ELEMENTOS DE CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL HELENA MARTINS JOÃO LUIZ MARTINS

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1 ELEMENTOS DE CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL HELENA MARTINS JOÃO LUIZ MARTINS

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3 HELENA MARTINS Formada em Matemática e Mestre em Engenharia de Automação e Sistemas pela Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC). Foi bolsista durante 3 anos do Programa de Educação Tutorial (PET) Matemática, tutora do Ensino à Distância (EaD) e professora substituta na UFSC no ano de 0.

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5 ELEMENTOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

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7 ELEMENTOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Helena Martins João Luiz Martins 04

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9 Reitor Marcone Jamilson Freitas Souza Vice-Reitora Célia Maria Fernandes Nunes Diretor-Presidente Gustavo Henrique Bianco de Souza Coordenador Editorial Daniel Ribeiro Pires Assessor Alvimar Ambrósio CONSELHO EDITORIAL André Barros Cota Carla Mercês da Rocha Jatobá Ferreira Elza Conceição de Oliveira Sebastião Fábio Faversani Gilbert Cardoso Bouyer Gilson Ianinni Gustavo Henrique Bianco de Souza Hildeberto Caldas de Sousa Leonardo Barbosa Godefroid Marcilene Magalhães da Silva Rinaldo Cardoso dos Santo

10 c c EDUFOP Presidente Conselho Editorial Gustavo Henrique Bianco de Souza Coordenação Editorial Daniel Ribeiro Pires Projeto Gráfico Helena Martins Capa Alvimar Ambrósio Revisão Técnica Autores Editoração Eletrônica Helena Martins ISBN FICHA CATALOGRÁFICA M386e Martins, Helena. Elementos de cálculo diferencial e integral / Helena Martins e João Luiz Martins - Ouro Preto: UFOP, 04. 5p.: graf.; tabs.. Cálculo.. Cálculo diferencial. 3. Cálculo integral. 4. Número - conceito. I. Martins, João Luiz. II. Universidade Federal de Ouro Preto. III. Título. CDU: 5-3 Catalogação: sisbin@sisbin.ufop.br Reprodução proibida Art. 84 do Código Penal e Lei 9.60 de fevereiro de 998. Todos os direitos reservados à Editora UFOP http//: Tel.: Telefa.: Centro de Vivência Sala 03 Campus Morro do Cruzeiro Ouro Preto MG

11 Sumário Sumário 3 Funções Elementares 7. Introdução Definição Gráfico de uma função Domínio de uma Função Função Polinomial Função Racional Função Irracional Composição de Funções Tipos de Funções Função Polinomial do Primeiro Grau Função Polinomial do Segundo Grau Função Modular Funções Periódicas Função Par Função Ímpar Função Injetora Função Sobrejetora Função Bijetora Função Inversa Caso Especial Função Eponencial

12 .6.3 Função Logarítmica Funções Trigonométricas Função seno Função Arco Seno Função Cosseno Função Arco Cosseno Funções Tangente Função Arco Tangente Função Cotangente Função Arco Cotangente Função Secante Função Arco Secante Função Co-secante Função Arco Co-secante Eercícios Resolvidos Eercícios Propostos Limites 6. Definição Limites Laterais Propriedades e Operações com Limites Indeterminações Limites no Infinito Limites Infinitos Limites Fundamentais Limites: Eercícios Resolvidos Eercícios Propostos Funções Contínuas Introdução Definição Propriedades Teorema do Valor Intermediário

13 4 Derivadas e Integrais Derivada Interpretação Geométrica Derivada de uma Função num ponto Derivada de uma Função Derivada da Função Inversa Regras Elementares: Derivadas Imediatas Integral Primitiva de uma Função Integral Indefinida Regras Elementares: Integrais Imediatas Derivadas e Integrais de Funções Elementares Função Eponencial Derivada da Função Eponencial Integral Indefinida da Função Eponencial Função Logarítmica Derivada da Função Logarítmica Integral Indefinida da Função Logarítmica Derivadas e Integrais de Funções Trigonométricas Função seno Função Arco Seno Derivada da Função Seno Derivada da Função Arco seno Integral da Função Seno Integral da Função Arco Seno Função Cosseno Função Arco Cosseno Derivada da Função Cosseno Derivada da Função Arco Cosseno Integral da Função Cosseno Integral da Função Arco Cosseno Funções Tangente

14 4.4.4 Função Arco Tangente Derivada da Função Tangente Derivada da Função Arco Tangente Integral da Função Tangente Integral da Função Arco Tangente Função Cotangente Função Arco Cotangente Derivada da Função Cotangente Derivada da Função Arco Cotangente Integral da Função Cotangente Integral da Função Arco Cotangente Função Secante Função Arco Secante Derivada da Função Secante Derivada da Função Arco Secante Integral da Função Secante Integral da Função Arco Secante Função Co-secante Função Arco Co-secante Derivada da Função Co-secante Derivada da Função Arco Co-secante Integral da Função Co-secante Integral da Função Arco Co-secante Tabela de Derivadas Tabela de Integrais Aplicações da Derivada 5 5. Aplicações Elementares Taa de Variação Velocidade e Aceleração Eercícios Resolvidos: Aplicações Diferencial

15 5.3 Regra de L Hospital Eercícios Resolvidos: Regra de L Hospital Máimos e Mínimos Máimo Relativo Mínimo Relativo Etremo Relativo Etremo Absoluto Monótona Crescente Monótona Decrescente Intervalos de Monotocidade Critério da Derivada Primeira Critério da Derivada Segunda Concavidade voltada para Cima Concavidade voltada para Baio Critério Geral sobre Concavidade Ponto de Infleão Assíntotas Assíntota Vertical Assíntota Horizontal Eercícios Propostos Métodos de Integração Método da Substituição Eercícios Resolvidos: Método da Substituição de Variável Método de Integração por Partes Eercícios Resolvidos: Método de Integração por Partes Método das Frações Parciais Eercícios Resolvidos: Método das Frações Parciais Método de Substituições Trigonométricas Eercícios Resolvidos: Substituições Trigonométricas Integral Definida Teorema Fundamental do Cálculo

16 6.7 Propriedades Aplicações da Integral Cálculo de Áreas Eercícios Resolvidos Eercícios Propostos Apêndice: Matemática Elementar 3 7. Fórmulas e Identidades Notáveis Leis da Eponenciação e Radiciação Raízes da Equação do o Grau Fatoração Eercícios Elementares CONJUNTOS NUMÉRICOS Introdução Descrições dos Conjuntos Numéricos Propriedades Desigualdades Valor Absoluto Eemplos Eercícios Propostos

