EQUAÇÃO DE TRANSPORTE DE CALOR DE BOLTZMANN E AQUISIÇÃO DE DADOS DIGITAIS 1

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1 EQUAÇÃO DE TRANSPORTE DE CALOR DE BOLTZMANN E AQUISIÇÃO DE DADOS DIGITAIS 1 ELUDKE, E. 2 ; ADORNES, A. G. R. 3 e BOHRER-ADORNES, R. 2 1 Trabalho de Ensino _UFSM 2 LAE - FÍSICA (UFSM), Santa Maria, RS, Brasil 3 Departamento de Física (UFSM), Santa Maria, RS, Brasil ; eludke@hotmail.com; agradornes@gmail.br; radornes@gmail.br. RESUMO Nesse artigo, apresentamos detalhes de construção de ferramentas instrumentais básicas que possibilitam produzir resultados experimentais em estudos de transporte de calor em sistemas termodinâmicos simples, empregando leitura digital das diferenças de temperaturas entre dois sensores tipo termopar. O equipamento descrito possibilita obter medidas quantitativas de perfis de temperatura em condutores de calor de formatos arbitrários, com qualidade suficiente para permitir a análise comparativa com soluções de problemas de valores de contorno a partir da equação de Boltzmann para transferência de calor e a determinação de dados para comparação com a modelagem matemática de sistemas termodinâmicos simples. Palavras-chave: Equação de Boltzmann; Transporte de Calor; Ensino; Aquisição Digital. 1. INTRODUÇÃO Devido a natureza abstrata dos conceitos relevantes sobre a propagação de calor e seus efeitos em corpos materiais, a termodinâmica é uma das áreas da física nas quais os alunos de segundo e terceiro ano de física e química apresentam maiores dificuldades de aprendizado, em universidades brasileiras. Por consequência, surge a necessidade que o professor desenvolva aulas práticas concomitantes as teóricas para que os alunos possam assimilar melhor os conceitos aprendidos, em cuja ocasião surgem os seguintes problemas, dentre inúmeros outros, a dificuldade de obtenção de instrumentos de medida, indisponibilidade de kits de experimentos de termodinâmica para nível universitário no mercado brasileiro, dificuldade de interpretação de dados pela necessidade de sistemas de aquisição de dados de boa reprodutibilidade e efeitos diversos de dissipação de calor sobre a região onde o experimento está sendo realizado, para a vizinhança. 1

2 Em particular, estudos de transferência de calor possibilitam uma rica interação interdisciplinar entre a física e o cálculo diferencial e integral, sendo que diversas geometrias existem em livros-texto como palco da aplicação de equações de transporte como as de Boltzmann e Fourier, em problemas de valores de contorno de transporte de calor (PITTS E SISSOM, 1998) e (ROHSENOV, HARTNETT e CHO, 1998). Nesse contexto, é da nossa opinião que experimentos de termodinâmica na forma de estudos de transferência de calor devem estar presentes mesmo em laboratórios de física básica e oficinas de instrumentação para o ensino em cursos de extensão e atualização para professores de ensino médio e colégios técnicos. Isso se torna um assunto importante na discussão curricular, pela possibilidade de fomentar discussões sobre a interdisciplinaridade entre a matemática e a física, que é de grande relevância dentro dos currículos modernos, mas que, em ensino de termodinâmica, recebe pouca relevância apesar da importância dos conceitos em física e engenharia. Nesse artigo, apresentamos circuitos eletrônicos que podem ser empregados para medidas termodinâmicas de sistemas simples e com condutores de calor de formatos arbitrários como tubos, chapas e blocos, onde a solução de diferenças de temperatura entre dois pontos do condutor, ou em um dado ponto do condutor e sua vizinhança deva ser medida para a comparação com soluções de equações diferenciais com problemas de valores de contorno que são amplamente discutidos em livros didáticos em campos de termodinâmica (INCROPERA ET AL., 2008) e (KREITH, MANGLIK e BOHN, 2010). O exemplo de análise de perda de calor por convecção e gradiente de temperatura em uma barra simples condutora é discutido como proposta inicial de atividades aos alunos, no ambiente de laboratório de ensino de termologia. 2. A CONSTRUÇÃO DO EXPERIMENTO Como discutido anteriormente, em laboratórios de ensino de termologia, experimentos de fixação de conceitos em conteúdos específicos envolvem a análise da propagação de calor em diferentes pontos de um material condutor envolve a comparação de modelos de propagação de energia térmica e a conseqüente diferença de temperatura entre pontos de referência ao longo do material. Nesse contexto, é mais útil desenvolver um sistema de medição de diferenças de temperatura, que possibilita uma maior precisão nas medidas, empregando leitura digital em um display LCD de 16x2 linhas e um microcontrolador PIC 18F4550 que foi escolhido para 2

