtáves, ectrds em tds s bservções Cusm dscrepâcs que prcíp se presetm sem qulquer cfrmdde mtemátc su fluêc sbre s bservções é letór, prtt qulquer trtmet deve bser-se ter d prbbldde Pdems dzer que s errs cdets d restm vlr de um grdez, em que frm bservds tds s prcedmets pr elmr s bservções cm errs grssers, e s errs sstemátcs frm pesqusds, clculds e elmds Qud se relzms um grde úmer de bservções, eperêc tem demstrd que estes errs revelm lgum regulrdde, u sej, seguem um dstrbuçã de freqüêc que se prm d dstrbuçã rml ter d dstrbuçã ds errs cdets é bsed em pstulds sugerds pel eperêc prátc: s medções tedem grupr-se em tr de um vlr; prbbldde de crrêc de um evet é mám próm vlr méd e dmu cm fstmet deste pt; este smetr s prbblddes de crrêc em relçã méd; Os errs sstemátcs se cumulm, equt que s cdets se cmpesm Os errs cdets peques sã ms freqüetes que s grdes, e que qud mut umerss, td err em um setd crrespde utr em setd ctrár N justmet, smete s bservções que ctém errs cdets pdem ser trtds Os errs grssers devem ser elmds e s sstemátcs crrgds, pr etã plcrms métd ds míms qudrds (MMQ) GEOMÁIC - CEFEES

20 Gerreferecmet de Imóves Rurs justmet de Observções 5 Clssfcçã ds Observções 5 Drets s medções sã efetuds dretmete sbre grdez, sem que estm mes pr verfcçã d err, um vez que ã checems s seus vlres res u teórcs Eempl: um dstâc u âgul sld 5 Idrets s bservções ã sã fets dretmete sbre s grdezs pesqusds, ms sbre utrs els lgds pr me de relções checds Eempl: crdeds e áres 5 Drets Cdcds Sã bservções depedetes etre s, fets dretmete sbre s grdezs pesqusds, etrett, prém lgds pr lgum equçã de cdçã checd Eempl: N medd de três âguls (, b, c) de um trâgul pl, tem-se que b c 8 6 Vlr ms Prvável de um Grdez O vlr ms prvável de um grdez, medd dverss vezes pel mesm perdr, utlzd mesm equpmet e métd, u sej, medds cm dêtc gru de precsã, é méd rtmétc ds vlres bservds l l () N cs de bservções btds cm dferetes grus de precsã, vlr ms prvável deverá ser btd csderd-se vrâc de cd bservçã que pde ser epress pr um ftr de prprcldde demd pes l l p p () Cpítul : er ds Errs

21 Gerreferecmet de Imóves Rurs justmet de Observções 7 Medds de Dspersã Várs terms sã usds pr descrever quldde ds medds É mut cmum Mesurçã us ds terms precsã e curác O term precsã u curác prete é gru de refmet cm qul um grdez é medd; em utrs plvrs, sgfc qut s vlres de um sére de medds estã próms us ds utrs Se um grdez é medd várs vezes, e resultd dest perçã sã vlres mut próms um ds utrs; estes css, dzems que precsã é lt Nrmlmete, precsã é epress em terms d desv pdrã u d vrâc ds medções curác (u etdã) se refere gru de perfeçã btd um medçã, u sej, represet qut próm d vlr rel (vlr verdder) f btd medd Fgur lustr precsã e curác de um sére de medd Fgur - Precsã e curác É cveete ressltr que em sempre um perçã de grde precsã sej ecessrmete um perçã curd Pr eemplfcr epst, csderems segute cs: dstâc etre ds pts f btd, de mer cudds, cm um tre de, m; perdr medu dstâc três vezes, bted s vlres 65,5 m, 65,49 m e 65,5 m Pels vlres ectrds, ccluíms que est perçã f precs, prém ã f curd Ns medções s terms ms usds pr epressr precsã sã vrâc e desv pdrã u err méd qudrátc GEOMÁIC - CEFEES

22 Gerreferecmet de Imóves Rurs justmet de Observções 7 Vrâc É medd de dspersã ds bservções em tr de um vlr ms prvável É defd cm méd d qudrd ds errs pretes É cmum pr cálcul d vrâc, dtr segute crtér: Se úmer de bservções () fr mer d que, vrâc é btd pr: ( l l ) () Se úmer de bservções fr mr d que : ( l l ) () 7 Desv Pdrã Crrespde gru de certez d bservçã e é btd prtr d rz qudrd d vrâc ( l l ) u ( l l ) () tulmete, cm s bservções sã trtds esttstcmete cm vráves letórs etríds de um ppulçã ctíu e ft, els precsm ser sscds um precsã (u gru de certez) Pr ss sempre devems frmr vlr d bservçã sscd à su precsã Sem est frmçã d pdems ferr sbre quldde d bservçã Pr lgums grdezs, ts cm dstâc e lhs bses de GPS, é cmum frmrms precsã trvés d err reltv O err reltv de um medd é defd cm rzã etre err cmetd e vlr medd Pr eempl, suphms um dstâc de 8,6 m que teh sd medd cm um err estmd de, m; precsã dest medd é sgfc que cd 6 m crre um err de m medd 6, Ist 8,6 Cpítul : er ds Errs

23 Gerreferecmet de Imóves Rurs justmet de Observções Outr frm de presetr precsã de medds de dstâc é trvés de um prcel f e utr prcel reltv epress em prtes pr mlhã (ppm) Est é frm em sã presetds s precsões ds meddres de dstâc eletrôcs e ds receptres de ss GPS ssm, precsã de um lh bse (vetr) de 7, m medd pr um receptr GPS de precsã 5, mm ppm, será de ± ( 5mm mm 7 km) ± 9 mm km GEOMÁIC - CEFEES

