INTRODUÇÃO E A PRIMEIRA LISTA DE EXERCÍCIOS

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "INTRODUÇÃO E A PRIMEIRA LISTA DE EXERCÍCIOS"

Transcrição

1 INTRODUÇÃO E A PRIMEIRA LISTA DE EXERCÍCIOS INTRODUÇÃO Os livros de cálculo costumam conter um capítulo ou um apêndice dedicado a eplicações de fatos básicos da matemática e que, em geral, são abordados no Ensino Médio das escolas brasileiras. O entendimento desses conceitos, e o uso correto deles em diversas situações, são condições necessárias para que o aluno da disciplina Cálculo Diferencial e Integral I possa compreender conceitos específicos da disciplina, como o de derivada e integral, e possa aplicar esses conceitos na resolução de situações- problema relevantes. Por outro lado, percebe-se que, na maioria das vezes que o estudante apresenta dificuldades em resolver um problema de aplicação de limite, derivada ou integral, essa dificuldade não reside no entendimento dos conceitos específicos do cálculo diferencial e integral, mas sim na modelagem do problema, no seu equacionamento, na manipulação de epressões algébricas, ou na utilização de fatos elementares de trigonometria ou de geometria plana. Por essas razões, é etremamente importante que todos os estudantes da disciplina identifiquem suas próprias dificuldades com esses fatos elementares da matemática e se esforcem para superá-las ao longo do curso. Para auiliar os estudantes nesse ponto, listamos uma relação de conceitos matemáticos que serão utilizados com muita freqüência durante o curso e cujo entendimento deve ser priorizado pelos estudantes.. Números Operações com frações e números reais. Potenciação e radiciação. Raiz quadrada. Intervalos. Desigualdades. Valor absoluto. Reta numérica. Equações polinomiais.. Álgebra Elementar. Produtos notáveis e fatoração. Operações com polinômios: soma, subtração, divisão. Raízes e igualdade de polinômios. Cálculo da decomposição de uma fração em soma de frações parciais.. Geometria Analítica. Coordenadas de pontos no plano cartesiano. Distância entre pontos. Simetrias. Retas: equações, paralelismo e perpendicularidade. Equações da circunferência. Equação e gráfico de parábolas. Elipse dada pela sua equação reduzida. Hipérbole de equação y =. Translação de gráficos.. Funções e gráficos. Definição de função, domínio e imagem. Determinação de domínio e imagem de funções reais. Funções pares e ímpares. Funções crescentes e decrescentes. Operações e composições de funções. Função eponencial. Função logarítmica. A eponencial e o logaritmo natural. Aplicações de eponencial e logaritmo. Funções trigonométricas: seno, cosseno, tangente. As funções que definem a parte superior, inferior e lateral de uma circunferência. 5. Trigonometria Trigonometria nos triângulos. Lei dos senos e dos cossenos. O círculo trigonométrico. Graus versus radianos. Identidades trigonométricas. Aplicações de trigonometria.

2 ESTRATÉGIAS DE ESTUDO Apresentamos também as seguintes estratégias de estudo para essa parte inicial da disciplina Cálculo Diferencial e Integral I. (a) É etremamente importante que você possua algum livro de cálculo durante todo o semestre letivo. Então providencie um livro, fazendo um empréstimo na biblioteca ou com algum amigo, comprando o livro ou de outra forma qualquer. (b) Identifique as seções do seu livro que tratam dos conteúdos listados acima e LEIA essas seções, dando especial atenção para as definições, para as propriedades e para os eemplos resolvidos no livro. (c) Não acumule dúvidas. Assim que possível, durante o seu estudo, procure o seu professor ou os monitores para esclarecimentos de todas as suas dúvidas. (d) Resolva os eercícios do livro e compare suas soluções com as de outros alunos do curso. Caso você tenha dúvidas sobre algum eercício, procure o seu professor. (e) Resolva todos os eercícios listados a seguir. A lista de eercício a seguir aborda praticamente todos os conteúdos listados anteriormente. Esses eercícios devem ser obrigatoriamente resolvidos por todos os alunos das Turmas Especiais de Cálculo Diferencial e Integral I.

3 LISTA 7. Calcule a área do retângulo de dimensões e Considere o pentágono ABCDE de lados AB = ; BC = ; CD = ; 6 0 DE = 7 e EA = 5. a) Calcule o perímetro desse pentágono. b) Qual é o menor lado?. Dê contra-eemplos para mostrar que as afirmações a seguir são falsas. d d d a) = +, para quaisquer números reais a, b, c, com c 0, b 0 e c + b 0. c + b c b b) a + b = a + b, para quaisquer números reais não-negativos a, b. c) a = a, para qualquer número real a. + a y d) = + ay, para qualquer 0.. Se a =, quais são os possíveis valores para a? Represente na reta numérica o conjunto de todos os valores de a que satisfazem à igualdade dada. 5. Em cada caso a seguir, determine todos os valores de que satisfazem a relação dada e, também, represente na reta numérica todos esses valores de : a) = b) < c) > 6. Determine todas as raízes reais de cada equação a seguir: a) ( )( 9)( + 9) = 0; b) 5 +6 = 0; c) ( + ) =. d) ( 7) = A B + C 7. Determine, se possível, os valores de A, B e C para que = +, para todo + + real. A B + C 8. Determine, se possível, os valores de A, B e C para que = +, para ( + ) + todo real. 9. Determine a para que a distância entre os pontos P = (a, ) e Q = (5, 6) seja igual a. 0. Para dar uma interpretação para o eercício 9, responda às seguintes perguntas: a) Que figura fica caracterizada pelos pontos da forma P = (a, )? b) Que figura fica caracterizada pelos pontos cuja distância a Q = (5, 6) é igual a? c) Utilizando os itens (a) e (b), dê uma interpretação para o eercício 9. Respostas: ) b) CD 6) a) ± b) 0,, c), ± d) 0, 7 ± 5 7) A =, B = -, C = 8) Não tem solução.

4 . Determine os pontos sobre a reta de equação y = cujas distâncias ao ponto 7 5 Q = (, 5) sejam iguais a.. Determine o centro e o raio da circunferência de equação + y + 6y = 0. Eplicite y em função de e identifique a figura que cada uma dessas funções representa?. Determine a equação da reta tangente à circunferência de equação + y = 5 no ponto Q de abscissa sobre essa circunferência e que está no quarto quadrante.. Analise a resolução da equação ( ) = e diga o que está errado. Sol. ( ) =. Cancelando o obtemos ( ) =. Daí + = 0, o que nos fornece as raízes 5. Simplifique: a) ± =, isto é, e. b) (5 + h) 5 h c) Resolva as desigualdades: a) + 0 < 0 b) + 7 > 0 c) 0 ( ). d) 0 ( ) g) sen, no intervalo [0, π ] h) 7. Determine o valor de no triângulo abaio. e) > + f) sen, no intervalo [0, π ], se 8. Seja f ( ) =, calcule f(0), f() e f()., se > 9. Esboce o gráfico de y = Respostas: ), e, ) centro (, ) e raio. π 7π ) y = ) c ) < e ) > g ) 6 6 π π h) ou π 7 π. 7) =. 8) f ( 0 ) =; ( ) = 0; f = 6 6 f ( ).

5 5 0. Encontre o domínio de cada função a seguir: ln ( ) a) f ( ) = b) h( t) = t + t. 6. Epresse a área de um retângulo em função de um de seus lados sabendo que ele tem perímetro igual a 0 cm.. Epresse o perímetro de um retângulo em função de um de seus lados sabendo que ele tem área igual a 6 cm.. Uma caia sem tampa deve ser construída de um pedaço retangular de papelão que tem dimensões cm por 0 cm. Devem-se cortar quadrados de lados em cada canto do papelão e depois dobrá-los. Epresse o volume da caia em função de.. Um quadrado está inscrito em um círculo de raio r. Epresse o lado do quadrado em função de r. 5. Determine as coordenadas do ponto da circunferência + y = que está mais próimo do ponto P = (, ). 6. Ache o ponto do eio y que é eqüidistante de (5, 5) e (, ). 7. Determine todas as retas que passam pelo ponto P = (,) e que são tangentes a circunferência de equação + y =. 8. Os pontos A = (, ), B = (6,) e C = (0, 6) são vértices de um triângulo retângulo? Se sim, qual desses pontos é o vértice de ângulo reto? 9. Usando a epressão: área = metade da base vezes a altura, determine a área do triângulo retângulo de vértices A = (6, 7), B = (, ) e C = (, ). 0. Determine a equação da reta em cada situação a seguir. a) A reta passa pelos pontos A = (, ) e B = (, 7); b) A reta passa pelo ponto C = (, ) e é paralela à reta de equação y = ; c) A reta passa pelo ponto C = (, ) e é perpendicular à reta de equação + 6y =. Respostas: 0) a) < < 6. b) 0 <. < t ) A l ( l) = 0 para 0 < l< 0. ) 6 P = l + para 0 < l <. ) V = ( 0 )( 6 ) para 0 < < 6. l 5 ) l = r. 5), 6) ( 0, ) 7) y = + e = ) Sim; C. 9). 0) a) y = + b) y = + c) y = 8

6 6. Na figura ao lado, ABCD é um paralelogramo, as coordenadas do ponto C são ( 6,0) e os lados AB e AD estão contidos, respectivamente, nas retas de equações y = + e y =. Determine as coordenadas dos pontos A, B e D. D A C B. O triângulo isósceles ABC tem como vértices da base os pontos A = (, 0) e B = (0, 6). Determine as coordenadas do vértice C sabendo que ele está sobre a reta de equação y =.. O número R de respirações por minuto que uma pessoa eecuta é uma função do primeiro grau da pressão P do dióido de carbono ( CO ) contido nos pulmões. Quando a pressão do CO é de unidades, o número de respirações por minuto é de,8; quando a pressão aumenta para 50 unidades o número de respirações passa para 9, por minuto. a ) Escreva R como função de P. b ) Ache o número de respirações por minuto quando a pressão do CO for de 5 unidades. log 7 7. Simplifique a epressão até encontrar um número inteiro: + log (8 ). a b c Suponha que a equação 8 = seja válida para todo número real, em que a, b e c são números reais. Determine o valor dessas constantes a, b e c. π 6. Sabendo que < < π calcule, sen. 7. Resolva as equações: (a) + = (b) 5 5 =. 8. Sem utilizar calculadora, calcule a área do triângulo ABC, sabendo que AB = 0 cm, o BC = cm e ABC ˆ = Respostas: ) A =,, B = ( 8,6), C = ( 6,0), D =, ) ( 7, ) ) a) R = 0,6 P - 0,8 b) 6,. ) 70. 5) a =, b = e c = 6. ln + 6) cos. 7) a ) não tem solução real. b ) =. ln5 5 8) ( + ) cm.