17 . Este livro é dedicado a mãe e esposa: Sílvia Mara Martins 9

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19 . Agradecimentos Nossos agradecimentos aos membros do comitê científico da Editora da UFOP pela sensibilidade e percepção da importância desta obra como apoio didático aos estudantes de Cálculo Diferencial e Integral. Em particular, a UFOP, esta grande Universidade Pública e de Qualidade. Gostaríamos de agradecer aos nossos familiares; Sílvia, Ednardo, João Vitor, Luiz Fernando, Gabriela, Duda e Débora, bem com nossos país, avós, cunhados e amigos pelo incentivo e apoio de todos durante a trajetória da concepção desta obra. Por fim um agradecimento especial a todos os membros do corpo técnico da Editora da UFOP: Alvimar, Daniel, Francisco Daher e Jânio Penna. 0

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21 . Apresentação Este livro é dirigido aos estudantes da disciplina de Cálculo Diferencial e Integral e tem a pretensão de ser um teto auiliar no desenvolvimento do conteúdo desta disciplina. Além disso, serve como apoio didático aos estudantes das licenciaturas, das áreas tecnológicas e dos demais bacharelados. A nossa eperiência acumulada durante muitos anos como, professores, orientadores e o relacionamento com os estudantes em vários cursos de graduação, onde o Cálculo Diferencial e Integral figura como disciplina obrigatória, nos credencia a propor uma sequência do conteúdo diferente, um enfoque metodológico mais objetivo, bem como a apresentação de modelos, eemplos e eercícios resolvidos fundamentais para a fiação de temas, que serão essenciais para o dia a dia dos nossos futuros profissionais. A divisão dos tópicos propostos e o grau de dificuldade estabelecidos em cada capítulo e seção têm a finalidade de facilitar o processo de aprendizagem dos nossos estudantes, no que se refere a construção dos próprios conceitos e definições que serão relevantes para a concretização das habilidades necessárias para que eles possam enfrentar novos desafios.

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23 . Introdução Este livro tem a pretensão de ser uma bibliografia auiliar para uma primeira disciplina de Cálculo Diferencial e Integral, bem como o de oferecer aos estudantes de todos os cursos de graduação, onde os conteúdos que integram esta disciplina são obrigatórios, ou mesmo, optativos, uma boa oportunidade de aprender e fiar os conceitos, definições e resultados relevantes, contribuindo assim para uma formação mais objetiva, ampla e com qualidade dos futuros profissionais. Para a organização dos temas utilizou-se como princípio a evolução natural e lógica dos conceitos e resultados, permitindo aos leitores que possam avançar e também aprofundar muitos desses conteúdos. Além disso, esta organização tem a intenção de encorajá-los a enfrentar novos desafios. No primeiro capítulo, apresenta-se um panorama detalhado sobre as funções elementares, onde estão disponíveis informações à respeito da definição, do gráfico e as características de inúmeras funções, que são imprescindíveis para a compreensão dos temas, que serão tratados nos capítulos seguintes deste livro. No fim deste primeiro capítulo, reserva-se uma seção inteiramente destinada aos eemplos e eercícios resolvidos, para melhor formação e preparação de nossos leitores. O leitor terá oportunidade, com o segundo capítulo, de ter acesso as ideias intuitivas, as definições, as propriedades e características sobre as indeterminações da teoria de Limites de uma Função Real. Reserva-se seções especiais, onde os Limites no Infinito, Limites Infinitos e Limites Fundamentais são introduzidos. Além disso, uma seção final é destinada para apresentação de uma quantidade bem razoável de eercícios resolvidos. Para as Funções Contínuas, reservou-se o terceiro capítulo, onde além da definição, propriedades e eemplos apresenta-se o importante Teorema do Valor Intermediário acompanhado de uma seção com eercícios resolvidos. 3

24 Diferente dos principais e tradicionais livros de Cálculo Diferencial e Integral, reservase o quarto capítulo deste livro, para introduzir de maneira sistêmica os conceitos, propriedades e regras sobre Derivadas e Integrais, criando assim, seções especiais, onde o leitor poderá ser capaz de aprender e fiar os elementos essenciais destes temas. Para a concretização da idéia deste capítulo procurou-se seguir, os antigos e famosos Matemáticos, responsáveis pela construção das Ciências Eatas, através de seus métodos clássicos, que utilizaram os conceitos de Derivada e Integral para resolver vários problemas relacionados com a Física e com a Engenharia. As aplicações da Derivada têm lugar no capítulo quinto, onde apresenta-se a taa de variação, os princípios da relação da derivada com os famosos conceitos da Física, tais como velocidade e aceleração. Vários outros temas são descritos neste capítulo, como, as idéias sobre diferencial, a famosa e relevante regra de L Hospital, os conceitos e resultados sobre máimos e mínimos, cuja teoria contribuem para o esboço de gráficos de funções, bem como, uma grande quantidade de eercícios resolvidos para ajudar os estudantes na fiação e manejo destes temas. Os métodos de integração e suas aplicações estão descritos no capítulo seto. Nele apresenta-se o método da substituição de variáveis, o método da integração por partes, o método das frações parciais, o método das substituições trigonométricas mais importantes, a integral definida e suas propriedades e o Teorema Fundamental do Cálculo. Uma seção final, neste capítulo, é reservada para as aplicações, com inúmeros eercícios resolvidos sobre a integral definida e o Teorema Fundamental do Cálculo. Um apêndice é estabelecido para que possamos tratar vários temas da Matemática elementar, como conceitos sobre razões trigonométricas, fórmulas trigonométricas fundamentais, resultados sobre eponenciação, radiciação, fatoração e identidades polinomiais básicas. A finalidade deste apêndice é o de possibilitar aos leitores rever conceitos básicos e testar seus conhecimentos na resolução de algumas operações com temas relacionados à Matemática elementar. Como mencionado acima, os assuntos tratados neste livro são de natureza mais objetivo e determinante à formação dos estudantes. Diferente dos temas tratados e apresentados nos tradicionais livros de Cálculo Diferencial e Integral. Além disso, diante da forma dirigida de como os conceitos, definições, propriedades são estabelecidos e do volume de eemplos e eercícios que são oferecidos aos leitores, tem-se a certeza de 4

25 que a qualidade na formação dos estudantes deverá ser alcançada de maneira mais dinâmica e efetiva. 5