24 4 Gerreferecmet de Imóves Rurs justmet de Observções Cpítul - Dstrbuçã Nrml Itrduçã tedêc mder é substtur dé de errs de bservções pel ccet de prpreddes esttístcs ds bservções, vst serem ests csderds mstrs etríds de um ppulçã de vrável ctíu e ft Em utrs plvrs, s bservções sã vráves letórs que seguem um determd dstrbuçã de prbbldde ssm, é mprescdível que prfsss de Mesurçã cheçm s ccets báscs de Esttístc e Prbbldde Prbblddes Dem-se prbbldde de um evet qucete etre úmer de css fvráves e s ds css pssíves, u sej, est defçã está tmmete relcd cm ccet de freqüêc reltv Este ccet f prpst pr Lplce, embr ecerre um ccetuçã vcs, el é dequd pr bjetv deste tet devd su smplcdde prbbldde de um evet é um úmer cmpreedd etre e (u etre % e %) Vrável Ctíu O pter d Fgur lustr ccet de vrável ctu Um vez teh sd pst grr, pter pde prr em qulquer psçã lg d círcul Nã se pde esperr que veh prr etmete um ds vlres ters d círcul Mesm levd-se em ct s lmtções mesurçã fet lg d círcul, d ssm há um úmer etremmete grde de pts de prds pssíves Imgems, pr eempl, círcul dvdd em 8 prtes gus, em lugr ds 8 prtes d Fgur Se cd psçã csttu um pt de prd tã prvável qut qulquer utr, sms levds à segute cclusã: Cm há tts resultds pssíves, prbbldde de pter prr em qulquer vlr prtculr é tã peque, pr fs prátcs, que deve ser csderd prmdmete gul zer Cpítul : Dstrbuçã Nrml

25 Gerreferecmet de Imóves Rurs justmet de Observções Fgur - O pter pde grr em qulquer detre um úmer lmtd de psções N reldde, teclg mder s permte detfcr mes mlhã de psções dferetes, de md que prbbldde de pter prr etmete um dels ser de / Em fce dess peculrdde, é relmete sem setd flr-se d prbbldde de um resultd específc, ssm álse de vráves ctus tede fclzr prbbldde de um vrável letór tmr um vlr um determd tervl Etã, equt prbbldde de um pter prr pt, u 4, é prmdmete zer, de pr etre ds úmers ã é zer Cm círcul está dvdd em 8 setres, prece rzável prbbldde / 8 resultd prr etre e 4, tl cm lustr Fgur 8 4 Fgur - prbbldde de pter prr etre ds pts é gul à percetgem d áre etre esses pts lgmete, trburíms um prbbldde de 5% evet prr etre s pts 4 e 6 (/4 d círcul) E ã há rzã pr lmtrms s tervls úmers ters, ã ser cveêc Pr eempl, prbbldde de bservrms um vlr etre,7 e 4,7 (te-se que 5,57 4,57 ) ser tmbém /8, e prbbldde de um vlr etre,5 e 4 ( 4,5, 5 ) ser GEOMÁIC - CEFEES

26 6 Gerreferecmet de Imóves Rurs justmet de Observções ssm, prbbldde de pter prr etre ds pts qusquer é gul à percetgem d 6 áre d círcul (setr) delmtd pr esses pts Ver Fgur 6 5% 5, ,57 4,5 Fgur - Outrs eempls de prbbldde e áre etre ds pts lém dss, um círcul cm dbr d tmh d d ss lustrçã dr precsmete s mesms prbblddes, desde que seu perímetr fsse subdvdd d mesm mer Ver Fgur 4 Lg, cm um vrável ctíu, prbbldde fc determd cm percetgem d áre etre ds vlres 5% 5% Fgur 4 - O tmh d círcul é rrelevte Dstrbuções Nrms s dstrbuções rms represetm, cm bstte freqüêc e cm b prmçã, s dstrbuções de freqüêcs de muts feômes turs e físcs s dstrbuções rms frm descberts sécul XVIII strôms e utrs cetsts bservrm, ã sem cert surpres, que mesurções repetds de um mesm grdez (medds de âguls u medds de dstâc) tedem vrr, e qud se cletv grde úmer desss mesurções, dspd-s um dstrbuçã de freqüêc, els se presetvm repetdmete cm frm álg à Fgur 5 E cm ess frm gráfc vh sscd s errs d mesurçã, ess Cpítul : Dstrbuçã Nrml

27 Gerreferecmet de Imóves Rurs justmet de Observções 7 dstrbuçã ced cmeçu ser checd cm dstrbuçã rml ds errs u dstrbuçã rml 5 F 4 V -, -,9 -,8 -,7 -,6 -,5 -,4 -, -, -,,,,,4,5,6,7,8,9, Fgur - s dstrbuções de freqüêc de bservções frequetemete presetvm mesm frm Csttu-se, subseqüetemete, que dstrbuçã pd ser bem prmd pr um dstrbuçã mtemátc cm d Fgur 6 dstrbuçã rml cstum ser tmbém desgd pr dstrbuçã de Guss, em rzã d ctrbuçã de Krl F Guss ( ) à su ter mtemátc F V Fgur - curv ctíu que prm dstrbuçã de freqüêcs bservds GEOMÁIC - CEFEES

28 8 Gerreferecmet de Imóves Rurs justmet de Observções Crcterístcs ds Dstrbuções Nrms s curvs rms presetm lgums crcterístcs bstte especs em terms de su frm, de cm se especfcm e de cm sã utlzds pr bteçã de prbblddes O gráfc de um dstrbuçã rml se ssemelh mut cm um s É suve, umdl, e smétrc em relçã à su méd Mes óbv é ft de que curv se prlg defdmete em qulquer ds dreções, prtr d méd ede cd vez ms pr e hrztl à medd que umet dstâc, prtr d méd, ms uc cheg tcr e ercmete, s vlres pssíves vã de Ver fgur 7 Méd - Fgur - Curv rml típc Outr crcterístc mprtte é que um dstrbuçã rml fc cmpletmete especfcd pr ds prâmetrs: su méd e seu desv pdrã Em utrs plvrs, este um úc dstrbuçã rml pr cd cmbçã de um méd e um desv pdrã Dferetes cmbções de méd e desv pdrã rgm curvs rms dstts Cm méds e desvs pdrões sã medds em escl ctíu, segue-se que úmer de dstrbuções rms é lmtd Fgur 8 lustr lgums desss pssblddes Fgur - s cmbções de méd e desv pdrã sã em úmer lmtd Cpítul : Dstrbuçã Nrml

