Notas de Aula. Equações Diferenciais Parciais

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1 Nots de Aul Introdução às Equções Diferenciis Prciis Rodney Josué Biezuner Deprtmento de Mtemátic Instituto de Ciêncis Exts (ICEx) Universidde Federl de Mins Geris (UFMG) Nots de ul d disciplin Introdução às Equções Diferenciis Prciis dos Cursos de Bchreldo em Mtemátic e Mtemátic Computcionl, leciond pelo utor durnte três semestres entre 5 e 7. de outubro de 7 E-mil: rodney@mt.ufmg.br; homepge: rodney.

2 Sumário Introdução 5. Condução do Clor em um Brr Modelgem Físic e Mtemátic do Problem Algums Forms mis Geris pr Equção do Clor Condição Inicil e Condição de Fronteir Solução do Modelo Mtemático: O Método de Seprção de Vriáveis e Séries de Fourier..5 Exercícios eis de Conservção e Relções Constitutivs ei de Conservção Unidimensionl ei de Conservção em Váris Dimensões Relções Constitutivs Exercícios Séries de Fourier. Proprieddes ds Funções Seno e Cosseno Periodicidde Relções de Ortogonlidde Produto Interno no Espço ds Funções Qudrdo-Integráveis Exercícios Cálculo dos Coeficientes d Série de Fourier Teorem de Fourier Existênci d Série de Fourier Funções Contínus por Prtes O Teorem de Fourier Estimtiv dos Coeficientes de Fourier Séries de Fourier de Funções Pres e Ímpres Extensões Periódics Pres e Ímpres de Funções Definids em Intervlos Exercícios Convergênci d Série de Fourier Convergênci Puntul d Série de Fourier: Demonstrção do Teorem de Fourier Diferencição e Integrção Termo Termo d Série de Fourier Desiguldde de Bessel Convergênci Uniforme d Série de Fourier Identidde de Prsevl Sistems Ortogonis Exercícios

3 Rodney Josué Biezuner Equção do Clor Unidimensionl 63. Existênci, Unicidde e Estbilidde d Solução pr o Problem de Dirichlet Existênci de Solução pr o Problem de Dirichlet Princípio do Máximo Unicidde e Estbilidde de Soluções pr o Problem de Dirichlet Gerl Problem de Dirichlet Não Homogêneo Problem de Neumnn Problem de Robin Unicidde de Solução pr os Problems de Neumnn e Robin Problems Geris Equção do clor não-homogêne com fonte independente do tempo Equção do clor não-homogêne com fonte dependente do tempo O problem gerl Alguns problems específicos de condução do clor Problem d brr com convecção de clor em um extremo Condições de fronteir de Robin complexs Problem do nel circulr fino Solução d Equção do Clor em R Núcleo do Clor Solução do Problem de Cuchy O Princípio do Máximo em R Exercícios Equção d Ond Unidimensionl Modelo Mtemático d Cord Vibrnte Vibrções ivres Condições Iniciis e de Fronteir Solução d Equção d Ond Outros Tipos de Vibrção Solução pelo Método de Seprção de Vriáveis e Séries de Fourier Exercícios A Solução de D Alembert Solução Gerl d Equção d Ond Solução do Problem de Dirichlet pr Equção d Ond pelo Método de D Alembert8 3.4 Solução d Equção d Ond em R Cord Infinit Domínio de Dependênci e Cone de Influênci Fenômeno de Huygens Exercícios Hrmônicos, Energi d Cord e Unicidde de Solução pr Equção d Ond Hrmônicos Energi d Cord Unicidde de Solução pr Equção d Ond Apêndice: Cord Suspens Equções Diferenciis Prciis Bidimensionis 4. Séries de Fourier Dupls Definição e Cálculo dos Coeficientes Funções de Dus Vriáveis Pres e Ímpres A Equção d Ond Bidimensionl Problem d Membrn Vibrnte

4 Rodney Josué Biezuner Solução do Problem d Membrn Vibrnte pelo Método de Seprção de Vriáveis e Séries de Fourier inhs Nodis A Equção do Clor Bidimensionl Dedução d Equção do Clor Tridimensionl Equção do Clor Bidimensionl Solução do Problem d Condução do Clor n Chp Retngulr com Mrgens Mntids à Tempertur Zero por Seprção de Vriáveis e Séries de Fourier Solução do Problem d Condução do Clor n Chp Retngulr Termicmente Isold por Seprção de Vriáveis e Séries de Fourier Exercícios A Equção de plce Solução d Equção de plce no Retângulo Exercícios O Princípio do Máximo Frco e Unicidde de Solução pr Equção de plce Solução d Equção de Poisson no Retângulo Exercícios A Equção de plce no Disco A Equção de plce em Coordends Polres Solução d Equção de plce no Disco pelo Método de Seprção de Vriáveis e Séries de Fourier Exercícios Funções Hrmônics e o Princípio do Máximo Forte Identiddes de Green Funções Hrmônics e s Proprieddes do Vlor Médio Princípio do Máximo Forte Desiguldde de Hrnck Solução d Equção de plce trvés de Funções de Green Solução Fundmentl d Equção de plce Função de Green Proprieddes d Função de Green Solução d Equção de plce em Bols Fórmul Integrl de Poisson Exercícios A Equção d Ond no Disco: Vibrções de um Membrn Circulr 6 6. A Membrn Circulr Vibrnte: Vibrções Rdiis Funções de Bessel Funções de Bessel do Primeiro Tipo A Função Gm Exercícios Fórmuls de Recursão pr s Funções de Bessel Funções de Bessel do Segundo Tipo Zeros ds Funções de Bessel Séries de Funções de Bessel e Solução do Problem d Membrn Circulr Vibrnte Ortogonlidde ds Funções de Bessel Séries de Bessel de ordem p Solução do Problem d Membrn Circulr Vibrnte Rdil A Membrn Circulr Vibrnte: Vibrções Geris

5 Rodney Josué Biezuner 4 7 Equção de plce em Domínios Tridimensionis Simétricos 8 7. A Equção de plce em um Cilindro A Equção de plce em Coordends Cilíndrics Solução de um Problem de plce no Cilindro Funções de Bessel Modificds Solução de outro Problem de plce no Cilindro A Equção de plce em um Bol A Equção de plce em Coordends Esférics A Equção de egendre e Polinômios de egendre Séries de Polinômios de egendre Solução d Equção de plce n Bol com Simetri Rdil Trnsformd de Fourier 9 8. A Integrl de Fourier Exercícios A Trnsformd de Fourier Definição Proprieddes Opercionis Trnsformd de Fourier d Função Gussin Tbel de Trnsformds de Fourier Exercícios O Método d Trnsformd de Fourier A Equção do Clor pr um Brr Infinit A Equção d Ond em um Cord Infinit Exercícios

