1. INTRODUÇÃO À INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL

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1 . INTRODUÇÃO À INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Investigação Operacional (Operational Research Reino Unido, Operations Research EUA) O que é? Investigação... de operações (actividades) numa organização Utilização do método científico (indutivo) na resolução de problemas duma organização Utilização optimizada de recursos escassos Visão (sistémica) da organização como um todo Ênfase no trabalho de equipas multidisciplinares Ciência da gestão (Management Science) Investigação Operacional Como surgiu? Desenvolvimento (revolução) industrial (dimensão, complexidade) Artesão, loja Divisão do trabalho, corporação multinacional Despoletada pela.ª Guerra Mundial: cientistas (britânicos, americanos) abordando eficientemente operações militares Expansão desenvolvimentista do Pós-Guerra: êxito da IO despertou o interesse da sociedade civil Desenvolvimento das técnicas da IO (p.e., Método Simplex, de Dantzig, em 947) Explosão de computadores e programas Ciências recentes... Acácio Porta Nova () Rev. ()

2 Potencialidades da IO Estudo de sistemas reais (ou em projecto) complexos Programação matemática: p. e., optimizar a produção (maximizar o lucro, minimizar custos) de refinados numa fábrica petroquímica Gestão de existências: p. e., em empresas de distribuição (hipermercados), evitando roturas e garantindo a satisfação dos clientes Previsão: p. e., gestão de carteiras de títulos bolsistas Análise de redes: p. e., gestão das actividades constituintes dum projecto de desenvolvimento duma família de submarinos nucleares Análise de decisão: p. e., lançamento duma empresa para explorar a utilização de telemóveis (de nova tecnologia?) Limitações da IO Não é a panaceia universal, ao contrário do que muitos pregaram, na sequência do sucesso das primeiras décadas Obriga à assunção de hipóteses simplificativas, que podem desvirtuar o realismo do modelo Os modelos de IO são caros (tempo e recursos para desenvolvimento e execução) Pode produzir grandes volumes de resultados, que podem induzir em erro, se mal interpretados Ligações da IO Álgebra e Análise Probabilidades e Estatística Ciência da Computação Análise Numérica Resolução de problemas, preferencialmente, com modelos... Analíticos Numéricos De simulação Acácio Porta Nova () Rev. ()

3 METODOLOGIA DA INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Fases de um estudo de IO:. Formulação do problema. Desenvolvimento de um modelo. Recolha e análise dos dados relevantes 4. Construção do modelo numa linguagem adequada (programa) 5. Verificação do modelo computacional 6. Validação do modelo de IO 7. Planeamento e realização da experimentação 8. Análise dos resultados 9. Implementação do estudo -9. Documentação Formulação do problema Eliminar ambiguidades no enunciado do problema Especificar claramente objectivos e restrições Delimitar e caracterizar a parte da organização a analisar Clarificar prazos a cumprir e recursos disponíveis Identificação de abordagens alternativas Desenvolvimento de um modelo Simplificações assumidas Identificação das variáveis de decisão relevantes, restrições a satisfazer e função objectivo a optimizar Análise de sensibilidade Acácio Porta Nova () Rev. ()

4 Acácio Porta Nova () Rev. () 4

5 Recolha e análise dos dados relevantes Objectivos da recolha Estimação de parâmetros do modelo Validação do modelo Fases da recolha de dados. Identificação dos dados relevantes. Especificação do modo como obtê-los. Recolha propriamente dita Situações possíveis. Dados já existentes Localizar Obter acesso. Dados inexistentes, mas possíveis de obter Inquéritos Estudos de amostragem (time studies) Experimentação. Dados impossíveis de obter Tabelas de dados normalizados Comités de peritos Método Delphi Fontes para dados existentes Modelos agregados (económicos, urbanos) - Relatórios de recenseamentos - Publicações governamentais - Publicações de instituições internacionais Modelos industriais - Registos da companhia (contabilidade, produção,...) Precauções a tomar Planear previamente, após observação do sistema Elaborar impressos normalizados, assinalar circunstâncias excepcionais Analisar os dados, à medida que forem recolhidos Ignorar dados irrelevantes, detectar valores tendenciosos Acácio Porta Nova () Rev. () 5

6 Construção do modelo numa linguagem adequada Frequentemente, a construção de modelos de IO exige recursos: Humanos (especializados) Computacionais (pesados) Programas (específicos) Verificação do modelo computacional Garantir que o modelo (programa) está correcto (sem erros de lógica) Sugestões para a verificação (programação estruturada). Revisão estruturada, por outrém (structured walkthrough). Representação gráfica do modelo (fluxogramas). Análise, passo a passo, da evolução do modelo (trace) 4. Fazer o modelo auto-documentado Validação do modelo de IO Garantir que o modelo representa realisticamente o sistema real Processo iterativo: comparações permitem melhorar o modelo Calibração Subjectiva (efectuada por especialistas) Objectiva (utilizando testes estatísticos) Fases da validação. Criar um modelo com elevada validade aparente Análise de sensibilidade (fazendo variar os parâmetros do modelo). Validar as hipóteses do modelo Estruturais: por observação, discussão Parâmetros: testes (estatísticos...). Validar as transformações de input/output Prever o passado Testes de Turing Acácio Porta Nova () Rev. () 6

7 Construção de modelos vs. verificação e validação (Banks et al.) Factores a considerar Realismo (tratável) Complexidade (suficiente) Custo (razoável) Planeamento da experimentação Procurar uma solução óptima ( suficientemente boa, pragmática) Algoritmos vs. Heurísticas Acácio Porta Nova () Rev. () 7

8 Análise dos resultados Análise de pós-optimalidade Análise de sensibilidade Refinar a experimentação Implementação do estudo Modelos de Apoio à Decisão Manutenção e revisão Envolvimento e apoio da gestão Necessidade de comunicação Documentar é essencial Acácio Porta Nova () Rev. () 8

9 . PROGRAMAÇÃO LINEAR A Procura do "Óptimo" Euclides, Newton, Leibniz, Lagrange, Kantorovich, von Neumann,... Pragmatismo: uso eficiente de recursos escassos Problema: A Calçado, L. da, é uma pequena empresa industrial, de cariz familiar, que fabrica vários modelos de sapatos e botas (de cano curto) ornamentados, projectados por designers conhecidos e destinados, quase exclusivamente, para exportação. Apesar da sua dimensão, a empresa é gerida muito profissionalmente por quadros bastante jovens, não tendo tido, até ao momento, grandes problemas em colocar toda a sua produção. Contudo, uma análise de dados de produção recentes mostrou que as múltiplas máquinas de corte e costura flexíveis, utilizadas para produzir os sapatos e botas a partir de peles especialmente encomendadas, tinham alguns períodos de inactividade que, devidamente aproveitados, poderiam libertar cerca de.5 horas de produção para sapatos e horas para botas (as máquinas flexíveis estão pré-programadas e as que produzem sapatos são dum modelo diferente das que produzem botas). As máquinas de produção flexíveis podem fabricar cerca de 5 pares por hora (sapatos ou botas) e cada pele pode dar origem a pares de botas ou pares de sapatos; o sector de aprovisionamento da empresa diz não ser possível assegurar o fornecimento de mais de peles por dia. Depois de deduzidos os custos relevantes, estima-se (embora talvez optimisticamente), que a contribuição, para o lucro, do calçado produzido, seja de 5 e, para cada par de sapatos e botas, respectivamente. O objectivo da jovem e ambiciosa gestão da empresa é, naturalmente, obter o máximo aproveitamento da capacidade de produção disponível! ( Selecção do Product Mix) Acácio Porta Nova () Rev. () 9

10 Formular o problema Variáveis de decisão: - N.º de pares de sapatos produzidos ( x ); - N.º de pares de botas produzidos ( x ). Objectivo - Maximizar o lucro (em ): Z 5x + x Restrições a satisfazer - Capacidade de produção (em horas) 5 x.5 (de sapatos) x (de botas) 5 - Disponibilidade de matéria prima (em n.º de peles) x + x Constatação: a função objectivo e as restrições são lineares, com todos os coeficientes conhecidos deterministicamente Assunções: - Proporcionalidade - Aditividade - Divisibilidade - Determinismo Desenvolver um modelo Forma "normalizada" (standard) dum modelo de Programação Linear Recolher e analisar os dados relevantes "... uma análise de dados de produção recentes mostrou..." Especificações do fabricante (confirmadas, ou não, pela prática) Sector de aprovisionamento Contabilidade de gestão Acácio Porta Nova () Rev. ()

11 Construir um modelo computacional Interpretação gráfica Package específico (LINDO, Excel,...) Verificar o modelo computacional Substituindo valores (run piloto) Validar o modelo conceptual Implica recolha adicional de dados (informação usada para ajustar um modelo não deve ser usada para o validar) Planear/realizar a experimentação Resolução gráfica Solução: qualquer conjunto de valores atribuídos às variáveis de decisão Solução possível: qualquer solução que não viole nenhuma das restrições do problema Acácio Porta Nova () Rev. ()

12 Análise de resultados "Pós-optimalidade" ou de sensibilidade Implementação do estudo Acompanhar e corrigir, se necessário (p. e., valores dos parâmetros) Documentar "Para mais tarde recordar..." Comunicar com outros Manutenção futura (Uma) Forma Normalizada dum Modelo de PL Seleccionar Maximizar x, x,, x por forma a n Z c x + c x + + Sujeito às restrições a x + a x + + a e a a c n xn n xn b x + a x + + anxn b m x m + a x + + a mn x, x,, x. n x n b m Acácio Porta Nova () Rev. ()

13 ALGORITMO SIMPLEX Simplex: "... Math. an element or figure contained within a Euclidean space of a specified number of dimensions and having one more boundary point than the number of dimensions" (Webster's New World Dictionary) Interpretação geométrica vs. formulação algébrica Introduzir (até) m variáveis de folga, para transformar as inequações em igualdades Forma Aumentada dum Modelo de PL Seleccionar Maximizar sujeito às restrições a x a x e a x, x,, xn, xn+, xn+,, xn+ m Z c x + c x + + c n x a n xn + xn+ b x + a x + + an xn + xn+ b m a x b x + amx + + amnxn + xn+ m, de forma a +, x,, xn, xn+, xn+,, xn m, Solução básica: qualquer conjunto de n valores nulos, para n das variáveis, e m valores não nulos, para as restantes variáveis, que resultem da resolução do sistema de m equações lineares acima. n m Acácio Porta Nova () Rev. ()

14 ALGORITMO SIMPLEX. Inicialização: obter uma solução básica possível, fazendo x x xn e x n+ b,, xn+ m b. m. Critério de Paragem: colocada a função objectivo na forma Z c x c x c n x, n verificar se é possível melhorar esta função, alterando a solução básica possível (fazendo entrar, na base, uma variável com coeficiente negativo); senão, o óptimo foi atingido.. Iteração:. Escolher a variável que vai entrar na base (a que tiver o coeficiente mais negativo na função objectivo);. Escolher a variável que vai sair da base (a que for básica na restrição que imponha o menor crescimento possível à variável que vai entrar na base);. Tornar unitário o coeficiente da variável básica na restrição determinada em. e eliminá-la das restantes equações (incluindo a função objectivo), usando as operações elementares da álgebra matricial;.4 Voltar a. Problema (Calçado, L. da ): forma aumentada Maximizar Z 5x x Sujeito a x + x.5 5 e 5 x x + x4 + x + x 5 x, x, x, x4, x5 Acácio Porta Nova () Rev. () 4

15 . Inicialização: solução básica possível x, x, x, x, x ) (,,.5,,) ( 4 5. Critério de paragem: é possível melhorar a função objectivo (eq.) Z 5x x, fazendo entrar, na base, qualquer das duas variáveis.. Iteração :. Escolhe-se x (regra gananciosa) para variável que vai entrar na base;. Limites impostos, pelas restrições, ao aumento de x : (eq.) x + x. 5 Nenhum 5 (eq.) x + x4 x x (eq.) x + x + x5 x x A variável que vai sair da base é x 4;. Tornar unitário o coeficiente de x na restrição (eq.) x + 5x 4 5 (multiplicando por 5) e eliminá-la das restantes equações (incluindo a função objectivo) (eq.) x + x. 5 (já lá não estava) 5 Multiplicando (eq.) por ( ) e somando a (eq.), obtém-se (eq.) x 5x4 + x5 5 Multiplicando (eq.) por e somando a (eq.), obtém-se (eq.) Z 5x + 5x4 5 Nova solução básica: x, x, x, x, x ) (,5,.5,,5).4 Voltar a. ( 4 5 Acácio Porta Nova () Rev. () 5

