Leis de Conservação Escalar : Fórmula Explícita e Unicidade

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA Leis de Conservação Escalar : Fórmula Explícia e Unicidade Alex Ferreira Rossini

2 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA Leis de Conservação Escalar : Fórmula Explícia e Unicidade Alex Ferreira Rossini Disseração apresenada ao PPG- M da UFSCar como pare dos requisios para a obenção do íulo de Mesre em Maemáica. Orienador: Prof. Dr. Cezar Issao Kondo São Carlos - SP 211

3 Ficha caalográfica elaborada pelo DePT da Biblioeca Comuniária da UFSCar R835Lc Rossini, Alex Ferreira. Leis de conservacão escalar : fórmula explícia e unicidade / Alex Ferreira Rossini. -- São Carlos : UFSCar, f. Disseração (Mesrado) -- Universidade Federal de São Carlos, Equações diferenciais parciais. 2. Leis de conservação. 3. Solução admissível. 4. Enropia. 5. Condição de Rankine- Hugonio. I. Tíulo. CDD: (2 a )

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5 Dedico ese rabalho a meus pais Orlando Rossini Filho e Maria Ferreira Rossini

6 Agradecimenos Agradeço primeiramene ao meu Senhor que sempre me deu forças para seguir em busca dos meus objeivos, mesmo às vezes não merecendo suas graças ele eseve ao meu lado. Agradeço aos meus pais pelo carinho e por acrediar em mim, ambém por er proporcionado a chance de coninuar meus esudos mesmo quando parecia que não daria cero. Também agradeço a oda minha família, em especial aos meus avós. Quero agradecer ao professor Cezar Kondo pela orienação e conribuição em meu crescimeno maemáico, agradeço oda a disponibilidade e paciência para irar dúvidas que não eram poucas e por acrediar no meu rabalho com o passar do empo. Agradeço muio aos professores do curso de Maemáica da UEMS unidade de Cassilândia por abrirem meus olhos para maemáica e por odo incenivo que rouxe-me aé São Carlos. Sou grao, especialmene, aos professores Marco, Wilson e Marcelo. Aproveio a oporunidade para agraceder odos aos meus amigos que fiz naquela cidade e aé hoje posso conar com eles e ambém aos amigos que enho no DM que sempre me apoiaram em momenos desfavoráveis, a odos vocês meu muio obrigado. Finalmene, agradeço à CAPES, Coordenação de Aperfeiçoameno de Pessoal de Nível Superior, pelo financiameno dese projeo. iii

7 Resumo Nese rabalho esudamos leis de conservação escalar, com a dedução de uma fórmula explícia de uma solução suave de supore compaco, ambém apresenamos o comporameno da solução dada pela fórmula quando o dado inicial é nulo fora de algum inervalo limiado e por fim esudamos a unicidade para uma dada lei de conservação sob ceras hipóeses. Palavra-chave: Leis de Conservação, Condição de Enropia, Relação de Rankine-Hugonio e Solução Admissível. iv

8 Absrac We sudy scalar conservaion laws, wih he deducion of an explici formula of a smooh soluion wih compac suppor, we also presen he behavior of he soluion given by he formula when he iniial value is zero ouside a finie inerval. In order o sudy he uniqueness of a given conservaion law under cerain hypoheses. v

9 Sumário Inrodução 1 1 Resulados Básicos e Conceios 3 2 Leis de Conservação Leis de Conservação Escalar Condição para a não-exisência de solução global Redução do Problema de Cauchy a uma Equação Implícia Solução Fraca e Condição de Rankine-Hugonio Exemplos de Soluções Fracas Conceios e Condição de Rankine-Hugonio Aplicação da Condição de Rankine-Hugonio Enropia de Lax Fórmula Explícia Unicidade da Solução vi

10 Sumário Sumário 3.2 Decaimeno da solução A Jusificaivas 67 B Mais Alguns Casos 75 Referências Bibliográficas 8 vii

11 Inrodução A apresenação dese rabalho inicia-se com um esudo sobre leis de conservação escalar, mais especificamene esudamos a equação u + f(u) x =, para(x,) R (, ) que é o mais simples modelo de movimeno de onda. Escrevendo a equação na forma diferencial u + f (u)u x =, vimos que se u(x,) é uma solução suave para o problema de valor inicial, com dado inicial u(x,) = u (x), a mesma é igual ao seu dado inicial sobre a rea x() saisfazendo a equação dx d = f (u(x,)), ais reas são chamadas de caracerísicas. Em geral, al problema de Cauchy não possui solução suave globalmene definida, iso é, definida para odo >, mesmo quando emos dados iniciais suaves. Ese fenômeno de não exisência de solução global, pode ser observada pelo fao que a inclinação das reas caracerísicas dependem da solução e assim podemos esperar que ais reas se inercepam e onde iso ocorre não há solução suave definida. Ineressados em definir solução para odo empo, o conceio de solução para a equação acima deve ser enfraquecido, cedendo lugar a um novo conceio de solução chamada de solução fraca ou generalizada o qual nos permie lidar com soluções desconínuas. Ese novo conceio de solução significa saisfazermos não a equação diferencial parcial em si, mas uma formulação inegral obida a parir da mesma, de sore que quando resria a soluções clássicas (suaves) al formulação inegral é equivalene a equação diferencial original. Após al definição de solução fraca demos alguns exemplos explícios de solução fraca e 1

12 verificamos direamene que as mesmas saisfazem a equação inegral a qual define solução fraca. Também demos um eorema, a saber eorema 2.1, qual nos permie consruir soluções fracas expliciamene. O enfraquecimeno do conceio de solução amplia nossa classe de candidaas a solução, mas adoando ese novo conceio perdemos unicidade para o problema, iso é, soluções fracas não são unicamene deerminadas por seus dados iniciais. Surge enão a quesão de como escolher a solução adequada ou fisicamene relevane, lembrando que nossa equação é proveniene de algum modelo físico. Um criério para a escolha da solução fisicamene relevane é dado quando o fluxo f em quesão é convexo, al criério é chamado de condição de enropia, dada por Lax. Por fim apresenamos a dedução de uma fórmula explícia de uma solução suave de supore compaco para o problema de Cauchy com dado inicial limiado, ambém apresenamos o comporameno da solução dada pela fórmula quando o dado inicial em quesão é nulo fora de algum inervado limiado e esudamos um eorema de unicidade para a dada lei de conservação u + f(u) x =, sob ceras hipóeses.

13 Capíulo 1 Resulados Básicos e Conceios Nese capíulo esão alguns resulados e definições para a leiura dos demais capíulos e ambém alguns eoremas fundamenais para a obenção de alguns resulados dese rabalho. Definição 1.1 Uma função real g definida em um inervalo(a,b), onde a<b, é dia convexa se para cada x,y (a,b) e cada λ 1 emos g(λx+(1 λ)y) λg(x)+(1 λ)g(y). (1.1) Geomericamene, uma função é chamada convexa quando seu gráfico se siua sobre ou abaixo de qualquer de suas secane, mais precisamene, se x< < y enão o pono(,g()) enconra-se abaixo ou sobre a rea conecando os ponos (x,g(x)) e (y,g(y)) no plano. Subsiuindo por < emos a definição de função esriamene convexa, nese caso, o gráfico de g não apresena rechos reilíneos. Teorema 1.1 Se g é convexa sobre (a,b) enão g é conínua sobre(a,b). Prova: Veja demosração, por exemplo, em [7], p.16. 3

14 Capíulo 1. Resulados Básicos e Conceios Teorema 1.2 Seja f :(a, b) R derivável. Enão as seguines afirmações são equivalenes: a) f é convexa. b) A derivada f (a,b) R é monóona crescene. c) Para quaisquer u,v (a,b) em-se f(u) f(v)+ f (v)(u v). Prova: Veja demosração, por exemplo, em [7], p.16. Teorema 1.3 Uma função f :(a,b) R, duas vezes derivável em (a,b) é convexa se, e só se, f (x) para odo x (a,b). Prova: Veja demosração, por exemplo, em [7], p.16. Observação 1.1 Se f (x)> para odo x (a,b) enão f é crescene, logo f é esriamene convexa. Teorema 1.4 Todo pono críico de uma função convexa é um pono de mínimo absoluo. Prova: Veja demosração, por exemplo, em [7], p.17. Definição 1.2 Uma função g :(a,b) R diz-se côncava quando g é convexa. Teorema 1.5 Todo pono críico de uma função côncava é um pono de máximo absoluo. Demonsração: Segue da definição de função côncava e eorema anerior. Lema 1.1 (Desigualdade de Jensen) Se g é convexa sobre (c,d) e se x,y,x,y são ponos de (c,d) ais que x x < y e x<y y, enão g(y) g(x) y x g(y ) g(x ) y x (1.2) 4

