Alguns Fundamentos Acerca dos Testes de Hipóteses

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1 UNIVERSIDADE DA BEIRA INTERIOR Cêcas Algus Fudametos Acerca dos Testes de Hpóteses Adré Marques de Adrade Relatóro de Estágo para obteção do Grau de Mestre em Eso da Matemátca o 3º Cclo do Eso Básco e o Eso Secudáro (º cclo de estudos) Oretador: Prof. Doutor Jorge Gama Covlhã, Juho de 0

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3 Agradecmetos Para a realzação deste trabalho foram város os terveetes que colaboram dreta e dretamete, os quas merecem o meu recohecmeto e gratdão. Ao meu oretador, Professor Jorge Gama, pela dedcação, empeho e dspobldade com que drecoou e acompahou este trabalho, bem como pelos cometáros e sugestões. Quero agradecer aos meus pas, mulher, restate famíla e amgos, pela compreesão, apoo codcoal, cetvo e motvação mprescdíves para realzação deste trabalho. Dedco a todos este trabalho.

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5 Prefáco A ferêca estatístca é um ramo da Estatístca modera que é costtuída por duas vertetes, a clássca e a Bayesaa, com metodologas dsttas. A ferêca clássca, defeda por Karl Pearso, utlza o método ou formação da amostragem, aalsado os dados resultates de quértos, experêcas repetdas em codções mas próxmas quato possível, ou sucessões croológcas. A ferêca Bayesaa utlza o método ou formação à pror, servdo-se da tução e/ou cohecmetos adqurdos pelo vestgador, que são aterores à experêca ou amostra. Resulta assm tato de dados objectvos como subjetvos. Tem assm um fluêca dedutva. A fluêca clássca orga uma ferêca do tpo dutva, a qual a observação dos resultados se estede da amostra para a população e ode se adqurem ovos cohecmetos. Rejeta a ferêca Bayesaa por esta ser subjetva. Com o teorema de Bayes, a ferêca Bayesaa comba a ferêca à pror com a formação obtda por amostragem. No desevolvmeto dos métodos da estatístca modera, as prmeras téccas de ferêca que apareceram foram as que fazam dversas hpóteses sobre a atureza da população da qual se extraíram os dados. A prmera grade coqusta da ferêca estatístca é o bem cohecdo teste do qu-quadrado de Pearso. Para se chegar à coclusão que uma determada hpótese deverá ser rejetada ou ão rejetada, baseado em um partcular cojuto de dados, é ecessáro dspor de um processo objetvo que permta decdr sobre a veracdade ou a falsdade de tal hpótese. A objetvdade desse processo deve ser baseada a formação proporcoada pelos dados, e como estes dados, em geral, evolvem apeas parte da população que se pretede atgr, o rsco que se está dsposto a correr de que a decsão tomada ão esteja correta. A decsão sobre a hpótese pode levar à rejeção, revsão ou acetação da teora que a orgou. Desta forma, pretede-se com este estudo, complar algus fudametos da teora dos testes de hpóteses. Para sso fo ecessáro estudar testes de hpóteses smples e compostas, ulateras e blateras. O Lema de Neyma-Pearso deu um mportate cotrbuto para a grade maora dos testes, pos o recurso à razão de verosmlhaça é usual a maora dos testes de hpóteses para determar os testes mas potetes e os testes uformemete mas potetes. v

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7 Resumo A fudametação teórca dos testes de hpóteses é excecoalmete aalsada em estudos estatístcos, daí o objetvo deste estudo ser a recolha de algus dos mas mportates pressupostos teórcos dos testes de hpóteses. A obteção de resultados como testes Mas Potetes (MP), testes Uformemete Mas Potetes (UMP) e testes Uformemete Mas Potetes Não Evesados (UMPU) é comum os estudos estatístcos, mas é ecessáro o cohecmeto das codções que satsfazem esses testes. Palavras chave Testes de Hpóteses, Testes de Hpóteses Mas Potetes (MP), Testes de Hpóteses Uformemete Mas Potetes (UMP), Testes de Hpóteses Uformemete Mas Potetes Não Evesados (UMPU), Lema Neyma-Pearso, Razão de Verosmlhaças, Valor de Prova. v

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9 Abstract The theoretcal bass of hypothess testg s exceptoal aalyzed statstcal studes. The purpose of ths study s the collecto of some of the most mportat theoretcal premses of the hypotheses tests. Obtag results such as Most Powerful test (MP), Uformly Most Powerful tests (UMP), Uformly Most Powerful Ubased tests (UMPU) are commo statstcal studes but t s ecessary to kow the codtos that satsfy those tests. Keywords Hypotheses tests, Most Powerful test (MP), Uformly Most Powerful tests (UMP), Uformly Most Powerful Ubased tests (UMPU), Neyma-Pearso Lemma, Lkelhood Rato, P-Value. x

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11 Ídce Parte I Geeraldades acerca dos Testes de Hpóteses. Cocetos Báscos. Lema de Neyma-Pearso 4.3 Razão de Verosmlhaças 8.4 Valor de Prova.5 Estatístca Sufcete 3 Testes de Hpóteses Uformemete Mas Potetes 6. Teste de hpóteses smples cotra hpóteses compostas 6. Testes Não Evesados e Testes Smlares 3 3 Coclusão 6 4 Referêcas Bblográfcas 8 Parte II. Plafcação de subudade 30. Aexos 83 x

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13 Lsta de Fguras Fgura.. Represetação de! e! para o caso de um teste de hpóteses sobre a méda de uma população ormal... 4 Fgura.. Represetação das regões W e W para amostras de tamaho... 6 x

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15 Lsta de Tabelas Tabela.. Represetação das decsões corretas e dos possíves tpos de erros... 3 xv

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17 Lsta de Acrómos RC regão crítca MP mas potete UMP uformemete mas potete UMPU uformemete mas potete ão evesado RMV razão de verosmlhaça moótoa xv

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19 Parte I CAPÍTULO Geeraldades acerca dos Testes de Hpóteses. Cocetos báscos Um dos objetvos prcpas da aálse estatístca é dervar (ou ferr) coclusões váldas acerca de uma população ou populações através do exame de amostra(s) dessa população ou populações. A ferêca estatístca pretede respoder a dos tpos de questões: ) Qual é o valor de um certo parâmetro de uma população? (Estmação de parâmetros). ) Pode cosderar-se que um dado parâmetro de uma população tem determado valor? (Prova ou teste de hpóteses). Os testes de hpóteses são um método ferecal, o qual costtu uma outra aálse de um problema ferecal a estmação paramétrca com base a formação cotda uma amostra. Todos os das temos de tomar decsões respetates a determadas populações, com base em amostras das mesmas (decsões estatístcas). Nesta tomada de decsões, é útl formular hpóteses sobre as populações, hpóteses essas que podem ou ão ser verdaderas. A essas hpóteses chamamos hpóteses estatístcas, as quas geralmete se baseam em afrmações sobre as dstrbuções de probabldade das populações ou sobre algus dos seus parâmetros. Quado a forma da dstrbução ou a forma da fução desdade de probabldade é cohecda e as afrmações dzem respeto a um determado parâmetro, falase em testes paramétrcos. Caso cotráro, dzem-se testes ão-paramétrcos. O uso tato dos testes paramétrcos como dos ão-paramétrcos está codcoado à dmesão da amostra e à respectva dstrbução da varável em estudo. Defção.. Uma hpótese estatístca é uma afrmação ou cojetura sobre parâmetros, dstrbuções de probabldades, ou outras propredades probablístcas de varáves aleatóras.

20 Uma hpótese pode etão ser defda como uma cojetura acerca de uma ou mas populações. Desta forma, os testes de hpóteses podem cosderar-se uma seguda vertete da ferêca estatístca, tedo por objectvo verfcar, a partr de dados observados uma amostra, a valdade de certas hpóteses relatvas à população. O resultado do teste correspode evtavelmete a uma das duas respostas possíves para cada questão: afrmatva ou egatva. Em ambos os casos corre-se o rsco de errar. Uma das característcas do teste de hpóteses é, justamete, a de permtr cotrolar ou mmzar tal rsco. Defção.. Um teste de uma hpótese estatístca é o procedmeto ou regra de decsão que os possblta decdr etre rejetar ou ão rejetar essa hpótese, com base a formação proveete de uma amostra observada. Nos testes de hpóteses, e ao cotráro dos tervalos de cofaça, em vez de procurar uma estmatva poual ou um tervalo para um parâmetro, admte-se ou avaça-se um valor hpotétco para o mesmo, utlzado depos a formação da amostra para rejetar ou ão rejetar esse mesmo valor. A hpótese a testar deoma-se por hpótese ula e represeta-se por H 0. O objectvo é verfcar se os factos observados a cotradzem, levado a optar pela hpótese alteratva, represetada por. H No que se segue aborda-se os testes de hpóteses sobre um parâmetro. Assm, seja X uma ( ) varável aleatóra com fução de desdade (ou de probabldade) represetada por f x!, em que! é um parâmetro descohecdo com espaço parâmetro! " IR. Pretede-se testar uma certa hpótese ula, H 0, cotra a hpótese alteratva, H. Qualquer cojetura sobre o parâmetro! estabelece uma partção,! 0 "!! e! 0 "! # Assm, temos a segute formulação: H 0 :!! " 0 cotra H :!! ". Um teste de hpóteses deve basear-se o comportameto probablístco de uma população e estabelecer um crtéro para determar quas as amostras que levam à rejeção da hpótese ula. Este procedmeto leva-os a defr a regão crítca ou regão de rejeção: se é uma amostra aleatóra o espaço amostra IR, cosdere-se um subcojuto W! IR, tal que: ( )!W H 0 se x,x,...,x, rejeta-se ; ( X,X,...,X )

21 ( )!W H 0 se x,x,...,x, ão se rejeta. em que ( x,x,...,x ) uma realzação (uma amostra observada) da amostra aleatóra ( ) W X,X,...,X. Ao subcojuto dá-se o ome de regão crítca ou regão de rejeção. A regão crítca (RC) é o cojuto de valores assumdos pela varável aleatóra ou estatístca de teste para os quas a hpótese ula é rejetada. O teste é feto cosderado uma regão crítca (RC) que permte rejetar H 0, ou seja, se o valor da estatístca de teste, obtdo a partr de uma amostra observada, pertecer à RC rejeta-se H 0, caso cotráro, ão se rejeta H 0. Naturalmete, uma estatístca de teste é uma estatístca (fução de uma amostra aleatóra) que ormalmete especfca um teste de hpóteses e cuja dstrbução amostral resulta do comportameto probablístco da população (varável aleatóra X ), do tamaho da amostra e/ou da hpótese ula. Em geral, um teste de hpóteses, qual a decsão a tomar? Temos quatro stuações possíves: ª - H 0 é verdadera e ão se rejeta H 0 : decsão correta; ª - H 0 é falsa e rejeta-se H 0 : decsão correta; 3ª - H 0 é verdadera e rejeta-se H 0 : erro tpo I; 4ª - H 0 é falsa e ão se rejeta H 0 : erro tpo II. Resumdo-se a segute tabela: DECISÃO Stuação real H 0 Verdadera H 0 Falsa H 0 H0 Rejetar ERRO TIPO I Decsão correta Não rejetar Decsão correta ERRO TIPO II Tabela.. Represetação das decsões corretas e dos possíves tpos de erros. A probabldade do erro do tpo I (ou de ª espéce) é represetado por! e deoma-se de ível de sgfcâca do teste:! P ( Erro do tpo I ) P ( rejetar H 0 H 0 verdadera ) A probabldade do erro do tpo II (ou de ª espéce) é represetado por! :. 3

22 Chama-se potêca do teste à probabldade de se rejetar a hpótese ula quado a hpótese alteratva é verdadera, ou seja, a probabldade de se rejetar corretamete a hpótese ula:! P ( Erro do tpo II ) P ( ão rejetar H H falsa 0 0 ) -! - P ( Erro tpo II ) P ( rejetar H 0 H verdadera ).. Fgura.. Represetação de! e! para o caso de um teste de hpóteses sobre a méda de uma população ormal... Lema de Neyma-Pearso A teora dos testes de hpóteses sstematzada por Neyma e Pearso (933) cosste em defr uma regão crítca, tal que, se a amostra observada pertecer a esta regão, a hpótese ula é rejetada. Desta forma, para um teste de dmesão! apreseta-se a mesma probabldade de erro a rejeção se os dados estão muto próxmos do valor crítco. A maor crítca à teora dos testes de hpóteses de Neyma-Pearso é devda ao facto de os erros Tpo I e Tpo II ão refletrem a evdêca dos dados observados. ( ) Numa população X com fução desdade f x!, pretede-se agora testar uma hpótese smples cotra uma hpótese alteratva smples, com espaço parâmetro! {! 0,! } 4

23 H 0 :!! 0 cotra H :!!. O objetvo é ecotrar a melhor regão crítca, W 0, de dmesão!, com 0 <!<, que satsfaz as segutes codções: P { X!W 0! 0 } P { W 0! 0 } " f ( x! 0 )! W0 { } P { W 0! } f ( x! ) P X!W 0! " máxma. W 0 Para ecotrar W 0 é bom recordar que cada seu elemeto é avalado segudo dos crtéros: o da probabldade de rejetar H 0, quado H 0 é verdadera, e o da probabldade de ão rejetar H 0, quado H 0 é falsa. O Lema de Neyma-Pearso recorre à razão de verosmlhaças para ecotrar a regão, W 0 que é dada por: ( ) f ( x! ) f ( x! 0 )! x! 0,!, a partr da qual W 0 é o cojuto de todos os potos x tas que! x " 0,", com determado pela codção, { }! f ( x! 0 )! W0 P W 0! 0 ( )! c c Cotudo, a codção ateror pode ser melhorada, cosderado ão só para valores guas a! como também clur os valores ferores a!, em partcular para o caso de varáves aleatóras dscretas,.e., { } " f ( x! 0 )!! W0 P W 0! 0 Lema de Neyma-Pearso.. Seja ( X,X,...,X ) população com fução desdade, f ( x! ),!! {! 0,! }, uma amostra aleatóra de uma Seja c é um úmero real postvo e W o subcojuto do espaço amostra IR, tal que,!! f ( x! ) f ( x! 0 ) ( )!W " c para x,x,...,x, () 5

