FUNDAMENTOS SOBRE RUÍDOS PARTE I DENSIDADE ESPECTRAL DE POTÊNCIA

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1 FUNDAMENTOS SOBRE RUÍDOS PARTE I DENSIDADE ESPECTRAL DE POTÊNCIA Sidnei Noceti Filho, D.Sc., Proessor Titular do Departamento de Engenharia Elétrica da UFSC.. INTRODUÇÃO Neste artigo, dividido em quatro partes, são apresentados os undamentos sobre os ruídos branco e rosa, de grande interesse para a síntese da ala, de inúmeros sons da natureza e de sons de instrumentos musicais. Também são úteis para a calibração de equipamentos eletrônicos, como sinais de teste, e nas medidas das características de iltros, ampliicadores e sistemas de áudio eletroacústicos. Nesta primeira parte, iremos ver algumas deinições básicas, necessárias para o entendimento dos ruídos. Em adição, é mostrado o caráter natural da variação percentual das reqüências na aixa de áudio. Uma das ormas possíveis de caracterizar os sinais é classiicá-los em determinísticos e aleatórios (estocásticos ou randômicos). Estes sinais podem ser deinidos de duas ormas: i) Sinais determinísticos são aqueles cujos valores instantâneos das ormas de onda podem ser preditos no tempo e aleatórios, não. ii) Sinais determinísticos são sinais que podem ser expressos por uma unção matemática e os aleatórios, não. A primeira deinição parece a mais apropriada pela seguinte razão: suponha que um lautista emita um tom puro por uma emissora de rádio e que o sinal seja captado por um receptor. O sinal recebido pode ser representado por uma expressão matemática que inclui senóides multiplicadas por exponenciais. De acordo com a segunda deinição, este seria um sinal determinístico, mas somente depois de recebido é que poderia ser expresso por uma unção matemática. No entanto, em sua essência, ele é um sinal aleatório, uma vez que não poderia ser predito. O lautista poderia tocar a nota que bem quisesse. Excetuando-se os sinais usados para avaliações e testes; os sinais de som, imagens e dados são aleatórios (se ossem determinísticos, não haveria a necessidade de transmiti-los). Por isso, a sua grande importância. Uma outra orma de caracterizar os sinais é classiicá-los em sinais de energia e sinais de potência. Os sinais de energia são os que possuem potência média igual a zero como, por exemplo, os sinais transitórios. Os sinais de potência são os que possuem energia ininita, porém com uma potência média inita, tendo como exemplos os ruídos e os sinais periódicos. De orma bem simpliicada, poderíamos dizer que um sinal de potência poderia, por exemplo, manter uma lâmpada acesa. Os sinais de potência teoricamente são eternos. Começaram a existir em um tempo ininitamente remoto, e nunca se extinguirão. Os sinais de energia seriam capazes de acender uma lâmpada somente por alguns instantes. Associados aos sinais, são deinidas duas importantes grandezas: uma para sinais de energia, a Densidade Espectral de Energia e outra para os sinais de potência, a Densidade Espectral de Potência Sx ( ω ). Como os ruídos, enoque deste artigo, são sinais de potência aleatórios, vamos nos restringir ao estudo da Densidade Espectral de Potência.. DENSIDADE ESPECTRAL DE POTÊNCIA A unção Densidade Espectral de Potência ( Sx ( ω ) ou Sx ( ) ) de um sinal x() t deine a densidade de potência por unidade de banda em unção da reqüência (potência média por unidade de banda) deste sinal. A sua unidade é Watt por radiano por segundo ( W/rad/s ) ou Watt por hertz ( W/Hz ). A soma dos produtos (sua integral) de reduzidas bandas pelas amplitudes correspondentes, nos ornece a potência média do sinal.