16 . Critério de paragem: é possível melhorar a função objectivo (eq.) Z 5x + 5x4 5 fazendo entrar x na base.. Iteração :. Escolhe-se x para variável que vai entrar na base;. Limites impostos, pelas restrições, ao aumento de x : (eq.) x + x. 5 x. 5 x (eq.) x + 5x 4 5 Nenhum (eq.) x 5x4 + x5 5 5 x x 75 A variável que vai sair da base é x ; 5. Tornar unitário o coeficiente de x na restrição (eq.) x 75x4 + x5 75 (multiplicando por ) e eliminá-la das restantes equações (incluindo a função objectivo). Multiplicando (eq.) por ( ) e somando a (eq.), obtém-se 5 75 (eq.) x + x4 x5 5 5 (eq.) x + 5x 4 5 (não estava presente) Multiplicando (eq.) por 5 e somando a (eq.), obtém-se (eq.) Z + 5x4 + 5x5 875 Nova solução básica: x, x, x, x, x ) (75,5,,, ).4 Voltar a. ( 4 5. Critério de paragem: já não é possível melhorar a função objectivo (eq.) Z + 5x4 + 5x atingimos o óptimo. Acácio Porta Nova () Rev. () 6

17 OUTRAS FORMAS DE MODELOS DE P.L. ) Minimização da função objectivo: Minimizar Z c x + cx + + c n xn é equivalente a maximizar o seu simétrico, Maximizar ( Z) c x c x c n x. ) Restrições na forma de... Igualdades: j j a x + a x + + a x b acrescentar variáveis artificiais (pseudo variáveis de folga), a jx + a jx + + a jnxn + xn+ b ; j Inequações a j x j + a x + + a acrescentar variáveis de excesso e artificiais, a jx + a jx + + a jnxn xn+ + xn+ b ; j... ou com. os membros negativos: Multiplicar a restrição por ( ). jn jn x n n n b Nota: A inclusão de variáveis artificiais implica o relaxamento da respectiva restrição, com alargamento da região possível, pelo que é necessário livrar-nos delas, antes de aplicarmos o Algoritmo Simplex usual (através do método do grande M ou do método das Duas Fases) ) Variáveis de decisão... Com limite inferior negativo: efectuar a mudança de variável, x L, com L <, j x ' j j x j j j L ; Sem restrições de sinal: x +, efectuar a mudança de variável, j x. j + x j x j j j Acácio Porta Nova () Rev. () 7

18 Eliminação das variáveis artificiais Introduzidas por causa das restrições na forma de igualdades ou de inequações " " (i) Método do grande M Alterar a função objectivo original, com inclusão da soma das variáveis artificiais, sujeitas a uma penalidade extremamente elevada (Grande M): Max Z c x + c x + + c x M x. n n j j Notar que é necessário, antes de aplicar o Simplex, eliminar (usando as operações elementares da álgebra matricial) desta função objectivo, as variáveis artificiais básicas, para que ela fique na forma canónica que assumimos. (ii) Método das Duas Fases.ª Fase: Resolver um problema de P.L. prévio, que consiste na minimização duma nova função objectivo, a soma das variáveis artificiais, Min W x, ou, equivalentemente, Max j j ( W ) x j j Tal como no método anterior, é preciso, antes de aplicar o Simplex, eliminar, desta função objectivo, as variáveis artificiais básicas, para que ela fique na forma canónica..ª Fase: Se, no óptimo, houver alguma variável artificial não nula, o problema não tem solução; senão, o óptimo da. Fase constitui uma solução básica possível, para o problema original; eliminamse as colunas correspondentes às variáveis artificiais e optimiza-se a função objectivo original. Acácio Porta Nova () Rev. () 8

19 Problema (Composição de Dietas, Bronson e Naadimuthu) O Talho da Vila comercializa uma mistura de carne picada destinada à confecção de "rolo de carne". Esta mistura é feita a partir de carne magra de vaca picada e de carne de porco picada. A carne de vaca picada é constituída por 8% de carne e % de gordura, custando 8 unidades monetárias (u.m.) por kg; a carne de porco picada é constituída por 68% de carne e % de gordura, custando 6 unidades monetárias (u.m.) por kg. Sabe-se que se pretende que a mistura para o "rolo de carne" não contenha mais de 5% de gordura e que se pretende minimizar o custo. Que quantidades de cada tipo de carne devem ser utilizadas para o "rolo de carne" do Talho da Vila? Usando, como referência, a composição dum kilograma de "rolo de carne", podemos formular um problema de P.L.: Variáveis de decisão: - Quantidade de carne de vaca, em kg ( x ); - Quantidade de carne de porco, em kg ( x ). Objectivo - Minimizar o custo: Z 8x + 6x (u.m./kg) Restrições a satisfazer.x +.x.5 (gordura máxima) + x, x x (composição dum kg de "rolo de carne") x (não negatividade) Acácio Porta Nova () Rev. () 9

20 Resolução gráfica Resolução algébrica.ª Fase:. Inicialização Min W x4, ou seja, Max ( ) 4 Sujeito a (eq.).x +.x + x. 5 x + x + x4 (eq.) e x, x, x, x4 Como referimos antes, é necessário remover a variável artificial (básica) da função objectivo, subtraindo, desta, (eq.): (eq.) W ) x x ( ( x, x, x, x4) Solução básica possível: (,,.5, ) Acácio Porta Nova () Rev. ()

21 . Critério de Paragem: é possível melhorar a função objectivo (eq.) W ) x x ( fazendo entrar, na base, qualquer das duas variáveis.. Iteração :. Escolhe-se x (empate resolvido arbitrariamente) para variável que vai entrar na base;. Limites impostos, pelas restrições, ao aumento de x : (eq.).x +.x + x. 5.x. 5 x. 5 + x + x4 (eq.) x x A variável que vai sair da base é x 4;. O coeficiente de x, na restrição, já é unitário: (eq.) x + x + x 4 é preciso eliminá-la das outras equações (incluindo a função objectivo). Multiplicando (eq.) por (.) e somando a (eq.), obtém-se (eq.).x + x.x. 5 4 Somando (eq.) a (eq.), obtém-se (eq.) ( W ) + x 4 Nova solução básica possível: x, x, x, x ) (,,.5,).4 Voltar a. ( 4. Critério de Paragem: não é possível melhorar a função objectivo (eq.) ( W ) + x4 atingimos o óptimo (da.ª Fase, solução básica possível da.ª) Acácio Porta Nova () Rev. ()

22 .ª Fase:. Inicialização: eliminação da variável artificial e optimização da função objectivo inicial: Min Z 8x + 6x, ou seja, Max ( Z) 8x 6x Sujeito a (eq.).x + x. 5 x + x, x, x (eq.) x Como referimos antes, é necessário remover a variável (básica) x da função objectivo. Multiplicando (eq.) por ( 8) e somando a (eq.), obtém-se: (eq.) ( Z ) x 8 Solução básica possível: x, x, x ) (,,.5) (. Critério de Paragem: é possível melhorar a função objectivo (eq.) fazendo entrar, na base, a variável x.. Iteração :. Escolhe-se x para variável que vai entrar na base;. Limites impostos, pelas restrições, ao aumento de x : (eq.).x + x. 5. x. 5 5 x (eq.) x + x x A variável que vai sair da base é x ; Acácio Porta Nova () Rev. ()

23 . Dividindo (eq.) por.: 5 5 (eq.) x + x Multiplicando (eq.) por ( ) e somando a (eq.), obtém-se (eq.) x 5 x 7 Multiplicando (eq.) por e somando a (eq.), obtém-se 5 5 (eq.) ( Z ) + x 7 5 Nova solução básica possível: ( x, x, x) (,,).4 Voltar a.. Critério de Paragem: como não é possível melhorar a função objectivo, atingimos o óptimo do problema inicialmente formulado: x x Z * * * Problema sugerido: Reformular o problema do Talho da Vila (e do seu "rolo de carne"), exprimindo, agora, em vez duma restrição de gordura máxima, uma restrição de um mínimo de 75% de proteínas, na composição da carne vendida para o "rolo", resolvendo o problema através do Método do Grande M. Acácio Porta Nova () Rev. ()

24 SITUAÇÕES ESPECIAIS NA APLICAÇÃO DO SIMPLEX ) "Empate" na variável a entrar na base: (encontrado na iteração da.ª Fase do problema do talho) pode desempatar-se arbitrariamente (por exemplo, escolhendo a variável com índice mais baixo). ) "Empate" na variável a sair da base: (soluções básicas degeneradas) teoricamente, o algoritmo poderia entrar em ciclo, repetindo a escolha de variáveis, sem melhorar a função objectivo; mas essas situações dificilmente ocorreriam na prática, sendo possível usar regras que evitassem a repetição mencionada. Assim, também se pode desempatar arbitrariamente. ) Nenhuma variável para sair da base: (função objectivo ilimitada) se se puder aumentar indefinidamente a variável a entrar, mantendo as variáveis básicas não negativas; corresponde, normalmente, a erro(s) na formulação do problema (os recursos são, por natureza, limitados). 4) Infinitas soluções óptimas: (geralmente, combinações lineares de duas soluções óptimas adjacentes) por exemplo, a duas dimensões, se a função objectivo for paralela a uma das restrições que definem o óptimo; para detectar estes casos, tendo atingido o(um) óptimo, podem-se fazer iterações adicionais, fazendo entrar, na base, variáveis não básicas, que tenham coeficientes nulos na função objectivo (se as houver). Acácio Porta Nova () Rev. () 4

25 Problema sugerido: Reformular o problema do Talho da Vila (e do seu "rolo de carne"), exprimindo, agora, em vez duma restrição de gordura máxima, uma restrição de um mínimo de 75% de proteínas, na composição da carne vendida para o "rolo", resolvendo o problema através do Método do Grande M. Relembrando o... (i) Método do Grande M Alterar a função objectivo original, com inclusão da soma das variáveis artificiais, sujeitas a uma penalidade extremamente elevada (Grande M): Max Z c x + c x + + cnxn M x ; ou, j Min Z c x + c x + + c n x n + M j Sendo necessário, antes de aplicar o Simplex, eliminar (usando as operações elementares da álgebra matricial), desta função objectivo, as variáveis artificiais básicas, para que ela fique na forma canónica que assumimos. j x j Variáveis de decisão: - Quantidade de carne de vaca, em kg ( x ), num kg de carne picada; - Quantidade de carne de porco, em kg ( x ), num kg de carne picada. Objectivo - Minimizar o custo: Z 8x + 6x (u.m./kg) Restrições a satisfazer 4 7 x + x (proteína mínima) x + x (composição dum kg de "rolo de carne"), x x (não negatividade) Acácio Porta Nova () Rev. () 5

26 Resolução gráfica Resolução algébrica. Inicialização Min Z 8x + 6x + M( x4 + x5) ou seja, Max Z ) + 8x + 6x + M( x + ) Sujeito a 4 7 (eq.) x + x x + x 5 5 (eq.) x + x + x ( 4 x5 4 5 e x, x, x, x4, x5 Como referimos antes, é necessário remover as variáveis artificiais (básicas) da função objectivo, subtraindo, desta, (eq.) e (eq.), multiplicadas por M: 4 7 (eq.) ( Z) + 8 M M x + 6 M M x + Mx M M ou, simplificando, 4 Acácio Porta Nova () Rev. () 6

27 (eq.) 9 4 ( Z) + 8 M x + 6 M x + Mx M 4, 4 Solução básica possível: x, x, x, x, x ) (,,, ) ( 4 5. Critério de Paragem: é possível melhorar a função objectivo, fazendo entrar, na base, qualquer das duas variáveis, x ou x.. Iteração :. Escolhe-se x ( 9 5 > 4 5) para variável que vai entrar na base;. Limites impostos, pelas restrições, ao aumento de x : (eq.) x + x x + x4 x x (eq.) x + x + x x 5 A variável que vai sair da base é x 4;. Normalizar a equação, multiplicando por (5/4), (eq.) x + x x + x e eliminar x das outras equações. Multiplicando (eq.) por ( ) e somando a (eq.), obtém-se 5 5 (eq.) x + x x4 + x Multiplicando (eq.) por ( 8 + M ) e somando a (eq.), (eq.) ( Z ) + 6 M M x + M 8 + M x M x M ( Z) + 8 M x + M x + + M x M Acácio Porta Nova () Rev. () 7

28 5 Nova solução básica possível: ( x, x, x, x4, x5) (,,,, ) Voltar a.. Critério de Paragem: é possível melhorar a função objectivo, fazendo entrar, na base, qualquer das duas variáveis, x ou x.. Iteração : 5 5. Escolhe-se x para entrar na base M < M ; 4. Limites impostos, pelas restrições, ao aumento de x : (eq.) x + x x + x4 Nenhum (eq.) x + x x4 + x x 6 x A variável que vai sair da base é x ; 5. Normalizar (eq.), multiplicando por 4/5: 4 (eq.) x + x x4 + x5 5 5 Multiplicando (eq.) por 5/4 e somando a (eq.), (eq.) x + x + x 5 Multiplicando (eq.) por 5 + M e somando a (eq.), ( Z ) + 8 M + + M x + + M + M x M x5 75 M + + M (eq.) Z ) x + Mx + ( 8 + M) x 8 4 ( 4 5 Nova solução básica possível: ( x, x, x, x4, x5) (,,,,).4 Voltar a. + Acácio Porta Nova () Rev. () 8

