o objetivo deste trabalho é mostrar como utilizar o

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1 SMULAÇÃO DE MAGENS DE BAXA RESOLUÇÃO Gerald Jea Fracis Ba * Resum - Neste artig um prcedimet de filtragem é prpst para simular uma imagem de baixa resluçã a partir de uma de alta resluçã. Basead a hipótese de que s sistemas imageadres da atual geraçã a brd de satélites de bservaçã da terra pdem ser represetads pr filtrs lieares cm Fuções de Espalhamet Ptual separáveis e gaussiaas, prcedimet prpst csiste em ecadear filtrs elemetares que têm Fuções de Espalhamet Ptual cm suprte fiit peque. As relações etre s parâmetrs d prcedimet prpst e s parâmetrs ds sistemas imageadres que prduzem as images de baixa e alta resluçã sã derivadas através de um desevlvimet aálg a utilizad para estabelecer algus resultads clássics da Teria das Prbabilidades. Seis exempls umérics sã dads que ilustram cm bter uma imagem MSS (Multisp~ctral Scaer) u SSR (Satélite de Sesriamet Remt) a partir de uma imagem TM (Thematic Mapper). O prcedimet prpst pssui características que permitem sua fácil implemetaçã STM (Sstema de Tratamet de Mages). Abstract - l this paper a filterig prcedure is prpsed t Simulate a lw resluti image frm a high resluti e. Based the assumptis that the preset geerati f imagery systems bard the earth bservati satellites ca be represeted as liear filters havig separable ad gaussia Pit Spread Fuctis, the prpsed prcedure csists i echaiig elemetary filters which have a small, fiite Pit Spread Fucti supprt. The relatiships betwee the parameters f the prpsed prcedure ad the parameters f the imagery systems that prduce the lw ad high resluti images are derived thrugh a similar develpmet t the e used t establish sme classical results i Prbability Thery. Six umerical examples are * stitut de Pesquisas Espaciais (NPE), Departamet de Prce~ saret de images, Av. ds Astrautas, 1758, c.p. 515, 101 Sã Jsé ds Camps, SP. give which illustrated hw t btai a MS~ (Multispectral Scaer) r a SSR ("Satélite de Sesriamet Remt") image frm a TM (Thematic Mapper) image. The prpsed prcedure has features that allws its easy implemetati the STM (Sstema de Tratamet de Mages). 1. NTRODUÇÁO bjetiv deste trabalh é mstrar cm utilizar ecadeamet de filtrs digitais lieares de duas dimesões (D) cm fuçã de espalhamet ptual (FEP) fmita (i.é. cm suprte fiit) para simular uma imagem de baixa resluçã a partir de uma imagem de alta resluçã. O imageadr que prduz a imagem de alta resluçã é chamad aqui de imageadr de alta resluçã e imageadr que prduz a imagem de baixa resluçã é chamad de baixa resluçã. Neste trabalh a imagem simulada de baixa resluçã é supsta ter as mesmas características espectrais que a imagem de alta resluçã. O prblema de simulaçã de images é imprtate em tdas as aplicações de se precisa trabalhar cm images cm resluções diferetes a fim de cmparar impact da mudaça de resluçã em terms visuais u em terms d desempeh ds prcedimets de aálise autmática de images (e.g. a classificaçã autmática). Um exempl bem atual é a simulaçã das images que serã prduzidas pel imageadr a brd d Satélite de Sesriamet Remt (SSR) d futur satélite da missã espacial cmpleta brasileira (MECB). Os especialistas em iterpretaçã de images de sesriamet remt têm um grade iteresse em estudar, 180 SBA: Ctrle & Autmaçã

2 desde já, quat as futuras images d SSR pderã trazer Je ifrmações para seu camp. Para dispr de images SSR, a sluçã prpsta aqui é filtrar images de resluçã mais fia cm as prduzidas pel imageadr "Thematic Mapper" (TM) ds satélites da série LANOSAT u aida d imageadr "Haute Resluti Visible" (HRV) d satélite SpaT, e reamstrar, pel métd d vizih mais próxim, as images filtradas para chegar.à escala rigial d imageadr de baixa resluçã. Para este mesm prblema, utras sluções baseadas em cversã de taxa de amstragem (cf.