UNIVERSIDADE ESTADUAL DO PARANÁ UNESPAR CAMPUS DE UNIÃO DA VITÓRIA FACULDADE ESTADUAL DE FILOSOFIA, CIÊNCIAS E LETRAS - FAFIUV COLEGIADO DE MATEMÁTICA

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1 0 UNIVERSIDADE ESTADUAL DO PARANÁ UNESPAR CAMPUS DE UNIÃO DA VITÓRIA FACULDADE ESTADUAL DE FILOSOFIA, CIÊNCIAS E LETRAS - FAFIUV COLEGIADO DE MATEMÁTICA VICTOR HUGO GONZALEZ MARTINEZ TEORIA DOS NÚMEROS E O ALGORITMO RSA: UMA PROPOSTA DE ENSINO UNIÃO DA VITÓRIA 2013

2 1 VICTOR HUGO GONZALEZ MARTINEZ TEORIA DOS NÚMEROS E O ALGORITMO RSA: UMA PROPOSTA DE ENSINO Trabalho de Conclusão de Curso apresentado como requisito para a conclusão do curso de Licenciatura em Matemática da Universidade Estadual do Paraná UNESPAR campus de União Da Vitória, Faculdade Estadual De Filosofia, Ciências e Letras FAFIUV, para obtenção do Grau de Licenciado em Matemática. Orientador: Professor Dr. Simão Nicolau Stelmastchuk. UNIÃO DA VITÓRIA 2013

3 Dedico este trabalho ao meu avô, Theófilo Zmijewski. 2

4 3 AGRADECIMENTOS Rendo todos os agradecimentos a Deus, por me guiar e por me dar forças para superar as dificuldades que enfrento, também por possibilitar que eu conclua mais esta jornada de minha vida. Quero agradecer a todos os meu familiares, em especial, minha mãe, Cristina, meu irmão Guto, minha tia Simoni, minha avó Martha e meu tio Wagner, pela paciência, disposição em me ajudar, incentivo e a confiança depositada em mim para realizar as mais diversificadas tarefas. Um agradecimento em especial vai à minha namorada, Juliana, por ter me ajudado e me apoiado nos momentos mais difíceis que passei desde o momento em que a conheci. Agradeço à ela, pelos momentos de alegria que nos foi proporcionado e peço desculpas pelos momentos em que estive ausente e pelos erros que cometi. Agradeço ao meu orientador, Professor Simão, pela paciência, dedicação e disposição para contribuir com sua experiência ao longo de todo este processo. Sei que não pude aprender tudo que ele se propôs nos ensinar nesses três anos lecionando em nossa turma, mas todas seus ensinamentos foram proveitosos para mim. Agradeço também aos professores do Colegiados de Matemática da FAFI, em especial, os professores Celso da Silva e Everton José Goldoni Estevam, que me ajudaram imensamente nessa jornada e conseguiram mudar a minha concepção sobre o que era Matemática e Ensino da Matemática, respectivamente. A todos, meus sinceros agradecimentos.

5 4 v Não há nada mais fácil do que escrever de tal maneira que ninguém entenda; em compensação, nada mais difícil do que expressar pensamentos significativos de modo que todos os compreendam. Arthur Schopenhauer

6 5 RESUMO Em muitas áreas de estudo da Matemática e do Ensino da Matemática, nos deparamos com diversas situações que utilizam ferramentas da Teoria dos Números para serem solucionadas. Está área da Matemática é centrada no conjunto dos Números Inteiros e dispõe de diversas ferramentas. Neste trabalho pretendemos elaborar uma proposta de ensino de diversos conteúdos sobre a Teoria dos Números e por fim, mostrar uma de suas aplicações, o Algoritmo RSA. Primeiramente, é exposto alguns conceito básicos, os quais foram pensados para que o leitor possa ao findar do trabalho compreender o sistema de criptografia RSA. Palavras-Chaves: Matemática, Teoria dos Números e Algoritmo RSA.

7 6 SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO METODOLOGIA DE ENSINO CONCEITOS FUNDAMENTAIS DA TEORIA DE NÚMEROS DIVISIBILIDADE FUNÇÕES PISO E TETO E O ALGORITMO DE EUCLIDES MÁXIMO DIVISOR COMUM MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM CONGRUÊNCIAS RELAÇÕES O ANEL DOS INTEIROS MÓDULO n A FUNÇÃO DE EULER CRIPTOGRAFIA RSA O PROCESSO DE CRIPTOGRAFIA SEGURANÇA DO SISTEMA RSA CONSIDERAÇÕES FINAIS REFERÊNCIAS... 49

8 7 1 INTRODUÇÃO Neste trabalho, pretende-se elaborar uma proposta de ensino do sistema de criptografia RSA, onde será abordado seu funcionamento e segurança. Ao prosseguir com esse estudo percebesse que muitos outros conteúdos matemáticos são necessários para sua compreensão, mais especificamente, uma ementa básica de um curso de Teoria dos Números. Estes elementos deram origem ao tema do Trabalho de Conclusão de Curso, Teoria dos Número e o Algoritmo RSA: Uma Proposta de Ensino. No trabalho, é feita uma Fundamentação Teórica da Metodologia de Ensino que poderá utilizada na exposição dos conceitos. Em seguida, é apresentado uma proposta de ensino sobre Teoria dos Números, onde é abordado apenas alguns conceitos básicos, necessários para compreender o funcionamento do Algoritmo RSA, que será apresentado no próximo capítulo. Este trabalho foi elaborado de modo a servir como base para que o professor possa lecionar um curso curta duração de Teoria dos Números, ou para estudantes que tenham interesse no assunto, por esse motivo, alguns exercícios são propostos. Deve-se levar em consideração que o público alvo são alunos da graduação, 2º ou 3º ano de Licenciatura em Matemática ou 2º ano de um Bacharelado em Matemática. Caso haja necessidades, pode-se consultar o material aqui referenciado, este servirá como complemento para muitos tópicos aqui apresentados. Para a enumeração dos Exemplos, Proposições, Teoremas, etc. Adotaremos a seguinte terminologia, como por exemplo, Teorema 3.3.2, a leitura é feita da direita para a esquerda, é o segundo Teorema da terceira seção do capítulo 3. Mesmo não citando diretamente de quais livros foram retiradas as definições, exemplos, teoremas, estamos nos baseando na literatura aqui referenciada, não tirando seu mérito em hipótese alguma.