15 Capíulo 1. Resulados Básicos e Conceios Demonsração: Se x=x e y=y enão nada emos a fazer. Observamos que se a<w<b são quaisquer ponos de (c,d) pela definição de função convexa emos g(w) b w w a g(a)+ b a b a g(b). Enão seguem as desigualdades (b a)g(w) (b w)g(a)+(w a)g(b) (b a)g(a)+(a w)g(a)+(w a)g(b) ou seja, (b a)(g(w) g(a)) (w a)(g(b) g(a)), muliplicando a úlima desigualdade por g(w) g(a) w a 1 (w a)(b a) > emos g(b) g(a). (1.3) b a Por argumeno similar podemos concluir que g(b) g(a) b a g(b) g(w). (1.4) b w Porano, g(w) g(a) w a g(b) g(a) b a g(b) g(w). (1.5) b w Por hipóese x<x < y enão de (1.3) emos a desigualdade g(x ) g(x) x x g(y ) g(x ) y x. (1.6) 5

16 Capíulo 1. Resulados Básicos e Conceios Caso ivermos x<y<x enão por (1.5) e (1.6) obemos g(y) g(x) y x g(x ) g(x) x x g(y ) g(y) y. y Caso x<x < y e x < y<y segue de (1.5) as desigualadades g(y) g(x) y x g(y) g(x ) y x g(y ) g(x ) y x. Porano em qualquer dos casos vale o resulado. Além disso, se g é esriamene convexa emos que vale a desigualdade esria com x<x < y e x<y<y em(c,d). Definição 1.3 Seja f :R R de classe C 1 (R), e considere a aplicação g(v)=sup(uv f(u)), v R u R g é chamada de ransformação de Legendre associada a f. Teorema 1.6 Seja f : R R coninuamene diferenciável e esriamene convexa de modo que lim f(u)/ u =. u Considere g a ransformação de Legendre associada a f. Enão, a) g é convexa, g(v) b) lim v = e g( f (v))= f (v)v f(v), v R. v 6

17 Capíulo 1. Resulados Básicos e Conceios Demonsração: Vamos provar que g(.) é convexa. Dados p,q R disinos e λ 1 enão g(λ p+(1 λq)) = sup(u(λ p+(1 λq)) f(u)) u R = sup(λ(up f(u))+(1 λ)(uq f(u))) u R sup(λ(up f(u))+ sup((1 λ)(uq f(u)) u R = λg(p)+(1 λ)g(q). u R Agora vamos mosrar que lim v g(v) v =. Dado λ >, para p, emos : g(p)=sup(qp f(q)) λ p ( ) λ p q R p p f p ( ) = λ p 2 λ p p f p ( ) λ p = λ p f. p obemos esa desigualdade considerando q=λ p p. Daí emos que g(p) λ p max [ λ,λ] f, assim lim inf p g(p) p liminf p ( λ max f ) = λ. p Porano, lim inf p g(p) p λ, λ, logo lim inf p g(p) p =. 7

18 Capíulo 1. Resulados Básicos e Conceios Segue da definição de g e do fao que f(u) f(v)+ f (v)(u v) à igualdade g( f (v))= f (v)v f(v), v R. Observação 1.2 Seja f : R R uma função convexa saisfazendo f (x) θ > e lim x ± f (x)=± e considere g(v)=sup(uv f(u)), v R u R a ransformação de Legendre de f(.), observamos que o supremo acima é na verdade um máximo, pois considerando a função real H(u) = uv f(u),u R, emos que H (u) = v f (u), u R enão H (b(v))=, onde b(v)=( f ) 1 (v), e como H(u), para cada v fixado, é côncava emos que o pono críico b(v) R é um pono de máximo global. Noe que b(v) é o único pono críico de H. Daí, podemos reescrever a ransformação de Legendre como segue g(v)=b(v)v f(b(v)). Assim, g (v)=b(v), o que implica g (v)=1/ f (b(v))>. Porano, a função g(.) é esriamene convexa e ambém emos lim ± g = lim ± b=±. Teorema 1.7 (Fórmula de Taylor com reso de Lagrange) Seja f : [a, b] R n vezes derivável no inervalo abero (a,b), com f (n 1) conínua em [a,b]. Enão exise c (a,b) al que f(a)= f(b)+ f (b)(a b)+ + f(n 1) (b) (n 1)! (a b)n 1 + f(n) (c) (a b) n. n! Prova: Vide demosração em [7], p.14. 8

19 Capíulo 1. Resulados Básicos e Conceios Teorema 1.8 (Derivada de uma função inversa) Seja f : X Y R uma função que possui inversa g : Y X R. Se f é derivável no pono a X X e g é conínua em f(a) enão g admii derivada em f(a) se e só se f (a). Nese caso, g ( f(a))= 1 f (a). Prova: Veja demosração em [7], p.92. Teorema 1.9 Se f : X R é derivável à direia (resp. à esquerda) no pono a X X + (resp. a X X ) e em aí um máximo local (resp. mínimo local) enão f +(a) (resp. f (a). ) Prova: Veja demosração em [7], p.94. Teorema 1.1 (Teorema da Função Implícia) Seja F :U R, de classe C k (k 1) no abero U R n+1, seja (x,y ) U, c = F(x,y ) e F y (x,y ). Enão, exisem uma bola abera B=B(x,r) e um inervalo J =(y ε,y + ε) com as seguines propridades: B J U e F y (x,y), (x,y) B J; Para cada x B exise um único y=u(x) J al que F(x,y)=F(x,u(x))=c. A função u : B J, assim definida, é de classe C k e suas derivadas parciais em cada pono x B R n são dadas por F u x (x)= i (x,u(x)) x F i y (x,u(x)). Prova: Veja demosração em [8], p.16. Teorema 1.11 (Teorema da Divergência no Plano) Seja F =(P, Q) um campo veorial de classe C 1 num abero Ω de R 2 e seja K um compaco, com inerior não-vazio, conido em Ω, cuja froneira é imagem de uma curva fechada γ()=(x(),y()), a b, de classe C 1, simples, orienada no senido ani-horário com γ () no inervalo abero. Seja n o normal uniário exerior a K, enão F.nds= divf dxd. γ K 9

20 Capíulo 1. Resulados Básicos e Conceios Demonsração: b F.nds= F(γ()).n(γ()) γ () d, γ a onde n(γ())= 1 γ () (y (), x ()) Logo, b F.nds= [P(γ())y () Q(γ())x ()]d, γ a daí segue que F.nds= Qdx+Pdy. γ γ Em visa do Teorema de Green Qdx+Pdy= x P+ x Q dxd. γ K Porano, F.nds= divf dxd. γ K Teorema 1.12 Sejam f,g C(X) funções complexas onde X R n e oda φ C c (X) enão f = g. X f φ dx= gφ dx X para Prova: Veja demosração em [4], p

21 Capíulo 1. Resulados Básicos e Conceios Teorema 1.13 Considere a aplicação f :R [a,b] R e assuma que a função x f(x,) é R mensurável para cada [a,b]. Suponha que para algum [a,b], a função x f(x, ) seja inegrável sobre R, que f exisa em R [a,b], e que exisa uma função g(x) inegrável emral que f (x,) g(x). Enão a função F()= R f(x,)dx é diferenciável em[a,b] e df d R ()= f (x,)dx. Prova: Veja demosração em [3], p.54. Definição 1.4 Seja u :R C e x R, definimos T u (x)=sup { n 1 u(x j ) u(x j 1 ) : <x < x 1 < <x n = x, n N }, T u (x) é chamada de função variação oal associada a u. Observamos que T u é uma função monóona crescene com valores possivelmene em[, ]. De fao, noe que a soma na definição acima cresce se o número de ponos x j na subdivisão cresce, daí se a<b o supremo na definição de T u (b) não é alerado se assumirmos que a é sempre um pono da subdivisão, pois dada uma soma n 1 u(x j) u(x j 1 ) a mesma é menor ou igual a oura soma onde algum x j = a. Enão, segue que T u (b)=t u (a)+sup { n 1 u(x j ) u(x j 1 ) : a=x < x 1 < <x n = x, n N }. (1.7) porano T u é monóona crescene. Dizemos que u é de variação limiada sobre R, se T u ( )=lim x + T u (x) é finio, noação u BV(R). O supremo à direia de (1.7) é chamado variação oal de u sobre [a,b], como al supremo só depende dos valores de u em[a,b], definimos BV[a,b] ser o conjuno das funções sobre[a,b] 11