6 Cpítulo Introdução Um equção diferencil prcil (EDP) é um equção mtemátic envolvendo derivds prciis. Um solução pr um equção diferencil prcil é um função cujs derivds prciis stisfzem equção. Dizemos que um equção diferencil prcil tem ordem m qundo derivd prcil de ordem mis lt tem ordem m. A miori ds equções diferenciis prciis surgem de modelos físicos. Um outr clsse importnte surge de problems em geometri diferencil. Nests nots, cd equção que estudrmos será precedid pel introdução de um modelo físico. O modelo físico, lém de prover um motivção pr o estudo de determind equção (por que estudr extmente est equção diferencil prcil, já que existem infinits outrs possibiliddes mtemátics?), sugere s proprieddes mtemátics que s soluções dest equção devem ter e, muits vezes, métodos pr resolvê-l ou té mesmo expressão ext d solução. Como exemplos de áres que são ltmente dependentes do estudo de EDPs, destcmos s seguintes: cústic, erodinâmic, elsticidde, eletrodinâmic, dinâmic dos fluidos, geofísic (propgção de onds sísmics), trnsferênci do clor, meteorologi, ocenogrfi, ótic, prospecção de petróleo, físic do plsm, mecânic quântic, reltividde, circulção de fluidos dentro de orgnismos vivos e crescimento de tumores. Nest introdução veremos como muits equções diferenciis prciis importntes surgem trvés de leis de conservção. Veremos ntes um exemplo concreto: equção do clor unidimensionl, que é form diferencil d lei de conservção d energi térmic. Além disso, introduziremos um método de solução pr equções diferenciis prciis lineres: o método de seprção de vriáveis e o uso de séries de Fourier, cuj teori será desenvolvid prtir do primeiro cpítulo.. Condução do Clor em um Brr.. Modelgem Físic e Mtemátic do Problem Considere um brr uniforme de comprimento, feit de mteril homogêneo condutor de clor. Por brr uniforme, entendemos que el é geometricmente gerd pel trnslção de um determind figur geométric pln n direção perpendiculr o seu plno (em outrs plvrs, um cilindro reto cuj bse pode ser qulquer figur geométric, como por exemplo um disco (cilindro circulr reto), um elipse (cilindro elíptico reto), um triângulo (prism reto), um retângulo (prlelepípedo reto), ou qulquer outr figur geométric pln). Em prticulr, su seção trnsversl é sempre igul est figur e portnto tem áre constnte, que denotremos por A. Suponh que superfície lterl d brr estej isold termicmente, de modo não permitir trnsferêncis de clor trvés del com o mbiente. Trnsferêncis de clor, se é que contecem, podem ocorrer pens trvés ds extremiddes d brr. A uniformidde d brr, homogeneidde do mteril e o isolmento térmico lterl implicm que o fluxo de clor contece somente n direção longitudinl (isto é, o longo do comprimento d brr). 5

7 Rodney Josué Biezuner 6 Portnto, este é um problem de condução de clor unidimensionl. Em outrs plvrs, s vriáveis físics são constntes em cd seção trnsversl d brr, podendo vrir pens de um seção pr outr. Consideremos brr posiciond no eixo x, com um ds extremiddes n origem x = ; logo outr extremidde ocup posição x =. Queremos determinr como tempertur em cd ponto d brr vri à medid que o tempo pss. Pr isso, vmos nlisr o fluxo de clor o longo d brr. Inicilmente, considere dus seções trnsversis d brr, loclizds em x e x + x, delimitndo um fti d brr. Atrvés dests seções, clor flui (entr ou si) pr ou dest fti. Denotremos o fluxo de clor, isto é, quntidde de clor por unidde de tempo fluindo pr direit por unidde de áre, por φ(x, t); no S.I., o fluxo de clor tem como uniddes Joules/m s. φ(x, t) = fluxo de clor (quntidde de clor por unidde de tempo fluindo pr direit por unidde de áre). Se φ(x, t) <, o clor está fluindo pr esquerd. A quntidde totl de clor que entr n fti por unidde de tempo é dd pel diferenç entre quntidde de clor que entr pel seção trnsversl em x e quntidde de clor que si pel seção trnsversl em x + x, isto é, φ(x, t)a φ(x + x, t)a. É clro que clor pode sir d fti pel seção trnsversl em x (se φ(x, t) < ), ssim como clor pode entrr n fti pel seção trnsversl em x + x (se φ(x + x, t) < ); se diferenç cim for negtiv, então o resultdo finl é que clor si d fti. Est quntidde de clor totl que entr ou si d fti por instnte de tempo pode ser clculd em função ds temperturs ns seções trnsversis que delimitm fti trvés d ei de Condução do Clor de Fourier (est lei foi empiricmente observd por Fourier): ei de Condução do Clor de Fourier. Sejm P e P dus plcs formds de um mesmo mteril e de mesm áre igul A, mntids temperturs constntes respectivs T e T. Se els forem colocds prlelmente um distânci d um d outr, hverá pssgem de clor d plc mis quente pr plc mis fri e quntidde de clor trnsferid de um plc pr outr por unidde de tempo (ou sej, tx de trnsferênci de clor, medid em Joules/s) é dd por Φ = ka T T, d