(crchiere & Rabier, 1983) u (Fseca, 1988» já fram implemetadas (Fseca & Ba, 1989). N etat este trabalh, a precupaçã fi de prpr uma sluçã a prblema da simulaçã que seja de fácil implemetaçã a partir ds recurss atualmete dispíveis a área de prcessamet de images, e em particular pesad us d "Sstema de Tratamet de Mages" (STM) desevlvid pel NPE e já dispível em td Brasil. a prcedimet de filtragem prpst leva em cta as restrições existetes STM que csistem em executar perações de filtragem liear digital 0 cm FEP pssuid um suprte de dimesã míima 3 pr 3 e máxima 7 pr 7. a prblema da reamstragem pel métd d vizih mais próxim ã traz ehuma dificuldade particular; desta frma smete aspect da filtragem é abrdad aqui, e fialmete prblema da simulaçã é vist simplesmete cm um prblema de filtragem. Csiderad que um mdel aprpriad para represetar a geraçã atual de imageadres a brd de satélites de bservaçã da terra é de um filtr liear cm FEP separável e em particular gaussiaa (Fseca, 1988), a idéia que ispiru este trabalh é que ecadeamet de filtrs lieares, aqui chamads elemetares, cm FEPs cm suprte fiit, de dimesã M pr N, pde ser usad a simulaçã das images prduzidas pr estes imageadres. a que susteta esta idéia é uma prpriedade assitótica d prdut de cvluçã que é bem checid ds prbabilistas, sb me de "Terema d Limite Cetral", assim cm a prpriedade d prdut de cvluçã ser fechad em relaçã às fuções gaussiaas. Pr utr lad, a hipótese de separabilidade permite csiderar apeas filtrs elemetares cm FEPs cm suprte de dimesã 1 pr N u M pr 1. Na simulaçã prpsta, s filtrs elemetares ecadeads têm FEPs cm suprte de dimesã 1 pr 3 u 3 pr 1. Assim as FEPs ds filtrs elemetares, u de uma maeira equivalete, as relações ds pess das máscaras ds filtrs elemetares, depedem de um só parâmetr (chamad aqui de ai ) que, pr sua vez, é relaciad - a pass (chamad aqui de Õ ) da grade da imagem rigial de alta resluçã, u pass de digitalizaçã, - a um parâmetr de espalhamet (chamad aqui de.a~ i ) que d'epede das características de resluçã ds imageadres de alta e baixa resluçã as lihas u cluas e - a úmer de vezes (chamad aqui de ) que s filtrs elemetares devem ser aplicads. N capítul, a fórmula descreyed este relaciamet é btida aplicad resultads elemetares da Teria das Prbabilidades. N capítul 3, a relaçã etre FaV ("stateeus Field f View") e s EFaVs ("Effective stateeus Field af View") é examiada cas de um imageadr represetável pr um filtr separável e gaussia. N capítul 4, seis exempls de aplicaçã sã csiderads, que ilustram prcedimet de filtragem para a simulaçã de images d Multispectral Scaer (MSS) ds satélites da série LANDSAT e d SSR da MECB a partir de images d TM.. FUNDAMENTOS TEÓRCOS E ALGORTMO DE FLTRAGEM.1. Ctribuiçã da Teria das Prbabilidades à Teria da Filtragem Sejam Z cjut ds úmers aturais relativs, Z = (., -, - 1, 0,1,, l e R O cjut ds úmers reais. Seja Õ um úmer real psitiv, Õ > O Deta-se pr õz cjut ds úmers re~is d tip Õk, de k pertece a Z, i. é. ÕZ=(XE R:x =Õk,k E Zl Deta-se pr (ÕZl prdut cartesia de õz pr ele mesm. (5Z) pde ser vist cm cjut ds ós de uma grade quadrada ifiita cm pass g(x)=(f*h)(xl= ~ f(ulh(x - ul (x E Al. uea A fim de garatir que g=f quad f é a aplicaçã c state ( f (x) = a, a E R,, para td x E A ), h tem que verificar a cdiçã h (u) = 1 A Õ. Seja A cjut 5Z u (ÕZl e seja f uma aplicaçã de A em R. f represeta um sial discret u uma imagem umérica (cas A=(ÔZ) ). Da peraçã de filtragem liear de f pr um filtr de respsta impulsiva, u de maeira equivalete de Fuçã de Espalhamet Ptual (FEP), h de A em R, resulta um v sial g de A em R dad pela cvluçã de f pr h e detada pr f * h, i. é. u ~ E (1) N cas A=( ÔZl, a FEP h de um filtr verificad a prpriedade (1) pde ser vista cm a distribuiçã de prbabilidade H X de um paraleatóri(p.a.) X real discret, i é X é um par de variáveis aleatórias (v.a.) reais discretas ("simple radm variables" (Lêve, 1955, p.9») relativ~jtete SBA: Ctrle & Autmaçi 181