2 A unção Sx ( ω ) é importante para a medida de sistemas práticos, quer o sinal seja determinístico ou aleatório. Ela contém inormação de magnitude, mas não inormação de ase. Para distintos sinais no tempo, só há uma Sx ( ω ). Entretanto, para uma dada Sx ( ω ), pode haver uma ininidade de unções no tempo, dierindo no espectro de ase. Mas, por que deinir mais esta grandeza ( Sx ( ω ) )? As unções no tempo e suas transormadas de Fourier não são suicientes? Como se sabe, a transormada de Fourier de um sinal no tempo é uma importantíssima erramenta matemática que nos auxilia a interpretar isicamente sinais, assim como analisar e sintetizar sistemas. Vamos supor um sistema estável, linear e invariante (ampliicador, iltro ou sistema eletroacústico) que possui uma resposta em reqüência H ( ω ) (ver Figura ). Sistema estável, linear e invariante x( t) X ω( ) r ( t) R ω( ) h ( t) H( ω ) H( ω ) = H( ω ) e jθ( ω ) Fig. Sistema estável linear e invariante (as setas indicam a origem das unções). Se o sistema é excitado com um sinal x() t, tendo como transormada de Fourier X ( ω ), na saída tem-se um sinal rt () cuja transormada de Fourier, R( ω ), é dada por: R( ω ) = H( ω) X( ω ) A equação acima nos permite determinar, a partir de uma simples multiplicação, o conteúdo espectral de um sinal, desde que sejam conhecidas a transormada de Fourier do sinal de entrada e a resposta em reqüência do sistema H ( ω ). Às vezes o sinal no tempo, mesmo que devidamente observado em um osciloscópio, não nos ornece um sentimento tão grande a seu respeito como seu conteúdo espectral. Além disso, a determinação da resposta rt ( ), a partir da entrada x( t ) e da chamada resposta ao impulso ht ( ), envolve uma operação matemática chamada integral de convolução, cuja solução nem sempre é trivial. rt () = ht () xt () (" " indica convolução) A unção ht ( ) é chamada de resposta ao impulso de um sistema porque a integral de convolução de ht ( ) com a unção impulso δ ( t) (amplitude ininita no tempo zero) é a própria unção ht (). Se x( t) =δ ( t), então: rt () = ht () δ () t = ht () Se pudéssemos excitar o sistema com uma unção impulso, cuja transormada de Fourier é igual a ( F{ δ(t) } = ), então na saída teríamos R( ω ) = H( ω ), ou seja, a resposta do sistema seria a própria unção que desejamos determinar. No entanto, um impulso não é isicamente realizável e, por isso, outros tipos de sinais isicamente realizáveis (ou disponíveis na natureza) são reqüentemente usados quando desejamos azer uma análise, a saber: i) sinais sinusoidais (senos ou cosenos com qualquer ase) ii) ruído branco iii) ruído rosa Vamos voltar à questão: Por que deinir Sx ( ω )? Porque nem todos os sinais têm transormada de Fourier. A existência da transormada de Fourier está condicionada a uma representação do sinal por uma unção matemática. Como alguns sinais de potência não possuem tal representação, utiliza-se a Densidade Espectral como uma orma de caracterizá-los.

3 A Figura ilustra, para sinais de potência, as unções associadas a uma unção determinística e a uma unção aleatória. As setas indicam a origem das unções (transormadas e anti-transormadas). Observe que, no caso de sinais determinísticos, é possível obter a Densidade Espectral de Potência Sx ( ω ) a partir da transormada de Fourier X ( ω ), mas, a partir de Sx ( ω ), não se obtém a unção X ( ω ), isto é, o recíproco não é verdadeiro. No caso de sinais aleatórios, não é possível encontrar uma expressão para x( t ) e, conseqüentemente, para a sua transormada de Fourier X ( ω ). A antitransormada da unção Sx ( ω ) (a unção Rx ( τ ) ) e a unção Densidade de Probabilidade ( N ) serão discutidas na Parte III deste artigo. FUNÇÕES DETERMINÍSTICAS domínio tempo domínio reqüência FUNÇÕES ALEATÓRIAS domínio tempo domínio reqüência xt ( ) X ω( ) ( N), µ, σ R ( τ) S ω( ) R ( τ) x x x x S ω( ) Atenção!! mudou a igura (a) (b) Fig. Funções no tempo e na reqüência: (a) determinísticas e (b) aleatórias. Se um sinal com Densidade Espectral de Potência Sx ( ω ) é aplicado a um sistema linear, invariante no tempo (ampliicador ou iltro, por exemplo), com resposta em reqüência H ( ω ), a Densidade Espectral de Potência (Atenção!! mudou a equação ) Sr ( ω ), na saída do sistema, é: (Atenção!! mudaram as equações ) S ( ω ) = S ( ω) H( ω ) ou r x S ( ) = S ( ) H( ) r x Esta propriedade pode ser usada para dois importantes ins: i) Determinação da magnitude da resposta em reqüência H ( ω ) de um sistema linear e invariante qualquer, desde que se conheça Sx ( ω ) (de um ruído branco, por exemplo) e se meça Sr ( ω ). ii) Determinação da Densidade Espectral Sx ( ω ) de um sinal, desde que se conheça a magnitude da resposta em reqüência H ( ω ) e se meça Sr ( ω ). A unção Densidade Espectral de Potência S ( ) também é comumente expressa nas unidades A/Hz e x V /Hz. Ou seja, também é deinida como potência média por unidade de banda, em um resistor de Ω. Isto se deve ao ato de que alguns sinais de ruído se apresentam na natureza sob a orma de correntes ou tensões. Como, para um resistor de Ω, os valores eicazes de tensão e de corrente são a raiz quadrada positiva da potência média, os ruídos também são apresentados na orma de valor rms de corrente ou valor rms de tensão por raiz de Hertz, nas unidades A/ Hz e V/ Hz, respectivamente.. EXEMPLO DE MEDIÇÃO UTILIZANDO A DENSIDADE ESPECTRAL DE POTÊNCIA