8 Rodney Josué Biezuner 7 onde k é um constnte específic do mteril entre s plcs, chmd condutividde térmic do mteril. Denotemos u(x, t) = tempertur do ponto x d brr no instnte de tempo t. As seções trnsversis d brr, loclizds em x e x + x, fzem o ppel ds dus plcs P e P. Denote s temperturs nests seções, no instnte de tempo t, por T = u(x, t) e T = u(x + x, t). Então, pel ei de Fourier, o fluxo de clor n direção positiv do eixo x que pss pel seção trnsversl loclizd em x é ddo por (lembre-se que o fluxo de clor é definido como sendo tx de trnsferênci de clor por unidde de áre) u(x + x, t) u(x, t) φ(x, t) = lim k = ku x (x, t), x x de modo que qundo tempertur cresce com x, u x é positivo, ms o clor flui pr esquerd, portnto φ é negtivo; se tempertur decresce com x, u x é negtivo e o clor flui pr direit, portnto φ é positivo. Agor fixe um segmento qulquer d brr entre s posições x = e x = b. Vmos clculr quntidde totl de clor Q que entr neste segmento no período de tempo que vi de t té t. Est é diferenç entre o clor que entr n seção trnsversl que ocup posição x = e o clor que si pel seção trnsversl que ocup posição x = b durnte o período de tempo considerdo: Q = = t t t t φ(, t)a dt t t φ(b, t)a dt ka[u x (b, t) u x (, t)] dt. Ms, pelo Teorem Fundmentl do Cálculo, podemos escrever u x (b, t) u x (, t) = b u xx (x, t) dx. ogo, como k é constnte (pois ssumimos que brr é feit de um único mteril homogêneo), temos t b Q = ka u xx (x, t) dxdt. () t Por outro ldo, tmbém é observdo experimentlmente que quntidde de clor bsorvid por um substânci em um período de tempo é diretmente proporcionl à mss dest substânci e à vrição médi de su tempertur durnte o intervlo de tempo considerdo: Q = cm u. A constnte de proporcionlidde, denotd por c, depende de cd substânci e é chmd o clor específico d substânci; em outrs plvrs, o clor específico nd mis é que quntidde de clor necessári pr elevr em um gru tempertur de um unidde de mss d substânci; no S.I., o clor específico tem como uniddes Joules/kgK. Embor o clor específico de um substânci em gerl vrie com tempertur em que el se encontr (isto é, c = c(u)), pr diferençs de temperturs não muito grndes o clor específico é proximdmente constnte. Aplicmos est lei empíric novmente um segmento qulquer d brr entre s posições x = e x = b. A vrição médi d tempertur neste segmento d brr no intervlo de tempo que vi de t té t é obtid tomndo-se médi ds vrições médis ds temperturs de todos os pontos d brr, ou sej u = b b [u(x, t ) u(x, t )] dx.

9 Rodney Josué Biezuner 8 Pelo Teorem Fundmentl do Cálculo, segue que u = b b [ t t ] u t (x, t) dt dx. ogo, quntidde de clor bsorvid por este segmento é dd por Q = cm u = cm b b t t u t (x, t) dt dx. sendo m mss deste segmento e c o clor específico do mteril que constitui brr. Por outro ldo, escrevendo m = ρa(b ), onde ρ é densidde volumétric d brr, e trocndo ordem dos limites de integrção, obtemos t Q = cρa t b u t (x, t) dxdt. () Igulndo s dus expressões obtids em () e () pr quntidde totl de clor Q que entr no segmento d brr entre x = e x = b no período de t té t, obtemos equção do clor em su form integrl: t cρ t b t u t (x, t) dxdt = k t b u xx (x, t) dxdt. Ms, b, t, t são rbitrários, logo os integrndos são necessrimente iguis e ssim obtemos equção do clor n su form diferencil u t = Ku xx, (3) onde K = k é chmd difusividde térmic do mteril. A equção (3) é chmd simplesmente cρ equção do clor, e represent lei de vrição d tempertur u(x, t) de um brr uniforme com superfície lterl termicmente isold. El descreve como o clor se esplh ou se difunde com o pssr do tempo, um processo físico conhecido como difusão. Outrs quntiddes físics tmbém se difundem seguindo est mesm equção diferencil prcil (em situções unidimensionis), como por exemplo concentrção de substâncis químics, tis como perfumes ou polutntes, e por este motivo equção (3) tmbém é chmd mis gerlmente de equção de difusão. Observção: A form diferencil d equção do clor tmbém pode ser obtid mis diretmente. De fto, diferencindo lei de Fourier φ(x, t) = ku x (x, t) em relção x obtemos Por outro ldo, vimos cim que Q = t t φ x = ku xx. (4) [φ(b, t) φ(, t)]a dt = cρa b t t u t (x, t) dt dx. Agor, o invés de usr lei de Fourier n integrl do ldo esquerdo como fizemos cim pr obter (), usmos o Teorem Fundmentl do Cálculo pr escrevê-l n form t t [ t b ] dx [φ(b, t) φ(, t)]a dt = φ x (x, t) A dt. t

10 Rodney Josué Biezuner 9 ogo, b t t φ x (x, t) dt dx = cρ b t t u t (x, t) dt dx. Como, b, t, t são rbitrários, os integrndos devem ser iguis e portnto obtemos equção φ x = cρu t. (5) Igulndo s expressões (4) e (5) pr φ x, obtemos novmente equção do clor... Algums Forms mis Geris pr Equção do Clor Pode contecer que condutividde térmic o longo d brr não sej constnte, ms depend de x. Est situção pode ocorrer, por exemplo, se tivermos um brr formd por váris brrs, cd um dels constituíd por um mteril diferente. Neste cso, usndo lei de Fourier como fizemos pr obter (), dest vez segue que Q = t t A[k(b)u x (b, t) k()u x (, t)] dt, e usmos o Teorem Fundmentl do Cálculo pr escrever k(b)u x (b, t) k()u x (, t) = b [k(x)u x (x, t)] x dx, de modo que t b Q = A [k(x)u x (x, t)] x dxdt. t Do mesmo modo, pode ocorrer que o clor específico do mteril que constitui brr vrie com x, ssim como su densidde liner (o que certmente ocorrerá n situção dd cim como exemplo). ogo, Q = A t b t c(x)ρ(x)u t (x, t) dxdt Portnto, nest situção, equção do clor que descreve vrição d tempertur d brr com o pssr do tempo se torn c(x)ρ(x)u t = [k(x)u x ] x, (6) Est equção é chmd equção do clor n form divergente. Pode tmbém ocorrer que exist um fonte intern de clor em regiões d brr, devid por exemplo reções químics, nucleres ou quecimento elétrico. Denotemos q(x, t) = quntidde de clor gerd por unidde de volume por unidde de tempo. À quntidde totl de clor Q que entr no segmento d brr entre x = e x = b no período de t té t, devido o fenômeno de condução do clor o longo d brr, deve ser somd quntidde de clor gerd internmente no segmento durnte este período, ntes de igulr à expressão obtid em () (isso nd mis é que lei de conservção do clor, um cso prticulr d lei de conservção d energi). Pel definição de q(x, t), este clor gerdo internmente é ddo por Portnto, temos que t b t q(x, t)a dxdt. t b t t [ku xx (x, t) + q(x, t)] dxdt = cρ t b u t (x, t) dxdt

