Bancário Matemática Financeira Apostila Pedro Evaristo

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1 Bancário Matemática Financeira Apostila Pedro Evaristo 2012 Copyright. Curso Agora eu Passo - Todos os direitos reservados ao autor.

2 CAPÍTULO 01 PORCENTAGEM INTRODUÇÃO A expressão por cento vem do latim per centum e quer dizer por um cento. Assim, quando você lê ou escuta uma afirmação como "Grande liquidação: 20 por cento de desconto em todos os artigos", significa que você terá 20 reais de desconto para cada 100 reais do preço do artigo que comprar. OBSERVAÇÃO: Toda razão a/b na qual b = 100, chama-se taxa de porcentagem. Estabelecemos, então, a razão afirmar que: e podemos 20 Assim, 100 é o mesmo que 20 por cento. A expressão por cento pode ser substituída pelo símbolo %. Dessa forma, temos: 20 = 20 % 100 Veja os exemplos: pessoas em um grupo de 10 correspondem a ou ou 80% do grupo Prof. Pedro Evaristo 2

3 21 7 Num total de R$ 300,00, a quantia de R$ 21,00 equivale a ou ou 7% do total. EXEMPLO: Se uma barra de chocolate é dividida em 5 pedaços e uma pessoa come 3 deles, ela terá comido 3/5 do total, mas se tivesse dividido em 100 partes ela teria comido 60 partes, o que na verdade representa a mesma coisa. Veja a ilustração. 3 5 = 6 10 = = 60% FRAÇÃO x PORCENTAGEM Prof. Pedro Evaristo 3

4 AUMENTOS E DESCONTOS AUMENTO DE 20% Valor inicial Þ x Valor do aumento Þ 20% de x Valor após o aumento Þ 120% de x DESCONTO DE 20% Valor inicial Þ x Valor do desconto Þ 20% de x Valor após o desconto Þ 80% de x LINK: Para ganhar tempo (o que é fundamental em concursos) lembre-se que se um capital x aumenta 20%, ele irá para 120% de x. Dessa forma não é necessário fazer o desenvolvimento: x + 20%x = 100%x + 20%x = 120%x = 1,20x Observe os aumentos e descontos a seguir: x +20% 120%x x -20% 80%x x +100% 2x = 200%x x +50% 150%x x -50% 50%x x +200% 3x = 300%x x +84% 184%x x -84% 16%x x +400% 5x = 500%x x +136% 236%x x +100% 200%x x +800% 9x = 900%x Prof. Pedro Evaristo 4

5 LINK: Prof. Pedro Evaristo 5

6 PORCENTAGEM DE CABEÇA O segredo para calcular porcentagem de cabeça é perceber como é fácil calcular 10% e 1%. LINK: LINK: Para fazer porcentagem de cabeça, basta entender a relação de todas as porcentagens com 10%. 10% de 120 = 12 (1/10 de 120 = 120/10 = 12) 20% de 120 = 24 (20% = 10% + 10%, ou seja = 24) 30% de 120 = 36 (30% = 10% + 10% + 10%, ou seja = 3.12 = 36) 5% de 120 = 6 (5% é a metade de 10%, logo a metade de 12 é 6) 1% de 120 = 1,20 (1/100 de 120 = 120/100 = 1,20) 21% de 120 = 25,2 (21% = 10% + 10% + 1%, ou seja ,2 = 25,2) 35% de 120 = 42 (35% = 10% + 10% + 10% + 5%, ou seja = 42) 52% de 120 = 62,4 (52% = 50% (metade) + 1% + 1%, ou seja ,2 + 1,2 = 62,4) 90% de 120 = 108 (90% = 100% (o todo) 10%, ou seja = 108) 95% de 120 = 114 (95% = 100% (o todo) 5%, ou seja = 114) Prof. Pedro Evaristo 6

7 99% de 120 = 118,8 (99% = 100% (o todo) 1%, ou seja 120 1,2 = 118,8) 125% de 120 = 150 (125% = 100% (o todo) + 25% (um quarto), ou seja = 150) 151% de 120 = 181,2 (151% = 100% (o todo) + 50% (metade) + 1%, ou seja ,2 = 181,2) Prof. Pedro Evaristo 7

8 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 01. Em uma sala com 50 alunos, sendo 38 mulheres, qual o percentual de homens? SOLUÇÃO: Lembre-se que porcentagem é fração, mas uma fração cujo denominador é 100. Então, para calcular o percentual que os 12 homens representam diante dos 50 alunos, basta escrever a fração que isso representa, procurando a fração equivalente cujo denominador seja 100. Observe: 02. Em uma viagem de 200km, já foram percorridos 126km, qual o percentual já percorridos? SOLUÇÃO: A fração do que já foi percorrido, em relação ao total da viagem, pode ser escrito da seguinte forma: 03. Se João gastou 18/25 do seu salário, qual o percentual que ainda resta? SOLUÇÃO: Quem gasta 18 partes de 25 é por que ainda restam 7 partes de 25, logo essa fração equivale a: Prof. Pedro Evaristo 8

9 04. Sabendo que 7/20 dos vereadores de um município votaram contra uma determinada obra, qual o percentual que votou a favor? SOLUÇÃO: Se 7 entre 20 vereadores votaram contra é por que os 13 restantes entre 20 votaram a favor, logo: 05. Após uma prova, de cada 8 recursos, 5 foram indeferidos. Qual o percentual de deferidos? SOLUÇÃO: Se foram indeferidos 5 dentre 8 recursos, então foram deferidos 3 dentre 8. Nesse caso, multiplicaremos o numerador e o denominador por 100, para em seguida dividir tudo por 8, pois dessa forma surge o denominador 100. Observe: 06. Em uma festa, o DJ tocou 8 músicas nacionais para cada 11 estrangeiras. Qual o percentual de nacionais nesse repertório? SOLUÇÃO: Prof. Pedro Evaristo 9

10 07. Dois aumentos sucessivos de 30% e 20% são equivalentes a um único aumento de quanto? SOLUÇÃO: Podemos empregar nessa questão um artifício aritmético que costumo chamar de truque do 100. A idéia consiste em escrever o número 100 e seguir os comandos, ou seja, aumentar 30% em cimas dos 100 e em seguida aplicar mais 20% em cima do novo valor, no caso 130. Isso de forma cumulativa, observe: Dessa forma, como iniciamos com 100 e terminamos com 156, percebe-se facilmente que houve aumento de 56 partes pra cada 100 que colocamos no início, ou seja, aumento de 56 por 100, ou ainda aumento de 56%. Um fato interessante é que a ordem dos aumentos não altera o resultado final, observe: Isso ocorre pois quando aumentamos 20% estamos multiplicando por 1,20 e quando aumentamos 30% basta multiplicar por 30%, portanto x.1,20.1,30 = x.1,30.1,20 = x.1,56 = 156%.x (aumento de 56%). 08. Descontos sucessivos de 30% e 20% são equivalentes a um único desconto de quanto? SOLUÇÃO: Da mesma forma que na questão anterior podemos aplicar o truque dos 100, veja: Prof. Pedro Evaristo 10

11 Portanto, redução de 44 para cada 100, ou seja, diminuição de 44%. 09. Uma loja, realizando uma promoção, oferece um desconto de 20% nos preços dos seus produtos. Pra voltar aos preços iniciais, os preços promocionais devem sofrer um acréscimo de A%. Determine o valor A. SOLUÇÃO: Observe que para cada 100 aplicado desconta-se 20, mas na voltar ao original deve aumentar 20 em relação a 80, ou seja, 1/4 de 80, ou ainda, aumento de 25%. Observe: Portanto, para retornar aos preços iniciais, os preços promocionais devem sofrer acréscimo de 25%. Prof. Pedro Evaristo 11