29 . Critério de Paragem: é possível melhorar a função objectivo, fazendo entrar, na base, x.. Iteração :. Escolhe-se x para entrar na base;. Limites impostos, pelas restrições, ao aumento de x : (eq.) x + x + x x 5 4 (eq.) x + x x4 + x5 x x 5 A variável que vai sair da base é x ;. Normalizar (eq.), multiplicando por 5/: (eq.) x + x x4 + x5 Subtraindo (eq.) de (eq.), (eq.) x x + x4 x5 Multiplicando (eq.) por e somando a (eq.), (eq.) ( Z ) + x + M x4 + ( M + ) x5 7 5 Nova solução básica possível: ( x, x, x, x4, x5) (,,,,).4 Voltar a.. Critério de Paragem: como não é possível melhorar a função objectivo, atingimos o óptimo do problema inicialmente formulado: x x * * 7 5 com Z * 5 Acácio Porta Nova () Rev. () 9

30 Método do Grande M versus Método das Duas Fases l Mais trabalhoso l Altera a função objectivo real l Exige manipulação simbólica de M l Inviável em packages de software o Dificilmente conciliável com precisão da representação em computador (número de algarismos significativos) o Tornaria altamente instável o processamento numérico das iterações (propagação dos erros e mau condicionamento do sistema de equações) Usar o Método das Duas Fases QUADRO DO (ALGORITMO) SIMPLEX Iter. Var. Bás. Representação sintética da informação correspondente às sucessivas iterações do método. Por exemplo, o problema do Calçado, L. da : Eq. Coeficiente de.º Z x x x x 4 x 5 M. Z () -5 - x () 5 x 4 () x 5 () Rácios 7 mín 5 5 Z () x () 5 5 x () x 5 () -5 5 mín Z () x () 5 x () 5 5 x () Acácio Porta Nova () Rev. ()

31 FUNDAMENTAÇÃO DO ALGORITMO SIMPLEX Interpretação Matricial do Algoritmo A forma normalizada aumentada (que assumimos) para um modelo de P.L. pode ser sinteticamente expressa em notação matricial: Max Z cx, sujeito a Ax b e x, em que, [ c c ] x x x, x n c é um vector linha, b b b e b m c n são vectores coluna e a a an a a an A é a matriz dos coeficientes das restrições am am amn (notar que, ao contrário do que sucedia antes, estamos a assumir que n é o número total de variáveis de decisão, originais e acrescentadas; m é o número de restrições funcionais). Assim, o quadro inicial do Simplex é c Z, A x b que poderá não estar na forma canónica, necessária para iniciar a aplicação do algoritmo (variáveis básicas com coeficiente unitário, na restrição que fixa o seu valor, e nulo nas restantes, incluindo a função objectivo). Acácio Porta Nova () Rev. ()

32 A aplicação do Simplex consiste em seleccionar m variáveis como básicas, x B (ficando, as restantes, como não básicas, x D), particionando, consequentemente, x, A e c: x [ x D x B ], A [ D B] e c [ D c B ] c. A base, B, é constituída pelas colunas de A correspondentes às variáveis básicas, x B (supostas linearmente independentes). O problema passa, então, a ser: Max Z c x + c x, D D B sujeito a Dx + Bx b e x B, x D D B B Uma solução básica é obtida, pondo x D e resolvendo para x B B b e Z c x c B b. B B B Para verificarmos se a função objectivo pode ser melhorada, temos de exprimi-la em função das variáveis não básicas; para quaisquer valores destas, o sistema, correspondente às restrições, dá x B b B B Dx D e Z c D x D + c B ( B b B Dx D ) c B B b + ( c D c B B D) x D Para pôr o quadro do Simplex (particionado) na forma canónica, basta usar esta expressão da função objectivo e multiplicar o sistema de restrições, à esquerda, por B c B B B D c D D Z cbb b xd I B b xb Acácio Porta Nova () Rev. ()

33 Teorema Fundamental da Programação Linear (Luenberger, 97): Dado um programa linear na forma normalizada (aumentada), Max Z cx, sujeito a Ax b e x, em que A é uma matriz m n com característica m, i) se existir uma solução possível, existirá uma solução básica possível; ii) se existir uma solução óptima possível, existirá uma solução óptima básica possível. Para optimizar um problema de P.L., "basta", pois, procurar o óptimo entre o número "limitado" de soluções básicas (e possíveis); quantas existem? Arranjos, em que a ordem não é relevante (ou seja, combinações), de n variáveis de decisão m a m restrições, C n m n m n! m!( n m)! Problema de dimensão exponencial (pior caso). Contudo, a prática tem demonstrado que o Simplex é bastante eficiente Exercício: resolver, usando a formulação matricial (e actualizando, apenas, os elementos estritamente necessários), o problema, de programação linear, da empresa Calçado, L. da Max Z 5x + x sujeito a e 5 x x x 5 + x x, x 7 Acácio Porta Nova () Rev. ()

34 ALGORITMO SIMPLEX REVISTO. Inicialização: Escolher uma base inicial, B, invertê-la, obtendo ' calcular a correspondente solução básica, x B b b. B B, e. Critério de Paragem: Calcular o vector de "custos reduzidos" (Min) ou "contribuição para o lucro" (Max), r c c B D. D B Se r, o óptimo foi atingido! Senão, efectuar uma iteração.. Iteração:. Escolher a variável que vai entrar na base, x (a que tiver o k coeficiente, j,, n m, mais elevado); r j. Escolher a variável que vai sair da base, x : calcular o vector l ' ak B a k (representação da coluna correspondente à variável a ' ' entrar na base, na base actual) e os rácios b i / a, i,, m ( x ik l corresponde ao rácio mínimo). Actualizar B ( B ) ' ' ' ' x ( B ) b b ; B.4 Voltar a. e calcular a solução básica actual, Para inverter a base, B, um dos processos mais expeditos consiste em aumentá-la com a matriz identidade de ordem m, [ B I], e, realizando as operações elementares da Álgebra Matricial, diagonalizar e normalizar a a matriz resultante, fazendo surgir, à direita, a inversa procurada [ B ] I. Acácio Porta Nova () Rev. () 4

35 Acácio Porta Nova () Rev. () 5 Resolução do exercício: empresa Calçado, L. da. Inicialização: 5 4 x x x B x ; B I B ; ' 7 b b B x B.. Critério de Paragem: [ ] [ ] [ ] 5 5 D B D B c c r B D. Pode-se melhorar a função objectivo.. Iteração :. Variável a entrar: x ;. 5 ' a a B a ; mín () 5 5 () () ' ' a i b i, Variável a sair, 4 x. Actualizar 5 ' x x x B x ; 5 B ; [ ] ( ) [ ] ' ' B I I B

36 7 ' x 5.4 Voltar a. ' ' ( B ) b 5 b B. Critério de Paragem: r ' c D c B. ' ' ( B ) D [ 5 ] [ ]( B ) [ 5 5] Pode-se melhorar a função objectivo.. Iteração :. Variável a entrar: x ;. ' ( B ) ' a a a 5 ; ' b i ' a i () () () Variável a sair, x 5 x 5 '. Actualizar x x B ; B ; 5 x mín Acácio Porta Nova () Rev. () 6

37 Acácio Porta Nova () Rev. () 7 [ ] ( ) [ ] ' ' B I I B ( ) ' ' ' 75 5 b b B x B..4 Voltar a.. Critério de Paragem: ( ) [ ] [ ]( ) 5 ' ' ' B D B c c r B D [ ] [ ] ' Já não se pode melhorar a função objectivo, [ ] B c B x Z. Atingimos o óptimo.

38 Motivação para o Algoritmo Simplex Revisto l l Implementação em computador Preocupações de eficiência (em especial, para problemas de grande dimensão) o Ocupação de memória: a maior parte dos problemas de PL conduzem a matrizes esparsas (com poucos elementos não nulos) o Número de operações: actualização, apenas, dos elementos estritamente necessários o Precisão dos resultados obtidos: inversamente relacionada com o número de operações Como enquadrar com a inversão duma matriz (eventualmente de grande dimensão) em cada iteração? Usar processos de inversão mais eficientes, levando em conta a estrutura dum problema de PL! Actualização Iterativa (recursiva) da Inversa da Base Uma forma de actualizar B, que evita a inversão duma matriz em cada iteração, corresponde a reconhecer que a inversa pouco se modifica, de iteração para iteração, quando se aplica o Simplex; ou seja, os novos valores são, para i, j,, m, ' aik ( B ) ij ( B ),, ' pj se i p ' a pk ( B ) ij ( B ), i p, ' pj se a pk em que k é o índice da variável não básica a entrar na base e p é o índice da linha a usar como pivot (onde é básica a variável que vai sair da base, x ). l Se a dimensão do problema for muito grande, esta actualização iterativa da inversa da base pode levar à acumulação de erros de arredondamento, retirando significância à representação da matriz e, consequentemente, às soluções obtidas Detectável quando ( B ) ' B difere significativamente de I. Nestes casos, é usual reinverter, tão rigorosamente quanto possível, a base actual, a partir das respectivas colunas originais. Acácio Porta Nova () Rev. () 8

39 Exemplo: no problema da empresa Calçado, L. da, cálculo da inversa da base a usar na iteração, a partir da usada na iteração. B 5 ; 5 Efectuando: 5 ' a (com k, p ). 5 ' ' a ' ( B ) ( B ) ( B ) ;( ) ' a ' ( B ) 5 5 B 5 ( 5) ; ' ' ' ( B ) ; ( B ) 5 ( 5) 5; ( B ) ' ' ' ( B ) ; ( B ) ( 5) 75; ( B ) Temos, assim, ( B ) ' Acácio Porta Nova () Rev. () 9

40 Acácio Porta Nova () Rev. () 4 Forma de Produto da Inversa da Base A forma mais usada, em computador, para armazenar a inversa da base, recorre a matrizes elementares: matrizes identidade, à excepção da coluna p, correspondente aos elementos pivot, ' ' pk ik a a, para m i,, e p i, e ' a pk, para p i (cada uma destas matrizes sintetiza as operações efectuadas numa dada iteração do Simplex); assim, na s-ésima iteração, a matriz elementar será ' ' ' ' ' ' ' pk mk pk pk k pk k s a a a a a a a E e a inversa da base é dada por ( ) ' E E E E I E E B s s s s s. Exemplo: problema da empresa Calçado, L. da. Iteração : 5 ' a ; ( ) ' B E. Iteração : 5 ' a ; 5 5 E.

41 5 ( ) 5 ' B EE Notar que, para reconstituir uma destas matrizes elementares, só é necessário conhecer (e guardar na memória do computador) o índice, p, da coluna que a distingue da matriz identidade, bem como os m elementos dessa coluna. Tal como acontecia com a actualização iterativa da inversa da base, este processo também pode levar à acumulação de erros de arredondamento, reduzindo a precisão das soluções obtidas. Se isso acontecer, é necessário reinverter, tão rigorosamente quanto possível, a base actual, a partir das respectivas colunas originais, por forma a obter um novo conjunto de matrizes elementares. Acácio Porta Nova () Rev. () 4

42 DUALIDADE EM PROGRAMAÇÃO LINEAR Dado um problema de programação linear, expresso na sua forma normalizada, o problema primal, Max sujeito a e n n Z j c j x j A ij x j b i, para i,, m, j x j, para j,, n, Ou, Max sujeito a e Z cx Ax b () x (em que c é um vector linha com n componentes, x é um vector coluna também com n componentes, A é uma matriz m n e b é um vector coluna com m componentes), é possível formular um outro problema, intimamente associado com o primeiro e caracterizado pelos mesmos coeficientes, o problema dual, Min W sujeito a e m m i y i b i y i A ij c j, para j,, n, i y i, para i,, m, Ou, Min W sujeito a e yb ya c () y (em que y é um vector linha com m componentes). Forma simétrica da dualidade Acácio Porta Nova () Rev. () 4

43 Exemplo: Calçado, L. da Primal Max Z 5x + x sujeito a e 5 x x x 5 + x x, x 7 Dual 7 Min W y + y+ y sujeito a e y 5 y 5 + y + y y, y, y 5 Se resolvermos o problema dual, recorrendo ao algoritmo Simplex, * encontramos y [ 5 5] e W * 875 ; se compararmos com o quadro do Simplex deste problema (pág. ), constatamos que * * * W 875 Z e os valores de y, y e y são os coeficientes, na linha () do quadro final, das variáveis de folga correspondentes às restrições, e, respectivamente. Teorema da Dualidade da Programação Linear (Luenberger, 97): * Se algum dos problemas () ou () tiver uma solução finita, o outro também terá e os valores correspondentes das funções objectivo serão iguais. Se, para algum dos problemas, a respectiva função objectivo tiver um valor ilimitado, o outro não terá nenhuma solução possível. Ou seja, se x B B b for uma solução básica óptima (possível) do problema primal, (), y cb B será uma solução óptima para o problema dual, (), e os valores óptimos dos dois problemas são iguais. * No óptimo: Z * c x c B b yb W B B B * Acácio Porta Nova () Rev. () 4