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27 Capítulo Funções Elementares. Introdução Um dos mais relevantes conceitos da Matemática é sem dúvidas, o conceito de Função. Eistem informações de que 300 a.c. Euclides já utilizava conceitos semelhantes. As primeiras ideias foram inicialmente apresentadas, mais formalmente, nos trabalhos de Newton e Leibniz por volta do século XVII. Entretanto, somente com Leonard Euler é que este conceito foi apresentado de forma semelhante ao estilo de hoje. Este capítulo consiste em apresentar as principais funções elementares e suas características, bem como, alguns gráficos especiais.. Definição Diz-se que uma relação que associa o conjunto A em B é uma função, se esta relação associar cada elemento do conjunto A a um único elemento do conjunto B. Em resumo: f : A B f() é uma função desde que para cada A implique que eista um único f() B. Boyer, Carl. História da Matemática 7

28 .3 Gráfico de uma função O gráfico de uma função f : A B é um subconjunto do produto cartesiano formado pelos pares ordenados da forma (, f()), isto é, A B Gr (f) = { (, y) A B, y = f()}. (a) y (b) y (c) y (d) y As figuras (a), (b), (c) e (d) são eemplos de ilustrações que não representam uma função. No estudo de funções vamos entender uma função como sendo uma relação f : A B f() onde f é uma função cujo subconjunto A R é o domínio (i.e., o campo de eistência de f e denotado por D f = Domínio de f) e o subconjunto B R é o contra domínio de f. Ao conjunto formado pelos elementos f() do contra domínio chamamos de Imagem de f, ou seja, 8

29 Im f = { y B tal que f() = y, com D f }. Eemplo. Considere a seguinte função f : {,, 3} { 3,,,,, 3} f() = então o conjunto imagem desta função é dado por Im f = { 3,, }. O leitor atento deverá observar que nem sempre o contra domínio de f (neste eemplo é o conjunto { 3,,,,, 3}) coincide com a imagem de f..4 Domínio de uma Função O domínio de uma função pode ser entendido como sendo o conjunto dos elementos para os quais f() tem sentido, ou seja, o campo de eistência de f..4. Função Polinomial Toda função f definida por um polinômio tem como domínio o conjunto (subconjunto) dos números os reais. Eemplo. Esboce o gráfico da função polinomial f() =

30 y f() = ³ - ² Função Racional Toda função f definida por f() = P (), onde P () e Q() são polinômios, tem Q() como domínio o conjunto formado pelos R tais que Q() 0, ou seja, D f = { R Q() 0}. Eemplo. Dê o domínio e esboce o gráfico da função racional g() = +. y g() = + - Solução. D g = { R } = R { }. 0

31 .4.3 Função Irracional Toda função f definida por f() = n P (), tem como domínio o conjunto formado pelos elementos R tais que P () 0, caso n seja par, e todos os números reais, caso n seja ímpar. Eemplo. Dê o domínio e esboce o gráfico da função irracional f() =. y f() = Solução. D f = { R 0} = [0, + [= R +. Eemplo. Encontre o domínio e a imagem das funções: a) f() = y f() = 3³ - 5² Solução. Neste caso temos, D f = Im f = R.

32 b) f() = y f() = 3² Solução. D f = { R } = R, pois, , para todo R. Já a imagem desta função é dada por Im f = {y R y 5}. Eemplo. Encontre o domínio das seguintes funções: a) f() = Solução. Esta função fica bem definida desde que o denominador não se anule. Assim sendo, D f = { R } = R {, 3}. b) f() = Solução. O domínio de f será obtido a partir da intersecção dos domínios das três epressões que integram a função, ou seja, D f = { R > 0, e 0}. Para facilitar o entendimento colocamos D f = D f D f D f3, onde D f é o domínio de f () =, cujo domínio é dado por D f = { R > 0} =], [ ], [. D f é o domínio de f () = +, onde o domínio é dado por 3 + D f = { R 3 + 0} = R {, }.

33 E por fim, D f3 é o domínio de f 3 () =. O resultado é dado por D f3 = { R 0} = R {0}. Portanto, D f =], [ ], [ {}..5 Composição de Funções Sejam f : A B e g : B C duas funções com f(b) = D g então, (gof) : A C g(f()) as notações gof() ou g(f()) epressam a função g composta com f, que é obtida aplicando-se g a imagem de f no ponto do domínio de f. A B C f g g f() (f()) g f Eemplos. Considere f() = e g() = + 3 : (a) (fog)() = f(g()) = f( + 3) = ( + 3) = (b) (gof)() = g(f()) = g( ) = ( ) + 3 (c) (fof)() = f(f()) = f( ) = ( ) = 3

34 .6 Tipos de Funções.6. Função Polinomial do Primeiro Grau Chama-se função polinomial do primeiro grau toda função da forma f() = a + b onde a, b R com a 0. O gráfico de uma função polinomial do primeiro grau é sempre uma reta, que pode passar ou não pela origem. Dependendo do valor de a podemos ter informações se f() = a + b é crescente ou decrescente, ou seja, f é crescente quando a > 0; f é decrescente quando a < 0; f é constante quando a = 0. Eemplo. Considere as funções f() = 3, g() = + 3 e h() =. y 3 f() = - 3 y g() = + 3 h() = - y Nestes casos temos D f = D g = D h = R. É fácil ver que f e g são funções crescentes e h é decrescente..6. Função Polinomial do Segundo Grau Chama-se função polinomial do segundo grau toda função da forma f() = a + b + c a, b, c R com a 0. 4

35 Neste caso, à respeito das raízes da equação associada à função acima pode-se afirmar que b 4ac > 0 b 4ac = 0 b 4ac < 0 raízes reais e distintas; raízes reais e iguais; raízes não reais ou compleas. O domínio deste tipo de função é sempre o conjunto R. O gráfico desta função é uma parábola que pode ser voltada para cima ou para baio, caso o sinal de a seja positivo ou negativo, isto é, Parábola voltada para cima se a > 0; Parábola voltada para baio se a < 0. Eemplo. Esboce os gráficos das funções f() = e g() = + 4. y 6 f() = ² y 4-3 g() = -² Função Modular Define-se a função modular por se 0 f() = = se < 0. 5

36 Eemplo. Esboce o gráfico da função modular f() =, depois encontre seu domínio e imagem. y f() = - Neste caso tem-se, D f = R e Im f = R Funções Periódicas Diz-se que f é periódica se eiste um número real t 0 tal que f( + t) = f() D f. A função f() = é periódica, basta observar que, f( + t) = f() = para qualquer R. Observação. As funções trigonométricas são eemplos clássicos deste tipo de função. Uma boa leitura sobre estes eemplos pode ser feita pelo leitor já nas próimas seções deste livro..6.5 Função Par Diz-se que f é uma função par, caso ela cumpra a condição f() = f( ) D f. Geometricamente, as funções pares são simétricas em relação ao eio dos y. Eemplo. respectivos gráficos abaio: As funçoes f() =, g() = e h() = 4 são pares. Veja os seus y f() = ² y g() = 4 h() = 4 y