12 CAPÍTULO 02 JUROS SIMPLES INTRODUÇÃO A matemática financeira está presente em nosso cotidiano de forma direta ou indireta. Quanto mais dominarmos esse assunto, maiores serão os benefícios que teremos, tanto para ganhar dinheiro como para evitar perde-lo. Como por exemplo, na escolha do melhor financiamento de um bem ou onde fazer aplicações financeiras. O estudo da Matemática Financeira é todo feito em função do crescimento do capital (C) aplicado com o tempo. Definiremos capital como qualquer quantidade de moeda ou dinheiro. O montante (M), ou seja, o valor final do capital aplicado é dado pela soma do capital inicial e uma segunda parcela, que é uma fração do capital inicial, à qual damos o nome de juro. Juro (J) é, portanto, a compensação financeira conseguida por um aplicador durante um certo tempo ou ainda o aluguel pago por uma pessoa que, durante algum tempo, usa o capital de outra. O juro é cobrado em função de um coeficiente, chamado taxa de juro (i), que é dado geralmente em percentagem e sempre se refere a um intervalo de tempo (ano, semestre, mês, etc), tomado como unidade, denominado período financeiro ou, abreviadamente período (t ou n). Existem duas formas de serem calculados os juros a cada período: calculando sobre o capital inicial ou sobre o montante acumulado. Entenda que no primeiro caso esse crescimento se comporta como um progressão aritmética (P.A.) e no segundo caso o montante aumenta segundo uma progressão geometrica (P.G.). Prof. Pedro Evaristo 12

13 De outra forma temos: Quando os juros são acrescentados, ao capital inicialmente aplicado, somente após o término da aplicação, podemos dizer que estamos calculando juros simples. Quando os juros são incorporados ao capital após cada período de tempo, criando assim um novo capital a cada período, dizemos que estamos fazendo uma capitalização ou calculando juros compostos. Observe que na figura a seguir, a pilha de moedas da esquerda cresce linearmente, ou seja, aumenta a mesma quantidade de moedas por vez (juros simples), enquanto que a da direita cresce muito mais rápido, pois seu aumento é exponencial (juros compostos). CAPITAL (C): Aplicação, investimento, saldo inicial, valor inicial, valor atual, valor presente e principal. MONTANTE (M): Resgate, valor amontoado, saldo devedor, saldo credor, valor futuro e capital futuro. JUROS (J): Ganho, rendimento, excedente e compessação financeira. TAXA (i): Taxa de juros, indice da taxa de juros e percentual de juros. TEMPO (t): Prazo, período, número de períodos e unidades de tempo. Prof. Pedro Evaristo 13

14 JUROS SIMPLES Na capitalização simples, o juro produzido em vários períodos financeiros é constante em cada período e proporcional ao capital aplicado, sendo este coeficiente de proporcionalidade chamado de taxa de juros. CONSIDEREMOS A SEGUINTE QUESTÃO: A importância de R$ 600,00 é aplicada numa instituição financeira à taxa de 6% ao mês (a.m.), durante 3 meses. Qual o montante após esse tempo? No problema apresentado anteriormente, temos: capital aplicado... R$ 600,00 taxa % ao mês... 6% = 6/100 = 0,06 tempo em meses... 3 meses Temos que: Após o 1º período, os juros serão: 0,06. R$ 600,00 = R$ 36,00 Após o 2º período, os juros serão: R$ 36,00 + R$ 36,00 = R$ 72,00 Após o 3º período, os juros serão: R$ 72,00 + R$ 36,00 = R$ 108,00 Assim, o montante (capital mais rendimentos) será de: R$ 600,00 + R$ 108,00 = R$ 708,00 Vamos generalizar, deduzindo uma fórmula para calcular os juros simples. ìc = capital aplicado ï íi = taxa % por período de tempo ï ît = número de períodos detempo Prof. Pedro Evaristo 14

15 Então, temos Após o 1º período, o total de juros será: C.i; Após o 2º período, o total de juros será: C.i+C.i; Após o 3º período, o total será: C.i+C.i+C.i; Após o t-ésimo período, o total de juros será: C.i + C.i + C.i C.i. t parcelas Assim, a fórmula que fornece o total de juros simples é: J = C.i.t O montante final é de: M = C + J Vamos resolver novamente nosso problema, utilizando as fórmulas citadas. Calculando os juros simples, temos: J = 600.0,06.3 = 108 O montante será de: M = C + J = = 708 Prof. Pedro Evaristo 15

16 TEMPO COMERCIAL Nas aplicações financeiras, frequentemente os bancos comerciais adotam convenção diferente para contagem do prazo. O tempo pode ser contado de duas formas: ANO CIVIL: 365 dias ANO COMERCIAL: 360 dias JUROS COMERCIAL (ORDINÁRIOS) ano. Adotam o ano comercial, ou seja, 30 dias para os meses e 360 dias para o Nas aplicações práticas e por convenção, quando nos referimos apenas ao número de meses, utilizaremos o mês comercial com 30 dias, de forma indiferente. JUROS EXATOS Adotam o ano civil e por isso deve ser contado o tempo exato. Fica implícito que deve ser usado o juro exato quando forem dadas as datas da negociação e do vencimento, portanto a contagem dos dias deve ser exata, inclusive considerando anos bissextos. É importante saber que os bancos trabalham com juros ordinários e tempo exato. Na contagem dos dias, em geral, exclui-se o primeiro e inclui-se o último dia. Taxa Diária (ao dia) a.d. Taxa Quinzenal (a quinzena) a.qi. Taxa Mensal (ao mês) a.m. Taxa Bimestral (ao bimestre) a.b. Taxa Trimestral (ao trimestre) a.t. Taxa Quadrimestral (ao quadrimestre) a.q. Taxa Semestral (ao semestre) a.s. Taxa Anual (ao ano) a.a. Prof. Pedro Evaristo 16

17 TAXAS PROPORCIONAIS Duas ou mais taxas são ditas proporcionais, quando ao serem aplicadas a um mesmo capital, durante um mesmo período de tempo, produzem um mesmo montante no final do prazo, em regimes de juros simples. LINK: i M 1 i D 1 ib it is ia = = = = ou im ib it is ia = = = = = EXEMPLO: 1%a.m. = 2%a.b. = 3%a.t. = 6%a.s. = 12%a.a. 2% a.d. = 60% a.m. = 720% a.a. 24%a.a. = 12%a.s. = 6%a.t. = 4%a.b. = 2%a.m. Prof. Pedro Evaristo 17

18 SIMPLES x COMPOSTO O capital inicial (principal) pode crescer, como já sabemos, devido aos juros, segundo duas modalidades a saber: Juros Simples ou Composto. Vamos ilustrar a diferença entre os crescimentos de um capital através juros simples e juros compostos, com um exemplo: Suponha que $100,00 são empregados a uma taxa de 10% a.m. Teremos: JUROS SIMPLES - ao longo do tempo, somente o principal rende juros. PRINCIPAL = 100 N O DE MESES MONTANTE SIMPLES %.100 = 110, %.100 = 120, %.100 = 130, %.100 = 140, %.100 = 150,00 LINK: Juros calculado em cima do principal. Não pode aplicar juros em cima dos juros. Cresce como uma P.A.. Taxa equivalente é proporcional ao tempo. As taxas equivalentes para cada período são proporcionais ao tempo % % +30% +40% Prof. Pedro Evaristo 18