29 Gerreferecmet de Imóves Rurs justmet de Observções 9 áre ttl sb qulquer curv rml represet % d prbbldde sscd à vrável lém dss, cm curv é smétrc em relçã à su méd, prbbldde de bservr um vlr ferr à méd é 5%, cm é tmbém prbbldde de bservr um vlr cm d méd prbbldde de predzer etmete gul à méd é zer prbbldde de um vrável letór rmlmete dstrbuíd rmlmete tmr um vlr etre ds pts qusquer é gul à áre sb curv rml cmpreedd etre queles ds pts Ver Fgur 9 b Fgur - P ( < < b) áre sb curv etre e b Em resum, mstrms s crcterístcs ds curvs rms: curv rml tem frm de s É smétrc em relçã à méd Prlg-se de Cd dstrbuçã rml fc cmpletmete especfcd pr su méd e seu desv pdrã; há um dstrbuçã rml dstt pr cd cmbçã de méd e desv pdrã áre ttl sb curv rml é csderd cm % áre sb curv etre ds pts é prbbldde de um vrável rmlmete dstrbuíd tmr um vlr etre esses pts Cm há um úmer lmtd de vlres de, prbbldde de um vrável letór dstrbuíd rmlmete tmr etmete determd vlr é prmdmete zer ssm, s prbblddes se referem sempre tervls de vlres áre sb curv etre méd e um pt rbtrár é fuçã d úmer de desvs pdrões etre méd e quele pt curv preset um pt de fleã rm esquerd e utr rm dret, que crrespdem, respectvmete, desv pdrã egtv e pstv GEOMÁIC - CEFEES

30 Gerreferecmet de Imóves Rurs justmet de Observções Dstrbuçã Nrml cm Mdel É essecl rechecer que um dstrbuçã rml é um dstrbuçã teórc Pr mesurções físcs grupds um dstrbuçã de freqüêc, é um dstrbuçã del; ehum cjut de vlres efetvs se dptrá etmete el ssm é que, pr eempl, s vlres res ã vrm etre E s lmtções d strumetl de mesurçã elmm efetvmete muts utrs vlres ptecs Nã bstte, ts defcêcs sã mplmete ctrblçds pel fcldde de utlzçã d dstrbuçã rml bteçã de prbblddes, e pel ft de que referd dstrbuçã d csttu um b prmçã de dds res ssm, qud se dz que um vrável letór (físc) é dstrbuíd rmlmete, frmçã deve ser terpretd cm um mplcçã de que dstrbuçã de freqüêc de seus resultds pssíves pde ser stsftrmete bem prmd pel dstrbuçã rml de prbblddes Lg curv rml é um mdel Relçã etre s Errs cdets u letórs e Curv Nrml Cm já dssems terrmete, errs cdets que crrem de frm letór, tedem se justr à dstrbuçã rml u Le de Guss, em utrs plvrs, dstrbuçã de freqüêc ds errs cdets sã stsftrmete bem prmd d dstrbuçã rml de prbblddes ssm, em qulquer medçã, efetud repetds vezes, s mesms cdções (mesm perdr, strumet, métd, etc), ter ds prbblddes mstr e eperêc permte verfcr que s errs cdets prduzds gzm de prpreddes dêtcs às prpreddes d curv de dstrbuçã rml um err pstv crrespde um err egtv de mesm vlr bslut (s errs pstvs e egtvs de mesm vlr bslut têm gul prbbldde) Os errs peques sã s ms umerss ( err ul é ms prvável) prbbldde de se cmeter um err, em vlr bslut, mer que (err cmpreedd etre e - ) é gul áre hchurd d Fgur 4 áre ttl lmtd pel curv é prbbldde de se cmeter tds s errs é, prtt, gul à udde (%) Cpítul : Dstrbuçã Nrml

31 Gerreferecmet de Imóves Rurs justmet de Observções F Fgur - prbbldde de errs bsluts meres que é áre hchurd 4 dstrbuçã Nrml Pdrzd dstrbuçã rml csttu, reldde, um fmíl ftmete grde de dstrbuções um pr cd cmbçã pssível de méd e desv pdrã Csequetemete, ser útl prcurr elbrr tbels que tedessem tds s ecessddes lém dss, epressã d curv de dstrbuçã rml (Eq) ã é cveete pr tl bjetv, em vst de su cmpledde µ f e () π de: e,7888: bse de lgrtms eper u turl : vlr rbtrár; µ : méd d dstrbuçã rml; : desv pdrã d dstrbuçã rml Há, etrett, um ltertv bstte smples que ctr prblem Ccetulmete, é álg à determçã de prbblddes cs d pter Vms l que tmh d círcul ã fluí; ms er frm que teressv Desde que csderássems áre ttl d círcul cm %, qulquer tmh d círcul dr etmete s mesms prbblddes Iss é se pss cm dstrbuçã rml: ft de csderrms áre ttl sb curv cm % pdrz curv Se um vrável tem dstrbuçã rml, cerc de 68% de seus vlres crã tervl de um desv pdrã ctr prtr de cd ld d méd; cerc de 95,5% tervl de ds desvs pdrões ctr d méd, e cerc de 96,7% detr de três desvs pdrões ctr d méd Fgur lustr dé lém d ms, st é verdde qusquer que sejm méd e desv pdrã de um dstrbuçã rml prtculr; st é, é vld pr tds s dstrbuções rms GEOMÁIC - CEFEES