37 .6.6 Função Ímpar Diz-se que f é uma função ímpar, caso ela cumpra a condição f() = f( ) D f. Geometricamente, as funções ímpares são simétricas em relação à origem. Eemplo. Observe que f() = e g() = 3 são eemplos de funções ímpares. Veja seus respectivos gráficos abaio: y y g() = ³ f() = Função Injetora Uma função f : A B é dita injetora quando cumpre a propriedade de que para quaisquer que sejam no domínio de f (em A) implicar que f( ) f( ) em B. A função f() =, conhecida como função identidade, é um eemplo de função injetora. y f() = Função Sobrejetora Diz-se que uma função f é sobrejetora quando o contra domínio de f for igual a sua imagem. (CD f = Im f ). A mesma função f() = é um eemplo clássico de função sobrejetora. 7

38 .6.9 Função Bijetora Diz-se que f é uma função bijetora quando for injetora e sobrejetora simultaneamente. Consequentemente, f() = é uma função bijetora..6.0 Função Inversa Seja f : A B uma função bijetora então a inversa de f é uma função denotada por f que tem a característica de levar os elementos do conjunto B nos do conjunto A, isto é, f : A B f() f : B A y f (y). Eemplo. Encontre a função inversa da função bijetora f() = 3 +. Solução. Escreve-se inicialmente a função da seguinte forma y = 3 + agora trocam-se as variáveis por y e vice-versa, isto é, = 3y y +. Finalmente, isola-se y, o resultado é dado por; (y + ) = 3y y + = 3y y 3y =. Portanto, Assim sendo, y = se f() = 3 + ( + ) (3 ) 3. então f () =

39 Eemplo. Encontre a função inversa de f() =. Solução. Seja y =. Inicialmente, trocam-se as variáveis, isto é, = y + = y y = ± +. Neste caso, a inversa depende das escolhas do domínio e da imagem para que a função f seja bijetora. Ou seja, escolhe-se a função bijetora f : R + [, [ f() =. Então f será dada por f : [, [ R + f () = Caso Especial Considere a epressão y = 4. Da epressão acima podemos dizer que y 0. Portanto, y = 4 y = 4 y + = 4. Mas, ( 0) + (y 0) = é a equação da circunferência de centro (0, 0) e raio. 9

40 y y = 4 - ² - 0 Como y 0, o gráfico de y = 4 é somente a parte positiva da curva, observe o gráfico abaio. y y = 4 - ² y > 0-0 Neste caso, a função não é inversível por não ser injetora. Para ver que esta função não é injetora, basta o leitor observar, que para = e = a função tem como imagem o mesmo valor f( ) = f() = 0. Portanto, não é bijetora, sendo assim, não é inversível. Para torná-la inversível, basta fazer uma das escolhas abaio: y = 4 f : [, 0] [0, ], ou y = 4 f : [0, ] [0, ]. Assim sendo, ambas são inversíveis. Como tarefa faça o gráfico destas funções e encontre a lei que define a inversa em cada caso. Veja gráficos abaio. y y y > y > 0 y = 4 - ² [ [ : -, 0 0, [ [ y = 4 - ² : [ 0, [0, [ [ 30

41 .6. Função Eponencial Seja a um número real, a > 0 e a. Chama-se função eponencial de base a, a função que a cada número real associa o número real a, ou seja, f : R R f() = a. O domínio da função eponencial é dado por R e a imagem por R +. Eemplo. Se a > então a função eponencial é crescente. Entretanto, se 0 < a < então a função eponencial é decrescente. Para ilustrar este fato, observe os gráficos das funções abaio; a) f() = y f() = 0 b) g() = ( ) g () = y 0 3

42 .6.3 Função Logarítmica Chama-se função logarítmica de base a, com a > 0 e a a função que associa a cada R + o número real log a, isto é, f : R + R f() = log a. O domínio da função logarítmica é dado por R + e a imagem por R. Eemplo. Se a > a função logarítmica é crescente. Entretanto, se 0 < a < então a função é decrescente. Observe os gráficos das funções: a) f() = log y f() = log b) f() = log. y f() = log 3

43 .7 Funções Trigonométricas.7. Função seno Considere o plano UOV e a circunferência de centro C(0, 0) e raio r =. Sejam, um ângulo com medida radianos e P o ponto de intersecção do lado terminal do ângulo com a circunferência. V P 0 P P U Denomina-se seno de a ordenada P do ponto P. A função seno é definida como sendo a função f que a cada R associa o número real f() = sen, isto é, f : R R f() = sen. O domínio da função seno é R e a imagem é o intervalo real [, ]. A função f() = sen é periódica de período π, pois, f( + π) = f() para todo D f. y f() = sen.7. Função Arco Seno Para obter a função inversa da função seno considera-se a função bijetora [ f : π, π ] [, ] f() = sen. 33

44 Então a inversa de f() = sen é a função definida por f : [ [, ] π, π ] f () = arc sen y - f() = arc sen.7.3 Função Cosseno Considerando a circunferência anterior com as mesmas informações, denomina-se cosseno, a abscissa P, do ponto P. V P P 0 P U A função cosseno é definida como sendo a função f que a cada R associa o número real f() = cos, isto é, f : R R f() = cos. O domínio da função cosseno é R e a imagem é o intervalo [, ]. A função f() = cos também é uma função periódica de período π, pois cos ( + π) = cos. 34

45 y f() = cos Função Arco Cosseno Para obter a função inversa da função cosseno considera-se a função bijetora: f : [0, π] [, ] f() = cos então a inversa de f() = cos é a função definida por f : [, ] [0, π] f () = arc cos. y - f() = arc cos 35

46 .7.5 Funções Tangente A função tangente tg = sen cos é definida para todos os números R tais que função tangente é dada por D = { R cos 0. Ou seja, o domínio da π + kπ, k Z}. y f() = tg.7.6 Função Arco Tangente Considere a função bijetora f : ] π, π [ R f() = tg. A inversa de f() = tg é a função definida por f : R ] π, π [ f () = arc tg. 36

47 y f() = arc tg.7.7 Função Cotangente A função cotangente é definida por para todos os números R cotangente é D = { R cotg = cos sen tais que sen 0. Ou seja, o domínio da função kπ, k Z}. y f() = cotg 37

48 .7.8 Função Arco Cotangente Considere a função bijetora f : ]0, π[ [, ] f() = cotg. A inversa de f() é a função definida por f : [, ] ]0, π[ f () = arc cotg. y f() = arc cotg.7.9 Função Secante Define-se a função secante como sendo f : { R π + kπ, k Z} R f() = sec = cos. y f() = sec 38