19 JUROS COMPOSTOS - após cada período, os juros são incorporados ao principal e passam, por sua vez, a render juros. Também conhecido como "juros sobre juros". PRINCIPAL = 100 N O DE MESES MONTANTE COMPOSTO 1 100, %.100,00 = 110, , %.110,00 = 121, , %.121,00 = 133, , %.133,10 = 146, , %.146,41 = 161,05 LINK: Juros é calculado em cima do saldo.. Pode aplicar juros em cima dos juros. Cresce como uma P.G.. Taxa equivalente não é proporcional ao tempo. As taxas equivalentes para cada período não são proporcionais % % % 133,1 +10% 146,41 +21% +33,1% +46,41% Observe que o crescimento do principal segundo simples é LINEAR enquanto que o crescimento segundo compostos é EXPONENCIAL, e portanto tem um crescimento muito mais "rápido". Isto poderia ser ilustrado graficamente como no gráfico ao lado. M C JUROS juros juros COMPOSTO JUROS SIMPLES Na prática, as empresas, órgãos governamentais e investidores particulares costumam reinvestir as quantias geradas pelas aplicações financeiras, o que justifica o emprego mais comum de juros compostos na Economia. Na verdade, o uso de juros simples não se justifica em estudos econômicos. 1 t Prof. Pedro Evaristo 19

20 LINK: Para ganhar tempo em muitas questões, o que é fundamental em concursos, observe que se um capital x aumenta 20%, ele irá para 120% de x. Dessa forma não é necessário fazer o desenvolvimento: x + 20%x = 100%x + 20%x = 120%x = 1,20x x +20% 120%x x -20% 80%x x +100% 2x +50% Observe os aumentos x e descontos 150%x a seguir: x -50% 50%x x +200% 3x x +84% 184%x x -84% 16%x x +400% 5x x +136% 236%x x +100% 200%x x +800% 9x Prof. Pedro Evaristo 20

21 EXEMPLOS 01. Um capital de R$800 é aplicado por 1 ano, em regime de juros simples, com taxa de 5% a.m.. Determine o resgate e o rendimento dessa aplicação. 1ª SOLUÇÃO: Sem usar fórmula, temos que: 5% de R$ 800,00 = R$ 40,00 (juros em 1 mês) Logo, para 1 ano, ou seja, 12 meses, temos: 12 x R$ 40,00 = R$ 480,00 (rendimento em juros simples ao fim de 12 meses) Portanto, o resgate (montante) será R$ 800,00 + R$ 480,00 = R$ 1280,00 2ª SOLUÇÃO: Dados: C = 800 i = 5% a.m. t = 1 ano = 12 meses (a unidade da taxa deve coincidir com a unidade do tempo) Aplicando na fórmula J = C.i.t, temos J = 800.5%.12 J = J = 480 (rendimento) Como M = C + J, então M = Portanto o resgate (montante) é de 1280 reais. Prof. Pedro Evaristo 21

22 EXERCÍCIOS 01. (CESGRANRIO) Aplicações financeiras podem ser feitas em períodos fracionários e inteiros em relação à taxa apresentada, tanto em regimes de capitalização simples quanto compostos. A partir de um mesmo capital inicial, é possível afirmar que o montante final obtido pelo regime composto em relação ao montante obtido pelo regime simples: a) é sempre maior b) é sempre menor c) nunca é igual d) nunca é menor e) pode ser menor ANOTAÇÕES: 02. Foi feita uma aplicação de R$ 4.000,00 a uma taxa de 20% a.q., em um regime de juros simples, durante três trimestres. Determine o valor do resgate após esse período. a) R$ 6.200,00 b) R$ 5.800,00 c) R$ 4.500,00 d) R$ 2.400,00 e) R$ 1.800, Diego atrasou o pagamento de um boleto bancário de R$120,00, que venceu dia 12 de março. Em caso de atraso será cobrada multa de 4% e juros simples de 3% a.m.. Quanto seria o total Prof. Pedro Evaristo 22

23 pago por ele no dia 19 de agosto do mesmo ano? a) 139,20 b) 144,00 c) 153,00 d) 162, (FCC) Em um regime de capitalização simples, um capital de R$ ,00 foi aplicado à taxa anual de 15%. Para se obter o montante de R$ ,00, esse capital deve ficar aplicado por um período de a) 8 meses. b) 10 meses. c) 1 ano e 2 meses. d) 1 ano e 5 meses. e) 1 ano e 8 meses. 05. (CESGRANRIO) Uma loja oferece uma motocicleta por R$ 4.000,00 a vista ou por 50% deste valor a vista como entrada e mais um pagamento de R$ 2.200,00 após 4 meses. Qual é a taxa de juros simples mensal cobrada? a) 0,025% ao mês b) 0,150% ao mês c) 1,500% ao mês d) 2,500% ao mês e) 5,000% ao mês Prof. Pedro Evaristo 23

24 ANOTAÇÕES: 06. (ESAF) O preço à vista de uma mercadoria é de $1.000,00. O comprador pode, entretanto, pagar 20% de entrada no ato e o restante em uma única parcela de $922,60 vencível em 90 dias. Admitindo-se o regime de juros simples, a taxa de juros anuais cobrada na venda a prazo é de: a) 98,4% b) 122,6% c) 22,6% d) 49,04% e) 61,3% 07. (NCE) Antônio tomou um empréstimo de R$5.000,00 a uma taxa de juros mensal de 4% sobre o saldo devedor, ou seja, a cada mês é cobrado um juro de 4% sobre o que resta a pagar. Antônio pagou R$700,00 ao final do primeiro mês e R$1.680,00 ao final do segundo; se Antônio decidir quitar a dívida ao final do terceiro mês, terá de pagar a seguinte quantia: a) R$3.500,00 b) R$3.721,00 c) R$3.898,00 d) R$3.972,00 e) R$3.120, (CESPE) Se o capital for igual a 2/3 do montante e o prazo de aplicação for de 2 anos, qual será a taxa de juros simples considerada? a) 1,04% a.m. Prof. Pedro Evaristo 24

25 b) 16,67% a.m. c) 25% a.m. d) 16,67% a.a. e) 25% a.a. 09. (CESPE) Um consumidor desejava comprar um computador em determinada loja, mas não dispunha da quantia necessária ao pagamento do preço à vista, que era de R$ Por isso, o vendedor aceitou que o consumidor desse um valor qualquer de entrada, no momento da compra, e pagasse o restante em uma única parcela, no prazo máximo de seis meses, a contar da data da compra, com juros mensais iguais a 4% ao mês, sob o regime de juros simples. Exatamente cinco meses após a compra, o consumidor pagou a parcela restante, no valor de R$ 660,00. Nessa situação, é correto concluir que o valor da entrada paga pelo consumidor foi igual a a) R$ 280. b) R$ 475. c) R$ 740. d) R$ 850. e) R$ Prof. Pedro Evaristo 25

26 10. (FCC) Em determinada data, uma pessoa aplica R$10.000,00 à taxa de juros simples de 2% ao mês. Decorridos 2 meses, outra pessoa aplica R$8.000,00 à ANOTAÇÕES: taxa de juros simples de 4% ao mês. Determine quantos meses depois da primeira aplicação o montante referente ao valor aplicado pela primeira pessoa será igual ao montante referente ao valor aplicado pela segunda pessoa. a) 22 b) 20 c) 24 d) 26 e) (FCC) Num mesmo dia, são aplicados a juros simples: 2/5 de um capital a 2,5% ao mês e o restante, a 18% ao ano. Se, decorridos 2 anos e 8 meses da aplicação, obtém-se um juro total de R$ 7 600,00, o capital inicial era a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ , (FCC) Determinado capital aplicado a juros simples durante 18 meses rendeu R$ 7.200,00. Sabe-se que, se o dobro deste capital fosse aplicado a juros simples com a mesma taxa anterior, geraria, ao final de dois anos, o montante de R$ ,00. O valor do capital aplicado na primeira situação foi: a) R$ ,00 Prof. Pedro Evaristo 26