44 Multiplicadores do Simplex: y cb B y i, para i,, m : taxa a que variaria o valor da função objectivo, se a quantidade do recurso i variasse ligeiramente, Δ b (contribuição i para o lucro, por unidade do recurso i, "preço-sombra" ou valor marginal do recurso). MÉTODO SIMPLEX DUAL Por vezes, dispõe-se duma solução básica não possível, mas que satisfaz a condição de optimalidade ("óptima", mas não possível), ou seja, com variáveis duais possíveis No quadro do Simplex, coeficientes não negativos na linha () e. os membros negativos Em vez de construir um quadro para o dual e aplicar o Simplex usual (que irá optimizar o dual, mantendo as soluções possíveis), pode ser mais eficiente representar essas iterações no quadro primal (tentar obter uma solução possível, mantendo a optimalidade) Algoritmo Simplex Dual Dado o problema (), assumamos que y cb B é possível para o dual; então, a correspondente solução para o primal, x B B b, é dualpossível. Se x B, também é primal-possível e é óptima.. Inicialização: Obter uma solução dual-possível, x B.. Critério de Paragem: Se x B, a solução é óptima; senão, iterar.. Iteração:. Seleccionar um índice i, tal que ( ) < x (variável a sair) '. Se todos os a, o dual não tem óptimo; senão, calcular o ij z k c z j c k j ' rácio mínimo, min : a < ' ' ij a j ik aij (variável a entrar). Formar uma nova base, substituindo solução dual possível e voltar a. B i ' a i por ' a k ; calcular a nova Acácio Porta Nova () Rev. () 44

45 Exemplo: a resolução do dual do problema da empresa Calçado, L. da, 7 Min W y + y+ y sujeito a e y 5 y 5 + y + y y, y, y recorrendo ao algoritmo Simplex usual, exigiu iterações na Fase, mais 4 na Fase, uma vez que o método é especialmente indicado para problemas de maximização, sujeito a restrições " " (parte duma solução básica possível trivial, variáveis originais iguais a zero, e melhora-a, mantendo-a possível, até atingir o óptimo). Contudo, podemos resolver o mesmo dual, recorrendo ao algoritmo Simplex dual, colocando o problema na forma aumentada, Max ( W )+ y 7 + y + y sujeito a y 5 y 5 5 +y y 4 5 +y y 5 multiplicando as restrições por (-), estas ficam na forma canónica para aplicação do Simplex dual, y 5 y 5 y y + y 4 + y 5 5, Acácio Porta Nova () Rev. () 45

46 dando origem ao seguinte quadro: Iter. Var. Bás. Eq. Coeficiente de.º M. Rácios (-W) y y y y 4 y 5 7 (-W) () ( y ) 5 entra 5 y 4 () 5-5 ( y ) y 5 () [.º ] y 5 sai ( W) () ( y ) 75 5 y 4 () 5 [.º ] y sai y () ( y ) 75 entra ( W) () y () y () 5 5 Solução possível (e óptima) Este método (Simplex dual) é especialmente indicado para problemas de minimização, sujeito a restrições " ", em que a solução básica trivial (variáveis originais iguais a zero) não é possível, mas satisfaz o critério de optimalidade: parte duma solução básica não possível mas óptima, e tenta atingir uma possível, mantendo óptimas as soluções intermédias. Acácio Porta Nova () Rev. () 46

47 Forma não simétrica da dualidade Dado um problema de programação linear primal, com as restrições funcionais na forma de igualdades, Max sujeito a e n n Z j c j x j A ij x j b i, para i,, m, j x j, para j,, n, Ou, Max sujeito a e Z cx Ax b () x (em que c é um vector linha com n componentes, x é um vector coluna também com n componentes, A é uma matriz m n e b é um vector coluna com m componentes), o correspondente problema dual (não simétrico) é Min W sujeito a m m i y i b i y i A ij c j, para j,, n, i Ou, Min W sujeito a yb ya c (4) (em que y é um vector linha com m componentes). Ou seja, as variáveis duais não têm de satisfazer as restrições de não negatividade Acácio Porta Nova () Rev. () 47

48 ANÁLISE DE SENSIBILIDADE EM PROGRAMAÇÃO LINEAR Modelo de PL (ou IO) simplificação (às vezes, grosseira) da realidade Alterações nos coeficientes do modelo Consequências p/ solução óptima (sem ter de recomeçar de raíz problemas de grande dimensão...) Análise de "Sensibilidade" (ou de pós-optimalidade) Re-optimizar Coeficientes dum modelo de PL estimativas dos verdadeiros parâmetros Verificar Validar o modelo Alterações nos coeficientes Consequências no primal e no dual Optar Exemplos de Alterações nos coeficientes: Variações no lucro (custo) unitário das actividades (produtos), em virtude de promoções, melhorias de produtividade ou tecnológicas,... Variações na disponibilidade dos recursos (ou capacidades de produção), por alterações da mão-de-obra, substituição dos equipamentos,... Variações no consumo unitário dos recursos por parte das actividades (produtos), consequência de novas tecnologias,... Introdução de novas actividades (produtos), em resultado de reorganizações, ou aproveitamento de oportunidades de negócio,... Introdução de novas restrições, neglicenciadas numa primeira formulação do problema, ou que se manifestam posteriormente,... Acácio Porta Nova () Rev. () 48

49 Procedimento: O quadro do Simplex do problema na forma normalizada, que temos vindo a usar, revela a dependência da solução óptima, em relação aos coeficientes iniciais do modelo Eq. Var. orig. Var. folga.º M Quadro () c inicial (i) A I b Quadro () z * c y * A c y * Z * y * b final (i) A * B ( ) * A ( B ) * b * ( B ) * b Assim, usando a solução do dual e a inversa da base actual, podemos recalcular o quadro final, para avaliar o efeito das alterações consideradas Solução deixa de ser óptima: iterar, com o Simplex usual Solução deixa de ser possível: iterar, com o Simplex dual Problema deixa de estar na forma canónica: aplicar as operações elementares do cálculo matricial para a repor ) Alterações nos termos independentes das restrições, b: só se modificam os segundos membros das equações ( m) b b b * * * * ( B ) b e Z y b Exemplo: no caso Calçado, L. da, houve um engano no cálculo das disponibilidades horárias: uma das horas para produção de sapatos foi atribuída às botas; também o número de peles pecava por excesso (mais vinte que o possível). 4.5 b b 8 * ( B ) * b Constata-se que a solução continua possível (e óptima). Acácio Porta Nova () Rev. () 49

50 O novo valor, para a função objectivo, é Z * * y b 9 [ 5 5] 45 8 ) Alterações nos coeficientes da função objectivo, c: só se modificam os respectivos coeficientes das variáveis originais na equação () c c z * * c y A c Exemplo: no caso Calçado, L. da, os sapatos estão a vender-se bem, pelo que foi decidido manter o preço; já não acontece o mesmo com as botas, pelo que foi proposto fazer uma redução de % no respectivo preço. * [ 5 7] z [ 5 5] [ 5 7] [ ] c c 5 Como ambas as variáveis são básicas, o problema não fica na forma canónica; multiplicando a equação () por (-) e somando à (), obtém-se o novo quadro final: 5 Iter. Var. Bás. Eq. Coeficiente de.º Z x x x x 4 x 5 M. Z () x () x () 5 5 x () Rácios A solução continua possível, mas deixou de ser óptima. É necessário iterar, usando o Simplex usual. Acácio Porta Nova () Rev. () 5

51 ) Alterações nos coeficientes das restrições funcionais, A: podem provocar modificações nos respectivos coeficientes das variáveis originais em todas as equações (-m) A A A * * * * ( B ) A z c y A c Exemplo: no caso Calçado, L. da, a instalação dum software de optimização do corte das peles permitiu passar a produzir, a partir duma só pele, mais um sapato (ou mais uma bota) do que anteriormente; um upgrade das máquinas flexíveis de fabrico também provocou uma melhoria de produtividade de %. 55 A 55 4 z Novo quadro final * c * A [ 5 5] [ 5 ] 5 Iter. Var. Coeficiente de.º Eq. Bás. Z x x x x 4 x 5 M. 5 Z () x () 55 5 x () x () Rácios Acácio Porta Nova () Rev. () 5

52 A solução continua possível, mas o quadro não está na forma canónica: é necessário normalizar e eliminar as variáveis básicas das várias equações. Obtém-se Iter. Var. Coeficiente de.º Eq. Bás. Z x x x x 4 x 5 M. Z () x () x () x () 4 8 Concluí-se que a solução continua, também, óptima. Rácios 4) Introdução duma nova variável: corresponde à inclusão duma nova coluna no quadro/matriz do problema, podendo provocar modificações em todas as equações (-m) * ( B ) a * * * cn+ zn+ cn+ y an+ cn+ an+ a n+ n+ Exemplo: o sector de design da Calçado, L. da, propôs o lançamento dum novo modelo de sandálias, com muita procura, a um preço de 75 euros; podem-se fabricar a partir duma pele e cada uma exige um processamento de /5 h numa máquina para sapatos e outro tanto numa máquina para botas. Este produto é rentável? Novo problema: Max Z 5x + x + 75x6 sujeito a e 5 x x x 5 + x + x 5 + x 5 + x x, x, x 6 Acácio Porta Nova () Rev. () 5

53 Novos valores para o quadro final: z 5 [ 5 5] 75 * 6 c6 * a Novo quadro final: Iter. Var. Bás. Eq Coeficiente de Z x x x 6 x x 4 x 5.º M. Z () x () 5 x () 5 5 x () A solução continua óptima. Contudo, a variável introduzida (não básica) tem um coeficiente nulo na função objectivo (Eq. ), pelo que a actual solução básica é degenerada (múltiplas soluções óptimas). 5) Introdução duma nova restrição: corresponde à inclusão duma nova linha no quadro/matriz do problema, se a restrição for violada pela actual solução básica; caso contrário, o óptimo actual não é modificado. Exemplo: no problema da Calçado, L. da, passou despercebida uma cláusula do contrato colectivo de trabalho, que fixa, num máximo de 4 horas, o trabalho extraordinário para a equipa de pessoal especializado, que faz a manutenção das máquinas flexíveis de fabrico. Esta cláusula é satisfeita pela solução actual? Acácio Porta Nova () Rev. () 5

54 Nova restrição: 5 x + x 4, violada, uma vez que, ; é preciso incluir a restrição, bem como a correspondente variável de folga, x + x + x6 4, 5 5 num novo quadro: Iter. Var. Bás. Eq. Coeficiente de Z x x x x 4 x 5 x 6.º M. Z () x () 5 x () 5 5 x () x 6 (4) O quadro não está na forma canónica: é preciso eliminar as variáveis básicas x e x desta nova restrição. Novo quadro final: Iter. Var. Bás. Eq. Coeficiente de Z x x x x 4 x 5 x 6.º M. Z () x () 5 x () 5 5 x () x 6 (4) 5 A solução é óptima, mas não possível: é necessário iterar, usando o Simplex dual. Acácio Porta Nova () Rev. () 54

55 Uma outra forma de analisar as várias soluções, resultantes da aplicação do Simplex, corresponde a analisar a complementaridade das soluções dos problemas primal e dual, à luz do chamado... Teorema da Folga Complementar (Luenberger, 97): ) Forma não simétrica: Sejam x e y soluções possíveis para os problemas primal () e dual (4), respectivamente; uma condição necessária e suficiente para que sejam ambas soluções óptimas é que, para todo o j, (i) x > ya c (ii) j x ya > c j ) Forma simétrica: j j j j Sejam x e y soluções possíveis para os problemas primal () e dual (), respectivamente; uma condição necessária e suficiente para que sejam ambas soluções óptimas é que, para todo o i e j, (i) x > ya c (ii) (iii) (iv) j (onde x ya > c j y > A x b i y A x < b i i j i i j A é a i-ésima linha de A). j j i i Assim, uma vez que as variáveis dum problema estão relacionadas com as restrições do outro, se uma tem folga, a outra não. Por exemplo, (i) se a variável x tem folga (não é nula, ou seja, é básica), a correspondente j restrição do dual, ya j c, não tem folga (a restrição é activa). No caso (iv), j já vimos que a interpretação económica da folga, A x < i b (recurso b i i não totalmente utilizado, ou seja, não escasso), corresponde a concluir que o valor marginal do respectivo recurso não tem folga, y. i Acácio Porta Nova () Rev. () 55