7 7 9. Desintegração radioativa: os átomos de uma substância radioativa possuem a tendência natural a se desintegrarem, emitindo partículas e transformando-se em outra substância não radioativa. Assim sendo, com o passar do tempo, a quantidade de substância original diminui aumentando, conseqüentemente, a massa da nova substância transformada. Além disso, pode-se demonstrar que se no instante de tempo t = 0 a quantidade de matéria radioativa é igual a M 0, então no instante de tempo t 0 a quantidade dessa matéria será igual a M () t = M e kt, sendo k uma constante positiva que depende da matéria radioativa 0 considerada. Em geral, para o cálculo dessa constante k, é informado o tempo de meia vida da substância radioativa: esse é o tempo para que metade da substância radioativa se desintegre. a). Mostre que as constantes k e t, de uma mesma substância radioativa, estão m ln relacionados pela epressão: k =. tm b) A meia-vida de uma substância radioativa é um ano. Quanto tempo levará para que num corpo puro de 0 gramas desse material reste apenas um grama? c) Uma amostra de tório reduz-se a de sua quantidade inicial depois de.600 anos. Qual é a meia-vida do tório? 0. Lei de resfriamento de Newton: essa lei afirma que em um ambiente com temperatura constante, a temperatura Tt () de um objeto no instante t varia de acordo com a epressão: Tt () A= Ce kt, sendo A a temperatura do meio, C a diferença de temperatura entre o objeto e o meio no instante t = 0 e k uma constante positiva. a) Num certo dia, a temperatura ambiente é de 0 graus. A água que fervia numa panela, 5 minutos depois de apagado o fogo tem a temperatura de 65 graus. Quanto tempo depois de apagado o fogo a água atingirá a temperatura de 8 graus? b) O corpo de uma vítima de assassinato foi descoberto às horas. O médico da polícia chegou às :0 h e imediatamente tomou a temperatura do cadáver que era de,8 graus. Uma hora mais tarde ele tomou a temperatura outra vez e encontrou, graus. A temperatura do quarto era mantida constante a 0 graus. Use a lei do resfriamento de Newton para estimar a hora em se deu a morte. Admita que a temperatura normal de uma pessoa viva é de 6,5 graus. Respostas: ln0 ln 9) b) = log0, anos. c ) , 5 anos. ln ln 5 6,5 5ln ln 0) a) 5,6 min. b),8, horas antes das :0 h, ou seja, ln,8 ln, aproimadamente às :5 h.

8 8. Utilizando um teodolito e uma trena um topógrafo fez as medidas de ângulos e distâncias indicadas na figura ao lado. Calcule a altura da torre indicada nessa figura.. Para saber o comprimento de uma ponte que será construída sobre um rio, um engenheiro instalou o teodolito no ponto B a uma distância de 0 metros do ponto A, situado na margem do o o rio. Depois, mediu os ângulos B ÂC = 05 e C Bˆ A = 0, conforme a figura. Com base nas medidas feitas pelo engenheiro, determine o comprimento AC da ponte. o o tg( ) tg( 5 ) Respostas: ) o o tg( 5 ) tg( ) ) 5 m. 87, +,7 95,7 m.

9 . Resolver as inequações: - Cálculo : Lista de eercícios etra - (a) ( ) > 0 { R/ < 0 ou > }; (b) ( )( + ) < 0 { R/ < < }; (c) { R/ ou }; (d) ( ) 0 { R/ = 0 ou }; (e) + + > 0 R; (f) < { R/ < < e 0}; (g) + < + { R/ < }.. Determine os valores de para os quais cada uma das epressões seguintes são números reais: (a) { R/ }; (b) 9 { R/ ou }; (c) { R/ < /}; (d) { R/ < ou > }.. Determine os valores de para os quais cada uma das epressões seguintes é positiva: (a) (b) R + +; { R/ < < 0 ou > }; (c) + { R/ < ou > }; (d) { R/ < ou 0 < < ou > }.. Determine os valores de que satisfazem: (a) = 5 = ±5; (b) + = = ou = 7; (c) = = ou = 6; (d) + = = /; (e) + = = ou = /; (f) 5 { R/ 8}. (g) + { R/ > ou < 5}.

10 5. Usando valor absoluto, escreva epressões para os seguintes conjuntos: (a) o conjunto dos pontos cuja distância a é menor do que ou igual a ; (b) o conjunto dos pontos cuja distância a -5 é menor do que + 5 < ; (c) o conjunto dos pontos cuja distância a 6 é maior do que 6 >. 6. Mostre que os dois conjuntos abaio são iguais e os escreva na forma de intervalos: A = { : < } e B = { : < 6 }. B = { : + < + 6} = { : 8 < } = { : < } = A A = B = (, ) 7. Encontre o domínio das seguintes funções: (a) + R; (b) ( )( + ) { R/ ou }; (c) { R/ }; (d) { R/ < ou /} Se f() =, mostre que f() = f() Quais os domínios de f() = 8 e g() =? Determine o domínio de h() = f(g()). D(f) = R {8}, D(g) = R e D(h) = R {} 0. Se f() =, mostre que f(f()) =.. Se f() = a+b, mostre que f(f()) =. a. Se f() = a, mostre que f() + f( ) = f(). Verifique também que f( + ) = f( ) + f( ), para todos, R.. Caracterize as seguintes funções como sobrejetora, injetora, bijetora, ou nenhuma delas: (a) f : R R, f() = + 5 bijetora; (b) g : R R, g() = 9 nenhuma delas; (c) h : A A, h() = +, A = { R/ } (d) ϕ : { R/ 0} R, ϕ() = 5 injetora. injetora;. Determine se as seguintes funções são pares, ímpares ou nenhuma delas: (a) f() = 5 + nenhuma delas; (b) g() = + par; (c) h() = nenhuma delas; (d) ϕ() = + ímpar.

11 5. Suponha f() uma função ímpar e g() uma função par. (a) Podemos falar algo sobre a paridade de Q() = f() g() e P () = f()g()? (b) Sabendo que sen() é função ímpar e cos() é par, o que podemos falar sobre tg()? Resposta: Todas Ímpares. 6. Resolva as seguintes equações: Respostas (a) = 6 {} ) (b) = ( {, 0} (c) ( ) + = 9 +6 {, } (d) = 7 {0} (e) = {} (f) 9. + = 0 {, 0, } 7. Resolva as inequações: Respostas (a) 7 < 9 S = { R < } (b) 8 + S = { R } ( (c) 5 ) +0 ( 5 ) 7 S = { R ou 5} (d) + < 6 S = { R < } 8. Dadas as funções f() = ( ) +7 ( e g() = 5+, ) determine real de modo que se tenha: Respostas (a) f() = g() = ou = (b) f() > g() < < 9. Resolva o seguinte sistema { 8. y =. y =. Resposta: = 0, y = { 5 y = 0. Dado o sistema 5 +y =., calcule o valor de (y). Resposta: 6. Resolva a equação ((0 ) ) =,5 Resposta: { }. Seja f() = 9 uma função de variável real. Determine o conjunto que contém todos os valores reais de para os quais f() = f( ). Resposta: S = {}. Resolva o seguinte sistema { + y = y = 5. Resposta: =, y =. Uma população de bactérias no instante t é dada pela função f(t) = C. kt, em que t é dado em minutos. Eperimentalmente, verifica-se que e a população depois de minuto era de 6 bactérias e depois de minutos, de 56. Determine a população inicial (isto é, quando t = 0). Resposta:

12 5. Utilize deslocamento para fazer um esboço do gráfico das seguintes funções e determine o domínio das mesmas: a) f() = e + b) f() = ln( ) c) f() = e + d) f() = ln(+) e) f() = ln f) f() = ln g) f() = ln(+) 6. Determine o domínio ( ) das funções a) f() = log b) y = log 6 ( 7 + ) R: a) (, + ) b) (, ) 7. Resolva as seguintes inequações: a) log ( ) b) log ( + ) + log ( 9) > c) log 5 > log 5 ( + 5) R: a) [, + ) b) (, + ) c) (7, + ) 6 { 8. Determine os valores (, y) que são soluções do sistema R: (, ) ou (, ) 9. Determine o intervalo em que a função f() = 0. Resolva log 0 +. log 0 = R: {0, 00} +y = 8 log + log y =. ( ) log log está definida. R: (0, /). Sejam a e b números reais positivos, tais que log a log b =. Determine o valor da razão a b R:. Determine o conjunto das soluções da equação log ( ) = log R: { R/ = ± ou = ±/}. É dada a função f definida por f() = log log ( ) (a) Determine os valores de para os quais f() R: (b) Determine os valores de para os quais f() > R: (, + ). Resolva a equação log = + log 9. R: {/, 9} 5. Se log ( ) = a, qual será o valor de log ( + ). (DICA: analise o produto ( )( + )) R: a 6. Resolva a equação 0 log a ( +) = 6 log a 0, em que a = 0. R: {, } 7. Converta para radianos: a) 90 0 b) 00 0 c) 5 0 d) 0 0 e) 60 0 R: a) π/ b) 5π/ c) π/ d) π/ e) π/9 8. Faça um esboço do gráfico das seguintes funções: a) f() = sen( ) b) f() = cos( ) c) f() = cos( + π) d) f() = tg( π ) 9. Determine para quais valores reais de p eiste tal que: a) sen = 7p+ b) sen = p 0p+ c) sen = d) sen = p e) sen = 8 5p 5 p p R: a) [ 8/7, /7] b) [0, ] [6, 0] c) (, 0] [, + ) d) [0, ] e) [5/, /6]

13 0. Determine a) cos ( π ), sendo que sen = b) sen( π ), sendo que cos = 5 R: a) / b) /5. Determine o domínio de f() = tg( ). R: { R/ (n + )π, n = 0,,, }. Na função f() = tg(m), determine o valor de m tal que o período da função seja π. R: m =. Determine o que se pede em cada caso: (a) cotg, sendo sen = e cos = ; R: / (b) tg, sendo cotg = ; R: / (c) sec, sendo cos = ; R: / (d) cos, sendo sec = 5; R: /5 (e) sec, sendo cos = 5 ; R: / 5 (f) cos, sendo sec = 7; R: / 7 (g) cossec, sendo sen = 7 8 R: 8/ 7 (h) sen, sendo cossec = 0. R: /0. Determine o valor de m, e qual o quadrante do arco, de modo que se tenha: a) sen = m+ e cos = m 5 R: m =, I b) cos = 7m e sen = m R: m = ±/, II ou IV 5. Verifique as seguintes identidades: (a)sec + cotg = (csc)(cos + tg) (b)sec + csc = sec.csc (c)sen () = cos() (d) cos () = +cos() 6. Determine o período das seguintes funções e esboce seus gráficos: a) f() = sen(7) b) f() = cos( ) c) f() = tg(π) R: a) T = π/7 b) T = 8π c) T = 7. Verifique as seguintes igualdades: (a)sen = sen(π ) (b) cos = cos(π ) (c)tg = tg(π ) (d)cotg = cotg(π ) (e)sec = sec(π ) (f)cossec = cossec(π ) 8. Verifique a paridade das seguintes funções: a) f() = n em que n N b) f() = tg c) sec R: a) par, se n par e ímpar se n ímpar b) ímpar c) par 9. Mostre que tg(a) = tga tg a, com a π + kπ. 50. Resolva a equação sen 7sen = 6. R: = π ± nπ, n = 0,,, 5