27 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ ,00 GABARITO 01. E 02. B 03. B 04. B 05. D 06. E 07. E 08. E 09. D 10. A 11. A 12. E Prof. Pedro Evaristo 27

28 CAPÍTULO 03 JUROS COMPOSTOS INTRODUÇÃO Na capitalização composta, o juro produzido no final de cada período financeiro é somado ao capital que o produziu, passando os dois, capital mais juros a render juros no período seguinte. Quando estudamos juros simples, calculamos o montante produzido por R$ 600,00, aplicados a 6% a.m., depois de 3 meses. Obtivemos um montante final de R$ 708,00. No entanto é muito mais comum as aplicações serem feitas a juros compostos, ou seja, após cada período de tempo, os juros são integrados ao capital, passando também a render juros, como, por exemplo, nas cadernetas de poupança. Vamos refazer aquele problema, utilizando juros compostos: Após o 1º período (mês), o montante será: 1,06. R$ 600,00 = R$ 636,00 Após o 2º período (mês), o montante será: 1,06. R$ 636,00 = R$ 674,16 Após o 3º período (mês), o montante será: 1,06. R$ 674,16 = R$ 714, 61 Esse é o montante final, representado por M. Observe que esse montante é maior do que o achado anteriormente, quando utilizamos juros simples. Assim, como fizemos para juros simples, vamos encontrar uma fórmula para o cálculo de juros compostos. Prof. Pedro Evaristo 28

29 Sejam: ìc = capital inicial ï i = taxa % por período de tempo í ït = número deperíodos de tempo ïî M = montantefinal Então: após o 1º período (mês), o montante será: M1 = C + i.c Þ M1 = C.(1 + i); após o 2º período (mês), o montante será: M2 = M1+ i.m1 Þ M2 = M1.(1 + i) M2 = C(1 + i).(1 + i) Þ M2 = C.(1 + i) 2. após o 3º período (mês), o montante será: M3 = M2 + i.m2 Þ M3 = M2.(1 + i) M3 = C(1 + i) 2.(1 + i) Þ M3 = C.(1 + i) 3. Procedendo de modo análogo, é fácil concluir que, após t períodos de tempo, o valor Mt, que indicaremos simplesmente por M, será: M = C.(1 + i) t Assim, resolvendo novamente o problema dado, temos: M = 600.(1+6%) 3 Olhando na tabela 1, temos (1+6%) 3 = 1,1910, logo Prof. Pedro Evaristo 29

30 então M = 600.1,1910 M = 714,60 Para determinar os juros produzidos, basta calcular a diferença entre o montante produzido e o capital. J = M C No exemplo dado, teremos: J = 714, Portanto J = 114,60 LINK: Na fórmula para o cálculo do Montante aparecem quatro variáveis: M, C, i e t. Podemos encontrar qualquer uma delas, desde que se conheçam as outras três. LINK: É extremamente importante saber ler e interpretar as tabelas contidas nos anexos. A tabela I, por exemplo, diz respeito à capitalização composta, dando o fator de acumulação (1+i) t. Portanto, você não precisa calcular o valor de (1+5%) 10, basta olhar o resultado na linha Prof. Pedro Evaristo 30

31 LEITURA NA TABELA É extremamente importante saber ler e interpretar as tabelas contidas nos anexos. A tabela 1, por exemplo, diz respeito à capitalização composta, dando o fator de acumulação (1+i) n. Portanto, você não precisa calcular o valor de (1+6%) 9, basta olhar nessa tabela o resultado na linha 9 (período) associada à coluna 6% (taxa), para encontrar 1,6895 (como visto na figura). TABELA 1 FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL ÚNICO 1,6895 Prof. Pedro Evaristo 31

32 MONTANTE PARA PERÍODOS NÃO-INTEIROS Para calcular o montante em juros composto em que o período não seja um número inteiro de períodos a que se refere à taxa considerada. Isto decorre do fato de que estamos considerando capitalizações descontínuas, ou seja, os juros supõem-se formados apenas no fim de cada período de capitalização. Devemos, portanto, considerar hipóteses adicionais para resolver o problema. Dessa forma, podemos utilizar dois métodos: convenção exponencial (valor real) ou convenção linear (valor aproximado). CONVENÇÃO EXPONENCIAL É aquela em que os juros do período não-inteiro são calculados utilizando-se a taxa equivalente. Ou seja, se a taxa for anual e o período for dado em anos e meses, devemos trabalhar com a taxa mensal equivalente e o período em meses. MONTANTE M 2 M M 1 C t 1 t t 2 PERÍODO CONVENÇÃO LINEAR É aquela em que os juros do período não-inteiro são calculados por interpolação. Ou seja, deve-se calcular os montantes no período anterior e posterior ao período não-inteiro, considerando um crescimento linear entre eles. MONTANTE M 2 M M 1 C t 1 t t 2 PERÍODO Prof. Pedro Evaristo 32

33 EXEMPLOS 01. Um capital de R$800 é aplicado por 1 ano, em regime de juros compostos, com taxa de 5% a.m.. Determine o resgate e o rendimento dessa aplicação SOLUÇÃO: Dado: ìm =? ï C= R$800,00 í ïi = 5% a.m. ï ît = 1ano = 12 meses MESMA UNIDADE DE TEMPO Sendo M = C.(1 + i) t então M = 800.(1+5%) 12 Pela tabela 1, temos: M = 800.1,796 = 1436,8 Dessa forma, o juros será J = M C J = 1436,8 800 J = 636,8 Portanto o montante final será de R$ 1.436,80 e o rendimento de R$ 636,80. Prof. Pedro Evaristo 33

34 EXERCÍCIOS 01. (ACEP) Fátima aplicou R$ 1.000,00 a uma taxa de juros compostos de 10% ao mês e por um prazo de 1 trimestre. Tendo sido as capitalizações mensais, qual será o valor do resgate? a) R$ 1.331,00 b) R$ 1.300,00 c) R$ 331,00 d) R$ 300,00 e) R$ 1.000,00 ANOTAÇÕES: 02. (FCC) Um capital de R$ 2.000,00 foi aplicado à taxa de 3% ao mês durante 3 meses. Os montantes correspondentes obtidos segundo capitalização simples e composta, respectivamente, valem a) R$ 2.180,00 e R$ 2.185,45. b) R$ 2.180,00 e R$ 2.480,00. c) R$ 2.185,45 e R$ 2.485,45. d) R$ 2.785,45 e R$ 2.480, (CESGRANRIO) Milena tem dois pagamentos a realizar. O primeiro é de R$ 1.100,00 daqui a dois meses e o segundo é de R$ 1.210,00 daqui a três meses. Milena pretende juntar essas duas dívidas em uma só, com vencimento daqui a quatro meses. A taxa de juros corrente é de 10% ao mês. Qual o valor a ser pago? a) R$ 2.310,00 b) R$ 2.600,00 c) R$ 3.074,61 d) R$ 3.003,00 Prof. Pedro Evaristo 34