56 PROBLEMA DOS TRANSPORTES Caso Especial dum Problema de PL Exemplo (Wagner): A Seymour Hayes Manufacturing Company produz, em três fábricas, um pequeno componente para um produto industrial e distribui-o a cinco revendedores a um preço unitário fixo (delivered) de $,5. Previsões de vendas indicam que as distribuições mensais serão de 7 unidades ao Revendedor, 7 unidades ao Revendedor, 9 unidades ao Revendedor, 45 unidades ao Revendedor 4 e 6 unidades ao Revendedor 5. As capacidades de produção mensais são de 45 unidades na Fábrica, 9 na Fábrica e 5 na Fábrica. Os custos directos de produção duma unidade são de $. na Fábrica, $. na Fábrica e $.8 na Fábrica. Os custos de transporte, por unidade, de cada uma das fábricas, para cada um dos revendedores, são os seguintes: Custo ($) Revend. Revend. Revend. Revend. 4 Revend. 5 Fábrica Fábrica Fábrica Quais são os níveis de produção óptimos em cada fábrica e quantos componentes deverá cada fábrica fornecer a cada um dos revendedores? O enunciado pode ser formulado como um problema de PL: Min s. a: e m n Z i j n xij j c ij x ij s i, para i,, m, m x ij d j, para j,, n, i x ij, i, j, Acácio Porta Nova () Rev. () 56

57 em que o índice de linha, i, representa a fábrica (ou oferta, supply), o índice de coluna, j, representa o revendedor (ou procura, demand) e os coeficientes c representam os custos totais (produção e transporte) de fornecer uma ij unidade produzida na fábrica i ao revendedor j: c ij Rev. Rev. Rev. Rev. 4 Rev. 5 s i Fáb Fáb Fáb d j Contudo, trata-se dum problema de dimensão significativa, para um enunciado trivial: 5 variáveis originais ( m n), mais as de folga (e, eventualmente, as artificiais) e 8 restrições ( m + n); para além disso, não tira proveito da estrutura especial deste tipo de problemas, A Oferta Procura ou seja, uma matriz de coeficientes esparsa e um problema dual com estrutura simples, em especial, porque se assume uma hipótese adicional, a do equilíbrio entre a oferta e a procura: m i n s i d j j Nos casos em que esta condição não se verifica (como o exemplo anterior), é necessário criar origens (se a procura excede a oferta) ou destinos (oferta maior que a procura) fictícios (ou ambos, em casos especiais), com custos extremamente elevados (grande M, para trajectos não possíveis) ou nulos (origens ou destinos fictícios). Acácio Porta Nova () Rev. () 57

58 Forma Normalizada dum Problema de Transportes (designação clássica para esta estrutura de problema, independentemente do domínio de aplicação) Min s. a: m n Z i j c ij x ij n x ij j m x ij i s d i j, para i,, m,, para j,, n, e x ij, i, j, e em que se verifica, adicionalmente, a equação de equilíbrio, m i n s i d j Correspondente Problema Dual Max W s. a: m u s + n j i i i j. v j d j u i + v j c ij, para i,, m, e j,, n (sem restrições nos sinais das variáveis duais). Em virtude da equação de equilíbrio entre a procura e a oferta, só m + n das restrições do primal são linearmente independentes; assim, uma solução básica terá m + n variáveis x não nulas (ou, tendo em conta ij a complementaridade das soluções, m + n restrições duais activas, u i + v j c ). Se dispusermos duma solução básica possível, é fácil resolver ij o sistema simplesmente indeterminado ( m + n variáveis, sendo m + n independentes) correspondente às variáveis duais: coloca-se uma a zero e resolve-se para as restantes. Para avaliar se a actual solução básica é óptima, basta calcular os coeficientes das variáveis não básicas na função objectivo e verificar se é satisfeita a condição de optimalidade, cij ui v j, xij não básica. É, assim, essencial encontrar um meio expedito de obter uma solução básica possível inicial, existindo várias heurísticas disponíveis. Acácio Porta Nova () Rev. () 58

59 Regra do Canto Noroeste, para obtenção duma solução básica possível inicial, para o algoritmo dos transportes:. No quadro usual do algoritmo dos transportes, começando no canto superior esquerdo (canto noroeste), afectar à variável básica x a maior quantidade possível (menor dos valores s ou d ), eliminando a linha ou a coluna e subtraindo o valor de x da linha ou coluna não eliminada;. Deslocando-nos ao longo da linha ou da coluna não eliminada, afectar à variável básica x a maior quantidade possível (menor dos valores s ij i ou d ), eliminando a linha ou a coluna actual e subtraindo o valor de j x da linha ou coluna não eliminada (pode ser necessário afectar a ij x, se, no passo anterior, os valores da oferta e procura ficaram ambos ij nulos - solução básica degenerada - nesse caso, pode-se optar, arbitrariamente, por eliminar a linha ou a coluna);. Se se atingiu o canto inferior direito, tendo afectado m + n variáveis básicas x, terminar; senão, voltar a. ij Exemplo: Seymour Hayes Manufacturing Company Acácio Porta Nova () Rev. () 59

60 ALGORITMO SIMPLEX DOS TRANSPORTES (Dantzig). Inicialização: Obter uma solução básica possível inicial (por exemplo, usando a heurística do Canto Noroeste).. Critério de Paragem: Determinar o vector de "custos reduzidos", resolvendo o sistema { u i + v j cij : xij é básica } (pôr a zero a variável dual com mais afectações na linha ou coluna e obter, sucessivamente, as restantes) e calculando, para as variáveis não básicas, os valores ' c u v : x é não básica ; { c ij ij i j ij } ' Se {, não básica } c ij x ij o óptimo foi atingido! Senão, efectuar uma iteração.. Iteração:. Escolher a variável que vai entrar na base, x (a que tiver o lk ' coeficiente c mais negativo, para ij i,, m e j,, n);. Escolher a variável que vai sair da base, x (a que atingir op primeiro, no ciclo definido pelo conjunto de variáveis básicas, cujo valor é alterado pela entrada de x como básica); lk. Actualizar as variáveis básicas do ciclo obtido em. (somando e subtraindo, alternadamente, x, a partir da célula op x ), obtendo a lk nova solução básica possível;.4 Voltar a. Vemos, pois, que o quadro, utilizado para o algoritmo dos transportes, contém, em cada iteração, a informação essencial para actualizar a função objectivo e as soluções primal e dual. Nota: se todos os valores de procura e oferta das várias origens e destinos dum problema de transportes forem inteiros, todas as soluções básicas (e a óptima) também o serão, pelo que, a resolução dum problema de transportes também pode ser considerado como um caso de programação inteira. Acácio Porta Nova () Rev. () 6

61 Exemplo: a resolução do problema da Seymour Hayes Manufacturing Co. é apresentada nos seguintes quadros do algoritmo dos transportes.. Inicialização: Solução básica obtida com a regra do Canto Noroeste. Custo total: Iteração : Nova solução básica (com o pivot x ) 6 Custo total: 6 6. Acácio Porta Nova () Rev. () 6

62 . Iteração : Nova solução básica (com o pivot x ) Custo total: Iteração : Nova solução básica (com o pivot x ) 5 Custo total: 5 88; a solução é óptima. Acácio Porta Nova () Rev. () 6

63 PROBLEMA DA TRANSEXPEDIÇÃO Frequentemente, os problemas de transportes (ou distribuição) não contemplam, apenas, origens e destinos, mas, também, entrepostos intermédios (centros de distribuição); as próprias origens e/ou destinos podem, igualmente, funcionar como tal. Exemplo: A empresa Bona Fide fabrica gambozinos (vendidos a, cada) em Beja (5 por semana) e Bragança ( por semana), que são muito procurados em lojas de Faro (5 por semana), Lisboa (4 por semana), Coimbra (5 por semana) e Porto (5 por semana). Até agora, as encomendas seguiam directamente das fábricas para os clientes (cidades); contudo, para maximizar os lucros, a jovem gestão da empresa quer explorar a possibilidade de usar alguns desses destinos como entrepostos, para reduzir os custos de transporte envolvidos (,/km, por caixa de gambozinos). Também se quer avaliar da viabilidade da construção duma nova fábrica. Distâncias relevantes (em km): Porto Coimbra 6 Lisboa 97 Faro Bragança Beja Abordagem: Formular o problema de transexpedição como um problema de transportes, considerando todos os centros, simultaneamente, como possíveis origens e destinos, somando o total da procura (igual à oferta total, após o equilíbrio) a cada um dos valores efectivos de procura ou oferta (ou a zero, no caso dos centros que são apenas entrepostos) Exemplo: Empresa Bona Fide. Total da procura: 95; Total da oferta: 8; Origem (fictícia): 5 (custos de transporte nulos). Considerando caixas de gambozinos e os restantes custos... Acácio Porta Nova () Rev. () 6

64 Beja Bragança Futura? Beja Bragança Faro Lisboa Coimbra Porto Oferta Faro Lisboa Coimbra Porto Procura PROBLEMA DA AFECTAÇÃO Escalonamento em Sistemas de Produção (scheduling): afectar (atribuir) um dado trabalho (entre n) a uma dada máquina, ou trabalhador (entre n). Pode ser considerado um caso particular do problema de transportes, em que as origens (trabalhos) têm capacidade unitária e os destinos têm, igualmente, procura unitária. Também pode ser considerado um problema de programação inteira binária, uma vez que as variáveis de decisão só podem assumir os valores ou. Normalmente, os problemas de escalonamento são muito complexos, só existindo heurísticas para a maior parte desses problemas; o problema da afectação é uma das excepções, existindo, para além do algoritmo dos transportes, um método de resolução ainda mais eficiente, o chamado algoritmo húngaro. Contudo, um problem solver distraído pode ter algumas surpresas,... Acácio Porta Nova () Rev. () 64

65 Exemplo: A Comissão de Finalistas, depois dum trabalho, aturado, conseguiu arranjar lugares de estágio para todos os colegas do curso, com destinos muito variados, uns mais turísticos (Brasil, Singapura,...), outros com quase garantia de emprego imediato (Lisboa, Porto,...); para uma mais justa distribuição dos lugares disponíveis, foi decidido que cada colega listaria, por ordem decrescente, as suas preferências de estágio e que seria escolhida a combinação correspondente à menor soma das preferências. Como havia pressa em fazer a distribuição, um geek ( apanhado dos computadores) voluntarizou-se para escrever um programa, em C, que gerasse todas as combinações possíveis e seleccionasse a melhor (como só ligava aos computadores, achou que os algoritmos da IO eram uma maçada e uma perda de tempo, especialmente para quem tinha, como ele, um enorme poder de cálculo no seu portátil, um Pentium III, a 5 MHz, capaz de efectuar 5 milhões de operações por segundo!!). Quanto tempo é que o computador demorou a obter a solução? A complexidade (número de soluções possíveis) de um problema deste tipo corresponde a permutações de n (ou n!); a avaliação duma solução exige a execução de cerca de 5 instruções elementares (em linguagem máquina) do computador. Assim, o tempo necessário, para gerar todas as soluções e determinar a melhor, é T 8 5! 5.4 segundos 744 anos É melhor esperar sentado... Claro que, se resolvêssemos o problema, no mesmo computador, com o algoritmo dos transportes, demoraria, provavelmente, apenas algumas fracções de segundo. E, com o algoritmo húngaro, quase que se consegue resolver à mão... Acácio Porta Nova () Rev. () 65

66 ALGORITMO HÚNGARO (Harold Kuhn, 955). Inicialização: Para cada uma das linhas do quadro de custos, determinar o menor elemento e subtraí-lo de todos os elementos da linha; repetir o mesmo procedimento para cada uma das colunas do quadro.. Critério de Paragem: Verificar se existe alguma afectação possível, envolvendo, apenas, zeros (numa dada afectação, não pode existir mais de um zero na mesma linha ou coluna). Se existir, é óptima; senão, é preciso iterar.. Iteração:. Cobrir todos os zeros com o menor número de linhas e colunas (que será menor que n).. Procurar o menor número não coberto: subtraí-lo de cada um dos elementos não cobertos e somá-lo aos elementos na intersecção duma linha com uma coluna.. Voltar a. Teorema (Koenig): para uma matriz quadrada, o número máximo de zeros, que constitui um conjunto independente, é igual ao menor número de linhas e colunas necessárias para cobrir todos os zeros da matriz. Um conjunto de elementos da matriz diz-se independente, se não houver mais dum elemento desse conjunto em qualquer linha ou coluna da matriz. Exemplo (ME75K Production Engineering Management, Universidade do Texas em Austin, 984): Afectar os seguintes 5 trabalhos (jobs) às 5 máquinas existentes numa Job-shop, estando indicados os tempos de processamento ( custos ) necessários, para cada um dos trabalhos, em cada uma das máquinas. Tempos de Máquinas processamento A B C D E Jobs Acácio Porta Nova () Rev. () 66