24 !! f ( x! ) f ( x! 0 ) ( )!W " c para x,x,...,x, () P {( x,x,...,x )!W!! 0 } ". (3) Etão W é a melhor regão crítca de dmesão! para esaar a hpótese smples H 0 :!! 0 cotra a alteratva smples H :!!. Demostração: Cosdere-se a regão crítca W de dmesão! as codções do Lema e seja W outra regão crítca arbtrára da mesma dmesão. A represetação geométrca da regão crítca W e W é reproduzda, a fgura.., ( ) supodo que W W W!W. Fgura.. Represetação das regões W e W para amostras de tamaho. Dado que as hpóteses H 0 e H são smples, a fução desdade fca especfcada, completamete, em ambos os casos. ( ) - Se é verdadera, a amostra tem fução desdade, L 0! f x! 0 ; H 0 - Se H 0 é falsa, H é verdadera e a amostra tem fução desdade, L! f x! ; Sedo W e W regões crítcas da mesma dmesão, tem-se, P {( X,X,...,X )!W!! 0 } P {( X,X,...,X )!W!! 0 }! ( ) 6

25 O que equvale a, ( ) "... f x! 0 dx,dx,...,dx "..." w! f x! 0 dx,dx,...,dx. " w! Ou ada, de forma abrevada, Observe-se que, ode ( ) ( ).! L 0 dx L w! 0 dx dx dx w,dx,...,dx W ( W!W!W )! ( W!W ) W ( W!W!W )! ( W!W ) Usado-se as gualdades aterores, pode escrever-se, e, ( W!W!W )! ( W!W ) " ( W!W!W )! ( W!W ) " e. # L 0 dx L W!W"W # 0 dx, (4) W!W"W depos de reduzr em ambos os membros o tegral sobre o domío comum W!W. Cosderado que a regão crítca W é arbtrára, o lema fca demostrado caso se prove que para a regão W a probabldade de se cometer um erro do tpo II é feror ou quado muto gual à probabldade obtda quado se toma a regão W, sto é, caso se prove que ou, equvalete, Cosdere-se etão a dfereça, Como, e dado que P P {( X,X,...,X )!W!! } " P ( X,X,...,X )!W!!! L dx "! L. W W dx! L W "W #W dx "! L W "W #W dx efetuado as ecessáras substtuções, resulta que { } {( X,X,...,X )!W!! } " P {( X,X,...,X )!W!! } # " P {( X,X,...,X )!W!! } " P {( X,X,...,X )!W!! } P ( W!W!W )! ( W!W ) " ( X,X,...,X )! ( W "W!W ) # L $ c L 0 ( X,X,...,X )! ( W "W!W ) # L $ c L 0! c L 0 dx " L 0 dx' & ( 0., por (),, por (), {( X,X,...,X )! W!! } " P {( X,X,...,X )! W!! } # $ W "W#W $ W "W#W. 7

26 A gualdade a zero resulta da gualdade apresetada em (4). A demostração fca completa, pos para a regão crítca W, defda pelas desgualdades () e (), a potêca resultate uca é feror à de qualquer outra regão crítca da mesma dmesão. A regão crítca W é a mas potete (MP). Observações..:. A costate c referda em () deve ser escolhda de forma a que a regão crítca teha dmesão!. Cotudo, em algumas stuações, cosegue-se determar a regão crítca sem ser ecessáro determar c.. Caso a dstrbução da população seja dscreta, a codção (3) é substtuída por: Faclmete se coclu que o teste MP é aquele que, quado é fxada a probabldade de se rejetar a H 0, maxmza a potêca quado H 0 é verdadera, ou a capacdade de rejetar a mesma hpótese quado é falsa []. P {( X,X,...,X )!W!! 0 } " ". As aplcações do Lema de Neyma-Pearso ultrapassam o esao de hpóteses smples cotra a alteratva também smples, fcado para o próxmo capítulo o estudo de outros tpos de testes..3. Razão de verosmlhaças O método da razão de verosmlhaças está relacoado com os estmadores de máxma verosmlhaça []. Tem ada a vatagem de resultar em testes a que correspodem regões crítcas tutvas, embora ão coduza ecessaramete a testes uformemete mas potetes (UMP), que abordaremos o próxmo capítulo. Podem ada estar defdos o caso mult-paramétrco [8]. Seja X uma varável aleatóra com fução desdade (ou de probabldade) f X (.!), ode! é um parâmetro descohecdo, e uma amostra observada proveete de X. Recorde-se que a fução de verosmlhaça, defda para todo o espaço paramétrco!, é dada por x ( x,x,...,x ) ( )! f x ( x! ) L x!. Defção.3. A razão de verosmlhaças para testar baseada uma amostra ( x,x,...,x ) é dada por H 0 :!! " 0 cotra H :!! " 0 8

27 Um teste da razão de verosmlhaças é um teste cuja regão de rejeção W { x :! ( x )! c } c! 0,, ode " $ #. ( ) sup L!!! ( x 0 (,x,...x )! ) sup!!!0 L( ( x,x,...x )! )! x é dada por Exemplo.3. Seja X,X,...,X uma amostra aleatóra e uma realzação desta amostra, de uma população N µ,!, com descohecdo. Pretede-se testar as hpóteses: ( ) ( x,x,...,x ) ( )! H 0 : µ µ 0 cotra H : µ! µ 0, utlzado-se o teste da razão de verosmlhaças. Temos que L (( x,x,...,x );µ,! ) # $ &!" Para este caso,! µ,! e,! " e ' ( ( x " 'µ) {( ) : "# < µ < #;! > 0}! 0 {( µ,! ) : µ µ ;! > 0 0 }. ( ) L ( x,x,...,x!" );µ,! sup µ,! ( ) # $ & (! ˆ" ' e ) * x ˆ! ) ˆµ ( )! # " $ &! s e ' ( x s 'x ( ), com s " ( X! X), e ode s* " x é uma estmatva de que maxmza a fução de verosmlhaça! µ 0! se µ µ 0. sup µ,! ( )!" 0 ( ) Assm, tem-se sucessvamete que L (( x,x,...,x );µ,! )! $ # & e "! " s *! $ # & "! s ' s* # $ & ( e! s *' ( ( x ( ) 'µ 0 ) ( ) e ' ( x s 'x * ( x ( ) )µ 0 ), ) s* # $ # $ " " & ( x! x) ( e ( ' & ( x! µ 0 ) ( e ( '! " x!µ o ( ) " ( x!µ o ) ( )! " x " ( x!x)!x 9

28 # $ # $ " " " ( x! x) & ( ( ( ( x! µ 0 ) ( ' " ( x! x) ( x! x) + " x! µ 0 ( ) & ( ( ( ( ' # + x! µ 0 " x! x $ ( ) ( ) & ( ( ( ( ( ( ( ( ( '. Mas ( ) x! µ 0 Rejeta-se H 0, se! <! 0, o que mplca que exsta c tal que > c. "( x! x) ( ) x! µ 0 " ( x! x) > c # x! µ 0 s > c, ( ) em que s " x.!! x Como a estatístca a regão crítca fca defda por: para um dado ível de sgfcâca!. ( x! µ 0 ) s " $ RC # x,x,...,x $ ( ) : " $ # x,x,...,x $ ~ t!, ( x! µ 0 ) s & $ > t!! ',! $ ( ( ) : x > µ 0 + sń t!!,!,x < µ 0! sń t!!,! & $ ', ($ 0

29 Em geral, os testes de razão de verosmlhaças ão são testes UMP, como veremos o Capítulo. Cotudo, estes testes são bastate tutvos e, sob algumas codções de regulardade, apresetam boas propredades asstótcas [3]..4. Valor de Prova (P-Value) Quado é realzado um teste de hpóteses é possível apresetar as coclusões de dversas formas. Uma dessas possbldades cosste em adotar um ível de sgfcâca! e a decsão será tomada para esse ível de sgfcâca. É claro que, quado a tomada de decsão é a de rejetar H 0 e o ível de sgfcâca é pequeo, temos um resultado covcete, pos a probabldade de se cometer um erro do tpo I é pequea. Por outro lado, se o ível de sgfcâca adotado é grade e decde-se por rejetar H 0, há uma grade probabldade de tomar a decsão errada. Assm, outra maera de reportar o resultado de um teste de hpóteses é apresetado o valor de uma estatístca deomada valor de prova (p-value, em glês), sugerda por Fsher [6]. O valor de prova costtu uma medda do grau com que os dados amostras cotraram a hpótese ula, sto é, o valor de prova correspode à probabldade de a estatístca de teste tomar um valor gual ou mas extremo do que aquele que de facto é observado. O valor de prova é calculado, tal como a estatístca de teste, admtdo que H 0 é verdadera. Quato meor for o valor de prova maor será o grau com que os dados amostras cotraram a hpótese ula. Assm deve clur-se o valor de prova os resultados dos testes de hpóteses. Quado o teste é blateral, o cálculo do valor de prova deve ter-se em cosderação ambas as caudas da dstrbução da estatístca de teste. Em vez de fxar!, determar a regão crítca e, em seguda, verfcar se o valor observado pertece à regão crítca, pode olhar-se dretamete para o valor observado da estatístca de teste e determar para que ível de sgfcâca a decsão muda. Quato mas baxo for o valor de prova (p-value) maor é a evdêca cotra a hpótese ula. Defção.4. Dado o valor observado da estatístca de teste, o valor de prova (p-value) é o maor ível de sgfcâca que coduz à ão rejeção da hpótese ula (ou o meor que coduz à rejeção).

30 Defção.4. Um valor de prova p p ( X,X,...,X ) é uma estatístca de teste ( ) X satsfazedo 0! p!, com X,X,...,X N uma amostra aleatóra proveete de. Um valor de prova é váldo se, para todo!! " 0 e para todo!! " 0,$ #, P ( p ( X,X,...,X )!! " )!!. Mutos autores cotemporâeos ão dexam claro a dstção etre o testes sugerdos por Neyma-Pearso e os testes baseados o valor de prova, sugerdos por Fsher e comumete chamados de testes de sgfcâca. Dferetemete da abordagem de Neyma-Pearso, os testes de sgfcâca propõem o uso de uma medda de força de evdêca cotra a hpótese (ula) [6]. O valor de prova é calculado, em geral, com auxílo de uma estatístca de teste T sequêca temos o teorema que especfca a defção.4.. ( ) x. Na Teorema.4. Seja T ( X,X,...,X ) uma estatístca de teste, tal que, grades valores de T forecem evdêca cotra a hpótese H 0 :!! " 0. Para cada amostra observada x ( x,x,...,x ) Etão, defa-se ( ) sup!!!0 P ( T ( X,X,...,X ) "T ( x,x,...,x )) p x p ( X,X,...,X ) é um valor de prova váldo.. Demostração: Cosdere-se!! " 0. Seja F! t a fução de dstrbução de ( )!T X,X,...,X. Defa p! ( X,X,...,X ) P T X,X,...,X P!T X,X,...,X ( ) ( ( )!T ( x,x,...,x )! ) ( ( ) "!T ( x,x,...,x )! ) F!T x! ( (,x,...,x )). A varável aleatóra ( ) F! (!T ( X,X,...,X )) p X,X,...,X é estocastcamete maor ou gual a uma varável com dstrbução uforme o tervalo! " 0, # $ [4], ou seja, Mas P ( p ( X,X,...,X )!! " )!!!! 0,, " $ #. p ( x,x,...,x ) sup!!"0 p! ( x,x,...,x ) # p! ( x,x,...,x ),

31 !( x,x,...,x ) " ( X,X,...,X ) # P ( p ( X,X,...,X ) $! " ) $ P ( p X " (,X,...,X ) $! " ) $!. Como sso é verdade para todo!! " 0 e para todo!! " 0,$ #, p X,X,...,X é um valor de prova váldo. ( ) Como terpretação do teorema, cosdere X ( X,X,...,X ) um vetor aleatóro, ( ) X T x x,x,...,x uma realzação de e uma estatístca de teste. Etão, se um teste tem valor crítco c, ao observar x x,x,...,x decde-se por rejetar se, e somete se, T x. Dessa forma, o valor é o maor valor de que coduzra à rejeção de com base a observação x x,x,...,x. Mas, pelo teorema.4., o tamaho de H 0 um teste com valor crítco c é! c e a fução é decrescete em. Sedo assm, o meor! que coduzra à rejeção de H 0 é! T x. ( ) H 0 ( )! c c T ( x ) c ( ) ( )! ( c ) c ( ( )).5. Estatístca sufcete Tedo em cota a ecessdade de utlzar uma estatístca sufcete em posterores resultados, torou-se coveete troduzr algumas propredades deste tpo de estatístca. A partr de uma amostra da aleatóra (X,X,...,X N ), proveete de uma dada população, pode-se fazer ferêca sobre um parâmetro θ da população. Para este fm, em geral, ( ) costruímos uma estatístca T X,X,...,X. Portato, é fudametal saber dzer o quão boa é uma estatístca o tocate à sua capacdade de stetzar as formações que a amostra gera sobre o parâmetro populacoal de teresse. Em sítese, avalamos uma estatístca em duas dmesões:. A estatístca desperdça formações relevates sobre θ? Se a resposta for egatva, dzse que a estatístca é sufcete para θ.. A estatístca gora formação rrelevate? Se a resposta for afrmatva, dz-se que a estatístca é sufcete míma. Defção.5. Seja ( X,X,...,X ) probabldade ou fução desdade a classe uma amostra aleatóra da população com fução { } f! f X ( x! );!! ". Uma estatístca T dz-se 3