35 e) R$ 2.662, (FCC) Um capital de R$ 400,00 foi aplicado a juros simples por 3 meses, à taxa de 36% ao ano. O montante obtido nessa aplicação foi aplicado a juros compostos, à taxa de 3% ao mês, por um bimestre. O total de juros obtido nessas duas aplicações foi a) R$ 149, 09 b) R$ 125,10 c) R$ 65,24 d) R$ 62,55 e) R$ 62, A caixa beneficente de uma entidade rende, a cada mês, 10% sobre o saldo do mês anterior. Se, no início de um mês, o saldo era x, e considerando-se que não haja retiradas, depois de 4 meses o saldo será de: a) (11/10) 4.x b) (11/10) 3.x c) x + (11/10) 4.x d) x + (11/10).x e) x + 40%.x Prof. Pedro Evaristo 35

36 06. Carol investiu R$3.000,00 em um fundo de longo prazo, que rende cumulativamente 4% a.m. Quanto ela irá resgatar dois anos depois? Dado: (26/25) 24 = 2,563 a) 9.760,00 ANOTAÇÕES: b) 8.310,00 c) 7.689,00 d) 6.970, Determine o valor mais próximo da aplicação que 14 meses mais tarde gera um montante de R$2.000,00, quando submetido a uma taxa mensal composta de 5%. (Use 1,05-14 = 0,505) a) R$ 1.010,00 b) R$ 1.100,00 c) R$ 1.210,00 d) R$ 1.320, (FCC) O capital que quadruplica em 2 meses, ao se utilizar de capitalização composta, deve estar vinculado a uma taxa mensal de a) 50% b) 100% c) 150% d) 200% 09. Quantos meses são necessários para que um capital triplique, se for submetido a uma taxa de juros compostos de 13%a.m.? Prof. Pedro Evaristo 36

37 a) 9 b) 8 c) 7 d) Por quanto tempo deve ser aplicado um capital de R$5.000,00, em regime de juros compostos e taxa de 6%a.t., para gerar um montante de R$7.518,00? a) 7 anos b) 2 anos e 1 mês c) 1 ano e 9 meses d) 1 ano e 3 meses 11. (ESAF) Ao fim de quantos trimestres um capital aplicado a juros compostos de 9% ao trimestre aumenta 100%. a) 14 b) 12 c) 10 d) 8 e) Uma aplicação de R$ 3.000,00 rendeu R$ 2.370,00 em 10 meses. Qual a taxa mensal composta de juros dessa operação? a) 2% b) 4% c) 6% d) 8% GABARITO 01. A 02. A 03. E 04. D 05. A 06. C 07. A 08. B 09. A 10. C 11. D 12. C Prof. Pedro Evaristo 37

38 CAPÍTULO 04 MÉDIAS Prazo, taxa e capital médio são aqueles que substituem diversas aplicações financeiras por uma única. É muito utilizado em operações de desconto de títulos quando precisamos saber o prazo médio do desconto, ou a taxa média (ou única) ou, ainda, o capital médio. Esse assunto vem sendo cobrado em muitos concursos públicos, com destaque para provas da Esaf. Observe a teoria e os exercícios resolvidos para perceber a diferença entre cada uma das médias. TAXA MÉDIA Quando vários capitais são aplicados a taxas diferentes e em períodos distintos, podemos encontrar através de média ponderada a taxa média em que esses capitais poderão ser aplicados produzindo os mesmos montantes. i M C1. i1. t1+ C2. i2. t Cn. i = C. t + C. t C. t n n n. t n PRAZO MÉDIO Quando vários capitais são aplicados a taxas diferentes e em períodos distintos, podemos encontrar através de média ponderada o prazo média em que esses capitais poderão ser aplicados produzindo os mesmos montantes. Prof. Pedro Evaristo 38

39 t M C1. i1. t1+ C2. i2. t Cn. i = C. i + C. i C. i n n n. t n CAPITAL MÉDIO Quando vários capitais são aplicados a taxas diferentes e em períodos distintos, podemos encontrar através de média ponderada o capital médio. C M C1. i1. t1+ C2. i2. t C = i. t + i. t i. t n n n. i. t n n EXERCÍCIOS 01. Determine a taxa média dos capitais C1 = 3000 e C2 = 4000, aplicados respectivamente por 6 e 8 meses e sob taxas distintas de 2% a.m. e 5% a.m.. a) 3,92% a.m. b) 3,42% a.m. c) 2,84% a.m. d) 2,36% a.m. 02. Determine o capital médio de duas aplicações C1 = 3000 e C2 = 4000, com respectivos prazos de 6 e 8 meses e sob taxas distintas de 2% a.m. e 5% a.m.. a) 2976,23 b) 3176,32 c) 3769,23 d) 3976, Determine o prazo médio que devem ser aplicados os capitais C1 = 3000 e C2 = 4000, sob taxas distintas de 2% a.m. e 5% a.m. e aplicados respectivamente por 6 e 8 meses. Prof. Pedro Evaristo 39

40 a) 7,89 meses b) 7,53 meses c) 6,78 meses d) 6,42 meses 04. (ESAF) Os capitais de 200, 300 e 100 unidades monetárias são aplicados a juros simples durante o mesmo prazo às taxas mensais de 4%, 2,5% e 5,5%, respectivamente. Calcule a taxa mensal média de aplicação destes capitais. a) 2,5% b) 3% c) 3,5% d) 4% e) 4,5% 05. Os capitais de R$ 2.000,00, R$ 3.000,00, R$ 1.500,00 e R$ 3.500,00 são aplicados à taxa de 4% ao mês, juros simples, durante dois, três, quatro e seis meses, respectivamente. Obtenha o prazo médio de aplicação destes capitais. a) quatro meses b) quatro meses e cinco dias c) três meses e vinte e dois dias d) dois meses e vinte dias e) oito meses 06. (ESAF) Os capitais de R$ 2.500,00, R$ 3.500,00, R$ 4.000,00 e R$ 3.000,00 são aplicados a juros simples durante o mesmo prazo às taxas mensais de 6%, 4%, 3% e 1,5%, respectivamente. Obtenha a taxa média mensal de aplicação destes capitais. a) 2,9% b) 3% c) 3,138% d) 3,25% Prof. Pedro Evaristo 40

41 e) 3,5% 07. (ESAF) Três capitais são aplicados a juros simples pelo mesmo prazo. O capital de R$ 3.000,00 é aplicado à taxa de 3% ao mês, o capital de R$ 2.000,00 é aplicado a 4% ao mês e o capital de R$ 5.000,00 é aplicado a 2% ao mês. Obtenha a taxa média mensal de aplicação desses capitais. a) 3% b) 2,7% c) 2,5% d) 2,4% e) 2% GABARITO 01. A 02. C 03. B 04. C 05. A 06. E 07. B CAPÍTULO 05 DESCONTOS DESCONTO SIMPLES Os títulos de crédito, tais como Nota Promissória, Duplicata, Letra de Câmbio, são instrumentos legais com todas as garantias jurídicas que podem ser negociados com uma instituição de crédito, gerando uma operação ativa, que consiste na transferência de direito através de endosso, em troca do seu valor nominal ou de face, menos os juros proporcionais à taxa, vezes o tempo compreendido entre a data da emissão até o vencimento do título. Atualmente, não apenas os Bancos, mas empresas especializadas efetuam essas operações, que chamaremos de DESCONTO. Temos os seguinte tipos de descontos: Prof. Pedro Evaristo 41