3 esse projeto por apresentar um bom número de portas conversoras analógico-digitais, saída direta de leitura USB e duas portas RS-232 e a facilidade de gravação do programa de medida e exibição de dados em linguagem assembler, que pode ser obtida a partir de um programa em linguagem ANSI C por meio do programa MPLAB IDE e compilador C18 Lite, que foram empregados nesse projeto com um gravador USB tipo PICKIT2 para programar o microcontrolador. A figura 1 mostra o esquema completo do experimento, destinado a medida da distribuição de temperatura ao longo de uma barra de alumínio tipo vareta de antena de TV de 1 cm de diâmetro e 30 cm de comprimento. No interior de extremidade quente, colocase o elemento resistivo que consiste em um resistor de 2 KΩ e 40 W removido de um antigo ferro de soldar e que permite aquecer a extremidade a temperaturas superiores a 200 C quando conectado diretamente a rede elétrica. Para controlar a temperatura na extremidade quente da barra, a figura 1 também mostra a conexão do elemento aquecedor à rede elétrica usando-se um circuito controlador de disparo de um par DIAC-TRIAC onde o potenciômetro linear de 100KΩ permite regular a temperatura de aquecimento entre graus centígrados na extremidade quente da barra. A outra extremidade da barra é fria por dever estar mantida constante a temperatura ambiente. Essa extremidade do tubo de alumínio foi achatada com um martelo para poder ser presa firmemente a uma morsa de ferro de bancada que está naturalmente a mesma temperatura ambiente. Assim, considerando que a morsa funciona como reservatório térmico frio, verificamos que ela mantém essa extremidade a temperatura ambiente. Um termopar de referencia produz uma diferença de potencial correspondente a temperatura ambiente é fixo a extremidade fria da barra em x = L = 24 cm. Esse termopar produz uma diferença de potencial E r correspondente à temperatura ambiente T 2. O outro termopar sensor é idêntico em características ao termopar de referência, mas é móvel e o aluno pode usá-lo para tocar a barra de metal em diversos pontos x em sua superfície e obter a temperatura T(x), quando a temperatura do resistor de aquecimento for regulada em um valor desejado T 1 pelo ajuste do potenciômetro do circuito de aquecimento. A diferença de potencial do termopar sensor E s é proporcional a temperatura na região da barra onde ele está em contato térmico. Assim, a quantidade E = E s E r que é a diferença de tensões dos termopares produzidas pelo efeito Seebeck é proporcional a 3

4 diferença de temperatura T entre os termopares, mas é menor de 8 mv e não pode ser lida diretamente pelo microcontrolador, requerendo uma amplificação DC. Figura 1: Esquema completo do experimento para medir o perfil de temperatura T(x) ao longo de uma barra condutora de calor. Como sensores de temperatura, empregamos ponteiras de prova modelo TP-01 com termopares tipo K com junções NiCr-NiAg, com capacidade de medição de temperatura na faixa de -50 a 400 C, com uma exatidão de medida na ordem de 2,5 C. Medindo a tensão elétrica Seebeck E em função da temperatura e ajustando E(T) pelo método dos mínimos quadrados, obtivemos a relação linear E(mV) = 0,738+0,0361 T( C) para cada termopar TP-01 utilizado, garantindo a semelhança nas suas qualidades técnicas. As ponteiras TP-01 acompanham multímetros digitais de muito baixo custo como o modelo DT-838 ou similares. Assim, um amplificador operacional TL081 alimentado por uma fonte assimétrica de -9 V e +9V obtida por duas baterias alcalinas amplifica a diferença de potencial dos termopares em cerca de mil vezes (R 2/R 1 = R 4/R 3 = 1000 e V s = G E) com ganho G = (R 2 +R 1)/R 1 sendo disponibilizada no pino 6 de saída na faixa de 0,8 a 4,7 volts, que é convertido em contagens digitais (CD) entre 160 e 920 pelo conversor analógico-digital 4

