Exame de Métodos Quantitativos. Época de 2000/2001-1ª Chamada

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1 Exame de Métodos Quantitativos 3 horas / com consulta (apenas de livros de texto) Época de 2000/2001-1ª Chamada Nome: nº: I Uma empresa operadora de telecomunicações recebe dos clientes 4 chamadas por segundo, de acordo com um processo de Poisson, que deseja encaminhar para o seu destino. Para esse efeito, a empresa tem um equipamento com um canal de transmissão, em que o tempo de serviço segue uma distribuição exponencial com tempo médio de transmissão de cada mensagem igual a 200ms. Por cada mensagem transmitida a empresa recebe 1 cêntimo (0.5 escudos) e para não perder mensagens a empresa tem um sistema com capacidade de armazenamento de chamadas em espera que, em termos práticos, pode ser considerada infinita. A empresa está a considerar um sistema alternativo, que apenas mantém, no máximo, uma chamada em espera. Com este sistema a empresa poupar 20 Euros por hora na manutenção do sistema, mas tem de rejeitar mensagens chegadas quando já existe uma chamada em espera. Em cada chamada perdida a empresa perde não só o cêntimo que receberia pela sua transmissão, mas ainda uma penalização adicional de 0.22 cêntimos Nestas condições, qual a alternativa mais interessante para a empresa. Justifique? Mantendo uma capacidade de chamadas em espera ilimitada, outra alternativa consiste em dar prioridade (absoluta) a um tipo de clientes, já que estes estarão dispostos a pagar 1.2 cêntimos por um serviço que garanta que o tempo médio de permanência de mensagens no sistema não exceda 0.5 segundos. Para implementar esta política a empresa tem de manter um sistema com custos de 10 Euros por hora. Nestas condições, qual a percentagem máximo do tráfego original que pode ser tratada como prioritária? Será que esta alternativa é mais favorável à empresa que o sistema original? Justifique.

2 II Um amigo propõe-lhe jogar o seguinte jogo. Existem dois sacos, indistinguíveis do exterior, em que o primeiro contém 2 bolas brancas e 3 pretas e o segundo contém 2 bolas brancas e 1 preta. O jogo consiste nos seguintes passos: 1º. o seu amigo pergunta-lhe para escolher um saco (em cada jogada os sacos são baralhados, pelo que é impossível saber qual deles está a escolher) 2º. Uma vez escolhido, o seu amigo retira uma bola desse saco, e sem lha mostrar, pergunta-lhe qual a cor dessa bola. 3º Se acertar na cor, você ganha 10 Euro, caso contrário tem de pagar ao seu amigo 11 Euros. Aceitaria jogar este jogo? Justifique e indique a estratégia que seguiria. Admitindo que poderia pagar a alguém para saber de antemão qual a côr da bola retirada, quanto estaria disposto a pagar a esse alguém para obter a informação? Justifique. Na alínea anterior o jogo perdia naturalmente o aliciante do risco. Existe uma variante do jogo em que o seu amigo, antes de lhe perguntar a cor, diz-lhe de qual dos sacos é que tirou a bola. Nestas condições, se acertar você continua a ganhar 10 Euros, mas se perder, terá de pagar ao seu amigo 16 Euros. Aceitaria jogar esta variante do jogo? Justifique e indique a estratégia que seguiria.

3 III Na rede de comunicações representada abaixo, as ligações unidireccionais entre nós têm as capacidades e custos apresentados na seguinte tabela: ABACADBEBGCBCDCECGDFEFEHFHGHCapacidade (Mbit/seg) Custo (cêntimos/ Mbit) Formule um modelo de programação linear que resolva o problema de permitir o máximo débito de informação (em Mbits/ segundo) entre os nós A e H, cujo custo por segundo não exceda 240 Euros (24000 cêntimos). IV Aplique o algoritmo SIMPLEX ao problema indicado, indicando, se existir, qual a solução óptima, bem como se ela é única. max Z = 3x 1 + 3x 2 suj. a x x x 2 5

4 x x 2-3 x 3 5 x 1, x 2, x 3 0 V Uma empresa estabeleceu o plano de produção dos seus produtos p 1, p 2 e p 3 através da seguinte formulação em programação linear (com a interpretação habitual): max Z = 3 x 1 suj. x x x 3 2 x 1 x1, x2, x3 0 Após a sua resolução obteve-se o seguinte quadro x1x2x3s1s2s3z quanto deve aumentar o lucro unitário do produto p 3 (actualmente 1) de forma a que valha a pena inclui-lo no plano óptimo? Essa inclusão é feita à custa de outro produto? Qual? Justifique.

5 b) Qual a diminuição do recurso 2 (actualmente b 2 = 3), mantendo-o positivo, que faz variar qualitativamente o plano de produção óptimo? Que produtos estarão incluídos nele? Justifique. c) Mostre que melhorando a eficiência de produção do produto p 3, por diminuição dos parâmetros a 13 e a 23 dos seus valores actuais (1 e 2) para 0 e 1/2, respectivamente, este produto poderia passar a ser produzido. Justifique.