A PRODUÇÃO DE MADEIRA DE CUSTO MÍNIMO

Tamanho: px

Começar a partir da página:

Download "A PRODUÇÃO DE MADEIRA DE CUSTO MÍNIMO"

Wagner Prada Henriques
8 Há anos
Visualizações:

1 IPEF n.48/49, p , jan./dez.1995 NOTA TÉCNICA / TECHNICAL NOTE A PRODUÇÃO DE MADEIRA DE CUSTO MÍNIMO Frederio Pimentel Gomes 1 Carlos Henrique Garia Numerosos artigos e livros têm busado reomendar métodos de análise de experimentos de adubação que determinem a dose eonômia, isto é, a que forneça reeita líquida máxima (PIMENTEL-GOMES; GARCIA, 199 e PIMENTEL-GOMES; CONAGIN, 1987). No aso florestal, sendo V=f(x) o volume de madeira olhido em estéreos/hetare (st/ha), por exemplo, e x a dose de nutriente ou de mistura fertilizante, em kg/ha, a Reeita Líquida (R) orrespondente é: R= wf(x) - m - tx, onde w é o preço do estéreo de madeira, m é a despesa fixa do povoamento, por hetare,e t é o preço do quilograma de nutriente ou da mistura fertilizante. O ponto de máximo é a raiz X da equação: dr dx = wf'(x) - t que torne negativa a derivada segunda f (x). Se, em lugar de Reeita Líquida máxima, se busara produtividade máxima, o ponto de máximo será dado pela raiz x 1 da equação f'(x) =, que torne negativa a derivada segunda f"(x). No entanto, em alguns asos, um tereiro aspeto seria mais importante: a dose de adubo que permita a produção de madeira de usto mínimo, nas ondições do experimento. O PROBLEMA A RESOLVER Dado um experimento de adubação om várias doses (3 no mínimo) de um só nutriente ou de uma só mistura fertilizante, o primeiro passo onsiste em obter a equação de regressão V= f(x), onde V é o volume de madeira e x é a dose do nutriente ou da mistura. A função f(x) é geralmente um polinômio de segundo grau f(x) = a + bx + x, 1 Professor aposentado do Departamento de Matemátia e Estatístia da Esola Superior de Agriultura Luiz de Queiroz da Universidade de São Paulo e onsultor ténio do IPEF; Engenheiro Florestal do Instituto de Pesquisas e Estudos Florestais - IPEF, Caixa Postal 53, Piraiaba, SP, Brasil. =

experimentos de adubação que determinem a dose eonômia, isto é, a que forneça reeita líquida máxima (PIMENTEL-GOMES; GARCIA, 199 e PIMENTEL-GOMES; CONAGIN, 1987).

2 Admita-se, pois, que a equação de regressão obtida seja: V(x) = a + bx + x, onde x é a dose do fertilizante, em kg/ha, e V é o volume, que se supõe em st/ha, mas que poderia ser também em m 3 /ha, de madeira. Nessa equação, a é a produção sem adubo, logo deve-se ter a >. Por outro lado, a derivada dv = V'(x) = b + x dx dá, no ponto x =, V'() = b. Para que a função seja resente na origem, deve-se Ter V'() >, isto é, b >. Além disso, tal função só terá máximo se for <. Verifia-se, portanto, que os sinais dos parâmetros a, b,, são previamente onheidos nos asos prátios. Sendo t o preço do quilograma de fertilizante em as despesas fixas do povoamento, em dólares/ha, onsiderados, tanto para m omo para t, os juros relativos ao tempo deorrido da instalação à olheita, a despesa por hetare será D = m + tx logo, a produção de madeira, em st/dólar, fia: (1) F(x) = (a + bx + x )(m + tx) -1 = t (a + bx + x )(f+x) -1 = t -1 [x + (b - f) + ( + f )(f + X) -1 ], onde f = m/t >. Deseja-se determinar o nível ótimo de adubação X >, que dê a produção máxima de madeira por dólar e, portanto, que dê o preço de usto mínimo da madeira, em dólar/st. Tal dose será o ponto de máximo (se houver) da função: () G(x) = (a + bx + x )(f + x) -1 = (x + (b - f) + (a bf + f )(f+x) -1, uja derivada é: As raízes da equação G'(x) = - (a bf + f )(f + x) -. (3) G'(x) = - ( + f )(f+x) - = são os pontos rítios da função G(x), mas só interessa uma solução real X >. A equação (3) dá: (f + x + ) = f

Para que a função seja resente na origem, deve-se Ter V'() >, isto é, b >. Além disso, tal função só terá máximo se for <.