3 a um' cert experimet aleatóri (, A, p). Assim, resultads da teria das prbabilidades, e em particular s dis resultads dads em seguida, pdem ser aprveitads a área de filtragem liear. Seja h a FEP de A em R de um filtr verificad (1), etã, chamam-se de media d filtr elemet m de R (se' A=5Z ) u R (se A=(5Z) dad pr RESULTADO 1. Sejam Xl', X k'., X p.a. reais discrets relativamete a um mesm experimet (,A, P) e H X suas respectivas distribuições de k prbabilidade. Se s X k (k = 1,, ) sã estcasticamete idepedetes (Parze, 196, p. 5) relativamete a Petã a distribuiçã de prbabilidade da sma ds X k tada pr H X i:' X é dada pr m ~ uh(u) u E A e de variâcia d filtr (se R dada pr 0 = ~ (u - m) h ( u ) ue 5Z A= 5Z ) elemet () (a) H Xl = H *...* H X + +X Xl u de matriz de cvariâcia d filtr (se A =(5Z) ) a Em apêdice, a prva deste resultad é apresetada prque é simples cas, de p.a. real discret e difícil de se ectrar a literatura. N cas de v.a. pssuid desidades, ver pr exempl (Papulis, 1965, p. 189 e p. 44 u Parze, 196, p. 16). Seja ~ a matriz de cvariâcia de um p.a. X = (Xl' X ). Pr defiiçã ~ é dada pr matriz real ~. x dad pr cm a ij a. = J dad pr ~ (u 1 ;u) E (5Z) (b) para i, j =" 1,. Os dis resultads acima pdem ser aplicads a cas d ecadeamet de fltrs lieares. é aversã cetralizada de xj = X j - E X j (r= 1, ) X j ; i. é PROPOSÇÁO 1. Sejam ~ 1 '..., ~ as matrizes de cvariâcias de filtrs lieares cm FEPs h 1,, h de (li Z) em R verificad (1 ), etã a matriz de cvariâcia ~ d filtr resultate d ecadeamet destes filtrs é dada pr cm E desigad a esperaça matemática (lemrad, ~ = ~ ~, E X = f X ( W)P(dW)) RESULTADO. Sejam xl'.. ~.., X k'..., X p.a. reais (ã ecessariamete discrets) relativamete a um mesm experimet (, A,P) e ~ suas respectivas matrizes de cvariâcia. Se s x (k k ~ 1.,... ) sã estcasticamete idepedetes relativamete 'a P, etã a.m.~1riz de cvariâcia da sma ds X k tada pr ~. Xl X é dada pr ~X 1 + +X = ~X 1 + +~X resultad é uma extesã da igualdade de Bieaymé (Lêve, 1955, p. 1). Cm a prva desta extesã é difícil de se ectrar a literatura, ela é dada em apêdice..prova. Pela prpriedade de assciatividade da cvluçã, filtr resultate d ecadeamet de fltrs lieares cm FEPs h 1 ', h ' tem cm FEP a fuçãp h 1 *... * h (prdut de 1 cvluções). Aplicad Resultad 1, esta fuçã pde ser vista cm a distribuiçã de prbabilida-. de da sma de p.a. idepedetes cm matrizes de cvariâcias ~ 1..., ~. Assim, aplicad Resultad, ~ = ~ ~. Características de um filtr digital para a simulaçã Seja B cjut' R u R e seja h a FEP de B em R de um filtr tal que fb h(x.) dx =1. (3) 18 SBA: Ctrle & Autmaçã

4 Cm a seçã.1, chamam-se de media d filtr elemet m de B dad pr utrs terms simular h V * f a partir de h ~"* f.. Para. ist, supha-se que existe um filtr liear cm FEP h F de R em R tal que e de variâcia d filtr (se B = R ) elemet a de R. dad pr Observa-se que h F verifica também para qualquer cea f. (4) a =[ ~(x -m) h(x) dx u de matriz de cvariâcia d filtr (se B =R ) a matriz real ~ x dada pr i.é, pela assciatividade d prdut de cvluçã ~= [a 1 J cm, a ij dad pr para i, j = 1,. Sejam g uma fuçã de R (respectivamete R ) em R e g/fjz (respectivamete g/(fjz)) sua restriçã a cjut fjz (respectivamete (fjz) ). Deta-se pr 'g' a fuçã de fjz (respectivamete em (fjz)' ) defiid pr ir= fjg/fjz Este resultad ã é útil a prática prque h U * f. ã é acessível. Tem-se apeas h~'*"f e a recstruçã de h U * f é dispedisa e em sempre pssível cm se sabe pel terema da amstragem (Rsefeld & Kak, 198, p. 78). Pr utr lad a cvluçã de h F pr h U * f, ã pde ser calculada cm precisã em cmputadr digital. Pr estas razões se faz a seguite hipótese. Seja ~ a relaçã biária "quase igual" defiida pr a~ b ~(~a- bl)/mi(~a,~b)< 8t, de 8t é um cert úmer peque. (respectivamete {;""= fj 9 / ( fj Z)). A fuçã 'g',édita versã digitalizada de g~ ~a h a-pep 'de ----R - em R, d filtr liear represetad ~m imageadr e seja f a fuçã de R em. R represetad a cea bservada pr este imageadr. A cvluçã g de f pr h, detada pr f * h (usa-se aqui mesm símbl * que casá" discret da seçã.1), é dada pr 9 ( x ) = (f *. h ) ( x) =f R'1(u ) h (x - u) d u (x E R ). e represeta a versã brrada da cea vista pel imageadr. Seja 1) pass de digitalizaçã a aquisiçã da cea, etã h"~:f' represeta a imagem prduzida pel imageadr. Sejam h'~'*"f e h~"*"i as duas images prduzidas pr dóis imageadres represetáveis pr filtrs cm FEPs h U e h' v verificad (3) e trabalhad cm mesm pass de digitalizaçã '1). O bjetiv deste trabalh é tetar bter uma ba aprximaçã de' 'h'~"*'f', a partir de 'h'~"*"i, u em HPÓTESE 1. Para,h U,h v' 1) e 8t a sluçã de (4) verifica e dads, h F'. Na expressã dà Hipótese 1 ã se pde ter a igualdade, u seja, &. ã pde ser tã peque quat se queria prque a versã digitalizada da cvluçã de duas fuções ã é igual à cvluçã de suas versões digitalizadas. Seja h uma fuçã de. 1)Z (respectivamete R) em R, ' detam-se pr L (h) e C (h ) as fuções de (fj Z) ~ (respectivamete R ) em R defiidas pr de l::. i é a fuçã delta de Krecker (respectivamete de Dirac) (lai, 1989, p;1). SBA:Ctrle 8& Autmaçã 183