9 8 2 METODOLOGIA DE ENSINO O trabalho do professor em sala de aula assumirá característica de aula expositiva. A aula expositiva teve origem na idade média e, sem dúvida ainda é a metodologia mais utilizada pelos professores de Matemática. Ainda que muito criticada, quando utilizada de forma dialogada, ela traz resultados significativos. Uma estratégia que vem sendo adotada é a Aula Expositiva Dialogada, que quebra aquele clima em que o professor é o detentor do saber que será transmitido e faz com que o aluno participe da construção de seu conhecimento. Segundo Anastasiou, Há grandes diferenças entre elas [a aula expositiva e a expositiva dialogada] sendo que a principal é a participação do estudante, que terá suas observações consideradas, analisadas, respeitadas, independentemente da procedência e da pertinência das mesmas, em relação ao assunto tratado. O clima de cordialidade, parceria, respeito e troca são essenciais. O domínio do quadro teórico relacional pelo professor deve ser tal que o fio da meada possa ser interrompido com perguntas, observações, intervenções, sem que o professor perca o controle do processo. Com a participação continua dos estudantes fica garantida a mobilização, e criadas às condições para a construção e a elaboração da síntese do objeto de estudo. (2012, p. 87). Lima e Freitas (2004) destacam que na Aula Expositiva Dialogada o professor atua como um mediador do trabalho em sala de aula, e destacam os quatro momentos que constituem tal Metodologia de Ensino, sendo eles: Momento 1- Explicitação de Ideias Neste primeiro momento o professor levanta questões de caráter subjuntivo sobre o assunto que será abordado, tais como, "Para você o que é o conceito de...?", ou "O que você pensa sobre...?" ou ainda Qual é a primeira associação que você faz com a palavra...?", valoriza as experiências dos alunos para aproximar o conteúdo abordado da realidade. Momento 2 Problematização Neste momento o professor desafia os alunos, propõe questões desafiadoras e situações problema. É o momento em que o aluno tem a oportunidade de lidar com algo que ele ainda não domina com facilidade, fazer conjecturas e levantar hipóteses. Cabe ao professor auxiliar os alunos na superação de dificuldades.

10 9 Momento 3 Construção de Argumentos É o momento em que os alunos irão elaborar argumentos que defendam e justifiquem as ideias levantadas ou propostas na etapa anterior. Momento 4 Formalização Nesta etapa o aluno deverá organizar seus novos conhecimentos. Assim, a Metodologia de Ensino que será adotada nesta proposta de ensino, será a Aula Expositiva Dialoga. Sempre que possível, estaremos delineando um possível caminho que o professor poderá seguir durante a exposição dos conceitos. Também serão elaboradas algumas conjecturas e propostos alguns problemas que a partir de suas soluções, levem o aluno a definição formal do conceito.

11 10 3 CONCEITOS FUNDAMENTAIS DA TEORIA DE NÚMEROS Neste capítulo será elaborada uma proposta de ensino sobre alguns conceitos básicos da Teoria dos Números. Apesar de sua simplicidade, os conceitos aqui abordados são muito importantes, pois, grande parte das ferramentas da Teoria dos Números os utilizam para sua construção. A metodologia de ensino aqui adota será de Aula Expositiva Dialogada, sempre que possível será feita a construção do conceito antes de apresentar sua definição formal em linguagem matemática, para que assim, o aluno possa atribuir significado àquilo que eles está estudando. Os resultados deste capítulo estão baseados, principalmente em [9], [11], [8], [3] e [4], nesta ordem. 3.1 DIVISIBILIDADE O professor pode dar início à aula expondo alguns conceitos de divisibilidade que compõe a parte básica da Teoria dos Números e que serão utilizados em todo o decorrer de seu trabalho nessa disciplina. Definição 3.1.1: Dados dois números inteiros d e a, dizemos que d divide a ou que d é um divisor de a ou ainda que a é um múltiplo de d e escrevemos d a se existir q Z com a = qd. Caso contrário, escrevemos d a. Após isto, o professor pode dar alguns exemplos concretos envolvendo a definição acima, tais como: Exemplo 3.1.1: Mostrar que Solução: De fato, 27 = 3.9, agora basta observar que estamos nas condições da definição de divisibilidade, dado que 9 Z. Portanto, Exemplo 3.1.2: Mostrar que que Solução: Com efeito, 16 = 4. (4), pelo mesmo argumento utilizado no exemplo anterior vemos que Após este momento pode-se expor algumas propriedades da Divisibilidade, as quais serão essenciais para algumas demonstrações e resolução de alguns exemplos, sendo elas:

12 11 Teorema 3.1.1: A divisão tem as seguintes propriedades: i.( d divide ) Se d a e d b, então d ax + by para qualquer combinação linear ax + by de a e b com coeficientes x, y Z. ii.(limitação) Se d a, então a = 0 ou d a. iii.(transitividade) Se a b e b c, então a c. Antes de realizar essas demonstrações o professor em conjunto com os alunos deve realizar uma análise e verificar se os alunos compreendem e acreditam que as propriedades sejam válidas. Para realizar essa análise o professor pode realizar os seguintes exemplos: Exemplo (primeira propriedade): Dado que 2 4 e 2 8. Podemos afirmar que 2 4x + 8y, para todo x, y Z? Solução: Vamos fazer alguns experimentos com valores aleatórios para x e y. Tomando x = 5 e y = 4, temos, 2 4(5) + 8( 4) Pela definição de divisibilidade, 12 = 2q. Agora basta tomarmos q = 6, para vermos que está sentença é verdadeira. Tomando agora, x = 3 e y = 2, temos, 2 4( 3) + 8( 2) Pela definição de divisibilidade, 28 = 2q. Agora basta tomarmos q = 14, para vermos que está sentença é verdadeira. Exemplo (segunda propriedade): Dado que 3 18, então, 3 < 18. Solução: Dado que 3 18, 3 = 3 e 18 = 18 é óbvio que 3 < 18, pois, 3 < 18. Exemplo (terceira propriedade): Dado que 7 21 e Podemos conjecturar que 7 147? Solução: Pela definição de divisibilidade temos que 21 = 3.7 e 147 = Disto, vemos que 147 = 7. (3.7). Resulta pela definição de divisibilidade que Para realizar essas demonstrações o professor pode questionar aos alunos como eles procederiam. Espera-se que os alunos tenham percebido nos exemplos anteriores, o primeiro passo à ser dado era utilizar a definição de divisibilidade que foi a única ferramenta até aqui apresentada. Demonstração: Para demonstrar i), temos por hipótese que d a e d b, então pela definição de divisibilidade, a = dq 1 e b = dq 2 com q 1 e q 2 Z. Multiplicando ambos os lados dessas igualdades por x e y, respectivamente temos, ax = dxq 1 e by = dyq 2. Agora

13 12 somando membro a membro as igualdades, teremos ax + by = dxq 1 + dyq 2. Pondo d em evidência no segundo membro, segue que ax + by = d(xq 1 + yq 2 ). Pela propriedade do fechamento em Z, xq 1 + yq 2 é um número inteiro. Assim pela definição de divisibilidade, obtemos d ax + by. Para demonstrar ii) temos o caso em que a = 0. De fato, dado que d 0 então pela definição de divisibilidade 0 = dq. Basta tomar q = 0 para ver que d 0. Agora, suponha que d a e a 0, pela definição de divisibilidade, a = dq com q 0. Assim q 1 e a = q d, mas q d d, então a d. O que conclui a demonstração. Para demonstrar iii) novamente utilizamos a definição de divisibilidade. Como temos por hipótese que a b e b c, então existem constantes q 1 e q 2 Z tais que b = aq 1 e c = bq 2. Substituindo a primeira equação na segunda, obtemos c = (aq 1 )q 2. Utilizando as propriedades dos números inteiros, temos que c = a(q 1 q 2 ). Pela propriedade do fechamento em Z, q 1 q 2 é um número inteiro. Assim, concluímos que a c, e isto finaliza a demonstração. Como aplicação dessas propriedades o professor pode expor o seguinte exemplo. Exemplo 3.1.6: Mostre que se 7 3a + 2b então 7 4a 2b. Solução: Temos por hipótese que 7 3a + 2b. Sabemos que 7 sempre divide um múltiplo de 7, ou seja, 7 7a. Aplicando a propriedade do d divide vemos que 7 (7a). 1 + (3a + 2b)( 1) 7 7a 3a 2b 7 4a 2b. 3.2 FUNÇÕES PISO E TETO E O ALGORITMO DE EUCLIDES Nesta seção será abordado os conceito das funções piso e teto que serão utilizadas para realizar a demonstração do Algoritmo de Euclides. Este último desempenha um papel fundamental dentro da Teoria dos Números pois nos dá uma ferramenta eficaz para realizar o cálculo do máximo divisor comum entre dois números, que veremos mais adiante. Os resultados desta seção estão baseados em [9]. Definição 3.2.1: Para x R, definimos piso ou parte inteira x de x como sendo o único k Z tal que k x < k + 1. Definimos o teto x de x como o único k Z tal que k 1 < x k.