32 ( ) sufcete para! se e somete se a dstrbução de X,X,...,X codcoada por Tt ão depeder de!, para qualquer que seja o valor t do domío de T, sto é, F! (( X,X,...,X ) T ( X,X,...,X ) t ) F ( X,X,...,X ) T X,X,...,X ( ( ) t ) ( ) T t sedo F a fução de dstrbução cojuta de X,X,...,X codcoada por., ( ) X Teorema.5. Seja X,X,...,X uma amostra aleatóra de uma população com fução desdade (fução probabldade) a famíla T ( X,X,...,X ), { } f! f x ( x! );!! ", a estatístca é sufcete se, e somete se, exstem duas fuções ão egatvas G e H tas que,! f ( x! ) G " T ( x,x,...,x $ # ),! H x,x,...,x ( ) ( ) H! ode, para cada valor fxo de t T x,x,...,x, a fução ão depede de., Demostração: Ver demostração do teorema em [], págas Teorema.5. Se T T ( X,X,...,X ) é estatístca sufcete, a regão crítca dada pelo Lema de Neyma-Pearso pode exprmr-se em termos de T. Demostração: Cosequêca medata da fatorzação de, G t,!, estabelecda pelo teorema.5.. Portato,!! f ( x! ) f ( x! 0 ) ( ) ( ) " c " c # G t,! G t,! 0. ( )! H ( x,x,...,x ) ( )! Exemplo.5. Cosdere-se uma população N!,", com cohecdo e o teste de uma hpótese smples cotra uma hpótese alteratva smples, H 0 :!! 0 cotra H :!!,! >! 0 a partr de uma amostra de dmesão. Tem-se que, 4

33 L j (!" ) #! exp $ & ( x!# j ) ' (, j 0,. " ) De acordo com o Lema.., a regão crítca ótma W é defda pela desgualdade, " L ) exp! + # * " x L 0!!",+ $ ( )!"( x!! 0 ) &-+ (., '( /+ 0 c ou seja, #! lc + & ( " $ ' )" 0! x "! )! 0 ( ), ou ada,! " c ou x! c. A costate c pode determar-se em fução da dmesão desejada! : x { } P X "! 0 $ P X! c!! 0 # & "! c "! 0 " ' (, ) # dode, c! 0 + z # " ( ),! z " ( ) " " ode! represeta a fução de dstrbução da dstrbução ormal reduzda., 5

34 CAPÍTULO Testes de Hpóteses Uformemete Mas Potetes (UMP).. Teste de hpóteses smples cotra hpóteses compostas Aterormete estudaram-se os testes de hpóteses uma stuação pouco comum, a qual o espaço parâmetro é costtuído apeas por dos potos,! {! 0,! }. Ao geeralzar os procedmetos para stuações quotdaas, tora-se ecessáro caraterzar as hpóteses paramétrcas cosderado duas stuações: hpóteses smples e hpóteses compostas. Defção.. Uma hpótese estatístca dz-se smples quado o respetvo subcojuto do espaço parâmetro é formado por apeas um elemeto; dz-se composta o caso cotráro. A prmera geeralzação cosste em estudar o teste de hpóteses ulas smples cotra hpóteses alteratvas compostas mas ulateras, ou seja, testes do tpo H 0 :!! 0 cotra H :!! " # ", em que! 0 ão pertece a!, { }! {! :! <! 0 }! {! :! >! 0 } ode! 0! 0 e, ou. A perspectva ferecal cotua a ser a determação de uma regão crítca, o espaço amostra IR, cotrolado a probabldade de cometer um erro do tpo I, dada pela codção, ( )! P rejetar H 0 H 0 verdadera. Cotudo, ão se pode falar agora em potêca do teste, vsto que a probabldade de rejetar a hpótese ula quado esta é falsa vara quado! percorre o cojuto!. É etão ecessáro substtur o coceto de potêca do teste pelo de fução potêca do teste e troduzr um ovo coceto de teste uformemete mas potete (UMP). Defção.. A fução potêca do teste H 0 :!! 0 cotra H :! >! 0 ou cotra H :! <! 0, com regão crítca W, é dada por! ( " ) P ( rejetar H 0! ) P {( X,X,...,X )!W! }!! ", para, 6

35 { }! {! :! <! 0 } ode!! :! >! 0, ou, respetvamete. ( )!! " A fução! ", defda para todo, tal como fo troduzda a secção., devera ser zero para todo!! " 0. Porém, só em casos trvas é que se regsta esta stuação. Um bom teste deve ter fução potêca próxma de 0 para quase todo!! " 0, e próxma de para quase todo!! ". Nessa stuação é faclmete dscerível qual a decsão a adoptar face à veracdade das hpóteses. Tpcamete a fução potêca depede da dmesão amostral, uma vez que a dstrbução da estatístca de teste depede gualmete da dmesão amostral. Para um tamaho amostral fxo, é vrtualmete mpossível fazer ambas as probabldades de erro arbtraramete pequeas. Geralmete, dá-se prmaza aos erros do tpo I, pelo que este setdo os testes ão são smétrcos, sto é, tede-se a morar a probabldade de erro do tpo I. Assm sedo, a estratéga mas usual é fxar um ível para a probabldade de erro tpo I e, de etre todos os testes que obedecem a esta restrção, escolher aquele que mmza a probabldade de erro tpo II. Defção..3 Para 0!!!, um teste com fução potêca!(") dz se ser um teste de dmesão! se sup!!"0 "(!) #. Um teste com ível! é um teste para o qual sup!!"0 "(!) # #. Assm, o cojuto de testes de ível! cotém o cojuto de testes de dmesão!. A dstção etre estes dos cocetos em sempre é clara, mas é mportate quado ão é possível costrur testes com dmesão!, pelo que essas stuações há um compromsso que leva a acetar testes de ível!. Defção..4 Ao testar a hpótese H 0 :!! 0 cotra a hpótese alteratva H :! >! 0 ( ou cotra H :! <! 0 ), cosderem-se dos testes com a mesma dmesão,!, mas com regões crítcas W e W *, respetvamete. As correspodetes fuções potêcas são! ( " ) P ( rejetar H 0! ) P {( X,X,...,X )!W! }!! " para,! * ( " ) P ( rejetar H 0! ) P {( X,X,...,X )!W *! }!! " para, { }! {! :! <! 0 } W ode!! :! >! 0, ou. Dz-se que o teste com regão crítca é uformemete mas potete do que o teste com regão crítca W * se e somete se 7

36 ! ( " ) >! * ( " ),!" " #. Se o teste com regão crítca W é uformemete mas potete do que qualquer outro teste, dz-se que é o teste uformemete mas potete. Tedo em cota esta defção, pode-se coclur que em codções sufcetemete geras, a determação da regão crítca de um teste UMP em que a hpótese ula é smples e a hpótese alteratva é composta mas ulateral pode ser feta com base o Lema de Neyma- Pearso, uma vez que aquela regão é a mesma qualquer que seja o valor escolhdo como alteratvo. O comportameto da fução potêca do teste é, medate o tamaho da amostra, quato maor é a dmesão da amostra mas elevada é a potêca. Embora para varáves aleatóras cotíuas se possa fxar arbtraramete a dmesão do teste, o mesmo ão acotece com a varável aleatóra dscreta. Note-se ada que a regão crítca W é depedete de!, desde que este seja maor que! 0. Logo o Lema de Neyma-Pearso serve ão só para determar o teste UMP para o par de hpóteses H 0 :!! 0 cotra H :!!, mas também para determar o teste UMP para H 0 :!! 0 cotra H :! >! 0, passado assm a ser um teste de hpótese smples cotra hpótese composta ulateral. Uma grade classe de problemas que admtem testes UMP de dmesão! evolvem testes de hpóteses ulateras e fução desdade (ou probabldade) com fução de verosmlhaça moótoa. Como veremos mas à frete, exste sempre um teste UMP para os casos de testes ulateras. No etato, para testes blateras é dfícl ecotrar testes UMP. Para observar esta dfculdade, remos recorrer à aálse de Kedall e Stuart [4]. Assm, tomemos um teste blateral, ou seja, H 0! 0 cotra H 0!! 0, e seja! um valor alteratvo. Tem-se que, ( ) f ( x! j ) L x,x,...,x! j!, j 0,, j 0,. Admtdo que a dervada desta fução de verosmlhaça em relação ao parâmetro exste e é cotíua, cosderado o desevolvmeto em sére de Taylor, resulta que, L (( x,x,...,x )! j ) L (( x,x,...,x )! 0 ) +!!! 0 ( ), ( )L ( x,x,...,x )! * 8

37 ode! *! "! 0,! $ #, com! >! 0, ou! *! "!,! $ # 0, com! <! 0. Pelo Lema de Neyma-Pearso, a melhor regão crítca de dmesão! é da forma, ( ) ( ) + L ( x,x,...,x )! L ( x,x,...,x )! 0 ( ) ( ) (!!! 0 )L ( x,x,...,x )! * L ( x,x,...,x )! 0.! c! (" ) Note-se que o caso geral ão se pode exclur a possbldade de c depeder também de, pos de! depede sempre.! Cosequetemete, obtém-se que a melhor regão crítca é, ( ) ( )! a se " L ( x,x,...,x )! * L ( x,x,...,x )! 0 ( ) ( )! b se!. " <! 0 L ( x,x,...,x )! * L ( x,x,...,x )! 0! >! 0 Quado!!! 0 também, pela cotudade,! *!! 0, dode, ( ) ( ) " $!ll #!! L ( x,x,...,x )! * L ( x,x,...,x )! 0 ( ) ( ) " $!ll #!! L ( x,x,...,x )! * L ( x,x,...,x )! 0 ( a " se & '!!0! >! 0 ( b " se! <! 0. & '!!0 Em coclusão, se o tervalo que defe a alteratva cotém valores do parâmetro que toram postva e egatva a dfereça!!! 0, as codções aterores ão se verfcam a ão ser que, "!ll $ costate. #!! & '!!0 Caso cotráro ão exste regão crítca ótma quado a hpótese alteratva é blateral. O tratameto dos testes de hpóteses compostas cotra alteratvas compostas ulateral, H 0 :!!! 0 cotra H :! >! 0, ou, H 0 :!!! 0 cotra H :! <! 0, ão dfere pratcamete do que se passa com os casos acma descrtos, pos, as codções geras cosderadas, 9

38 ! $ P # rejetar H 0! 0 & " ' P! rejetar H! $ # 0 & ( ", )! (! 0. " " Do mesmo modo, o teste H 0 :!!! 0 cotra H :! <! 0, tem-se P ( rejetar H 0! 0 ) "! P ( rejetar H! 0 )! ",!! "!. 0 Exstem testes UMP quado a população tem fução desdade (fução probabldade) que pertecem à famíla de dstrbuções com razão de verosmlhaça moótoa (RVM). A famíla, { },! " IR tem RVM a estatístca T quado, para qualquer par de valores admssíves do parâmetro,! >!, F f ( x! ) :!! "!! f (x! ) f (x! ) é uma fução moótoa em t T (x,x,...,x ). Teorema.. (Karl-Rub) Se (X,X,...,X ) é uma amostra aleatóra proveete de uma população com fução desdade (fução probabldade) com RVM a estatístca T, etão, para esaar H 0 :!!! 0 cotra H :! >! 0, os testes da forma, T (x,x,...,x ) > t 0, ode t 0 é determado em fução da dmesão desejada!, são UMP. ( ) H 0 :!! 0 Demostração: Seja x x,x,...,x e comece-se por cosderar cotra H :! >! 0. Os potos desejáves que permtem a rejeção de H 0 são aqueles em que r ( x )!! ( ) f x! ( ) f x! 0 ( ) g" # T x $ é sufcetemete grade. ( )!T ( x *) r ( x )! r ( x *) x* Se T x etão e é uma amostra pelo meos tão desejável quato x. Assm, o teste que rejeta H 0 para grades valores de T x é o mas poderoso. ( ) 0

39 ( ) ( x,x,...,x ) Exemplo.. Seja X,X,...,X uma amostra aleatóra e uma realzação desta amostra, de uma população N µ,! com cohecdo. Supohamos que pretedemos testar as hpóteses H 0 :!!! cotra H 0 :! >! 0, O modelo estatístco assocado pertece à famíla expoecal e, além dsso, a razão de verosmlhaça é moótoa, uma vez que,!!,! " $ 0,+# & ', com! <!, tem-se L( ( x,x,...,x )! ) L ( x,x,...,x )!! # ( )! # "! ( ) µ µ 0 $ ) & exp '! + '! *!,+! ( - ( x ' µ 0 ) +. /+, que é uma fução estrtamete crescete da estatístca ( ) "( X! µ 0 ) T X,X,...,X. O teorema.. (Karl-Rub) garate que, dado!! " 0,$ #, o teste de regão crítca $ & RC x,x,...,x '& ( )! IR :#( X " µ ) > c é o teste uformemete mas potete de dmesão!, com c, tal que, # P " X! µ 0 $ & ( ". ' " X A varável aleatóra! µ 0 ( $ segue uma dstrbução,. Assm a #! '!!! " $ 0,+# & ' & ( ) > c!! 0 (& ), *& codção é equvalete a! # # P # # "!! P!( X! µ 0 ) $ > c! #! 0 & ", " ( X! µ 0 ) $ > c &!!! &!! 0 & " ' F X # " & c $ & ' ".! 0 O teste tem etão como regão crítca defda por: $ & RC x,x,...,x '& ( )! IR :#( x " µ ) >! 0 F " (& " ". X ( )) *& Se µ é descohecdo, a regão crítca é da forma $ & RC x,x,...,x '& ( )! IR :#( x " x) > c (& ). *&