5 As fuções L (h) e C (h) pdem ser vistas cm as FEPs 4e dis fltts que atuam seletivamete a lg de duas direções rtgais. É prátic chamar estes filtrs de respecti, vamete futrs liha e clua defiids pr h. Seja h a FEP de ()Z) (respectivamete R ) em R de um filtr separávei, i.é h é $eparável ' setid de que existem duas fuções h 1 e h de )Z (respectivamete,r,) em. R tais que prpriedade de fechamet da trasfrmada de FeuJier em relaçã às fuções gaussiaas. A expressã (5) idica que uma cdiçã ecessária para h F existir é que qj; ~ C1~j para i = 1,. Seja '(O'~,~) par de variâcias de um fltr separável cm FEF h, deta-se pr... (~, ~) par de.variâcias d ftltr digital cm FEP h Seja ~ a relaçã biária "quase igual" defiida pr para td ' (x l' x) em. ()Z) (respectivamete, R ) u, de uma maeira equivalete, 'pr uma prpriedaqe da cvluçã, de &: é um cert úmer peque. HPÓTESE. Para dads, (0'~1 ' ee, e Bt' escreve-se etã h = (h' 1, h ) 'Observa-se que a matriz de cvariâcia de um ftltr separável é diagal e que's elemets desta diagal sã as variâcias ds filtrs cm FEPs h 1; e h 'Este par, tad (O'~, 0';),é chamad de par de variâcias d fltr separável. A geraçã atual de imageadres para bservaçã da terra pdem ser represetads pr ftltrs separáveis (Fseca, ]988). Pr ist, a9ui h U e h V sã cside~~das separáveis. Em cseqüêcia, h F sluçã de (4) e h F devem ser separáveis. Além da separabilidade, mdel geralmete aceit para represetar cmprtamet espacial da geraçã atual de irriágeadres a brd de sa:télites de bservaçã da terra é de um fltr liear cm FEP h de R em R, gaussiaa (Fseca, 1988) N cas gaussia verifica-se que a Hipótese é satisfeita se, pr exempl, O'F1 e O'F fre",~aires que 1)/ e se Bt fr mair d que 15 /.. ' Fialmete, csidera-se prblema da shulaçã reslvid desde que a Hipótese 1 fr satisfeita. Pela aálise acima, h F 'é etã a versã digitalizada de uma FEP separável e gaussiaa cm par de variâcias dad pr (5). Se a Hipótese fr satisfeita, par de variâcias d filtr cm FEP h F é etã "quase igual" ( setid ~ ) a par de variâcias d fltr cm FEP h F Pr ist, h U e h V sã aqui ~sideradas separáveis e gaussiaas. Em c~qüêcia, h F,a sluçã de (4), deve ser também separável e gaussiaa e cm par de variâcias ( 0'~1 ' 0'~ ) dad pr 1 exp -.3 Sítese d tr para a simulaçã Sejam' h Q1 e h Q duas fuções de 1)Z, em R defiidas da seguite maeira, a partir de dis parâmetrs reais Q1 e. ~ psitivs, se x O se x = ± ) (6a) (0' 0') = (0' - O'U 1, O'v, - O'U ) F1' F V1 (5) se ã ' cm A expressã (5) pde ser btid~ usad resultads relativs à. trasfrmada de Furier e em particular s teremas de. similaridade e de cvluçã (Gdma, 1968, pp. 9 e 10) e a = 1/(1 + a j ) a j /(1 + a j ). (6b) (6c) 184 SBA: Ctrle & Autmaçi

6 Verifica-se que, para j =,,, b j =:aj aj, ha,satisfaz (l), e a variâcia d ftltr cm FEF h a. ' aplicad (a) e bservad que m=o, é dada pr J Assim, a partir de.<8.) e (9), para bter um filtr próxim de ;' F usad ecadeamet de flitrs lihas. e cluas elemetares cm FEPs.L (h a ) e C (h )., par 1 a (a, a )' dev.e ser dad pr 1 hs A figura 1 mstra gráfic de h a. J R b t-~ J t : --'--'-'-'-=&-6-ci- "--' - -""- 6 Figura - Gráfic de h a, (cjut ds pts-) Na seçã aterir, mstru-se que a versã digitalizada h ; de h FEP de um ftltr satisfaz~d (4) seria uma F F ba sluçã para prblema de simulaçã. A sluçã prpsta este trabalh para a sítese d ftltr cm FEP h~ csiste em aprximar este tr através d ecadeamet de ftltrs lihas e cluas elemetares defmids respectivamete pr h'a, é h a de maeira que a FEP d filtr resultate det~da pr h S seja próxima de. Em utras h f palavras h S = (* L (h a» * ( * C ( h a»,, (7) de * h = h *... * h ( -, cvluções). Observa-se que h S é separável. Os filtrs liha e clua elemetares cm FEPs L (h a ) e C (ha) têm cm par de variâcias respectivamete. [11 1) a, + a, ) Pela Prpsiçã par de variâcias filtr cm