32 Gerreferecmet de Imóves Rurs justmet de Observções X 68% 95,5% 99,7% Fgur - Áre sb um curv rml,, desvs pdrões ctr de cd ld d méd X,, Escl efetv Escl pdrzd Fgur - Cmprçã etre escl efetv e pdrzd Vms refletr um puc sbre sgfcçã deste ft mplcçã é que prblem de ldr cm um fmíl ft de dstrbuções rms pdem ser cmpletmete evtds desde que querms trblhr cm vlres reltvs, vés de trblhr cm vlres res Ist equvle tmr méd cm pt de referêc (rgem) e desv pdrã, cm medd de fstmet, ctr dquele pt (udde de medd) Est v escl é cmumete cm escl z Csderems um dstrbuçã rml cm méd, e desv pdrã de,, cfrme Fgur Pdems cverter est escl efetv um escl reltv, substtud s vlres efetvs pr úmers de desvs pdrões ctr d méd d dstrbuçã Embr Fgur lustre pes us pucs vlres, mesm ccet pde ser plcd qulquer vlr d dstrbuçã ssm, é que vlr 9 está b d méd; u desv; está cm d méd; u desv pdrões; 95 está 5 b d Cpítul : Dstrbuçã Nrml

33 Gerreferecmet de Imóves Rurs justmet de Observções méd; u 5, 5 desv pdrã e 7 está 7 cm d méd; u 7, 7 desv pdrã cm d méd Pdems resumr este prcess d segute mer: cverte-se dfereç efetv etre méd e lgum utr vlr d dstrbuçã pr um dfereç reltv, eprmd- em tems d úmer de desvs pdrões ctr d méd µ z () de: z : úmer de desvs pdrões ctr d méd; : vlr rbtrár; µ : méd d dstrbuçã rml; : desv pdrã d dstrbuçã rml Nte-se que z tem sl egtv pr vlres de ferres à méd e sl pstv pr vlres superres à méd bel mstr lgus eempls de cversã ds dfereçs efetvs etre méd e um utr vlr, pr dstâc reltv em term d úmer de desvs pdrões bel - - Dstâcs reltvs em terms de desv pdrões µ X µ ( µ )/ z Méd Desv pdrã Vlr csderd Dfereç Dfereç reltv É tmbém ecessár sberms trblhr em setd vers, pssd ds vlres z pr s vlres efetvs Pr eempl, pdems querer sber que vlr crrespde z Supd checds méd e desv pdrã e que estejms ldd cm um dstrbuçã rml, cversã tm frm: µ z () GEOMÁIC - CEFEES

34 4 Gerreferecmet de Imóves Rurs justmet de Observções bel - Cálcul ds vlres efetvs µ Z µ z Méd Desv pdrã Númer de desvs Dfereç Vlr efetv 5 5 * * * * * 5 98 Há um grde vtgem em pderms pesr e trblhr cm vlres reltvs É que, em vez de ldrms cm um fmíl ft de dstrbuções rms, precsms de pes um dstrbuçã rml pr tds s prblems Pdems cverter qulquer vlr de qulquer dstrbuçã rml em um vlr z, que s dz quts desvs pdrões vlr csderd dst d méd Ist s permte determr tds s prbblddes d curv rml utlzd um úc tbel pdrzd, elbrd eclusvmete cm esse prpóst 5 bel Nrml Pdrzd s áres sb curv de qulquer dstrbuçã rml pdem ser chds utlzd-se um tbel rml pdrzd, pós fzer cversã d escl rgl pr escl em terms de desvs pdrões méd pss servr cm pt de referêc (rgem) e desv pdrã cm udde de medd tbel pdrzd é cstruíd de md que pde ser ld em udde de z (úmer de desvs pdrões ctr d méd) tbel dá áre sb curv (st é, prbbldde de um vlr cr quele tervl) etre méd e vlres esclhds de z prçã smbred d Fgur crrespde à áre sb curv que pde ser ld dretmete tbel Nte-se que méd d dstrbuçã gr é zer, ps méd está zer de s mesm z Fgur - áre sb curv rml em escl pdrzd Cpítul : Dstrbuçã Nrml

35 Gerreferecmet de Imóves Rurs justmet de Observções 5 Cm dstrbuçã rml é smétrc em tr de su méd, metde esquerd d áre sb curv é mgem refle d metde dret Em rzã de tl smetr, cstum-se dr pes metde d dstrbuçã um tbel Em utrs plvrs, pr cd segmet à esquerd este um segmet à dret È cmum presetr tbel pr metde dret d dstrbuçã Etã, cs se ecesste de um prçã d metde esquerd, bst csderr cm desvs egtvs s vlres l csttes Pr eempl, áre etre méd e desv pdrã é etmete gul à áre sb curv etre méd e - desv pdrã, cfrme se vê Fgur 4 z -z Fgur - áre sb curv etre méd e z é gul à áre sb curv etre méd e z Vltd gr ss teçã à tbel em s bel é dd em tems de vlres de z cm dus decms, ts cm, 78,, 4,, 45, etc Um peculrdde é que s vlres de z vêm decmpsts em dus prtes ( que pde cusr cert cfusã quem estud ssut pel prmer vez, ms é de rel vtgem presetçã gráfc): s vlres d prte ter e d prmer decml tegrm clu à esquerd, equt segud decml prece lh hrztl d tp Vms determr lgums áres etre méd e z pr lustrr us d tbel Suphms que querms determr áre etre méd e z, 5 Devems prmer lclzr, clu à esquerd e, em segud,, 5 lh hrztl d tp áre será etã dd pel úmer frmd pel terseçã d lh z, e d clu, 5 O vlr z, 944 é percetgem d áre sb curv rml etre méd e z, 5 Ver Fgur 5 Nturlmete, tl percetgem d ms é d que prbbldde de um vrável letór rml tmr um vlr etre méd e um pt stud, 5 desvs pdrões cm d méd GEOMÁIC - CEFEES

36 6 Gerreferecmet de Imóves Rurs justmet de Observções,5,,,,,4,5,6,9,,,,944 Fgur - Áre sb curv rml etre méd e z,5 Cpítul : Dstrbuçã Nrml

