APLICAÇÃO DO TEOREMA DE PITÁGORAS NO CONTROLE DE TRÁFEGO AÉREO

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1 APLICAÇÃO DO TEOREMA DE PITÁGORAS NO CONTROLE DE TRÁFEGO AÉREO Antonio Mandu Amorim Filho 1 manduamaf@gmail.com Resumo Este artigo tem, como propósito, fazer uma apresentação de mais uma aplicação do famoso Teorema de Pitágoras, usando uma abordagem puramente técnica e relativamente simples e objetiva. Trata-se de uma aplicação que mostra a importância deste teorema nas inúmeras áreas do conhecimento. Além disso acredita-se que o tópico abordado neste artigo demonstra uma das mais incríveis e curiosas aplicações. Torna-se importante destacar que todas diretrizes e normas relativas ao tráfego aéreo mundial são estabelecidas pela ICAO (International Civil Aviation Organization), ou OACI (Organização de Aviação Civil Internacional), a qual é uma das organizações pertencentes a ONU, sendo assim a fonte principal do material que deu base ao nosso estudo, juntamente com o DECEA (Departamento de Controle do Espaço Aéreo), órgão da Força Aérea Brasileira, responsável pelo controle de tráfego aéreo no Brasil. Dentro desta perspectiva, o artigo aborda as ondas de rádio em VHF, a curvatura da terra, o princípio do cone invertido e finalmente o alcance para comunicação aeronáutica terra-ar. Palavras chave: Ondas de VHF. Curvatura da Terra. Alcance. Teorema de Pitágoras. 1. Introdução O escopo do nosso estudo está voltado para alguns detalhes e questões fundamentais que fazem parte da tecnologia que envolve as coberturas por ondas de rádio nas comunicações aeronáuticas de voz, utilizada no controle do tráfego aéreo de aeronaves. Neste ponto torna-se importante esclarecer que o controle de tráfego aéreo se insere em uma área específica em termos de tecnologia, possuindo suas peculiaridades em recursos de eletrônica e telecomunicações com um desenvolvimento tecnológico geralmente próprio para este campo de atuação. Usando aspectos técnicos da engenharia, veremos que as comunicações aeronáuticas ocupam uma sub-faixa da faixa de VHF (Very High Frequency), a qual vai de 30 a 300 MHz, dentro do espectro das ondas eletromagnéticas. Esta sub-faixa se estende, mais especificamente, de 118 a 137 MHz, sendo pois, a faixa utilizada para o serviço de comunicação de voz na aviação em todo o mundo, designado como AMS (Aeronautical Mobile Service), conforme norma da ICAO. 1 Acadêmico do Curso de Matemática - Licenciatura da Universidade do Sul de Santa Catarina Campus UnisulVirtual. 1

2 No caso do Brasil, conforme Galluzzi (007), o SMA (Sistema Móvel Aeronáutico) é formado por estações de comunicação-rádio espalhadas por todo o território nacional. Considerando o elevado nível de confiabilidade requerido, esse serviço apoia-se em mais de 380 estações. É necessário observar aqui que muitas definições e conceitos associados ao assunto em questão, como propagação de ondas eletromagnéticas, frequência, antenas e potência não serão abordados ou aprofundados, pois não são focos do presente artigo.. Ondas de Visada Direta É importante saber que o espectro de ondas eletromagnéticas foi dividido em faixas de frequência, as quais buscam separar os grupos das ondas em função das suas características, conforme o Quadro 1. Quadro 1 Espectro das ondas eletromagnéticas Fonte: Acesso em: 19/06/016