22 Capíulo 1. Resulados Básicos e Conceios cuja variação oal em[a,b] é finia, em símbolos u BV[a,b] TV u [a,b]=: sup { n 1 u(x j ) u(x j 1 ) : a=x < x 1 < <x n = x, n N } <. Teorema 1.14 Seja u :R R monóona crescene e Φ(x)=u(x + ). a) O conjuno dos ponos de desconinuidade de u é conável. b) u e Φ são diferenciáveis q..p x, u é mensurável, u q..p x, e Φ (x)=u(x) q..p. Prova: Veja demosração em [3], p.95. Teorema 1.15 a) Se u BV, enão u(x + )=lim y x + u(y) e u(x )=lim y x u(y) exisem para odo x R. b) Se u BV enão u é conínua quase sempre. c) Se u BV e Φ(x)=u(x + ), enão u e Φ exisem quase sempre e são iguais quase sempre. d) Se u :R R é BV exisem funções monóonas crescenes limiadas u 1, u 2 :R R ais que u=u 1 u 2. Prova: Veja demosração em [3], p.98. Teorema 1.16 Se f = f 1 f 2 : [a,b] R é de variação limiada em [a,b] enão f (x) exise quase sempre e f L 1 [a,b]. Onde f i é como no eorema anerior. Demonsração: Esenda f i pondo f i (x)= f i (a) para x a e f i (x)= f i (b) para x b, com i = 1,2. Pelo eorema (1.15) f é diferenciável quase sempre, pois f i BV(R). Porano, as funções f i k (x)= f i(x+1/k) f i (x) 1/k = k( f i (x+1/k) f i (x)) (1.8) 12

23 Capíulo 1. Resulados Básicos e Conceios convergem ponualmene q..p para f i (x) para k. Pelo Lema de Fau, emos b a f i(x)dx b liminf k = liminf k = liminf k a ( k ( k k b+1/k b f i k (x)dx b+1/k a+1/k b+1/k b = f i (b) f i (a). f i (b)dx k b f i (x)dx k f i (x)dx k a+1/k a a a+1/k a f i (a)dx ) f i (x)dx ) f i (x)dx Segue que f f 1 + f 2 q..p-x, porano f L 1 [a,b]. Corolário 1.1 Se f = f 1 f 2 :R R é de variação limiada em R enão f (x) exise quase sempre e f L 1 (R). Demonsração: k De fao, defina as sequências, a k = f i(x)dx e b k = f i(x)dx para i=1,2, e k k N. Noe que a k a k+1, b k b k+1, e do eorema anerior a k f i (k) f i () TV fi [,k] TV fi (R)< e b k f i () f i ( k) f i ( k) f i () TV fi [ k,] TV fi (R)< Assim, as sequências são monóonas e limiadas, porano convergenes. Daí, segue que, 13

24 Capíulo 1. Resulados Básicos e Conceios + f i(x)dx = f = lim k + + i(x)dx+ k f i(x)dx f i(x)dx+ lim k + k f i(x)dx<. Já que f = f 1 f 2 q..p-x enão f f 1 + f 2 q..p-x. Ponano f L 1 (R). Teorema 1.17 Seja f BV[a,b] e TV(x). = TV f [a,x], enão TV(x) é diferenciável q..p x [a,b], e (TV) (x)= f (x) q..p x [a,b]. Lembre que TV f [a,x]. = sup { n 1 f(x j ) f(x j 1 ) : a=x < x 1 < <x n = x,n N } <, onde o supremo é sobre o conjuno de odas as parições de [a,x]. Prova: Veja demonsração em [1]. 14

25 Capíulo 2 Leis de Conservação As EDPs de primeira ordem aparecem em muios problemas físicos e geoméricos, devido ao significado físico da noção de derivada (velocidade de movimeno) e seu significado geomérico (a angene do ângulo). Em muios problemas dese ipo uma das variáveis é a variável empo, e os processos podem durar um empo suficienemene grande. Durane ese período, algumas singularidades das soluções podem aparecer. Enre essas singularidades, consideramos apenas desconinuidades fores que são salos das soluções. É claro que, após as singularidades erem surgido, a fim de dar um significado à equação em quesão em de se definir derivadas fracas e soluções fracas. Essas noções foram inroduzidos na linguagem maemáica apenas no século 2. A primeira realização maemáica nesse senido foi o rabalho clássico de Hopf (195). Nese rabalho, uma eoria não-local para o problema de Cauchy foi consruída para a equação u + ( u 2 /2 ) x = com dado inicial u(x,) = u (x), onde u é uma função mensurável limiada. A equação u + f(u) x = é uma naural generalização da equação esuda por Hopf. Moivação para a equação de Hopf : Considere parículas em movimeno em um meio 15

26 Capíulo 2. Leis de Conservação 2.1. Leis de Conservação Escalar unidimensional na ausência de forças exernas. Denoe por u(x,) a velocidade da parícula, localizada no pono x no insane de empo. Se x=ϕ() é a rajeória da parícula enão sua velocidade é ϕ ()=u(ϕ(),) e a aceleração ϕ () é nula para odo empo, pela primeira Lei de Newon. Porano, = d2 ϕ d 2 = d u [u(ϕ(),)]= d + u x ϕ = u + u x u. A equação u +uu x = assim obida que descreve o campo velocidade das parículas é chamada equação de Hopf. Assim é naural esudar problemas mais gerais com u + f(u) = x ou na forma mulidimensional u + div x f(u) =. No presene rabalho, o objeo de esudo é a equação u + f(u) x =, que engloba a equação de Hopf, com f(u) convexa e com algumas hipóeses adicionais. 2.1 Leis de Conservação Escalar Uma lei de conservação escalar é uma EDP de primeira ordem da forma u + f(u) x =, (2.1) onde f é uma função não-linear dada e u=u(x,) R, x R e, é a função procurada. Esamos ineressados no problema de Cauchy associado a equação (2.1), ou seja, queremos ober uma função u(x,) que saisfaz (2.1) e uma deerminada condição inicial u(x,)=u (x). (2.2) 16

27 Capíulo 2. Leis de Conservação 2.1. Leis de Conservação Escalar Porém, leis de conservação do ipo (2.1)-(2.2) não possuem em geral solução global suave, iso é, de classe C 1 em R (, ) e conínua em R [, ), mesmo quando o dado inicial é suave. Vejamos isso nas subseções a seguir Condição para a não-exisência de solução global Seja f >, ou seja, f é esriamene convexa e u (x) C 1 (R). Considere o problema de Cauchy escalar u + f(u) x =, >, x R, u(x,)=u (x), x R. (2.3) Suponha que u(x,) seja uma solução suave para >, e reescreva a equação acima na forma u + f (u)u x =. Considere a curva inegral x() da equação diferencial ordinária dx d = f (u(x,)), x( )=x, >. (2.4) Ao longo desa curva (x(),) emos que u(x,) é consane, pois d d u(x(),)=u x(x(),) d d x()+u (x(),)=, dese fao e de (2.4) segue que x()=x +( ) f (u(x, )) al uma curva (rea) é chamada de curva caracerísica. Consequenemene, o valor u(x, ) da solução no pono (x, ) é conservado por oda essa rea. Logo, esendendo al rea aé inercepar o eixo-x em algum pono (y,), podemos considerar o valor de u (y ). Como o 17