40 " X Neste caso a varável aleatóra! X ( $ segue uma dstrbução. #! '!! & Cosderado a famíla expoecal, em codções mas restrtas do que as de Karl-Rub, Lehma, [6] e [7], coseguu demostrar o segute teorema. Teorema.. Seja esaar (X,X,...,X ) dstrbução da famíla expoecal. Se T T ( X,X,...,X ) uma amostra aleatóra de uma população com é uma estatístca sufcete para ou, (com ), cotra, etão exste um teste UMP da forma t <T < t, com t, t determados pela codção, ode! é a dmesão desejada. H 0 :!!!!!!!!! H :! <! <!! (" ) P { t <T < t " " } #! (" ) P { t <T < t " " } #,, Demostração: Ver demostração do teorema.. em [6], pága 8-8. Exemplo.. Seja X,X,...,X um amostra aleatóra de uma população com ( )! dstrbução N!,", sedo cohecdo. Cosdere-se as hpóteses H 0 :!! 0 cotra H :!!! 0. Para um dado valor!, um teste de ível! satsfaz a segute codção: Supodo que cosderamos prmero um poto! <! 0, etão é possível deduzr, com a ajuda do Lema de Neyma Pearso, que o teste a que correspode a regão tem a potêca máxma em. ( ) X ( )!!. P rejetar H 0!! 0 # W $ X <!! "!! " &! ( ) / +! 0 Logo, trata-se de um teste UMP e que, defe a úca regão UMP, a meos de uma regão de probabldade ula. ' ( ) Supoha-se agora que cosderamos outro teste para o qual a regão de rejeção é # $ X >!! " " " & ( ) / +# 0 ' (, )

41 o qual é gualmete um teste com ível!. Seja! (.) a fução potêca para o -ésmo (,). Para qualquer! >! 0 ( ) P X! " # $ > P Z >! " "! ( (, pos ) Z ~ N ( 0, ))! 0!! < 0. >!! " " " # P X!! > "!!! " $ P Z! "# " "! ( ( )) # > P X!! <!"!!! " $ ( ) / +! 0!! ( ) +!!! 0 " ( ) +!!! 0 " & ( ' & (!! ( ( ' & (!! ( ( ' P (X <!! "!! " ( ) / +# # # ) 0 ( )! " O segudo teste tem potêca superor à do prmero teste pelo meos para um dos potos!! " 0. Assm, obvamete, ão exste ehum teste UMP de ível! para este problema. Na verdade, quado se testam hpóteses compostas blateras, mpor restrções à famíla de dstrbuções, ão permte estabelecer a exstêca, em termos geras, de testes UMP, sedo partcularmete mportate este caso restrgr a classe de testes de determado ível...testes Não Evesados e Testes Smlares O evesameto os testes de hpótese é a propredade perate a qual é mas provável rejetar a hpótese ula em qualquer poto o espaço de parâmetro especfcado pela hpótese alteratva do que em qualquer poto o espaço de parâmetro especfcado pela hpótese ula. Uma codção que se pode querer mpor aos testes das hpóteses é que, para qualquer valor da hpótese alteratva, a probabldade de rejeção é meor que a dmesão do teste. Se esta codção ão for satsfeta, ão haverá hpóteses alteratvas em que a ão rejeção é mas provável que a hpótese ula. 3

42 Defção.. Um teste dz-se ão evesado se a probabldade de rejetar a hpótese ula sabedo que é verdadera ão é superor à probabldade de rejetar a hpótese ula sabedo que ela é falsa. Formalmete, se o teste é de dmesão!, será ão evesado se ( ) sedo! sup "!"0 # # ".!! " ( ) " #!! " #,, Os testes de hpóteses ão evesados ão depedem apeas das hpóteses, mas também do ível de sgfcâca. Se um teste UMP de ível! exste, etão é ão evesado, porque a sua potêca é pelo meos tão grade quato a dmesão do teste. Defção.. Um teste dz-se uformemete mas potete ão evesado (UMPU) de ível! para testar as hpóteses H 0 :!! " 0 cotra H :!! ", quado, ( )! #!! " 0! W ", se ; ( )! #!! "! W ", se, em que, se W é um teste de dmesão! ão evesado, a probabldade de se rejetar H 0 quado falsa uca é feror à probabldade de se rejetar H 0 quado verdadera. O teorema segute lustra um caso partcular para algus testes blateras, como por exemplo o caso da famíla de fuções expoecas. Teorema.. Seja esaar uma amostra aleatóra de uma população com H 0 :!!!!! cotra H :! <! ou! >!, é uma estatístca sufcete para com! <!, etão exste um teste UMPU da forma: T < t ou T > t, com t, t determados pelas codções, ( X,X,...,X ) dstrbução da famíla expoecal. Se T T ( X,X,...,X ) ode! é a dmesão desejada.! (" ) P ( T < t ou T > t " " ) #! (" ) P ( T < t ou T > t " " ) #,, 4

43 Demostração: Ver demostração do teorema em [8], pága Uma vez que um teste UMP é UMPU, a dscussão sobre o evesameto de testes é útl apeas quado um teste UMP ão exste. Em grade parte dos problemas ode ão exstam testes UMP, exstem testes UMPU [8]. Recordado que apeas se tem aalsado casos em que o parâmetro é um escalar, é mportate aalsar os casos de quado o parâmetro é mult-dmesoal. Por exemplo, para um parâmetro bdmesoal (!,")! ", o esao de uma hpótese ula composta cotra uma hpótese alteratva composta, em que! é o parâmetro que está dretamete lgado ao teste, e a preseça de! embaraça o processo ferecal. Se W a regão crítca proposta, tem-se que P W! 0," depede de. Se, a regão crítca dz-se smlar, ou seja, W é smlar a frotera comum etre a hpótese ula e a hpótese alteratva,! 0 e!, sto é a tersecção dos respetvos fechos! 0!!. Resultado um teste UMP smlar. { }! P { W! 0,"} #,!" ( ) Os testes semelhates aos UMP ou testes smlares exstem para mportates classes de problemas, relatvo a um úco parâmetro de valores reas, estado a preseça ou ão de parâmetros de comoddade, mas ão para as hpóteses do tpo H :!...! S sobre város parâmetros. 5

44 3. Coclusão Para Neyma e Pearso o teste de hpóteses de uma determada stuação tem a máxma potêca quado é cotrolada a fução probabldade da falsa rejeção a um determado ível! e, portato, o mímo quado a fução probabldade da falsa acetação. Para testar uma hpótese smples cotra uma alteratva smples, Neyma e Pearso ecotraram a solução o teste da razão de verosmlhaça, sedo esta solução matematcamete bastate elemetar, mas tem cosequêcas crucas a Estatístca, torado-se cohecdo como o Lema Neyma-Pearso. Cotudo, acotece que em algus casos (muto raros), o mesmo teste é mas potete cotra todas as alteratvas em aálse, torado os testes uformemete mas potetes (UMP) a melhor solução. Sempre que um teste UMP ão exste, prevalecem os outros crtéros. As regões de rejeção são chamadas regões smlares. Como exemplo mportate, Neyma e Pearso mostraram que o teste t-studet ulateral é UMP etre todas as regões semelhates [6]. Para as alteratvas dos dos lados, ão se pode esperar que exstam testes UMP mesmo sem parâmetros de comoddade. Para esses casos, Neyma e Pearso, mpuseram uma codção mparcal adcoal, em que o poder do teste é o mímo! para todas as alteratvas, mostrado mas tarde que os dos lados dos testes t-studet são UMP etre todos os testes smlares [6]. Segudo Lehma, [6, 7], um teste de hpóteses é um procedmeto de decsão etre a veracdade ou ão de uma questoada hpótese. Tal decsão está baseada as observações de uma varável aleatóra X, cuja dstrbução P! pertece a uma famíla de dstrbuções. À hpótese em teste está assocado um subcojuto dos possíves valores de!,! 0 "!. A tomada de decsão de um teste é dto ão aleatóro [6] se, para cada possível valor da varável aleatóra X, uma das duas decsões é tomada: rejeta-se ou ão a hpótese em teste. A efcêca do teste é dada pala capacdade, medda por termédo de probabldades, de ão realzar uma decsão correta: rejetar a hpótese, quado esta é verdadera ou ão rejeta-la, quado é falsa. Devdo bascamete à restrção do tamaho amostral, é mpossível cotrolar smultaeamete os dos possíves erros de decsão. Assm, lmta-se a correta rejeção da hpótese em teste a um pequeo valor preestabelecdo!, que é deomado por ível de sgfcâca do teste, buscado-se por um mímo possível de erro da decsão, de ão rejeção de tal hpótese, quado esta é falsa. Ada segudo Lehma, [6, 7], em uma stuação cujo espaço paramétrco! possu somete dos elemetos, um caracterzado a hpótese em teste e outro a sua egação, é aplcável o 6

45 Lema de Neyma-Pearso, que cosste em costrur um procedmeto de decsão que relacoe a razão de verosmlhaça das duas possíves dstrbuções, sob cosderação da hpótese em teste como verdadera e sob cosderação da hpótese em teste como falsa. Aos potos de maor razão, assoca-se a decsão de ão rejeção da hpótese em teste, e aos potos de meor razão a decsão de rejetar tal hpótese. A especfcação do ível de sgfcâca é o procedmeto com melhor efcêca. No caso mas geral, o cojuto! possu bem mas que dos elemetos e, de modo aálogo, os subcojutos assocados à hpótese em teste. Assm, permaecedo o cotrole de rejeção errôea da hpótese em teste, busca-se por procedmetos de decsão que apresetam valores razoáves de probabldade para rejetar a hpótese em teste, sob a codção de esta ser falsa. 7

46 4. Referêcas Bblográfcas [] Neyma, J., Pearso, E.S. (933). O the Problem of the Most Effcet Tests of Statstcal Hypotheses. Phl. Tras. of the Royal Socety A, 3, p Lodres. [] Murtera, B. (990). Probabldades e Estatístca, vol., ª ed.. McGraw-Hll, Lsboa. [3] Mood, A.M., Graybll, F. (974). Itroducto to the Theory of Statstcs, 3ª ed.. McGraw- Hll, New York. [4] Kedall, M.G., Stuart, A. (979). The advaced Theory of Statstcs, vol., 4ªed.. Grff, Lodres. [5] Wlks, S.S. (96). Mathematcal Statstcs. J. Wley & Sos, Ic, New York. [6] Lehma, E.L., Romao, Joseph P. (005). Testg Statstcal Hypotheses, 3ª ed., Sprger-Verlag, New York. [7] Lehma, E.L. (986). Testg Statstcal Hypotheses, ª ed.. J. Wley & Sos, Ic., New York. [8] Shao, Ju (003). Mathematcal Statstcs, ª ed.. Sprger-Verlag, New York. [9] Rohatg, V.K. (976). A Itroducto to Probablty Theory ad Mathematcal Statstcs. J. Wley & Sos, Ic., New York. [0] Ross, S.M. (987). Itroducto to Probablty ad Statstcs for Egeers ad Scetsts. J. Wley & Sos, Ic., New York. [] Lese, F., Mescke, K. (008). Statstcal Decso Theory. Sprger-Verlag, New York. [] Pres, A.P.. Iferêca e Decsão I. Isttuto Superor Técco, Lsboa. [3] Roussas, G.G. (973). A Frst Course Mathematcal Statstcs. Addso-Wesley Publshg Compay, Lodres. [4] Ross, S.M. (996). Stochastc Processes, ª ed.. J. Wley & Sos, Ic., New York. 8

47 [5] Paulo, C.D. (00). Notas de Iferêca Estatístca. AEIST, Lsboa. [6] Fossaluza, Vctor (008). Testes de hpóteses em eleções majortáras. IME-USP, São Paulo. [7] Casella,G., Berger, R.L. (990). Statstcal Iferece. Duxbury Press. Belmot. [8] Lehma, E.L. (009). Some Hstory of Optmalty. Moograhp Seres optmalty: The Thrd. IMS. Calfóra. [9] Neyma, J., Pearso, E.S. (936,938). Cotrbutos to the theory of testg statstcal hypotheses. Statst. Res. Memors. Lodres. [0] Fsher, R.A. (9). O the Mathematcal Foudatos of Theoretcal Statstcs. Phl. Tras. of the Royal Socety A,, p Lodres. 9

48 Parte II. Plafcação de subudade Ao lectvo: 00/ - 3º Período Nível de eso: º ao de Matemátca Tema III: Trgoometra e Números Complexos Tópcos: Números Complexos Geeraldades Itrodução elemetar de problemas de resolubldade algébrca e de modo como se forma cosderado ovos úmeros. Apropração de um modo de desevolvmeto da Matemátca, através da evolução do coceto fudametal de úmero. Expermetação da ecessdade de, à semelhaça da acetação da ecessdade dos úmeros egatvos e fraccoáros. Cojuto dos úmeros complexos. Forma Algébrca: Operações com complexos a forma algébrca. Represetação geométrca e vectoral de um úmero complexo a forma algébrca. Forma Trgoométrca: Operações com complexos a forma trgoométrca. Represetação geométrca de um úmero complexo a forma trgoométrca. Domíos plaos e codções em varável complexa: Crcuferêca, crculo, semrecta, recta semplao e medatrz de um segmeto. Objectvos geras: Complemetar a cosoldar o estudo da trgoometra Desevolver a capacdade de matematzar stuações da vda real para melhor compreeder o mudo em que vvemos. 30

