Soluções de Questões de Matemática do Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca CEFET/RJ

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1 Soluções de Questões de Matemática do Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca CEFET/RJ. Questão Sistemas de Numeração No sistema de numeração de base, o numeral mais simples de é: a) 0 b) 0 c) 00 d) 00 e) Para passar um número qualquer da base 0 para a base dividimos o mesmo por sucessivamente até encontrar quociente igual a : 5 0 Lendo da direita para a esquerda começando pelo último quociente e indo até o primeiro resto obtemos o número na base : 0 0 Opção B. Questão O setor público registra déficit de R$,09 bilhões em 994. Se x é igual ao número de zeros dessa quantia, desprezados os zeros dos centavos, então o número x escrito no sistema binário é: a) 0 b) 00 c) 0 d) 0 e) A quantia bilhões pode ser representada por uma potência de 0: 9 bilhão Assim: 9, 09 bilhões, Como são 7 zeros, precisamos passar para a base : 70 Observação: Cuidado com essa questão, pois há uma armadilha ; é preciso contar o zero entre o e o 9 ( ). Opção E

2 . Questão Curso Mentor A tabela abaixo está escrita no sistema binário. Determine o único elemento que satisfaça a sequência a) 0000 b) 000 c) 000 d) 00 e) 000 O melhor caminho para esta questão talvez seja colocar cada número da tabela no sistema de base 0 e verificar mais claramente qual a regra de formação dela: Opção A 4. Questão Sistema Decimal de Numeração No número ( ), qual o valor relativo do algarismo que ocupa a segunda ordem quando escrito no sistema decimal? Para passar o número para a base 0 usamos o seguinte procedimento: Portanto: Separando em ordens: Resposta: 0 5. Questão Escrevendo-se o algarismo 5 à direita de um certo número, ele fica aumentado de 48 unidades. Que número é esse? De acordo com o enunciado temos: O que nos dá: Solucionando esta equação teremos: a5 a a a

3 Tirando a prova real: Curso Mentor 0a a a 4 a a Resposta: 7 Operações Fundamentais 6. Questão Um dado elevador pode transportar, com segurança, no máximo, uma tonelada. Supondo-se que esse elevador esteja transportando três pessoas com 67 kg cada, seis pessoas com 75 kg cada e três pessoas com 8 kg cada, qual o número máximo de pessoas com 56 kg cada que ainda poderiam ser transportadas sem risco de sobrecarga? Solução : Somando o peso das pessoas já no elevador: O peso total já é de 897 kg. Colocando mais um passageiro de 56 kg: Caso seja colocado mais um passageiro de 56 kg: O que ultrapassa uma tonelada. Portanto só é possível colocar mais um passageiro além dos que já estão no elevador. Solução : O problema pode ser solucionado usando inequações: n 56 < n 56 < n < n < 56 n <,8 Como n deve ser natural seu valor é. Resposta: 7. Questão Números Primos Determine três números naturais consecutivos cujo produto é 504. Vamos fatorar 504:

4 Note que as combinações destes fatores separadas em três grupos nos darão os números possíveis. Apesar disso, nossa pesquisa será mais restrita, pois os números devem ser consecutivos e começando por isso não será possível, pois os próximos números seriam e 4, o que é impossível. Veja:? Com não é possível 5, passemos para 6. Há um fator para 7, mas não há fatores suficientes para fazer 8. Confira: 6 7 O próximo teste é 7, 8 e 9. Que é nossa resposta. Para que fique ainda mais claro, abaixo, listamos as possibilidades de combinações: 8. Questão Parcelas da fatoração Números 7, e 6 7, 4 e 6 7, e 7, 7 e 6 7, 4, e 6 7 4, 6 e 7 4, 7 e 8 7, 8 e 7 7, 8 e 9 7, 7 e 4 O número de divisores do número 40 é: a) 8 b) 6 c) 4 d) e) 0 Resposta: 7,8 e 9 Seja N um número qualquer cuja fatoração encontra-se abaixo: a b c N x y z... O número de divisores positivos D de qualquer número N pode ser dado pela expressão: D ( a + ) ( b + ) ( c + )... Fatorando 40: O total de divisores positivos será: D + + D 8 Opção A 9. Questão A soma dos dois maiores fatores primos de 0 é: 4

5 a) 9 b) 8 c) 0 d) 5 e) 7 Fatorando 0: Daí: S + 5 S 8 Opção B 0. Questão Se N 0, qual o número de divisores positivos de N que são também múltiplos de 5? Vamos fatorar N: Reescrevendo esta fatoração: N 5 N 5 N 5 5 Note que excluindo a parcela com resultado 5 temos: D D 6 Esses 6 divisores serão obrigatoriamente múltiplos de 5, pois estão multiplicados por 5. Resposta: 6 5 Ângulos. Questão Na figura, AB é paralelo a CD. O valor do ângulo BEC ˆ é: B 40 x E D A a) 5 b) 40 c) 50 d) 55 e) 75 5 Traçando uma paralela auxiliar a AB e CD passando por E: 5 C