14 Para que os alunos compreendam como utilizar essa duas funções, o professor pode explicar alguns exemplos, como: 13 Exemplo 3.2.1: Qual é o piso e o teto de 2? Solução: Pela definição da função piso, temos que encontrar um valor k de modo que k 2 < k + 1. Sabendo que 2 1,41, o único valor possível para k é 1, portanto 2 = 1. Aplicando a definição da função teto, temos que k 1 < 2 k. Disto, o valor de k é 2. Logo, 2 = = 10. Exemplo 3.2.2: Qual é o piso e o teto de 10? Solução: Segue diretamente da definição das funções piso e teto que 10 = 10 e Teorema 3.2.1: Dados dois inteiros a e b, b 0, existe um único par de inteiros q e r tais que a = qb + r, com 0 r < b. (q é chamado de quociente e r de resto da divisão de a por b). Para demonstrar este Teorema, o professor pode questionar os alunos para ver qual estratégia de demonstração eles utilizariam. Espera-se que pelo fato da função piso e teto ser introduzida anteriormente os alunos pensem de algum modo para que possamos chegar ao resultado esperado. a b se b > 0 Demonstração: Seja q = { a b se b < 0 e r = a bq. Então pela definição das funções piso e teto, temos que q a b < q + 1. Multiplicando os membros dessa última desigualdade por b, que por sua vez é maior do que zero, segue que qb a < bq + b. Agora, subtraindo bq em todos os membros da desigualdade, temos 0 a bq < b. Do mesmo modo, pela definição da função teto, segue que q 1 < a q. Multiplicando por b, que por b sua vez é menor do que 0, os membros dessa última desigualdade segue que, bq b > a bq. Subtraindo bq de todos os membros da desigualdade, obtemos b > a bq 0. Como r = a bq, temos pelos resultados obtido anteriormente que 0 r < b. Assim mostramos a existência. Para a unicidade, suponhamos que existam dois pares de números inteiros satisfazendo a condição, ou seja, a = bq 1 + r 1 e a = bq 2 + r 2 com 0 r 1, r 2 < b. Igualando ambas as equações, têm-se bq 1 + r 1 = bq 2 + r 2. Utilizando as propriedades dos números inteiros

15 14 obtemos b(q 1 q 2 ) = r 2 r 1 b r 2 r 1. Como r 2 < b r 2 r 1 r 2 < b. Também temos que r 1 < b r 1 > b r 2 r 1 b. Logo, r 2 r 1 < b, portanto r 2 r 1 = 0 e assim 0 = b(q 1 q 2 ) 0 = q 1 q 2. Adicionando q 2 em ambos os membros da igualdade temos que q 1 = q 2, o que prova a unicidade. Exemplo 3.2.3: Encontre um número natural N que ao ser dividido por 10, deixa resto 9, ao ser dividido por 9 deixa resto 8, e ao ser dividido por 8 deixa resto 7. Para solucionar este exemplo o professor pode questionar os alunos para ver se existe algum padrão nessas divisões. Espera-se a resposta que o N quando divido por algum dos quocientes acima deixa resto igual ao quociente subtraído de 1. Caso os alunos não vejam uma estratégia de demonstração o professor pode levantar a seguinte questão: O que acontece ao somarmos 1 ao nosso número? Espera-se que os alunos digam que o número N passsará a deixar resto zero na divisão por 8, 9 e 10. Solução: Temos que N deixa resto 9 na divisão por 10, 8 na divisão por 9 e 7 na divisão por 8, agora, se somarmos um a esse N, teremos que N + 1 deixará resto zero na divisão por 8, 9 e 10, isto é, N + 1 é um múltiplo de 8, 9 e de 10, ou seja, N + 1 = k. Assim, um possível candidato ao nosso N é Exemplo 3.2.4: Dado que (a n 1) = (a 1)(a n 1 + a n a + 1). Calcule o resto da divisão de por 3. Para resolver este problema, o professor pode questionar os alunos se é viável desenvolver a potência e após isto calcular sua divisão por 3. Espera-se que os alunos digam que pode existir um jeito mais fácil de fazer este cálculo. enunciado. Solução: Veja que 3 = 4 1 e assim é natural substituir os valores na expressão do ( ) = (4 1)( ) ( ) = (3) ( ). Chamando a parte destacada da equação acima de "q" e isolando o , temos: = (3)( ) + 1 q = 3. q + 1.

16 Desta forma, estamos nas condições do Algoritmo de Euclides e o resto da divisão de por 3 é MÁXIMO DIVISOR COMUM Para introduzir o conceito de máximo divisor comum, o professor pode tomar os conjuntos dos divisores de dois números, como por exemplo, dos números 4 e 6. Seja o conjunto dos divisores de 4, aqui denotado por D 4. Este conjunto contém os seguintes elementos, {±1, ±2, ±4}. Também tomemos o conjunto dos divisores de 6 que é D 6 = {±1, ±2, ±3, ±6}. Agora, realizando a interseção desses dois conjuntos teremos D 4 D 6 = {±1, ±2}, donde, +2 é o maior elemento que divide simultaneamente 4 e 6. Chamamos este número de máximo divisor comum entre 4 e 6. Após este momento ele poderá enunciar o Lema de Euclides, que nos fornece uma maneira eficiente de calcular o máximo divisor comum entre dois números. Como este lema trata de igualdade de conjuntos, o professor pode fazer um retrospecto, questionando para ver se os alunos ainda se lembram de como devem proceder para fazer demonstrações desse tipo, esperando que os alunos respondam que deve ser mostrado que cada um dos conjuntos está contido dentro do outro. Lema 3.3.1(Euclides): Se a = bq + r, então mdc(a, b) = mdc(b, r). Demonstração: Como comentado acima basta mostrar que o conjunto dos divisores de a e b são os mesmo que os de b e r, a saber, D a D b = D b D r. Tomemos d pertencente a D a D b, então temos que d a e d b. Pela propriedade do d divide, segue que d a bq d r. Como d divide b e d divide r, então d pertence a D b D r. Para mostrarmos a volta utilizamos o mesmo argumento. Seja d D b D r, temos que d b e d r, logo d bq + r d a e assim d D a D b. Através deste método de calcular o mdc de dois números, o professor pode solicitar aos alunos que eles calculem o mdc entre 41 e 12, o qual ficará da seguinte maneira: Primeiramente, identificamos quem seria o nosso a e b, que neste caso são, a = 41 e b = 12, aplicando o algoritmo de Euclides temos: 41 = e, assim, temos que b = 12 e c = 5. Então