49 .7.0 Função Arco Secante Considere a função bijetora f : { π } ]0, π[ ], ] [, + [ f() = sec. A inversa de f() é a função definida por { π } f : ], ] [, + [ ]0, π[ f () = arc sec. y - f() = arc sec.7. Função Co-secante Define-se função co-secante por f : { R kπ, k Z} R f() = cosec = sen. 39

50 y f() = cosec.7. Função Arco Co-secante Considere a função bijetora [ π f :, 3π ] {π} ], ] [, + [ f() = cosec. A inversa da função arco co-secante é definida por [ [ ] π f : ], ] [, + [, π π, 3π ] f () = arc cosec y - - f() = arc cosec 40

51 .8 Eercícios Resolvidos () Considere a função Determine: f() = +. a) f() 3f(0) + 5f() f( ) b) f(h) f(0) h c) [f(f())]. Solução. a) f() 3f(0) + 5f() f( ) = 3.( ) = = = 7 0. b) f(h) f(0) h c) [f(f())] = = [ f (h ) (h + ) + ( = h )] = [0] = 0 3h (h + ) h = 3h h(h + ) = 3 (h + ) () Se f() = a + b c + d e a = d mostre que f(f()) =. Demonstração. De fato, ( ) ( a + b a (a+b) f(f()) = f = + b ) (c+d) c + d c (a+b) + d = (c+d) ( ) ( ) a + ab + cb + db a + cb = = ac + cb + cd + d cb + d = (a + cb) (d + cb) = (a + cb) (a + cb) =. ( a +ab+cb+db (c+d) ac+cb+cd+d (c+d) ) (3) Se f() = então mostre que f( a ) = a. Demonstração. Com efeito, se a 0 então a = a e assim, f( a ) = a a = a a = a. Por outro lado, se a < 0 então a = a e desta forma, f( a ) = a a = a + a = +a. 4

52 Portanto, a se a 0 f( a ) = a se a < 0. Desta forma, f( a ) = a. (4) Seja ψ() = 7 então determine ψ ψ e [ψ()]. Solução. (ψ ψ)() = ψ(ψ()) = ψ( 7) = ( 7) 7 = = 4. Por outro lado, [ψ()] = [ 7] = (5) Seja h() = a + b encontre os valores de a e b para que h(h()) = 4 9. Solução. Com efeito, h(h()) = h(a + b) = a(a + b) + b = a + ab + b = a + (ab + b). Para obter os valores de a e b deve-se encontrar a solução da equação h(h()) = a + (ab + b) = 4 9. Portanto, a = e b = 3 ou a = e b = 9. (6) Seja f() = encontre a função g para que (f g)() = Solução. Com efeito, como f() = então = (f g)() = (f(g()) = [g()]. Portanto, g() = ± = ± ( 3) = ±( 3). 4

53 (7) Seja f() = então mostre que f(h + ) f() = h (h + ). Demonstração. Com efeito, utilizando-se a função f() =, tem-se f(h + ) f() = h + = (h + ) = h (h + ). (8) Determine o domínio de cada uma das funções abaio a) f() = + b) g() = 4 c) h() = + d) φ() =. Solução. a) O domínio da função f são todos os números reais, isto é, D f = R, haja vista que esta função é definida por um polinômio do segundo grau. b) Para obter o domínio da função g deve-se lembrar que esta função está definida por uma raiz quadrada o que significa que a sua eistência somente se dá quando a epressão 4 0. Portanto, D g = { R 4 0} = [, ]. c) Analogamente, a função h eiste desde que que a raiz quadrada faz sentido. Assim sendo; { D h = R + } + 0 =], [ [0, [. 0, pois, são para estes valores d) O domínio da função φ é composto pela intersecção dos valores de eistência para as epressões integrantes. Isto é, a epressão tem como domínio todos os números reais (pois, é um polinômio). Já a eistência da epressão se dá para todos os números reais, eceto o zero. Como o domínio é determinado pela intersecção (ou seja, a eistência simultanea destas epressões), o resultado é dado por D φ = { R 0} = R {0} = R. 43

54 (9) Considere as funções Determine: f() = 3 6 g() = + h() = 3. a) f() + g() + h(), b) f().g(), c) (f g)() e d) Solução. a) f() + g() + h() = (3 ) + h() g() f() = ( + ) 3 6) + + (3 )( + ) ( + ).. b) ( ) [ ] f().g() = 3 6 = 3 6. ( + ) ( + ) c) Isto é, ( ) ( ) 3 (f g)() = f(g()) = f = 6. ( + ) ( + ) (f g)() = 3 6( + ) 3 ( + ) 3. d) h() g() f() = (3 ) = (+ )(3 ) (+ ) 3 6 = 33 + ( + ) ( 3 6 ). (0) Seja f() = + encontre uma função h tal que ( ) f () =. h Solução. Com efeito, = ( ) f () = f() h h() = +. h() 44

55 Portanto, h() = + ( ) =. () Esboce o gráfico da função 3 se 3 f() = + 4 se 3 < < 3 se e se > y f()= e f()= f()= -3 - f()= ² () Seja f uma função do primeiro grau, se f( ) = e f() = 3 então encontre a lei de formação desta função. Solução. Com efeito, como f é uma função do primeiro grau então ela pode ser escrita como f() = a + b onde a e b são números reais. Deve-se então obter os valores de a e b. Assim sendo, = f( ) = a + b = b a e 3 = f() = a + b. 45

56 A solução deste sistema é dado por a = 3 e b = 7 3. Portanto, f() = (3) Mostre que f() = 3 é uma função impar. Demonstração. Com efeito, é necessário demonstrar que f( ) = f(), para qualquer que seja D f. De fato, considere D f, então f( ) = ( ) 3 ( ) = 3 + = ( 3 ) = f() para todo D f. Segue então que f() = 3 é uma função impar. (4) Mostre que f() = é uma função par. Demonstração. Para que f seja considerada uma função par é necessário demonstrar que para todo D f tem-se f( ) = f(). Desta forma, considere D f, então Portanto, f() = é uma função par. (5) Mostre que Φ() = ln f( ) = = = f(). ( + ) ( ) é uma função ímpar. Demonstração. Com efeito, seja D Φ então ( + ) ( ) Φ( ) = ln = ln ( ) ( + ) [ ] ( + ) = ln = ln ( ) = ln ( ) ( + ) ( + ) ( ) = Φ(). Portanto, Φ é uma função ímpar. 46