37 Gerreferecmet de Imóves Rurs justmet de Observções 7 z bel - Áres pr Dstrbuçã Nrml pdrzd Z GEOMÁIC - CEFEES

38 8 Gerreferecmet de Imóves Rurs justmet de Observções Cm metde esquerd é esseclmete mesm d dret, se cd um ds vlres de z tbel cm tvesse tes de s um sl mes, s áres sb cur d ssm serm s mesms tbel rml pde tmbém ser usd pr determr áre sb curv lém de um dd vlr z chve qu é que áre de um ds metdes é 5%, lg áre lém de z é 5% mes vlr tbeld Pr eempl, se vlr tbeld é %, áre lém de z é 5 % % % áre lém de z será,5,4, 587, ps áre etre méd e z é, 4 Fgur 7 lustr ccet Áre tbeld áre desejd z (Méd) Fgur 4 - Um tbel rml dá áre sb curv rml pdrzd etre méd e um vlr de z Áre tbel Áre desejd 5% - áre tbeld z 5% Fgur 5 - áre lém de z se btém subtrd de,5 áre etre méd e z Nã ecessrmete fcms restrts stuções lmtds pel méd Qud um tervl u seu cmplemet ã é lmtd pel méd d dstrbuçã, determçã d áre sb curv é um prcess de ds estágs Pr eempl, sej determr áre sb curv etre z e z Cpítul : Dstrbuçã Nrml

39 Gerreferecmet de Imóves Rurs justmet de Observções 9 Cm méd é sempre pt de referêc, devems determr áre etre méd e cd um ds ds lmtes cbms de ver que áre etre méd e z é, 4 lgmete, áre etre méd e z é, 4 Cmbd s ds vlres, tems áre ttl:, 686 Iss é lustrd Fgur 8,4,4 Fgur 6 - determçã d áre sb curv etre ds vlres de z é prblem de ds estágs lgmete, se s lmtes de um tervl estã mbs d mesm ld d méd, e se querems chr áre sb curv etre esses lmtes, vmete devems determr áre etre méd e cd um deles Ms esse cs ecesstms d dfereç etre s dus áres Pr eempl, se querems áre etre z e z (Fgur 9), devems chr áre etre méd e z (,4) e subtrí-l d áre etre méd z (,477) :,477,4,59 é áre etre z e z,59,4,477 Fgur 7 - Qud ds vlres de z têm mesm sl e querems chr áre etre eles, devems chr áre etre méd e cd um deles e etã subtrr mer d mr GEOMÁIC - CEFEES

40 4 Gerreferecmet de Imóves Rurs justmet de Observções Cpítul 4 - Prpgçã de Errs 4 Itrduçã Em pgrf, Gedés, bem cm de em muts utrs áres d cêc e d Egehr, s grdezs medds dretmete cmp sã, freqüetemete, usds pr clculr utrs grdezs de teresse Em muts css, prcessmet desss grdezs é fet trvés de epressões cujs vráves sã s medds d cmp Etã, se s medds de cmp pssuem errs, evtvelmete, s grdezs dervds dels, tmbém, presetrã errs trsmssã d err ds medds de cmp pr grdez dervd é demd prpgçã de errs 4 Fuçã Ler Suphms que é um grdez medd e é grdez dervd, clculd de crd cm fuçã: b (4) Represetd Fgur 4 Os cefcetes e b sã checds Y d d d d b X Fgur 4 - Represetçã gráfc d fuçã Supd que represete vlr verdder de, etã d represet err, ssm: d (4) Cpítul 4: Prpgçã ds Errs

41 Gerreferecmet de Imóves Rurs justmet de Observções 4 E vlr de pde ser epress pr: b (4) Etã, substtud Eq (4) Eq (4), e desevlved, tems: ( d ) b b d Substtud Eq (4) equçã terr, tems: (4) d Se d represet err em, etã d Eq (44), tems: d (44) d Se gr clculrms dervd d Eq (4), em relçã, terems: ( b) (45) ssm, Eq (44) pde ser escrt cm: d d (46) Eempl plctv: Um terre de frmt trpezdl cm s dmesões d Fgur 4 Pr um medd d, 56 m, é ecessár determr rded h Se err medd d dstâc é,6 m Clcule err crrespde vlr de h clçã d lh CD é: 6 8,5 GEOMÁIC - CEFEES

42 4 Gerreferecmet de Imóves Rurs justmet de Observções Pr um sstem de crdeds cm rgem em e e-x lg de B, equçã d ret CD será: h,5 clçã d lh CD é: 6 8,5 D h h d h d h d 6, C, d,56 8, B Fgur 4 - erre trpezdl clçã d lh CD é: 6 8,5 Pr um sstem de crdeds cm rgem em e e-x lg de B, equçã d ret CD será: h,5 Cm s csttes,5 e sem err Pr d, 56, crrespdete crded é rded h etã: Cpítul 4: Prpgçã ds Errs

43 Gerreferecmet de Imóves Rurs justmet de Observções 4 h,5,56 h, 78 m D Eq(45), err em h é: d h d,5 6 d h, 8m 4 Fuçã Nã-Ler Vms lsr gr um prábl de º gru (fuçã ã-ler), mstrd Fgur 4: (4) d ( d) d d d d d d (4) P d d P d d Fgur 4 - Fuçã ã ler (prábl de º gru) D Eq (48), verfcms que é dervd de em relçã GEOMÁIC - CEFEES

44 44 Gerreferecmet de Imóves Rurs justmet de Observções d d d Cmprd s Eq (48) e Eq (47), verfcms que dfereç etre els é prcel dcl ( d ) que prece Eq (48) N prátc, etrett, err d é mut peque em relçã à grdez medd, de tl srte que pdems descsderr s terms de mr rdem, pr eempl, ( d ) Eempl plctv: Pr determçã d áre d terre qudrd, mstrd Fgur 44, f medd ld d qudrd cm um tre de ç de m, resultd medd de 5,7 m Est medd f usd pr clculr áre d qudrd áre (5,7 ) 57,89 m é represetd Fgur 44 pel qudrd BCD Se tre pssu um err pr mes de, m, pede-se determr err cálcul d áre 5,,5 B B B B D 5, 5,7 C C,5 Fgur 4 - Áre d terre Sluçã: Cm cd tred é mer, m, medd, m é, verdde, 9,97 m Etã cmprmet rel d ld d qudrd é: 9,97 (5,7) 5, m, Etã, áre crret é: Cpítul 4: Prpgçã ds Errs