14 SEGUNDA LISTA DE EXERCÍCIOS. Em cada situação verifique se o limite eiste. Caso eista calcule-o. a) lim b) lim se < + c) lim f ( ), em que f ( ) = se < d) lim 0 ( ) se. Calcule lim h 0 f ( o + h) h f ( ) o em cada caso a seguir: a) f() = b) f() = a + b + c c) f() =. Calcule os limites indicados: a) lim sen d) lim f) lim + h) lim ln( ) j) l) n) 0 lim + lim 0 lim p) lim e (0 sen + cos ) 0+ b) lim ( ) (sen + cos + 0) 5 e) g) lim + 7 lim 5 5+ i) lim ln( ) k) m) o) lim t 9 lim 0+ 9 t t cos( ) lim c) lim sen. Se eiste o lim f ( ), então lim f ( ) = f(5)? Comente sobre sua resposta Determine constantes a, b e L para que a função abaio seja contínua em IR. + a + para < f ( ) = L para =. b + para >

15 6. Mostre que a equação + = 0 possui pelo menos duas raízes reais. + a+ a+ 7. Eiste um número a tal que lim eista? Caso afirmativo, + encontre a e o valor do limite. 8. Encontre todos os valores de a para os quais a função y = f() a seguir é contínua para todos os valores de : + para a f ( ) =. para > a a + b Determine os valores de a e b tais que lim = A figura abaio mostra um ponto P sobre a parábola y = e o ponto Q dado pela interseção da mediatriz do segmento OP com o eio y. À medida que P tende ao vértice da parábola, o que acontece com o ponto Q? Ele tem uma posição limite? Se sim, encontre-a. Respostas: ) a ). b ) não eiste; mas os limites laterais são:, quando + e - + quando. c ) não eiste; mas os limites laterais são:-, quando e quando. d ). ) a ) o. b ) a o + b. c ). ) a ) 0. b ) 0. c ) 0. d ) -. e ). f ) 0. g ). h ). i ). j ) l ). m ). n ) -. o ). p ) 0. 5 ) a = ; b = 6; L =. 7 ) a =5; o limite é igual a -. ± 5 8 ) a =. 9 ) a = 0; b =. 0 ) Q 0,. o 5. k ) 6. Um breve resumo das aulas encontra-se em no link Turmas Especiais de CálculoI, no Cronograma.

16 - Cálculo - Limites -. Calcule, se eistirem, os seguintes limites: (a) lim ( ); (b) lim 8; + + (c) lim + 5 (d) lim (e) lim. Faça o esboço do gráfico de f() = entre lim f() e f()?. Seja f a função definida por f() = 9 + ; ; 7 (f) lim ; + (g) lim 0 se < 6 se = + 0 se > { se se = (a) Encontre lim f() e verifique que lim f() f(). (b) Faça um esboço do gráfico de f. {. Seja f a função definida por f() = 9 se se = (a) Encontre lim f() e verifique que lim f() f() (b) Faça um esboço do gráfico de f. f( + h) f() 5. Determine o valor de lim quando h 0 h a) f() = b) f() = c) f() =. (h) lim ; (j) lim y 8t 7 t 9 ; 5 (i) lim + ; y 9 y + 7y + ; h (k) lim ; h h 5 + h (l) lim ; h 0 h 6 (m) lim ; ; (n) lim. e observe no gráfico o valor de lim f(). Há alguma diferença 6. Nos ítens a seguir, calcule os limites laterais pedidos e verifique se o limite (bilateral) eiste. Caso eista dê seu valor. (a) f() =, lim f(), 0 + (b) f() = (c) f(r) = (d) g() = 7. Dada f() = + se < se = se > r + se r < se r = 7 r se r > + se < 0 se = se > lim f(), lim f() Eiste lim f()? 0 ; lim f(), lim f(), lim f() + ; lim f(r), lim f(r), lim f(r) r + r r ; lim + f(), lim f(), lim f() 8. Dada f() = +. Verifique se eistem os limites abaio e, caso eistam, determine seus valores: a) lim f() b) lim f(). 0

17 - Gabarito -. Calcule, se eistirem, os seguintes limites: se <. f() = 6 se = + 0 se > (a) lim ( ) = ; (h) lim 8t 7 9 t 9 = ; (b) lim 8 = 5 ; (i) lim + = 7 ; y (c) lim = ; (j) lim y y + 7y + = 5 ; 9 (d) lim + = 6; h (k) lim = 0 + 5; h h 5 (e) lim = + h ; (l) lim = h 0 h ; 7 6 (f) lim = 7; (m) lim = ; + (g) lim = ; (n) lim 0 6 =. lim f() = f() = 6 { se. f() = se = {. f() = 9 se se = lim f() = f() =. lim f() = 0 f( ) =. (a) Figura e. (b) Figura e. (c) Figura e. 5. a) b) c). 6. (a) lim f() =, lim f() =, lim f() (b) lim f() =, lim f() =, lim f() + (c) (d) lim r f(r) = lim f(r) = 5, lim f(r) = 5 + r r lim f() = 5, lim f() = 6, lim f() + 7. lim f(), pois lim f() = e lim f() = a) lim f() = 0 b) lim f() =, lim f() =, lim f()

18 - Cálculo - Limites - Lista. Determine, caso eistam, os seguintes limites: a) lim 0 +( 5 ) b) lim c) lim e) lim f) lim g) lim y i) lim j) lim ( 5 k) lim y ) m) lim ( + ) n) lim ( ) o) lim q) lim r) lim + + s) lim u) lim ( ( + ) v) lim w) lim ) y) lim 0 z) lim α) lim a + bt a γ) lim δ) lim 5 5 ϵ) lim 7 6 t 0 t 7 ζ) lim η) lim θ) lim d) lim 5 5 h) lim l) lim + ( + ) p) lim t) lim ( + ) + ) lim 0 + β) lim ( + ) ε) lim z ϑ) lim z z Sejam f() = { + se + se >. e g() = { se se >. (a) Eiste lim f()? (b) Encontre uma epressão para f().g() e mostre que eiste lim ( f().g() ). Considere a função definida por: f() = a) Faça o gráfico da função f. b) Determine: lim 0 f() lim f() 0 + +, < 0, 0 <, lim f() 0 lim f() lim f() lim f() f( + h) f(). Calcule lim, quando: a) f() = sen b) f() = cos c) f() = h 0 h. sen 5. Sabendo-se que lim = e que cos = sen ( sen() 0 ), calcule: a) lim 0 5 cos b) lim Sabendo-se que as desigualdades 6 < sen() < valem para todos os valores de próimos de zero, calcule cos() sen() lim 0 cos(). 7. Mostre que se f() M e lim a g() = 0 então lim a ( f().g() ) = 0 sen 8. Use o item anterior para mostrar que lim = Encontre as assíntotas verticais e/ou horizontais das seguintes funções: (a) f() = 0. Observando o gráfico das funções eponenciais conclua que + 9 ; (b) g() = ; (c) h() = + ; (d) ψ() = + ; (e) ϕ() = + ; (f) φ() = +. lim + a = { +, se a > 0, se 0 < a < e lim a = { 0, se a > +, se 0 < a <

19 . Calcule os seguintes limites: ( ) ( ) (a) lim (b) lim (c) lim ( ) (d) lim ( ) (e) lim + ( ). se. Seja f() = se < f é contínua em =? Em =? Em =? Em =? se > { + se. Seja f() = se > f é contínua em =?. Seja f() = { se se = f é contínua em =? 5. Encontre os pontos, caso eistam, nos quais f é descontínua e dê as razões para esta possível descontinuidade: (a) f() = 8; (b) f() = + ; (c) f() = + (d) f() = Verifique se as funções a seguir são contínuas nos pontos indicados. Caso não sejam, determine as razões da descontinuidade. (a) f() = + em = ; (b) f() = (c) f() = em = e em = ; { se 5 se = em =. 7. Encontre um valor para a constante k, se possível, para que a função seja contínua para todo R. { 7 se (a) f() = k se > { k se (b) f() = + k se > 8. Encontre os valores das constantes k e m, se possível, que para que seja contínua para todo R a função + 5, se >, f() = m( + ) + k, se <, + + 7, se. 9. Dê eemplo de duas funções f e g descontínuas em um certo ponto = c tal que f + g seja contínua neste ponto. 0. É verdade que uma função contínua que nunca é zero em um intervalo nunca muda de sinal nesse intervalo? Justifique sua resposta.. Utilize o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que a equação + + = 0 possui pelo menos uma solução no intervalo [, ].. Mostre que, se p() é um polinômio de grau ímpar, então e equação p() = 0 possui pelo menos uma solução real.. (Contração de Lorentz) De acordo com a teoria da relatividade, o comprimento de um objeto, por eemplo, de um foguete, parece a um observador depender da velocidade com que o objeto se desloca em relação a esse observador. Se ele medir o comprimento L 0 do foguete em repouso e em seguida com a velocidade v, o comprimento parecerá ser L = L 0 v c, sendo c a velocidade da luz no vácuo. O que acontece com L à medida que v aumenta? Calcule lim L. Por que é necessário tomar v c o limite lateral à esquerda?

20 - Cálculo - Limites - Gabarito Lista. a) b) 0 c)- d) e) + f) g) h) 6 i) 0 j) 5 k) l) + m) n) o) 0 + p)+ q) 0 r) 0 + s)- t) + u) v) w) + ) + y) + z) α) β) γ) 7 δ) b ϵ) a +a ε) ζ) 7 η) θ) 5 ϑ) 0. (a) Não, pois lim f() = e lim f() =. + { (b) f()g() = + se ( ) lim f().g() = + se >.. a) b) lim 0 f() = lim f() = lim 0 f() lim f() = lim f() = + lim f().. a) cos b) sen c) f() =. 5. a) /5 b) 0. sen() 6. lim 0 cos() =. 7. M g() f().g() M g() lim Mg() lim f().g() lim Mg() M lim g() lim f().g() M lim g() 0 lim f().g() 0 lim f().g() = sen e lim + = 0 lim sen = (a) Assíntotas verticais: = e =, Assíntota horizontal: y = 0; (b) Assíntota vertical: =, Assíntota horizontal: y = 0; (c) Assíntota vertical: =, Assíntota horizontal: y = ; (d) Assíntota vertical: = 0; (e) Assíntota vertical: = ; (f) Assíntota vertical: = { +, se a > lim + a = 0, se 0 < a < e { 0, se a > lim a = +, se 0 < a <. (a) + (b) 0 (c) + (d) (e)

21 . f não é contínua em =, pois lim já que lim f() = f( ) = 0, lim. Sim, pois lim f() = f() =.. Não, pois lim f(). f() = e lim f() = 0, logo lim f(). Em =, = e = ela é contínua, + f() =, lim f() = f( ) =. 5. (a) Contínua em R; (b) Descontínua em = ±, pois f() e f( ); (c) Descontínua em = 0 e = ±, pois f(0), f( ) e f(); (d) Contínua em R. 6. (a) Contínua em = ; (b) Contínua em = e descontínua em = pois f(); (c) Contínua em =. 7. (a) 5 (b) / 8. k = e m = 5/. 9. f() = { 0 se < 0 se 0. e g() = { se 0 0 se > Sim, pois, pelo teorema do valor intermediário, se ela mudasse de sinal então o zero deveria ser também imagem da função.. f() = + = 0 f() = e f( ) =, logo, pelo Teorema do Valor Intermediário, eiste 0 [, ] tal que f( 0 ) = 0.. Se p() é um polinômio de grau ímpar, então vai sempre eistir um 0 R para o qual p( 0 ) e p( 0 ) têm sinais opostos. Logo, pelo Teorema do Valor Intermediário, eiste c [ 0, 0 ] tal que p(c) = 0.. À medida que v aumenta L diminui. lim v c L = 0. O limite lateral à esquerda é necessário já que a função não está definida para v > c.

