Capítulo 9.Corrente Eléctrica e Resistência

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1 Capítulo 9.Corrente Eléctrica e Resistência Tópicos do Capítulo 9.1. Corrente Eléctrica 9.2. Resistência e Lei de Ohm 9.3. Supercondutores 9.4. Energia Eléctrica e Potência Até aqui a nossa discussão dos fenómenos eléctricos concentraram-se em cargas em repouso ou no estudo da electrostática. Consideraremos agora as situações que envolvem cargas eléctricas em movimento. O termo corrente eléctrica, ou simplesmente corrente, é usado para descrever o fluxo da carga em alguma região do espaço. A maioria das aplicações práticas electricidade envolve correntes eléctricas. Por exemplo, numa lanterna, as cargas fluem através do filamento da lâmpada depois que o interruptor é ligado. Na maioria das situações comuns, o fluxo de carga ocorre num condutor, tal como um fio de cobre. É também possível, entretanto, que as correntes existam fora de um condutor. Por exemplo, um feixe de electrões num tubo da televisão constitui uma corrente em que a carga flui através do vácuo. Neste capítulo, apresentaremos o resistor como um novo elemento de circuito Corrente Eléctrica Sempre que uma carga está fluindo, diz-se que existe uma corrente. Para definir matematicamente a corrente, suponha que partículas carregadas estão se deslocando perpendicularmente em relação a uma superfície de área A, como na Figura 9.1. É uma área poderia ser a área de secção transversal de um fio, por exemplo. A corrente é definida como a taxa a que a carga eléctrica flui através dessa superfície. Se Q é a quantidade de carga que atravessa essa área no intervalo de tempo t, a corrente média I méd no intervalo de tempo é a razão entre a carga e o intervalo de tempo: I méd Q = (9.1) t Figura 9.1. Cargas em movimento através de uma área A. 131

2 É possível que a taxa a que a carga flui varie com o tempo. Definimos a corrente instantânea I como o limite da expressão precedente à medida que t tende à zero: A unidade SI da corrente é o ampère (A): Q dq I lim = (9.2) t 0 t dt 1 A = 1 C/s (9.3) Isto é, 1 A de corrente é equivalente a 1 C de carga atravessando uma superfície em 1 s. As partículas que fluem através de uma superfície, como na Figura 9.1, podem ser carregadas positiva ou negativamente, ou podemos ter dois ou mais tipos de partículas que se deslocam, com cargas de ambos os sinais no fluxo. Convencionalmente, definimos a direcção da corrente como a direcção do fluxo de carga positiva, independentemente do sinal das partículas carregadas reais em movimento 1. Num condutor comum tal como o cobre, a corrente é fisicamente devida ao movimento dos electrões negativamente carregados. Consequentemente, quando falamos da corrente em tal condutor, a direcção da corrente é oposta à direcção do fluxo dos electrões. Por outro lado, se considerarmos um feixe de protões positivamente carregados num acelerador de partículas, a corrente está na direcção do movimento dos protões. Em alguns casos, gases e electrólitos, por exemplo, a corrente é o resultado do fluxo de partículas carregadas positiva e negativamente. É comum a referência a uma partícula carregada em movimento (positiva ou negativa) como um portador de carga móvel. Por exemplo, os portadores da carga num metal são os electrões. Construiremos agora um modelo estrutural que nos permitirá relacionar a corrente macroscópica ao movimento das partículas carregadas. Considere as partículas idênticas carregadas que se deslocam num condutor cuja área de secção transversal é A (Figura 9.2). Figura 9.2. Uma parte de um condutor cilíndrico uniforme com área de secção transversal A. 1 Mesmo que falemos em direcção de corrente, esta não é um vector. Correntes somam-se algebricamente e não vectorialmente. 132