4 4 Vejamos um exemplo: um sinal x() t, com uma Densidade Espectral Sx ( ), é aplicado em um iltro passa-aixa de banda estreita, com reqüência central O, conorme a Figura. (a) x ( t) Filtro passa-aixa de banda estreita r ( t ) Medidor de potência Pr H ( ) Sr ( ) (b) (c) Sx ( ) o - o o - o o Fig. (a) Sistema para a medida da Densidade Espectral de Potência; (b) Magnitude da resposta em reqüência idealizada de um iltro passa-aixa de banda estreita; (c) Densidade Espectral de Potência na saída do iltro. De acordo com a equação que relaciona as densidades espectrais e a resposta em magnitude do iltro, tem-se que Sr( ) Sx( o) na banda estreita, uma vez que nesta banda a magnitude do iltro é unitária. Esse valor é tanto melhor aproximado quanto menor or a banda. Fora da banda, Sr ( ) =. Portanto, a potência média P r será dada aproximadamente por: Assim sendo: P S ( ) r x o Pr Sx( o) Como é conhecida e P r pode ser medida, esta última equação serve de base para a medida da Densidade Espectral de Potência de um sinal. Variando-se o, é possível medir a Densidade Espectral de Potência de um sinal qualquer, aplicado na entrada do iltro, em uma determinada banda de reqüência de interesse. 4. DISCUSSÃO SOBRE VARIAÇÃO DE FREQÜÊNCIAS E FAIXAS DE FREQÜÊNCIAS Esta Seção oge ao escopo do trabalho no que diz respeito ao estudo de ruídos, porém tem como objetivo primordial mostrar o caráter natural da variação percentual das reqüências na aixa de áudio. Em adição, é mostrado porque uma oitava corresponde ao dobro da reqüência. No estudo da utilização de ruído rosa em medidas de sistemas eletroacústicos, será mostrada a conveniência da utilização de bandas de reqüência relacionadas por um ator constante (Partes III e IV deste artigo). No entanto, vejamos primeiramente o caráter natural deste tipo de aumento na escala musical igualmente temperada, também chamada de têmpera uniorme. Devido às características de nossos ouvidos, em uma têmpera ideal, as reqüências subseqüentes a uma reqüência de reerência REF seriam obtidas pelo produto REF ( k/ k) onde k e k são números inteiros. No entanto, isto implicaria em uma quantidade muito grande de notas em uma oitava. Em um teclado (piano acústico ou teclado eletrônico), isto se constituiria em uma impossibilidade prática.

5 5 Se, por exemplo, osse construído um piano com a têmpera ideal, seria constatado que muitas cordas oscilariam em reqüências muito próximas, cujas dierenças só seriam percebidas por músicos ou maestros com ouvido muito apurado. Uma escala prática oi proposta pelo compositor J. S. Bach, a qual apresenta batimentos toleravelmente lentos toda vez que or usada em um acorde. Para alguns poucos músicos com ouvido acima da média, essa escala igualmente temperada sore restrições. Mas ninguém propôs nenhuma outra escala prática que osse melhor sob o ponto de vista de agradar os ouvidos da maioria das pessoas. Na escala proposta por Bach, cada reqüência é K vezes a reqüência anterior onde K = =, , de tal orma que, em uma oitava acima, tem-se uma reqüência vezes maior do que a reqüência da oitava abaixo ( K = ( ) = ). Aliás, alando corretamente, não seriam oito notas acima, porém notas acima. Fisicamente alando, as teclas pretas de um piano (ver Figura 4) não são acidentes musicais. A idéia de um semitom está gravada em nosso cérebro e a sensação é sempre de um aumento igual na reqüência. Mas, na verdade, o que se tem é um aumento percentual constante de 5,946 %. Numa escala logarítmica de reqüência, os intervalos entre os semitons estão igualmente distanciados e esta distância é igual a,586. K K 6 K 8 K K K 4 K 7 K 5 K 9 K K = K Fig. 4 Escala igualmente temperada. log K log = log K = log K =,586 Contra estes atos não existem argumentos. No entanto, para reorçar o caráter natural desta divisão percentual constante, vamos analisar o caso hipotético da nossa escala musical ser composta com aumentos absolutos de reqüência e não relativos. Consideremos, como exemplo, a reqüência undamental do Dó de reqüência mais baixa do piano da escala temperada, baseada no American Standard Pitch que ixa o Lá central do piano em 44 Hz. Por simplicidade, usaremos somente três casas depois da vírgula. A menor reqüência da nota Dó na escala é de C,7 Hz. Em um # semitom acima, tem-se C KC 4,648 Hz. O intervalo de reqüência entre essas duas notas é, portanto, 4, 648, 7 =,944 Hz. Consideremos, agora, uma nota Dó em reqüências mais altas, 8 C9 C 56 C = 87,968 Hz. Dentro do princípio de um aumento absoluto de reqüência para um semitom, teríamos C #'* 9 C9 +,944 Hz 87,9 Hz (o asterisco é para dierenciar do C # 9 correto). Então, em altas reqüências, a dierença percentual seria de apenas, % e não seria percebida pelo cérebro da grande maioria dos seres humanos. Concluindo, um aumento absoluto de reqüências não é natural. O ato da distância entre as notas em uma escala linear não ser constante, mas ser constante em uma escala logarítmica e ser agradável aos seres humanos não diere muito de outros enômenos naturais que normalmente são regidos por equações exponenciais ou logarítmicas. No próximo artigo (Parte II) veremos a deinição de ruídos, as ormas de caracterizá-los e os principais tipos de ruídos existentes.