28 Capíulo 2. Leis de Conservação 2.1. Leis de Conservação Escalar pono (y,) enconra-se sobre a rea inicial emos u(x, ) = u(y,) = u (y ) e podemos escrever x()=x +( ) f (u (y )), ou ainda, já que y = x f (u (y )) enão x()=y + f (u (y )), onde a inclinação da rea é dada pelo dado inicial. Assim, se ivermos m 1 = f (u (y 1 ))>m 2 = f (u (y 2 )) para y 1 < y 2 enão as curvas caracerísicas passando por(y 1,),(y 2,), respecivamene, cruzarão em algum pono p do plano x, para algum >, a saber para < = y 2 y 1 m 1 m 2. Logo em p a função u(x,) deixa de ser conínua, pois u (y 1 )=u(y 1,)=u(p )=u(y 2,)=u (y 2 ), já que u(, ) é consane sobre as curvas, noe que u (y 1 ) u (y 2 ). Para a exisência dos ponos y 1 e y 2 basa supor que exisa z al que u (z)<. Porano, não podemos er uma solução suave globalmene definida Redução do Problema de Cauchy a uma Equação Implícia Considere o problema de Cauchy u + f(u) x =, >, x R, u(x,)=u (x), x R, (2.5) com dado inicial u = u (x) de classe C 1 (R). Assuma que emos uma solução u = u(x,) clássica (suave) para o problema de Cauchy. Sendo as curvas caracerísicas reas, seja (x,) 18

29 Capíulo 2. Leis de Conservação 2.1. Leis de Conservação Escalar é um pono com >, denoe por y = y(x,) o único pono sobre o eixo-x que a rea caracerísica inercepa passando por (x,). Já que u = u(, ) é consane sobre a rea caracerísica emos a seguine idenidade para a solução u(x,)=u(y,)=u (x f (u(x,))). (2.6) Agora, ransferimos nossa aenção para a equação abaixo, proveniene de (2.6), ou seja, F(u,x,)=u u (x f (u))=. (2.6) Observe que aplicação F C 1 (R 2 (, )) acima. Noe para = que F(u,x,) é crescene em u. Suponha, para algum T >, que enhamos F u (x,,u)=1+u (x f (u)) f (u)>, para odo(u,x,) onde u é solução da equação F(u,x,)= para cada(x,) R [,T) fixado. Noe que esamos supondo ser possível resolver a equação F(u,x,)=. Enão para cada(x,) R (,T), exise um único u=u(x,) al que u(x,) u (x f (u(x,)))= e o Teorema da Função Implícia nos garane que a função assim definida é de classe C 1 na faixa R (,T), além disso, emos as expressões u (x,)= f (u(x,))u (x f(u(x,))) 1+u (x u) f (u(x,)) e u x (x,)= u (x f(u(x,))) 1+u (x u) f (u(x,)). Segue por subsiuição na equação u + f(u) x = que u = u(, ) é solução do problema de Cauchy com dado inicial u, e suave na faixa R (,T). Agora, se f (u) L sobre a imagem de u e ainda u K enão emos u(x,)=u (y), 19

30 Capíulo 2. Leis de Conservação 2.2. Solução Fraca e Condição de Rankine-Hugonio onde y=x f (u(x,)), porano 1+u (x f (u)) f (u)>1 KL>, assim basa considerar saisfazendo < < 1 KL solução na faixa < < 1 KL = T. = T. Assim o problema de Cauchy em uma Em suma, o que fizemos é ransferir o problema de Cauchy à resolução da equação dada por (2.6) em uma faixa Π T ={(x,); <x<, < < T} de sore a ober uma solução suave para o problema de Cauchy. Comenário 1 Em resumo, dado y R, a curva caracerísica x() saindo de y é definida (ao menos localmene) por x () = f (u(x,)) x() = y. O pono y é considerado o pé da curva caracerísica, e pondo v() = u(x(),) emos v ()=. Assim a solução é consane ao longo da caracerísica, onde a mesma deve ser uma rea. É geomericamene possível que duas ais caracerísicas possam cruzar em algum empo >. 2.2 Solução Fraca e Condição de Rankine-Hugonio Vimos nas seções aneriores em que geral não podemos er solução clássica para odo empo e quando isso é possível pode fazer apenas para empo finio. Logo, como gosaríamos de ober solução para odo empo, o conceio de solução clássica cede lugar ao de solução generalizada ou fraca. Esa úlima significa saisfazermos não a equação diferencial parcial em si, mas uma 2

31 Capíulo 2. Leis de Conservação 2.2. Solução Fraca e Condição de Rankine-Hugonio formulação inegral obida a parir da mesma que quando resria a soluções clássicas suaves al formulação é equivalene a equação diferencial original. Infelizmene adoando-se ese conceio de solução generalizada perdemos unicidade, e um criério adicional se faz necessário para garanirmos a unicidade, ou ainda, selecionarmos a solução fisicamene correa denre odas as fracas exisenes. Exise uma abordagem geral que conduz a uma noção de solução generalizada, que em sua origem na eoria das disribuições. Em visa de nossa equação diferencial em esudo damos a seguine definição : Definição 2.1 Dizemos que uma função u : R [, ) mensurável e limiada é uma solução generalizada do problema de Cauchy (2.7) com dado u (x) mensurável limiado u + f(u) x =, >, x R, u(x,)=u (x), x R (2.7) se (uφ + f(u)φ x )dxd+ u (x)φ(x,)dx= (2.8) para oda φ C 1 (R 2 com Supp(φ) { } [a,b] [,T]. Moivação para al definição: Seja φ C 1 c(r [, )). Suponha que emos uma solução clássica (suave) para o problema de Cauchy, agora muliplique a equação u + f(u) x = por φ e inegre sobre a região R [, ), supondo Supp(φ) [a,b] [,T] emos = (u + f(u) x )φ ddx = = = b T a b T a b a [ uφ b = a = (u + f(u) x )φ ddx T u φ ddx+ T b a ] T uφ dx+ u(x,)φ(x,)dx f(u) x φ dxd [ T f(u)φ b T (uφ + f(u)φ x )dxd 21 a b a uφ ddx R ] b f(u)φ x d a T b a u (x)φ(x,)dx f(u)φ x dxd

32 Capíulo 2. Leis de Conservação 2.3. Exemplos de Soluções Fracas Porano, se u=u(x,) é uma solução suave de (2.7) enão (2.8) é saisfeia para oda φ C 1 (R 2 ) com Supp(φ) { } [a,b] [,T]. Observamos ainda que, se u :R [, ) R é al que u C 1 (R (, )) C(R [, )) saisfaz (2.8) enão u=u(x,) é uma solução clássica do problema de Cauchy com dado u (x) conínuo e fluxo f C 1 (R). De fao, seja φ Cc(R (, )) 1 enão por hipóese e usando inegração por pares = uφ + f(u)φ x dxd = > (u + f(u) x )φ dxd (2.9) como φ é qualquer segue que u + f(u) x = em R (, ). Agora, considere φ como na definição acima e muliplique u + f(u) x = por φ e inegre por pares como na moivação dada acima. Segue que, (uφ + f(u)φ x )dxd+ u(x,)φ(x,)dx= mas por (2.8) em-se (u(x,) u (x))φ(x,)dx= já que φ é qualquer e u(x,) u (x) é conínuo concluímos que u(x,) u (x)= emr, como queríamos. 2.3 Exemplos de Soluções Fracas Vejamos alguns exemplos de soluções fracas : Considere o fluxo f linear; iso é, f(u)=au+b, podemos escrever a equação na forma u + au x = 22

33 Capíulo 2. Leis de Conservação 2.3. Exemplos de Soluções Fracas e é bem conhecido que u(x,) = u (x a) é uma solução suave, com dado inicial suave, pelo méodo das caracerísicas. Agora com dado inicial expliciado considere o problema de Cauchy: onde u + au x =, >, x R, u(x,)=u (x), x R. u, x, u (x)= u +, x> (2.1) (2.11) Porano, segue dos faos apresenados que (u u + ) u, x a u(x,)=u (x a)= u +, x a > (2.12) é uma solução ponual e suave de ambos os lados da rea x a = sobre a qual u = u(x,) é desconínua devido ao fao que seu dado inicial o é em x =. No caso, u = u + emos que u(x,)=u é uma solução clássica global. Considere o problema de Cauchy u +(u 2 /2) x =, >, x R, u(x,)=u (x), x R,, x u (x)= 1, x> (2.13) (2.14) Enão, x /2 u(x,) = 1, x> /2 (2.15) é uma solução fraca. De fao, Seja φ C 1 c(r [, )) e suponha S(φ) [a,b] [,T] com 23