3 O volume de um elemento do condutor de comprimento x e é V= A x e, onde o subscrito e refere-se ao comprimento do elemento do condutor. Supomos que n representa o número de portadores móveis de carga (N) por unidade de volume (V), n=n/v. Assim o número de portadores no elemento de volume é N=nV=nA x e e a carga móvel Q neste elemento é Q= número de portadores carga por portador = Nq=(nA x e )q onde q é a carga em cada portador 2. Se os portadores se deslocam ao longo do comprimento do condutor e por meio de sua secção transversal com uma velocidade média constante chamada de velocidade de deriva (drift), v d, a distância que percorrem num intervalo de tempo t é x d = v d t. Imagine agora que t é escolhido de tal maneira que, durante esse intervalo de tempo, todos os portadores de carga no elemento do condutor deslocam-se para a direita de uma distância igual ao comprimento do elemento. Nesse caso x d = x e e x e = v d t Na Figura 9.2, esse processo seria equivalente a mover o cilindro mais escuro para a direita por uma distância igual a seu comprimento. Fazendo assim, toda a carga contida no elemento do condutor atravessa a área de secção transversa marcada na Figura 9.2. A quantidade de carga que atravessa essa área é Q = Nq = (na x e )q = (nav d t)q Se dividirmos ambos os lados dessa equação pelo intervalo de tempo t durante o qual ocorre o fluxo de carga, veremos que a corrente no condutor é Q I = = nqvd A (9.4) t A Equação 9.4 relaciona uma corrente I macroscópica medida com a origem microscópica da corrente - a densidade dos portadores de carga n, a carga portador q e a velocidade de deriva, v d. Investiguemos mais a noção da velocidade de deriva. Nós a identificamos como uma velocidade média ao longo do fio, mas os portadores de carga não estão se deslocando de maneira alguma em uma linha recta com velocidade v d. Vamos supor um condutor em que os portadores de carga são electrões livres. Quando não existe uma diferença de potencial através do condutor, esses electrões realizam movimento aleatório similar àquele das moléculas de gás visto anteriormente na teoria cinética (Termodinâmica). Esse movimento aleatório está relacionado à temperatura do condutor. Os electrões sofrem repetidas colisões com os átomos do metal e o resultado é um movimento complicado em ziguezague (Figura 9.4). Quando uma diferença de potencial é aplicada através do condutor, um campo eléctrico é estabelecido no condutor. O campo eléctrico exerce uma força eléctricas obre os electrões. Essa força acelera os electrões e então produz uma corrente. O movimento dos electrões devido à 2 A expressão fluxo de corrente é utilizada vulgarmente, embora estritamente incorrecta, porque a corrente é um fluxo (de carga). Isso é similar à expressão transferência de calor, que também é redundante porque o calor é uma transferência (de energia). Evitaremos essa expressão e falaremos de fluxo de carga. 133

4 força eléctrica sobreposto ao seu movimento aleatório para fornecer uma velocidade média cujo módulo é a velocidade de deriva, v d. A densidade de corrente J no condutor é definida como a corrente por unidade de área. A partir da equação 9.4, obtemos a densidade de corrente onde J tem as unidades do SI ampères por metro quadrado. I J = nqv d (9.5) A Figura 9.4. Uma representação esquemática do movimento em ziguezague de um portador de carga em um condutor. As mudanças de sentido são devidas a colisões com átomos no condutor. Observe que a resultante do movimento dos electrões está na direcção oposta à direcção do campo eléctrico Resistência e Lei de Ohm A velocidade de drift dos electrões num fio com corrente está relacionada com o campo eléctrico no fio - se o campo aumentar, a força eléctrica sobre os electrões é mais forte e a velocidade de drift aumenta. Para um campo uniforme num condutor de secção transversal uniforme, a diferença de potencial no condutor é proporcional ao campo eléctrico ( V E). Assim, quando uma diferença potencial V é aplicada nas extremidades de um condutor metálico, como na Figura 9.5, a corrente observada no condutor é proporcional à tensão aplicada; isto é, I V. Podemos escrever essa proporcionalidade como V = IR, onde a constante de proporcionalidade R é chamada de resistência do condutor. Definimos essa resistência, de acordo com a equação que acabamos de escrever, como a razão entre a tensão no condutor e a corrente que ele transporta: R V (9.6) I A resistência tem a unidade SI de volt por ampère, chamada de ohm (Ω). Assim, uma diferença de potencial de 1V num condutor produz uma corrente de 1 A, a resistência do condutor é 1 Ω. Como um outro exemplo, se um dispositivo eléctrico ligado a uma fonte de 120 V transporta uma corrente de 6.0 A, sua resistência é 20 Ω. 134

5 Figura 9.5. Um condutor uniforme de comprimento l e área de secção transversal A. Uma diferença de potencial V b - V a é mantida no condutor de maneira que existe um campo eléctrico E no condutor, e este campo produz uma corrente I que é proporcional à diferença de potencial. Para muitos materiais, incluindo os metais, experimentos mostram que a resistência é constante para grande parte das tensões aplicadas. Esse comportamento é conhecido como lei de Ohm, em homenagem a Georg Simon Ohm ( ), que foi o primeiro a fazer um estudo sistemático da resistência eléctrica. A lei de Ohm não é uma lei fundamental da natureza, mas uma relação empírica válida somente para determinados materiais e dispositivos, sob uma escala limitada de condições. Os materiais ou os dispositivos que obedecem à lei de Ohm, e portanto, têm uma resistência constante numa vasta escala de tensões, são chamados de óhmicos. Os materiais ou dispositivos que não obedecem à Ohm são chamados de não óhmicos. Figura 9.6. (a) A curva da corrente em função da tensão para um dispositivo óhmico. A curva é linear e a inclinação fornece a resistência do condutor. (b) Uma curva não linear da corrente em função da tensão para um díodo semicondutor. Esse dispositivo não obedece à lei de Ohm. 135