17 16 12 = Do mesmo modo, temos que b = 5 e c = 2. Logo 5 = Por fim, vemos que b = 2 e c = 1. Portanto 2 = Desta maneira, podemos concluir que mdc(41, 12) = mdc(12, 5) = mdc(5, 2) = mdc(2, 1) = 1. Também pode-se realizar o seguinte exemplo. Calcular o mdc(72,56). Solução: 72 = = = = = Vemos que d = mdc(72, 56) = 8. Pois, mdc(72,56) = mdc(16,8). Um Teorema importante da Teoria dos Números é o de Bachet-Bézout, que diz o seguinte: Teorema 3.3.1: Sejam a, b Z. Então existem x, y Z com ax + by = mdc(a, b). Portanto se c Z é tal que c a e c b então c mdc(a, b). Sua demonstração é extensa e fica fora do escopo do trabalho, o leitor interessado poderá encontrar sua demonstração em [9]. A seguir, o professor pode passar a definição de número primo e dar alguns exemplos para fixar os conceitos. Definição 3.2.2: Um número natural p > 1 é chamado primo se os únicos divisores positivos de p são 1 e p e um natural n > 1 é chamado composto se admite outros divisores além de 1 e n. Como por exemplo, o número 5 é primo, pois é maior do que 1, e seus divisores positivos são 1 e 5. O número 14 não é primo pois seus divisores são 1, 2, 7 e 14. Como boa parte das demonstrações de máximo divisor comum segue diretamente da definição, o professor pode solicitar aos alunos para que eles façam algumas delas.

18 17 Exercício 3.3.1: a) Se p é primo, então mdc(a, p) é 1 ou p. b) Se k é um inteiro, então mdc(a, b) = mdc(a kb, b). c) Se a c, então mdc(a, b) mdc(c, b). d) Se mdc(a, b) = 1, então mdc(ac, b) = mdc(c, b). Proposição 3.3.1: Se mdc(a, b) = 1 e a bc, então a c. Demonstração: Por hipótese mdc(a, b) = 1. Pelo Teorema de Bachet-Bézout existem x, y Z tais que ax + by = 1. Agora, multiplicando essa igualdade em ambos os membro por c e aplicando as propriedades dos Números Inteiros obtemos (a. c). x + (bc). y = 1. c. Pelo fato de a dividir cada termo do lado esquerdo, pois a a. cx e a (bc). x, temos que a c. Corolário 3.3.2: Sejam a e b dois número inteiros, com mdc (a, b) = 1. Se a e b dividem c então o produto ab divide c. Demonstração: Temos por hipótese que a c, então c = aq, para algum q Z. Também temos que b c, segue pela proposição anterior que b tem que dividir q, pois, a e b são primos entre si. Portanto, bt = q, para algum t Z. Assim, c = aq = a(bt) = (ab)t c = (ab)t ab c. O que encerra a demonstração. 3.4 MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM Do mesmo modo que foi introduzido o conceito de Máximo Divisor Comum, o professor poderá fazer uma introdução para o Mínimo Múltiplo Comum da seguinte maneira: Seja o conjunto dos múltiplos de 4, aqui denotado por M 4. Este conjunto contém os seguintes elementos {0, 4, 8, 12, 16, 20,24, 28, }. Também seja o conjunto dos múltiplos de 6 que é M 6 = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, }. Agora, fazendo a interseção desses dois conjuntos teremos, M 4 M 6 = {0, 12, 24, }. Dentre os divisores de 4 e 6 o número 12 é o menor elemento não nulo de M 4 M 6. Chamamos este número de Mínimo Múltiplo Comum entre 4 e 6. De um modo mais geral. Chamando de M n o conjunto dos múltiplos de n e sejam a e b dois números, ambos não nulos, então a interseção M a M b é não vazia, pois ab está na

19 18 interseção. Pelo Princípio da Boa Ordenação, temos que M a M b possui um elemento mínimo chamado de Mínimo Múltiplo Comum, ou mmc de a e b e o denotaremos por mmc(a, b). A seguir o professor poderá enunciar a seguinte Proposição, ela nos dá uma maneira de calcular o mmc(a, b) uma vez já conhecido o mdc(a, b). Antes de enunciar à próxima Proposição, o professor pode questionar os alunos, com o intuito de encontrar alguma relação entre o mmc(a, b) e mdc(a, b). Caso não haja respostas, pode-se questionar os alunos da seguinte maneira: O que acontece ao multiplicar o mmc(4,6) pelo mdc(4,6). De fato, mmc(4,6) = 12 e mdc(4, 6) = 2. Então, mmc(4, 6). mdc(4, 6) = 24 = 4.6. Proposição 3.4.1: Sejam a e b dois números naturais, então mdc(a, b). mmc(a, b) = a. b Demonstração: Seja d = mdc(a, b), então d a e d b. Pela definição de divisibilidade temos que a = a 1 d e b = b 1 d onde a 1, b 1 Z são tais que mdc(a 1, b 1 ) = 1. Com efeito, por Bachet-Bézout existem x, y Z tais que ax + by = d, como a = a 1 d e b = b 1 d segue que a 1 dx + b 1 dy = d. Pondo d em evidência obtemos d(a 1 x + b 1 y) = 1. d. Pela Lei do Corte da multiplicação a 1 x + b 1 y = 1, isto mostra que o mdc(a 1, b 1 ) = 1. Temos que o mmc é um múltiplo de a, isto é, mmc(a, b) = al para algum l Z. Da mesma forma, podemos dizer que mmc(a, b) = bl 1 para algum l 1 Z, isto é, b mmc(a, b). Do que foi visto anteriormente, obtemos b 1 d a 1 dl b 1 a 1 l. Pela Proposição 3.3.1, dado que mdc(a 1, b 1 ) = 1 implica que b 1 l. Resulta da definição de mínimo múltiplo comum que l deve ser o mínimo número divisível por b 1, pois caso contrário, seria somente um múltiplo. Assim concluímos que l = b 1, portanto mmc(a, b) = b 1 a. Logo, mdc(a, b). mmc(a, b) = d. b 1 a = a. b. Exemplo 3.4.1: Calcular o mínimo múltiplo comum entre 41 e 12. Calcular o mmc(72,56). Solução: Como visto anteriormente, mdc(41, 12) = 1, então pelo resutado acima, temos que mdc(a, b). mmc(a, b) = a. b 1. mmc(41,12) = = 492. Pelos exemplos anteriores, mdc(72, 56) = 8 e = Pelo resultado acima,mdc(72, 56). mmc(72, 56) = mmc(72, 56) = 4032 mmc(72, 56) = 504.