34 Capíulo 2. Leis de Conservação 2.3. Exemplos de Soluções Fracas a<<b emos : T/2 T /2 a b φ(x,2x)dx T/2 (uφ + f(u)φ x )dxd+ T/2 φ(x,2x)dx 1 2 b g(x) b T b (uφ + f(u)φ x )dxd+ T b a T b φ d dx+ 1 2 (uφ + f(u)φ x )dxd+ (uφ + f(u)φ x )dxd+ /2 T b /2 φ dxd+ 1 2 T φ(x,g(x)) φ(x,)dx 1 2 φ(x,t)dx T b φ(/2,)d = 1 2 φ(x,)dx 1 2 T (φ φ x)dxd+ /2 T b /2 φ dxd+ φ(b,) φ(/2,)d+ T T φ(/2,)d 1 2 φ(/2,)d+ φ(/2,)d+ T u (x)φ(x,)dx = b b b b b b b φ(x,)dx = φ(x,)dx = φ(x,)dx = φ(x,)dx = φ(x,)dx = φ(x,)dx = φ(x,)dx = φ(/2,)d =. Onde 2x, x T 2 g(x)= T T, 2 x b (2.16) Porano, já que φ é arbirária segue que u é uma solução fraca. Agora, considere para o mesmo problema a função u(x,) =, x< x, x< 1, x (2.17) 24

35 Capíulo 2. Leis de Conservação 2.3. Exemplos de Soluções Fracas Enão afirmamos que esa ambém é uma solução fraca. De fao, φ C 1 c(r [, )) e suponha S(φ) [a,b=t] [,T] emos T x T φ dxd+ T T φ(,) 2 uφ + u2 2 φ x dxd+ x φ + x2 2 2 φ x dxd+ d T (uφ + f(u)φ x )dxd+ T b b x b x uφ + u2 2 φ x dxd+ uφ + u2 2 φ x dxd+ x 2 φ dxd+ b φ φ x dxd+ x 1 2 φ x dxd+ u (x)φ(x,)dx = b b b b φ(x,)dx = φ(x,)dx = φ(x,)dx = φ(x,x)dx. Agora, noe que, T x b T φ dxd = φ(x,x)dx+ x φ dxd (2.18) 2 e que Porano, b x 1 T 2 φ φ(,) x dxd = d (2.19) 2 (uφ + f(u)φ x )dxd+ u (x)φ(x,)dx= pois φ foi omada arbiráriamene. Observamos, em visa dos exemplos de soluções fracas, que perdemos unicidade ao considerar a classe das soluções fracas. Volamos a ese assuno mais adiane. 25

36 Capíulo 2. Leis de Conservação 2.4. Conceios e Condição de Rankine-Hugonio 2.4 Conceios e Condição de Rankine-Hugonio Definição 2.2 Dizemos que u :R [, ) R é uma função suave por pares se exise apenas um número finio de curvas Γ={(ϕ(),); } em R [, ) fora das quais a função u(x,) é de classe C 1 e sobre Γ u em limies laerais, iso é, os limies abaixo exisem (finios) lim (x,) (x, ) (x,) Ω + u(x,)=u r (x, ) e lim (x,) (x, ) (x,) Ω u(x,)=u l (x, ), para cada (x, ) Γ, onde Ω + ={(x,);x>ϕ()} e Ω ={(x,);x<ϕ()}. Definição 2.3 Dizemos que u=u(x,) é uma solução suave por pares para a lei de conservação u + f(u) x = no semi-plano > se saisfaz ponualmene a equação em ambos os lados de uma curva x=x() suave sobre a qual u é desconínua. Comenário 2 (Sobre as definições 2.3) Para ser mais específico no caso de uma única curva de desconinuidade emos a siuação: al uma curva divide o semi-plano em duas regiões Ω + e Ω al que u C 1 (Ω + ) C 1 (Ω ) e saisfaz (2.7) no senido usual, além disso, valem os limies laerais sobre a curva como na definição (2.2). Teorema 2.1 (Rankine-Hugonio) Seja u : R [, ) R uma função suave por pares da forma u (x,), x<ϕ() u(x,) = u + (x,), x>ϕ() (2.2) onde Ω + ={(x,);x>ϕ()} e Ω ={(x,);x<ϕ()}, e as funções u ± : Ω ± R e ϕ :R + R sendo coninuamene diferenciáveis. Enão, sendo u uma solução fraca, logo uma solução 26

37 Capíulo 2. Leis de Conservação 2.4. Conceios e Condição de Rankine-Hugonio clássica em ambas as regiões Ω ±, emos que condição de Rankine-Hugonio vale ao longo da curva ϕ, iso é, dϕ(z) d = z=> f(u(ϕ()+,)) f(u(ϕ(),)). u(ϕ()+,) u(ϕ(),) Reciprocamene, seja u = u(x,) uma solução clássica da equação u + f(u) x = em ambas as regiões Ω ± e assuma que u enha desconinuidade sobre a curva Γ separando Ω + e Ω e que a condição de Rankine-Hugonio seja saisfeia sobre Γ. Enão u = u(x,) é uma solução disribucional para lei de conservação. Demonsração: Seja U um abero limiado al que U U R (, ), e suponha que Γ passe por U dividindo-o em duas pares U + = U Ω + e U = U Ω. Observamos de inicío que sendo u=u(x,) solução fraca emos a igualdade u + f(u) x = ponual sobre as regiões Ω± pois Cc (Ω±) Cc (R (, )) e u é suave em cada uma das regiões Ω±. Considere φ uma função ese em Cc(U) 1 Cc(R (, )), 1 enão = > uφ + f(u)φ x dxd = = = uφ + f(u)φ x dxd U uφ + f(u)φ x dxd+ uφ + f(u)φ x dxd U + U ( f(u)φ) x +(uφ) dxd+ ( f(u)φ) x +(uφ) dxd U + U As funções u=u(,x), f(u(,x)) e φ são suaves nos domínios U + e U e já que ais domínios são limiados podemos usar o eorema do divergene no plano, mas noemos que as froneiras dos domínios envolvidos possuem ponos de Γ ={(ϕ(),); > } e de U. Enão considerando a exisência dos limies lim u(x,) := u r (x, ) e (x,) (x, ) (x,) Ω +,(x, ) Γ lim u(x,) := u l (x, ). (x,) (x, ) (x,) Ω,(x, ) Γ podemos escrever 27

38 Capíulo 2. Leis de Conservação 2.4. Conceios e Condição de Rankine-Hugonio [( f(u)φ) x +(uφ) ]dxd = U + [( f(u)φ) x +(uφ) ]dxd = U φ( u r )dx+φ f(u r )d U + φ( u l )dx+φ f(u l )d U Sobre U emos que φ(x,)=, enão esas inegrais de linha deixam de ser nulas possivelmene só sobre Γ. Agora observando que a orienação de Γ como pare de U + em senido oposo a orienação de Γ como pare de U, podemos escrever as igualdades : U + φ( u r )dx+φ f(u r )d = φ( u r )dx+φ f(u r )d Γ U φ( u l )dx+φ f(u l )d = Γ φ( u l )dx+φ f(u l )d Porano, segue = Γ φ[ (u l u r )dx+(f(u l ) f(u r ))d] (2.21) Esa igualdade ocorrendo para oda função ese φ implica que ( f(u l ) f(u r )) (u l u r )ϕ ()= Como, e u r (ϕ(),)= lim u(ϕ()+ε,) := u(ϕ()+,) ε + u l (ϕ(),)= lim u(ϕ() ε,) := u(ϕ(),) ε + obemos, dϕ d = f(u(ϕ()+,)) f(u(ϕ(),)). u(ϕ()+,) u(ϕ(),) 28