6 Os materiais ou dispositivos óhmicos tem uma relação linear entre a tensão e a corrente numa ampla gama de tensões aplicadas, como mostra a representação gráfica na Figura 9.6a. Os materiais ou dispositivos não óhmicos têm uma relação não linear entre a corrente e a tensão, como mostra a Figura 9.6b. O díodo é um dispositivo semicondutor comum não óhmico, sendo um elemento de circuito que age como uma válvula de sentido único para a corrente. Sua resistência é pequena para correntes num sentido ( V positivo), e grande para correntes no sentido inverso ( V negativo). A maioria dos dispositivos electrónicos modernos, tais como transístores, tem relações não lineares entre a corrente e a tensão. A operação destes dispositivos depende da maneira particular com que violam a lei de Ohm 3. Um resistor é um elemento simples do circuito que fornece uma resistência especificada num circuito eléctrico. O símbolo para um resistor em diagramas de circuito é uma linha em ziguezague Podemos expressar a equação 9.6 na forma V RI (9.7) Essa equação nos diz que a tensão num resistor é o produto da resistência e da corrente no resistor. A resistência de um fio condutor óhmico é proporcional ao seu comprimento e inversamente proporcional à sua área de secção transversal. Assim: l R = ρ (9.8) A onde a constante de proporcionalidade ρ é chamada de resistividade do material que tem as unidades ohm-metro ( Ω m ). Cada material óhmico tem uma resistividade característica, um parâmetro que depende das propriedades do material e da temperatura. Por outro lado, como se pode ver a partir da equação 9.8, a resistência de um condutor depende de seu tamanho e de sua forma, bem como da resistividade do material. O inverso da resistividade é definido como a condutividade σ (σ=1/ρ). Portanto, a resistência de um condutor óhmico pode ser expressa em termos de sua condutividade como R = l σ A (9.9) σ tem a unidade ( Ω m ) A Equação 9.6 não é a lei de Ohm. Essa equação é simplesmente a definição de resistência e fornece uma relação importante entre tensão, corrente e resistência. A lei de Ohm refere-se à relação linear entre corrente e tensão, ( V RI ) e que, a partir da equação 9.6, indica que a resistência é constante, independentemente da tensão aplicada. 136

7 9.3. Supercondutores Para uma classe de metais e de compostos conhecidos como supercondutores, a resistência vai a zero abaixo de uma determinada temperatura crítica T c. O gráfico da temperatura em função da resistência para um supercondutor segue o gráfico de um metal normal em temperaturas acima de T c. Quando a temperatura alcança T c, a resistividade cai repentinamente a zero (Figura 9.7). Esse fenómeno foi descoberto pelo físico holandês Heike Kamerlingh Onnes em 1911 quando trabalhava com mercúrio, que é um supercondutor abaixo de 4.2 K Medidas recentes mostraram que as resistividades dos supercondutores abaixo de T c são menores do que Ω m, que é aproximadamente vezes menor do que a resistividade do cobre e considerada como nula na prática. Figura 9.7. O gráfico à esquerda mostra a resistência em função da temperatura para uma amostra de mercúrio. A resistência cai à zero à T c de 4.2 K para o mercúrio. A Figura à direita mostra um pequeno íman permanente que levita sobre um disco supercondutor. Actualmente, milhares de supercondutores são conhecidos. Metais comuns como o alumínio, o estanho, o chumbo, o zinco e o índio são supercondutores. A Tabela 9.1 lista as temperaturas críticas de diversos supercondutores. O valor de T c é sensível à composição química, à pressão e à estrutura cristalina. É interessante notar que o cobre, a prata e o ouro, que são condutores excelentes à temperatura ambiente, não apresentam supercondutividade. Uma das características verdadeiramente notáveis dos supercondutores é o facto que, uma vez que uma corrente é criada neles, ela persiste sem nenhuma tensão aplicada (porque R = 0). De fato, observou-se que correntes permanentes persistem em espiras supercondutoras por diversos anos sem nenhum decaimento aparente. Um desenvolvimento importante na física, que criou grande excitação na comunidade científica na última parte do século XX, foi a descoberta de supercondutores de altas temperaturas baseados em óxidos de cobre (até 137 K). Actualmente, não podemos descartar a possibilidade de supercondutividade à temperatura ambiente e a busca por novos materiais supercondutores continua. É uma busca importante por razões científicas uma vez que as aplicações práticas se tornam mais prováveis e difundidas à medida que a temperatura crítica é elevada. 137