FEP hs é dad pr l) a, [ ('+a,), (8) Pela Hipótese s pares de variâcias ds filtr~cm FEPs h S e ;' F sã "quase iguais" ( setid E!!) se Além ~, prpriedade de separabilidade de hs pde-se fazer a seguite bservaçã a respeit da frma de hs Seja s a sma de v.a. reais de média ula. Em teria das prbabilidades terema d limite cetral diz que a lei de prbabilidade limite de S (J S quad tede para ifmit é uma lei rmal N(O, 1) (i. é a lei de prbabilidade de uma v.a. gaussiaa de média ula e variâcia uitária) se as v.a. sã idepedetes e ideticamete distribuídas (Leve 1955, p. 74). Em terms de filtragem, ist mstra que qualquer que seja grau de precisã requerid para bter uma FEP para filtr resultate próxima a de.uma gaussiaa, existe um úmer iteir N tàl que qualquer esclha de mair d que N garate grau de precisã. Assim as FEPs d tip * L ( h 1 ), * C (h ) e cseqüetemete hs pdem ser esclhidas tã próximas quat se quiser de uma FEP gaussiaa. Quered trabalhar uicamete cm FEP d tip h S ' dada pr (7) cm sed um iteir qualquer, apresetad um úic máxim lcal ((x,h (x ) ) é máxim lcal se h(x + (O, 1)) h(x - (O,))),h(x+(),O)) e h (x - (1),0» sã meres que h (x», s aj devem ser ecessariamete iferires a 1. Pela expressã (la) ist sigifica que deve verificar a seguite regra (11 ) N cas de um fltr digital D cm FEP h cm suprte fiit, deta-se pr (h) a matriz cujs elemets crrespdem as valres ã uls assumids pr h. (h) é chamada de máscara d filtr. Pr exempl, h a. sed a FEP defiida pr (6) têm-se e (1a), (1b) (9) SBA: Ctrle & Autmaçã 185

7 Sejam h 1 e h duas FEPs cm suprte fiit. O prdut de cvluçã etre máscaras é defiid pr. de as reticêcias sigificam que s elemets restates da matriz deduzem-.se daqueles já idicads pr simetria em relaçã à psiçã d elemet cetral da matriz, Lê à psiçã (,4). Assim, pela assciatividade da cvluçã e a defmiçã d prdut matricial, a partir de (7) e (1), têm-se 3. RELAÇÁO ENTRE FOV E EFOVs DE UM. MAGEADOR N cas a 1 = a (= a),sejam a b = b 1 = b etã (13) simplifica-se Os imageadres istalads a brd de satélites de bservaçã da terra csiderads aqui prduzem elemets de imagem que crrespdem a elemets de cea quadrads, de acrd cm a prjeçã gemétrica ds seus detetres quadrads a superfície da terra. Desiga-se pela variável FOV lad d elemet de cea, e pr (~1' ~) par de distâcias etre dis elemets de cea csecutivs crrespdetes respectivamete às lihas e cluas da imagem u aida par (13) de passs defiid a grade retagular de amstragem. Admitid que estes imageadres pdem ser represetads pr filtrs separáveis e gaussias, é pssível estabelecer uma a e relaçã de prprcialidade etre par de EFOVs e par (~1' ~), '* A (14a) de para s imageadrespssuid as mesmas características de ateuaçã da fuçã de trasferêcia de mdulaçã a metade d seu par de freqüêcias de amstragem (1 / ~l' 1 / ~ ). (14b) N cas de ser um múltipl de 4, Lé =4k, cuj iteresse prátic é ilustrad s exempls 5 e 6 d capítul 4, (14) pde ser decmpst da seguite maeira Sejam h = (h l' h ) a FEP d fltr separável e gaussia represetad. cmprtamet espacial d imageadr e (a~, U~) seu par de variâcias. Seja r a trasfrmada de Furier. Pr defiiçã EFOV relativ à direçã i verifica a expressã k k [h S ] = (* B) * (* B') (l5a) de B é a máscara 3 pr 7 dada pr B = ( * (b a b l) * A e B é a máscara 7 pr 3 traspsta de B. Verifica-se que B é dada pr [b 4 3 3ab 3a b + 3b 4 a 3 b + 6ab 3.. "] B = a.~.' 3a b 3~3b + 3ab 3 a 4 + 6a b... em utrs terms, EFOV é dad pr..,,1-1 EFOV. = (1 '"(h.)1 (1/» ~ ~ de. - 1 ~(h i ) (.) represeta a fuçã iversa de ~(h,) (.). A característica de ateuaçã da fuçã de trasferêcia de mdulaçã a metade da freqüêcia de amstragem, 1 /~.,.., relativa à direçã i, e detad pr 'ri é dada pr (l5b) "('1 = ~(h. )1 (1/~.) 186 SBA: C.trle Sr Autmaçã