20 19 O próximo exemplo utiliza os diversos conceitos estudados anteriormente e faz uso principalmente do Teorema de Bachet-Bézout e do algoritmo de Euclides para o cálculo do máximo divisor comum. Exemplo 3.4.2: Encontre todos os x, y Z tais que 2013x + 208y = mdc(2013, 208). Em outras palavras, resolva a Equação Diofantina 2013x + 208y = mdc(2013,208). Relembrando: Uma Equação Diofantina é uma equação polinomial de duas ou mais incógnitas que só podem assumir valores inteiros para satisfazer a igualdade. O professor pode pedir para os alunos fazerem uma análise do problema para ver qual seria o primeiro passo que eles dariam para encontrar a solução. Espera-se a resposta seja encontrar o mdc(1001, 109) primeiramente. Solução: Aplicando o algoritmo de Euclides para o cálculo do mdc, temos: 2013 = = = = = = = 1.3. Assim, temos que mdc(2013, 208) = mdc(208,141) = mdc(141, 67) = mdc(67, 7) = mdc(7, 4) = mdc(4, 3) = mdc(3, 1) = 1. Neste momento, o professor poderá fazer uma análise em conjunto com a turma para ver se os alunos conseguem perceber que os números do enunciado da questão estão contidos nos cálculos acima, em seguida, poderá questionar os alunos sobre à existência de algum modo de reescrever às equações acima. Agora, analisando os resultados acima, podemos reescrevê-los da seguinte maneira: 141 = = = = = =

21 20 Sabendo que mdc(2013, 208) = 1 queremos encontrar os pares x, y Z que satisfazem aquela equação. As equações acima nos permitem expressar o mdc(2013, 208) = 1 como combinação linear de 4 e 3. De fato: = 1. Também temos que 3 pode ser expresso como combinação linear de 7 e 4, fazendo a substituição, segue que: 4. 1 ( ) = 1. Aplicando a propriedade distributiva da multiplicação em relação a adição, temos: = = 1. Também temos que 4 pode ser expresso como combinação linear de 67 e 9, fazendo a substituição, obtemos: 2. ( ) 7 = = = 1. Vemos também que 7 é expresso como combinação linear de 141 e 67, fazendo a substituição, obtemos: ( ) = = = 1. Da mesma forma, substituímos pela combinação linear de 67 que é feita sobre 208 e = ( ) = = = 1. Por fim, substituímos o valor 141 escrito em função dos valores 208 e ( ) = = = = 1. Assim, obtemos que a solução particular da equação 2013x + 208y = 1 é (x 0, y 0 ) = ( 59,571). Para encontrar as demais soluções, escrevemos 1 = 2013x y 0, igualando as equações, obtemos: 2013x + 208y = 2013x y 0. Realizando as devidas manipulações algébrica, têm-se: 2013(x x 0 ) = 208(y 0 y). Como 2013 e 208 são primos entre si, pela equação acima, obtemos que 2013 y 0 y, ou seja, y 0 y = t para algum t pertencente ao conjunto dos Números Inteiros.

22 21 Da mesma forma, temos que 208 x x 0, ou seja, x x 0 = 208. t. Isolando x e y nas equações acima, obtemos: x = x t e y = y t. Assim, a solução geral será: (x, y) = (x t, y t) = ( t, t) = ( 59,571) + (208, 2013). t para todo t Z. A interpretação geométrica deste resultado é que todas as soluções da equação 2013x + 208y = 1, são os valores inteiros que estão sobre as retas x(t) = 208. t 59 e y(t) = 2013t + 571, com t Z e aplicado simultaneamente nas duas funções. O próximo Teorema, apresentado aqui sem demonstração, nos dá uma condição para que certa equação admita ou não solução. Além disso, se soubermos uma solução particular temos como calcular todas as soluções desta equação. Teorema 3.4.1: Sejam a e b inteiros e d = mdc(a, b). Se d c então a equação ax + by = c não possui nenhuma solução inteira. Se d c ela possui infinitas soluções e se x = x 0 e y = y 0 é uma solução particular, então todas as soluções são dadas por x = x 0 + (b d)k e y = y 0 (a d)k, onde k é um inteiro. Exemplo 3.4.3: Resolver as seguintes equações: a) 56x + 72y = 40. Solução: Calculando o d = mdc(72, 56) e isolando o resto das divisões, temos: 72 = = 16 (1) 56 = = 8 (2) 16 = Vemos que d = mdc(72, 56) = 8. Substituindo (1) em (2) temos: 56 ( ). 3 = = ( 3) = 8, multiplicando ambos os lados da última equação acima por 5, obtemos: ( 15) = 40, desta forma, uma solução particular é x 0 = 20 e y 0 = 15, para obtermos todas as soluções, vamos aplicar estas soluções nas equações do Teorema 2.4.1, obtendo assim, x = 20 + (72 8)k x = k e y = 15 (56 8)k y = 15 7k. b) 57x 99y = 77 Solução: Calculando o d = mdc(99,57), temos:

23 22 99 = = = = = 3.1. Assim, mdc(99, 57) = 3 e como 3 77 a equação não possui nenhuma solução inteira pelo Teorema CONGRUÊNCIAS Nesta seção faremos um estudo sobre Congruências, este estudo será de fundamental importância no decorrer do trabalho, o motivo disto é que boa parte da Teoria dos Números se desenvolve sobre este conceito. Os exemplos aqui expostos constituirão uma base de como devemos proceder para realizar os cálculos durante a Criptografia RSA que veremos mais adiante. Por este motivo, introduziremos o conceito de Congruência pela perspectiva histórica de como ele surgiu. Durante a realização dos exemplos, nenhum dos passos intermediários serão omitidos. Segundo Domingues e Iezzi, O conceito de Congruência, bem como a notação através da qual essa noção se tornou um dos instrumentos mais poderosos da teoria dos números, foi introduzido por Karl Friedrich Gauss( ), em sua obra Disquistiones arithmeticae (1801).(2003, p. 53). Para introduzir o conceito de Congruência o professor pode dar início à aula com o seguinte exemplo: Se hoje é sexta-feira, que dia semanal será daqui 1523 dias? Indique por 0 (zero) o dia que é hoje, ou seja, sexta-feira, por 1 (um) o dia de amanhã, isto é, sábado e assim por diante. Façamos a seguinte tabela: Sexta Sábado Domingo Segunda Terça Quarta Quinta k 7. k k k k k k + 6 Tabela 1: Dias as semana. Fonte: Adptado de Domingues e Iezzi, 1982.