6 6 FUNDAMENTOS SOBRE RUÍDOS PARTE II DEFINIÇÃO, CARACTERIZAÇÃO E TIPOS DE RUÍDOS Sidnei Noceti Filho, D.Sc., Proessor Titular do Departamento de Engenharia Elétrica da UFSC. 5. RUÍDOS - DEFINIÇÃO Nesta segunda parte veremos a deinição, a caracterização e os principais tipos de ruídos que podem ser encontrados (ou criados). Por deinição, ruídos são quaisquer sinais que têm a capacidade de reduzir a inteligibilidade de uma inormação de som, imagem ou dados. Não ossem os ruídos, um sinal desejado poderia ser ampliicado por uma cascata de ampliicadores e/ou iltros de alto ganho e, então, inormações de reduzidíssima energia poderiam ser detectadas sem problema. Acontece que, quando ampliicamos um sinal, o ruído é também ampliicado. No entanto, os ruídos também têm seu lado útil, pois devido à sua riqueza espectral, alguns tipos de ruídos servem de onte para a síntese da ala, de inúmeros sons da natureza e de sons de instrumentos musicais. Além disso, são úteis para a calibração de equipamentos eletrônicos, como sinais de teste, e nas medidas das características de iltros, ampliicadores, sistemas de áudio eletroacústicos e outros sistemas. Os ruídos não possuem uma expressão matemática no tempo que os deinam, não podendo ser preditos no tempo, nem mesmo depois de detectados, exceto em casos como o ruído de intererência de 6 Hz. No entanto, é possível caracterizá-los no tempo e na reqüência, como veremos mais adiante. O nível de inluência de um ruído nos sistemas eletrônicos é apresentado de várias ormas. Uma das mais importantes é a razão entre a potência do sinal desejado e a potência do ruído ou, simplesmente, razão sinal/ruído (SNR). Uma outra orma é a caracterização de um sistema e não de um sinal, chamada de aixa dinâmica (DR). A DR exprime a razão entre o máximo sinal desejado que o sistema admite e o mínimo sinal desejado detectável, que é o nível do ruído apresentado quando não existe sinal. Essas duas grandezas são geralmente representadas em db. Considerando-se a inormação do ruído, na orma de tensão ou corrente, tem-se: ( SNR) = logsnr DRdB = log DR db Considerando-se a potência da inormação e do ruído, tem-se: ( SNR) = logsnr db Nas partes III e IV deste artigo será dada ênase a dois tipos de ruídos: os chamados ruído branco e o rosa, devido às suas aplicações em síntese e na medida da resposta em reqüência de sistemas. 6. CARACTERIZAÇÃO DE RUÍDOS Os ruídos podem ser caracterizados: i) No tempo: i.a) por suas propriedades estatísticas, ou seja, por sua média µ e seu desvio padrão σ (ou pelo quadrado do desvio padrão (σ ), chamado variância). O valor médio por si só já se deine. O desvio padrão é uma medida do espalhamento de quanto os valores se distanciam da média. Os ruídos se distribuem ao longo do tempo, segundo uma unção chamada Função Densidade de Probabilidade ( N ), como será visto na Seção III, no caso de ruído branco e rosa.

7 7 i.b) por uma unção Rx ( τ ), chamada unção autocorrelação, que é uma medida da regularidade de uma unção. Mais especiicamente, é uma medida da similaridade de um sinal e de sua versão atrasada no tempo. A unção autocorrelação, algumas vezes, é usada para dierenciar uma inormação desejada (som, imagem ou dados) de um ruído. Por exemplo, a amostra de um sinal de ala ou imagem é grandemente correlacionada com uma amostra anterior. Como isto não acontece com os ruídos, essa característica é geralmente usada para tentar eliminá-los. A transormada de Fourier da unção autocorrelação é a Função Densidade Espectral de Potência. ii) No domínio da reqüência através da unção Densidade Espectral de Potência Sx ( ω ) (deinida na Parte I deste artigo), a qual descreve a distribuição de potência do ruído por unidade de banda como unção da reqüência. 7. TIPOS DE RUÍDOS Neste estudo, que não é exaustivo, o ruído de quantização, inerente às conversões analógicodigitais, não será considerado por ugir ao escopo deste trabalho. Além disso, nos dias atuais, ele não se constitui em um sério problema para a maioria das aplicações. Vários são os tipos de ruídos e várias são as ormas de classiicá-los. Aqui, serão classiicados de duas ormas: quanto à sua Densidade Espectral de Potência e quanto à sua origem. Primeiramente, como mostra a Tabela, os ruídos, quanto à orma da Densidade Espectral de Potência, ou conorme a energia se distribui no espectro, podem ser classiicados em 5 grandes grupos:,7 amplitude constante, proporcional a /, proporcional a /, proporcional a / e orma irregular. Tabela Classiicação dos ruídos quanto à orma da Densidade Espectral de Potência Forma da Densidade Nome genérico Exemplo de ruído Espectral de Potência Constante Ruído branco Térmico Proporcional a Ruído rosa ou ruído colorido Flicker Proporcional a Ruído marrom ou ruído vermelho Popcorn Proporcional a,7 Sem nome genérico Ruído galáctico Forma irregular Sem nome genérico Ruído atmosérico Quanto à sua origem, os ruídos, como mostra a Tabela, podem ser classiicados como artiiciais ou naturais. Tabela Classiicação dos ruídos quanto a sua origem Origem Tipos de ruídos Tipos de sinais Artiiciais Ruídos de intererência Aleatórios ou determinísticos Naturais Ruído galáctico Ruído atmosérico Ruídos inerentes a elementos passivos e ativos Aleatórios Os ruídos artiiciais, aqueles involuntariamente provocados pelo homem, chamados ruídos de intererência ou, simplesmente, intererência, resultam de uma interação não desejada entre o mundo