39 Capíulo 2. Leis de Conservação 2.4. Conceios e Condição de Rankine-Hugonio Reciprocamene, consideremos φ uma função ese em Cc(R (, )), 1 seja U abero limiado de modo que Supp(φ) U U R (, ). Procedendo como acima emos > (uφ + f(u)φ x )dxd = Γ φ[ (u l u r )dx+(f(u l ) f(u r ))d]. Considere o inervalo a b de sore que a pare da froneira de U + sobre Γ seja cobera. Porano, podemos escrever na forma > uφ + f(u)φ x dxd = = = = Γ b a b a b a φ[ (u l u r )dx+(f(u l ) f(u r ))d] [u(ϕ()+,)ϕ () f(u(ϕ()+,))]φ(ϕ(),)d [u(ϕ(),)ϕ () f(u(ϕ(),))]φ(ϕ(),)d φ(ϕ(),){[u r u l ]ϕ () [f(u r ) f(u l )]} d =. } {{ } = Daí, segue que > (uφ + f(u)φ x )dxd =, ou seja, u é uma solução disribucional, pois φ é arbirária. Uma siuação simples é quando u + e u são consanes e ϕ()=λ é linear; segue que u, x<λ u(,x)= u +, x>λ (2.22) é uma solução fraca se e só se os escalares u ± e λ saisfazem Rankine-Hugonio, ou seja, λ(u + u )+ f(u + ) f(u )=. 29

40 Capíulo 2. Leis de Conservação 2.4. Conceios e Condição de Rankine-Hugonio Considerando a equação de Burgers u +(u 2 /2)=, x R, > emos que u, x<λ u(,x)= u +, x>λ (2.23) é uma a solução fraca quando λ = u + u Aplicação da Condição de Rankine-Hugonio Considere a equação de Burgers u +(u 2 /2)=, x R, > com dado inicial 1, x u (x)=, x< (2.24) Geomericamene (vide figura 2.1) o gráfico das caraceríicas não enram na região Figura 2.1: {(x,);<x< }. Assim, o dado inicial não nos fornece informações de como a solução pode 3

41 Capíulo 2. Leis de Conservação 2.5. Enropia de Lax ser compuada nesa região. Uma enaiva de conornar esa siuação seria consruir arificialmene uma desconinuidade, iso é; considere uma curva dada por Γ={(ϕ(),); } al que ϕ()= e <ϕ()<,( ϕ enconra-se na região ) e defina u(x,)=, x<ϕ() e u(x,)=1 para x>ϕ(). Por conrução u é desconínua sobre Γ. Em visa de Rankine-Hugonio al uma curva não pode ser qualquer, ou seja, deve saisfazer ϕ()= f(u +) f(u ) u + u = 1/2 1 = 1 2. Assim, al uma ϕ é obida considerando o P.V.I abaixo : dϕ d = 1 2 ϕ()= (2.25) Porano,, x< /2 u(x,) = 1, x /2 (2.26) é uma candidaa a solução fraca segundo eorema (2.1). 2.5 Enropia de Lax Vimos que soluções fracas para a lei de conservação em esudo podem coner desconinuidade que são provindas do dado inicial ou originada por inerseções de reas caracerísicas. Vimos ambém, aravés de exemplos concreos que em se raando de soluções fracas o problema de Cauchy não possui em geral única solução fraca. Iso nos mosra que um adicional criério se faz necessário, baseado em princípios físicos e suporado em princípios maemáicos, para que possamos escolher denre as possíveis soluções fracas a solução fisicamene correa, lembrando que a equação u + f(u) x = provém de algum modelo físico, e assim deve er algum mecanismo para escolher a solução fisicamene relevane. Maemaicamene, a quesão 31

42 Capíulo 2. Leis de Conservação 2.5. Enropia de Lax é impor uma condição sobre a classe das soluções fracas que assegure exisência e unicidade. Para ese propósio segue a definição Definição 2.4 Seja u uma solução suave por pares para lei de conservação u + f(u) x = no semi-plano. Suponha que u = u(x,) enha desconinuidade sobre uma curva da forma Γ={(x(),); }, e denoe por u l e u r os valores-limies de u em um pono(x(),) Γ, iso é, u l ()=lim ε + u(x() ε,) e u r ()=lim ε + u(x()+ε,). Enão a solução é dia admissível, se em cada pono sobre Γ a condição de Rankine-Hugonio e a condição de Enropia (devido à Lax) f (u l )> dx d > f (u r ) sejam saisfeias. Comenário 3 A condição de Rankine-Hugonio não escolhe a solução fisicamene relevane ou admissível, pois considerando a equação de Burgers com dado inicial, x u (x)= 1, x> (2.27) emos que 1, x /2 u(x,) =, x> /2 (2.28) é uma solução fraca que saisfaz Rankine-Hugonio, porém, f (u l )< dx d < f (u r ). Observação 2.1 No próximo capíulo o fluxo f em quesão será sempre considerado esriamene convexo, ou seja, vamos supor f >. Assim sendo, seja x=x() uma curva de desconinuidade de u=u(x,), sobre a qual valha a condição de Rankine-Hugonio, ou seja, ẋ()= f(u r) f(u l ) u r u l. Caso u r < u l, emos pelo eorema do valor médio que ẋ() = f (u r + θ(u l u r )), e no caso conrário, ẋ() = f (u l + θ(u r u l )). Sendo f crescene, concluímos em qualquer dos casos 32

43 Capíulo 2. Leis de Conservação 2.5. Enropia de Lax que dx d esá enre f (u r ) e f (u l ). Porano, para obermos a desigualdade dada na definição (2.4) basa mosrar que f (u r )< f (u l ), ou ainda, que u r < u l. Em suma, para que u = u(x,), uma solução de u + f(u) x =, seja solução admissível devemos concluir a desigualdade u r < u l. 33

44 Capíulo 3 Fórmula Explícia Ese capíulo é dedicado à dedução de uma fórmula explícia para o problema de Cauchy quando o fluxo em quesão é convexo. Também mosramos que esa fórmula nós dá uma pisa de uma possível solução generalizada desconínua. Provamos um resulado de unicidade para o problema (3.1) sob ceras condições. Em se raando do dado inicial mosramos o comporameno da solução dada pela fórmula explícia quando o dado inicial é de variação limiada e quando o dado em supore compaco. Teorema 3.1 (Fórmula Explícia) Sejam f : R R uma função convexa saisfazendo f (x) θ > e lim x ± f (x)=±, e u (x) um dado inicial em L (R). Enão, se u=u(x,) é uma solução suave de supore compaco do problema de Cauchy u + f(u) x =, x R, > u(x,)=u (x), x R, (3.a) (3.b) (3.1) e denoando por g(.) a ransformação de Legendre de f e por b a inversa de a = f emos a 34

45 Capíulo 3. Fórmula Explícia seguine expressão para u(x,) : ( ) x y(x,) u(x,)=b (3.2) onde y=y(x,) é um pono de mínimo de y ( ) x y u (x)dx+g = G(x,,y) (3.3) Demonsração: Consideremos o problema de Cauchy (3.1) e demonsramos que a fórmula (3.2) é válida para qualquer solução suave por pares com supore compaco saisfazendo a condição de Enropia. Noe que, segundo esas condições o dado inicial ambém em supore compaco, pois u (x)=u(x,). Considere a seguine função inegral U(x,) = x u(y,)dy, x R, enão U x = u. (3.4) Inegrando na variável espacial a equação em (3.a) de a x e usando (3.4) derivamos a igualdade: U + f(u x )=, 35

46 Capíulo 3. Fórmula Explícia onde ajusamos f de modo que f()=, do conrário considere o fluxo F(u)= f(u) f(). Tal igualdade é deduzida abaixo : = x = U (x,)+ = U (x,)+ u (y,)+ f (u(y,))u x (y,)dy x u(x,) f (u(y,))u x (y,)dy f (z)dz = U (x,)+ f(u(x,)) f() Já que f é convexa vale a desigualdade f(u) f(v)+ f (v)(u v) (3.5) para u,v R. Usando a desigualdade (3.5) com u = U x (x,) e qualquer v R deduzimos a seguine desigualdade : U (x,)+a(v)u x (x,) a(v)v f(v), v R. (3.6) Denoe por y o pono onde a rea X = X() de inclinação dx d inercepa o eixo-x, segue que o pono y é dado por = a(v) passando por (x,) x y = a(v) (3.7) Agora, inegramos (3.6) ao longo desa rea sobre [,], 36