24 23 Para resolver esta questão basta sabermos em qual coluna se encontra o número Para isto, basta observar que os números da sequência 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 11, 12, estão na mesma coluna se, e somente se, sua diferença é divisível por 7. Suponhamos que o número 1523 esteja na coluna encabeçada pelo número a, com 0 a 6. Então 1523 a = 7. q, ou 1523 = 7q + a com 0 a 6, mas pelo algoritmo de Euclides temos que, 1523 = , assim, conclui-se que o resto é 4 e portanto, 1523 está na quinta coluna, ou seja, será uma terça-feira. Exemplos como o acima, desempenham uma relevância na Matemática e Ciências Exatas, pois, são várias as situações que apresentam um certo padrão de repetição, como o ciclo dos astros do universo, ou até mesmo da Via Láctea. Também, em um caso mais simples, porém de grande utilidade, um simples relógio de cozinha tem um padrão que se repete a cada 12 horas. Questões como essa, que envolvem periodicidade, necessitam de uma aritmética diferente e o conceito trabalhado acima nos proporciona tal aritmética, com a seguinte definição. Definição 3.5.1: Sejam a, b e M Z. Dizemos que a é congruente a b módulo M, e escrevemos a b mod (M) quando a b = Mq, ou seja, a b é múltiplo de M. A relação definida acima chama-se Congruência módulo M. Assim, como na relação de igualdade, a relação de congruência apresenta certas propriedades. Para poder realizar alguns exemplos práticos o professor deverá fazer a demonstração destas propriedades. Como o que foi visto até agora é apenas a definição de Congruência módulo M, esperase que os alunos percebam que isto será utilizado para realizar as próximas demonstrações. por m. Proposição 3.5.1: A relação de Congruência goza das seguintes propriedades: i) a a (mod m) (reflexividade) ii) Se a b(mod m), então b a (mod m)(simetria) iii) Se a b (mod m) e b c (mod m), então a c (mod m). (transitividade) iv) a b (mod m) se, e somente se, a e b dão o mesmo resto na divisão Euclidiana

25 v) (Compatibilidade com a adição e subtração) Podemos somar e subtrair membro a membro a b (mod m) + c b + d (mod m) { {a c d (mod m) a c b d (mod m) Em particular, se a b (mod m), então ka kb (mod m) para todo k Z. vi) b (mod m). (Compatibilidade com o produto) Podemos multiplicar membro a membro : a b (mod m) { ac bd (mod m) c d (mod m) Em particular, se a b (mod m), então a k b k (mod m) para todo k Z. vii) (Cancelamento) Se mdc(c, m) = 1, então ac bc (mod m) a Na demonstração desses fatos, aplicamos a definição de Congruência, para que possamos utilizar as propriedades da Divisibilidade. Demonstração: Para o item i) aplicando a definição de Congruência, temos, m a a, ou seja, m 0 o que é verificado trivialmente. No item ii) basta observar que se m a b. Pela propriedade do d divide, segue que m (a b) + 0. m m b a, ou seja, b a (mod m). Para o item iii), se m a b e m b c, pela propriedade do d divide, segue que m (a b) + (b c) m a c a c (mod m). Em iv), assumamos que m a b, ou seja, a b = mq, para algum q inteiro. Assim, a = b + mq. Sejam, q 1 e r o quociente e o resto, respectivamente, da divisão euclidiana de a por m, a = mq 1 + r (0 r < m). Igualando as igualdades acima, temos b + mq = mq 1 + r ou b = m(q 1 q) + r (0 r < m). Portanto, r é o resto da divisão de b por m. Inversamente, assumamos que a e b dão o mesmo resto na divisão euclidiana por m, ou seja, a = mq 1 + r e b = mq 2 + r (0 r < m). Subtraindo membro a membro essas igualdades segue que a b = m(q 1 q 2 ), o que por definição é mesmo que a b (mod m). No item v) temos por hipótese que m a b e m c d. Pela definição de divisibilidade temos que a b = mq 1 e c d = mq 2. Somando membro a membro essas igualdades, obtemos (a b) + (c d) = m(q 1 + q 2 ) a + c (b + d) = m(q 1 + q 2 ), ou seja, a + c b + d (mod m). De forma análoga, subtraindo as igualdades, obtemos (a b) (c d) = m(q 1 q 2 ), ou seja, (a c) (b d) = m(q 1 q 2 ), o que é equivalente a, a c b d (mod m). 24

26 25 Para o caso particular a b (mod m), então ka kb (mod m) para todo k Z. Temos por hipótese que a b = mq. Multiplicando ambos os lados da igualdade por k e aplicando as propriedades dos Números Inteiros, segue que ak bk = m(qk), ou seja, ak bk (mod m). No sexto item, temos por hipótese que a b = mq 1 e c d = mq 2. Multiplicando à primeira igualdade por c, à segunda por b e aplicando as propriedades dos Números Inteiros, temos que ac bc = m(q 1 c) e bc bd = m(q 2 b). Somando estas duas igualdades, resulta que ac bc + bc bd = m(q 1 c + q 2 b) ac bd = m(q 1 c + q 2 b), o que equivale a ac bd (mod m). No caso particular, se a b (mod m), então a k b k (mod m) para todo k Z. Apliquemos Indução ao expoente k, segue da hipótese o caso k = 1, isto é a b (mod m). Agora, suponhamos que está sentença seja valida para um n = k qualquer, ou seja, a k b k (mod m). Queremos mostrar que também é valida para n = k + 1. Aplicando a propriedade da Compatibilidade com o produto na Base de Indução e na Hipótese de Indução temos que a k. a b k. b (mod m), isto é, a k+1 b k+1 (mod m), finalizando a demonstração. Em vii) como mdc(c, m) = 1 temos que m ac bc m (a b)c m (a b) pela proposição Assim, a b (mod m). Neste momento o professor poderá passar alguns exemplos para fixar os conceitos e mostrar como se utiliza as propriedades anteriores. Exemplo 3.5.1: Demonstrar que 10 n 1 é divisível por 11 quando n é par. Solução: Pela definição de congruência temos que 10 1 (mod 11). Elevando ambos os membros da relação a n segue que 10 n ( 1) n (mod 11), isto é, 10 n 1 (mod 11). Isto equivale a dizer que 10 n 1 é divisível por 11. Como exemplo, podemos ver que deixa resto um quando dividido por 11. Agora, o professor pode realizar uma discussão com os alunos de modo a analisar como torna-se fácil a realização deste exemplo utilizando congruências. Também pode questionar os alunos para ver quanto tempo eles levariam para calcular e em seguida dividir este número por 11. Isto será realizado para que os alunos percebam como esta ferramenta pode facilitar diversos cálculos.

27 26 Exemplo 3.5.2: Demonstrar que Solução: Pela definição de congruência, temos que (mod 61). Elevando ambos os membros da relação ao quadrado, segue que (mod 61). Também verifica-se facilmente aplicando a definição de congruência que (mod 61). Aplicando a propriedade da transitividade para relação de congruência, resulta que (mod 61). Elevando novamente ambos os lados da relação ao quadrado, obtemos 20 4 = 1156 (mod 61). Novamente, pode-se verificar que (mod 61). Pela transitividade, (mod 61). Como 58 3 (mod 61). Assim, (mod 61). Multiplicando membro a membro a primeira relação com esta última obtém-se como resultado (mod 61). Aplicando a definição de congruência certifica-se que (mod 61). Pela propriedade da transitividade temos que (mod 61). Finalmente, basta elevar ambos os lados da relação ao cubo para obtermos o resultado, ou seja, (mod 61). Após a realização destes exemplos o professor poderá questionar os alunos para ver qual foi a estratégia utilizada para resolvê-los, espera-se a resposta de que deve-se encontrar algum número congruente a 1 módulo m. Exemplo 3.5.3: Qual é o resto da divisão de por 77? Solução: Inicialmente devemos perceber que existe uma relação entre os números do problema: = 77. Assim, utilizando as propriedades de congruências temos: (mod 77) ( 36) (mod 77) ( 36) (mod 77) ( ) (mod 77). (1) O próximo passo é encontrar o resto de 36 5 na divisão por 77. Como 36 1 (mod 7). Elevando ambos os membros da relação a 5, obtém-se (mod 7). Além disso, 36