8 8 exterior e os sistemas. Como exemplos de ontes de ruído, têm-se: rede de 6 Hz, ondas eletromagnéticas (rádio, TV, satélite, teleones celulares), comutação de motores, sistemas de ignição, ontes de alimentação comuns e chaveadas, etc. Esses ruídos podem ser signiicativamente reduzidos com o uso de blindagem, iltros supressores e projeto cuidadoso dos sistemas e componentes utilizados. A área da ciência que estuda a habilidade de um sistema eletrônico operar corretamente em um ambiente eletromagnético e a possibilidade deste sistema operar como uma onte de intererência se chama Compatibilidade Eletromagnética (EMC). Os ruídos naturais são aqueles existentes na natureza, ou seja, o homem não é responsável pela sua existência. Dentre eles estão os ruídos galácticos e atmoséricos que aetam principalmente os sistemas de transmissão de ondas eletromagnéticas e entram nos sistemas através das antenas receptoras. Nosso estudo será concentrado apenas nos ruídos naturais inerentes, também chamados intrínsecos, devido à sua aplicação para a medida de sistemas eletroacústicos (ver Tabela ). Esses ruídos estão presentes na maioria dos componentes eletrônicos, passivos e ativos, gerados por elementos de circuito, tais como: resistores, diodos, transistores bipolares, transistores de eeito de campo, etc. Eles não podem ser completamente eliminados, mas podem ter seus eeitos reduzidos por um projeto apropriado dos componentes e dos sistemas, sempre com o intuito de aumentar a SNR db. No caso de sua aplicação em medidas ou síntese de sons, esses ruídos são convenientemente ampliicados, como mostra o exemplo da Figura. Tabela Relação dos mais importantes ruídos inerentes Nome dos Forma da Densidade ruídos Espectral de Potência Componentes ruidosos Térmico Constante Resistores, dispositivos de estado sólido Shot noise Constante Válvulas, dispositivos de estado sólido Flicker Aproximadamente / Dispositivos de estado sólido Popcorn (Burst) Aproximadamente / Dispositivos de estado sólido Geração - Aproximadamente / Dispositivos de estado sólido recombinação Microplasma Aproximadamente / Dispositivos de estado sólido V R BC548 A Ruído Branco Fig. Gerador de ruído branco.

9 9 8. COMENTÁRIOS SOBRE FONTES DE SINAIS PARA MEDIDAS DE SISTEMAS Vários tipos de sinais podem ser usados como onte de sinais para medidas de sistemas, por exemplo, os sistemas eletroacústicos. Analisemos inicialmente uma excitação sinusoidal xt () = Xm cos( ω t+ϕ ), por simplicidade, com amplitude X m = e ase ϕ =. Se um sinal x() t = cos( ω t) é aplicado à entrada de um sistema com j ( ) resposta em reqüência H( ω ) = H( ω ) e θ ω, pode ser mostrado que na saída tem-se: rt () = H ( ω )cos[ ω t+θ( ω )]. A resposta ( ) rt é também um sinal sinusoidal, cuja amplitude e ase na reqüência ω são a magnitude e a ase do sistema nesta reqüência. Se medidas são eitas com um número suicientemente grande de reqüências dierentes, pode-se determinar com razoável precisão a magnitude e a ase do sistema em uma banda desejada. Consideremos agora medidas na aixa de áudio de Hz a khz (aproximadamente oitavas). Alguns sistemas de medição utilizam por exemplo 6 reqüências por oitava. A utilização de ruídos branco e rosa nas medidas das características de sistemas serão discutidas na terceira parte deste artigo. A Tabela 4 resume as características dos sinais empregados na medida de sistemas. Note que o sinal do tipo impulso, cuja transormada de Fourier é igual a em toda a aixa de reqüência, não pode ser utilizado porque não é isicamente realizável.

10 Tabela 4 Características dos sinais empregados nas medidas de sistemas ( ) Sinais Impulso Sinusóide Ruído Branco Forma da unção no tempo para ( t ) δ( t ) x( t ) t t t Forma da unção na reqüência para ( ω ) Bandas ou reqüências de medida F { δ( t) }= SERIA A FUNÇÃO IDEAL PARA MEDIDAS, PORÉM NÃO É FISICAMENTE REALIZÁVEL ω X ( ω) ω S w ( ω ) ω log ω TEORICAMENTE, INFINITAS FREQÜÊNCIAS NA PRÁTICA, 6 FREQÜÊNCIAS POR OITAVA BANDAS DE LARGURA CONSTANTE Ruído Rosa t S p( ω) -db/o log ω BANDAS DE LARGURA VARIÁVEL, POR EXEMPLO (/) DE OITAVA ( ) Na coluna Forma da unção na reqüência, ( ) indica que a orma de onda mostrada corresponde à transormada de Fourier da unção no tempo e ( ) que a orma de onda mostrada corresponde à unção Densidade Espectral de Potência. O ruído branco e o ruído rosa não podem ser expressos por uma unção no tempo e, portanto, não têm transormada de Fourier. Na próxima parte deste artigo (Parte III), veremos as deinições dos ruídos branco e rosa e suas principais características.