22 As listas de eercícios podem ser encontradas nos seguintes endereços: ou na pasta J8, no ero (sala06) TERCEIRA LISTA DE EXERCÍCIOS. Derive: a) y = b) y = 9 c) d) y = y = Calcule lim h 0 ( 9 + h) h cos h. Calcule o lim. h 0 h 000. Calcule lim 000. Como esse limite se relaciona com uma derivada? 5. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de y = 5, no ponto de abscissa = Determine a equação da reta r tangente ao gráfico de y = + + e que é paralela à reta de equação y = Determine as tangentes horizontais ao gráfico de y = Mostre que a reta de equação y = é tangente à curva de equação y = Encontre o ponto de tangência. Respostas: dy ) a) 8 5 dy 5 dy 60 9 = + 9. b) =. c) = +. d d d dy d) =. ) 6 9. ) 0. d 7 ) Esse limite é igual a 6) y = +. 7) 000 d = = ) y =. d y = em = e y = em =. 8) (, ).

23 a se < 9. Considere a função dada por f ( ) = se =. + b + c se > a) Encontre uma relação entre a, b e c para que f seja contínua em =. b) Determine os valores de a, b e c para que f seja derivável em =. 0. Derive: a) y = e +5 b) y =. cos c) y = sen ( ln ( ) ). Qual é o domínio dessa função? Qual é o domínio da derivada y? 7 d) y = ( 5 + 9) e) e + y = ( + + 7) 5 9 f) y = ( + ) ( + + ) g) y = e h) y = ln( ) tg( ln( sen ) ) ln i) y = e j) y = e k ) y = ln(cos). Mostre que h(t) = t não é derivável em t =. π π. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de y = sen( ) + cos( ) no ponto de abscissa =. + h( ). Seja f ( ) =. Se h é derivável, h() = e h () = 0, calcule f ().. Suponha que h() seja uma função derivável e que f() = h( 5 ). Determine f (). 5. Em cada caso, verifique se a derivada eiste. Em caso afirmativo escreva a epressão de f (). sen se 0 sen se 0 a) f ( ) = b) f ( ) = 0 se = 0 0 se = 0 Respostas: 9) a ) a = ; b + c =. b ) a = ; b = ; c =. dy +5 dy sen dy cos( ln( ) ) 0) a) = e. b ) = = sec tg. c) =, para <0. d d cos d d) dy 6 = 7( 5 + 9) ( 0 + ). d dy e) e + 6 = d dy f) = ( )( + ) ( + + ) + 9( 0 + )( + + )( + ). d dy g) = ( ) e. h) dy dy =. i ) ( ) ( ) tg( ln( sen ) ) = cot g sec ( ln sen ) e d d d dy dy j) =. k) = tg. ) π π y =. ) 6. ) f () = 5 h ( 5 ). d d 5) a ) f ( ) = sen cos se 0. A derivada não eiste em = 0. b ) f ( ) = sen cos se 0 e f ( 0 ) = 0.

24 6. Um avião, à velocidade constante de 500 km/h, voa horizontalmente a uma altitude de.000 metros e passa diretamente sobre uma estação de radar. Encontre a taa segundo a qual a distância do avião até a estação está crescendo quando ele está a.000 metros da estação. 7. Uma luz situa-se no topo de um poste de 5 m. Um homem com,80 m de altura afasta-se desse poste com uma velocidade de m/s. Quando o homem estiver a 0 m do poste, determine: a) a taa de variação do comprimento de sua sombra. b) a velocidade do topo de sua sombra. 8. Dois carros partem de um mesmo ponto. Um viaja para o sul a 60 km/h, e o outro para oeste a 5 km/h. A que taa está aumentando a distância entre os carros duas horas depois da partida? 9. A altura de um triângulo cresce a uma taa de cm/min, enquanto sua área cresce a uma taa de cm /min. A que taa estará variando a base desse triângulo quando sua altura for 0 cm e sua área 00 cm? 0. Ao meio-dia, um navio A está 00 km a oeste do navio B. O navio A está navegando para o sul a 5 km/h, e o navio B está indo para o norte a 5 km/h. Quão rápido estará variando a distância entre eles às horas da tarde?. O volume de um cubo está aumentando à taa de cm por segundo. Com que taa estará variando a área de uma de suas faces quando sua aresta tiver 0 cm?. Uma partícula está se movendo ao longo do gráfico da função f ( ) =. Quando a partícula passa pelo ponto (, ), sua coordenada está crescendo a taa de cm/s. Quão rápido está variando a distância dessa partícula à origem, nesse instante?. Um papagaio (pipa) a 00 metros acima do solo move-se horizontalmente a uma velocidade de metros por segundo. A que taa estará decrescendo o ângulo entre a linha e a horizontal depois de terem sido soltos 00 metros de linha?. Dois lados de um triângulo medem m e 5 m, e o ângulo entre eles está crescendo a uma taa de 0,06 radianos por segundo. a) Encontre a taa segundo a qual estará variando o comprimento do terceiro lado desse triângulo quando o ângulo entre os lados de comprimento fio for π /. b) Encontre a taa segundo a qual a área desse triângulo estará crescendo quando o ângulo entre os lados de comprimento fio for π /. 5. Um farol está localizado em uma ilha, e a distância entre ele e o ponto mais próimo P em uma praia reta no continente é de km. Sua luz faz quatro revoluções por minuto. Quão rápido estará se movendo o feie de luz ao longo da praia quando ele estiver a km do ponto P? Respostas: 9 6) 50 km/h. 7) a ) 75 m/s; b ) m/s. 8) 65 km/h. 9) -,6 cm/min. 0) ) a ) 70 km/h. ) cm /s. ) 5 0,6 7 m/s; b ) 0, m /s. 5) π cm/s. ) R ) rad/s km/min.

25 6. Um velocista corre em uma pista circular de raio 00 m, a uma velocidade constante de 7 m/s. Seu amigo está em pé a uma distância de 00 m do centro da pista. Quão rápido estará variando a distância entre eles quando a distância entre eles for de 00 m? 7. Encontre os pontos P e Q, sobre a parábola y =, de forma que o triângulo ABC formado pelo eio e pelas retas tangentes a parábola em P e Q seja eqüilátero. 8. A figura mostra um círculo de raio inscrito na parábola de equação y =. Determine as coordenadas do centro desse círculo. Respostas: 7 5 6) m/s. 7) P =, e 5 Q =,. 8) 0,.

26 9. A figura mostra uma roda giratória de 0 cm de raio e uma barra de coneão AP de comprimento fio, m. O pino P pode escorregar para frente e para trás ao longo do eio à medida que a roda gira no sentido anti-horário a uma taa de 60 revoluções por minuto. Encontre uma epressão para a velocidade do pino P em termos do ângulo θ, indicado na figura. 0. Um bote é puado em direção ao ancoradouro por uma corda que está atada à sua proa e que passa por uma polia sobre o ancoradouro, que está m mais alto do que a proa desse bote. Se a corda for puada a uma taa de m/s, quão rápido o bote aproima-se do ancoradouro, quando ele estiver a 8 m dele?. A curva seguinte é a representação geométrica da equação y = Ache a equação da reta tangente a essa curva no ponto (,) -. cos θ + cos θ 8 sen θ d Respostas: 9) 88 + = dt cos θ + 8 ) y =. + m/s. 0) 65 m/s. 8

27 - Cálculo : Lista de eercícios - Taas Relacionadas. Um tanque tem a forma de um cone invertido, tendo uma altura de 6 m e uma base com raio de m. A água está fluindo dentro do tanque a uma vazão de m /min. Quão rápido se elevará o nível de água quando a água estiver com 5 m de profundidade? R: /(5π)m/min. Um tanque de água tem a forma de um cone circular invertido com base de raio m e altura igual a m. Se água está sendo bombeada dentro do tanque a uma taa de m /min, encontre a taa na qual o nível de água está elevando quando a água está a m de profundidade. R: 8/(9π)m/min. Uma escada de m de comprimento está apoiada em uma parede. Se a base da escada desliza, afastando-se da parede a uma taa de m/s, quão rápido o topo da escada escorrega para baio quando a base está a m da parede? R: /m/s. Um homem anda a m/s e um holofote o acompanha a 0 m do caminho. A que taa o holofote está girando quando o homem está a 5 m do ponto mais próimo da luz? R: /65rad/s 5. A Lei de Boyle estabelece que quando uma amostra de gás está a uma temperatura constante, a pressão P e o volume V satisfazem a equação P V = C, em que C é uma constante. Suponha que em um certo instante o volume é 600 m, a pressão é 50 kp a e a pressão cresce a uma taa de 0 kp a/min. A que taa está decrescendo o volume nesse instante? R: 80m /min 6. Quando o ar epande adiabaticamente (sem troca de energia térmica), sua pressão P e o volume V estão relacionados pela equação P V, = C, em que C é uma constante. Suponha que em um certo instante o volume é 00 cm, a pressão é 80 kp a e a pressão cresce a uma taa de 0 kp a/min. A que taa está decrescendo o volume nesse instante? R: 5, 7cm /min 7. Uma queimadura na pele de uma pessoa tem a forma de um círculo. Se o raio da queimadura está decrescendo a uma taa de 0,05 cm por dia quando ele é cm, qual a taa de decréscimo da área da queimadura nesse instante? R: π/0cm /dia 8. Suponha que numa farmácia P seja o preço da caia de um determinado remédio, o número de milhares de caias desse remédio ofertadas diariamente, sendo a equação de oferta P 0P + 05 = 0. Se a oferta diária está decrescendo a uma taa de 50 caias do remédio por dia, em que taa os preços estão variando quando a oferta diária é de 5000 caias? R: 0, 05reais/dia 9. O carro A está indo para o oeste a 50 Km/h e o carro B está indo para norte a 60 Km/h. Ambos estão dirigindo para a interseção de duas ruas. A que taa os carros estão se aproimando um do outro quando o carro A está a 0, Km e o carro B está a 0, Km da interseção? R: Os carros se aproimam um do outro a uma taa de 78Km/h. 0. Um quadrado se epande de modo que seu lado varia à razão de 6 cm/s. Determine a taa de variação da área do quadrado no instante em o lado meça 0 cm. R: 0cm /s. O raio de uma bola cresce à razão cm/s. Determine a taa de variação do volume da bola no instante em que o raio é 8 cm. R: 768πcm /s. Uma escada de 5 m de comprimento se apóia em uma parede vertical. A etremidade inferior da escada se afasta da parede a uma razão de 0,8 m/s. Quão rapidamente está descendo a etremidade superior da escada no instante em que a etremidade inferior estiver a m da parede? R: -0,6 m/s. Um homem anda ao longo de uma estrada reta a uma velocidade de m/s. Um farol giratório que está a 6 m da estrada focaliza o homem. A que taa o farol está girando, quando o homem estiver a m do ponto do caminho mais próimo do farol? R: / rad/s. Dois carros partem de um mesmo ponto. Um viaja para o sul a 60 km/h, e o outro para oeste a 5 km/h. A que taa está aumentando a distância entre os carros duas horas depois da partida? R: 65m/s 5. O volume de um cubo está aumentando à taa de cm por segundo. Com que taa estará variando a área de uma de suas faces quando sua aresta tiver 0 cm? R: 5cm /s