8 Pr hipótese, este cas h i exp (1. (1l') 1" é uma fuçã gaussiaa, Lé (1~ Pr exe.mpl, cas d prjet d satélite de recurss aturais si-brasileir CBERS ("Chia- B~azil Earth Resurces Satellite"), as espec'ficações atuais da câmera CCD sã as seguites (CBERS, 1989, seçã03..3.l.1) e e [ 1 1] 1 / u.. Assim, para i = 1,, têm-se as seguites re.lações, a partir Supd válid mdel gaussia, pela expressã (18) etã (EFOV j, EFOV) =(3,99 m, 8,39 m) da defiiçã de E F O V j, Quad a distâcia 8 j é igual a FOV, cm, pr exempl, cas ds imageadres MSS (smete as cluas), TM e SPOT,, para j = 1,,a partir de (18), a seguite relaçã etre FOV e s EFOVs (1. = 1l' 1/ ( 109) 51FOV i a partir da defiiçã de 'Y j, (16) EFOVj =k, FOV (0) cm. k j depeded smete de "rj cm idicad em (19). Jutad (16) e (0) a expressã 'Y j = exp- (1) (17) que será usada s exempls d próxim capítulq, Fialmete, para 109 1/T EFOV j = [ 109 i.é, as cstates k j i = 1,,,a partir de (16) e (17) têm-se ] 1/ 8.. acima sã dadas pr (18) 4. EXEMPLOS DE APLCAÇOES Neste capítul sã apresetads seis exempls de simulaçã. Os úics dads umérics que serã usads sã s valres ds FOVs e ds EFOVs (depis da amstragem) ds imageadres MSS e TM (badas 1 a 4) dads a Tabela 1 (Fseca 1988, pp. 49 e 51). - [ /"r. k. =. 109 A relaçã (19) pde ser ivertida (19) MSS TM FOV 78,3 m 9,97 m EFOV. (liha) 86,1 m é 41,6 m EFOV (clua) 11,47m 45,4 m k... "rj = (1 / ) TABELA 1. Os FOVs e EFOVs (depis da amstragem) ds imageadres MSS e TM (badas 1 a 4). SBA: Ctrle & Autmaçã 187

9 _.0 ~_ Da aplicaçã da fórmula (16) cm s dads da Tabela 1 resultam s seguites valres para s pares de desvís padrões ds filtrs represetad s imageadres MSSe TM (badas 1 a 4) (3,3m,45,5m) Para este exemhl, algritm prpst baseia-se a expressã (13), i.é csiste em ecadear 3 futrs cm a mesma máscara 3 pr 3. Numericamete, algritm escreve-se [0,049 0,31 0,049 [h S ] i 0,051 0,38 0,051 0,049 0,31 0,049 e u a frma de aprximaçã fraciária (15,6 m, 17,0 m = * 000 [ A partir. da.tabela 1 verifica-se que k i, fatr de prprcialidade apareced em (0), vale 1,55 para MSS (k 1 ) 1,39 e 1,51 para TM «(k 1 ' e k respectivamete). Ns exempls a seguir f desiga uma certa cea bservada pels imageadres, Ô desiga pass da grade da imagem u de alta resluçã e Ô pass rigial da grade da imagem V de baixa resluçã (quad esta grade é quadrada), Ô u < Ô v 3.1. EXEMPLO 1.- Simulaçã de uma imagem. a resluçã d MSS a partir de uma imagem a resluçã d TM ( Ô u = 9,97 m ), badas 1 a 4. Aplicad a fórmula (5) cm ati= a~ Mi e a~i = a~ssi Esta última frma é iteressate prque ela s pess da más~ara sã frmat de iteir mer u igual a 999, Lé frmat da implemetaçã atual d STM. 3.. EXEMPLO - Simulaçã.de uma imagem uma resluçã próxim a d MSS ( Ô v = F O V = 90 m, k 1 = k = 1,48 ) a partir de uma imagem.a resluçã d TM (.8u = 3 O m ). Aqui Ô v que represeta a distâcia etre dis elemets de cea csecutivs é esclhida de maeira a ser 3 vezes mair d que Ô u para simplificar ulterirmete uma reduçã de escala pr 3. Aplicad a fórmula (1) (8,9 m, 4,0 m). (49,94 m, 49,94 m), Pela regra (11) (col~ ~ = 3 O m ) deve ser superir a,96. Esclhed =3, pela expressã (lo) (cm Ô = 9,97 m ) aplicad a fórmula (5) cm a Ui 17,0 m (0,11,0,9744) (46,96 m, 46,96 m Assim, a imagem simulada h MSS * f é btida aplicad a imagem TM ~~...~... f fltr cm FEP h dada pr S (7) cm ~ = 3, e (a" Q1 = (0,11, 0,9744). A partir de 6b e6c, Pela regra (11) deve ser superir a 3,675. Esclhed =4, pela expressã (lo) (0,7905, 0,79051 a 1 0,70, a = 0,34 e b 1 = 0,15, b = 0,33. Assim a ima.~~~.~~~~lada h V * f é btida aplicad a imagem TM h TM * f fltr cm FEP h S dada pr 188 SSA: Ctrle Bt Autmaçã

10 (7)cm =4: e (~1' ( ) = (0,7905,0,7905).A partir de 6b e 6c, a 1 a = 0,3875 b 1 = b = 0,306-0,4 ~ 0,3 a b Àssim, a imagem simulada h V * f é btida aplicad a imagem TM h~ ~ ~ f fltr cm FEP h S dada pr (7) cm =3, fj = 9 m partir de 6b e 6c, e (a 1, ( ) = (0,59, 0,59). A Para este exempl, algritm prpst baseia-se a expressã (l4), Lécsiste em ecadear 4 filtrs cm a mesma máscara 3 pr 3. Nl,.lmericamete, algritm escreve-se [hsl = : [::~: 0,09 u a frma de aprximaçã fraciária =:_1 [1: ,1 0,16 0, ,09 ] 0,1 0, EXEMPLO 3 - Simulaçã Jde uma imagem prduzida pr um imageadr cm fj v = F O V =...10 m e k1 = k = 1,47 a partir de uma imagem a resluçã d TM (fj u = 30 m ) - sluçã aprximada rápida -. Aqui s dads d imageadr de baixa resluçã fram esclhids próxims as d SSR da MECB e de maeira a que fj v seja 7 vezes mair d que «5 u para simplificar ulterirmete uma reduçã de escala pr 7. Aplicad a fórmula (1) a == a1 == a 0,46 Para este exempl, algritm prpst baseia-se a expressã (l4), Lé csiste