11 FUNDAMENTOS SOBRE RUÍDOS PARTE III RUÍDO BRANCO E RUÍDO ROSA Sidnei Noceti Filho, D.Sc., Proessor Titular do Departamento de Engenharia Elétrica da UFSC. 9. RUÍDO BRANCO Nesta terceira parte, veremos as deinições dos ruídos branco e rosa, assim como suas principais características. O ruído branco é por deinição aquele que tem a sua potência distribuída uniormemente no espectro de reqüência, ou seja, Sw( ) = Nw é uma constante. O nome ruído branco advém da analogia com o espectro eletromagnético na aixa de luz. A luz branca contém todas as reqüências do espectro visível, daí o nome adotado. Na natureza, encontramos ruídos com essa característica constante até cerca de. GHz. Para reqüências mais altas, conorme previsto pela teoria quântica, a amplitude do ruído decresce. Os ruídos branco e rosa mais importantes encontrados na natureza têm a propriedade de serem ruídos com distribuição Gaussiana, com valor médio nulo (ruídos com outros tipos de distribuição são artiicialmente produzidos). Se os sinais de ruído são sinais de tensão V (também podem ser sinais de R corrente), signiica que a distribuição desses sinais, a Função Densidade de Probabilidade ( V R ), segue a curva de Gauss dada por: V R ( VR ) e σ = π σ e mostrada na Figura, onde µ ( V R ) =..4.. ( V R ) Probabilidade de ocorrência 99,74% 68,6%. V R -σ -σ -σ σ σ σ Fig. Curva Gaussiana. A área sob a curva indica a probabilidade de ocorrência do sinal no tempo. Por exemplo, a probabilidade da ocorrência de V R estar compreendida entre -σ e +σ é de 68,6%. A probabilidade da ocorrência de V R estar compreendida entre -σ e +σ é de 99,74%, ou seja, praticamente todo o sinal. Pode ser mostrado, para processos ergódicos como é o caso, que o desvio padrão é o valor eicaz da tensão de ruído, V rms. Um processo aleatório é dito ergódico quando suas propriedades estatísticas podem ser determinadas a partir de uma amostra do processo. Assim sendo, o valor eicaz da tensão de ruído pode ser estimado como o valor pico a pico da tensão de ruído (desprezando os picos com poucas probabilidades de ocorrência) dividido por 6. A Figura mostra um exemplo de ruído branco no tempo, onde temos que σ = = V. V rms

12 4 V R (t) σ σ σ =V rms.4. - t -σ V = pp 6V rms - -σ - -σ Fig. Sinal de ruído branco no tempo. -4 Uma das aplicações do ruído branco consiste na síntese de sinais de ala. O aparelho onador humano é um complexo gerador de sons que pode ser modelado por um gerador de pulsos com reqüência e amplitude controláveis (para a geração de vogais, por exemplo) e por um gerador de ruído branco (para a geração de onemas como o // e o /s/, por exemplo), mais um banco de iltros. Este modelo está mostrado, de orma simpliicada, na Figura. Gerador de pulsos (para sons vozeados) Gerador de ruído branco (para sons não vozeados) Filtros Sinal de ala Fig. Modelo simpliicado do aparelho onador.. RUÍDO ROSA O ruído rosa é, por deinição, aquele cuja Densidade Espectral de Potência é proporcional ao N p inverso da reqüência, na orma Sp ( ) =. O nome ruído rosa vem também de uma analogia com o espectro luminoso. A luz vermelha possui a mais baixa reqüência do espectro visível e o ruído rosa tem mais energia nas baixas reqüências. Este tipo de ruído é comumente encontrado na natureza. É chamado por muitos nomes: ruído /, ruído de baixa reqüência, ruído de contato, ruído de excesso, ruído de semicondutor, ruído de corrente e ruído licker. Ele aparece em diodos, transistores em geral, resistores de composição de carbono, microones de carbono em contatos de chaves e relés, etc. Como comentado anteriormente, os ruídos rosa têm a propriedade de serem ruídos com distribuição Gaussiana. Entre todos os ruídos, o ruído rosa é o que mais tem relação com os sons da natureza. Se convenientemente equalizado, pode ser usado para gerar sons de chuva, cachoeira, vento, rio caudaloso e outros sons naturais. Já sabemos que a soma dos produtos de reduzidas bandas ininitesimais pelas amplitudes correspondentes, ou seja, a integral da unção Densidade Espectral de Potência em uma banda B = ( reqüência superior da banda e reqüência inerior da banda ), nos ornece a s i s i