28 - Cálculo : Lista de eercícios - Derivadas. Para cada função f dada, calcule a derivada indicada: (a) f() = , d5 y d 5 ; (b) f() = sen, d7 y d 7 ; (c) f() =, dn y d n ;. Determine a derivada de ordem n de y = ln.. Derive: (a) y = arctan(arcsen); (b) y = ln(sec + tg); (c) y = ; (d) y = arcsen( ); (e) y = arcsen(e ).. Determine para quais valores de cada função a seguir está definida: a) y = arcsen( + ) b) y = arccos(e 5) c) y = arctg( + ) 5. Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de cada função a seguir: a) y = b) y = Determine os pontos críticos de cada função a seguir: a) y = + b) f() = + ++ c) y = / d) y = /5 7. Determine, se eistirem, os valores máimos e mínimos de cada função a seguir, no intervalo indicado: a) y = +, [0, ] b) y = ( ), [, ] c) g(t) = t t, [, ] d) y = sen, [ π, ] π, e) y = e e, (, + ) f) y = +, na reta. Respostas:. (a) d5 y d = 0; (b) d7 y 5 d = cos, (c) dn y 7 d = ( )n n! n n+. d n ln d n = ( )n (n )! n. (a) y = (+arcsen ) ; (b) y = sec; (c) y = ( + ln ); (d) y = (e) y = e (e ). (a) 0; (b) ln ln 6, (c) < < + 5. (a) Cresce para 0 < < e < < +, decresce para < < 0 e < <. (b) Cresce para < < 0 e < < +, decresce para 0 < <. 6. (a) = e = /; (b) = e = 0; (c) = 0; (d) = (a) Máimo: y = 9 em = ; Mínimo: y = em = ; (b) Máimo: y = 7 em = ; Mínimo: y = em = 0; (c) Máimo: g = em t = ; Mínimo: g = em t = ; (d) Máimo: y = π em = π ; Mínimo: y = + π em = π ; (e) Não tem máimo nem mínimo em < < ; (f) Não tem máimo nem mínimo em < <.

29 - Cálculo : Lista de eercícios 5 - Regra de L Hospital e Construção de Gráficos. Calcule os limites: ln a) lim 0 + ( ) d) lim tan + g) lim + e j) lim sen ln 0 + m) lim + + p) lim 0 arctan sen b) lim 0 sen tan e) lim π/ tan() h) lim 0 + ln sen() k) lim 0 + n) lim 0 + tan sen q) lim + (ln ) c) lim + f) lim 0 tan(p) tan(q), q 0 i) lim e l) lim + ln ( o) lim 0 ) sen ( r) lim + a ) b + ( ) s) lim t) lim (e + ) / ( ) + u) lim ln v) lim ()p/ w) 0 + lim 0 + (cos)/ ) lim 0 ( ) / Respostas: a) b) /6 c) 0 d) e) f) p/q g) 0 h) 0 i) 0 j) 0 k) 0 l) + m) / n) o) 0 p) q) r) e ab s) /e t) e u) e 8 v) e p w) e / ) e

30 . Esboce os gráficos das funções abaio, indicando, quando eistirem, os pontos críticos, pontos de máimo e mínimo locais, pontos de infleão, assíntotas, intervalos de crescimento e decrescimento e a concavidade do gráfico. a) y = + 5 b) y = c) y = d) y = 6 + e) y = + g) y = e h) y = e f) y = ( ) i) y = ln j) y = ln k) y = 5 / 5/ l) y = /

31

32 - Cálculo : Lista de eercícios - Otimização. Encontre o ponto sobre a resta y = + 7 que está mais próimo da origem. R: (-8/7,7/7). Se r() é a receita proveniente da venda de ítens, c() é o custo da produção de ítens e p() = r() c() é o lucro sobre a venda de ítens, então, o retorno (receita), o custo e o lucro marginais provenientes desse nível de produção ( ítens) são dados, respectivamente por dr d, dc d, dp d. Suponha que r() = 9, c() = 6 + 5, em que representa milhares de unidades. Há um nível de produção que maimize o lucro? Se houver, qual é? Há um nível de produção que minimize o custo? R: Sim: = + mil unidades ou = mil unidades. Não.. Calcule a quantidade de medicamento à qual o organismo é mais sensível determinando o valor de M 0 que maimiza a derivada dr/dm, sendo ( C R = M M ) e C uma constante. R: M = C/. Quando tossimos, a traquéia se contrai e aumenta a velocidade do ar que passa. Isso levanta questões sobre o quanto deveria se contrair para maimizar a velocidade e se ela realmente se contrai tanto assim quando tossimos. Considerando algumas hipóteses razoáveis sobre a elasticidade da parede da traquéia e de como a velocidade do ar próimo às paredes é reduzida pelo atrito, a velocidade média v do fluo de ar pode ser modelada pela equação v = c(r 0 r)r r 0 cm/s, r r 0, em que r 0 é o raio, em centímetros, da traquéia em repouso e c é uma constante positiva, cujo valor depende, em parte, do comprimento da traquéia. Demonstre que v é a maior quando r = /r 0, ou seja, quando a traquéia está cerca de % contraída. 5. Quando o estanho metálico é mantido abaio de, o C, lentamente se torna quebradiço e acaba por se esfarelar, tornando-se um pó cinza. Um catalisador para uma reação química é uma substância que aumenta a velocidade da reação sem sofrer nenhuma mudança permanente. Uma reação autocatalítica é aquela em que o produto é o catalisador de sua própria formação. Quando tanto a substância original quanto o produto catalisador são abundantes, a reação ocorre mais rapidamente. Em alguns casos, é razoável admitir que a velocidade de reação v = d/dt é proporcional tanto à quantidade de substância original quanto à quantidade de produto. Ou seja, v pode ser epressa por v = k(a ) = ka k, sendo a quantidade de produto, a é a quantidade de substância no início e k é uma constante positiva. Com que valor de a velocidade v apresenta um máimo? Qual o valor máimo de v? R: = a/ e v = ka / 6. Um observatório será construído na forma de um cilindro circular reto com uma abóboda esférica como cobertura. Se o custo da construção da abóboda será duas vezes mais caro que na parede do cilindro quais deverão ser as proporções mais econômicas do observatório supondo que o volume é fio? R: r 0 = [V/(8π)] / e h = [V/(9π)] / /[V/π] /. 7. Uma pulga, ao saltar, teve sua posição no espaço descrita em função do tempo pela epressão h(t) = t 5t, sendo h a altura atingida, em metros e t em segundos. Em que instante a pulga atinge a altura máima do solo? R: 0, segundos. 8. O produto de dois números positivos é 00. Determine esses números sabendo que a soma deles tem o menor valor possível. R: 0 e Determine dois números cuja soma seja 5 e cujo produto seja máimo. R: 5/ e 5/.

33 0. Encontre o ponto da reta de equação y = + mais próimo do ponto (, ). Qual é a distância mínima? R: (-,7;-,) e a distância é 8,.. Uma área retangular de 080m será cercada e dividida, também por meio de cercas, conforme a figura: Cada metro de cerca eterna custa R$9,00 e cada metro da cerca usada nas divisões internas custa R$6,00. Encontre as dimensões da região retangular que minimizarão o custo total. R: 6m e 0 m.. Determine as dimensões do retângulo de maior área possível que pode ser inscrito na elipse de equação Qual é a área desse retângulo? R: e, com área igual a. 9 + y =.. A área do piso de uma loja retangular é 5m. De suas quatro paredes de mesma altura, as três laterais devem ser de tijolos e a da frente de vidro. O metro quadrado da parede de vidro custa o dobro do preço do metro quadrado da parede de tijolos. Quais as dimensões da loja que minimizarão o custo total do material usado nessas quatro paredes? R: 0m e 5 0 m.. Um arame de 0 cm de comprimento deve ser cortado em dois pedaços, um para formar um quadrado e outro para formar um triângulo equilátero. Como se deve cortar o arame para que a soma das áreas do quadrado e do triângulo seja: a) máima? b) mínima? R: (a) usar todo o arame para o quadrado. (b) usar cm para o quadrado e cm para o triângulo. 5. Um cartaz deve ter uma área de 600 cm para a mensagem a ser impressa; as margens no topo e na base devem cada uma 7,5 cm e de 5 cm nas margens laterais. Determine as dimensões do cartaz para que seja mínima as quantidade de papel usada. R: largura: 0 cm e altura 5 cm. 6. Dentre todos os triângulos isósceles de perímetro fio, mostre que o de maior área é o equilátero. 7. Uma pessoa está no ponto A da margem de um rio e deseja chegar ao ponto B na margem oposta, fazendo o percurso indicado na figura abaio. Sabendo que pode se deslocar na margem a uma velocidade de 0 m/s e na água a uma velocidade de 5 m/s, determine o ângulo α de modo que ela vá de A até B no menor tempo possível. Sabe-se que a distância entre A e B é 500 m e a largura do rio é 00 m. R: α = π/.