67 . Inicialização Jobs Máquinas A B C D E (-) (-) (-5) (-) (-5) Jobs Máquinas A B C D E (-) (-) (-) () () Jobs Máquinas A B C D E Acácio Porta Nova () Rev. () 67

68 . Critério de Paragem É possível cobrir todos os zeros da matriz com, apenas, linhas ou colunas: não estamos no óptimo, é necessário iterar!. Iteração : O elemento, não coberto, com menor valor, é : subtraí-lo dos elementos não cobertos e somá-lo aos das intersecções. Jobs Máquinas A B C D E Acácio Porta Nova () Rev. () 68

69 . Critério de Paragem São necessárias 5 linhas ou colunas para cobrir todos os zeros da matriz: é possível fazer uma afectação envolvendo, apenas, zeros (atingimos o óptimo). Custo correspondente: Z c B + c C + c E + c 4 A + c 5D 7 (existe uma solução óptima alternativa, substituindo as afectações x 4 A e x 5 por D x 5 e x 4 D. A Acácio Porta Nova () Rev. () 69

70 . GESTÃO DE EXISTÊNCIAS Existências / Inventários / Stocks Porquê? Produtos acabados: satisfação imediata da procura (qualidade do serviço prestado ao cliente), compensação da irregularidade (sazonalidade) da procura, optimização da produção (lotes maiores) Produtos semiacabados (Work In Process): inevitáveis em job shops (produção orientada para o processo), permitindo a separação das fases de produção nos diversos departamentos e aumentando a flexibilidade do processo produtivo; mas, aumentam os custos de produção e manuseamento dos materiais Matérias-primas: evitar roturas na produção, aproveitar descontos de quantidade nas encomendas, reduzir custos de transporte Contudo: investimento substancial empate de capital rendibilidade? Vantagens: redução de custos De encomenda: processamento da ordem de encomenda, envio, registo e recepção da encomenda em armazém (quanto maior for a quantidade encomendada, ou o lote de produção, tanto menor será o número de encomendas e o respectivo custo); De rotura: quer de produtos acabados (vendas perdidas e clientes insatisfeitos), quer de matérias-primas ou componentes (perturbações da produção, para além dos anteriores); De aquisição: normalmente, a maiores quantidades encomendadas, correspondem descontos de quantidade nos preços unitários dos produtos adquiridos, para além de menores custos de transporte em relação ao work in process, a maiores lotes de produção correspondem, geralmente, menores custos de modificação e preparação dos equipamentos; De estabilização da qualidade: no início de cada ciclo (lote) de produção, o risco de produção deficiente (e consequente rejeição) é maior (aprendizagem dos trabalhadores, afinação dos equipamentos, adaptação das matérias-primas ou componentes). Acácio Porta Nova () Rev. () 7

71 Inconvenientes: aumento de custos De manutenção em armazém: de endividamento (redução de dividendos, baixa no preço das acções), de oportunidade (investimentos alternativos), renda do armazém, seguros, impostos, quebras ou roubos, condições ambientais (temperatura, iluminação, limpeza), segurança, manuseamento de materiais, etc.; De resposta a solicitações dos clientes: diminui a capacidade de reagir depressa a modificações nas encomendas dos clientes; De organização da produção: aumento do congestionamento, dificuldades no escalonamento e encobrimento de problemas de funcionamento. Racionalização da gestão de existências Minimização dos custos Modelos simplificados Quanto se deve encomendar (fornecedores externos, departamentos da empresa)? Quando se deve encomendar? Globalização Gestão da cadeia logística Logistics: the branch of military science having to do with procuring, maintaining, and transporting material, personnel and facilities (Webster s New World Dictionary). Fornecedores Fabricantes Distribuidores Retalhistas Clientes (Material, capital, informação, mão-de-obra,...) Acácio Porta Nova () Rev. () 7

72 Material: procura dependente vs. procura independente Procura dependente Sistema MRP (Material Requirements Planning): dado um plano de produção escalonado (Master Production Schedule), a árvore de materiais (Bill of Materials) e as existências, determina um escalonamento para as encomendas e quantidades a produzir, para um dado horizonte de planeamento. Filosofia de produção push Sistema JIT (Just In Time): verificar o número de componentes (ou produtos finais) necessários no próximo posto de trabalho (ou no cliente) e produzir apenas isso, indo buscar os componentes (ou a matéria-prima) necessários ao posto de trabalho anterior (ou ao fornecedor). Filosofia de produção pull Gestão da Produção, Logística,... Procura independente Modelos determinísticos Modelos estocásticos Sistemas de quantidade a encomendar fixa: encomenda-se, sempre, a mesma quantidade, mas o instante em que se coloca a encomenda varia (encomenda-se quando o nível de inventário atinge um valor crítico préestabelecido, o ponto de encomenda, P E, dependente do tempo que demora a entrega da encomenda, T E, lead time). ) Quantidade Económica a Encomendar (Economical Order Quantity), com reposição instantânea e roturas não permitidas: P - procura determinística (por unidade de tempo); C A - custo de manter uma unidade em armazém (por unidade de tempo); C E - custo médio de colocação duma encomenda; Q - quantidade (fixa) a encomendar de cada vez; T - duração dum ciclo de inventário; C T - Custo total da política de inventário (por unidade de tempo). Acácio Porta Nova () Rev. () 7

73 Custo total por ciclo de inventário (encomenda, recepção e utilização): C C C E + C A nível médio de inventário QT CC CE + CA. Custo total (por unidade de tempo): C CC CE Q CE P Q + CA CA, pois T T Q T + Q T. P Andamento típico da curva do custo total (por unidade de tempo): Acácio Porta Nova () Rev. () 7

74 Derivando e igualando a zero Q PC C * E QEE (dimensão do lote óptimo) A segunda derivada, A d C dq T CEP Q é sempre positiva, confirmando que se trata, efectivamente, dum mínimo. Custo mínimo: C PC * T E C A - E qual é o intervalo de tempo entre encomendas? Que relação existe entre o ponto de encomenda, P E, e o tempo até à entrega da encomenda, T E, (lead time)? Exemplo (Gaither, 994): A Call-Us Plumbing Supply Co. armazena milhares de artigos de canalização, para canalizadores, empresas e distribuidores. O Sr. Swartz, gestor da empresa, questiona-se sobre quanto dinheiro poderia ser poupado, anualmente, se se usasse a QEE em vez das actuais regras de palpite. Assim, pede a Mary Ann Church, analista de inventários, para analisar um dado item (#95, uma válvula de latão) e verificar se a utilização da QEE traria poupanças significativas. Mary Ann obtém as seguintes estimativas, a partir de informação contabilística: procura de válvulas por ano, Q 4 válvulas por encomenda (quantidade encomendada actualmente), custo de armazenagem de $.4 por válvula por ano e custo de encomenda de $5.5 por encomenda. [$7.74] ) Quantidade Económica a Encomendar (Economical Order Quantity), com reposição instantânea e roturas permitidas (pedidos em lista de espera): C R - custo (de rotura) por unidade em falta (e por unidade de tempo); L E - número de pedidos em lista de espera. Acácio Porta Nova () Rev. () 74

75 Acácio Porta Nova () Rev. () 75 Custo por ciclo de inventário: T L C T L Q C C C E R E A E C + +, em que P L Q T E e P L T E ; como a duração de cada ciclo é P Q T, o custo total (por unidade de tempo) é ( ) Q L C Q L Q C Q P C T C C E R E A E C T + + Derivando em relação às duas incógnitas (Q e L E ) e igualando a zero, R A A E C C C PC QEE + ( ) R A R A E E C C C C PC L + * vindo, para o custo mínimo, R A R A E T C C C C PC C + *

76 ) Quantidade Económica a Encomendar (Economical Order Quantity), com reposição não instantânea e roturas não permitidas (lotes de produção): F - taxa de fornecimento (ou de produção). Custo por ciclo de inventário: M CC CE+ CA T, Ao contrário dos modelos anteriores, o nível de inventário máximo, M, não é igual à quantidade encomendada (ou produzida), Q FT, uma vez que, durante o período T, coexistem consumo e produção: Q M Q PT Q P. F Q Como antes, T, pelo que: P C T CC CEP CA + T Q Derivando e igualando a zero, vem P Q. F PC QEE C A E F F P Acácio Porta Nova () Rev. () 76

77 Exemplo (Gaither, 994): A Call-Us Plumbing Supply Co. tem um departamento de produção, que poderia produzir a válvula #95. Assim, as válvulas fluiriam gradualmente para inventário, para serem comercializadas, e os custos de armazenagem e de encomenda e a procura manter-se-iam (P válvulas por ano, C A $.4 por válvula por ano e C E $5.5 por encomenda). O Sr. Swartz quer saber como seriam afectadas a QEE e o custo de inventário anual (a taxa de produção diária é de válvulas, havendo 5 dias úteis por ano). [64, $7.7]. 4) Quantidade Económica a Encomendar (Economical Order Quantity), com descontos de quantidade: c i custo unitário de aquisição (ou de produção), para o nível de desconto i C T ( c i ) custo total (por unidade de tempo) da política de gestão de inventário, para o nível de desconto i Acácio Porta Nova () Rev. () 77

78 Se o custo unitário de armazenagem não variar, significativamente, em relação ao preço unitário de aquisição ( C A aproximadamente constante), o custo total (por unidade de tempo), para cada nível de desconto i, é C ( c ) P Q CE + Pci CA, Q T i + mantendo-se o modo de obter a quantidade económica de encomenda, QEE (usando um dos modelos já descritos), que será a mesma, para os vários níveis de desconto; para calcular o mínimo, será necessário comparar o custo total, associado à curva para a qual a QEE é possível (.ª curva, na figura), com outros custos totais, não óptimos, mas para níveis de descontos que possam corresponder a custos totais inferiores (a curva inferior, na figura). Se o custo unitário de armazenagem variar com o preço unitário de aquisição (é frequente fazê-lo directamente proporcional ao custo unitário de aquisição, para reflectir as variações no custo do capital empatado no inventário), a QEE variará ligeiramente, conforme o nível de desconto, mas a análise a efectuar é análoga. Exemplo (Produção?): Um fabricante de componentes para electrodomésticos produz cinescópios (tubos de imagem para televisores), tendo contratado o fornecimento, a uma empresa de montagem de televisores, de 5 unidades por semana. Os cinescópios, tal como os outros componentes, são produzidos em lotes, cuja dimensão é necessário determinar, havendo um custo total de preparação de 5, de cada vez que é iniciado um novo lote de produção. O custo mensal de manter um cinescópio em armazém é estimado em.7, sendo o custo de produção, para quantidades não muito elevadas (até 5 unidades), de 75 por unidade; para lotes entre 5 e 4 unidades, consegue-se uma economia de escala de % e, acima destes valores, uma redução de no custo unitário de produção. Produção ( Procura ): P 5 / semana 78 / ano (5 semanas) Custo de preparação ( Encomenda ): C E 5 Custo de armazenamento: C A.7 / mês 8.4 / ano QEE PC E C A Acácio Porta Nova () Rev. () 78

79 A dimensão de lote óptima corresponde ao segundo nível de custos de produção ( c ), com custo total (anual) de P C T ( c 66) C E Q + Pc + C Q i A Comparando com o custo total, correspondente ao nível de custos de produção mais baixos, c 75 65, C T ( c 65) , 4 constatamos que o custo é superior, pelo que é preferível fazer lotes de produção de 9 66 unidades, a um custo de produção anual de ) Quantidade Económica a Encomendar (Economical Order Quantity), com procura e tempo de entrega aleatórios: as roturas de inventário passam a ser possíveis, pelo que se pode usar o modelo correspondente, PCE CA QEE +, CA CR embora seja, apenas, uma aproximação ao eventual óptimo (não existe qualquer fórmula para este). Além disso, é geralmente muito difícil estabelecer um valor adequado para o custo de rotura (perdas de vendas, mas, mais importante, de qualidade de serviço e imagem). Assim, é habitual determinar um ponto de encomenda, P E, adequado, por forma a satisfazer um critério de qualidade de serviço préestabelecido, frequentemente uma probabilidade de rotura de inventário não superior a um dado valor (por exemplo, 5% ou %): P E PEDTE + SS, em que PEDTE é a procura esperada durante o tempo de entrega e SS representa o stock de segurança (a quantidade, para além da procura esperada, que se encomenda adicionalmente, para tentar evitar as roturas de inventário). Para isso, é necessário conhecer a distribuição da procura (aleatória) durante o tempo até à entrega da encomenda (também aleatório), PDTE, o que é, normalmente, muito difícil de obter; por exemplo, para Acácio Porta Nova () Rev. () 79