57 (6) Mostre que, se f e g são funções impares então h() = f().g() é par. Demonstração. De fato, considere D f e D g então, como f e g são funções ímpares, tem-se f( ) = f() e g( ) = g(). Portanto, h( ) = f( ).g( ) = [ f()].[ g()] = f().g() = h(). Segue que h é uma função par. (7) Mostre que, se f e g são funções impares então T () = f() + g() é ímpar. Demonstração. Com efeito, considere D f e D g então, como f e g são funções ímpares, tem-se f( ) = f() e g( ) = g(). Portanto, T ( ) = f( ) + g( ) = f() g() = [f() + g()] = T (). Segue que T é uma função ímpar. (8) Mostre que para qualquer que seja a função f tem-se H() = [f() + f( )] é par e M() = [f() f( )] é ímpar. Demonstração. Seja f uma função qualquer e D f então H( ) = [f( ) + f( ( ))] = [f() + f( )] = H(). Portanto, H é par. Por outro lado, M( ) = [f( ) f( ( ))] = [f( ) f()] = [f() f( )] = M(). 47

58 Assim sendo, M é ímpar. (9) Se f e g são funções periódicas de período T então f +g é periódica de período T. Prova. De fato, como f e g são funções periódicas de período T então f( + T ) = f() e g( + T ) = g(). Assim sendo, (f + g)( + T ) = f( + T ) + g( + T ) = f() + g() = (f + g)(). Portanto, f + g é periódica de período T. (0) Seja f uma função periódica de período T então mostre que 3T também é período de f. Prova. Com efeito, como f é uma função periódica de período T então f( + T ) = f(). Assim sendo, f( + 3T ) = f(( + T ) + T ) = f( + T ) = f(( + T ) + T ) = f( + T ) = f(). Desta forma então, f é periódica de período 3T. () Considere h() = então h( + 3) h( ) = 5 h(). Prova. De fato, [ h( + 3) h( ) = (+3) ( ) = 3 = 8 ] = 5 h(). 48

59 () Sejam Mostre que A() = [ a + a ] e B() = [a a ]. A( + y) = A()A(y) + B()B(y). Prova. Com efeito, A( + y) = [ a +y + a (+y)] = [ a a y + a a y]. Por outro lado, A()A(y) + B()B(y) = [ a + a ] [ a y + a y] + [a a ] [ay a y ] = [ a +y + a y + a +y + a y] 4 + [ a +y a y a +y + a y] 4 = [ a +y + a y] = [ a a y + a a y] = A( + y). Portanto, A( + y) = A()A(y) + B()B(y). (3) Esboce o gráfico da função racional g() = + 4. y -4 g() =

60 (4) Esboce o gráfico da função racional f() = ( ). y f() = ( - )² (5) Esboce o gráfico da função polinomial f() = + ( ) 3. y f() = + ( - )³ - 0 (6) Esboce o gráfico da função eponencial f() = e. y f() = e -² 50

61 (7) Esboce o gráfico da função eponencial f() =. y f() = - (8) Esboce o gráfico da função logarítmica f() = ln ( ). y f() = ln(-) - (9) Esboce o gráfico da função trigonométrica ( f() = cos + π ). y f() = cos + 5

62 (30) Esboce o gráfico da função trigonométrica f() = sen y ( π ) f() = sen - (3) Esboce o gráfico da função trigonométrica f() = tg. y - 0 f() = tg 5

63 (3) Esboce o gráfico da função trigonométrica f() = + sen. y f() = + sen() (33) Considere (funções hiperbólicas) senh () = e e e cosh () = e + e. Então a) Mostre que senh () é uma função ímpar; b) Mostre que cosh () é uma função par. Prova. a) Com efeito, senh ( ) = e e + Portanto, senh () é uma função ímpar. = e e = senh (). b) De fato, cosh ( ) = e + e Assim sendo, cosh () é uma função par. = e + e = cosh (). (34) Mostre que se f() = cosh () então f[ln ( + )] =. 53

64 Prova. Com efeito, como f() = cosh () segue que [ ] f[ln ( + e (ln (+ )) + e (ln (+ )) )] =. Por outro lado, lembre-se que ln u = log e u = y e y = u ln u = ln e y = y ln e = y. Portanto, f[ln ( + )] = = [ ] e (ln (+ )) + e (ln (+ )) [ ] e (ln (+ )) + e (ln (+ ) ) = ( + ) + ( + ) = ( + ) + (+ ) = (+ ) + (+ ) = ( + ) ( + ) = = + + ( ) + ( + ) (35) Determine a inversa da função f() = + a a. Solução. Com efeito, seja y = f() então segue que y = + a a. Efetuando-se a troca de variáveis, obtém-se = y + a y a (y a) = y + a y a = y + a y y = a + a y( ) = a( + ) a( + ) y = ( ). 54

65 Portanto, f () = a( + ) ( ) desde que. (36) Mostre que a função inversa de f() = + é a própria função f. Prova. De fato, considerando y = f() e realizando a troca de variável, tem-se = y + y (y ) = y + y = y + y y = + y( ) = + y = +. Portanto, f () = + = f(). (37) Encontre a função inversa de g() = a. Solução. Seja g() = y, a troca de variável permite escrever; = a y = a y y = a. Portanto, o resultado é dado por g () = a. (38) Determine a inversa da função h() = +. Solução. Com efeito, efetuando a troca de variável e levando-se em conta que h() = y, tem-se = y y + (y + ) = y y + = y y y = y ( ) = y = y = y =. 55

66 Esta é uma das possíveis escolhas. Como desafio (eercício) ao leitor deia-se a verificação, em todos os eercícios acima, do campo de eistência das funções ou as considerações necessárias para a eistência de cada uma dessas funções. (39) Se Φ() = ln, então prove que + Φ ( ) a + b = Φ(a) + Φ(b). + ab Prova. De fato, ( ) a + b Φ + ab = ln a+b +ab a+b +ab + = ln +ab a b (+ab) (a+b)+(+ab) (+ab) ( a)( b) = ln (a + )(b + ) = ln = ln ( a) ( b) + ln (a + ) (b + ) = ln + ab a b a + b + + ab [ ( a) (a + ) ( b) (b + ) ] = Φ(a) + Φ(b) (40) Encontre a função inversa de H() = +. Solução. Com efeito, utilizando-se H() = y e a troca de variável, tem-se = y y + ( y + ) = y (y + ) = y y y = y = y = y =. Portanto, um inversa para a função H() é dada por H () =. Observe que a eistência da função H e a escolha da raiz quadrada positiva é apenas uma opção. O leitor deve analisar outras possibilidades, bem como o campo de eistência desta função. 56