28 27 3 (mod 11) (36) (mod 11). Também temos que, 3 5 = 243 1(mod 11). Como mdc(7, 11) = 1 e ambos dividem , podemos concluir que , ou seja, (mod 77). Em outras palavras, 36 5 deixa resto 1 na divisão por 77. Substituindo esse resultado na congruência (1), resulta que: (1 1) (mod 77) (mod 77) (mod 77) Desta forma, podemos concluir que deixa resto zero na divisão por 77. Exercício 3.5.1: Qual o resto da divisão de por 13? Exercício 3.5.2: Qual o último digito de ? Exercício 3.5.3: Calcule o resto de por RELAÇÕES Nessa seção estaremos abordando um assunto já visto pelos alunos em outros cursos, que são as relações. Nossa meta é fazer uma breve revisão do que são relações binárias e a partir disto definir o que é uma relação de equivalência e interpretar seu significado por entes geométricos. Estaremos realizando uma quantidade significativa de exemplos para que o assunto seja compreendido por inteiro. Os resultados desta seção são retirados de [4]. Definição 3.6.1: Uma relação binária R num conjunto A é qualquer subconjunto do produto cartesiano A A, isto é, R A A. Exemplo 3.6.1: Se A = {1, 2, 3, 4}, então R = { (1, 2), (2, 3), (2, 2), (4, 3)} é uma relação binária em A. Exemplo 3.6.2: Se A = {1, 2, 3}, então R = {(1, 1), (2, 3), (3, 2), (4,1)} não é um relação binária em A, pois (4, 1) A A.

29 28 Sendo R uma relação binária em A e se (a, b) R, escrevemos, arb, isto é, (a, b) R arb. Lê-se a está relacionado com b (via R). Como no Exemplo 2.6.1, 1R2, mas não temos 2R1. Definição 3.6.2: Uma relação R em A diz-se de equivalência se possuir as seguintes propriedades: i) Reflexiva: ara, para todo a A; ii) Simétrica: se a, b A e arb, então bra; iii) Transitiva: para a, b, c A, se arb e brc, então arc; Exemplo 3.6.3: A relação de divisibilidade que vimos na primeira seção deste capítulo não é uma relação de equivalência, pois não é simétrica, apesar de ser reflexiva e transitiva. Exemplo 3.6.4: A relação de Congruência é uma relação de equivalência, pois, pelas propriedades demonstradas anteriormente já verificamos tal afirmação. Exemplo 3.6.5: Seja A = {a, b, c}, vamos verficar que a relação S = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (b, a)} é de equivalência. Solução: Primeiramente vamos verificar que a relação S é reflexiva. De fato, temos que (a, a), (b, b) e (c, c) S, isto garante a reflexividade. Para verificar a simetria, basta observar que todos os pares ordenados possuem um par simétrico, ou seja, (a, a) S e (a, a) S; (b, b) S e (b, b) S; (c, c) S e (c, c) S; (a, b) S e (b, a) S; (b, a) s e (a, b) S. Por fim, verificamos que S é transitiva da seguinte maneira, dado que (a, a) S e (a, b) S (a, b) S; (b, b) S e (b, a) S (b, a) S; (a, b) S e (b, b) S (a, b) S; (b, a) S e (a, b) S (b, b) S; (b, a) S e (a, a) S (b, a) S; (a, b) S e (b, a) S (a, a) S. Assim, concluímos que a relação S é de equivalência. Definição 3.6.3: Sejam R uma relação de equivalência num conjunto A e a A um elemento fixado arbitrariamente. O conjunto a = {x A xra} chama-se classe de equivalência de a pela relação R. Ou seja, a é o conjunto constituído por todos os elementos de A que são equivalentes a a, ou que se relacionam via R com a.

30 {b, a} e c = {c}. Exemplo 3.6.6: As classes de equivalência do Exemplo são: a = {a, b}, b = 29 Teorema 3.6.1: Sejam R uma relação de equivalência em um conjunto A e a e b elementos quaisquer de A, então: i) a a ; ii) a = b arb; iii) a b a b = φ. Demonstração: Para demonstrar i) utilizamos a definição de relação de equivalência e vemos que ara, para qualquer a A, e isto mostra que a a. Para demonstrar ii) sejam a, b A tais que arb. Queremos mostrar que a = b, isto é, a b e b a. Seja c a,então cra. Temos por hipótese que arb, segue pela transitividade da relação de equivalência que crb, ou seja, c b e assim vemos que a b. De maneira análoga vemos que b a. Assim, a = b. Suponha que a = b, pelo item i) temos que a a, como a = b, a b. Logo, pela definição de classe de equivalência, arb. Quanto o terceiro item, suponhamos que a b φ. Assim, existe um c a b. Disto, c a e c b, ou seja, cra e crb. Pela simetria, brc, usando a transitividade concluímos que bra, mas pelo item ii) deste Teorema, temos que a = b. Definição 3.6.4: Seja R uma relação de equivalência num conjunto A. O conjunto constituído das classes de equivalência em A pela relação R é denotado por A/R e denominado conjunto quociente de A por R. Assim, A R = {a a A}. Exemplo 3.6.7: O conjunto quociente da relação S do Exemplo é A/S = {a, b, c }, pelo Exemplo O Professor pode propor o seguinte exercício aos alunos, ele nos dá uma ideia do que acontece em um conjunto A quando definimos uma relação de equivalência sobre ele. Exercício 3.6.1: Seja A um conjunto e A = A 1 A 2 A 3 A n uma partição finita de A, isto é, uma decomposição de A como união finita de uma família de subconjuntos de A que são dois a dois disjuntos e não vazios. Para x e y A, definimos a

31 seguinte relação R: xry quando x e y pertencem ao mesmo elemento da partição. Em símbolos: xry existe i {1, 2, 3,, n} tal que x, y A i. Mostre que R é uma relação de equivalência. 30 3}. Exercício 3.6.2: Explicite todas as relações de equivalência no conjunto A = {1, 2, Exercício 3.6.3: Seja W = {1, 6, 9}. Verifique se S = {(2, 6), (1, 1), (6, 9), (9, 6), (9, 9)} é uma relação binária. 3.7 O ANEL DOS INTEIROS MÓDULO n Como o auxílio das definições e propriedades da seção anterior, podemos estendê-las ao nosso caso. Nesta seção serão utilizados vários resultados de [2], [3], [7], [8] e [9]. Definição 3.7.1: O quociente de Z pela relação (mod n) é chamado de anel dos inteiros módulo n e é denotado pelas seguintes notações, Z (n), Z nz, Z n, mais frequentemente por Z n. Podemos definir a classe residual módulo n de um elemento a de Z como sendo o conjunto a = {x Z x a (mod n)}. Exemplo 3.7.1: Para n = 2 temos que Z 2 é constituído pelas classes de equivalência que deixam o mesmo resto na divisão por 2. Dada a relação (mod n), vemos que 18 2 (mod 2), pois 18 e 2 deixam o mesmo resto na divisão por 2, mais precisamente, o valor zero. Da mesma maneira, vemos que 7 3 (mod 2), pois 7 e 2 deixam o mesmo resto na divisão por 2, mais precisamente, o valor um. Como um exemplo de elementos que não se relacionam temos, 4 3 (mod 2), pois 4 e 3 deixam restos diferentes na divisão por 2. Mais geralmente, temos que, 0 = {x Z x 0 (mod 2) x = 2q} e a classe 1 = {x Z x 1(mod 2) x = 2q + 1}, ou seja, 1 = {, 3, 1, 1, 3, 5, } = 3 = 5 = 7 =. Da mesma forma, temos 0 = {, 4, 2, 0, 2, 4, } = 2 = 2 = 6 =. Vemos que nesse exemplo só há duas classes de equivalência distintas, a 0 para n par e a 1 para n ímpar. Essas duas classes de equivalência são conhecidas popularmente como o conjunto dos números pares e ímpares. Pode-se observar que um relação particiona um conjunto em classes de equivalência.