49 Estmular a capacdade de estabelecer relações com a geometra. Icetvar a compreesão e aplcação de procedmetos algébrcos a par da utlzação da calculadora e computador. Desevolver a capacdade de valdar cojecturas através de processos demostratvos. Itegrar o estudo dos úmeros complexos uma perspectva hstórca. Objectvos Específcos: Idetfcar propredades e característcas das fuções trgoométrcas. Utlzar as fuções trgoométrcas a resolução de problemas de geometra e a modelação de outras stuações cocretas. Compreeder a ecessdade e vatagem de acetar os úmeros complexos. Represetar úmeros complexos a forma algébrca, a forma trgoométrca e o plao complexo. Efectuar operações com úmeros complexos a forma algébrca, a forma trgoométrca, recohecer e aplcar propredades das operações. Iterpretar geometrcamete as operações com úmeros complexos. Represetar, o plao, cojutos defdos por codções uma varável complexa e defr cojutos de potos do plao por meo e codções o cojuto dos úmeros complexos. Capacdades trasversas: resolver problemas em cotextos matemátcos e ão matemátcos, adaptado, cocebedo e podo em prátca estratégas varadas e dscutdo as soluções ecotradas e os processos utlzados. racocar matematcamete, formulado e testado cojecturas e geeralzações, e desevolvedo e avalado argumetos matemátcos relatvos a resultados, processos e deas matemátcos. comucar oralmete e por escrto, recorredo à lguagem atural e à lguagem matemátca, terpretado, expressado e dscutdo resultados, processos e deas matemátcos. Sesblzar para um dálogo telgete com as tecologas de formação, cosderado o seu uso como facltar de uma partcpação actva do estudate a sua apredzagem. Resolver problemas em domíos dversfcados. Revelar coscêca crtca para uma cdadaa actva e partcpatva. Blocos prevstos: 7 aulas de 90 mutos 3

50 Drecção Regoal de Educação Cetro Escola Secudára Campos Melo Plao de Aula Matemátca A º Ao Turma A Estagáro: Adré Marques de Adrade Aula: Duração: 90 mutos Sumáro: Itrodução aos úmeros complexos. Represetação de um úmero complexo a forma algébrca. Operações e propredades de úmeros complexos a forma algébrca. Cojugado, smétrco e verso de um úmero complexo. Coteúdos Matemátcos: - Perspectva hstórca do coceto de úmero; - Perspectva hstórca do aparecmeto do cojuto dos úmeros complexos; - Número ; úmeros complexos; o cojuto C ; - Operações com complexos; - Propredades de complexos; - Complexos cojugados, complexos smétrcos e complexos versos. Pré-Requstos (o aluo deve saber): -Cojutos umércos -Represetar um referecal o.m. um par ordeado; -Operações com polómos em R. Objectvos (o aluo deve ser capaz de): Materal: - Defr e úmero complexo; - Represetar grafcamete um úmero complexo a forma algébrca; - Idcar o smétrco, verso e o cojugado de um complexo; - Efectuar operações com úmeros complexos a forma algébrca. - Maual adoptado pela escola; - Quadro; - Materal de escrta dversfcado; - Tela; 3

51 Estratéga: - Vídeo projector; - Computador; - Quadro teractvo. - Exposção teórca dos coteúdos; - Resolver exercícos; - Iteragr com a turma. Desevolvmeto da aula: - O professor cará a aula com escrta do sumáro e preecherá a folha de preseças. - Segudamete, o professor cará pela aálse do texto etregue o fal da aula ateror. O texto referdo é retrado do capítulo 8 os Imagáros, págas 6-7 do lvro Matemétca ou mesas, caderas e caecas de cerveja, fazedo uma breve trodução sobre a Hstóra dos Números Complexos. De seguda, o professor troduz a udade magára já referda a parte hstórca e leva-os a compreeder a ecessdade e vatagem de acetar os úmeros complexos. O facto de ão exstrem raízes quadradas reas de úmeros egatvos tora mpossível mutas das expressões algébrcas, omeadamete algumas polomas. Por exemplo, a equação x + 0 ão tem solução real, porque ão há ehum úmero real cujo quadrado seja. Etão para resolver este problema cosdere-se que exste pelo meos um úmero cujo quadrado é e represete-se esse úmero por. Etão ou Defção de udade magára: A udade magára é a raz quadrada de - e represeta-se por, Se ao cojuto R se jutar o cojuto dos úmeros magáros obtém-se o cojuto C 33

52 - O professor apreseta depos aos aluos um exercíco para troduzr o coceto de úmero complexo. Exercíco: Determar dos úmeros cuja soma seja 0 e o produto seja 40. Resposta: De acordo com o eucado, retra-se a segute formação: x + y 0 e x y 40 Para ecotrar a solução é ecessáro recorrer à resolução do sstema x + y 0 x y 40 x 0 y y 40 y ( 0 y) 0 y 40 0 Aplcado a formula resolvete: y b ± b 4ac a vem 0 ± y y 5 ± y 5 ± y 5 ± y 5 ± 5 Etão: y 5 ± 5 Podedo-se cosderar: # $ & y 5 +!5 x 5!!5 " # $ & y 5!!5 x 5 +!5. 34

53 Assm, cosderado o prmero caso e a defção de udade magara resulta que y e x 5 5 que se trata de úmeros complexos. Defção de Número Complexo: Chama-se úmeros complexos a todos os úmeros que têm, a forma a e b úmeros reas e a udade magára. z a + b sedo Nota: Seja z a + b um complexo: a é a parte real e escreve-se : a Re( z) b é a parte magára; ; b é o coefcete da parte magara e escreve-se b Im( z) ; b 0, o úmero complexo é um úmero real; b 0, o úmero complexo é um úmero magáro; b 0 e a 0, o úmero complexo magáro puro. z a + b é a forma algébrca. Etão de acordo com o que fo ctado e voltado ao problema ateror, y e x são dos úmeros magáros ode a parte magára de cada um é 5 e 5 respectvamete, e a parte real de ambos é 5. - De seguda, o professor rá pedr aos aluos algus exemplos de úmeros magáros, magáros puros e reas e serão troduzdos ovos cocetos. Exemplos (sugerdo pelo professor): Escreva exemplos de úmeros magáros, magáros puros e reas , 4 +, úmeros magáros; 6, úmeros magáros puros; 3, 8, úmeros reas. 7 35

54 Um úmero real x é defdo como sedo o valor da dstâca (uma determada udade de medda) que o úmero x se ecotra ao zero o exo da recta real, atrbudo-se o sal postvo ou egatvo caso x se ecotre à dreta ou a esquerda respectvamete do zero. De forma dêtca, defe-se os úmeros magáros puros como os úmeros que se ecotram sobre o exo perpedcular ao exo dos úmeros reas (exo magáro), tedo ambos os exos como poto de tersecção o zero, sedo o valor da udade de medda do exo magáro. Cosderado o plao o referecal o.m. xoy, a cada poto do plao de coordeadas (a, b) correspode o úmero complexo z a + b, ode a, b R. Ao poto A (da fgura em cma) chama-se afxo ou magem geométrca do!!! " complexo z, ao plao chama-se plao de Argad ou plao complexo z, e ao vector OA chama-se magem vectoral do úmero complexo z. Defção de cojugado: Seja z a + b um úmero complexo, chama-se ao cojugado de z ao úmero z tal que z a b, com a, b R. 36

55 Exemplo: O cojugado de + é. Defção de gualdade: Dos úmeros complexos z a + b e z c + d dzem-se guas se e só se têm partes reas guas e o coefcetes das partes magáras também guas: a + b c + d! a c " b d, com a, b, c, d R. Defção de smétrco: O smétrco de é o úmero complexo z a b pos ( + b) + ( a b) ( a b) + ( a + b) 0 a, com a, b R. Exemplo: O smétrco de + 5 é 5. Defção de verso: O verso de z a + b é o úmero complexo z a + b ( + b)..( a + ) a + b a + b b, pos a, com a, b R. Exemplo: O verso de 6 4 é 6 4 (6 + 4) (6 4)(6 + 4) Nos coteúdos aterores deu-se bastate ateção às formas de represetação dos úmeros complexos e as relações etre elas. Segudamete, o professor deve tratar as operações com úmeros complexos a forma algébrca. Adção de úmeros complexos: 37

56 A adção de dos úmeros complexos é um úmero complexo cuja parte real é gual à soma das partes reas e cuja parte magára é gual à soma das partes magáras das parcelas: ( a + b) + ( c + d) ( a + c) + ( b + d) a, b, c, d R A adção de úmeros complexos correspode a adção de vectores, Cosderado a represetação vectoral dos úmeros complexos, a soma de complexos ão passa da soma dos vectores que os represetam pela "regra do paralelogramo". Subtracção de úmeros complexos: A subtracção de dos úmeros complexos é um úmero complexo cuja parte real é gual à subtracção das partes reas e cuja parte magára é gual à subtracção das partes magáras das parcelas: ( a + b) ( c + d) ( a c) + ( b d) a, b, c, d R Produto de úmeros complexos: O produto de dos úmeros complexos complexo a forma: z a + b e w c + d é um úmero 38

57 z.w (ac - bd) + (ad + cb) a, b, c, d R Dvsão de úmeros complexos: A dvsão de dos úmeros complexos é gual a multplcação do umerador e do deomador pelo cojugado do segudo, sto é a + b ( a + d)( c d) ( ac + bd ) + ( bc ad ) c + d ( c + d)( c d) ( c + d ) - De seguda serão dadas aos aluos propredades dos úmeros complexos. Propredades: Para quasquer complexos z, z e z3 temos: a) z + z z + z - Propredade comutatva da adção em C; b) z z z - 0 é o elemeto eutro da adção em C; c) ( z + z ) + z 3 z + ( z + z 3 ) Propredade assocatva da adção em C; d) z. z z. z - Propredade comutatva da multplcação em C; e) z.. z z - é o elemeto eutro da multplcação em C; f) ( z. z ). z 3 z. ( z. z 3 ) - Propredade assocatva da multplcação em C; g) ( z + z ). z 3 z. z 3 + z. z 3 e z. ( z + z 3 ) z. z + z. z 3 -propredade dstrbutva da multplcação em relação à adção. - Por fm serão propostos aos aluos os segutes exercícos. Exercícos: ) Calcule: a) b) c) Resposta: ) a) - 39

58 b) 4 (-) ( -) Logo c) º- Caso seja múltplo de quatro, etão 4k para k Z. º- Caso seja da forma 4k + 3 3º- Caso seja da forma 4k + 4k 4 k k ( ) 4k+ 3 4 k 3 k ( ) ( ) 4k + 4 k ( ) k 4k+ 4 k k ( ) ( ) ( ) 4º- Caso seja da forma 4k+ 4k+ 4 k k ( ) ( ) ) Efectue os segutes operações e de seguda dca a parte real, a parte magára e o cojugado de cada um dos úmeros complexos obtdos: a) A (5-) + (7+3) b) B (8-3). c) C d) D!! ! 3 Resposta: a) (5-) + (7+3) (5-) + (7+3) (-+3) + Re (A) ; Im (A) ; A ( - ) b) (8-3). 7 (8-3). 7 (8-3). (-) Re (B) -3; Im (B) -8; B 8 3 c) + (+ ).(3! 4) 3! 4 + 6! (3 + 4).(3! 4) 9! Re (C) 5 ; Im (C) 5 ; C 5! 5. 40

59 3 ( + ) ( 3)( ) ( + )( ) d) (!! 3)!5!3+ 3!5 +! 3!7!5 + 7! ! 35 +!5 (!! 3)!5!3+ 3 +!5!5 (!! 3)!5!5 Re (D) 4 + 3!5 + 7 ; Im(D) (!! 3)! 3 ;!5 D!3+ 3!5!! 3!7.!5 3) Sejam z a + b R., z c + d Mostre as segutes propredades: a) b) c) z + e + z z z z. z z z. z z d) z z z z e) z + z Re( z) f) z z Im( z) z e + g, para z 0 úmeros complexos, com a, b, c, d, e, e f Resposta: a) z + + z c + d + e + g c d + e g z z b) z z ( c + d)( e + g) ce + cg + ed gd ce cg ed gd. z z ( c + d)( e + g) ( c d)( e g) ce cg ed dg. c) 4

60 z z c + d e + g ( c + d)( e g) ( e + g)( e g) z z ce cg + de + dg e + g ce + dg + cg de e + g c + d ( c d)( e + g) ce + cg de + dg e + g ( e g)( e + g) e + g ce + dg cg! de + e + g e + g d) z a + b a b a + b z e) z + z a + b + a b a Re( z) f) z z a + b a + b b Im( z) - Propor aos aluos exercícos do maual para trabalho de casa, que serão corrgdos as aulas de apoo. Avalação: Após a aula será preechda uma fcha de observação que cotempla os segutes tes: - Aplcação de cohecmetos adqurdos aterormete; - Empehameto as actvdades propostas; - Cohecmeto demostrado; - Uso de termologa e smbologa adequada; - Espírto de cooperação e relacoameto com os outros; - Partcpação a aula; - Comportameto a sala de aula. Questões a resolver para trabalho de casa: - Exercícos do maual escolar. Apoo bblográfco: - Maual adoptado pela escola, º ao de escolardade. - Programa de Matemátca A º Ao, DGIDC Mstéro da Educação. - Provdêca, Natála Bebao, (000), Matemátca ou Mesas, Caderas, e Caecas de Cerveja, Gradva, Lsboa. 4