3 Dentro deste espectro, o VHF se caracteriza por ser a faixa a partir de onde se iniciam as ondas cuja propagação é visualizada em linha reta, quando a antena transmissora necessita ver a antena receptora. Neste tipo de onda a propagação se dá como um facho de luz, apenas em linha reta e a antena transmissora e receptora devem estar na mesma linha de horizonte (uma antena deve ver a outra). Em outras palavras, quanto mais altas estiverem as antenas, maior o alcance. Apresenta ainda a característica de estar sujeita aos fenômenos de reflexão, difração e absorção em obstáculos (AMORIM, 014). Têm-se torres tão altas quanto possível para erguer as antenas no seu topo. Nas faixas de frequência mais baixas, antes desta faixa, as ondas seguem a superfície da terra como um condutor ou utilizam a camada ionosférica para reflexão, não sendo necessário que uma antena visualize a outra em linha reta. Dentro desta ótica, podemos deduzir que no controle de tráfego aéreo, onde a comunicação se dá em VHF, a primeira condição para que haja a comunicação entre o centro de controle e uma aeronave é a existência do que se chama no jargão de telecomunicações uma linha de visada direta entre a estação em terra e a suposta aeronave, ou seja, geometricamente falando, é necessário a existência de uma suposta linha reta imaginária sem obstáculos permitindo a interligação entre estes dois pontos, conforme mostra a Figura 1. Figura 1 Comunicações aeronáuticas em ondas de visada direta Fonte: Elaboração do autor, A Curvatura da Terra Considerando o formato do globo terrestre, torna-se fácil admitir que em qualquer posição onde estivermos no planeta haverá uma linha de horizonte a qual limita a nossa visão de alcance. Matematicamente, fazendo uma associação com uma esfera ou mesmo com uma circunferência 3

4 (corte da esfera), para simplificar a exposição teórica, esta linha de visada seria representada por uma reta tangenciando o ponto em que se encontra o observador e se perdendo no espaço, ou seja, não contornando a circunferência do planeta. É exatamente dentro deste princípio teórico que analisamos o comportamento das ondas de visada direta nas comunicações. A limitação de alcance pela curvatura da terra é o maior obstáculo nas comunicações em VHF, que precisa de uma linha de visada. Entretanto, no caso do controle de tráfego aéreo, especificamente, devemos lembrar que as aeronaves estão a quilômetros de altitude, possibilitando um alcance maior. As Figuras e 3 exemplificam a situação descrita. Figura A curvatura da Terra e a linha de horizonte nas comunicações aeronáuticas Antena Fonte: Elaboração do autor, 015. Figura 3 A curvatura da Terra e a limitação de alcance nas comunicações aeronáuticas Fonte: Elaboração do autor,

5 4. O Princípio do Cone Invertido Observando as figuras e 3 de forma analítica, poderemos constatar que a aeronave, a uma distância deslocada sobre a superfície do globo com relação à fonte emissora, pode ficar fora da linha de visada para comunicação, por estar em um nível mais baixo. Este princípio em telecomunicações aeronáuticas é conhecido como Cone invertido. Evidentemente, o termo dado é apenas uma analogia simbólica para visualizar que, quanto mais acima se encontra voando a aeronave, mais distante se consegue falar em VHF. A Figura 4 mostra o corte de um cone invertido. Figura 4 Corte do cone invertido para comunicação em VHF ÁREA DE COBERTURA EM VHF (CONE INVERTIDO) SEM COBERTUR A Fonte: Elaboração do autor, O Raio Equivalente da Terra Estudos demonstram que as ondas de rádio em visada direta alcançam uma distância maior do que a linha de horizonte normal. Isto se dá por princípios teóricos de telecomunicações, os quais envolvem o fenômeno da refração, não representando o foco deste trabalho, mas que implicam em considerar que o horizonte da rádio é de fato maior que o horizonte ótico. Tal princípio conduz a um artifício usado para fins de cálculos na estimativa de alcance das ondas de rádio, que é o conceito de raio terrestre equivalente. O raio da Terra equivale a km, porém 5