67 .9 Eercícios Propostos () Um retângulo cuja base tem comprimento está inscrito em um círculo de raio. Epresse a área deste retângulo em função de. () Determine o domínio da função definida por: f() = (3) Considere a função: f : R R f() = Determine se a função é inversível. Caso afirmativo, escreve a epressão que representa a sua inversa. (Sugestão: reescreva a função como uma função definida por mais de uma sentença. Faça a análise e o gráfico de cada uma destas sentenças, e determine a inversa de cada uma delas). (4) Verifique se a função f() = + 4 é bijetora. Em caso afirmativo, determine a sua inversa. (5) Dadas as funções f() = + 3 e g() =, calcule, se possível: a) (fog); b) (fof); (6) Dadas as funções f() = 0 se < 0 se 0 0 se > 57

68 e g() = se < 0 se 0 se > determine (f og). (7) Esboce os gráficos da funções abaio, depois, determine o domínio e a imagem de cada uma delas. a) 3 se 3 f() = + 4 se 3 < < 3 se e se > b) + sen se 0 f() = se 0 < < 3 4 ( 5) se 3 < < 7 log se 7 c) f() = d) f() = e) f() = + cos f) f() = + tg ( π) 4 g) f() = + cosec 58

69 h) f() = arc sen 8) Represente graficamente, dê o domínio e a Imagem de cada uma das funções abaio. a) f() = 4 b) f() = c) f() = + 4 d) f() = + ( ) 3 e) f() = 3 f) f() = + se < g) f() = se 3 se > 3 (9) Encontre o domínio e a imagem da função inversa de (0) Sejam Φ() = f() = +. ( a + a ) e Ψ() = ( a a ). Mostre que Φ( + y) = Φ().Φ(y) + Ψ().Ψ(y). () Construa os gráficos das seguintes funções a) f() = cos( + π ) b) f() = tg c) f() = + sen. () Esboce o gráfico das seguintes funções a) f() = 5 b) f() = e c) f() = ln ( + ). (3) Usando funções, encontre a solução de cada uma das inequações abaio. a) + 3 b) 3 4 > c) 4. 59

70 (4) Determine a inversa das seguintes funções (bijetoras) a) f() = + a a b) f() = 3 c) f() =. (5) Assinale com V (Verdadeira) ou F (Falsa). ( ) f() = é uma função par; ( ) o gráfico de g() = é uma reta crescente ; ( ) Se f() = então o domínio de f é dado por D f = { R ; > } ; ( ) se f é inversível então eiste f e (f f )() = ; ( ) se f : R R com f() = então f é bijetora ; ( ) Toda função constante é injetora ; ( ) Toda função bijetora admite inversa ; ( ) Toda função injetora e sobrejetora é par ; ( ) se f() = + então necessariamente D f = R {0} ; ( ) se h() = + então D h = R {0} ; ( ) o gráfico da função g() = e é crescente desde que D g = R +. 60

71 Capítulo Limites Considere a função + 3 se > f() = + se < y f() = + 3 f() = Observando-se o gráfico desta função é fácil concluir que a medida que assume valores maiores do que isto é, >, ou seja, por valores a direita de a função que é dada por f() = + 3 tende a assumir o valor. Por outro lado, a medida que assume valores menores do que, isto é, <, ou seja, por valores a esquerda a função que é dada por f() = + tende a assumir o valor. Neste sentido, dizemos que o ite da função f quando tende a é o valor. O leitor deve observar que a idéia intuita de ite de uma função independe dela estar ou não definida no ponto, no caso acima, temos uma função que não está definida em =, porém, o ite desta função em = eiste e tem valor. 6

72 Seja a função + se 0 f() = se < 0 y f() = + f() = O gráfico da função f nos permite concluir que a medida que assume valores a direita de zero 0 a função f() = + tende a assumir o valor. Por outro lado, a medida que assume valores a esquerda de zero < 0 a função f() = tende a assumir o valor. Portanto, neste caso, o ite da função f quando tende a zero é igual a. Considere a função f() = y f() = 6

73 O gráfico acima permite concluir que a medida que se aproima de zero a função tende ao infinito. Observe que = ( ) f = = ( ) 0 f = 0 0 = ( ) 00 f = ( ) = 000 f = =. ( ) f = Portanto, a medida que assume valores infinitamente pequenos, a função f() = assume valores infinitamente grandes. Assim sendo, quando tende a zero a função f tende ao infinito.. Definição Seja f uma função definida em um intervalo aberto I, contendo p, no qual f não precisa estar definida. Diz-se que o ite de f quando aproima-se de p é L para todo Isto é, Eemplos ɛ > 0, eiste um δ tal que f() L < ɛ sempre que 0 < p < δ. f() = L. p () Prove, usando a definição de ite que, (7 4) = 3. Prova. Com efeito, para todo ɛ > 0, deve eistir δ > 0 tal que (7 4) 3 < ɛ sempre que 0 < < δ. A desigualdade envolvendo ɛ proporciona uma chave para a escolha do δ. (7 4) 3 < ɛ (7 7) < ɛ 7( ) < ɛ 7 < ɛ < ɛ se

74 A última desigualdade permite a escolha do δ, isto é, fazendo δ = ɛ, vem que (7 4) 3 < ɛ sempre que 0 < < δ. 7 Portanto, (7 4) = 3. () Prove, usando a definição de ite que, 3 = 9. Prova. Deve-se mostrar que dado ɛ > 0, eiste δ > 0 tal que, Desta forma então 9 < ɛ sempre que 0 < 3 < δ. 9 < ɛ ( 3)( + 3) < ɛ ( 3) + 3 < ɛ. Precisa-se agora substituir ( 3) por um valor constante. Então, deve-se, neste caso, supor que 0 < δ. Daí da desigualdade 0 < 3 < δ, segue que 3 < < 3 < < < 4 5 < + 3 < 7. Portanto, + 3 < 7. Agora, escolhe-se δ = min{, ɛ } para que se tenha 3 < δ, desta forma, então 7 9 = ( 3) ( + 3) < δ.7 < ɛ 7.7 = ɛ. Portanto, 3 = 9.. Limites Laterais Definição. Seja f uma função definida em um intervalo aberto (p, c). Diz-se que L R é o ite á direita da função f quando tende para p se para todo ɛ > 0, eiste um δ > 0 tal que f() L < ɛ sempre que p < < p + δ. Isto é, f() = L. p + 64