61 Drecção Regoal de Educação Cetro Escola Secudára Campos Melo Plao de Aula Matemátca A º Ao Turma A Estagáro: Adré Marques de Adrade Aula: Duração: 90 mutos Sumáro: Coteúdos Matemátcos: Resolução de exercícos. Módulo e argumeto de um umero complexo. - O plao complexo; - Módulo e argumeto de um úmero complexo; - Represetar geometrcamete o produto de um complexo por e -; - Argumeto postvo mímo e argumeto prcpal de um úmero complexo. Pré-Requstos (o aluo deve saber): - Adcoar subtrar, multplcar e dvdr complexos forma algébrca; - Aplcar a regra de Ruff; - Represetar geometrcamete um par de coordeadas o exo o.m.. Objectvos (o aluo deve ser capaz de): Materal: - Calcular as raízes complexas de um úmero complexo a forma algébrca; - Represetar geometrcamete um complexo a forma algébrca; - Calcular o argumeto de um úmero complexo; - Calcular o módulo de um úmero complexo. - Maual adoptado pela escola; - Quadro; - Materal de escrta dversfcado; - Tela; - Vídeo projector; - Computador; - Quadro teractvo. Estratéga: - Exposção teórca dos coteúdos - Resolver exercícos; 43

62 - Iteragr com a turma. Desevolvmeto da aula: - O professor cará a aula com escrta do sumáro e preecherá a folha de preseças. - De seguda, será proposto aos aluos que resolvam os segutes exercícos, e com o decorrer a sua resolução serão troduzdos ovos cocetos: EXERCICIOS: ) Resolve em C, a equação x 3! 0. Resposta: É obvo que em R a equação tem uma úca raz: x 3! 0 " x 3 " x. Usado a regra de Ruff obtemos: x 3! 0 " (x!)(x + x +) 0 x + x + 0! x "± " 4 Assm a equação tem as soluções:! x "± 3! x "" 3 "+ 3 # x,!+ 3 e!! 3. - Após este exercíco faclmete se pode costatar que: Se a + b, b! 0, é solução de uma equação de ºgrau, etão é solução da mesma equação. a b também ) Sedo 4 + e duas raízes de uma equação de quarto grau de coefcetes reas, determa as outras raízes e escreve a equação. 44

63 Resposta: As raízes complexas aparecem aos pares de úmeros cojugados e como podemos decompor a equação de 4ºgrau o produto de duas equações de ºgrau as outras raízes são: 4 e +. A equação de 4ºgrau será da forma ode ( x! Mx + N ) x! M x + N ( ) 0 M é a soma das raízes cojugadas 4 e 4 + M é a soma das raízes cojugadas + e N é o produto das raízes cojugadas 4 e 4 + N é o produto das raízes cojugadas + e. Assm, M (4 ) + (4 + ) 8 M ( + ) + ( ) 4 N (4 )(4 + ) N ( + )( ) A equação de 4º grau é: ( x! 8x +7) x! 4x + 5 ( ) 0 "! x 4 " 4x 3 + 5x " 8x 3 + 3x " 40x +7x " 68x !! x 4 "x x "08x ) Escreve como soma de duas expressões fraccoáras de deomador complexo a expressão fraccoára: x 6 x + 0 Resposta: Prmero vamos calcular as raízes de x x + 0 x ± x x x 3 x x 6 x

64 Assm 6 x! x +0 6! x " x +0 6! x " x +0 a + b x!! 3 + c + d x!+ 3 (a + b)(x "" 3) +(c + d)(x "+ 3) (x "" 3)(x "+ 3) ax " a " 3a + bx " b + 3b + cx " c + 3c + dx " d " 3d (x "" 3)(x "+ 3) # $ & 6 + 0!a! 3a! b + 3b! c + 3c! d! 3d 0x + 0x ax + bx + cx + dx # " $ & 6!a + 3b! c! 3d 0!3a! b + 3c! d 0 a + c 0 b + d #! $ & "6d 6 6c 0 a "c b "d #! $ & d " c 0 a 0 b Logo 6 + x x + 0 x 3 x ) Cosdere a equação z 4 z 3 + z z + 0. a. Verfque que é solução da equação e, sem usar cálculos, justfca que também é solução. 4 3 b. Determe Q(z) tal que z z + z z + ( z + ).Q(z). c. Resolve a equação dada. Resposta: a) P etão é solução se e só se P ( ) Seja ( z) z z + z z + P ( ) 0 Uma vez que! 4 " 3 + " + 0! + " " + 0! 0 0 (P.V.) z é solução da equação, o cojugado de z, z, também é solução da equação, uma vez que, a ossa equação resulta do produto de equações de segudo grau. b) Faclmete verfcamos que e são soluções da equação z +. Assm usado a regra de Ruff temos, 46

65 Etão, z z + z z + ( z + )( z z + ) Logo Q(z) ( z z +). z 4! z 3 + z! z + 0 " (z +)(z! z +) 0 "! (z +) 0 "(z # z +) 0! z ± " z ± 3! z " z # " z + 3 " z # 3 Cálculos auxlares: ± 4 3 ( z z + ) 0 z z ± - Após a resolução dos exercícos, será relembrado aos aluos que o esquema utlzado a represetação geométrca de um úmero complexo chama-se plao complexo. Exemplo: O plao complexo de + 3 é: 47

66 - De seguda verfcar-se-á que o úmero 𝑖 é um operador de rotação de 90º: Seja 𝑧 4 + 3𝑖 etão 𝑖𝑧 𝑖(4 + 3𝑖) 4𝑖 3 pelo plao complexo podemos verfcar: Assm, seja 𝑧 𝑎 + 𝑏𝑖 um complexo de afxo 𝑃, etão 𝑧 𝑖(𝑎 + 𝑏𝑖) tem afxo 𝑃, que se obtém de 𝑃 por uma rotação de cetro a orgem e âgulo +90º. De forma aáloga verfcamos que, se 𝑧 𝑎 + 𝑏𝑖 um complexo de afxo 𝑃, etão 𝑧 𝑖(𝑎 + 𝑏𝑖) tem afxo 𝑃, que se obtém de P por uma rotação de cetro a orgem e âgulo 90º. Módulo de um úmero complexo Chama-se módulo do complexo 𝑧 𝑎 + 𝑏𝑖, e escreve-se 𝒛 ou!, ao úmero real a + b!, ou seja, 𝑧 é o comprmeto do vector v (a, b ). Assm, 𝑟 𝑧 𝑎 + 𝑏𝑖 a + b Exemplo: Determa 3 + 4𝑖. Resposta: 3 + 4𝑖 Será ada saletado que, para qualquer ( 3) z, z e z ℂ, temos: a) 𝑧 0 se e só se, 𝑧 0 + 0𝑖; b) Se 𝑧 c) 0 + 0𝑖, etão 𝑧 é um úmero real postvo; z z z; 48

67 d) z z z z ; e) z z z z ;, com 0 z f) z + z z + z ; g) z. z z. Argumeto de um úmero complexo Chama-se argumeto do úmero complexo z a + b à ampltude, em radaos, do âgulo θ que o vector! v (a,b) faz com a parte postva do exo dos xx (exo real). Se θ é um argumeto de um úmero complexo z, etão qualquer âgulo da forma θ + Kπ, K Z também é argumeto de z. Exemplo: π 3 5π π 3 Seja 3 π um argumeto de um úmero complexo! 3 +! 7! 3 (k -), são também argumetos desse úmero. (k ) e Nota: Chama-se argumeto prcpal a θ se: π < θ π Chama-se argumeto postvo mímo a θ se: 0 < θ π 49

68 De seguda será proposto o segute exercíco: Calcula o módulo e o argumeto prcpal de: a) z + ; b) z + 3; c) z 3. Resposta: a) Arg z θ π tg. 4 z + b) z (!) arg z θ π tg, 6rad (utlzou-se a calculadora). 50

69 c) z (!) +(! 3) 4 arg z θ 3 π 4 π + tg π π Como o argumeto prcpal está etre ] π, π ], temos que θ 4 π π π 3 3. Outro processo de resolução sera: θ π π π ou - Propor aos aluos exercícos do maual para trabalho de casa, que serão corrgdos as aulas de apoo. Avalação: Após a aula será preechda uma fcha de observação que cotempla os segutes tes: - Aplcação de cohecmetos adqurdos aterormete; - Empehameto as actvdades propostas; - Cohecmeto demostrado; - Uso de termologa e smbologa adequada; - Espírto de cooperação e relacoameto com os outros; - Partcpação a aula; - Comportameto a sala de aula. Questões a resolver para trabalho de casa: - Exercícos do maual escolar. Apoo bblográfco: - Maual adoptado pela escola, º ao de escolardade. - Programa de Matemátca A, º Ao, DGIDC Mstéro da Educação. 5

70 Drecção Regoal de Educação Cetro Escola Secudára Campos Melo Plao de Aula Matemátca A º Ao Turma A Estagáro: Adré Marques de Adrade Aula: 3 Duração: 90 mutos Sumáro: Represetação de um úmero complexo a forma trgoométrca. Exercícos de aplcação. Utlzação da Calculadora gráfca. Coteúdos Matemátcos: - Complexos a forma trgoométrca; - Passagem de um úmero complexo a forma trgoométrca para a forma algébrca e vce-versa. Pré-Requstos (o aluo deve saber): - Adcoar subtrar, multplcar e dvdr complexos a forma algébrca; - Aplcar a regra de Ruff; - Determar o argumeto, modulo de um úmero complexo. Objectvos (o aluo deve ser capaz de): Materal: - Defr úmero complexo a forma trgoométrca; - Passar um úmero complexo da forma algébrca para a forma trgoométrca e vceversa; - Efectuar operações com complexos a forma trgoométrca; - Resolver equações polomas de varável complexa; - Determar a potêca e a radcação de ídce atural de um complexo. - Maual adoptado pela escola; - Quadro; - Materal de escrta dversfcado; - Tela; - Vídeo projector; - Computador; - Calculadora; - Quadro teractvo. 5

71 Estratéga: - Exposção teórca dos coteúdos - Resolver exercícos; - Iteragr com a turma. Desevolvmeto da aula: - O professor cará a aula com escrta do sumáro e preecherá a folha de preseças. - De seguda serão troduzdos ovos cocetos: Forma trgoométrca de um úmero complexo Na forma algébrca um complexo z represeta-se por:. Observe-se a segute fgura: z a + b Etão, temos: cosθ a r a r cosθ e ou e b sθ r b r sθ Assm o complexo z a + b pode ser escrto a forma z r cosθ + rsθ r(cosθ + sθ ) que se desga por represetação trgoométrca de z. À expressão cos! + se! represetamos abrevadamete por cs! ou E(θ ). Logo z r(cosθ + sθ ) z rcsθ E( θ). - De seguda, serão propostos aos aluos os segutes exercícos: Exercíco: ) Escreve a forma trgoométrca: 53

72 Resposta: a) Ica-se com o calculo do módulo: z 0 z + Posterormete calcular o argumeto: 0 cos θ e sθ Como o valor do co-seo é 0 e do seo é, etão o valor de π θ Etão: (cos! + s! ) (cos! + s! ) cs!. Observação: Qualquer úmero magáro puro postvo, e egatvo, tem argumeto! e 3!, respectvamete. b) -3 Resposta: Ica-se com o calculo do módulo: z (!3) + 0! z 3 Posterormete calcular o argumeto: cos!!3 3 e s! 0, cos!! e s!

73 Como o valor do co-seo é - e do seo é 0, etão o valor de θ π Etão:!3 (3cos! + 3 s!) 3(cos! + s!) 3cs! Observação: Qualquer úmero real puro egatvo, e postvo, tem argumeto 0 e!, respectvamete. Resposta: b) - Ica-se com o calculo do módulo: z (!) +(!) Posterormete calcular o argumeto: cos!! e s!! cos!! e s!! Como o valor do co-seo é! e do seo é!, etão o âgulo está o tercero quadrate. Logo: Arg z!! +! 4! 3 4! ou Arg z! +! 4 5 4!, de um modo geral trabalha-se com o argumeto postvo mímo. 55

74 Etão:!! - cos# 5 " 4! $! & + se# 5 " 4! $ $ # & & # " &!! cos# 5 " 4! $! & + se# 5 " 4! $ $ # & & # " &! cs# 5 " 4! $ &. ) Escreve a forma algébrca: a) z 6 cs π Resposta: z " 6cs!! $ ' # & " 6(cos!! " $ ' + s!! $ ') # & # & 6(0 +(!))!6 Resposta: b) z cs π 4 56

75 z π cs 4 " (cos!! " $ ' + se!! $ ') # 4 & # 4 & " $ #! ' &! No fm, o professor deve coduzr os aluos a coclur que dados dos úmeros complexos a z r csθ z rcsθ forma trgoométrca, e, são guas se, e somete se, z z r r θ θ kπ +, k! Z. Operações com complexos a forma trgoométrca - De seguda (com o tuto de os aluos pratcarem demostrações, e de aplcar a multplcação, dvsão, potêca e raz ídce a úmeros complexos a forma trgoométrca) será proposto aos aluos que demostrem que: Exercíco: z r csθ z rcsθ ) Dados e prove que: a) z! z r! r cs(! +! ) (produto) Resposta: z! z r cs!! r cs! r ( cos(! ) + se(! ))! r ( cos(! ) + se(! )) r! r ( cos(! )cos(! ) + cos(! )se(! ) + se(! )cos(! ) " se(! )se(! )) r! r ( cos(! )cos(! ) " se(! )se(! ) + (cos(! )se(! ) + se(! )cos(! ))) r! r ( cos(! +! ) + (se(! +! ))) r! r cs(! +! ) Nota: ( cos(! )cos(! )! se(! )se(! )) ( cos(! +! )) ( cos(! )se(! ) + se(! )cos(! )) ( se(! +! )) e z b) r cs(! (dvsão) z r!! ) 57