8 Tabela Energia Eléctrica e Potência Se uma bateria é usada para criar uma corrente eléctrica num condutor, há uma transformação contínua da energia química na bateria em energia cinética dos electrões e em energia interna no condutor, tendo como consequência um aumento na temperatura do condutor. Figura 9.8. Circuito eléctrico. Em circuitos eléctricos típicos, a energia é transferida de uma fonte, tal como uma bateria, para algum dispositivo, como por exemplo uma lâmpada ou um receptor de rádio. Vamos determinar uma expressão que nos permita calcular a taxa dessa transferência de energia. Em primeiro lugar, considere o circuito simples na Figura 9.8, no qual imaginamos que a energia esteja sendo transferida para um resistor. Como os fios de conexão também têm resistência, parte da energia vai para os fios e parte da 138

9 energia vai para o resistor. Adoptaremos um modelo simplificado em que a resistência dos fios é tão pequena comparada com a resistência do elemento de circuito que desprezaremos a energia transferida para os fios. Analisemos agora a transferência de energia do circuito em que uma bateria é ligada a um resistor de resistência R, como na Figura 9.8. Imagine que seguimos o percurso de uma quantidade positiva da carga Q em torno do circuito a partir do ponto a, passando através da bateria e do resistor, e voltando para a. O ponto a é um ponto de referência no qual o potencial é definido como zero. Identificamos o circuito inteiro como nosso sistema. Quando a carga vai de a para b através da bateria, cuja diferença de potencial é V, a energia potencial eléctrica (U) do sistema aumenta em Q V e a energia química na bateria diminui na mesma quantidade. Contudo, quando a carga se desloca de c para d através do resistor, o sistema perde essa energia potencial eléctrica durante as colisões com os átomos no resistor. Nesse processo, a energia é transformada em energia interna correspondente ao aumento do movimento vibracional dos átomos no resistor. Como desprezamos a resistência dos fios de ligação, nenhuma transformação de energia ocorre nos trechos bc e da. Quando a carga retoma ao ponto a, o resultado líquido é que parte da energia química na bateria foi para o resistor e permanece nele como energia interna associada com a vibração molecular. O resistor está normalmente em contacto com o ar, de modo que o aumento da sua temperatura resulta em transferência de energia pelo calor para o ar. Além disso a radiação térmica ocorre a partir do resistor, representando um outro meio de perda de energia. Depois de passado algum tempo, o resistor permanece a uma temperatura constante, quando a entrada da energia proveniente da bateria é equilibrada pela saída da energia pelo calor e pela radiação. Alguns dispositivos eléctricos incluem dissipadores de calor conectados em algumas partes do circuito para impedir que estas alcancem temperaturas perigosamente altas. Esses dispositivos são constituídos por partes metálicas com muitas aletas. A condutividade térmica elevada do metal fornece transferência rápida da energia pelo calor para longe da componente quente e as várias aletas fornecem uma grande área de contacto com o ar, de modo que a energia possa ser transferida pela radiação e para o ar pelo calor rapidamente. Consideremos agora a taxa a que o sistema perde energia potencial eléctrica quando a carga Q atravessa o resistor: onde I é a corrente no circuito. Naturalmente, o sistema recobra essa energia potencial quando a carga atravessa a bateria, à custa da energia química da bateria. A taxa a que o sistema perde energia potencial quando a carga atravessa o resistor é igual à taxa a que o sistema ganha energia interna no resistor. Assim, a potência P representando a taxa a que a energia é fornecida para o resistor, é dada por P = I V (9.10) Desenvolvemos esse resultado considerando uma bateria fornecendo energia para um resistor. Entretanto, a equação 9.10 pode ser usada para determinar a potência transferida de uma fonte de tensão para qualquer dispositivo que transporta uma corrente I e tem uma diferença de potencial V entre seus terminais. 139

10 Usando a equação 9.10 e o fato de que V = IR para um resistor, podemos expressar a potência entregue ao resistor de outras formas ( V ) 2 P = I R = (9.11) R 2 A unidade SI de potência é o watt que corresponde a J/s. A potência fornecida a um condutor de resistência R é frequentemente chamada de uma perda I 2 R. 140