45 Gerreferecmet de Imóves Rurs justmet de Observções 45 (5, ) 5,44 m O vlr d err et etre s áres é: d 57,89 5,44 5,45 m Este mesm vlr pde ser btd, Fgur 44, smd-se s áres ds retâguls B B e C B B C, e qudrd B B B B Este vlr et, tmbém, pde ser btd dretmete de d, err em, usd Eq (49), st é: d 5,7 5,, 5 m Etã: d ( d) d (5,) (5) (,5) 5, 45 m gr usd Eq (47), ós tems pr 5, 7m, etã: 5,7,4 d d,4,5 5,7 m Que Fgur 44 é gul sm ds qudrds B B e C B B C dfereç etre determçã et d err d áre e determçã de crd cm Eq (47) é de pes,5 m que crrespde ( d ), áre d peque qudrd B B B B Est dfereç é de pes,5% d err té gr csderms pes cs de um vrável smples prcessd cm fuçã de um vrável smples Vms supr gr represetd áre de um retâgul em vez de um qudrd Neste cs dus medds de grdez, cmprmet e lrgur, estã evlvds, e é prdut etre els, st é, GEOMÁIC - CEFEES

46 46 Gerreferecmet de Imóves Rurs justmet de Observções Qud ms de um vrável está evlvd fuçã, regr d dervd prcl deve ser plcd ssm err em será represetd pr: d d d L d (4) Eempl plctv: Usd mesm eucd d eempl terr, csderr terre cm retgulr, medd 5,7 m pr 6,9m Se mesm tre de m (, m, tmbém, pr mes) é usd pr fzer s medds, vle err cálcul d áre Sluçã: O cálcul d áre: (5,7) (6,9) 64,9 m s dervds prcs sã vlds cm: ( ) 6,9 m ( ) 5,7 m Os errs, d e d, sã prcessds bse de m pr mes, m, etã:, d 5,7, 5 m, d 6,9, 6m Usd Eq (4 ) pr clculr err d áre: d d d L d (44) d ( 6,9) (,5) (5,7) (,6) d 6, m Cpítul 4: Prpgçã ds Errs

47 Gerreferecmet de Imóves Rurs justmet de Observções Lerzçã Vms que prpgçã de err em fuçã ã-ler, s terms mres ( d ) pdem ser descsderds prque sã mut peques prpgçã de err em fuções ã-leres, mtd term ( d ), é um prmçã ctrár, fuçã ler vlr d prpgçã d err é et bse teórc pr lerzçã d fuçã ã-ler é epsã d sére de lr term superr (4) de: f ( ) frm lerzd clu smete s ds prmers terms d ld dret d Eq (4); tds s terms de rdem superr sã descsderds Pr eempl, frm lerzd d fuçã : Ode: e fuçã em questã, mstrd Fgur (45), é frmd pr um curv té pt, e pel tgete à curv pt (st é lg d lh P ) clçã d lh P é Y d ( d ) O () d O d P O () P d d O O X Fgur 4 Curv té pt e tgete té P GEOMÁIC - CEFEES

48 48 Gerreferecmet de Imóves Rurs justmet de Observções Eempl plctv: Lerze fuçã 4 7 té Se e err em é,, clcule err em, etã pr, tems: ( 4 7) (6 4) 9 4 De crd cm Eq (47): d d ( 6 4) d 4 d,4 m 45 Vrâc e Crrelçã 45 Vrâc Qud defms que vlr ms prvável de um cjut de bservções, smtór d qudrd ds dfereçs etre este vlr ms prvável e cd um ds bservções é mím (métd ds míms qudrds) Este smtór dvdd pel úmer de bservções result em um méd demd vrâc, cuj epressã é defd cm: ) u ( V (4) V Obs: Qud úmer de bservções é mr que, demdr d Eq (4) é gul própr úmer de bservções 45 Cvrâc ds s ds s mes de cmucçã s frmm resultds de pesquss, pr eempl: qut mr fr lucr futur d empres mr será seu vlr: qut mr fr qutdde prduzd mer será cust utár d prdut: empreg depede d esclrdde d trblhdr Qud trblhms cm ms de um vrável, pdems vlr relcmet etre els trvés de um medd umérc demd cvrâc ssm, cvrâc resume em um úc úmer tedêc e frç d relçã ler etre dus vráves Cpítul 4: Prpgçã ds Errs

49 Gerreferecmet de Imóves Rurs justmet de Observções 49 Cvrâc ( ) que represet um medd d crrelçã etre dus bservções é epress pr: ( ) ( ) u V (4) V Dus medds (u fuções) sã dts ã crrelcds qud depedetes etre s Pr eempl, s âguls e s dstâcs de um plgl medds cm dferetes strumets e métds, cujs ftes de err sã tmbém dferetes ctrár, pdems ctr cm medds crrelcds, s crdeds btds trvés de âguls e dstâcs 45 Cefcete de Crrelçã crrelçã etre dus bservções pde ser vld trvés d cefcete de crrelçã ρ ρ (4) O vlr d crrelçã vr de mes ms ( < ρ < ) Pr ρ, s bservções sã ã-crrelcds Pr ρ, etã crre um crrelçã ler perfet e egtv Pr ρ, etã crre um crrelçã ler perfet e pstv O cefcete de crrelçã pstv dc que s vlres de tedem crescer cm crescmet ds vlres de, equt que crrelçã egtv dc que s vlres de tedem decrescer cm vlres crescetes de ; Vlres de cefcete de crrelçã próms de zer, dcm usêc de relçã ler etre s vráves e Eempl plctv: prtr de um pt P sã fets medções cd me hr, durte 6 hrs, d dstâc zetl (âgul e dstâc) pr s pts e B de lttude checd Em cd um ds épcs, sã fets dus medds pr (medds e ) e dus medds pr B (medds e ) Obted-se, ssm, 48 medds u 4 pres de medds, u pres de medds dbrds Cd um ds medds permte clculr um lttude pr pt P trvés de velmet trgmétrc GEOMÁIC - CEFEES