13 N p potência média da unção. Então é possível mostrar que, para a Densidade Espectral Sp ( ) =, esta integral nos ornece uma potência média do ruído P p : P ln s p = Np. Vamos determinar agora qual seria a potência média do ruído rosa em uma banda que é K vezes a banda anteriormente considerada ( B = KB = Ks Ki ). i K P = N ln = N ln = P. s s p p p p Ki i Este resultado indica que a potência média do ruído rosa é constante, se as medidas são eitas em bandas que se relacionam com um ator constante. Isso também acontece com o ruído branco, se as medidas são eitas com largura de banda constante. Consideremos o caso de medidas na aixa de áudio, primeiramente com medidas em / de oitava e com reqüências aumentando com ator constante K (ou com um percentual ixo K% = ( K ) % ). Chamando a reqüência inicial da primeira banda de uma oitava qualquer de INI, a reqüência inicial da segunda banda será K INI. A reqüência inicial da terceira banda será K e a reqüência inal será K. Como a reqüência inal de uma oitava é INI, tem-se que: INI K INI INI = INI K = =, 58954, 6. Considerando que, em toda banda de áudio, tem-se i = Hz e s = khz, teríamos cerca de oitavas e portanto um total de bandas de reqüência.. A norma ISO International Standards Organization estabelece reqüências em torno de 5 Hz e 5 khz para i e s, respectivamente. Logo, usualmente, o número de bandas de reqüência é maior do que. Consideremos agora medidas em / de década e com reqüências aumentando com ator constante K '. Chamando a reqüência inicial da primeira banda de uma década qualquer de INI, a reqüência inicial da segunda banda será K' INI. De orma análoga ao desenvolvimento anteriormente eito, tem-se que: K = K ' =, 599, 6 ( ') INI INI Logo, o aumento percentual, ao se atuar em escalas de / de década, é aproximadamente igual à atuação em escalas de / de oitava. Se pensássemos em bandas de largura constante com o intuito de utilizar o ruído branco como o sinal de entrada para as medidas, e tomássemos como base a largura da primeira banda B =,6 = 5, Hz, teríamos um número aproximado de (. ) 5, =.84 bandas! No inal da banda, os acréscimos seriam de aproximadamente (5,.) % =,6 %. Se tomássemos valores de banda constantes ixando em o seu número máximo, teríamos bandas com largura de aproximadamente (. ) = 666 Hz. A variação percentual no início da banda seria de (666 ) % =. %! Na Parte I deste artigo, já havíamos concluído que um aumento absoluto de reqüências não é natural. Agora concluímos que não é conveniente! Na quarta e última parte deste artigo, serão mostrados os princípios básicos e o projeto de uma rede composta por capacitores e resistores, relativos à geração de ruído rosa a partir de ruído branco.

14 4 FUNDAMENTOS SOBRE RUÍDOS PARTE IV GERAÇÃO DE RUÍDO ROSA A PARTIR DE RUÍDO BRANCO Sidnei Noceti Filho, D.Sc., Proessor Titular do Departamento de Engenharia Elétrica da UFSC. Nesta quarta parte, serão mostrados os princípios básicos e o projeto de uma rede composta por capacitores e resistores, relativos à geração de ruído rosa a partir de ruído branco.. GERAÇÃO DE RUÍDO ROSA A PARTIR DO RUÍDO BRANCO Vamos investigar inicialmente o que acontece quando passamos um ruído branco através de um iltro passa-baixa de a ordem, conorme é ilustrado na Figura. Gerador de ruído branco R + + V I (ω) C V O (ω) + + VO (ω) Fig. Aplicação do ruído branco em um iltro passa-baixas de a ordem. A resposta em reqüência H( ω ) = VO( ω) / VI( ω ), encontrada utilizando um simples divisor de tensão, é: VO ( ω) (/ jωc) H ( ω ) = = =. V ( ω) (/ jω C) + R + jωrc I Assim, a magnitude da resposta em reqüência e a magnitude ao quadrado serão, respectivamente: H ( ω ) = = + jω RC + ( ωrc) e H ( ω ) = + ( ωrc ) Se, na aixa de reqüências de interesse, or orçada a condição ( RC) ω, /( RC) H ( ω ) ( ωrc) = ω. A Densidade Espectral na saída do iltro é: S ( ω ) = S ( ω) H( ω ), O w onde a Densidade Espectral do ruído branco é S ( ω ) = N w w. Logo, obtém-se um ruído do tipo /. S O ( RC ) NB ( ω ) = Nw = ω ω