em ecadear 3 fltrs cm a mesma máscara 3 pr 3. Numericamete, algritm escreve-se [ 0,079 0,14 0,116 0,14 u a frma de aprximaçã fraciária == * { 73 0,079 [hsl == j 0, ] ,079 ] 0,14 0, EXEMPLO 4 - Simulaçã de uma imagem a reslu~ã<? d SSR da MECB, Lé cm «5 v == 'fv == 00 m ek 1 k == 1,5, a partir de uma imagem a resluçã d TM ~ sluçã aprximada rápida -. Aplicad a fórmula (1) (1 1 5,91 m, 11 5,91 m), (OV1' 0V) == (11,5 m, 11,5 m, aplicad a fórmula (5) cm 0Ui 17,0 m aplicad a fórmula (5) cm 0Ui 0TM = 1 7,0 m (OF1' 0F) = (114,66 m, 114,66 m) (111 m, 111 m. Pela regra (11) (cm «5 = 90 m, Lé pulad de 3 em 3 s elemets da imagem TM) deve ser superir a,43. Esclhed = 3, pela expressã (10), cm. fj = 90 m,. Pela regra (11) (cm fj == 90 m,lé pulad de 3 em 3 s elemets da imagem TM) deve ser superir a,8. Esclhed = 3, pela expressã (lo), cm «5 == 9 m (0,51 43, 0,5 1 4:3 ) SBA: Ctrle & Autmaçã 189

11 ~ Assim a imagem simulada h S R R * f é btida aplicad a imagem TM 'h~'~";'f filtr cm FEP h S dada pr (7) cm " = 3, li == 9 O m e (a 1, a ) = (0,5143, 0,5143). A partir de 6b e 6c,. (a, 1 a ) = (0,7776, 0,7776) a 0,3913 b = b 1 = b = 0,3043. A partir de 6b e 6c, a b 0,4930 b == 0.,535 Para este exempl, algritm, prpst baseia-se a expres. sã (14), i.é csiste em ecadear 3 filtrs cm a mesma máscara 3 pr 3. Numericamete, algritm escreve-se Para este exempl,levad em cta as restções exist.etes STM em relaçã às dimesões d.suprte ds filtrs imple~etáveis (míima 3 pr 3 e máxima 7 pr 7), a sluçã mais eficiete em term de temp de execuçã baseia-se a expressã (15), i.é csiste em ecadear 6 filtrs cm a máscara B 3 pr 7 e mais 6 filtrs cm a máscara B'7 pr 3. O algritm escreve-se ; [::~::: 0,0643 0,149 0,430 0,149 0,0643 ] 0,149, 0,0643 [hsl = 6 6 (*8)*(*8') cm a seguite expressã umérica para B u a fria de aprximaçã fraciária = [O, , , , [l. 0, , , , L64 * ] u a frma de aprximaçã fraciária 8 = EXEMPLO 5 - Simulaçã de uma imagem prduzida pr um imageadr cm 5 v == F O V = 10m e k 1 = k = 1,47 a partir de uma imagem a resluçã d TM ( 5 u = 30 m ) - sluçã ã aprximada-. Aqui s dads d imageadr de baixa resluçã sã s mesms que Exempl 3, assim (114,66m,114,66m) P~la regra (11), cm 5, == 3 O m, deve ser superir a 1,91. Esclhed..." =4, pela expressã (10), cm li =30 m, [ EXEMPLO 6 - Simulaçã de uma imagem a resluçã d SSR da MECB, i.é cm 8 v = F O V = OO m e k 1 = k_= 1,5 a partir de uma imagem a resluçã d TM (5 u = 3 O m) - sluçã ã aprximada -. Aqui s dads d imageadr de baixa resluçã sã s mesms que Exempl 4, assim (U F l' U F ) = (1 11m, 1 11m). (al' a ) = (0,77 7 6, 0,7 '7 7 6 )... Assim, a imagem simulada h V * f é btida aplicad a imagem TM h~~''';''f filtr cm FEP h S dada pr (7) cm " =4, 5 = 3 O m e Pela regra (11), cm 5 = 30m,.deve ser superir.a 0,53. Esclhed "= 4, pela expressã (10), cm 5=3 O m, (O,6639, 0,663'9)' 190 SBA: Ctrle & Autmaçã

12 ... Assim, a imag:~.~!~~~~da h SRR * fi é btida aplicad pa imagem TM h TM * f filtr cm FEP,h S dada pr (7) cm = 4 lj = 3 O m e (Q1' Q) = (0,6639,0,6639). A partir de 6b e 6c, a a = 0,496 b b 1 = b = 0,85 Para este exempl, algritm prpst baseia-se a expressã (15), i.é csiste em ecadear 6 filtrs cm a máscara B 3 pr 7 e mais 6 filtrs cm a máscara B'7 pr 3. O algritm escreve-se.'? mérit.d prcedimet prpst. Para ist várias ~brdages sã pssíveis. Uma delas seria através d cálcul da distâcia Euclidiaa etre a imagem simulada e a imagem real. A sluçã prpsta aqui para prblema de simulaçã de imagem de'sesriamet remt é aida parcial setid de que ã fram csiderads em s aspects espectrais que pderiam surgir da simulçã de uma bada espectral a partir de um cjut de badas apresetad características espectrais distitas das da bada -a simular, em s aspects de distrções gemétricas devidas a um larg FOV ("Field f View"). Em relaçã a este últim aspect, a sluçã prpst~ reslye apeas prblema da simulaçã a adir. Para reslver prblema da simulaçã fra d adir seria ecessári csiderar uma filtragem adaptativa. cm a seguite expressã umérica para B AP~NDCE 0, , , ,08'406.. ] Prvas ds Resultads 1'e d capítul B F 0, , u a frma de aprximaçã fraciária 0, , r '" ] B = RESULTADO 1. Sejam X 1 ', -X k,..., X p.a.' reais