11 Rodney Josué Biezuner e dí obtemos equção u t = Ku xx + q(x, t). (7) É clro que nd impede que s dus situções cim ocorrm simultnemente. Neste cso, equção complet que descreve o fenômeno d condução de clor n brr será..3 Condição Inicil e Condição de Fronteir c(x)ρ(x)u t = [k(x)u x ] x + q(x, t). (8) A equção do clor (3) tem um número infinito de soluções. Por exemplo, qulquer função constnte u(x, t) = C ou fim u(x, t) = Ax + B, onde A, B, C são quisquer constntes reis, stisfzem (3). Um problem fisico rel, no cso distribuição de temperturs em um brr, deve ter um solução únic. Portnto, é necessário impor restrições dicionis sobre o problem, de modo que possmos obter um solução únic pr equção do clor. Intuitivmente, prece óbvio que distribuição de temperturs n brr o longo do tempo depende d distribuição inicil de temperturs, chmd condição inicil do problem: u(x, ) = f(x). Est é únic condição inicil necessári. Mtemticmente, est necessidde é express pelo fto d equção diferencil prcil (3) possuir um derivd prcil em relção o tempo de primeir ordem (como no cso de equções diferenciis ordináris de primeir ordem, em que é necessário sber pens um condição inicil, o vlor d função no instnte inicil, pr se conhecer solução únic d equção). Além disso, distribuição de temperturs n brr o longo do tempo tmbém deve depender do que se pss ns extremiddes d brr, que podem não estr isolds termicmente e portnto podem permitir entrd ou síd de clor, influindo n distribuição de temperturs n brr com o pssr do tempo. As condições ns extremiddes d brr são chmds de condições de fronteir. Mtemticmente, isso se deve o fto d equção diferencil prcil (3) depender tmbém d vriável x. Podemos imginr vários tipos de condições de fronteir pr o problem d brr:. Extremiddes mntids temperturs constntes: u(, t) = T e u(, t) = T.. Temperturs ns extremiddes vrindo com o tempo de cordo com funções conhecids: u(, t) = g (t) e u(, t) = g (t). 3. Extremiddes isolds termicmente (ou sej, o fluxo de clor trvés ds extremiddes é nulo e brr está completmente isold): u x (, t) = u x (, t) =. 4. Fluxo de clor trvés ds extremiddes conhecido: u x (, t) = h (t) e u x (, t) = h (t). 5. Combinção de quisquer dus ds condições cim: u(, t) = e u x (, t) =.

12 Rodney Josué Biezuner Com um condição inicil e qulquer um dests condições de fronteir o problem mtemático está bem posto, dmitindo um únic solução, conforme veremos em detlhes em um cpítulo posterior. Um condição do tipo ou, em que são ddos vlores pr solução d equção diferencil prcil n fronteir, é chmd um condição de Dirichlet. Um condição do tipo 3 ou 4, em que são ddos vlores pr derivd d solução d equção diferencil prcil n fronteir em relção à vriável espcil, é chmd um condição de Neumnn. Um condição mist, envolvendo tnto o vlor d solução como o de su derivd espcil n fronteir, exemplificd pel condição do tipo 5, é chmd um condição de Robin. Observção: O fto d equção do clor (3) ter um derivd prcil em relção à vriável x de segund ordem não tem nd ver com o fto de precisrmos de dus condições de fronteir. Se fôssemos usr nlogi com equções diferenciis ordináris, seri por exemplo suficiente especificr u(, t) e u x (, t), ms este tipo de problem não tem solução em gerl (é chmdo sobredetermindo). O fto de precisrmos de dus condições de fronteir é um simples conseqüênci d fronteir de um segmento ser formd por dois pontos (no cso, fronteir do segmento [, ] é formd pelos pontos e ). N verdde, essencilmente temos pens um condição de fronteir; o que ocorre é que, no cso de um segmento, fronteir é desconex e est condição de fronteir é mis fcilmente express por dus sentençs. Este conceito ficrá mis clro qundo estudrmos equções diferenciis prciis em regiões do plno e do espço. Um condição de fronteir de grnde interesse prático ocorre qundo brr está em contto com um fluido em movimento, como r ou águ. Como exemplo dest situção, imgine um brr quente em contto com r mis frio em movimento. Clor deix brr, quecendo o r, que lev o clor embor, no conhecido processo de convecção. Experimentos mostrm que o fluxo do clor que deix brr é proporcionl à diferenç de tempertur entre brr e tempertur exterior: Ku x (, t) = H[u(, t) T ]; T é tempertur extern e constnte de proporcionlidde H é chmd o coeficiente de trnsferênci de clor ou coeficiente de convecção; constnte H depende do mteril que form brr e ds proprieddes do fluido (tis como su velocidde). Est é chmd lei de resfrimento de Newton. Note que est condição de fronteir envolve um combinção liner entre u e u x e é um condição de Robin. Como pel lei de Fourier o fluxo de clor é ddo por φ = ku x, temos que φ(, t) = kh[u(, t) T ], de modo que se brr está mis quente que o mbiente exterior (u(, t) > T ), o fluxo é negtivo, isto é, n direção negtiv do eixo x, sindo d extremidde d brr loclizd em x = pr o mbiente externo, e vice-vers. Por cus disso, no cso d outr extremidde, loclizd no ponto x =, lei de resfrimento de Newton deve então ser escrit n form Ku x (, t) = H[u(, t) T ]...4 Solução do Modelo Mtemático: O Método de Seprção de Vriáveis e Séries de Fourier O modelo mtemático que obtivemos, pr distribuição de temperturs com o pssr do tempo em um brr cuj superfície lterl está isold termicmente, é um equção diferencil prcil com condição inicil e condição de fronteir. Vmos tentr resolver o problem específico em que s extremiddes d brr estão mntids à tempertur constnte igul (correspondente o primeiro problem de Dirichlet d subseção nterior): u t = Ku xx se < x < e t >, u(x, ) = f(x) se x, (9) u(, t) = u(, t) =. se t. Tentremos resolver este problem pelo chmdo método de seprção de vriáveis. No método de seprção de vriáveis, supomos que solução u(x, t) do problem pode ser escrit como o produto de dus funções de um vriável, um dependendo pens de x e outr dependendo pens de t: u(x, t) = F (x)g(t). ()