76 Resposta: Uma vez que o verso de é e o elemeto eutro para a multplcação,temos que z cs0 z Assm, supodo que Logo. z csα z r z temos que z z z z z! z cs 0 " r r cs(! + ") cs 0! + " 0! " "! Portato temos que z cs r ( θ ) z r z r csθ cs( θ ) cs( θ θ ) z z r r z r θ cs( ) c) Esta é a fórmula é cohecda como fórmula de Movre. Resposta: z z z θ... z r cs( θ) r cs( θ)... r cs( θ) r cs( θ + θ ) r vezes vezes cs( z d) (radcação) Resposta: θ + kπ r. cs Como z r cs θ, etão Assm z tcsγ R, para algum t. 58

77 " $ z (tcs(!))! r cs" t cs(!)! # $ r t "! + k# " $! # $ $ t r.! " + k# z θ + kπ r. cs Logo,. Nota: como quado k temos (0,,,, -) coduzem a valores dferetes do argumeto. cs! + " cs!, apeas os valores de k + k" cs! - Após verfcarem as gualdades aterores serão propostos aos aluos os segutes exercícos: Exercíco: z 3 ) Seja z cs 5! e calcula os segutes úmeros complexos: 3 Resposta: z z 7 a) (apreseta a forma algébrca) z ( 3) +(!) 4 z Seja arg ( ) - θ se(!) 4!! " 6 Logo, " z 4cs!! $ ' # 6 &!! 7 cs 5! $ $ #! z $ # & & 3 # # " & " z & #! 4cs #'! $ & # & " " 6 & 8 cs! 5! $ # & " 6 7!!! $ $ # cs # & " " 6 & 7! # $ 7 " &! cs 77! $ # &! 77! cs # " 6 8 " 6 '! $ &! Re z $ # & " z 7! Im z $ # & " z! 'cos#! ' 5! " 6 7! se #! ' 5! " 6 $ & ( 8 ' 3 56 $ & (

78 Assm,! # " z z 7 $ & ' Resposta: 4 ( z) z b) (apreseta a forma trgoométrca) " Como z cs $! 5 # 3! ' e & z ( z ) 4 # #! "z cs " 5! 3 $ $ π 5π 4cs π 4cs 6 6 k 0 k, temos: # 4 5! && # ( (! 4cs 5! & # ( 6cs " 0! & (! cs 6 + k! & ( ( '' $ 6 ' $ 3 ' ( $ ' " 3cs $! 75! # + k! " ' 3cs! 75! " $ + 6! + k! ' 3cs $!! & # & # 4 + k! '(k 0, & 4 ( z) z π 3cs 4 4 ( z) z 3π 3cs 4. Resolva o cojuto dos úmeros complexos as equações: a) z Resposta: z π + kπ z 64 z 64csπ z 64cs k 6 k 0! 6 z 64cs #! " 6 $ & 0,,,3,4,5 k k! 6 z 64cs # 3! " 6! 6 z 64cs # 5! " 6 $ & $ & k 3! 6 z 64cs # 7! " 6 $ &! 6 k 4 z 64cs # 9! " 6 $ &! 6 k 5 z 64cs! $ # & " 6 60

79 ! 6 S. { 64cs #! " 6 $! 6 &, 64cs # 3! " 6 $! 6 &, 64cs # 5! " 6 $! 6 &, 64cs # 7! " 6 $! 6 &, 64cs # 9! " 6 $ &, 6! 64cs! $ # & } " 6 b) z 3 8z 0 Resposta: Seja z ρcsθ, etão z 3! 8z 0 " (!cs" ) 3 (8cs 0)(!cs(!")) "! 3 cs ( 3" ) 8!cs(!") " #! $ &! 3 8! 3" "" + k# #!!3 " 8! 0 $ & 4" k# #! $ & #! 0! " k# 'k ( Z ) $ " k# & 'k ( Z! S., cs ( 0 ), cs! $! # &, cs! " ( ), cs 3! $ {0 # & } " - O professor pede aos aluos que verfquem os resultados dos exercícos aterores recorredo a calculadora gráfca de forma a utlzar as suas potecaldades. Para tal o professor deve formar os calculadora gráfca TI-84 plus. aluos os processos báscos de mauseameto da 6

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85 - Propor aos aluos exercícos do maual para trabalho de casa, que serão corrgdos as aulas de apoo. Avalação: Após a aula será preechda uma fcha de observação que cotempla os segutes tes: - Aplcação de cohecmetos adqurdos aterormete; - Empehameto as actvdades propostas; - Cohecmeto demostrado; - Uso de termologa e smbologa adequada; - Espírto de cooperação e relacoameto com os outros; - Partcpação a aula; - Comportameto a sala de aula. Questões a resolver para trabalho de casa: - Exercícos do maual escolar. Apoo bblográfco: - Maual adoptado pela escola, º ao de escolardade. - Programa de Matemátca A º Ao, DGIDC Mstéro da Educação. - Maual TI-84 Plus. 67

86 Estagáro: Adré Marques de Adrade Aula: 4 Duração: 90 mutos Sumáro: Drecção Regoal de Educação Cetro Escola Secudára Campos Melo Plao de Aula Matemátca A º Ao Turma A Domíos plaos e codções em varável complexa. Coteúdos Matemátcos: - Codção uversal; - Codção mpossível; - Cojução de codções; - Dsjução de codções; - Crcuferêca e crculo; - Medatrz; - Rectas paralelas aos exos; - Semrectas; Pré-Requstos (o aluo deve saber): - Adcoar subtrar, multplcar e dvdr complexos a forma algébrca e trgoométrca; - Aplcar a regra de Ruff; - Determar o argumeto e represetar geometrcamete um úmero complexo. Objectvos (o aluo deve ser capaz de): Materal: - Represetar uma codção mpossível; - Represetar uma codção uversal; - Dstgur codção mpossível de codção uversal; - Represetar uma crcuferêca, crculo, medatrz, rectas e semrectas o plao complexo; - Represetar uma codção geometrcamete. - Maual adoptado pela escola; - Quadro; - Materal de escrta dversfcado; - Tela; - Vídeo projector; - Computador; - Quadro teractvo. 68

87 Estratéga: - Exposção teórca dos coteúdos - Resolver exercícos; - Iteragr com a turma. Desevolvmeto da aula: - O professor cará a aula com escrta do sumáro e preecherá a folha de preseças. - De seguda serão troduzdos ovos cocetos: Domíos plaos e codções em varável complexa Como vmos e trabalhamos ao logo dos temas aterores, as represetações geométrcas e vectoras dos úmeros complexos são muto útes e permtem vsualzar relações mportates etre estes úmeros e etre as suas operações. A dea orgal de represetar os úmeros complexos geometrcamete é devda a Caspar Wessel, um topógrafo orueguês que vveu o fal do século XVIII. Aos mas tarde, já o século XIX, Jea Robert Argad recrava, por s, a mesma represetação. Mutas vezes, o plao complexo é assm, devdamete desgado por plao de Argad mas, mas correctamete, devera ser desgado por plao de Wessel. Por esta razão optamos pelo chamado plao complexo. Operações com codções e com cojutos Ao úmero complexo z x + y correspode o plao complexo o poto P ( x, y). A uma codção em C correspode um cojuto de potos. 69

88 Qual é o cojuto de potos que satsfaz, em C, a codção z 3? Etão z! 3 " z # 0! 3 A questão pode ser formulada de outra forma: Quas são os potos do plao complexo que dstam da orgem 3 ou meos de 3 udades? A resposta a esta questão pode ser dada geometrcamete ou em lguagem correte. Os potos em questão pertecem a um círculo de cetro a orgem e rao 3. A represetação geométrca do lugar geométrco dos potos que satsfazem a codção z 3 está represetada a cor o plao complexo. De um modo geral, tem-se O cojuto defdo pela codção p(z) é o cojuto dos valores do Uverso(U) que são solução da codção. { z U : p( z)} Qual será o cojuto defdo pela codção z 0? A codção z 0 é uma codção uversal. Uma codção uversal defe o Uverso. C { z C : z 0} Qual será o cojuto defdo pela codção z < 0? 70

89 A codção z < 0 é uma codção mpossível. Uma codção mpossível defe o cojuto vazo. φ { z C : z < 0} Cojução de codções: Cosdere-se em C as codções: z e z 3 Qual é o cojuto de potos defdos pela codção: z z 3? Defção de cojução de codções A cojução de codções correspode a tersecção de cojutos Dsjução de codções: Cosdere-se em C as codções: z e z 3 Qual é o cojuto de potos defdos pela codção: z z 3? Defção de dsjução de codções A dsjução de codções correspode a reuão de cojutos 7

90 Cojutos defdos por codções evolvedo úmeros complexos De etre os lugares geométrcos mas cohecdos faremos referêca: -Crcuferêca e crculo; -Medatrz de um segmeto de recta; -Rectas paralelas aos exos; -Sem-rectas; Crcuferêca e crculo: A crcuferêca caracterza-se por ser o lugar geométrco dos potos do plao equdstates de um poto fxo. A dstâca de um qualquer poto da crcuferêca a C (cetro da crcuferêca) é gual ao rao (r). Escreve-se P! C r a dstâca de P a C. No plao complexo cosderemos a varável complexa: z x + y. Vejamos como represetar, por uma codção, uma crcuferêca, um círculo e os potos exterores a crcuferêca. Para obtermos a equação algébrca da crcuferêca recorre-se a substtução de z por 7

91 x + y e calcula-se o modulo: x + y! (+ ) " (x! ) + ( y! )! (x " ) + ( y " )! (x " ) + ( y " ) ( x ) + ( y ) Crcuferêca de cetro em P (,) e rao. Medatrz A medatrz de um segmeto de recta [AB] caracterza-se por ser o lugar geométrco dos potos equdstates de A e de B. P A P B Vejamos como se represeta o plao complexo a medatrz de um segmeto de recta e os seus semplaos por ela defdos. Para determamos a equação da recta substtu-se por x + y e calculam-se os módulos. x + y! x + y! " x + ( y! ) (x! ) + y "! x + ( y " ) (x " ) + y! x + y " y + x " 4 x y! 4x " y " 3 0! y x " 3 73

92 equação da medatrz do segmeto defdo por: P (0,) e Q (,0) Rectas paralelas aos exos - Recta paralela ao exo do yy ou ao exo magáro Re(z!+ ) " Re(x + y!+ )! Re # $ (x ") +(y +) &! x "! x 3 - Recta paralela ao exo dos xx ou ao exo real. Im(z!+ ) " Im(x + y!+ )! Im # $ (x ") +(y +) &! y +! y Sem-recta Arg z z ) α represeta uma sem-recta de orgem o afxo de ( semexo postvo dos xx um âgulo de ampltude α. z e formado com o 74

93 Posto sto o professor pede aos aluos que resolvam os segutes exercícos. Exercícos: ) Represeta o plao complexo o cojuto de potos defdo pelas codções: z! " #Im(z + 3 ) " 6 Resposta: A codção z defe um crculo de rao e cetro em z 0. A codção Im(z + 3 )! 6 defe um semplao. Seja Im(z + 3 )! 6! Im(x + y + 3 ) " 6! Im(x + ( y + 3) ) " 6! y +3 " 6! y "3 O semplao é defdo pela codção y 3. Podemos etão represetar as codções o plao complexo: ) Represete o plao complexo o cojuto de potos defdos pela codção:!!! arg z " "! 4 3 ( ) 75

94 Resposta: A codção! 4! arg( z "" )!! 3 defe um âgulo de vértce (,), cujos lados são semrectas dcadas a fgura. 3) Defa por uma codção, o domío plao colordo em cada fgura: a) Resposta: z 3 b) Resposta: < Re( z ) < < Im( z) < c) 76

95 Resposta: π arg( z ) arg( z) 6 π 3 d) Resposta: π z 0 arg( z) π arg( z) 4 5π 4 - Propor aos aluos exercícos do maual para trabalho de casa, que serão corrgdos as aulas de apoo. Avalação: Após a aula será preechda uma fcha de observação que cotempla os segutes tes: - Aplcação de cohecmetos adqurdos aterormete; - Empehameto as actvdades propostas; - Cohecmeto demostrado; - Uso de termologa e smbologa adequada; - Espírto de cooperação e relacoameto com os outros; - Partcpação a aula; - Comportameto a sala de aula. Questões a resolver para trabalho de casa: - Exercícos do maual escolar. Apoo bblográfco: - Maual adoptado pela escola, º ao de escolardade. - Programa de Matemátca A º Ao, DGIDC Mstéro da Educação. 77

96 Estagáro: Adré Marques de Adrade Aula: 5 Duração: 90 mutos Sumáro: Coteúdos Matemátcos: Drecção Regoal de Educação Cetro Escola Secudára Campos Melo Plao de Aula Matemátca A º Ao Turma A Resolução de uma proposta de trabalho. - O plao complexo; - Módulo e argumeto de um úmero complexo; - Represetar geometrcamete o produto de um complexo por e -; - Argumeto postvo mímo e argumeto prcpal de um úmero complexo. Pré-Requstos (o aluo deve saber): -Represetar um referecal um par ordeado; -Efectuar operações em R com polómos; -Calcular as raízes complexas de um úmero complexo; -Represetar geometrcamete um complexo; -Calcular o argumeto de um úmero complexo; -Calcular o módulo de um úmero complexo; -Adcoar subtrar, multplcar e dvdr complexos; - Aplcar a regra de Ruff; -Represetar geometrcamete um par de coordeadas o exo o.m.; -Adcoar subtrar, multplcar e dvdr complexos a forma algébrca e trgoométrca; - Represetar geometrcamete um úmero complexo. Objectvos (o aluo deve ser capaz de): - Defr e úmero complexo; - Represetar grafcamete um úmero complexo; - Idcar o smétrco, verso e o cojugado de um complexo; - Adcoar subtrar, multplcar e dvdr complexos; - Determar o módulo e argumeto de um úmero complexo; - Represetar geometrcamete o produto de um complexo por e -; - Determar o argumeto postvo mímo e o argumeto prcpal de um úmero complexo; - Defr úmero complexo a forma trgoométrca; 78