42 Comercial (Por Fora) Racional (Por Dentro) Bancário NOMENCLATURA VALOR NOMINAL ou de FACE (N) Quantia declarada no título, o valor pelo qual foi emitido. DESCONTO (D) Valor obtido pela diferença entre o Valor Nominal e o Valor Atual de um compromisso, quando quitado n períodos antes do vencimento. TEMPO (t ou n) Prazo compreendido entre a data da operação (desconto) e a data do vencimento. Os dias serão contados excluindo-se o dia da operação e incluindo-se a data do vencimento. TAXA (i) Representa a quantidade de unidade que se desconta de cada 100 (cem) unidades, num determinado período, ou seja, o percentual de juros. VALOR ATUAL ou ATUAL (A) É a diferença entre o Valor Nominal e o Desconto. Também pode ser chamado de valor descontado, que nada mais é do que o valor recebido na operação de desconto. DESCONTO COMERCIAL (POR FORA) Prof. Pedro Evaristo 42

43 O calculo é efetuado sobre o valor nominal do título, de forma semelhante ao calculo dos juros simples. A 1-i. t = D i. t = N 1 Sendo A Valor Atual (Valor com desconto) D Desconto (Valor a ser descontado) N Valor Nominal (Valor de face e sem desconto) Onde N = A + D. Podemos ainda dizer que na fórmula dos juros simples J = C.i.t, o capital pode ser substituído por N e os juros por DC, então temos: D C = N.i.t A = N D C DESCONTO RACIONAL (POR DENTRO) Nesse caso o calculo é feito sobre o valor líquido ou atual. A D N = = 1 i. t 1+ i. t Sendo Prof. Pedro Evaristo 43

44 A Valor Atual (Valor com desconto) D Desconto (Valor a ser descontado) N Valor Nominal (Valor de face e sem desconto) Observe que sempre N = A + D. Podemos ainda dizer que na fórmula dos juros simples J = C.i.t, o capital pode ser substituído por A e os juros por DR, então temos: D R = A.i.t A = N D R LINK: COMERCIAL (D C ) x RACIONAL (D R ) Prof. Pedro Evaristo 44

45 EXERCÍCIOS 01. Um cheque de R$ 800,00 com data para 120 dias foi trocado em uma Factoring. Quanto será o valor atual recebido se a operadora cobrar uma taxa simples de 60% a.a. e seguir o desconto comercial? a) R$ 600,00 b) R$ 640,00 c) R$ 700,00 d) R$ 720, Leonardo resgatou uma nota promissória 5 meses antes do seu vencimento e por isso teve desconto de R$100,00. Sabendo que a taxa usada foi de 4%a.m. e o desconto foi comercial, determine o valor dessa NP. a) R$ 500,00 b) R$ 600,00 c) R$ 800,00 d) R$ 1.000, Nícolas descontou antecipadamente, em uma financeira, um cheque com data para 3 meses mais tarde e por isso a financeira descontou R$96,00 de seu valor. Sabendo que a taxa efetiva usada foi de 4%a.m.. Determine o valor desse cheque. a) R$ 800,00 b) R$ 896,00 c) R$ 946,00 d) R$ 1.000, (ESAF) Um valor de R$1.100,00 deve ser descontado racionalmente, um bimestre antes do vencimento. Determine o valor atual recebido na operação, sabendo que a taxa mensal utilizada foi de 60%. a) 440 Prof. Pedro Evaristo 45

46 b) 500 c) 550 d) A loja Alfa Móveis, vende uma mesa por R$ 600,00 em quatro parcelas mensais e iguais. O pagamento é feito com quatro cheques no valor de R$ 150,00 cada, sendo o primeiro para 30 dias e os outros com datas para os meses subsequentes. Para receber o dinheiro antecipado, a loja recorre a uma financeira, que desconta comercialmente todos os cheques a uma taxa simples de 10% a.m.. Quanto receberá o comerciante? a) R$ 450,00 b) R$ 510,00 c) R$ 540,00 d) R$ 360, Uma loja de informática vendeu um equipamento por R$ 514,80 e recebeu 3 cheques no valor de R$ 171,60 para 30, 60 e 90 dias, respectivamente. Para receber o dinheiro antecipado, recorreu a uma financeira e descontou-os antecipadamente a uma taxa simples de 10% a.m.. Se a financeira utilizar o desconto por dentro, quanto receberá o comerciante? a) R$ 431,00 b) R$ 411,00 c) R$ 380,00 d) R$ 206, Em uma loja o comerciante pode vender os produtos de duas formas: a vista, dando um desconto comercial de x%, ou sem desconto e a prazo, recebendo um cheque para 60 dias. Sabendo que esse cheque será negociado em uma Factoring com desconto racional de 25% para o mesmo período, determine o valor de x para que a escolha da opção seja indiferente para o comerciante. a) 15 b) 18 c) 20 d) 25 Prof. Pedro Evaristo 46

47 (ESAF) Um cheque pré-datado é adquirido com um desconto comercial de 20% por uma empresa especializada, quatro meses antes de seu vencimento. Calcule a taxa de desconto mensal da operação considerando um desconto simples por dentro. a) 6,25%. b) 6%. c) 4%. d) 5%. e) 5,5%. 08. Um título público de R$10.000,00 é descontado 3 semestres antes do vencimento, com taxa efetiva de 50%a.s.. Qual seria a taxa semestral, se o desconto fosse comercial? a) 60% b) 40% c) 20% d) 10% 09. Um desconto comercial simples de 25% a.m. é dado a uma duplicata três meses antes do vencimento. Se o desconto tivesse sido racional, para se obter o mesmo valor atual um trimestre antes, qual teria sido a taxa mensal na operação? a) 25% b) 75% c) 100% d) 300% 10. (ESAF) A uma taxa de juros de 25% ao período, uma quantia de 1000 no fim do período t, mais uma quantia de 2000 no fim do período t+2, juntos são equivalentes, no fim do período t+1, a uma quantia de: a) $ 4062,50 b) $ 3525,00 c) $ 2850,00 Prof. Pedro Evaristo 47

48 d) $ 3250, (CESGRANRIO) Uma duplicata no valor de R$13.000,00 deve ser descontada um ano antes do vencimento, com taxa de 30% a.a.. Determine a diferença entre D d, onde D é o valor do desconto caso seja comercial e d é o valor do desconto caso seja racional. a) 500 c) 600 c) 800 d) 900 GABARITO 01. B 02. A 03. B 04. B 05. A 06. A 07. C 08. A 09. C 10. C 11. C 12. D Prof. Pedro Evaristo 48

49 CAPÍTULO 06 TIPOS DE TAXAS TAXAS PROPORCIONAIS Duas ou mais taxas são ditas proporcionais, quando ao serem aplicadas a um mesmo capital, durante um mesmo período de tempo, produzem um mesmo montante no final do prazo, em regimes de juros simples. i M 1 ib it is ia = = = = ou i D 1 im = = 30 ib it is ia = = = EXEMPLO: 1%a.m. = 2%a.b. = 3%a.t. = 6%a.s. = 12%a.a. 2% a.d. = 60% a.m. = 720% a.a. 24%a.a. = 12%a.s. = 6%a.t. = 4%a.b. = 2%a.m. TAXAS EQUIVALENTES Duas ou mais taxas são equivalentes quando ao serem aplicadas a um mesmo capital, em regime de juros compostos, capitalizados em prazos diferentes, durante um mesmo período de tempo, produzem um mesmo montante no final do período. Assim duas ou mais taxas são equivalentes se, e somente se: C ( 1+ ia ) = C(1+ is ) = C(1+ it ) = C(1+ im ) = C(1 id ) 360 Portanto ( 1+ i a ) = (1+ is ) = (1+ it ) = (1+ im ) = (1+ id ) 360 Prof. Pedro Evaristo 49