6 B 40 a b E D A Usando as propriedades de duas paralelas cortadas por uma transversal, vemos que a 40 e b 5 então: x a + b x 75 Opção E 5 C. Questão Triângulos Considere o quadrilátero da figura abaixo e calcule a medida do ângulo x em função das medidas de a, b e c. a b R c Primeiro, traçamos o prolongamento de um dos lados até interceptar o outro lado: a b R x c Note que x é ângulo externo do triângulo maior, logo: x a + b Pelo mesmo motivo: R x + c Substituindo uma equação na outra: R a + b + c x R a + b + c 6

7 . Questão Curso Mentor No triângulo ABC, AB AC e  80. Os pontos D, E e F estão sobre os lados BC, AC e AB respectivamente. Se CE CD e BF BD, então o ângulo EDF ˆ é igual a: A F E C B D a) 0 b) 40 c) 50 d) 60 e) 70 Como AB AC temos que ˆB Cˆ 50. Do enunciado temos CE CD, logo CED ˆ CDE ˆ 65. Também do enunciado, temos BF BD, então BFD ˆ BDF ˆ 65. Olhando a figura percebemos que: CDE ˆ + BDF ˆ + EDF ˆ 80 Logo: EDF ˆ EDF ˆ 50 Opção C 4. Questão Em qual dos polígonos convexos a soma dos ângulos internos mais a soma dos ângulos externos é de 080? a) Pentágono b) Hexágono c) Heptágono d) Octógono e) Eneágono A soma dos ângulos internos de um polígono convexo é dada pela expressão: S 80 n i A soma dos ângulos externos é dada por: Se 60 Do enunciado: S + S 080 i e 80 n n n n 6 80 O polígono tem 6 lados, logo é o hexágono. Opção B 7

8 5. Questão Os polígonos ABCDEFGH, GHL e AHIJ são regulares. Calcule o ângulo LAI ˆ. E D F G L C B H A I J Como GHL é equilátero temos GHL ˆ 60. Calculando o ângulo interno do octógono: a 80 n 80 6 i a i n 8 ai 5 Calculando então o ângulo LHA ˆ : LHA ˆ 5 60 LHA ˆ 75 Observando o triângulo AHL, temos: AH HL Portanto: ˆ ˆ 05 HAL ALH O triângulo IHA é retângulo em H e isósceles (IH AH ), o que nos dá: IAH ˆ 45 Da figura: LAI ˆ IAH ˆ + HAL ˆ ˆ 05 ˆ 95 LAI 45 + LAI LAI ˆ 97, 5 ou LAI ˆ 97 0' 6. Questão Círculo Num círculo tomam-se, no mesmo sentido de percurso, os arcos AB 0, BC 60 e CD. Sabendo-se que o ângulo BAD ˆ 65, determine a soma dos ângulos Ê e ˆF formados respectivamente, pelos prolongamentos das cordas AB e DC e das cordas BC e AD. 8

9 Façamos primeiro a figura do enunciado: A 65 0 D C 60 B F E Como BAD ˆ 65 o arco BD vale 0, portanto o arco CD vale 70. A partir disso: AB + BC + CD + DA 60 AB AB AB 0 Para calcular os ângulos em E e F devemos lembrar do que segue abaixo: D A F B Seja o triângulo ACF. O ângulo em A é metade do arco CD: CD Â Olhando agora para o ângulo externo em C teremos: ˆ AB ACB Usando o ângulo externo em C do triângulo ACF: ˆF + Aˆ ACB ˆ Então: CD AB AB CD Fˆ + Fˆ AB CD ˆF Usando este resultado no problema: ˆ ˆ F + E + C Fˆ + Eˆ 50 9

10 7. Questão Sendo AB Curso Mentor x e CD y, o valor de x + y é: A x B 00 D 40 y C a) 90 b) 0 c) 40 d) 50 e) 60 O arco AD vale: AD ACD ˆ AD 80 AD é subentendido pelo ângulo ABD ˆ : ˆ AD ABD ABD ˆ 40 Sendo E a interseção das cordas, a soma dos ângulos do triângulo ABE: Aˆ + Bˆ + Eˆ 80 Aˆ Somando todos os arcos: Â 60 AB + BC + CD + DA 60 x y x + y 60 Opção E 8. Questão Na figura, AB é o diâmetro da circunferência de centro O; OX e OY são respectivamente bissetrizes de AOC ˆ e BOD. ˆ Desta forma XOY ˆ mede: A O B X 8 Y C D a) 76 b) 96 c) 09 d) 8 e) 8 Do enunciado temos que: ˆ XOC Podemos então escrever a soma: AOC ˆ e ˆ YOD BOD ˆ 0 AC + CD + DB 80