32 31 Neste exemplo o conjunto Z foi particionado nas classes 0 e 1. Também se verifica que Z = 0 1. Podemos interpretar este resultado da seguinte maneira. Dado o conjunto dos Número Inteiros, o particionamos em dois, sendo que uma das metades é constituída pelos elementos que deixam resto zero (0 ) na divisão por dois e à outra metade deixa resto um (1 ). 0 1 Z Figura 1: Classes Residuais. Fonte: O Autor, Como temos por intenção apenas definir alguns conceitos básicos do anel dos inteiros módulo n vamos apenas definir suas propriedades, mas o leitor interessado pode encontrar as devidas demonstrações na bibliografia consultada. n. Temos que a = b a b(mod n) a e b deixam o mesmo resto na divisão por Se a Z, então podemos dividí-lo por n, obtendo q e r inteiros tais que a = nq + r e 0 r n 1. Logo a r = nq é um múltiplo de n, portanto a r (mod n). Um inteiro qualquer é congruente módulo n a um inteiro no intervalo que vai de 0 a n 1. Em outras palavras, o conjunto quociente Z n é formado pelas classes 0, 1,, n. 1 Além disso, duas destas classes não podem ser iguais, a única maneira de dois números entre 0 e n 1 serem congruentes módulo n é se forem iguais. Resumindo, Z n = {0, 1,, n }. 1 A seguir, o professor pode apresentar as seguintes propriedades do conjunto Z n. Dizemos que a é invertível módulo n quando existe um b Z tal que ab 1 (mod n). Chamamos b de inverso multiplicativo de a módulo n. Proposição 3.7.1: Sejam a, n Z, n > 0. Então existe b Z com ab 1 (mod n) se, e somente se, mdc(a, n) = 1.

33 32 Demonstração: Seja a Z n, como todos os elemento de Z n são invertíveis, existe um a Z tal que a. a 1(mod n), isto é, a. a nq = 1. Pelo Teorema de Bachet-Bézout mdc(a, n) = 1. Reciprocamente, suponhamos que mdc(a, n) = 1. Pelo Teorema de Bachet-Bézout, existe x 0 e y 0 Z, tais que ax 0 + ny 0 = 1. Reorganizando a última igualdade temos ax 0 1 = n. ( y 0 ), ou seja, ax 0 1(mod n). Exercício 3.7.1: Encontre as classes residuais invertíveis nos seguintes conjuntos: a) Z 6. b) Z 7 c) Z 5 d) Z 8 Após a execução deste exercício, o professor pode questionar os alunos para ver se eles encontraram alguma relação entre os conjuntos e seus elementos invertíveis. Espera-se a resposta de que todos os elementos não nulos são invertíveis quando n é primo em Z. Definimos o grupo das unidades ( Z nz) Z nz do anel de inteiros módulo n como o subconjunto formado pelos elementos invertíveis de Z nz: ( Z nz) = {a Z nz mdc(a, n) = 1}. Observe que o produto de elementos de ( Z nz) é sempre um elemento de ( Z nz). Proposição 3.7.2: No anel Z n todos os elementos são invertíveis se, e só se, n é primo. Demonstração: Se todos os elementos do anel são invertíveis, então mdc(a, n) = 1 para todo 0 < a < n. Disto, concluímos que n só pode ser primo, pois, caso fosse composto existiria um a tal que a n, com 0 < a < n, logo mdc(a, n) = a A FUNÇÃO DE EULER Dizemos que um conjunto de n números inteiros a 1,, a n formam um sistema completo de restos módulo n (scr) se Z n = {a, 1 a 2,, a, n } isto é se os a i representam as classes de congruência módulo n. Da mesma maneira, dizemos que os números inteiros b 1, b 2,, b φ(n) formam um sistema completo de invertíveis módulo n (sci) se {b 1, b, 2, b }=( φ(n) Z nz), onde φ(n)

34 representa o número de elementos de ( Z nz). Em outras palavras, b 1, b 2,, b φ(n) formam um (sci) módulo n se, e somente se, representam todas as classes de congruência invertíveis módulo n ou, equivalentemente, mdc(b i, n) = 1 para todo i e b i b j (mod n) implica i = j. 33 Definição 3.8.1: A função φ(n) (Z/nZ) é chamada função phi de Euler, com phi sendo a pronúncia da letra grega φ. Além dessa notação podemos encontra-la de formas diferentes, isto irá depender da notação utilizada para o Anel dos Inteiros Módulo n. Temos que φ(1) = φ(2) = 1 e, para n > 2, 1 < φ(n) < n. Se p é primo φ(p) = p 1. De fato, se p é primo, todos os elementos não nulos do anel Z p são invertíveis, isto é, existem p 1 classes de equivalência invertíveis. Em geral, φ(p k ) = p k p k 1. Com efeito, mdc(a, p k ) = 1 se, e somente se, a não é múltiplo de p e há p k 1 múltiplos de p no intervalo 1 a p k. Enunciaremos os próximos resultados sem demonstração, os quais serão necessários no desenvolvimento do Algoritmo RSA. O leitor poderá encontrar as demonstrações em [9], nas páginas 47 a 49. Proposição 3.8.1: Se mdc(n, m) = 1, então φ(nm) = φ(n). φ(m). Teorema (Euler-Fermat) 3.8.2: Sejam a e m dois inteiros com m > 0 e mdc(a, m) = 1. Então a φ(n) 1 (mod n). Corolário (Pequeno Teorema de Fermat) 3.8.2: Sejam a um inteiro positivo e p um primo, então a p a (mod p). Exemplo 3.8.1: φ(1000) = φ( ) = ( )( ) = = 400. Logo, no anel Z 1000 existem 400 elementos invertíveis. Exercício 3.8.1: Mostre que existem infinitos número da forma que são múltiplos de Solução: Devemos mostrar que existem infinitos número naturais k tais que 2.10 k + 9 0(mod 2009). Disto, 2.10 k (mod 2009) 10 k 3 1 (mod 2009), pois, 2000 é invertível módulo Como mdc(10, 2009) = 1, temos pelo Teorema de Euler-Fermat que 10 φ(2009) 1 (mod 2009) 10 φ(2009)t