50 5 Gerreferecmet de Imóves Rurs justmet de Observções lttude d pt P, que f determd trvés de velmet gemétrc, é gul 6,9 m e será csderd cm vlr "quse verdder", ssm pde-se clculr, pr tds s medds, um err verdder ε Nv Ge 69 Obteçãdbel 4- lttudes d pt P Medd pr pt Medd pr pt B X X X X Y Y Hr l ε l ε l ε l ε (m) (cm) (m) (cm) (m) (cm) (m) (cm) : 656 -, , , , : 65 -, 666-4,7 68 -,9 64 -,5 : 66-4, 654 -,5 64 -, , : 64 -,4 66 -,7 66, 6,7 : 667-4,8 67-5, , 64 -, : 69-7, 689-7, 647-5, ,9 : 66-4,4 67-5, 648 -, ,7 4: 649 -, 67 -,8 64-9, ,8 4: 67 -,8 6 -, , ,8 5: 656 6, 659 6, 64,5 69, 5: 696, 694,5 67 4, , 6: 68, , 66 5,9 67 9, Crrelçã prtr ds 4 pres de medds (crrelçã cruzd): ε ε 45 s ± 4, cm ε ε 44 s ±, 9 cm ε ε 58 44, s ρ,87 Crrelçã prtr ds pres de medds (utcrrelçã): ε ε ρ ρ ε ε ε ε 5,97 Cpítul 4: Prpgçã ds Errs

51 Gerreferecmet de Imóves Rurs justmet de Observções GEOMÁIC - CEFEES 5, ρ ρ ε ε ε ε ε ε 46 Prpgçã d Vrâc de Observções Idepedetes Eq(4) mstr prpgçã d err de um grdez medd um úc vez d d d (4) Qud um determd grdez fr medd ms de um vez, devems prpgr vrâc desss medds Pr deduçã d prpgçã d vrâc, vms elevr s ds membrs qudrd: d d d d d d d d Csderd que s grdezs e frm medds cm várs repetções, e smd s vlres btds devd ests repetções, vem: d d d d d (4) Ms sed e ã-crrelcds, d d, lg: d d d Dvdd pel úmer de vezes que s grdezs frm medds, vem: d d d

52 Gerreferecmet de Imóves Rurs justmet de Observções Cpítul 4: Prpgçã ds Errs 5 Cm: d d d (4) Eq (46) pesr de deduzd um fuçã dervd de smete dus grdezs e, el é váld pr fuções de m utrs grdezs, u sej: ),,, ( m f L, etã: m m L (44) Eq (47) é epressã lgébrc gerl d le d prpgçã ds errs (vrâc) pr s css que ã hj crrelçã etre s grdezs medds, st é, s medds sã depedetes Eq (47) pde ser escrt frm mtrcl: m m m L L L (45) ll (46) de:

53 Gerreferecmet de Imóves Rurs justmet de Observções 5 : vrâc d grdez dervd; : vetr lh ds cefcetes; : vetr clu trspst ds cefcetes; ll : mtrz vrâc-cvrâc de crrelçã zer (mtrz dgl) Eempl plctv: Um dstâc de prmdmete 49 m deve ser medd cm um tre de 5 m de cmprmet Sed checd desv pdrã de cd tred e csderd gul d 5 mm, qul ser desv pdrã d dstâc D? fuçã que relc dstâc ttl D s segmets d é: D d L d d D d D d D L d plcd le d prpgçã ds errs: D d d L D 5 mm D 5, 8 mm Eempl plctv: Qul desv pdrã d áre de lte retgulr que têm s segutes lds: l m 5 mm l m mm l l l l l l plcd le d prpgçã ds errs: GEOMÁIC - CEFEES

54 54 Gerreferecmet de Imóves Rurs justmet de Observções (,5),,5,8,6 ( m ),9 m Eempl plctv: s crdeds, errs Clculr s crdeds B, d pt sã checds e sã csderds lvres de B e s respectvs desvs pdrões B e sbed-se que s desvs pdrões d dstâc e d zmute sã d cm e z B B d pt B, Dds:, m, B 75, m d 5, m z B Sluçã: rsfrmd desv d zmute pr rd: u z, 484 rd z B B s fuções pr cálcul d ds crdeds sã: B d se z B B d cs z B s crdeds sã csderds sem errs, prtt dervçã els sã csderds cm csttes pr plcçã d le d prpgçã ds errs s dervds sã: d B d se z d B se z B d d d B se z B se º,5 B zb d se z zb B se z B d zb B zb d cs z 5 csº 4, B Cpítul 4: Prpgçã ds Errs

55 Gerreferecmet de Imóves Rurs justmet de Observções 55 d B d cs z d B cs z B d d d B cs z B cs º,8665 B zb d cs z zb B cs z B d zb B zb d sez B 5 seº 5, plcd le d prpgçã ds errs, lembrd que desv d zmute deve se pst em rds: z B Cálcul d desv crded X B : e B B ( ) ( ) ( ) XB d d zb zb (,5 ) (, ) ( 4, ) (, 484 ) XB,, 447 XB ( ),547, m XB B Cálcul d desv crded Y B : e B B ( ) ( ) ( ) YB d d zb zb (,866 ) (, ) ( 5 ) (, 484 ) YB,, 464 YB ( ),4464, m YB B Eempl plctv: Pr determr dfereç de ível etre ds pts dsttes,5 m será relzd um velmet gemétrc, prcurd clcr sempre ível gus dstâcs d mr ssumd-se que s vsds de vte e ré serã de 5 m, determe err estmd pr bteçã d dfereç de ível desejd Determe tmbém fórmul gerl pr estmr este err Suph err de cd letur l, 5 mm GEOMÁIC - CEFEES