97 - Passar um úmero complexo da forma algébrca para a forma trgoométrca e vceversa; - Efectuar operações com complexos a forma trgoométrca; - Resolver equações polomas de varável complexa; - Determar a potêca e a radcação de ídce atural de um complexo; - Adcoar subtrar, multplcar e dvdr complexos; - Represetar uma codção mpossível; - Represetar uma codção uversal; - Dstgur codção mpossível de codção uversal; - Represetar uma crcuferêca, crculo, medatrz, rectas e sem-rectas o plao de Argad; - Represetar uma codção geometrcamete. Materal: Estratéga: - Maual adoptado pela escola; - Quadro; - Materal de escrta dversfcado; - Tela; - Vídeo projector; - Computador; - Quadro teractvo. - Exposção teórca dos coteúdos - Resolver exercícos; - Iteragr com a turma. Desevolvmeto da aula: - O professor cará a aula com escrta do sumáro e preecherá a folha de preseças. - De seguda, o professor dstrbu a proposta de trabalho. - Propor aos aluos para trabalho de casa a coclusão da proposta de trabalho. Avalação: Após a aula será preechda uma fcha de observação que cotempla os segutes tes: - Aplcação de cohecmetos adqurdos aterormete; - Empehameto as actvdades propostas; - Cohecmeto demostrado; - Uso de termologa e smbologa adequada; - Espírto de cooperação e relacoameto com os outros; - Partcpação a aula; - Comportameto a sala de aula. Questões a resolver para trabalho de casa: - Falzar a proposta de trabalho. Apoo bblográfco: - Maual adoptado pela escola, º ao de escolardade. - Programa de Matemátca A º Ao, DGIDC Mstéro da Educaçã 79

98 Drecção Regoal de Educação Cetro Escola Secudára Campos Melo Plao de Aula Matemátca A º Ao Turma A Estagáro: Adré Marques de Adrade Aula: 6 Duração: 90 mutos Sumáro: Coclusão da proposta de trabalho. Esclarecmetos de dúvdas. Pré-Requstos (o aluo deve saber): -Cojutos umércos; -Represetar um referecal um par ordeado; -Operações em R com polómos; -Calcular as raízes complexas de um úmero complexo; -Represetar geometrcamete um complexo; -Calcular o argumeto de um úmero complexo; -Calcular o módulo de um úmero complexo; -Adcoar subtrar, multplcar e dvdr complexos; -Aplcar a regra de Ruff; -Represetação geométrca de um par de coordeadas o exo o.m.; -Adcoar subtrar, multplcar e dvdr complexos a forma algébrca e trgoométrca; -Argumeto e represetação geométrca de um úmero complexo. Objectvos (o aluo deve ser capaz de): - Defr e úmero complexo; - Represetação gráfca de um úmero complexo; - Idcar o smétrco, verso e o cojugado de um complexo; - Adcoar subtrar, multplcar e dvdr complexos; - O plao de Argad; - Módulo e argumeto de um úmero complexo; - Represetar geometrcamete o produto de um complexo por e -; - Argumeto postvo mímo e argumeto prcpal de um úmero complexo; - Defr úmero complexo a forma trgoométrca; - Passar um úmero complexo da forma algébrca para a forma trgoométrca e vceversa; - Operar complexos a forma trgoométrca; - Resolver equações polomas de varável complexa; - Determar a potêca e a radcação de ídce atural de um complexo; 80

99 Materal: Estratéga: - Adcoar subtrar, multplcar e dvdr complexos; - Regra de Ruff; - Argumeto e represetação geométrca de um úmero complexo; - Represetar uma codção mpossível; - Represetar uma codção uversal; - Dstgur codção mpossível de codção uversal; - Represetar uma crcuferêca, crculo, medatrz, rectas e sem-rectas o plao de Argad; - Maual adoptado pela escola; - Quadro; - Materal de escrta dversfcado; - Tela; - Vídeo projector; - Computador; - Quadro teractvo. - Exposção teórca dos coteúdos; - Resolver exercícos; - Iteragr com a turma. Desevolvmeto da aula: - O professor cará a aula com escrta do sumáro e preecherá a folha de preseças. - De seguda, o professor coclu a correcção da proposta de trabalho e esclarece as duvdas dos aluos. - Desejar um resto de bom da aos aluos. Avalação: Após a aula será preechda uma fcha de observação que cotempla os segutes tes: - Aplcação de cohecmetos adqurdos aterormete; - Empehameto as actvdades propostas; - Cohecmeto demostrado; - Uso de termologa e smbologa adequada; - Espírto de cooperação e relacoameto com os outros; - Partcpação a aula; - Comportameto a sala de aula. Apoo bblográfco: - Maual adoptado pela escola, º ao de escolardade. - Programa de Matemátca A º Ao, DGIDC Mstéro da Educação. 8

100 Drecção Regoal de Educação Cetro Escola Secudára Campos Melo Plao de Aula Matemátca A º Ao Turma A Estagáro: Adré Marques de Adrade Aula: 7 Duração: 90 mutos Sumáro: Teste de avalação. Pré-Requstos (o aluo deve saber): -Cojutos umércos; -Represetar um referecal um par ordeado; -Operações em R com polómos; -Calcular as raízes complexas de um úmero complexo; -Represetar geometrcamete um complexo; -Calcular o argumeto de um úmero complexo; -Calcular o módulo de um úmero complexo; -Adcoar subtrar, multplcar e dvdr complexos; -Aplcar a regra de Ruff; -Represetar geometrcamete um par de coordeadas o exo o.m.; -Adcoar subtrar, multplcar e dvdr complexos a forma algébrca e trgoométrca; -Argumeto e represetação geométrca de um úmero complexo. Objectvos (o aluo deve ser capaz de): - Defr e úmero complexo; - Represetação gráfca de um úmero complexo; - Idcar o smétrco, verso e o cojugado de um complexo; - Adcoar subtrar, multplcar e dvdr complexos; - O plao de Argad; - Módulo e argumeto de um úmero complexo; - Represetar geometrcamete o produto de um complexo por e -; - Argumeto postvo mímo e argumeto prcpal de um úmero complexo; - Defr úmero complexo a forma trgoométrca; - Passar um úmero complexo da forma algébrca para a forma trgoométrca e vceversa; - Operar complexos a forma trgoométrca; - Resolver equações polomas de varável complexa; - Determar a potêca e a radcação de ídce atural de um complexo; - Adcoar subtrar, multplcar e dvdr complexos; - Regra de Ruff; - Argumeto e represetação geométrca de um úmero complexo; 8

101 Materal: Estratéga: - Represetar uma codção mpossível; - Represetar uma codção uversal; - Dstgur codção mpossível de codção uversal; - Represetar uma crcuferêca, crculo, medatrz, rectas e sem-rectas o plao de Argad; - Dada uma codção represeta-la geometrcamete. - Quadro; - Materal de escrta dversfcado; - Teste de avalação. - Resolver o teste. Desevolvmeto da aula: - O professor cará a aula com escrta do sumáro e preecherá a folha de preseças. - De seguda, o professor dstrbu o teste de avalação. Apoo bblográfco: - Maual adoptado pela escola, º ao de escolardade. - Programa de Matemátca A º Ao, DGIDC Mstéro da Educação.. Aexos PROPOSTA DE TRABALHO º ANO. Calcule: + 5! 3.. Coloca a forma z a + b a expressão! + +!. 3) Calcule: a) 9 b) 45 c) 30 d) 08 e) 4 f)

102 4. Calcule o módulo do segute úmero complexo: (4! 3)(! 5). 5.Calcula o umero do segute umero complexo: z Passe o úmero complexo z 8 para a forma trgoométrca!! 7. Dados z 5(cos(!) +.se(!)) e z 3. cos! $! # & +.se! $ $ # # & " " 3 " 3 & obteha z.. z 8. Determe o plao de Argad os cojutos dos afxos dos úmeros complexos z que verfcam cada uma das segutes codções: a) z Sugestão: Repare que o afxo vectoral de z é o vector com orgem em e extremdade z e terprete, por esse facto, o sgfcado geométrco de z Sugestão: Repare que z + z ( ) b) + c) z z. + d) z z < z + e) z z f) z z z + z

103 . 85

104 86 CORRECÇÃO DA PROPOSTA DE TRABALHO º ANO. Calcule: Resposta: Multplcam-se ambos os termos da fracção pelo úmero complexo cojugado do deomador ) ( ) (5 3 ) (5. 3 ) (5 ) ( Coloca a forma a+b a expressão. + + Resposta: Em cada expressão multplcamos os seus termos pelo úmero complexo cojugado do deomador: ) ( 4 ) ( ) ( 4 ) ( ) (. ) ( ) ( ) (. ) ( ) ( ) Calcule: a) 9 Resposta: b) 45 Resposta:

105 c) 30 Resposta: d) 08 Resposta: e) 4 Resposta: 4 4. ( ).( ) f) 4 + Resposta: ( ) (4 3)( 5) 4. Calcule o módulo do segute úmero complexo:. Resposta: Prmeramete colocamos o úmero a forma a+b (4 3)( 5) (. ( ) ( ) ) ( ).( ) (33 56).( ( ) )

106 Calculemos agora o módulo desse úmero: z a + b ( 8 ) z 65 5.Calcula o umero do segute umero complexo: z + 3 Resposta: z cos( θ ) se( θ ) + ( a z b z 4 3) θ π 3 6. Passe o úmero complexo z 8 para a forma trgoométrca Resposta: z a 0 cos( θ ) 0 z 8 π θ b 8 se( θ ) z 8 Passado para a forma trgoométrca : z z.(cos( θ ) +. se( θ )) π π z 8. cos +. se π π 7. Dados z 5(cos( π ) +. se( π )) e z 3. cos +. se obteha z. z

107 89 Resposta: cos cos )) (. ).(cos( ) ( 3 3 / ) cos( ) ( 5 5 ) cos( cos ) ( )) ( (5 )) (5 cos(. π π π π π π θ θ θ θ π θ θ θ π θ θ θ π π π π se z z se z z se z z z z z b se z a z b se z a se z se z 8. Determe o plao de Argad os cojutos dos afxos dos úmeros complexos z que verfcam cada uma das segutes codções: a) z Sugestão: Repare que o afxo vectoral de z é o vector com orgem em e extremdade z e terprete, por esse facto, o sgfcado geométrco de z. Resposta: Uma vez que z é a dstâca etre os afxos de z e de 3, o cojuto peddo é b) + z Sugestão: Repare que ) ( z z + Resposta: A codção é que a dstâca do afxo de z ao afxo de 3 deve ser meor ou gual a Obtemos assm o cojuto:

108 c) z z. + Resposta: Procuramos os potos do plao que estão à mesma dstâca dos afxos de e de, portato os potos da perpedcular ao meo do segmeto determado por estes potos: d) z z < z + Resposta: Temos aqu a tersecção da crcuferêca de cetro o afxo do poto e rao com um dos sem-plaos abertos determados pela recta dos potos equdstates dos afxos dos complexos 0 e + e) z z Resposta: Temos aqu a uão do círculo de cetro a orgem e rao com a crcuferêca de cetro o afxo de e rao : 90

109 f) z z z + Resposta: Temos aqu a tersecção de dos sem-plaos fechados, um lmtado pela recta dos potos equdstates dos afxos de e de e outro lmtado pela recta dos potos equdstates dos afxos de e : 9. R: A 0. R: B. R: C 9

110 Teste de Matemátca A ºao de escolardade Duração da Prova: 90 mutos Turma: A Na folha de respostas dque claramete a versão da prova, A ausêca desta dcação mplcará a aulação de todo o GRUPO I. A prova é costtuída por dos Grupos, I e II O Grupo I clu oto tes de escolha múltpla. O Grupo II clu três tes de resposta de costrução, subdvddos em alíeas. 9

111 Grupo I As oto questões do prmero grupo são de escolha múltpla. Para cada uma delas, são dcadas quatro alteratvas, das quas só uma está correcta. Escreva, a folha de respostas, a letra correspodete à alteratva que seleccoar para cada questão. Se apresetar mas do que uma resposta, a questão será aulada, o mesmo acotecedo se a letra trascrta for legível. Não apresete cálculos.. Seja z um úmero complexo de argumeto!. Qual poderá ser um argumeto smétrco 5 de z? (A)!! 5 (B)! +! 5 (C)!!! 5 (D)! +! 5. Qual das segutes regões do plao complexo ( dcado a sombreado) cotém as mages geométrcas das raízes quadradas de 3 + 4? 93

112 3. Qual das segutes codções defe, o plao complexo, o exo magáro? (A) z! z 0 (B) Im(z) (C) z 0 (D) z + z 0 4. Na fgura estão represetadas, o plao complexo, as mages geométrcas de cco úmeros complexos: w, z, z, z 3 e z 4 Qual é o úmero complexo que pode ser gual a!w? (A) z (B) z (C) z 3 (D) z 4 5. Na fgura estão represetadas, o plao complexo, duas crcuferêcas, ambas com cetro o exo real, tedo uma delas rao e a outra rao. A orgem do referecal é o úco poto comum ás duas crcuferêcas. Qual das codções segutes defe a regão sombreada, cludo a frotera? (A) z! " # z! $ (B) z! " # z! $ (C) z! " # z! $ (D) z! " # z! $ 6. Cosdere a segute fgura, represetada o plao complexo. Qual é a codção, o cojuto dos úmeros complexos, que defe a regão sombreada da fgura, cludo a frotera? (A) Re(z)! 3 " #! 4 $ arg(z) $ 0 (B) Re(z)! 3 " 0! arg(z)!! 4 (C) Re(z)! 3 " #! 4! arg(z)! 0 (D) Re(z)! 3 " #! 4! arg(z)! 0 94