13 Rodney Josué Biezuner Est é pens um suposição, que pode ou não ser corret (n verdde, veremos que em gerl est suposição está errd, ms ind ssim el nos judrá encontrr solução corret pr o problem). A vntgem de fzer est suposição é que el simplific considervelmente o problem, trnsformndo um problem de encontrr solução de um equção diferencil prcil, que não sbemos como resolver, em um problem de encontrr solução de um equção diferencil ordinári, que sbemos resolver. De fto, substituindo () n equção do clor, obtemos F (x)g (t) = KF (x)g(t) donde F (x) F (x) = G (t) K G(t). Note que o ldo esquerdo dest equção depende pens de x, enqunto que o ldo direito depende pens de t. Isso só pode ser possível se n verdde mbos os ldos forem independentes de x e t, isto é, F (x) F (x) = σ e G (t) K G(t) = σ onde σ R é um constnte. Portnto o problem se reduz resolver dus equções diferenciis ordináris: A equção diferencil de segund ordem pr < x <. A equção diferencil de primeir ordem pr t >. F (x) σf (x) = () G (t) σkg(t) = () Vmos resolver primeiro (). Fzemos isso, pesr del ser um equção mis complex que (), porque s condições de fronteir de (9) implicm que F stisfz s condições F () = F () =. (3) De fto, condição de fronteir u(, t) = implic que F ()G(t) = pr todo t >, o que por su vez implic que F () = ( menos que G(t) = pr todo t, o que significri que u, um solução que não nos interess, exceto no cso rro em que condição inicil sej tmbém f ); similrmente condição de fronteir u(, t) = F ()G(t) = implic que F () =. Assim, pesr d equção () ser mis complex, el está sujeit restrições, o que não ocorre com equção (): condição (3) restringe s soluções de (), o que ultimmente limitrá os vlores possíveis de σ. Em princípio, há três soluções possíveis, dependendo do sinl de σ:. σ > : Neste cso, solução gerl de () é d form F (x) = c e σx + c e σx. ogo, condição (3) implic que s constntes reis c, c devem stisfzer o sistem c + c = c e σ + c e σ =. Ms únic solução deste sistem é c = c =, o que levri F e portnto u, solução que não nos interess ( não ser que condição inicil fosse u(x, ) ).

14 Rodney Josué Biezuner 3. σ = : A solução gerl de () neste cso é d form F (x) = c x + c. A condição (3) implic que s constntes reis c, c devem stisfzer o sistem c = c + c =. cuj únic solução tmbém é c = c = e novmente F, o que não nos interess. 3. σ < : Denotndo λ = σ, solução gerl de () neste último cso é d form F (x) = c cos λx + c sen λx. A condição (3) implic que s constntes reis c, c devem stisfzer o sistem c = c sen λ =. Como não queremos c =, devemos ter sen λ =, o que implic λ = nπ, onde n N pode ser um inteiro positivo qulquer. Portnto, pr cd vlor de n um solução não nul pr o problem (), (3) é d form F n (x) = sen nπ x, (4) por este motivo chmd um utofunção pr o problem (), (3) ssocid o utovlor σ = λ n = n π. (5) A equção () é imeditmente resolvid trvés de um integrção simples. A solução de () é d form G(t) = ce σkt, onde c R é um constnte rel. Como o vlor de σ pr que o problem (9) tenh soluções não nuls é o ddo em (5), segue que pr cd vlor de n temos um solução relevnte de () dd por ( menos d constnte) G n (x) = e n π Kt. (6) Segue que pr cd n =,, 3,..., temos um função u n (x, t) = e n π Kt sen nπ x que é um solução pr equção diferencil prcil do problem (9) stisfzendo às sus condições de fronteir. Por outro ldo, precismos de um solução que tmbém stisfç à condição inicil u(x, ) = f(x). ogo, s soluções que encontrmos só funcionm se função f(x) tem um form muito prticulr, ou sej, se f(x) for um múltiplo esclr d função seno. Por exemplo, se f(x) = 3 sen π x, então (9) tem solução u(x, t) = 3u ; se f(x) = 7 sen 5π x, então (9) tem solução u(x, t) = 7u 5.

15 Rodney Josué Biezuner 4 É óbvio que isso rrmente ocorre. N verdde, porém, ind podemos obter soluções pr o problem (9) prtir dests soluções se f(x) for pens um combinção liner de senos. Por exemplo, se f(x) = 3 sen π x + 5 sen 9π x, então (9) tem solução u(x, t) = 3u + 5u 9 ; se f(x) = 4 sen π x 3 sen π x + 5 sen 9π x, então (9) tem solução u(x, t) = 4u 3 u + 5u 9. Isso é verdde porque equção do clor é um equção liner, o que signific que combinções lineres de soluções d equção diferencil são tmbém soluções d equção diferencil e, lém disso, s condições de fronteir de (9) são homogênes, logo combinções lineres de soluções que stisfzem s condições de fronteir continum stisfzendo s condições de fronteir (vej o Exercício.). Assim, qulquer expressão d form (isto é, qulquer combinção liner de soluções) u(x, t) = N c n u n (x, t) é um solução d equção do clor stisfzendo s condições de fronteir em (9). Em prticulr, se segue que f(x) = u(x, t) = N N c n sen nπ x, c n e n π Kt sen nπ x (7) é um solução do problem (9). Ms, n miori dos csos, tempertur inicil f não é um combinção liner de senos. Então Fourier (em 87) teve idéi de tomr combinções lineres infinits, isto é, séries infinits, ssumindo que tod função pode ser escrit como um série infinit de senos. Em outrs plvrs, ssumindo que podemos escrever tod função f n form f(x) = c n sen nπ x pr certos coeficientes bem determindos c n, o que tulmente chmmos série de Fourier de f, então o cndidto pr solução do problem de vlor inicil e de condição de fronteir (9) seri função Isso nos lev às seguintes indgções: u(x, t) = c n e n π Kt sen nπ x. (8). Será que tod função f(x) relmente pode ser escrit como um série de Fourier?. Se respost à pergunt nterior for negtiv, quis são s funções que possuem séries de Fourier? Será que els formm um clsse suficientemente grnde pr brnger tods ou um quntidde significtiv ds funções que surgem nos problems práticos? 3. Mesmo que f(x) poss ser representd por um série de Fourier, será que série definid cim pr u(x, t) converge pr um função diferenciável em t e dus vezes diferenciável em x que é solução de (9)?