47 Capíulo 3. Fórmula Explícia [a(v)v f(v)] = U (X(s),s)+a(v)U x (X(s),s)ds d ds [U(X(s),s)]ds = U(X(),) U(X(),) e obemos U(x,) U(y,)+[a(v)v f(v)] (3.8) De (3.7) emos que b((x y)/) = v. Seja g(z)=b(z)z f(b((z)) a ransformada de Legendre de f. Em visa de (3.8) deduzimos a expressão ( ) x y U(x,) U(y,)+g = y ( ) x y u (x)dx+g (3.9) Noe que esa desigualdade é válida para odo y real, poisr v x a(v) R é uma bijeção, e concluimos que U(x,) G(x,,y), y R. Agora considere o único pono y = y(x,) sobre o eixo-x associado a rea de inclinação, como aneriormene, com v = u(x,) e que passa por (x,), ou seja, esamos ineressados na curva (rea) caracerísica associada a E.D.O com dado inicial: dx ds = a(u(x(s)),s) X()=x (3.1) 37

48 Capíulo 3. Fórmula Explícia Desa curva noe que U (X(s),s)+a(u(x,))U x (X(s)),s) = = X(s) X(s) u (y,s)dy+a(v)u(x(s),s) f (u(y,s))u y (y,s)dy+a(v)u(x(s),s) = f(u(x(s),s))+a(v)u(x(s),s) = f(u(x(),))+a(v)u(x(),) = a(v)v f(v) já que u = u(, ) é consane sobre al rea. Enão sobre a curva caracerísica X = X(s) vale a igualdade em (3.6) e consequenemene emos igualdade em (3.9) para y = y(x,) = x f (u(x,)), ou seja, y(x,) minimiza a função G(x,, ) e daí deduzimos que ( ) x y(x,) u(x,)=b. Teorema 3.2 (Solução Generalizada) As fórmulas (3.2)-(3.3) definem uma possível função u(x,) desconínua para um arbirário dado inicial u (x) L (R); e a função u(x,) assim definida saisfaz (3.a) no senido das disribuições. Demonsração: Definimos as funções Ω N (x,), u N (x,) e f N (x,) para N >, por Ω N (x,) = u N (x,) = f N (x,) = exp{ NG(x,, y)} dy 1 b Ω N (x,) ( x y 1 ( f b Ω N (x,) ( x y ) exp{ NG(x,, y)} dy, )) exp{ NG(x,, y)} dy 38

49 Capíulo 3. Fórmula Explícia Considerando a aplicação V(x,) no semi-plano >, V N (x,)=ln exp{ NG(x,, y)} dy, em-se por diferenciação direa que V N x = N G x exp{ NG(x,,y)}dy exp{ NG(x,,y)}dy = N b ( x y) exp{ NG(x,,y)}dy exp{ NG(x,,y)}dy = Nu N. Logo, segue que u N = 1 V N N x e V N = N G exp{ng(x,,y)}dy exp{ NG(x,,y)}dy = N f ( b ( x y)) exp{ NG(x,,y)}dy exp{ NG(x,,y)}dy = N f N. 39

50 Capíulo 3. Fórmula Explícia Porano, f N = 1 N V N. Agora, diferenciando V N em relação a x e V N x em relação a obem-se 2 V x = 2 V x, e porano, u N + f N x =. As igualdades acima em sido jusificadas de uma cera forma em apêndice. Agora demonsraremos as seguines convergências ponuais: u N (x,) u(x,), f N (x,) f(u(x,)), quando N, respecivamene. Seja (x,) um pono de coninuidade de y(,) enão a aplicação G(,x, ) em como único pono de mínimo y(x,). Afirmamos que u N (x,) u(x,). Provemos ese fao : Adicionando uma consane a função G(x,, ), se necessário, podemos supor que G(x,, y(x,)) =, pois não aleramos as funções u N (x,). 4

51 Capíulo 3. Fórmula Explícia Dado <ε < 1 arbirário, por hipóese G, exise (veja apêndice) uma consane C 1 = C 1 (x,)> al que G(x,,y) C 1 y y(x,), y [y(x,) ε,y(x,)+ε] o que implica R e NG(x,,y) dy = = = 2 = 2 N > 2 N y(x,)+ε y(x,) ε ε ε ε e NC 1 y y(x,) dy e NC 1 y dy Nε 1 e NC 1y dy e C 1y dy e C 1y dy= C 2 N ( 1 e C ) 1 onde C 2 = 2 e εn > 1. C 1 Porano, R e NG(x,,y) dy C 2 N, para ε > 1 N. al que Agora, consideremos a região y y(x,) ε, afirmamos que exise uma consane C 3 (ε)> e NG(x,,y) e C 3N y y(x,) sobre a região y y(x,) ε. 41

52 Capíulo 3. Fórmula Explícia De fao, já que lim y G(x,,y) y definição de limie infinio, exise algum r=r(c 1 )> al que G(x,,y) =+ ambém emos que lim y y y(x,) =+. Daí, pela G(x,,y)> C 1 y y(x,) para y >r. Observe que r > y(x,)+ε e r < y(x,) ε. Considere os seguines inervalos, [y(x,)+ε, r]=i 1 e [ r, y(x,) ε]=i 2 e sejam B 1 =(x 1,G(x 1 )), B 2 =(x 2,G(x 2 )) os ponos de mínimo em I 1 e I 2, ais ponos dependem de (x,) e ε >. Denoe z=y(x,) e suponha z Considere m 1 = G(x 1) z+r (> ) e m 2 = G(x 2) z+r (> ), ou seja, m 1 e m 2 são respecivamene os coeficienes angulares das reas passando por A = (z, ) e B = (2z+r,G(x 1 )), A e C=(2z+r,G(x 2 )). Seja C 3 = min{m 1,m 2 } enão G(x,,y) C 3 y y(x,) para y I 1 I 2, De fao, 1. Caso C 3 = m 1. Seja z+ε w r enão C 3 w z =m 1 w z =m 1 (w z)<m 1 (r z) m 1 ((2z+r) z)=g(x 1 ) G(w). Se r w z ε enão C 3 w z =m 1 w z = m 1 (w z) m 1 ( r z)=g(x 1 ) G(x 2 ) G(w). 2. Caso C 3 = m 2. Seja z+ε w r enão C 3 w z =m 2 w z =m 2 (w z) m 2 (r z)< m 2 ((2z+r) z)=g(x 2 ) G(x 1 ) G(w). Se r w z ε enão C 3 w z =m 1 w z = m 1 (w z) m 1 ( r z)=g(x 2 ) G(w). 3. Fora dos inervalos I 1 e I 2 já emos que G(x,,y)> C 1 y y(x,). 4. Porano G(x,,y)> C 3 y y(x,), para y {y; y y(x,) ε}, com C 3 = min{c 1, C 3 }. 42

53 Capíulo 3. Fórmula Explícia Caso, dado(x,) ivermos y(x,)< a idéia é análoga. emos Agora, seja C 4 > uma consane de Lipschiz para b( )/, que exise pois f θ >. Daí, u N (x,) u(x,) = ( ( ) ( )) x y x y(x,) b b e NG dy R e NG dy R C 4 y y(x,) e NG dy R e NG dy R y(x,)+ε εe NG dy C 4 y(x,) ε +C 4 e NG dy R εc 4 + NC 4 /C 2 εc 4 + NC 4 C 2 εc 4 + NC 4 C 2 εc 4 + 2NC 4 C 2 εc 4 + 2NC 4 C 2 y y(x,) e NG dy y y(x,) ε e NG dy y y(x,) e NG dy y y(x,) ε y y(x,) ε y ε y ε y y(x,) e NC 3 y y(x,) dy y e y NC 3 dy ye ync 3 dy ye ync 3 dy = εc 4 + 2NC 4 C 2 (NC 3 ) 2 = εc 4+ C 5 N. R Daí, lim sup u N (x,) u(x,) εc 4, N como ε é arbirário, segue o resulado desejado. Agora vamos provar que f N (x,) f(u(x,)), quando N. 43