6 devemos multiplicá-lo por um fator k, que corresponde a 4 3 para obter o raio terrestre equivalente. O método clássico utilizado para levar em consideração os efeitos da refração atmosférica introduz o conceito de raio equivalente da terra. Através deste método, é possível traçar uma superfície sobre a qual a trajetória do raio é uma reta, mantendose as distâncias verticais entre a trajetória e a superfície da terra e as distâncias horizontais em relação às antenas. O raio equivalente da terra é normalmente representado na forma RR ee = kkkk. (CARVALHO p.93) Logo, RR ee = kkkk = (4/3) 6371 = 8494,67 => RR ee 8500 kkkk RR ee =Raio terrestre equivalente RR =Raio terrestre real 5. O Teorema de Pitágoras Poderíamos nos perguntar: O que o alcance das ondas de rádio tem a ver com o raio da Terra? Sabemos pela geometria, que o raio de uma circunferência em qualquer ponto desta, é perpendicular à reta tangente naquele ponto. Com base nesta proposição e considerando a Terra como uma esfera perfeita, podemos estimar o alcance máximo possível c de uma aeronave, em função da altitude b a fim de que haja comunicação, sempre considerando o raio terrestre equivalente RR ee ccccnforme ilustrado na figura 5 e 6. Figura 4 Aplicação do teorema de Pitágoras Alcance considerando o horizonte de rádio igual ao horizonte ótico c = (a+b ) - a 4 4 c = (( a)+b ) -( a ) 3 3 Alcance considerando o horizonte de rádio com o raio equivalente da terra Fonte: Adaptado de Acesso em 19/06/016 6

7 Figura 5 Aplicação do teorema de Pitágoras: valores reais h d1 d H Fonte: Park Air Systems, 005. R = 6371 km Re = 4/3 R 8500 km Como podemos ver na figura 6, o alcance para comunicação com a aeronave equivale a: DD = dd 1 + dd dd 1 = (RR ee + h) RR ee dd = (RR ee + HH) RR ee DD = (RR ee + h) RR ee + (RR ee + HH) RR ee Podemos observar que a fórmula encontrada apresenta duas variáveis, h (altura da antena na torre de comunicação) e H (altitude da aeronave). Por motivos práticos operacionais, a fim de tornar a determinação do alcance mais objetiva, buscou-se definí-la em função apenas da altitude da aeronave, pois na prática a dimensão da altura da antena é desprezível com relação ao raio equivalente da Terra, ou seja, RR ee h, já que as torres de VHF quase nunca ultrapassam 70 metros ou 0,07 km. O mesmo não ocorre com H, que é a altitude da aeronave, pois esta apresenta uma ordem de grandeza relativa mais próxima de RR ee. 7

8 Assim, dd 1 RR ee RR ee 0 DD = dd = (RR ee + HH) RR ee DD = RR ee + RR ee HH + HH RR ee DD = RR ee HH + HH DD = (RR ee + HH)HH DD = ( HH)HH DD = ( HH)HH = ( HH) HH Basicamente, os níveis de voo H vão até no máximo 15 kkkk. Ou seja, HH 15 kkkk. Como , podemos considerar: = DD HH DD HH DD 4, HH DD 4,1 1000HH Ou, DD 4,1 HH, com a altura H em metros. Entretanto, deve-se atentar ao fato de que a resposta será sempre em quilômetros. Vejamos então a seguir um exemplo de uma estimativa de alcance máximo para cobertura de comunicação com uma aeronave a 8,1 km de altitude. HH = mm DD = 4, => DD = 4,1 90 => DD = 370,8 kkkk 6. Considerações Finais O Teorema de Pitágoras sempre foi e será destacado pela sua diversidade de aplicações. Neste sentido, considero que este artigo acrescenta uma interessante aplicação e pode colaborar para enriquecer este universo das suas aplicações práticas. Apesar do material teórico de pesquisa, dentro deste campo de estudo, ser tão específico e singular, podendo ser considerado inclusive, um tanto resumido e escasso, acredito que este artigo tenha cumprido seu objetivo quanto a trazer mais uma especificidade da aplicação do teorema de Pitágoras dentro da modelagem 8

9 matemática e assim, em última análise, venha descortinar novos horizontes no campo universal do conhecimento. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS CARVALHO, Johnderson Nogueira. Propagação em áreas urbanas na faixa de UHF Aplicação ao planejamento de sistemas de TV digital f. Dissertação de Mestrado. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Departamento de Engenharia Elétrica. Rio de Janeiro, 003. AMORIM, Antonio Mandu. Apostila Sistema de comunicação em VHF no Controle de Tráfego Aéreo. Curso TEL017 do DECEA. Força Aérea Brasileira, p. NUNES, Waldir Galluzzi - Maj Eng. O Controle do Espaço Aéreo: Telecomunicações Aeronáuticas. Publicação do Departamento de Controle do Espaço Aéreo DECEA. 1ª edição, 108p. 9