16 Rodney Josué Biezuner 5 Ests pergunts mostrm necessidde de se desenvolver um teori pr s séries de Fourier. Fremos isso no próximo cpítulo. Observção: Note que nem o cndidto à solução (8), e nem mesmo solução (7), são produtos de dus funções de um vriável, um dependendo pens de x e outr dependendo pens de t (els são n relidde soms de produtos de funções de um vriável, som finit em um cso, som infinit no outro). Portnto suposição inicil de que prtimos no método de seprção de vriáveis é errd pr miori ds condições iniciis, não ser que els sejm múltiplos de sen(nπx/). Ms, usndo lineridde d equção do clor, pudemos usr s soluções obtids trvés do método de seprção de vriáveis e prtir dels construir solução pr o problem gerl. Este é um método freqüentemente usdo em ciêncis exts: simplificr um problem complexo trvés de um suposição que em gerl não é válid, ms prtir d solução pr o problem simplificdo, construir solução corret pr o problem complicdo...5 Exercícios Exercício.. Mostre que equção do clor é liner, isto é, se u (x, t) e u (x, t) são soluções d equção diferencil prcil u t = Ku xx, então u (x, t) + bu (x, t) tmbém é, quisquer que sejm, b R. Além disso, se els stisfzem s condições de fronteir homogênes u(, t) = u(, t) =, então u (x, t) + bu (x, t) tmbém stisfz. Exercício.. Mostre que equção mis gerl do clor, c(x)ρ(x)u t = [K(x)u x ] x + q(x, t), tmbém é um equção liner. Exercício.3. Proced como fizemos no texto e encontre um cndidto à solução pr o seguinte problem de vlor inicil com condição de fronteir de Neumnn homogêne: u t = Ku xx se < x < e t >, u x (, t) = u x (, t) = se t, u(x, ) = f(x) se x.. eis de Conservção e Relções Constitutivs.. ei de Conservção Unidimensionl A dedução d equção do clor é um exemplo de um situção bem mis gerl. Muits ds equções fundmentis que precem ns ciêncis nturis são obtids trvés de leis de conservção. eis de conservção são essencilmente leis de blncemento, expressndo o fto de que lgum substânci é blnced. Aqui, o termo substânci pode indicr um substânci relmente mteril, ou té mesmo um conceito bstrto, tl como energi ou um populção de nimis. Por exemplo, primeir lei d termodinâmic é lei de conservção d energi: vrição de energi intern de um sistem é igul o clor totl diciondo o sistem mis o trblho relizdo sobre o sistem. Como outro exemplo, considere um fluido escondo em lgum região do espço, consistindo de substâncis sofrendo reções químics: pr cd substânci químic individul, tx de vrição d quntidde totl d substânci n região é igul à tx com que substânci flui pr dentro d região, menos tx com que el flui pr for d região, mis tx com que el é crid, ou consumid, pels reções químics. Como último exemplo, tx de vrição de um dd populção de nimis em um região é igul à tx de nscimentos, menos tx de mortes, mis tx de migrção pr dentro ou for d região. Mtemticmente, leis de conservção trduzem-se em equções integris, de onde podem ser deduzids equções diferenciis, n mior prte dos csos. Ests equções descrevem como o processo evolui com o tempo. Por este motivo, els são tmbém chmds de equções de evolução. Vmos exminr primeiro o cso unidimensionl.

17 Rodney Josué Biezuner 6 Sej u = u(x, t) densidde ou concentrção de lgum substânci, por unidde de volume, que depende pens de um vriável espcil x R e do tempo t >. Novmente enftizmos que substânci cuj densidde estmos medindo pode ser mss, momento, energi, populção, ou qulquer outr cois, mteril ou bstrt. Por exemplo, no cso d equção do clor, tempertur u é um medid d densidde de energi térmic. De fto, se e(x, t) denot densidde de energi térmic, isto é, quntidde de energi térmic por unidde de volume, então densidde de energi térmic e tempertur estão relcionds trvés d equção e(x, t) = c(x)ρ(x)u(x, t), cujo significdo é: energi térmic por unidde de volume é igul à energi térmic por unidde de mss por unidde de tempertur (i.e., o clor específico), vezes tempertur, vezes densidde volumétric de mss. Imginmos que substânci está distribuíd em um tubo uniforme com seção trnsversl de áre constnte A. Por hipótese, u é constnte em cd seção trnsversl do tubo, vrindo pens n direção x. Considere um segmento rbitrário do tubo, entre s seções trnsversis loclizds em x = e em x = b. Chmmos este segmento de volume de controle. A quntidde totl d substânci dentro do volume de controle no instnte de tempo t é Quntidde totl d substânci dentro do volume de controle = b u(x, t)a dx. Assum gor que existe movimento d substânci trvés do tubo n direção xil. Definimos o fluxo φ(x, t) d substânci no tempo t como sendo quntidde d substânci fluindo trvés d seção trnsversl em x no tempo t por unidde de áre, por unidde de tempo. Assim s dimensões de φ são [φ] = quntidde d substânci / (áre tempo). Por convenção, φ será positivo se substânci estiver se movendo n direção positiv do eixo x, e negtivo se el estiver se movendo n direção negtiv do eixo x. Portnto, no tempo t, quntidde líquid de substânci permnecendo no volume de controle será diferenç entre quntidde d substânci entrndo em x = e quntidde d substânci sindo em x = b: Tx de trnsferênci líquid d substânci pr dentro do volume de controle = φ(, t)a φ(b, t)a. A substânci pode ser crid ou destruíd dentro do volume de controle por um fonte intern ou extern. A tx de crição ou destruição d substânci, que chmremos de termo fonte e denotremos por f(x, t, u), tem dimensões [f] = quntidde d substânci / (volume tempo), tendo sinl positivo se substânci é crid dentro do volume de controle e negtiv se substânci for destruíd dentro do volume de controle. Observe que el pode depender d própri quntidde d substânci disponível, medid pel densidde u. A tx de crição ou destruição d substânci dentro do volume de controle é então dd por Tx de crição d substânci dentro do volume de controle = b f(x, t, u)a dx. A lei de conservção pr substânci pode ser formuld d seguinte form: Tx de vrição d quntidde de substânci dentro do volume de controle = Tx de trnsferênci líquid de substânci pr dentro do volume de controle trvés de su fronteir + Tx de crição d substânci dentro do volume de controle ou, em termos mtemáticos, pós cncelr o termo comum A, d dt b u(x, t) dx = φ(, t) φ(b, t) + b f(x, t, u) dx. (9)