11 Somando 8 : Curso Mentor XOC ˆ + YOD ˆ XOC ˆ + YOD ˆ 7 XOY ˆ 09 Opção C 9. Questão Considere a figura abaixo: Linhas Proporcionais O M P N R Se MOP ˆ NOR ˆ, OM cm, OP cm e ON 4 cm, determine a medida de OR. Traçando o segmento RN vemos que os ângulos subentendem o mesmo arco ON: O ˆ OMP e ˆ ORN são congruentes, pois 4 M P N R Como os triângulos OMP e ORN têm dois ângulos iguais, eles são semelhantes (pelo caso AAA). Podemos então escrever: OP OM ON OR OR 6 4 OR O segmento OR vale, então, 6 cm.

12 0. Questão Considerando as afirmações: i. a + b a + b ii. 0 iii iv. a + b a + b v. 5 < 6 Curso Mentor Radicais e Racionalização vi. 4 a b b a Transcrever para o caderno de respostas a opção correta: a) Todas são falsas. b) Apenas uma é verdadeira. c) Apenas duas são verdadeiras. d) Apenas três são verdadeiras. e) Existem exatamente quatro verdadeiras. Vamos analisar cada afirmação: Falsa, pois Falsa, a divisão de um número não nulo por zero é impossível. Falsa, a divisão de zero por zero é indeterminada. Falsa, basta um contra-exemplo Falsa, quanto mais próximo de zero, maior é o número negativo. Falsa, desenvolvendo a expressão temos: 4 a b a b ab Opção A. Questão Calcule o valor da expressão 4 0, , Calculando o valor: 0,5 4 ( 0,5) ( 8)

13 Questão Qual o valor da expressão: 0, , + 5?, Desenvolvendo a expressão obtemos: + 0, , , 6. Questão Calcule o valor da expressão 0, 005 0, O melhor para este problema é escrever cada termo como uma potência de, ou 5: ( 5) ( 5) ( )

14 Finalmente podemos escrever: 5 Calcule Questão 0,5 0 0, , Reescrevendo a expressão teremos: Prosseguindo ( 6 ) Questão é: O valor da expressão a) b) 4 c) 8 d) e) 4 Colocando as duas parcelas do produto com a mesma base teremos:

15 Opção A 6. Questão O valor numérico da expressão 5 x y + x y x y + x y y x, para x 0,... e y é: a) 0 b) 0,... c) 0, d) 5 9 e) Antes de substituir os valores de x e y, vamos tentar arrumar a expressão: x y x + y + x y x y + x y ( x y) Colocando x y em evidência: x + y + 5 x y x y ( ) x + y Substituindo os valores de x e y: ( x + y) , + + Opção E 7. Questão Racionalizando-se o denominador da fração, encontramos um fator racionalizante do tipo a + b +. Determine o valor da soma a + b +. O denominador da fração é uma parcela da fatoração da diferença de dois cubos e sabemos que: a b a b a + ab + b Usando a relação anterior: ( ) Aplicando a propriedade distributiva no denominador: ( ) Observando o processo anterior, temos que a soma pedida dá 7 como resultado, pois a 4 e b. 5

16 8. Questão O número d + é um número natural. Qual é esse número? Solução : Elevando toda a expressão ao quadrado teremos: Calculando o quadrado da soma: Desenvolvendo: d + d ( ) d d 6 + d 6 d d 6 d 4 d ± Como d é natural, temos que d. Solução : Podemos usar o desenvolvimento de um radical duplo: A + C A C A ± B ± Aplicando ao enunciado: Onde C A B ) C 8 C ) 8 + C 8 C 8 Como d é a diferença entre ) e ) temos: d + ( ) d + d 9. Questão Resolver em {,} Equações do º Grau R : x + x x 4. Fazendo o MMC de ambos os lados: x ( x + ) x 4 x + x x 4 6