34 Seta lista de eercícios. Calcule, em cada caso, a área indicada: a) y b) y y = - - y = c) y d) y y = + - y = + _ e) y y = f) y y = - y = - + y = -

35 g) y h) y y = y = y = y = 8 - y = i) j) y y y = - 8 y = - + y = y = - y = k) y y = cos ( / ) y = sen π

36 . Determine a diferencial de cada função a seguir: a) u = + 5 b) y = t 5t + 6 c) u = ln. Calcule as seguintes integrais indefinidas: a) d c) + d d) e 7cos(5 )) + b) d ( ( 6 + )( + ) d + (ln ) e) d 5 sen cos d g) h) i) cos d d sen e sen( e cos( e ) f) d j) (Sugestão: escreva sen = sen sen). k) d cos sen d (Sugestão: faça u = ) l) (Sugestão: escreva cos = cos.cos). m) tg( ) d n) ) d sec ( y) tg( ) y dy 5 o) + d p) + d q) d r) ln d s) u) + d + t) d e t t e + dt. Calcule as seguintes integrais definidas: a) ( ) d. b) d c) d + + d) e dv v ln v e) e u u du f) π / 0 senθ dθ cos θ g) + d h) d + 5 i) 0 ( + 5) d

37 G ( ) = ft ( ) dt f (t) 5. Considere, onde é a função cujo gráfico esta representado na figura a seguir. 0 Sabendo que as áreas das regiões,, e R são A( R ) =, A( R ) =, A( R ) = e A( R ) =, R R R a) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento da função G. b) Determine os pontos de máimo e de mínimo local da função G. c) Marque no eio os pontos de infleão da função G. d) Determine os intervalos onde o gráfico de G possui concavidade para cima e onde possui concavidade para baio. e) Calcule G(0), G(), G(), G () e G(). f) Determine os pontos de máimo e de mínimo absolutos da função G no intervalo [ 0, ]. g) Faça um esboço do gráfico da função G. 6. Em cada item, determine a função f sabendo que: a) f '( ) = + e que f () = 5. b) f '( ) = e que f (0) =. c) f ( ) = + cos( ) e que f (0) = e f (0) = Determine os possíveis valores de b para que ( 6) d = Em cada item, esboce a região limitada pelas curvas dadas e calcule a área dessa região. b 0 = + y a) y = 5 e y 6 5. b) = e y =. c) y = +, y = 9, e = =. d) y = e y =. y = sen y cos e), =, = 0 e = π. f) + y = e = y. g) = y e = y h) y ( ) = e y = 0.

38 9. Calcule a área entre o gráfico de y = e sua reta tangente em =. se: 0. Em cada item calcule f ( ) a) ( ) cos( ) f = t dt. b) cos( ) = dt c) f ( ) t + t dt. f ( ) = RESPOSTAS: 0 ) a) b) c) d) e) f) 6 ) a) du=d b) dy = ( 6t 5)dt c) ) a) 5 ( + ) d) ln + d du = g) + b) + arcsen( ) 8 8 e) ln ( ln ) h) 6 c) + f) ln( ) 5arctg( ) ( ) h) ln cos( e ) i) sen cos + j) cos + 5 sen sen tg y l) m) ln cos n) arctg 5 ( ) q) + 6( ) + ln( t t) ( e ) i) e 7sen g) k) ( ) ) r) ln ( ) j) k) 6 ( 5) sen 6 6 ( 5 ) ( ) o) ( ) p) ( ln( + ) + s) ln( + ) arctg( ) arctg u) 7 6 ) a) -9 b) ( 9 ) c) 0 d) e) f) g) 0 h) ln i) ) a) b) ln c) cos ) a) 9 b) c) d) e) ( ) f) g) h) 7 9) 0) a) ( ) cos b) cos ( ) sen( ) 7) 0, ± c) ( ) + 5

39 MAT00 Cálculo Diferencial e Integral Sétima lista de eercícios. Calcule cada uma das integrais indefinidas a seguir: a) cos d b) ln c) sen d d) arctg d ( ) e) e sen( ) d f) d ln d g) arctg d h) d. Calcule cada uma das integrais definidas a seguir: a) ln d b) e d c) d 0 ( + ). Calcule a área da região limitada pelo gráfico de y = ln e y = 0 de =. = a e. Decomponha cada função racional a seguir em soma de frações parciais, sem determinar as constantes: a) b) ( )( + 5) ( ) ( ) 5. Calcule as seguintes integrais indefinidas: a) ( )( + 5) d + b) d + 6. Calcule as seguintes integrais definidas: 0 + a) d ( + )( ) b) d 0 ( )( + 7)

40 7. Calcule as seguintes integrais impróprias: (a) 0 (d) (g) d + 9 d 9 d (b) d 0 (c) (e) e d (f) (h) d d + (i) ( ) ln d 0 d Calcule a área de cada uma das regiões indicadas abaio. (a) S = (, y) ln e 0 y (b) S = {(, y) 0 e ln y 0} (c) S = {(, y) 0 e ln y 0} (d) S ( y) {, 0 e e 0} = y Observação: sinta-se convidado a fazer o esboço de cada uma dessas regiões. Respostas: ) a) sen + cos + C b) ln + C 6 c) cos + sen + cos + C d) arctg ln + + ( ) C e 5 + e) ( cos( ) + sen ( ) ) C g) ( arctg + arctg ) + C ) a) ln b) c) e ) a) A B b) π 8 f) ln ln + 6 ln 6 + C arcsen h) + + C ) e A B C D + E F + G ( ) ( ) + ( ) 5) a) ln ln ( + 5) + C b) ln ln + + C 6) a) c) ln b) 7 5ln 7ln 8 7) a) diverge b) diverge d) diverge e) 0 f) diverge g) -6 h) diverge i) diverge 8) a) b) c) d)

Resolução dos Exercícios sobre Derivadas

Resolução dos Exercícios sobre Derivadas Resolução dos Eercícios sobre Derivadas Eercício Utilizando a idéia do eemplo anterior, encontre a reta tangente à curva nos pontos onde e Vamos determinar a reta tangente à curva nos pontos de abscissas

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E BIOLÓGICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E BIOLÓGICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E BIOLÓGICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Quarta lista de Eercícios de Cálculo Diferencial e Integral I - MTM 1 1. Nos eercícios a seguir admita

Leia mais

As listas de exercícios podem ser encontradas nos seguintes endereços: ou na pasta J18, no xerox (sala1036)

As listas de exercícios podem ser encontradas nos seguintes endereços:  ou na pasta J18, no xerox (sala1036) As listas de eercícios podem ser encontradas nos seguintes endereços: www.mat.ufmg.br/calculoi ou na pasta J8, no ero (sala06) TERCEIRA LISTA DE EXERCÍCIOS. Derive: a) y = 6 + b) y = c) d) y = + y = 0

Leia mais

9. Derivadas de ordem superior

9. Derivadas de ordem superior 9. Derivadas de ordem superior Se uma função f for derivável, então f é chamada a derivada primeira de f (ou de ordem 1). Se a derivada de f eistir, então ela será chamada derivada segunda de f (ou de

Leia mais

PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO

PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO (Tóp. Teto Complementar) PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 1 PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO Este teto estuda um grupo de problemas, conhecido como problemas de otimização, em tais problemas, quando possuem soluções, é

Leia mais

C Curso destinado à preparação para Concursos Públicos e Aprimoramento Profissional via INTERNET www.concursosecursos.com.br RACIOCÍNIO LÓGICO AULA 9

C Curso destinado à preparação para Concursos Públicos e Aprimoramento Profissional via INTERNET www.concursosecursos.com.br RACIOCÍNIO LÓGICO AULA 9 RACIOCÍNIO LÓGICO AULA 9 TRIGONOMETRIA TRIÂNGULO RETÂNGULO Considere um triângulo ABC, retângulo em  ( = 90 ), onde a é a medida da hipotenusa, b e c, são as medidas dos catetos e a, β são os ângulos

Leia mais

A abordagem do assunto será feita inicialmente explorando uma curva bastante conhecida: a circunferência. Escolheremos como y

A abordagem do assunto será feita inicialmente explorando uma curva bastante conhecida: a circunferência. Escolheremos como y 5 Taxa de Variação Neste capítulo faremos uso da derivada para resolver certos tipos de problemas relacionados com algumas aplicações físicas e geométricas. Nessas aplicações nem sempre as funções envolvidas

Leia mais

Taxas Relacionadas. Começaremos nossa discussão com um exemplo que descreve uma situação real.

Taxas Relacionadas. Começaremos nossa discussão com um exemplo que descreve uma situação real. 6/0/008 Fatec/Tatuí Calculo II - Taxas Relacionadas 1 Taxas Relacionadas Um problema envolvendo taxas de variação de variáveis relacionadas é chamado de problema de taxas relacionadas. Os passos a seguir

Leia mais

2. Função polinomial do 2 o grau

2. Função polinomial do 2 o grau 2. Função polinomial do 2 o grau Uma função f: IR IR que associa a cada IR o número y=f()=a 2 +b+c com a,b,c IR e a0 é denominada função polinomial do 2 o grau ou função quadrática. Forma fatorada: a(-r

Leia mais

FICHA DE TRABALHO DERIVADAS I PARTE. 1. Uma função f tem derivadas finitas à direita e à esquerda de x = 0. Então:

FICHA DE TRABALHO DERIVADAS I PARTE. 1. Uma função f tem derivadas finitas à direita e à esquerda de x = 0. Então: FICHA DE TRABALHO DERIVADAS I PARTE. Uma função f tem derivadas finitas à direita e à esquerda de = 0. Então: (A) f tem necessariamente derivada finita em = 0; (B) f não tem com certeza derivada finita

Leia mais

Conjuntos numéricos. Notasdeaula. Fonte: Leithold 1 e Cálculo A - Flemming. Dr. Régis Quadros

Conjuntos numéricos. Notasdeaula. Fonte: Leithold 1 e Cálculo A - Flemming. Dr. Régis Quadros Conjuntos numéricos Notasdeaula Fonte: Leithold 1 e Cálculo A - Flemming Dr. Régis Quadros Conjuntos numéricos Os primeiros conjuntos numéricos conhecidos pela humanidade são os chamados inteiros positivos

Leia mais

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 1) Considerações gerais sobre os conjuntos numéricos. Ao iniciar o estudo de qualquer tipo de matemática não podemos provar tudo. Cada vez que introduzimos um novo conceito precisamos defini-lo em termos

Leia mais

Lista de exercícios Trigonometria Problemas Gerais. Parte 1 : Tangente da soma e da diferença de arcos e tangente do dobro de um arco

Lista de exercícios Trigonometria Problemas Gerais. Parte 1 : Tangente da soma e da diferença de arcos e tangente do dobro de um arco Lista de eercícios Trigonometria Problemas Gerais Prof ºFernandinho Parte 1 : Tangente da soma e da diferença de arcos e tangente do dobro de um arco 01.(Fuvest) Se é um ângulo tal que 0 < < 90 e sen =,

Leia mais

11. Problemas de Otimização

11. Problemas de Otimização 11. Problemas de Otimização Nesta seção veremos vários eemplos de problemas cujas soluções eigem a determinação de valores máimos e/ou mínimos absolutos das funções que os representam. São chamados de