5 incorporado no microcontrolador, que é diretamente alimentado pela porta USB do microcomputador PC tipo notebook onde está conectado. O programa residente no microcontrolador pode ser modificado para transferir dados via porta USB a um programa leitor no notebook como o MATLAB. Assim, o programa em assembler residente no microcontrolador calcula a diferença de temperatura T entre o termopar sensor T s e o termopar de referência T r através das contagens do conversor ADC na forma:. (1) Nessa expressão, CD 0 é a contagem residual disponível no pino 6 do OP-AMP quando ambos os termopares são imersos em um banho de óleo a temperatura ambiente. Para calibrar essa fórmula de conversão, fizemos testes com termopares imersos em banhos térmicos com óleo aquecido a diferentes temperaturas onde constatamos que CD 0 = 162 quando T r = T s = 26 C, CD s = 757 quando T s = 100 C e CD r = 285 quando T r = 35 C. A fórmula de conversão leva as características da medição diferencial do circuito e as respostas lineares das tensões elétricas dos termopares em função da temperatura. Após programar essa reta de calibração dos termopares e a contagem do conversor ADC diretamente no microcontrolador, podemos medir no mostrador LCD de 16 colunas e 2 linhas tipo HD44780, a diferença de temperatura dos termopares em graus, que é registrada pelos alunos em uma planilha, possibilitando coletar os dados de T(x). 3. O PROBLEMA DA BARRA CONDUTORA DE CALOR Um exemplo laboratorial da aplicação do método consiste em oferecer aos alunos, uma atividade prática de análise da distribuição de temperatura em uma barra condutora de calor cuja extremidade é aquecida a uma temperatura T 1 e a outra extremidade, a temperatura ambiente T 2, cuja solução é bem discutida em livros de fenômeno de transporte (ROHSENOV, HARTNETT e CHO, 1998), (INCROPERA et al., 2008) e (KREITH, MANGLIK e BOHN, 2010). Para interpretar os resultados experimentais, propomos que os alunos construam os experimentos e estimem as soluções por análise das equações diferenciais de transporte, sem a necessidade de resolvê-las com o devido rigor numérico. 5

6 A equação de transferência de calor para uma barra de metal de comprimento L obedece a equação de transferência de Boltzmann unidimensional para determinar T(x, t) (KAVIANY, 2008):, (2) onde é o calor específico do metal, é a sua condutividade térmica e é a densidade do material. A lei de Wiedmann-Frantz relaciona a condutividade térmica k com a condutividade elétrica σ na forma k = σlt mostrando que a condução e calor e eletricidade são grandezas físicas relacionadas entre si. No estado estacionário, a temperatura em qualquer ponto da barra não varia com o tempo e q/ t = 0. Para temperaturas estacionárias e sem fluxo de calor em regiões adjacentes ao corpo, temos uma distribuição linear de temperatura ao longo da barra dada pela equação de Laplace unidimensional:. (3) Que tem como solução (x) = ax+b onde o índice a denota transporte de calor adiabático. Usando as condições de contorno T(0) = T 1 e T(L) = T 2 onde L é o comprimento da barra metálica entre dois limites fixos de temperatura em suas extremidades (T 2 > T 1), temos que:. (4) Se existir uma perda de calor da superfície da barra, a equação para d 2 T / dx 2 deverá conter um termo de perda de calor diretamente proporcional a diferença de temperatura entre a superfície do tubo de alumínio e o ar ambiente, o qual certamente está a uma temperatura T 1, sendo a convecção térmica do ar o principal mecanismo de dissipação de calor na superfície da barra. Nessa simples situação, a equação diferencial será da forma, onde λ = H(T 1 T) é o fator de dissipação convectiva ou Lei de Newton:. (5) 6