54 Capíulo 3. Fórmula Explícia Podemos escrever u N (x,) como segue R u N (x,)= onde µ N (y)= e NG(x,,y), noe que e NG(x,,z) dz f N (x,)= R R R ( ) x y b µ N (y)dy, µ N (y)dy=1. Do mesmo modo, ( ( )) x y f b µ N (y)dy. Daí, pela convexidade de f segue a desigualdade abaixo f N (x,) f(u(x,)) = R R [ ( ( )) ( ( ))] x y x y(x,) f b f b µ N (y)dy ( )[ ( ) ( )] x y x y x y(x,) b b µ N (y)dy I N 1 (x,)+in 2 (x,) onde e I N 1 (x,)= x I N 2 (x,)= R R [ ( ) ( )] x y x y(x,) b b µ N (y)dy [ ( ) ( )] y x y x y(x,) b b µ N (y)dy. Noe que pois I N 1 I N 1 (x,), N, (x,)= x u N(x,) u(x,), N. 44

55 Capíulo 3. Fórmula Explícia Agora, I2 N(x,) IN 3 (x,)+in 4 (x,) onde I N 3 (x,)= 1 ( ) ( ) y y(x,) x y x y(x,) b b µ N (y)dy R e I N 4 (x,)= 1 ( ) ( ) y(x,) x y x y(x,) b b µ N (y)dy. R Seja C 4 uma consane de Lipschiz para b( )/ enão I N 3 (x,) C 4 R y y(x,) 2 µ N (y)dy e I N 4 (x,) y(x,) C 4 R y y(x,) 2 µ N (y)dy. Segue da demonsração que u N (x,) u(x,) as seguines esimaivas : I3 N(x,) C 4 ε2 + 2C 5 N 2 e I4 N(x,) y(x,) C 4 ε y(x,) C 5 N 2. Novamene pela convexidade de f emos f(u(x,)) f N (x,) = R R I N(x,) ( ( )) ( ( )) x y(x,) x y f b f b µ N (y)dy ( )[ ( ) ( )] x y(x,) x y x y(x,) b b µ N (y)dy onde I N = x y(x,) R [ ( ) ( )] x y x y(x,) b b µ N (y)dy observamos I N (x,) quando N. 45

56 Capíulo 3. Fórmula Explícia Em visa das esimaivas aneriores obemos que f N (x,) f(x,) max{i N,I N 1 + IN 3 + IN 4 }, daí segue que lim sup f N (x,) f(x,) ε 2 C, N { } C4 onde C=max, y(x,) C 4 como ε é arbirário, concluímos que lim f N(x,) f(x,) =. N Vimos aneriormene que u N + f N x =, e por ([11]) emos ambém que u N u(x,) e f N f(u) na norma L 1 (R (, )). Daí, para oda φ(x,) C 1 c((r (, ))) no semi-espaço > emos u N (, )φ + f N (, )φ x L 1 uφ + f(u)φ x Daí, segue que = lim u N φ + f Nx φ dxd N + S(φ) = lim = N + S(φ) S(φ) u N φ + f N φ x dxd uφ + f(u)φ x dxd 46

57 Capíulo 3. Fórmula Explícia pois S(φ) (u N φ + f N φ x ) (uφ + f(u)φ x )dxd + S(φ) S(φ) u N u φ dxd f N f(u) φ x dxd. Porano, = S(φ) uφ + f(u)φ x dxd, iso é, u(x,) é uma solução fraca. Lema 3.1 Para > fixado, denoe por y(x) algum valor que minimize G(x,y). Enão y(x) é uma função monóona crescene de x. Demonsração: Temos que demonsrar para x 1 < x 2 que G(x 2,y) não ainge seu mínimo para y<y 1 = y(x 1 ), o que equivale a verificarmos que se y<y 1, G(x 2,y 1 )<G(x 2,y). No enano al desigualdade é equivalene à G(x 1,y)+G(x 2,y 1 )<G(x 2,y)+G(x 1,y 1 ) para y < y 1, já que G(x 1,y 1 ) G(x 1,y). Enão, ransferimos nossa aenção a dedução da desigualdade G(x 1,y)+G(x 2,y 1 )<G(x 2,y)+G(x 1,y 1 ), para y<y 1. Pela definição de G(x 1,.) e G(x 2, ) esa desigualdade é equivalene à [ ( ) ( )] x1 y x2 y 1 g + g [ < g ( ) ( )] x2 y x1 y 1 + g ou ainda 47

58 Capíulo 3. Fórmula Explícia [ ( ) ( )] x1 y x1 y 1 g g [ < g ( ) ( )] x2 y x2 y 1 g a qual podemos reescrever após muliplicação por y 1 y> como segue ( x1 y g x 1 y ) g ( ) x1 y 1 x 1 y 1 ( x2 y g < x 2 y ) g ( ) x2 y 1 x 2 y 1 Mas esa desigualdade é verdadeira pela convexidade esria de g(.) para x 1 < x 2 e y<y 1, pois os ponos (x 1 y)/, (x 1 y 1 )/, (x 2 y)/ e (x 2 y 1 )/ esão nas condições do Lema 1.1. Porano, G(x 2,y 1 )<G(x 2,y), se y<y 1 e daí y 1 y 2. Observação 3.1 Esa observação é dedicada a verificar que de fao a aplicação G(x,, ) para cada (x,) em algum pono de mínimo. Para iso, mosraremos alguns limies e concluiremos al resulado. Faremos abaixo algumas afirmações: Inciamos observando que a ransformada de Legendre de f em crescimeno linear, pois limg =±, ± o que nos permie concluir que g(v) quando v ±. Afirmação 1: lim g y ± ( x y ) y =±. 48

59 Capíulo 3. Fórmula Explícia De fao, basa aplicar a Regra de L Hospial e noar que ( ) x y lim b =. y ± pois lim y ± b(y)=±. Afirmação 2: G(x,, y) lim =±. y ± y De fao, já que, 1 y Afirmação 3: y u (z)dz é limiado, pois u L, e segue o resulado da afirmação 1. lim G(x,,y)=. y ± Segue da afirmação 2. G(x,,y) Já que lim y =, exise y > al que G(y )>. Como lim y G(x,,y)=, y segue da definição de limie G(y) G(y ) para y [r, ) onde r=r(g(y ))>. Por ouro lado, como G é conínua e I = [,r] é compaco exise y I que é pono de mínimo. Enão considerando, G(y 1 ) = min{g(y ),G(y )} obemos que G(y 1 ) G(y) para odo y. Porém, emos ambém que lim y G(x,,y) =, e conseguimos y 2 < al que G(y 2 ) G(y) para odo y. Porano, min{g(y 1 ),G(y 2 )} G(y) para odo y R. Assim, a aplicação G(x,, ) admie pono de mínimo. Segue do Lema acima que, para > fixado, exceo para um conjuno enumerável de x R a aplicação G(x,, ) possui um único pono de mínimo y(x,), que define uma função monóona crescene na variável x. Porano, u = u(x,) esá bem definida a menos de um conjuno enumerável de x, para cada > fixado. 49

60 Capíulo 3. Fórmula Explícia Observação 3.2 Nesa observação, verifiquemos que para > fixado a função G(x,, ) em um único pono de mínimo exceo para um conjuno enumerável de x. Definimos a função x y(x) onde y(x) é algum pono que minimiza a função y G(,x,y) para y R e > fixado. Vimos acima que y(x) assim definida é monóona crescene, logo conínua a menos de um conjuno enumerável. Afirmamos que, se x é um pono de coninuidade de y(.) enão a função G(x,y) em somene um pono de mínimo. De fao, seja U(x )={y R; y minimiza a função G(x,y)}, aqui escrevemos G(x,y) em vez de G(x,,y), verifiquemos que U(x ) é uniário (já emos que é não vazio). Suponha que não, sejam y z em U(x ), onde y é a imagem da função y(.) definida na primeira linha avaliada em x. Agora, definimos a função α(x) para x R por: z, se x=x α(x)= y(x), caso conrário (3.11) Noe que para cada x R, o valor α(x) minimiza a função G(x,.). Mas, por consrução α(x) não é monóona crescene, o que conradiz o Lema acima. Com efeio, para y < z sendo y(x) é conínua em x, dado <ε < z y exise r> al que ε < y(x ) y(x + r)<ε, ou seja, ε < y(x ) α(x +r), logo α(x +r)<ε+y(x )<z = α(x ) enão α(x +r)<α(x ). Para y > z é análogo. Porano, U(x ) é uniário. Proposição 3.1 (Condição de enropia) Exise uma consane K, dependendo de u e de f al que u(x 2,) u(x 1,) x 2 x 1 K, >, x 1 < x 2. (3.12) 5