17 4 x 5 x + x x 4 Como o denominador não pode ser nulo teremos: 4 x 5 x x 0 x ± S, { } 0. Questão Resolver a equação abaixo sendo U R : x x + x 4x Trocando o sinal do denominador da segunda fração: x + 0 x + x 4x Calculando o MMC: ( x ) ( x + ) x + 0 x + x 4x Aplicando a propriedade distributiva e lembrando que é possível simplificar os denominadores, pois estes não podem ser nulos: 6x 4x x 0 x 8 0 x 8 S 8 { }. Questão Resolver a equação abaixo: para x ±. x x x 4 x + x x + 0 Trocando o sinal do denominador da segunda equação: x x x 4 0 x + x x Fazendo o MMC: x ( x ) x ( x + ) x 4 0 x + x x Desenvolvendo: x x x x x + 4 ( x + ) ( x ) + x x

18 Como x ± temos:. Questão Curso Mentor x x x 4 ( ) ± 5 x ( ) 5 x x x S { 4} Resolver a equação algébrica abaixo, sabendo que x ± e x ± 4 : x 8x + 6 x 5x x 6 x + 8 x + x. Desenvolvendo a expressão: x 8x + 6 x 6 x + 8 Colocando alguns termos em evidência: Daí: 9 + x 5x + 4 x + x ( x 4) ( ) ( + ) ( x + 4) x 4 x x x 4 x + x x + x 4 x x 4 x x 4 x + 4 x + 4 x x + x + 0 ( x ) ( x ) ( x + ) Mais uma vez fazendo o MMC e simplificando os denominadores: x + + x 0 x + + x 0 5x 0 x S { }. Questão Sobre o conjunto-verdade da equação reais, podemos afirmar que: a) é infinito b) é vazio c) é unitário d) contém números negativos e) contém dízimas periódicas x + y x + y xy x y, no universo dos números Desenvolvendo a expressão: 8

19 x + xy + y x + y x y x y Teremos: x + xy + y x + y 0 x y x y 0 xy Logo não existe par xy real que satisfaça a expressão acima. Opção B 4. Questão A equação cujas raízes são a e a é: a) 9x + ax a 0 b) 9x ax a 0 c) 9x ax + a 0 d) 9x ax a 0 Como temos as duas raízes podemos calcular a soma (S) e o produto (P): a a a S S a a a P P 9 Podemos então escrever uma equação como abaixo: a a x x 0 9 Multiplicando toda a expressão por 9: 9x ax a 0 Opção A 5. Questão A equação T m p. 0x + mx + p 0 tem raízes e Toda equação do º grau pode ser escrita como: a x x x x 0 Onde x e x são as raízes da equação. Então: a x x + 0 x x a x x a x Determine o valor numérico de

20 ax a ax Comparando com a equação original, vemos que a 0, portanto: 5x 5 0x 0 Concluímos então que: 5 m p E 5 5 m p 0 6. Questão Determine a soma das raízes reais da equação 0 x + x a) 0 b) c) + d) 6 + e) Não existem raízes reais A soma das raízes de uma equação existe mesmo que as raízes não sejam reais, pois a parcela que contém é cancelada. Primeiro então precisamos verificar se as raízes são reais: ( + ) ( ) Como, 7 temos que > 0. A soma das raízes será, portanto: Racionalizando: 7. Questão + S S + Sobre a equação x 4x 0, marque a afirmativa correta: a) O produto das raízes é. b) A soma das raízes é. c) A raiz positiva é um número entre 4 e 5. d) As duas raízes são positivas. e) A equação não tem raízes reais. Vamos analisar cada uma das afirmativas: a) Falsa. O produto das raízes é dado por: c P P a b) Falsa. A soma das raízes é dada por: Opção C

21 b 4 S S 4 a c) Verdadeira. Vamos calcular as raízes: ( 4) x x + 5 ( 4) ± 0 x 4 5 x x 5 Como 5, 4 temos que x 4,4 e x 0,4. d) Falsa. O produto das raízes é negativo, logo as duas raízes tem sinais opostos. e) Falsa. Temos que 0. Opção C 8. Questão Qual a diferença das raízes da equação mx + m p x p 0, * m R +? A diferença entre as raízes de uma equação pode ser encontrada da seguinte forma: Daí: Então: b + b b + + b + D a a a a a 9. Questão D D ( m p) 4 m ( p) m + + m m mp p 4mp ( + ) m + mp + p m p D D m m D m + p A soma dos inversos das raízes da equação p, p e p, é igual a. Determine o valor de p. m p x + p + x p 0, onde A soma dos inversos das raízes: Então: x + x + x x x x

22 ( p ) + p Solucionando esta equação: 40. Questão A equação da expressão O que queremos é: Desenvolvendo: Sabemos que: Curso Mentor p + p p + p p p p p p + p p x 75x + 0 tem suas raízes representadas por a e b. Determine o valor + a b. + a b a + b + a b a b a + b a + ab + b a + b a + b ab Usando este resultado na expressão anterior: a + b a b Como a e b são as raízes temos: a + b ab a b 75 a + b ab a b