3 (4) Sendo f >, X só poderá ser positivo se tivermos e, omo se tem <, fia <, isto é: a < bf. Em resumo, om a >, b >, <, f >, haverá um ponto rítio X > se se tiver a < bf. Em que ondições esse ponto rítio será um ponto de máximo? Uma ondição sufiiente para isto é que a derivada segunda G"(x) = ( + f )(f + x) -3 seja negativa no ponto X > e isto só oorrerá se se tiver: (5) + f < isto é: > (6) a + f < bf Com < e a < bf esta ondição está satisfeita, logo, X será um ponto de máximo. O máximo da função G(x) será o G(x ) = x + (b - f) + (a bf + f )(f + x ) -1 e o valorda função F(x) será F(x ) = (1/t) G(x ). Exemplo: Considere-se a função V(x) = 8 +,167x -,13x, de oefiientes obtidos, por arredondamento, de uma equação volumétria indiada por PIMENTEL-GOMES ; GARCIA (199). Tem-se aí a = 8, b =,167, = -,13. Se se tomar m = 4 dólares para o usto de implantação (atualizado) por hetare, e se fort =,3 dólar o usto do quilograma da mistura fertilizante, também atualizado, fiará f = m/t = 8. Em tais ondições, fia: a = 8, bf =,167 x 8 = 133,6, logo a < bf. Conlui-se, pois, que há um ponto de máximo X >, ujo valor se alula a partir da equação (4). Obtém-se, pois: a-bf

Uma ondição sufiiente para isto é que a derivada segunda G"(x) = ( + f )(f + x) -3 seja negativa no ponto X > e isto só oorrerá se se tiver: (5) + f < isto é: > (6) a + f < bf Com < e a < bf esta

4 (f + x ) = + f, isto é: 8-133,6 (8 + x = +,13 ) (8) portanto: = , x = = O máximo da função: 9 kg/ha 1 F(x) = [x + (b - f) + ( t + f )(f + x) -1 ] é, pois: F(9) = =,369 st/dólar E o usto mínimo é de 1/,369 =,71 dólares/st. Outro exemplo 1 [-,13(9),3 Suponha-se agora a equação volumétria V(x) = 11 +,167x -,13x, om m = 18 dólares/ha, t =,3 dólar/kg. Verifia-se, pois, que: a = 11, b =,167, = -,13, f = 6, +,654-13,3(8 + 9) -1 ) logo, ( f + x ) = f, +

51-8 = O máximo da função: 9 kg/ha 1 F(x) = [x + (b - f) + ( t + f )(f + x) -1 ] é, pois: F(9) = =,369 st/dólar E o

5 11 - (,167)(6) -,13 ( 6 + x ) = (6), + = 8.35, 6 + x = 59,5, X = -7,5 kg/ha. A solução negativa india, evidentemente, que não onvém adubar. O usto mínimo sedaria para, X = e seria de 18/11 = 1,64 dólar/st. Note-se que neste aso não está satisfeita a ondição sufiiente de raiz X >, pois a = 11 > bf = 1,, e não a < bf, omo deveria ser. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS PIMENTEL-GOMES, F.; A. CONAGIN, A. - Experimentos de adubação: planejamento e análise estatístia. Londrina, Universidade Estadual, p. PIMENTEL-GOMES, F.; GARCIA, C.H. A interpretação eonômia de um ensaio de adubação de E. grandis. In: CONGRESSO FLORESTAL BRASILEIRO, 6, Campos do Jordão, 199. Anais. São Paulo, SBS/SBEF, 199. v.3, p Trabalho reebido = 5/3/1994 Trabalho aeito = 9/1/1994

Note-se que neste aso não está satisfeita a ondição sufiiente de raiz X >, pois a = 11 > bf = 1,, e não a < bf, omo deveria ser. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS PIMENTEL-GOMES, F.; A. CONAGIN, A.

Documentos relacionados

COEFICIENTES DE ATRITO

Físia Geral I EF, ESI, MAT, FQ, Q, BQ, OCE, EAm Protoolos das Aulas Prátias 003 / 004 COEFICIENTES DE ATRITO 1. Resumo Corpos de diferentes materiais são deixados, sem veloidade iniial, sobre um plano