Leia mais

Lista de Exercícios 3 1

Lista de Exercícios 3 1 Universidade Federal de Ouro Preto Departamento de Matemática MTM122 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 1 Encontre os pontos críticos das funções a seguir: Lista de Eercícios 1 a f = + 7 2 5 b g = 7/ +

Leia mais

Capítulo 5: Aplicações da Derivada

Capítulo 5: Aplicações da Derivada Instituto de Ciências Exatas - Departamento de Matemática Cálculo I Profª Maria Julieta Ventura Carvalho de Araujo Capítulo 5: Aplicações da Derivada 5- Acréscimos e Diferenciais - Acréscimos Seja y f

Leia mais

Assunto: Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo. 1) Calcule o seno, o co-seno e a tangente dos ângulos indicados nas figuras:

Assunto: Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo. 1) Calcule o seno, o co-seno e a tangente dos ângulos indicados nas figuras: Assunto: Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo 1) Calcule o seno, o co-seno e a tangente dos ângulos indicados nas figuras: b) 15 5 α α 1 resp: sen α =/5 cos α = /5 tgα=/ resp: sen α = 17 cos α

Leia mais

x 1 f(x) f(a) f (a) = lim x a

x 1 f(x) f(a) f (a) = lim x a Capítulo 27 Regras de L Hôpital 27. Formas indeterminadas Suponha que desejamos traçar o gráfico da função F () = 2. Embora F não esteja definida em =, para traçar o seu gráfico precisamos conhecer o comportamento

Leia mais

6. Aplicações da Derivada

6. Aplicações da Derivada 6 Aplicações da Derivada 6 Retas tangentes e normais - eemplos Encontre a equação da reta tangente e da normal ao gráfico de f () e, em 0 Represente geometricamente Solução: Sabemos que a equação da reta

Leia mais

Funções. Funções. Você, ao longo do curso, quando apresentado às disciplinas de Economia, terá oportunidade de fazer aplicações nos cálculos

Funções. Funções. Você, ao longo do curso, quando apresentado às disciplinas de Economia, terá oportunidade de fazer aplicações nos cálculos Funções Funções Um dos conceitos mais importantes da matemática é o conceito de função. Em muitas situações práticas, o valor de uma quantidade pode depender do valor de uma segunda. A procura de carne

Leia mais

Exercícios de Cálculo I - CM041

Exercícios de Cálculo I - CM041 Eercícios de Cálculo I - CM4 Prof. José Carlos Corrêa Eidam DMAT/UFPR Disponível no sítio people.ufpr.br/ eidam/inde.htm o. semestre de Parte Limites de funções. Calcule os seguintes limites, caso eistam:

Leia mais

Universidade Federal de Viçosa Departamento de Matemática 3 a Lista de exercícios de Cálculo III - MAT 241

Universidade Federal de Viçosa Departamento de Matemática 3 a Lista de exercícios de Cálculo III - MAT 241 Universidade Federal de Viçosa Departamento de Matemática a Lista de exercícios de Cálculo III - MAT 41 1. Calcule, se existirem, as derivadas parciais f f (0, 0) e (0, 0) sendo: x + 4 (a) f(x, ) = x,

Leia mais

3ª série EM - Lista de Questões para a RECUPERAÇÃO FINAL - MATEMÁTICA

3ª série EM - Lista de Questões para a RECUPERAÇÃO FINAL - MATEMÁTICA 3ª série EM - Lista de Questões para a RECUPERAÇÃO FINAL - MATEMÁTICA 01. Um topógrafo pretende calcular o comprimento da ponte OD que passa sobre o rio mostrado na figura abaio. Para isto, toma como referência

Leia mais

APLICAÇÕES DA DERIVADA

APLICAÇÕES DA DERIVADA Notas de Aula: Aplicações das Derivadas APLICAÇÕES DA DERIVADA Vimos, na seção anterior, que a derivada de uma função pode ser interpretada como o coeficiente angular da reta tangente ao seu gráfico. Nesta,

Leia mais

= ; a = -1, b = 3. 1 x ; a = -1, b = 0. M > 0 é um número real fixo. Prove que quaisquer que sejam x, y em I temos f ( x) < x.

= ; a = -1, b = 3. 1 x ; a = -1, b = 0. M > 0 é um número real fixo. Prove que quaisquer que sejam x, y em I temos f ( x) < x. INSTITUTO DE MATEMÁTICA -UFBA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA LIMITES E DERIVADAS MAT B a LISTA DE EXERCÍCIOS - 008. - Prof a Graça Luzia Dominguez Santos. Prove que entre duas raízes consecutivas de uma função

Leia mais

Potenciação no Conjunto dos Números Inteiros - Z

Potenciação no Conjunto dos Números Inteiros - Z Rua Oto de Alencar nº 5-9, Maracanã/RJ - tel. 04-98/4-98 Potenciação no Conjunto dos Números Inteiros - Z Podemos epressar o produto de quatro fatores iguais a.... por meio de uma potência de base e epoente

Leia mais

TIPO DE PROVA: A. Questão 1. Questão 4. Questão 2. Questão 3. alternativa D. alternativa A. alternativa D. alternativa C

TIPO DE PROVA: A. Questão 1. Questão 4. Questão 2. Questão 3. alternativa D. alternativa A. alternativa D. alternativa C Questão TIPO DE PROVA: A Se a circunferência de um círculo tiver o seu comprimento aumentado de 00%, a área do círculo ficará aumentada de: a) 00% d) 00% b) 400% e) 00% c) 50% Aumentando o comprimento

Leia mais

INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Terminologia e Definições Básicas No curso de cálculo você aprendeu que, dada uma função y f ( ), a derivada f '( ) d é também, ela mesma, uma função de e

Leia mais

Lista 4. 2 de junho de 2014

Lista 4. 2 de junho de 2014 Lista 4 2 de junho de 24 Seção 5.. (a) Estime a área do gráfico de f(x) = cos x de x = até x = π/2 usando quatro retângulos aproximantes e extremidades direitas. Esboce os gráficos e os retângulos. Sua

Leia mais

Rafael A. Rosales 29 de maio de Diferencial 1. 4 l Hôpital 3. 5 Série de Taylor 3 01.

Rafael A. Rosales 29 de maio de Diferencial 1. 4 l Hôpital 3. 5 Série de Taylor 3 01. Departamento de Computação é Matemática Cálculo I USP- FFCLRP Física Médica Rafael A. Rosales 9 de maio de 07 Sumário Diferencial Teorema do Valor Médio 3 Máimos e Mínimos. Gráficos 4 l Hôpital 3 5 Série

Leia mais

Apostila de Matemática Aplicada. Volume 1 Edição 2004. Prof. Dr. Celso Eduardo Tuna

Apostila de Matemática Aplicada. Volume 1 Edição 2004. Prof. Dr. Celso Eduardo Tuna Apostila de Matemática Aplicada Volume Edição 00 Prof. Dr. Celso Eduardo Tuna Capítulo - Revisão Neste capítulo será feita uma revisão através da resolução de alguns eercícios, dos principais tópicos já

Leia mais

Problemas de O-mização. Material online: h-p://www.im.ufal.br/professor/thales/calc1-2010_2.html

Problemas de O-mização. Material online: h-p://www.im.ufal.br/professor/thales/calc1-2010_2.html Problemas de O-mização Material online: h-p://www.im.ufal.br/professor/thales/calc1-2010_2.html Roteiro para resolver problemas de o-mização 1. Compreenda o problema a) O que é desconhecido? b) Quais as

Leia mais

Lista 1 Cinemática em 1D, 2D e 3D

Lista 1 Cinemática em 1D, 2D e 3D UNIVERSIDADE ESTADUAL DO SUDOESTE DA BAHIA DEPARTAMENTO DE ESTUDOS BÁSICOS E INSTRUMENTAIS CAMPUS DE ITAPETINGA PROFESSOR: ROBERTO CLAUDINO FERREIRA DISCIPLINA: FÍSICA I Aluno (a): Data: / / NOTA: Lista

Leia mais

Escola: ( ) Atividade ( ) Avaliação Aluno(a): Número: Ano: Professor(a): Data: Nota:

Escola: ( ) Atividade ( ) Avaliação Aluno(a): Número: Ano: Professor(a): Data: Nota: Escola: ( ) Atividade ( ) Avaliação Aluno(a): Número: Ano: Professor(a): Data: Nota: Questão 1 (OBMEP RJ) Num triângulo retângulo, definimos o cosseno de seus ângulos agudos O triângulo retângulo da figura

Leia mais

Exercícios de Matemática Geometria Analítica Cônicas

Exercícios de Matemática Geometria Analítica Cônicas Eercícios de Matemática Geometria Analítica Cônicas ) (ITA-004) Considere todos os números z = + i que têm módulo e estão na elipse + 4 = 4. Então, o produto deles é igual a 9 49 8 4 ) (VUNESP-00) A figura

Leia mais

ATENÇÃO: Escreva a resolução COMPLETA de cada questão no espaço reservado para a mesma.

ATENÇÃO: Escreva a resolução COMPLETA de cada questão no espaço reservado para a mesma. 2ª Fase Matemática Introdução A prova de matemática da segunda fase é constituída de 12 questões, geralmente apresentadas em ordem crescente de dificuldade. As primeiras questões procuram avaliar habilidades

Leia mais

EXERCÍCIOS DE REVISÃO PFV - GABARITO

EXERCÍCIOS DE REVISÃO PFV - GABARITO COLÉGIO PEDRO II - CAMPUS SÃO CRISTÓVÃO III 1ª SÉRIE MATEMÁTICA I PROF MARCOS EXERCÍCIOS DE REVISÃO PFV - GABARITO 1 wwwprofessorwaltertadeumatbr 1) Seja f uma função de N em N definida por f(n) 10 n Escreva

Leia mais

Só Matemática O seu portal matemático http://www.somatematica.com.br FUNÇÕES

Só Matemática O seu portal matemático http://www.somatematica.com.br FUNÇÕES FUNÇÕES O conceito de função é um dos mais importantes em toda a matemática. O conceito básico de função é o seguinte: toda vez que temos dois conjuntos e algum tipo de associação entre eles, que faça

Leia mais

UNIVERSIDADE SEVERINO SOMBRA UNIDADE MARICÁ CURSO DE ADMINISTRAÇÃO DE EMPRESAS MATEMÁTICA 2 PROF. ILYDIO PEREIRA DE SÁ

UNIVERSIDADE SEVERINO SOMBRA UNIDADE MARICÁ CURSO DE ADMINISTRAÇÃO DE EMPRESAS MATEMÁTICA 2 PROF. ILYDIO PEREIRA DE SÁ UNIVERSIDADE SEVERINO SOMBRA UNIDADE MARICÁ CURSO DE ADMINISTRAÇÃO DE EMPRESAS 1 MATEMÁTICA PROF. ILYDIO PEREIRA DE SÁ ESTUDO DAS DERIVADAS (CONCEITO E APLICAÇÕES) No presente capítulo, estudaremos as

Leia mais

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA PARA ADMINISTRAÇÃO B 2005/2

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA PARA ADMINISTRAÇÃO B 2005/2 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA PARA ADMINISTRAÇÃO B 00/ SUMÁRIO. LIMITES E CONTINUIDADE..... NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITE..... FUNÇÃO CONTÍNUA NUM

Leia mais

RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA DO VESTIBULAR 2013 DA UNICAMP-FASE 2. RESOLUÇÃO: PROFA. MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA

RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA DO VESTIBULAR 2013 DA UNICAMP-FASE 2. RESOLUÇÃO: PROFA. MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA RESOLUÇÃO D PROV DE MTEMÁTIC DO VESTIBULR 0 D UNICMP-FSE. PROF. MRI NTÔNI C. GOUVEI. Em de outubro de 0, Feli Baumgartner uebrou o recorde de velocidade em ueda livre. O salto foi monitorado oficialmente

Leia mais

Matemática. Resolução das atividades complementares. M20 Geometria Analítica: Circunferência

Matemática. Resolução das atividades complementares. M20 Geometria Analítica: Circunferência Resolução das atividades complementares Matemática M Geometria Analítica: ircunferência p. (Uneb-A) A condição para que a equação 6 m 9 represente uma circunferência é: a), m, ou, m, c) < m < e), m, ou,

Leia mais

Matemática. Resolução das atividades complementares. M1 Trigonometria no ciclo. 1 Expresse: p 4 rad. rad em graus. 4 rad 12 p b) 330 em radianos.