75 Analogamente, seja f uma função definida em um intervalo aberto (c, p). Diz-se que L R é o ite à esquerda da função f quando tende para p se para todo ɛ > 0, eiste um δ > 0 tal que f() L < ɛ sempre que p δ < < p. Ou seja, Eemplos. () Considere a função Determine, se eiste, os ites f() = L. p f() =. f() = L e 0 + f() = L 0 Solução. Observe que se > 0, =, então f() = < 0, =, então f() = = logo, f() = = se > 0 se < 0 =. Por outro lado, se Portanto, 0 + = e 0 =..3 Propriedades e Operações com Limites Sejam c R, f, e g duas funções tais que, f() = L e g() = M. p p ) Unicidade f() = L e f() = H L = H ; p p ) Soma de ites [f() ± g()] = f() ± g() = L ± M ; p p p 3) Produto de Escalar por Função c.f() = c. f() = c.l ; p p 65

76 4) Produto de funções f().g() = f(). g() = L.M ; p p p 5) Quociente de funções f() f() p g() = p g() = L M M 0. p 6) Raiz n f() = n p 7) Eponencial e f() = e f() p = e L. p 8) Logaritmo p f() = n L, L 0 se n par. ln f() = ln f() = ln L. p p 9) Teorema do Confronto Se f() h() g() para todo em um intervalo aberto contendo p, eceto possivelmente em p, e se p f() = L = p g(), então p h() = L. 0) Condição para eistência do Limite Se f é definida em um intervalo aberto contendo p, eceto possivelmente em p, então f() = L se, e somente se p f() = p f() = L. p +.4 Indeterminações Na teoria dos ites chama-se indeterminações as epressões do tipo: 0 0,,, 0., 00, e 0. Ao defrontar-se com qualquer uma destas indeterminações, o leitor deve utilizar uma outra estratégia para a solução do ite. Em linhas gerais procura-se reescrever a sentença ou epressão de forma equivalente e em seguida repetir o processo. O leitor terá oportunidade de lidar com vários eemplos, na seção de eercícios resolvidos, sobre este assunto. 66

77 .5 Limites no Infinito A idéia agora é analisar o comportamento de uma função f quando assume valores positivos arbitrariamente grandes ou negativos arbitrariamente grandes em módulo. Eemplo. Para contribuir com esta idéia, considere inicialmente a função f : [, [ R f() = +. Observa-se que a medida que atribuí-se valores para [, [ a função vai assumindo valores próimos de, isto é, os termos integrantes da função tornam-se muito pequenos a medida que assume valores grandes. É fáci observar que a função tende a a medida que cresce. Simbolicamente, diz-se que para o seguinte significado: a variável iitadamente. não se aproima de valor algum, pelo contrário, aumenta Definição. Seja X um conjunto não itado superiormente e f : X R. Diz-se que o ite de f quando cresce iitadamente é M > 0 tal que se X e > M, então f() L < ɛ. Denota-se f() = L. L, se para todo ɛ > 0 eiste Resultado. Para todo numero natural positivo n, tem-se: + n = 0 e n = 0..6 Limites Infinitos A idéia agora consiste em analisar o que ocorre com a função (ou o comportamento da função) quando tende para certos valores reais. Considere a função f() = ( ). O leitor pode observar que a medida que atribuí-se valores para próimos de função vai assumindo valores arbitrariamente grandes. Ou seja, para =, 5 o valor de f(, 5) = 4 para =, 0 o valor de f(, 0) = e para o valor de =, 00 o valor de f cresce absurdamente, isto é, chega ao valor f(, 00) = Logo, 67 a

78 é possível afirmar que a medida que tende ao número a função f tende para infinito. Observe que infinito não é número, mas um símbolo que nesta definição significa que dado qualquer número positivo, por maior que seja, eistem valores de f ainda maiores. Definição. Seja f uma função definida num intervalo aberto I que contém o ponto b, eceto eventualmente em b. Diz-se que o ite de f quando tende a b é + se para todo M > 0 eiste δ > 0 tal que f() > M, sempre que, I e 0 < b < δ. Denota-se b f() = +. Resultado. Se n é um numero natural, então 0 = n 0 + = + n + se n é par se n é impar. Resultado. Sejam f, g, h, m funções tais que: f() = +, a g() = +, a h() = e m() = c, a a onde c é uma constante não nula. Tem-se então (a) a f() + g() = +. (b) a f().g() = +. (c) a f().h() =. (d) a f() + m() = +. (e) a h() + m() =. 68

79 f() (f) a m() = (g) f()m() = a + se c > 0 se c < 0. + se c > 0 se c < 0..7 Limites Fundamentais A demonstração dos ites abaio será feita na seção sobre aplicação da derivada. Aqui apenas enuncia-se os resultados que serão úteis na solução de alguns eercícios propostos. São os seguintes os famosos ites fundamentais: sen 0 = 0 a = ln a a > 0 ( + = e ± ) + =.8 Limites: Eercícios Resolvidos () Calcule o ite 3 4. Solução. Com efeito, tem-se aqui uma indeterminação do tipo 0. Para levantar esta 0 indeterminação (calcular este ite) deve-se fatorar o numerador e o denominador utilizando-se as raízes destes polinômios. Em seguida, realizando-se algumas manipulações algébricas, o resultado é dado por = ( + 5)( + ) ( 4)( + ) = = 4 5. () Dar o valor, caso eista, do t t 5. t Solução. A indeterminação é do tipo 0. Neste caso, para levantar esta indeter- 0 69

80 minação deve-se utilizar o artifício do conjugado. O resultado é dado por t t 5 t ( 5 + 3t 5)( 5 + 3t + 5) = t 0 t( 5 + 3t + 5) 3 = = 3 t t = t t 5 t( 5 + 3t + 5) (3) Calcule o 3. Solução. Novamente, a indeterminação é do tipo 0. Neste caso, a estratégia mais 0 indicada é a utilização de uma substituição de variável. Ou seja, t = 6 então t 6 = ; ao mesmo tempo então t. Por outro lado, (t ) e (t 3 ) são polinômios divisíveis por (t ); pois t = é raiz. Portanto, (4) Determine o 0 t t t 3 = t (t )(t + ) (t )(t + t + ) = t a + b a, a > 0. t + t + t + = 3. Solução. Com efeito, para levantar a indeterminação que é do tipo 0, utiliza-se mais 0 uma vez o artifício do conjugado. O resultado é dado por 0 a + b a ( a + b + a) ( a + b + a) a + b a = 0 ( a + b + a) = 0 b = 0 ( a + b + a) = b a. b ( a + b + a) (5) Calcule o ( ). Solução. A estratégia para levantar a indeterminação do tipo 0, consiste em utilizarse o método de substituição de variáveis, ou seja, 0 3 = t então = t 3 ; ao mesmo tempo então t. Como consequência; 3 = t então ( 3 ) = 3 = t. 70