discrets relativamete a um mesm9 experimet (, A, P) e HX suas respectivas distribuições de prbabilidade. Se s )(:(k = 1,..., ) sã estcasticamete idepedetes (Parze, 196, p. 5) relativamete a P etã a distribuiçã de prbabilidade da sma ds x k tada pr,h X X é dada pr H X *... *H 1 X 5. RESULTADO E CONCLUSÃO O prcedimet de simulaçã prpst fi avaliad em (Fseca & Ba, 1989). Nesta referêcia apresetam-se duas técicas de filtragem para simular a resluçã espacial a adir d Satélite de Sesriamet Remt brasileir (SSR). A primeira técica itegra em uma só etapa a filtragem e a reamstragem e usa explicitamete a hipótese gaussiaa; a seguda é precisamete a técica apresetada presete trabalh. Estas duas técicas sã avaliadas através da sua aplicaçã a simulaçã de images MSS e SSR. O resultad das simulações mstraram que prcedimet prpst, apesar de ser basead smete uma aprximaçã gaussiaa, prduz uma imagem de baixa resluçã visulamete muit cmparável tat crri, a imagem prduzida pela primeira técica citada a referêcia acima quat cm a própria imagem real cas d MSS. Para garatir uma razável aprximaçã gaussiaa, acselha-se esclher parâmetr mair u igual a três. Em trabalhs futurs pder-se-iaavaliar quatitativamete PROVA. Basta prvar, resultad para dis p.a.. Para qualquer x ema = (ljz), pela defiiiíçã de distribuiçã de prbabilidade, H X 1 + X (x) == p[ X 1 + X = x], pela defiiçã de p.a. e a decmpsiçã em evets icmpatíveis =P( ~ [x 1 = u)" [x = x-u]) U ea (aqui ~ idica uma uiã de evets icmpatíveis), pela prpriedade de aditividade das prbabilidades, ~ P([X 1 = u] [X = x-u]). uea SBA: Ctrle & Autómaçã 1!)1

13 - pela idepedêcia de x 1 e x ' pela aditividade da esperaça matemática = 1; P [x 1 = u] P [X =x - u], uea E X 11 X 1 -pela defiiçã de distribuiçã de prbabilidade, ] + = 1; H X (uh X (x - ui, u E A 1 pela defiiçã de cvluçã, =(H * X 1 - pela defiiçã de matriz de cvariâcia RESULTADO. Sejam Xl '.~., X k ', X p.a. reais (ã ecessariamete discrets) relativamete a um 1; + Xl 1;X mesm experimet (O, A, P e ~ suas respectivas k matrizes de cvariâcia. Se s x k (k = 1,..., sã estcasticamete idepedetes relativamete a P, etã a. matriz de cvariâcia da sma ds x- k tada pr 1;x X é dada pr AGRADECMENTOS 1;X X 1;X + 1 PROVA. Basta prvar resultad para dis p.a.. Sejam Xl = (X1 l' Xl ) e X = (X l' X ) dis p.a.. Pela defiiçã de matriz de cvariâcia + ~X autr quer agradecer aqui a Leila Maria Garcia Fseca e a Nels Delfi d'avil? Mascarehas d Departamet de Prcessamet de mages d NPE pelas prveitsas trcas de idéias em relaçã a assut deste trabalh assim cm pela cuidadsa leitura que eles fizeram da versã fmal deste artig. ~X X = 1 + REFERÊNCAS [ E(Xll + X 1 1 E(X 11 + X 1 )(X 1 + X 1] E (X 1 + X )( X11 + X 1 E(X 1 + )() pis (X1... X j = Xl j + X j P a r a A idepedêcia etre. s p.a. X 1 idepedêcia etre as v.a. X 11 e X ' X 1 e X 1 e fialmete implica que E X11 X1::;: E X 11 X = E X 1 X 1 = E X1 X = O - Assim, pela -idepedêcia, a expressã acima escreve-se [ - E(X 11 + E (X 1 X 1 1 = 1,. e X implica a X1 ' Xl 1 e X 1 e X. st CBERS - Chia-Brazil Earth Resurces Satellite - (1989). Prelimiary Desig Review, març. CROCHERE, R. R. & RABNER, L. R. (1983). multirate digital sigal" prcessig, Pretice Hall, Eglewd Cliffs. FONSECA, L. M. G. (1988). "Restauraçã e iterplc\çã de images d satélite Ladsat pr mei de técicas de prjet de filtrs FR", Dissertaçã de Mestrad, TA, abril FONSECA, L. M. G. & BANON, G. J. F. (1989). "Duas técicas de filtragem espacial para simular a resluçã espacial a adir d satélite de sesriamet remt brasileir (SSR); Aais d, Simpósi Brasileir de cmputaçã gráfica e prcessamet de images ( SBGRAP), Águas de Lidóia, SP, 6-8 de abril, pp GOODMAN, J. W. (1968). trducti t Furier Qptics, MçGraw Hill, New Yrk. JAN, A.K. (1989). Fudametais f Digital mage Prcessig, Pretice Hall, Eglewd Cliffs. LOEVE,M. (1955). Prbability Thery - Fudatis, Radm Sequeces, D. Va Nstrad, New Yrk. PAPOULS, A. (1965). Prbability, Radm Variables, ad Stchastic Prcesses, McGraw-Hill, New Yrk. PARZEN, E. (196). Stchastic Prcesses, Hlde-Day, Sa Fracisc. ROSENFELD, A. & Kak, A. C. (198). Digital Picture Prcessig, Vlume 1, Academic Press,New Yrk. 19 SBA: Ctrle & Autmaçãd