18 Rodney Josué Biezuner 7 Est é lei de conservção n form integrl, vlendo mesmo se u, φ ou f não forem funções diferenciáveis (o que pode ocorrer em certos fenômenos físicos, como por exemplo nqueles que envolvem onds de choque ou outros tipos de descontinuidde). Se ests funções forem continumente diferenciáveis, podemos derivr sob o sinl de integrção n primeir integrl d dt b u(x, t) dx = e usr o Teorem Fundmentl do Cálculo pr escrever obtendo equção diferencil prcil φ(, t) φ(b, t) = que é lei de conservção n form diferencil. b b u t (x, t) dx,.. ei de Conservção em Váris Dimensões φ x (x, t) dx, u t + φ x = f(x, t, u) () Vmos formulr lei de conservção ns forms integrl e diferencil pr os espços R n, n = ou n = 3 (n verdde, tudo o que deduzirmos qui, vle pr qulquer n ). Considere um volume de controle V em R n, em que densidde ou concentrção u = u(x, t) de lgum substânci por unidde de volume depende de n vriáveis espciis x = (x,..., x n ) e do tempo t >. Temos Quntidde totl d substânci dentro do volume de controle = V u(x, t) dv e, se f(x, t, u) denot o termo fonte, Tx de crição d substânci dentro do volume de controle = f(x, t, u) dv. V Em n dimensões, o fluxo pode ser em qulquer direção, logo ele é um grndez vetoril que denotremos por φ(x, t). Se η(x) denot o vetor unitário norml pontndo pr for d região V, tx de trnsferênci líquid d substânci pr for do volume de controle trvés de su fronteir V é dd por Tx de trnsferênci líquid d substânci pr for do volume de controle A lei de conservção é, portnto, d u(x, t) dv = dt V V = V φ(x, t) η(x) ds. φ(x, t) η(x) ds + f(x, t, u) dv. () V Se u, φ e f forem tods de clsse C (ssim como região V ), podemos derivr sob o sinl de integrção e usr o Teorem d Divergênci φ(x, t) η(x) ds = div φ(x, t) dv, pr obter lei de conservção em form diferencil V V u t + div φ = f(x, t, u). ()

19 Rodney Josué Biezuner 8..3 Relções Constitutivs A lei de conservção n form diferencil é um equção diferencil prcil em dus incógnits, u e φ. Precismos, portnto, de um segund equção pr obter um sistem bem determindo. A equção dicionl é freqüentemente bsed ns proprieddes físics do meio, s quis freqüentemente decorrem de observções empírics. Tis equções são chmds de relções constitutivs ou equções de estdo. Exemplo.. (Equção do Clor) No cso d equção do clor, relção constitutiv é lei de Fourier: φ(x, t) = ku x (x, t). Em dimensões mis lts, lei de Fourier ssume form φ(x, t) = k u(x, t). (3) De fto, pr mteriis isotrópicos (isto é, mteriis em que não existem direções preferenciis) verificse experimentlmente que o clor flui de pontos quentes pr pontos frios n direção em que diferenç de tempertur é mior. O fluxo de clor é proporcionl à tx de vrição d tempertur nest direção, com constnte de proporcionlidde k sendo por definição condutividde térmic, como no cso unidimensionl. Como sbemos, direção onde um função cresce mis rápido é extmente quel dd pelo vetor grdiente d função, e o módulo do grdiente fornece mgnitude d tx de vrição d função nest direção. O sinl negtivo ocorre, como no cso unidimensionl, porque o vetor grdiente pont n direção de crescimento d tempertur, enqunto que o fluxo do clor se dá n direção opost (d tempertur mior pr tempertur menor). O fluxo do clor em um região bi ou tridimensionl pode ser fcilmente visulizdo qundo se lembr que o grdiente de um função é perpendiculr às superfícies de nível d função. No cso em que função é tempertur, s superfícies de nível são chmds superfícies isotérmics ou, simplesmente, isoterms. Assim, o clor flui ds isoterms mis quentes pr s isoterms mis fris, e em cd ponto d isoterm perpendiculrmente à isoterm. Em outrs plvrs, s linhs de corrente do fluxo de clor correspondem às linhs de fluxo do cmpo grdiente d tempertur. Portnto, equção do clor em R n com termo fonte independente de u tem form onde u denot o lplcino de u: u t = K u + f(x, t), (4) u = div u = u x u x. (5) n Exemplo.. (Equção d Difusão) Em muitos outros processos físicos observ-se que substânci flui um tx diretmente proporcionl o grdiente de densidde, de regiões de mior densidde pr regiões de menor densidde. Est relção gerl é chmd de lei de Fick: onde D é constnte de difusão. difusão φ(x, t) = D u(x, t), (6) Se o termo fonte é independente de u, obtemos equção d u t = D u + f(x, t). (7) O nome difusão vem do fto de que substânci difunde-se pr regiões djcentes por cus de grdientes (i.e., diferençs) de concentrção, e não porque é trnsportd pel corrente (i.e., não trvés de convecção). Por este motivo, o termo D u é chmdo de termo difusivo.