56 56 Gerreferecmet de Imóves Rurs justmet de Observções L H h h h45 Ms: h l R l V h l R l V l h45 R45 V 45 l H (l l ) (l l ) L R V R V (l R45 l V45 ) plcd le de prpgçã ds errs: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) L ( ) ( ) H l R l V l R Ms, cm: l R ( ) 9 ( ) H l l V l l V, etã: ( ) 9,5 ( ),5 mm H H l R45 l V45 H 4,74 mm Fórmul Gerl: H l de: H : desv d velmet; : úmer de mudç d ível; l : desv pdrã ds leturs de ré e de vte Cpítul 4: Prpgçã ds Errs

57 Gerreferecmet de Imóves Rurs justmet de Observções 57 Eempl plctv: Determe equçã gerl pr bter desv d méd de um grdez medd vezes Sluçã: X X X L X X X L X X plcd le de prpgçã de errs: ( ) ( X ) ( X X ) L ( X ) Csderd: ( ) ( X ) ( X ) ( X ) L, etã: ( ) ( ) X X X Eempl plctv: Os âguls ters de um plgl fechd de 5 lds frm medds cm tedlt de precsã 5 O fechmet gulr f de 5, verfcr cetçã desse fechmet, supd err dmssível pr fechmet gulr dess plgl cm cfç de 9% 5 α α α α α α 4 5 ( ) α α α α 4 α 5 Cm: ( ) ( α ) ( α ) ( α ) ( α ) ( α 5 ) 4, etã: ( ) Pr cfbldde de 9%, úmer de desv pdrões é z, 65 ssm, err dmssível má 65 m m 8, 44 Respst: fechmet é cet prque é mer que err dmssível GEOMÁIC - CEFEES

58 Gerreferecmet de Imóves Rurs justmet de Observções Cpítul 4: Prpgçã ds Errs Prpgçã de Vrâc de Observções Crrelcds N mr ds css, s grdezs bservds em pgrf e Gedés sã crrelcds ssm, cs de bservções crrelcds, ã pdems descsderr cvrâc d Eq (4) 47 Prpgçã de um Úc Fuçã d d d d d (4) d d d d d Csderd s segutes epressões: d d d d d tems: (4) Qud fuções preset grde úmer de vráves é preferível represetçã mtrcl devd su cpcdde de sítese e fcldde de cálcul m m m m m m m L L L L L L L L L (4) ll m m m m (44)

59 Gerreferecmet de Imóves Rurs justmet de Observções GEOMÁIC - CEFEES 59 de: : vrâc d grdez dervd; : vetr lh ds cefcetes; : vetr clu trspst ds cefcetes; ll : mtrz vrâc-cvrâc cmplet 47 Prpgçã de ms de um Fuçã Se represet um vetr de vráves dervds e represet um vetr de m vráves letórs tl que: f,,,, f,,,, M M m m m f,,,, (4) ssm, pdems represetr prpgçã d vrâc: m m m m m m m m m m m m m m m m M L M L L L M M L L L L L L L M L M L L L M M L L L L L L L (4) ll (4)

60 6 Gerreferecmet de Imóves Rurs justmet de Observções de: : mtrz vrâc-cvrâc d grdez dervd; : mtrz ds cefcetes; : mtrz trspst ds cefcetes; ll : MVC - mtrz vrâc-cvrâc ds bservções cmplet Observções: Eq (45) é fórmul gerl d prpgçã ds errs; Qud s bservções sã crrelcds, mtrz ll é smétrc (ã-dgl); Qud s bservções sã depedetes, mtrz ll é dgl, st é, tds s vrâcs sã uls; Qud s bservções sã depedetes e de mesm precsã, mtrz ll é dgl, e tds s elemets d dgl sã gus Eempl plctv: Estbelecer mtrz vrâc-cvrâc pr s âguls btds prtr de dreções depedetes s dreções, B e C frm btds cm s desvs pdrões,, e 5, respectvmete B α C α P Fgur 4 - Esquem d bteçã ds âguls Sluçã: Cpítul 4: Prpgçã ds Errs

61 Gerreferecmet de Imóves Rurs justmet de Observções GEOMÁIC - CEFEES 6 Mdel fucl pr bteçã ds âguls α e α : C B d d d α α s fuções pr bteçã ds âguls sã leres ssm, mtrz ds cefcetes sã s próprs cefcetes ds equções, sem ecessdde de dervá-ls mtrz vrâc-cvrâc ds dreções, B, C: plcd le d prpgçã ds errs, tems: ll αα αα αα Eempl plctv: Desej-se medr dstâc B (Fgur 48) stud em lds psts de um vle, ã bservável dretmete Obtêm-se est dstâc, prmermete cm sm ds dstâcs l e l bservd d tp d edfíc que csttu bstácul, em segud cm dfereç ds de dstâcs 4 l e 4 l bservds de um cl vzh s 4 dstâcs frm medds cm um dspstv de medçã eletrôc cuj precsã pde ser clculd pr, 5 ppm mm ± crrelçã é 7, r pr s dus medds fets de um mesm pt e em um mesm mmet Dds:

62 6 Gerreferecmet de Imóves Rurs justmet de Observções l, 6 km 5,6 km mm l, 8 km 5,8 km mm l, km 5, km mm l4 5, 4 km 4 5 5,4 km mm l l4 l l B Fgur 4 - Esquem ds medds Sluçã: Equções ds bservções: l l l l 4 l l l l 4 Cálcul ds cvrâcs etre medds de mesm pt e medds mesm stte, etã crrelçã é ρ, 7 e ρ, 7 4 ρ ρ,7 9 mm, mm Cpítul 4: Prpgçã ds Errs

63 Gerreferecmet de Imóves Rurs justmet de Observções plcd le d prpgçã ds errs: YY YY YY , 9 mm 5, 87 mm Eercíc : Clculr desv pdrã de um dstâc hrztl etre ds pts e B, sbed-se que âgul zetl medd é gul ˆ Z 84 e dstâc cld é gul d m s precsões ds equpmets usds pr s medds de âgul e dstâc sã de " e d mm 5ppm, respectvmete z Cálcul ds precsões: precsã gulr em seguds deve ser trsfrmd pr rds pr eecuçã ds cálculs: z " se" z,48484 rd precsã d dstâc cld: GEOMÁIC - CEFEES