80 distribuições contínuas, a sua função densidade de probabilidade poderia ser obtida a partir de f PDTE ( x) fp T E ( x; u) ft ( u) du, E se fossem conhecidas a densidade de probabilidade (incondicional) do tempo até à entrega da encomenda, (u), e a densidade de probabilidade da procura, condicionada para um dado valor do tempo de entrega, f ( x; ), o que raramente acontece. P T u E Assim, o que é feito, na prática, é usar uma de duas alternativas viáveis: (i) usar uma distribuição empírica, calculada a partir de dados históricos; (ii) usar uma aproximação normal ( justificada pelo teorema do limite central). (i) Distribuição empírica Exemplo: A ComGambo é uma grande superfície que comercializa gambozinos, tendo já tido alguns problemas com a irregularidade dos tempos de entrega da empresa Bona Fide, associada à aleatoriedade da procura durante esses tempos de entrega. A ComGambo quer assegurar um nível de serviço de 95% aos seus clientes (probabilidade de rotura de stocks não superior a 5%), levando em conta os dados históricos já compilados sobre a procura durante o tempo de entrega: ft E Frequência Procura Relativa Cumulativa > 6. Se os dados históricos forem fiáveis e em número suficiente, podemos caracterizar (estatística descritiva) a distribuição (empírica) da procura durante o tempo de entrega; se assumirmos, por outro lado, que os valores Acácio Porta Nova () Rev. () 8

81 verificados, para as frequências relativas, correspondem ao ponto médio de cada uma das classes, podemos calcular a procura esperada durante o tempo de entrega PEDTE Interpolando linearmente entre os pontos médios das classes, podemos igualmente representar a função cumulativa de distribuição empírica (ou seja, o nível de serviço); por exemplo, para garantir um nível de serviço de 95% (probabilidade de rotura não superior a 5%), vemos que basta fixar um ponto de encomenda de 45 gambozinos: Uma vez que o ponto de encomenda foi definido como a soma da procura esperada durante o tempo de entrega e o stock de segurança, este é SS PE PEDTE 45 Acácio Porta Nova () Rev. () 8

82 (ii) Aproximação normal Frequentemente, consegue reduzir-se a aleatoriedade dos tempos de entrega (mudando de fornecedor, se necessário), mas não a da procura (geralmente, diária), que se assume normal, com média e variância adequadas. Assim, a procura durante o tempo de entrega é, também, normal, mas a média e a variância são multiplicadas pela duração (número de dias) do tempo de entrega. Exemplo: Após uma análise, mais cuidada, dos dados históricos da ComGambo, constatou-se que, afinal, os tempos de entrega da Bona Fide eram de cerca de uma semana (sete dias), com uma procura diária aproximadamente normal, com média de gambozinos e desvio padrão unitário. Para o mesmo nível de serviço de 95%, como é que são alterados o ponto de encomenda e o stock de segurança? Consultando uma tabela da distribuição normal, vemos que o valor crítico, correspondente a 95% é, aproximadamente,.645. A procura, durante o tempo de entrega, é normal, com média PEDTE 7 gambozinos e desvio padrão σ PDTE Assim, o novo ponto de encomenda é P PEDTE + Z σ , vindo, E.95 PDTE para o stock de segurança, SS P E PEDTE 5 4. Acácio Porta Nova () Rev. () 8

83 Exemplo (Gaither, 994): Bob Fero é uma analista de operações da Sell- Rite Discount Stores, em Washington, DC, e está a estudar, actualmente, as políticas de encomenda e inventário, no armazém central da Sell-Rite, dum dos produtos de maior procura, um brinquedo para crianças. Uma análise de dados históricos de fornecimentos e procura revelou um tempo de entrega, quase constante, de dias e uma procura diária com uma distribuição aproximadamente normal, com uma média de 5 brinquedos e um desvio padrão de 75 brinquedos. a) Calcular o ponto de encomenda para o brinquedo, assumindo um nível de serviço, durante o tempo de entrega, de 9%. b) Qual é o stock de segurança estabelecido na alínea a? [4 ; 5] sistemas de período fixo entre encomendas: o inventário é verificado periodicamente, sendo encomendada uma certa quantidade, de modo a repor as existências num determinado nível, previamente fixado, Quant. encom. Stock de controlo Nível de inventário + PEDTE, embora também seja frequente encomendar, sempre, a mesma quantidade. Esta é uma situação frequente no aprovisionamento de supermercados, em que, ou não existe registo dos milhares de itens, ou ele não é fiável (perdas por obsolescência, roubo, acidentes, etc.); o risco de roturas é, portanto, superior, o que obriga a maiores stocks de segurança. Se a procura e o tempo de entrega forem (quase) determinísticos, o problema é equivalente ao da quantidade a encomendar fixa (basta usar, para Q, uma das fórmulas dos modelos já discutidos e lembrar que T Q P). Com procura e tempo de entrega aleatórios, pode, também, seguir-se uma abordagem análoga ao do caso aleatório anterior (modelo 5 da Quantidade Económica a Encomendar) ou encomendar uma quantidade suficiente para a procura durante um período, mais o stock de segurança (calculado para um nível de serviço pré-estabelecido). Acácio Porta Nova () Rev. () 8

84 ANÁLISE ABC (Classificação de Materiais) Os (muitos) materiais que é necessário manter em armazém não são (todos) igualmente importantes, sendo usual classificá-los em três classes, levando em conta, quer o respectivo valor monetário, quer, em especial, a sua movimentação, ao longo do ano: valor de utilização (anual) utilização anual custo unitário Pareto (séc. XIX - XX): em muitas cidades italianas (e não só), % da população possuía 8% da riqueza. Escolhas frequentes: Classe A B C Percentagem de artigos Percentagem de valor Acácio Porta Nova () Rev. () 84

85 Excepções (Gaither, 994): certos artigos exigem cuidados especiais Artigos críticos para a produção. Artigos rapidamente deterioráveis / obsoletos. Artigos muito volumosos. Artigos susceptíveis a roubo. Artigos com tempos de entrega erráticos. Artigos com procura imprevisível. Embalagens normalizadas, contentores para expedição, capacidade dos veículos de transporte. Acácio Porta Nova () Rev. () 85

86 4. MÉTODOS DE PREVISÃO You must fall in love with your data, but not always with your model G. M. Jenkins A previsão é um instrumento fundamental do planeamento e da gestão. Exemplos de aplicação: o evolução da inflação; o evolução do PIB; o n.º de passageiros esperados numa nova ligação ferroviária; o n.º de passageiros esperados num aeroporto; o volume de tráfego esperado num troço viário que se está a dimensionar; o n.º de clientes esperados numa agência bancária; o procura de camas num hospital; o procura de bebidas num bar da 4 de Julho; o procura de congelados num hipermercado; o tempo de reposição de um determinado produto (lead time). Vantagens: permite o dimensionamento de infra-estruturas, o aprovisionamento de produtos, a contratação/redução de recursos humanos, decidir sobre a viabilidade (ou não) de investimento num determinado negócio, etc. João Lourenço, (Rev. ) 86

87 Tipos de métodos de previsão: Qualitativos: assentam em juízos subjectivos baseados nas opiniões de especialistas; são adequados quando não se dispõe de informação histórica ou quando se verificam alterações significativas nas situações existentes. Quantitativos: utilizam informação quantificada histórica; pressupõem que os padrões de comportamento do passado irão manter-se no futuro. Limitações dos métodos quantitativos: Não existe forma simples e fiável de prever o que acontecerá no futuro quando os padrões ou relacionamentos verificados no passado mudam. Estes métodos só funcionam bem quando o futuro é semelhante ao passado. O nosso estudo resume-se aos métodos quantitativos os quais podem ser divididos em dois grupos: Métodos causais: utilizam dados históricos para relacionar a variável (dependente) cujos valores se pretendem prever com outra ou outras variáveis (independentes) explicativas do comportamento da primeira, com métodos de regressão estatística; Métodos não causais: utilizam os dados históricos da variável sobre a qual se pretendem efectuar previsões para determinar o seu padrão evolutivo e utilizam-no para efectuar extrapolações sobre o seu comportamento futuro. João Lourenço, (Rev. ) 87

88 Métodos causais: modelo de regressão linear simples Pressuposto: existe uma relação de dependência linear entre variáveis [neste caso y f(x)]. y a + b x Para medir o nível de relação linear entre duas variáveis utiliza-se o coeficiente de correlação (ρ): em que: ρ cov( x, y) σ σ, com ρ. cov(x,y) representa a covariância entre x e y; σ x representa o desvio padrão de x; σ y representa o desvio padrão de y; x y Resultados possíveis: Se ρ, não há correlação entre x e y; Se ρ, existe uma correlação perfeita entre as duas variáveis; Se ρ, as duas variáveis estão simetricamente correlaccionadas de forma perfeita, ou seja, quando o valor de uma variável cresce o da outra decresce e vice-versa. Para um dado conjunto de dados respeitante a uma amostra o estimador da correlação ( ρˆ ) obtém-se utilizando a seguinte expressão: ˆρ n i n ( x i x ) i ( x i x ) y i y ( ) n ( y i y ) i n x i i y i n x y n x i n x n y i n y i i João Lourenço, (Rev. ) 88

89 Quando existir dependência linear entre variáveis é possível efectuar previsões, mas existirá sempre um erro associado a essas previsões (ε). y a + b x +ε em que: a representa o ponto de intersecção da recta (da previsão) com o eixo das ordenadas; b representa a inclinação (tendência) da mesma recta; x representa a variável explicativa; y representa a variável sobre a qual se pretende efectuar previsões; ε representa o erro aleatório (ruído) associado à previsão. Note-se que quanto mais perto de zero estiver o coeficiente de correlação menor será a capacidade explicativa do modelo e, consequentemente, maior será o erro de previsão. Pressupostos relativamente aos erros: E[ε] ; Homocedasticidade: Var[ε i ] σ, ou seja, a variância dos erros é constante; Os erros não estão autocorrelacionados: cov(ε i, ε j ), quando i j; Normalidade: ε i ~ N(, σ ) João Lourenço, (Rev. ) 89

90 Estimação de parâmetros: como não se dispõe de todo o universo de valores das variáveis x e y mas só de algumas observações desse universo, utilizam-se estimadores ( â e bˆ ) para os parâmetros a e b utilizando o método dos mínimos quadrados (para obter mais informação sobre este método ver, por exemplo, Valadares et al., 996). Para se determinar a recta dos mínimos quadrados ( yˆ aˆ + bˆ x ) para um dado conjunto de dados, utilizam-se as seguintes expressões: ˆ b n i ( x i x ) y i y n i ( ) ( x i x ) n x i y i n x y i n x i n x i aˆ y bx ˆ O estimador da variância dos erros será igual a: ˆσ ε n n e i i n i ( y i ŷ i ) n João Lourenço, (Rev. ) 9

91 Exemplo (adaptado de Mendenhall, 985): Foi realizada uma experiência num supermercado para se observar a relação entre a área ocupada por um café de marca (x) e as respectivas vendas semanais (y). Os dados a seguir apresentados foram recolhidos durante doze semanas. Pretende-se agora saber se a correlação entre estas duas variáveis é significativa e, caso o seja, calcular um modelo de previsão de vendas semanais com base nessa relação linear. Área em m (x) Vendas semanais em euros (y) x i i 7 54 x i i 685 y i i 67 y i i x i i y i 96 x 6 (x i x) 7 i y ( y i y) i n ˆρ.874 ŷ x y x Área ocupada (m )vs. vendas semanais ( ) João Lourenço, (Rev. ) 9

92 Intervalos de confiança e testes de hipóteses Podem estabelecer-se intervalos de confiança para as previsões tendo em conta os dados da amostra (ver, por exemplo, Valadares et al., 996). Também podem realizar-se testes estatísticos sobre a adequação do modelo à população que se pretende representar, relativamente aos seus parâmetros ( â e bˆ ) e à capacidade explicativa do modelo. Aqui só se mostra o teste à capacidade explicativa do modelo, que recorre à análise de variância (ANOVA ANalisys Of VAriance). Mas antes de o fazer, considere-se o seguinte: y 7 d n 6 d t d e x Desvios totais e explicados pela regressão Supondo que se teria de prever o valor de vendas semanais (y) de um café de marca sem se saber o valor da área ocupada (x) por este. Neste caso a melhor estimativa seria a média dos valores de vendas semanais (y), o que levaria a um erro de estimação de y i y. No entanto relativamente à recta já ajustada o erro que se obteria seria de yi yˆ i. Na figura anterior pode ver-se que, do desvio inicial dt yi y, após a aplicação da regressão ainda subsiste um desvio dn yi yˆ i não explicado pelo modelo, mas há uma parte desse desvio inicial (dada por de dt dn yˆ i y) que foi explicada pela regressão. João Lourenço, (Rev. ) 9