15 5 O iltro passa-baixa de a ordem apresenta uma queda de 6 db/oitava quando ( ω RC) e, com ele, obtém-se ruído /. Então para se obter um ruído rosa com Densidade Espectral / a partir de um ruído branco seria necessário um iltro tal que H ( ω) / ω ou H ( ω) / ω, que apresentaria uma queda de db/oitava. Essa unção não é isicamente realizável na sua orma exata, porém, é possível obter uma boa aproximação em uma determinada aixa de reqüências de interesse. Uma orma de obter uma queda aproximada de db/oitava é projetar um iltro com pólos e zeros reais alternados. Vamos considerar um exemplo simples de utilização de um pólo e um zero real. As conclusões que serão tiradas para esse caso simples podem ser estendidas ao caso de vários pólos e zeros. Se o pólo está muito próximo do zero, a inclinação obtida é muito pequena. No limite, quando o pólo coincidisse com o zero, eles se anulariam e a inclinação seria de db/oitava. Se o zero está muito aastado do pólo, este último seria dominante e a inclinação após o pólo tenderia a 6 db/oitava. Então, ixando a ordem do sistema e as reqüências limite da banda desejada, existe uma relação ótima entre as reqüências dos zeros e dos pólos para a qual a declividade se aproxima ao máximo de - db/oitava. Quanto maior a quantidade de pólos e zeros (convenientemente aastados), maior será a aixa de reqüências na qual se tem a declividade próxima da ideal. A Figura apresenta um exemplo para pólos e zeros e uma relação de. A relação ótima é próxima de,56 quando a quantidade de pólos e zeros é suicientemente grande e a declividade é tomada na média geométrica entre o primeiro pólo e o último zero. Essa airmação pode ser demonstrada com a utilização de processamento numérico, no qual se procura a melhor reta aproximada, usando o critério do mínimo erro médio quadrático (mínima energia do erro). Na Figura, pode ser observado que a curva real que se aproxima da reta (diagrama assintótico) possui declividade aproximada de db/oitava. Note que usando apenas pólos e zeros, e uma relação de, a aixa de reqüências na qual se obtém a aproximação desejada, é relativamente pequena. 4 p -6 db/o 7 db p 4 z -6 db/o p 8 z -6 db/o 5 -db/o z 4 (Hz) Fig. Obtenção de uma queda de db/oitava a partir de pólos e zeros reais alternados. ( ) Diagrama assintótico; ( ) curva real. Quando, por motivos práticos (simplicidade do circuito), ixamos o número máximo de pólos e zeros em uma determinada banda (banda de áudio, por exemplo), a melhor relação entre os pólos e zeros reais deve ser determinada com auxílio de programas de otimização. Na Figura, é apresentado um circuito cuja resposta em reqüência apresenta uma declividade aproximada de db/oitava na aixa de áudio, onde somente 4 pólos e 4 zeros oram utilizados em toda a banda. O melhor aastamento entre os pólos e zeros, nesse caso, assim como a determinação dos componentes da rede, oram obtidos utilizando um programa de otimização, que minimiza o erro médio quadrático. O ganho do ampliicador na saída deve ser calculado em unção da amplitude do ruído branco de entrada e do nível de ruído rosa desejado. Os resistores pertencem a série E-96 ( metal ilm ). Os capacitores devem, preerencialmente, apresentar baixas perdas de polarização do dielétrico (polipropileno ou mica). Os valores dos

16 6 capacitores C e C 4 pertencem a série E-. As capacitâncias de C, e C oram obtidas por associação em paralelo de capacitores da mesma série ( C = (9 + ) nf e C = (8 +, 5) nf ). Gerador de ruído branco + V I (ω) R I + C C C R R R C 4 R 4 R A R B + VO (ruído rosa) (ω) Fig. Aplicação do ruído branco em um iltro passa-baixas para geração de ruído rosa. ( R I = 9, kω, R = 69,8 kω, R =, kω, R = 7, kω, R 4 =,87 kω ) ( C = 5 nf, C = 9,5 nf, C = 6,8 nf, C 4 =, nf ) A Figura 4 apresenta a magnitude da resposta em reqüência da rede da Figura 6. O ampliicador, nesse caso, apresenta ganho unitário ( R = e R = Ω ). A B -6 db db/o -4 (Hz) - Fig. 4 Magnitude da resposta em reqüência da rede da Figura 6 na aixa de aúdio.. CONCLUSÕES GERAIS Nestas quatro partes deste artigo sobre undamentos de ruídos, oram vistas as deinições básicas e algumas ormas de classiicar os sinais em geral e os ruídos. Estes últimos, normalmente aleatórios, são impossíveis de serem totalmente eliminados e, por isto, são motivo de estudos e pesquisas, com o intuito de minimizar seus eeitos. Por outro lado, os ruídos têm um importante papel na síntese de sons e na medida das características de sistemas. Foi mostrada a razão pela qual é usual se azer medidas de sistemas de áudio utilizando ruído rosa ao invés de ruído branco. Foi apresentado um circuito para a geração de ruído rosa a partir de um ruído branco. BIBLIOGRAFIA - H. W. Ott, Noise Reduction Techniques in Electronic Systems, nd ed., John Wiley & Sons, C. D. Motchenbacher and J. A. Connelly, Low-Noise Electronic System Design, John Wiley & Sons, P. R. Gray and R. G. Meyer, Analysis and Design o Analog Integrated Circuits, rd ed., John Wiley & Sons, 99.

17 7 4- K. R. Laker and W. M. C. Sansen, Design o Analog Integrated Circuits and Systems, McGraw- Hill, D. A. Johns and K. Martin, Analog Integrated Circuit Design, John Wiley & Sons, F. R. Connor, Noise, Edward Arnold, L. W. Couch II, Digital and Analog Communication Systems, 4 th ed., Macmillan, A. van der Ziel, Uniied Presentation o / Noise in Electronic Devices: Fundamental / Noise Sources, Proceedings o the IEEE, vol. 76, no., Mar. 988, pp Rane Proessional Audio Reerence, Aug.. Agradecimentos: O autor agradece aos comentários e sugestões dos pesquisadores dos Laboratórios LAFON - Laboratório de Fonética Acústica e do LINSE - Circuitos e Processamento de Sinais, do Departamento de Engenharia Elétrica da UFSC. Também um agradecimento especial é eito ao Mestrando André Luís Dalcastagnê, pelo projeto da rede que permite a obtenção de ruído rosa, e ao Engenheiro Homero Sette, da Eletrônica Selenium S.A., por seus comentários e sugestões, e por propor que este artigo osse escrito.

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