50 De maneira geral temos: I - taxa do período maior. i - taxa do período menor. n - numero de vezes que o período maior contém o menor. Podemos escrever que então: ( 1+ i) n = (1+ I) n i = + l Logo i = n 1+ l-1 EXEMPLO: Qual a taxa bimestral equivalente 2% a.m.? SOLUÇÃO: Observando a tabela I, temos: (1+2%) 2 = 1,0404 = 1 + 4,04% Portanto, 2% a.m é equivalente a 4,04% a.b. EXEMPLO: Qual a taxa anual equivalente 5% a.b.? SOLUÇÃO: Observando a tabela I, temos: (1+5%) 6 = 1,34 = % Prof. Pedro Evaristo 50

51 Portanto, 5% a.b é equivalente a 34% a.a. EXEMPLO: Qual a taxa mensal equivalente 42,58% a.a.? SOLUÇÃO: Do enunciado temos: (1 + im) 12 = (1 + 42,58%) 1 Ou seja, (1 + im) 12 = 1,4258 Observando a tabela I, na linha n = 12 temos uma taxa de 3%. Portanto, 42,58% a.a. é equivalente a 3% a.m. EXEMPLO: Qual a taxa mensal equivalente a 60% a.a.? SOLUÇÃO: Do enunciado temos: (1 + im) 12 = (1 + 60%) 1 Ou seja, (1 + im) 12 = 1,60 Observando a tabela I, na linha n = 12 temos 1,60 para uma taxa de 4%. Portanto, 60% a.a. é equivalente a 4% a.m. TAXA NOMINAL A unidade de referência de seu tempo não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização, geralmente a i EFETIVA = i NOMINAL n Prof. Pedro Evaristo 51

52 Taxa Nominal é fornecida em tempos anuais, e os períodos de capitalização podem ser mensais, trimestrais ou qualquer outro período, inferior ao da taxa. EXEMPLOS: 12% a.a. capitalizamos mensalmente. 20% a.a. capitalizamos semestralmente. 15% a.a. capitalizamos trimestralmente. EXEMPLO: 36% a.a. capitalizados mensalmente (Taxa Nominal). 36% a. a. 12meses = 3% am.. (Taxa Efetiva embutida na Taxa Nominal) LINK: A Taxa Nominal é bastante difundida e usada na conversação do mercado financeiro, entretanto o seu valor nunca é usado nos cálculos por não representar uma Taxa Efetiva. O que nos interessará será a Taxa Efetiva embutida na Taxa Nominal, pois ela é que será efetivamente aplicada em cada período de capitalização. Prof. Pedro Evaristo 52

53 TAXA EFETIVA É aquela em que a unidade de referência de seu tempo coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. EXEMPLO: 15% a.a. capitalizados anualmente. 5% a.s. capitalizados semestralmente. 3% a.m. capitalizados mensalmente. LINK: Nestes casos, costuma-se simplesmente dizer: 15% a.a., 3% a.m., 5% a.s., omitindo-se o período da capitalização. EXEMPLO: Qual a taxa anual equivalente a uma taxa nominal de 60% a.a. capitalizado mensalmente? SOLUÇÃO: Seja in = 60% a.a. (cap. mens.) Como taxa nominal é anual e a capitalização é mensal, a taxa efetiva obedece a seguinte proporção i N i = EF Þ 12 1 % i = EF Logo Prof. Pedro Evaristo 53

54 ief = 5% a.m. (cap. mens.) Então (1 + ia) 1 = (1 + 5%) 12 Pela tabela 1, temos: 1 + ia = 1,796 Portanto ia = 0,796 = 79,6% a.a. EXEMPLO: Qual a taxa semestral equivalente a uma taxa nominal de 24% a.s. capitalizado mensalmente? SOLUÇÃO: Seja in = 24% a.s. (cap. mens.) Como taxa nominal é semestral e a capitalização é mensal, a taxa efetiva obedece a seguinte proporção i N ief = Þ 6 1 % i = EF Logo ief = 4% a.m. (cap. mens.) Prof. Pedro Evaristo 54

55 Então (1 + is) 1 = (1 + 4%) 6 Pela tabela 1, temos: 1 + is = 1,265 Portanto IS = 0,265 = 26,5% a.s. EXEMPLO: Qual a taxa anual equivalente a uma taxa nominal de 42% a.a. capital. bimestralmente? SOLUÇÃO: Seja in = 42% a.a. (cap. bim.) Como taxa nominal é anual e a capitalização é mensal, a taxa efetiva obedece a seguinte proporção i N ief = Þ 6 1 % i = EF Logo ief = 7% a.b. (cap. bim.) Então Prof. Pedro Evaristo 55

56 (1 + ia) 1 = (1 + 7%) 6 Pela tabela 1, temos: 1 + ia = 1,50 Portanto ia = 0,50 = 50% a.a. Prof. Pedro Evaristo 56

57 TAXA REAL E APARENTE Em uma situação em que a inflação for levada em consideração, a taxa i aplicada sobre um capital é aparente, pois o montante produzido não terá o mesmo poder aquisitivo. Entenda que se em um certo período aplicarmos um capital C à taxa de juros ia, obteremos o montante: M = C.(1 + ia) Se no mesmo período a inflação foi iinf, o capital C para manter seu poder aquisitivo deve ser corrigido pela inflação, gerando um montante inflacionado: MINF = C.(1 + iinf) Dessa forma, MINF e C correspondem ao mesmo poder aquisitivo em momentos distintos: um afetado pela inflação e outro não. Portanto, chamaremos de taxa real de juros ir a taxa que leva o valor MINF ao valor M e de taxa aparente de juros ia a taxa que leva C ao valor M. CÁLCULO DA TAXA REAL Ora, C(1+iR) é o montante, no final de um período, considerando uma economia sem inflação, à taxa real de juros ir. C(1+iINF) é o montante considerando apenas a inflação e C(1+iR)(1+iINF) é o montante considerando o juros reais e a inflação. Como o montante gerado por uma taxa aparente ia, divulgada pelo mercado financeiro, produz o mesmo montante gerado pelas taxas de inflação iinf e real ir aplicadas uma sob a outra, temos: logo C.(1+iA) = C.(1+iR)(1+iINF) (1+i A ) = (1+i R )(1+i INF ) Prof. Pedro Evaristo 57

58 ou então 1+ i = 1+ i ir A - INF Onde ir - taxa real ia - taxa aparente iinf - taxa de inflação 1 EXEMPLOS EXEMPLO: Um capital foi aplicado por um ano à taxa de juros nominal de 21% ao ano. No mesmo período a inflação foi de 11%. Qual a taxa real de juros? SOLUÇÃO: Temos que Então (1+iA) = (1+iR)(1+iINF) (1 + 21%) = (1 + ir).(1 + 11%) 1,21 = (1 + ir).1, ir = ir = 0,09 ir = 9% 1,21 1,11 EXEMPLO: Prof. Pedro Evaristo 58

59 Um ano atrás um televisor 20 custava R$ 1000,00 e hoje a loja cobra R$ 1260,00 pelo mesmo produto. Sabendo que nesse mesmo período a inflação foi de 20%, determine a taxa real de aumento sofrida pelo televisor. SOLUÇÃO: O aumento de R$260, representa 26% de R$1000, portanto essa é a taxa aparente. Sendo (1 + ia) = (1 + ir)(1 + iinf) Então (1 + 26%) = (1 + ir)(1 + 20%) 1,26 = (1 + ir).1, ir = 1,26/1,20 ir = 1,05 1 ir = 5% R$ 1.000,00 R$ 1.260,00 i APARENTE = 26% i INFLAÇÃO = 20% i REAL = 5% R$ 1.200,00 Portanto a loja aumentou aparentemente 26%, mas na verdade ela subiu o preço 5% acima da inflação. Prof. Pedro Evaristo 59