93 Para que o modelo tenha efectiva capacidade explicativa o desvio não explicado (d n ), deverá ser o menor possível e, portanto, d e deverá ser tão próximo de d t quanto for possível. Estas considerações devem ser ampliadas a todos os pares (x i, y i ) da amostra para se obterem medidas de síntese, mas para que os desvios negativos não compensem os positivos deve usar-se o quadrado dos desvios. Surgem assim as seguintes medidas: Variação inicial: ST ( y i y) n i Variação não explicada: SE ( y i yˆ i ) n i Variação explicada: SR ( yˆ i y) n i Estes tipos de variação podem relacionar-se com o coeficiente de correlação através das seguintes expressões: SR ˆρ ST SE ( ˆ ρ ) ST Então o quadrado do coeficiente de correlação (conhecido como coeficiente de determinação) representa a fracção da variação inicial que é explicada SR pela regressão ( ˆρ ). ST Pode então passar-se ao apuramento da Tabela ANOVA e ao teste de adequabilidade ao modelo. João Lourenço, (Rev. ) 9

94 Tabela ANOVA Origem da variação Erro quadrático Regressão SR ( y i y) n i Resíduo SE ( ) n i Graus de liberdade Erro quadrático médio ˆ SR / y i yˆ i n SE / (n ) Total ST ( y i y) n i n Teste de adequabilidade ao modelo de regressão simples H : bˆ (a regressão não é significativa) H : bˆ Teste: f SR ~ F, n SE ( n ) Para o exemplo que se tem vindo a seguir obtém-se a seguinte tabela ANOVA: Graus de Erro quadrático Origem da variação Erro quadrático liberdade médio Regressão SR Resíduo SE Total ST f 86.5 / Como f > F crit F.5,, a hipótese nula é rejeitada, logo o modelo é adequado, ou seja, a variação explicada pelo modelo (regressão) é significativamente mais representativa do que a variação não explicada (resíduo). João Lourenço, (Rev. ) 94

95 Extensão ao modelo de regressão simples: a regressão múltipla Quando existe uma variável (métrica) dependente relacionada com mais do que uma variável (métrica) independente utiliza-se a regressão múltipla. y a + b x + b x + + b n x n O objectivo da regressão múltipla é idêntico ao da regressão simples, ou seja, pretende prever-se o efeito causado na variável dependente considerando as mudanças operadas nas variáveis explicativas. Alguns conceitos chave Coeficiente de correlação (ρ ou r): mede o nível de associação entre a variável dependente e as variáveis independentes; varia entre (relação simétrica perfeita) e (relação perfeita), com a indicar ausência de relação. Coeficiente de correlação parcial: mede o nível de relacionamento entre a variável dependente e uma única variável independente quando os efeitos das outras variáveis independentes no modelo são mantidos constantes. É usado para seleccionar sequencialmente variáveis com o maior poder explicativo incremental, para além das variáveis independentes que já estão incorporadas no modelo de regressão. Coeficiente de determinação (ρ ou R ): mede a proporção da variância da regressão que é explicada pelas variáveis independentes; varia entre e e, quanto maior for este valor maior é a capacidade explicativa do modelo e, consequentemente, melhores serão as previsões. João Lourenço, (Rev. ) 95

96 Coeficiente de determinação ajustado (R ajustado): medida modificada do coeficiente de determinação (R ) que toma em consideração o número de variáveis independentes que integram o modelo. Note-se que enquanto a adição de variáveis independentes faz aumentar sempre o coeficiente de determinação, o coeficiente de determinação ajustado poderá decrescer se as variáveis adicionadas tiverem pouco poder explicativo. Colinearidade: Expressão do relacionamento entre duas (colinearidade) ou mais (multicolinearidade) variáveis independentes. Varia entre e, que indicam respectivamente, colinearidade absoluta e completa ausência de colinearidade. A (multi)colinearidade deve ser evitada. Graus de liberdade: são obtidos subtraindo ao número de observações o número de parâmetros estimados. Se o número de graus de liberdade for reduzido, isso é indicativo de que as previsões efectuadas pelo modelo podem ser pouco generalizáveis (porque foram utilizadas poucas observações para obter o modelo). Se pelo contrário, o número de graus de liberdade for elevado, podemos inferir que as previsões são robustas. Homocedasticidade: quando a variância dos resíduos (ou desvios) se mantém constante quando se aplica uma gama de diferentes valores de predição, os dados são considerados homocedásticos. No caso contrário, diz-se que os dados são heterocedásticos. Outlier: trata-se de uma observação que tem um valor substancialmente diferente do valor da variável dependente quando se utiliza o mesmo valor de predição > deverão ser eliminados, ou não, dependendo do resultado do seu estudo. João Lourenço, (Rev. ) 96

97 Variável muda ( dummy ): variável independente usada para tomar em consideração o efeito que uma variável não-métrica tem na previsão. Por exemplo, pode existir uma variável (x ) que indique que o respondente a um inquérito é do género masculino (x ) ou do género feminino (x ). Estimação stepwise : método para seleccionar variáveis para inclusão no modelo de regressão. O método forward stepwise inicia-se seleccionando a melhor variável independente (a que tem maior poder explicativo), e nos passos subsequentes, são seleccionadas variáveis independentes adicionais com base no poder explicativo incremental que podem adicionar ao modelo (as variáveis independentes são acrescentadas ao modelo desde que os seus coeficientes de correlação parcial sejam estatisticamente significativos). Note-se que as variáveis independentes também podem sair do modelo se o seu poder explicativo baixar para um nível não significativo. No método backward stepwise inicia-se com todas as variáveis incorporadas no modelo de regressão e nos passos subsequentes vão saindo as variáveis que não tiverem poder explicativo incremental. Dada a complexidade e morosidade dos cálculos envolvidos para construir modelos de regressão múltipla é usual recorrer-se a programas especialmente concebidos para esse fim. João Lourenço, (Rev. ) 97

98 Exemplo (adaptado de Hair et al., 995): Pretende estimar-se um modelo de regressão que permita prever o n.º de cartões de crédito (y) em posse de uma família tendo em consideração os dados disponíveis sobre a dimensão do agregado familiar (x ) e do rendimento da família (x ) Família n.º N.º de cartões de crédito (y) Dimensão do agregado familiar (x ) Rendimento da família (x ) Se tomarmos como variável independente somente a dimensão do agregado familiar (x ) e fizermos uma regressão simples obtemos: y x com um R.75 e com um R ajustado.7 Se repetirmos o mesmo processo somente com o rendimento da família (x ) obtemos: y x com um R.69 e com um R ajustado.64 > esta regressão tem menor capacidade explicativa do que a primeira Se utilizarmos as duas variáveis num modelo de regressão múltipla obtemos: y x +.6x com um R.86 e com um R ajustado.8 > esta regressão é a que tem maior capacidade explicativa (apresenta um ganho de. em capacidade explicativa relativamente à melhor das regressões simples) João Lourenço, (Rev. ) 98

99 Medidas de erro para comparação de métodos de previsão Uma das maiores preocupações na avaliação de um método de previsão é a sua precisão. O método mais adequado será aquele que gerar menores desvios em relação à realidade. Todavia para se determinarem os erros têm de se conhecer os valores reais e esses só existem para valores passados. O que é usual fazer-se é confrontar os resultados de previsões efectuadas com os valores históricos conhecidos. Como os erros tendencialmente se anulam, pois uns são positivos e outros são negativos, foram criados indicadores de síntese dos erros de previsão que contornam esse problema. Vejam-se de seguida alguns desses indicadores: n ) Erro absoluto médio: EAM y i yˆ i n ) Erro quadrático médio: EQM ( y i yˆ i ) i n n i ) Desvio padrão do erro: n i ( y yˆ ) i n i No entanto o indicador de precisão mais popular é o EQM. João Lourenço, (Rev. ) 99

100 Métodos não causais: séries cronológicas Série cronológica: é um conjunto ordenado de valores de uma dada variável observados a instantes regulares no tempo (minutos, horas, dias, semanas, etc.) Representa-se por Y t o valor da variável Y no instante t. Numa série cronológica, a variável em estudo só entra em consideração com as suas observações passadas, pelo que só é possível efectuar previsões se estas apresentarem autocorrelação, ou seja, se a observação no instante t, estiver estatisticamente correlacionada com as observações de instantes anteriores (Y t-, Y t-,...). Caso contrário, trata-se de uma série puramente aleatória (ruído branco). Na maioria dos modelos empregues parte-se do princípio que a série é estacionária, ou seja desenvolve-se aleatoriamente no tempo em torno duma média constante mantendo um equilíbrio estável. A estacionaridade deverá ser observada em relação a factores como: variância, média, tendência e sazonalidade. Os coeficientes de correlação com desfasamento de k unidades de tempo são estimados através da seguinte expressão: onde: r n k ( Yt Y )( Yt + k Y ) ( n k) t k n ( Yt Y ) t n número de observações; Y t observação correspondente ao instante t; Y média das observações; n k número de unidades de tempo do desfasamento. João Lourenço, (Rev. )

101 Estes coeficientes de autocorrelação para os diversos valores do desfasamento k são normalmente apresentados num gráfico que se designa por correlograma. O andamento do correlograma dá indicações muito importantes sobre as características da série e constitui um precioso auxiliar na identificação do modelo mais adequado a essas características. Num conjunto de observações completamente aleatórias a autocorrelação entre valores sucessivos será aproximadamente, ou mesmo igual a zero, mas quando ocorrem comportamentos com valores sazonais ou cíclicos fortes encontram-se autocorrelações muito elevadas. Outra medida estatística semelhante à autocorrelação que possui diversas características que auxiliam a detectar os modelos de previsão adequados é designada por autocorrelação parcial. No entanto, o cálculo e análise das autocorrelações parciais são bastante complexas e caem fora do contexto do nosso estudo (para mais informações sobre este tópico ver, por exemplo, Makridakis et al., 989). Método da decomposição clássica Este método identifica e isola os componentes da série, encontra processos de estimar cada um deles e depois agrega os resultados desses componentes para se obter um modelo global (aditivo ou multiplicativo). Pressupõe que a série cronológica engloba quatro componentes Tendência: crescimento ou decrescimento da série; Sazonalidade: flutuação periódica da variável com periodicidade fixa; Ciclicidade: flutuação de médio prazo que afecta a tendência global e sem periodicidade fixa, que só se detecta em séries longas; Componente aleatória: variações de carácter imprevisível. João Lourenço, (Rev. )

102 Modelo aditivo Neste modelo admite-se que os termos da série cronológica resultam da soma de quatro componentes: onde: Y t T t + S t + C t + ε t T t Tendência no instante t S t Sazonalidade no instante t C t Ciclicidade no instante t ε t Componente aleatória no instante t Para se eliminar a sazonalidade e o ruído da série original utiliza-se uma média móvel de comprimento igual ao ciclo sazonal. Deste modo a média móvel centrada fica essencialmente constituída por tendência e componente cíclica, ou seja, M t T t + C t Como a componente cíclica tem carácter irregular (de médio ou longo prazo), os seus valores futuros dificilmente poderão ser previstos por métodos estatísticos, pelo que, para séries que não sejam longas despreza-se a ciclicidade. Para modelar a tendência admite-se que esta componente varia em função de t, isto é T t f(t). A selecção de f(t) deverá resultar da observação da série de médias móveis centradas, podendo ajustar-se uma função polinomial (sendo o modelo linear o mais utilizado), exponencial, logística, etc. Se se observar uma tendência linear poderá-se-á utilizar uma regressão linear simples para efectuar as previsões. João Lourenço, (Rev. )

103 Para isolar a componente sazonal utiliza-se uma série auxiliar dada por X t Y t - M t que incluirá as componentes sazonais e aleatórias. De seguida, como forma de eliminar (ou pelo menos reduzir) o efeito da componente aleatória calculam-se as médias dos valores de X t para cada estação (note-se que, um ciclo sazonal compreende tantas estações quantas o período de tempo abrangido por esse ciclo). A soma dos índices sazonais deverá ser obviamente nula, se tal não ocorrer as estimativas dos índices sazonais deverão ser corrigidas utilizando a seguinte expressão:! S j S j S j D S j j D S j em que S! j e S j são respectivamente a estimativa corrigida do índice sazonal da estação j e a estimativa do índice sazonal j e D a duração do ciclo sazonal. j Após se isolarem e estimarem as diversas componentes, as previsões para períodos futuros são elaboradas pela projecção dessas componentes para os instantes em causa e pela sua agregação utilizando o modelo aditivo (ignorando a componente aleatória que é impossível prever). João Lourenço, (Rev. )

104 Exemplo: O responsável pelo planeamento de produção de uma fábrica de rações para animais, pretende saber as estimativas de vendas de rações especiais de crescimento para frangos para os quatro meses seguintes, tendo em consideração as vendas verificadas ao longo dos últimos 6 meses que se discriminam no quadro abaixo. t Y t Yt t Correlograma (com forte autocorrelação quando k é múltiplo de 4) João Lourenço, (Rev. ) 4