7 Cuja solução é uma exponencial na forma T c(x) = (T 2 T 1) exp( λx ), onde λ é uma constante cujo significado físico determina a magnitude do processo da perda de calor por convecção para o meio adjacente a barra, por unidade de comprimento. Uma discussão em grupo da situação experimental possibilita aos alunos concluirem que não é necessário resolver a equação diferencial exata que envolva todos os termos, mas sim considerar uma solução para a distribuição de temperatura T(x) como uma combinação linear entre as soluções dos casos particulares, ou uma média aritmética das soluções T(x) = (T a(x)+t c(x))/2. Com λ = 34,7 m 1, aquecendo a extremidade livre da barra em T 2 = 150 C e T 1 = 22 C medida para a temperatura ambiente do laboratório, calculamos T(x) e superpomos esse modelo aos dados experimentais obtidos (figura 2), onde se pode ver que o termo de troca de calor exponencial predomina em regiões com temperatura maior que cerca de 58 ºC ou a metade da barra mais próxima do resistor enquanto que a condução linear se torna mais importante na porção final da barra onde a temperatura é cerca de duas vezes àquela do ambiente. Figura 2: Distribuição de temperatura ao longo da barra e superposição das soluções da equação de transporte de Boltzmann Desse modo, o aluno consegue entender o fenômeno complexo da transferência de calor e perdas ao ambiente de uma forma crítica e intuitiva, sem a necessidade de recorrer a soluções de equações diferencias de transferência de calor mais complexas, que possibilita 7

8 concluir que perdas por convecção com o ar ocorrem em temperaturas superficiais superiores a 60 C. 4. CONCLUSÕES Nesse artigo, apresentamos e discutimos uma maneira prática de medir diferenças de temperatura para possibilitar a realização de estudos quantitativos em termologia e fenômenos de transporte de calor, onde um circuito de controle de aquecimento de uma barra metálica e um termômetro diferencial com leitura digital são apresentados como instrumentos de boa versatilidade para medidas de transferência de calor em uma barra metálica, sendo uma boa contribuição ao ensino experimental em termologia. A aplicação do método ao estudo de diferenças de temperatura ao longo de uma barra metálica mostra a complexidade de obter soluções analíticas exatas e possibilita avaliar a influência de fatores externos como perdas de calor que podem ser identificadas e discutidas pelos alunos durante a realização do experimento com diversas geometrias. Notamos, ainda, que é possível aplicar a metodologia descrita nesse trabalho para testar experimentalmente soluções de problemas de valores de contorno de fenômeno de transporte que obedecem a equação de transporte de calor de Boltzmann e a lei de Fourier, sendo que as perdas de convecção devem ser computadas nos cálculos quando a temperatura de aquecimento exceder a 60 C. REFERÊNCIAS PITTS, D., SISSOM, L.E., Schaums Outline of Theory and Problems of Heat Transfer, 2 ed. Ed. McGraw-Hill, (1998). ROHSENOV W.M., HARTNETT, J.P., CHO, Y.I., Handbook of Heat Transfer, 3 ed. Ed. McGraw-Hill, p , (1998). INCROPERA, F.P., DEWITT, D.P., BERGNAN, T.L., LAVINE, A.S., Fundamentos da Taransferência de Calor e Massa, 6a. ed., LTC Editora, p e p.73-75,(2008). KREITH, F., MANGLIK R.M., BOHN M.S., Principles of Heat Transfer, 7 ed. Ed. CL- Enginnering Publishers, p , (2010). 8

9 KAVIANY, M., Heat Transfer Physics, Cambridge University Press (2008). 9