20 Rodney Josué Biezuner 9 Além do clor, exemplos de outrs substâncis que se comportm ssim são substâncis químics dissolvids em lgum fluido (neste cso, u represent concentrção químic) e té mesmo populções de insetos. Além de ser confirmd trvés de observções empírics, lei de Fick que govern estes e vários outros fenômenos físicos e biológicos pode ser justificd teoricmente trvés de rgumentos bsedos em modelos probbilísticos e cminhos letórios. Exemplo.3. Qundo o termo fonte não é independente de u, processos governdos pel lei de conservção e pel lei de Fuck são regidos pel chmd equção d difusão-reção u t = u + f(x, t, u). (8) O termo fonte, tmbém chmdo termo de reção, pode ser não liner em u. precem n teori de combustão e em biologi. Exemplos importntes Exemplo.4. (Equção d Continuidde) Se ρ denot densidde de um fluido e V é o cmpo de velociddes de escomento do fluido, o fluxo de mss (tx de trnsferênci de mss, medid em quntidde de mss / (áre) (tempo)) é ddo por φ = ρv. Note que densidde ρ = ρ(x, t) de um fluido movendo-se no espço, ssim como o seu cmpo de velociddes V = V(x, t), são funções d posição no espço e do instnte de tempo considerdo. A lei de conservção de mss implic então equção d continuidde ρ t + div(ρv) =. A equção d continuidde é primeir ds equções de Nvier-Stokes que governm dinâmic dos fluidos. Exemplo.5. (Equção d Advecção) Qundo velocidde do fluido é constnte, o fluxo de mss é ddo por um relção liner simples. No cso unidimensionl (por exemplo, qundo o fluido está restrito um tubo ou cno), o fluxo é φ = cu, (9) onde c é velocidde do fluido e denotmos densidde por u. Neste cso, equção d continuidde torn-se u t + cu x =. (3) Est é chmd equção d dvecção ou equção do trnsporte. Advecção refere-se o movimento horizontl de um propriedde físic. Est equção de primeir ordem liner é o modelo mis simples de convecção...4 Exercícios Exercício.4. Identifique s relções constitutivs pr s seguintes leis de conservção escrits em form diferencil:. Equção de Burgers:. Equção de Korteweg-deVries (KdV): u t + u u x =. u t + u u x + u xxx =. 3. Equção dos meios porosos: u t + (u γ ) xx =.

21 Cpítulo Séries de Fourier Pr determinr possibilidde de um determind função poder ser express como um série de Fourier, bem como pr obter os coeficientes d série de Fourier d função qundo isso ocorrer, precismos ntes estudr certs proprieddes ds funções seno e cosseno.. Proprieddes ds Funções Seno e Cosseno.. Periodicidde Definição. Um função f : R R é periódic se existe T R, T, tl que f(x + T ) = f(x) pr todo x R. O número rel T é chmdo um período pr função f. Clrmente, se T é um período pr função f, então qulquer múltiplo inteiro de T tmbém é um período pr f: T, T, 3T, 3T, 4T, 4T, etc. Por exemplo, f(x + 3T ) = f((x + T ) + T ) = f(x + T ) = f((x + T ) + T ) = f(x + T ) = f(x). Definição. O menor período positivo de um função periódic f é chmdo o período fundmentl. Em gerl, o período fundmentl de um função periódic é referido simplesmente como o período d função. Porque o vlor de um função periódic repete-se cd intervlo de comprimento igul o seu período, pr conhecer um função periódic de período T bst descrevê-l em qulquer intervlo de comprimento T ; o seu gráfico é obtido repetindo-se o gráfico neste intervlo em qulquer outro intervlo de comprimento T. Exemplo.. () As funções seno e cosseno são periódics e mbs têm período π. (b) Funções constntes são funções periódics que não possuem período fundmentl, pois qulquer número rel não nulo é um período pr função constnte, logo não existe um menor período positivo. Do mesmo modo, função se x é rcionl, f(x) = se x é irrcionl, é um função periódic que não possui período fundmentl, pois todo número rcionl não nulo é um período pr f (observe que números irrcionis não são períodos pr f).

22 Rodney Josué Biezuner (c) A função f(x) = x x, onde x é o mior inteiro menor que ou igul x, é periódic de período.,8,6,4, x 3 (d) Podemos encontrr um infinidde de exemplos de funções periódics, simplemente definindo um função em um intervlo de comprimento T e declrndo que el é periódic de período T, dest form definindo el n ret tod. Ou sej, suponh que função f foi inicilmente definid no intervlo I de comprimento T ; ddo x R, se x / I, determine um inteiro k tl que x + kt I (k é positivo se x está loclizdo à esquerd do intervlo I e negtivo se x está à direit de I) e defin f(x) = f(x + kt ). Dest form, definimos um função f n ret tod que é utomticmente periódic de período T. Por exemplo, podemos definir um função g por x se x <, g(x) = x se x <, e declrá-l periódic de período.,8,6,4, - - x Pr que definição dest extensão periódic sej consistente, observe que o intervlo I deve ser fechdo em um extremo e berto no outro ou, se o intervlo I for fechdo nos dois extremos, função deve ter os mesmos vlores nestes extremos. Com relção os períodos ds funções que constituem série de Fourier, fzemos seguinte importnte observção:

23 Rodney Josué Biezuner Proposição.. As funções sen nπx nπx e cos têm o mesmo período fundmentl, igul n. Prov. De fto, n verdde vle seguinte firmção mis gerl: pr qulquer vlor α R, α, sen αx e cos αx têm período fundmentl igul π α. Isso pode ser determindo trvés do seguinte rgumento: queremos encontrr o menor vlor positivo de T pr o qul vle sen α(x + T ) = sen αx pr todo x R, ou sej, sen αx cos αt + cos αx sen αt = sen αx pr todo x R. Pr determinr αt, o que conseqüentemente determinrá T, bst obter os vlores de sen αt e cos αt, pois um ângulo fic completmente determindo qundo se conhece os vlores de seu seno e de seu cosseno, menos de múltiplos de π. Pr isso, observmos que equção cim é válid pr qulquer vlor de x. Em prticulr, substituindo o vlor x = n expressão cim, obtemos sen αt =, o que implic que αt é um múltiplo de π. Agor, substituindo o vlor x = π n expressão cim, obtemos α cos αt =. ogo, αt é necessrimente um múltiplo de π. Como queremos o menor vlor positivo de T, segue que αt = π e, portnto, T = π α. A mesm conclusão vle pr função cos αx, já que função cosseno nd mis é que função seno defsd. Como conseqüênci deste resultdo, já que qulquer múltiplo inteiro do período fundmentl é um período, segue que pr todo n s funções sen nπx.. Relções de Ortogonlidde nπx e cos têm o vlor como período comum. Pr o cálculo dos coeficientes d série de Fourier de um função (qundo existir), s seguintes relções de ortogonlidde entre s funções sen nπx nπx e cos desempenhm um ppel fundmentl: Proposição.3. (Relções de Ortogonlidde) Vlem s seguintes identiddes: cos nπx cos nπx sen nπx mπx sen dx = pr todos n, m; se n = m, se n m; mπx cos dx = mπx sen dx = se n = m, se n m. (.)