60 EXERCÍCIOS 01. Qual a taxa anual aparente de um investimento, se a retabilidade real foi de 40%a.a. e a inflação do período foi de 20%? a) 30% b) 52% c) 60% d) 68% 02. A quantia de R$ 5.000,00 foi aplicada por um período de 2 anos, transformando-se em R$ ,00. Se a rentabilidade real no período foi de 100 %, qual foi a inflação medida no mesmo período? a) 100% ao período b) 200% ao período c) 300% ao período d) 400% ao período 03. Sabendo-se que o rendimento anual em caderneta de poupança em um determinado país subdesenvolvido no ano passado foi de 230%, e que a sua taxa de inflação no período foi de 200%, determine o ganho real de um aplicador. a) 10% a.a. b) 11% a.a. c) 12% a.a. d) 13% a.a. 04. Um banco deseja auferir 2% ao mês de juros reais (compostos) sobre determinada aplicação. Qual deve ser a taxa aparente de juros para o período de um ano se a inflação esperada neste período for de 18%? a) 40,9% b) 42,0% c) 45,9% d) 49,6% 05. Se um banco deseja auferir 2% ao mês de juros reais (simples) sobre determinada aplicação. Qual deve ser a taxa nominal aparente de juros para o período de um ano se a inflação esperada neste período for de 18%? a) 40,9% Prof. Pedro Evaristo 60

61 b) 42,0% c) 45,9% d) 49,6% 06. (CESGRANRIO) Três aumentos mensais sucessivos de 30%, correspondem a um único aumento trimestral de: a) 0,9% b) 90% c) 190% d) 219,7% e) 119,7% 07. Qual a taxa quadrimestral equivalente a 8% a.m.? a) 32% a.q. b) 34% a.q. c) 36% a.q. d) 38% a.q. 08. Se em um financiamento está escrito que a taxa de juros nominal anual é de 30%, com capitalização bimestral, então a taxa de juros anual equivalente será: a) 0, b) 0, c) 1, d) 1+0, (CESGRANRIO) Um capital é aplicado com taxa anual de 10%, se o investidor resgatar um semestre após a data da aplicação, então a taxa equivalente para esse período: a) deverá ser de 5% a.s. b) deverá ser maior que 5% a.s. c) deverá ser menor que 5% a.s. d) deverá ser maior que 10% a.s. Prof. Pedro Evaristo 61

62 e) dependerá do valor do capital 10. Uma aplicação financeira paga juros composto de 28% ao ano, capitalizados trimestralmente. Qual é a taxa de juros trimestral efetiva de aplicação. a) 7% b) 6% c) 5% d) 7,5% 11. Obter a taxa efetiva anual equivalente a uma taxa nominal de 24% ao ano, com capitalização mensal. a) 21,3% b) 24,0% c) 26,8% d) 32,4% 12. Encontre a taxa quadrimestral equivalente a uma taxa nominal de 60% a.s. capitalizados mensalmente. a) 40% a.q. b) 46,41% a.q. c) 51,54% a.q. d) 69,65% a.q. 13. Encontre a taxa quadrimestral equivalente a uma taxa nominal de 60% a.s. capitalizados bimestralmente. a) 48% b) 44% c) 40% d) 36% e) 32% 14. Qual a Taxa Efetiva trimestral equivalente a uma Taxa Nominal de 36% a.a. capitalizados mensalmente? Prof. Pedro Evaristo 62

63 a) 8,27% a.t. b) 9,27% a.t. c) 10,27% a.t. d) 11,27% a.t. 15. (ESAF) Em uma campanha promocional, o Banco A anuncia uma taxa de juros de 60 % ao ano com capitalização semestral. O Banco B, por sua vez, anuncia uma taxa de juros de 30% ao semestre com capitalização mensal. Assim, os valores mais próximos das taxas de juros efetivas anuais dos Bancos A e B são, respectivamente, iguais a: a) 69 % e 60 % b) 60 % e 60 % c) 69 % e 79 % d) 60 % e 69 % e) 120 % e 60 % 16. A taxa nominal de 120% ao ano, com capitalização trimestral é equivalente a: a) 10% ao mês b) 30% ao trimestre c) 58% ao semestre d) 185,6% ao ano e) 244% ao ano GABARITO 01. D 02. C 03. A 04. D 05. B 06. E 07. C 08. C 09. C 10. A 11. C 12. B 13. B 14. C 15. D Prof. Pedro Evaristo 63

64 CAPÍTULO 07 DESCONTO COMPOSTO Os descontos compostos funcionam da mesma forma que as capitalizações, podendo ser usadas as mesma fórmulas, onde o valor descontado (D) corresponde aos juros (J) do período (t), enquanto o valor nominal (N) e o valor atual (A), corresponderão ao montante (M) e ao capital (C), dependendo do tipo de desconto. Da mesma forma que o desconto simples, o desconto composto pode ocorrer de duas formas: desconto racional e desconto comercial. É importante salientar que na grande maioria dos casos os descontos compostos são racionais, portanto quando não estiver descriminado fica implicito o uso desse tipo de desconto. DESCONTO COMPOSTO RACIONAL Sabemos que quando o desconto é dito racional, devemos calular o desconto em ralação ao valor atual, logo o valor nominal (N) corresponderá ao montante (M) e o valor atual (A) corresponderá ao capital (C), assim como em uma capitalização, portanto: ( i) t N = A. 1+ A t N Dessa forma, podemos dizer que o valor atual (A) é equivalente ao valor nominal (N) em períodos diferentes, assim como representado no fluxo. Portanto, o valor a ser descontado (D) do valor nominal (N) é exatamente o juro que o valor atual (A) deveria produzir nesse período, logo Prof. Pedro Evaristo 64

65 D= N-A LINK: Na maioria dos casos é dado o valor nominal, a taxa e o período para ser encontrado o valor atual (A<N), logo A = N t ( 1+ i) Podemos ainda escrever da seguinte forma Onde 1 A = N. (1+ i) 1 t (1+ i) t é o inverso do fator de acumulação e seu resultado pode ser facilmente encontrado na tabela 2, o que facilita muito o trabalho do aluno, uma vez que será feita uma simples multiplicação no lugar da divisão. DESCONTO COMPOSTO COMERCIAL No caso do desconto comercial, devemos calular o desconto em ralação ao valor nominal (N), logo este corresponderá ao capital (C) e o valor atual (A) corresponderá ao montante (M), que será sempre menor que o valor nominal. Se for usada a fórmula da capaitalização a taxa de juros (i) deve ser negativa, mas a forma prática é substituir (i) positiva na seguinte equação: A N t ( i) t A= N. 1- Prof. Pedro Evaristo 65

66 Portanto, o valor a ser descontado (D) do valor nominal (N) é exatamente a deflação calculada sobre ele, logo D= N-A EQUIVALÊNCIA DE CAPITAL Dizemos que dois ou mais conjuntos de capitais, com datas diferentes, são ditos equivalentes quando transportados para uma mesma data, anterior ou posterior, a uma mesma data de juros, produzem nessa data, valores iguais. Para melhor representar as entradas e saídas de capitais, envolvidas nos problemas, faremos um esquema gráfico utilizando setas para cima e para baixo ao longo de um eixo horizontal que representa o tempo. O sentido das setas é convencionado. No exemplo abaixo, se $100, $50 e $200 representam entradas, então $150 deve representar uma saída meses Quando esse conjunto de capitais é transportado para a data final do fluxo de caixa, dizemos que existe um capital único que é equivalente a todos eles denominado de Valor Futuro. ( i) n VF = VP. 1+ VP n VF Prof. Pedro Evaristo 66