Matemática. Resolução das atividades complementares. M1 Trigonometria no ciclo. 1 Expresse: p 4 rad. rad em graus. 4 rad 12 p b) 330 em radianos. Resolução das atividades comlementares Matemática M Trigonometria no ciclo. 7 Eresse: a) em radianos c) em radianos e) rad em graus rad rad b) 0 em radianos d) rad em graus f) rad 0 rad em graus a) 80

Leia mais

CÁLCULO DE ZEROS DE FUNÇÕES REAIS

CÁLCULO DE ZEROS DE FUNÇÕES REAIS 15 CÁLCULO DE ZEROS DE FUNÇÕES REAIS Um dos problemas que ocorrem mais frequentemente em trabalhos científicos é calcular as raízes de equações da forma: f() = 0. A função f() pode ser um polinômio em

Leia mais

Universidade Federal da Bahia

Universidade Federal da Bahia Universidade Federal da Bahia Instituto de Matemática DISCIPLINA: CALCULO B UNIDADE III - LISTA DE EXERCÍCIOS Atualizado 2008.2 Domínio, Imagem e Curvas/Superfícies de Nível y2 è [1] Determine o domínio

Leia mais

Prof. André Motta - mottabip@hotmail.com_ 4.O gráfico apresentado mostra a elongação em função do tempo para um movimento harmônico simples.

Prof. André Motta - mottabip@hotmail.com_ 4.O gráfico apresentado mostra a elongação em função do tempo para um movimento harmônico simples. Eercícios Movimento Harmônico Simples - MHS 1.Um movimento harmônico simples é descrito pela função = 7 cos(4 t + ), em unidades de Sistema Internacional. Nesse movimento, a amplitude e o período, em unidades

Leia mais

Nesta aula iremos continuar com os exemplos de revisão.

Nesta aula iremos continuar com os exemplos de revisão. Capítulo 8 Nesta aula iremos continuar com os exemplos de revisão. 1. Exemplos de revisão Exemplo 1 Ache a equação do círculo C circunscrito ao triângulo de vértices A = (7, 3), B = (1, 9) e C = (5, 7).

Leia mais

Resolução da Prova da Escola Naval 2009. Matemática Prova Azul

Resolução da Prova da Escola Naval 2009. Matemática Prova Azul Resolução da Prova da Escola Naval 29. Matemática Prova Azul GABARITO D A 2 E 2 E B C 4 D 4 C 5 D 5 A 6 E 6 C 7 B 7 B 8 D 8 E 9 A 9 A C 2 B. Os 6 melhores alunos do Colégio Naval submeteram-se a uma prova

Leia mais

A seguir, uma demonstração do livro. Para adquirir a versão completa em papel, acesse: www.pagina10.com.br

A seguir, uma demonstração do livro. Para adquirir a versão completa em papel, acesse: www.pagina10.com.br A seguir, uma demonstração do livro. Para adquirir a versão completa em papel, acesse: www.pagina0.com.br Funções Reais CÁLCULO VOLUME ZERO - Neste capítulo, estudaremos as protagonistas do longa metragem

Leia mais

CURSO de ENGENHARIA (CIVIL, ELÉTRICA, MECÂNICA, PETRÓLEO, DE PRODUÇÃO e TELECOMUNICAÇÕES) NITERÓI - Gabarito

CURSO de ENGENHARIA (CIVIL, ELÉTRICA, MECÂNICA, PETRÓLEO, DE PRODUÇÃO e TELECOMUNICAÇÕES) NITERÓI - Gabarito UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE TRANSFERÊNCIA o semestre letivo de 009 e 1 o semestre letivo de 010 CURSO de ENGENHARIA (CIVIL, ELÉTRICA, MECÂNICA, PETRÓLEO, DE PRODUÇÃO e TELECOMUNICAÇÕES) NITERÓI - Gabarito

Leia mais

FUNÇÕES E SUAS PROPRIEDADES

FUNÇÕES E SUAS PROPRIEDADES FUNÇÕES E SUAS PROPRIEDADES Í N D I C E Funções Definição... Gráficos (Resumo): Domínio e Imagem... 5 Tipos de Funções... 7 Função Linear... 8 Função Linear Afim... 9 Coeficiente Angular e Linear... Função

Leia mais

Considere um triângulo eqüilátero T 1

Considere um triângulo eqüilátero T 1 Considere um triângulo eqüilátero T de área 6 cm. Unindo-se os pontos médios dos lados desse triângulo, obtém-se um segundo triângulo eqüilátero T, que tem os pontos médios dos lados de T como vértices.

Leia mais

Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1. MATEMÁTICA I 1 FUNÇÃO DO 1º GRAU

Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1. MATEMÁTICA I 1 FUNÇÃO DO 1º GRAU FUNÇÃO IDENTIDADE... FUNÇÃO LINEAR... FUNÇÃO AFIM... GRÁFICO DA FUNÇÃO DO º GRAU... IMAGEM... COEFICIENTES DA FUNÇÃO AFIM... ZERO DA FUNÇÃO AFIM... 8 FUNÇÕES CRESCENTES OU DECRESCENTES... 9 SINAL DE UMA

Leia mais

PROVA DE MATEMÁTICA DA UEFS VESTIBULAR 2012 2. RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia Gouveia.

PROVA DE MATEMÁTICA DA UEFS VESTIBULAR 2012 2. RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia Gouveia. PROVA DE MATEMÁTICA DA UEFS VESTIBULAR 0 Profa. Maria Antônia Gouveia. Questão Em um grupo de 0 casas, sabe-se que 8 são brancas, 9 possuem jardim e possuem piscina. Considerando-se essa infomação e as

Leia mais

6. Considere. igual a : (A) f (x) + 2x f(x) = 0 (B) f (x) x f(x) = 0 (C) f (x) + f(x) = 0 (D) f (x) f(x) = 0 (E) f (x) 2x f(x) = 0

6. Considere. igual a : (A) f (x) + 2x f(x) = 0 (B) f (x) x f(x) = 0 (C) f (x) + f(x) = 0 (D) f (x) f(x) = 0 (E) f (x) 2x f(x) = 0 QUESTÃO ÚNICA 0,000 pontos distribuídos em 50 itens Marque no cartão de respostas a única alternativa que responde de maneira correta ao pedido de cada item.. O valor da área, em unidades de área, limitada

Leia mais

(Exames Nacionais 2000)

(Exames Nacionais 2000) (Eames Nacionais 000) 1.a) Seja [ABC] um triângulo O ângulo, assinalado na figura, tem o seu vértice no centro isósceles em que BA = BC. Seja α da Terra; o seu lado origem passa no perigeu, o seu lado

Leia mais

Métodos Matemáticos para Engenharia de Informação

Métodos Matemáticos para Engenharia de Informação Métodos Matemáticos para Engenharia de Informação Gustavo Sousa Pavani Universidade Federal do ABC (UFABC) 3º Trimestre - 2009 Aulas 1 e 2 Sobre o curso Bibliografia: James Stewart, Cálculo, volume I,

Leia mais

x + y + 1 (2x 4y) = 10. (x 3) 5 y 2 + (x 3) 4 y 4 (x 2 6x + 9 + y 6 ) 3

x + y + 1 (2x 4y) = 10. (x 3) 5 y 2 + (x 3) 4 y 4 (x 2 6x + 9 + y 6 ) 3 1 Lista 2 de Cálculo Diferencial e Integral II Funções de Várias Variáveis e Diferenciação Parcial 1. Determine, descreva e represente geometricamente o domínio das funções abaixo: (a) f(x, y) = xy 5 x

Leia mais

3. Limites. = quando x está muito próximo de 0: a) Vejamos o que ocorre com a função f ( x)

3. Limites. = quando x está muito próximo de 0: a) Vejamos o que ocorre com a função f ( x) . Limites Ao trabalhar com uma função nossa primeira preocupação deve ser o seu domínio (condição de eistência) afinal só faz sentido utilizá-la nos pontos onde esteja definida e sua epressão matemática

Leia mais

(b) (1,0 ponto) Reciprocamente, mostre que, se um número x R possui representação infinita em toda base β, então x é irracional.

(b) (1,0 ponto) Reciprocamente, mostre que, se um número x R possui representação infinita em toda base β, então x é irracional. Sociedade Brasileira de Matemática Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional MA11 Números e Funções Reais Avaliação 3 - GABARITO 06 de julho de 013 1. (1,5 pontos) Determine se as afirmações

Leia mais

Guia de aulas: Equações diferenciais. Prof. Carlos Vidigal Profª. Érika Vidigal

Guia de aulas: Equações diferenciais. Prof. Carlos Vidigal Profª. Érika Vidigal Guia de aulas: Equações diferenciais Prof. Carlos Vidigal Profª. Érika Vidigal 1º Semestre de 013 Índice 1.Introdução... 3. Equações Diferenciais de 1ª Ordem... 7.1. Equações Diferenciais Separáveis...

Leia mais

3.400 17. ( ) 100 3400 6000, L x x. L x x x. (17) 34 60 Lx ( ) 17 34 17 60 L(17) 289 578 60 L(17) 289 638 L(17) 349 40 40 70.40 40 1.

3.400 17. ( ) 100 3400 6000, L x x. L x x x. (17) 34 60 Lx ( ) 17 34 17 60 L(17) 289 578 60 L(17) 289 638 L(17) 349 40 40 70.40 40 1. REDE ISAAC NEWTON ENSINO MÉDIO 3º ANO PROFESSOR(A):LUCIANO IEIRA DATA: / / TURMA: ALUNO(A): Nº: UNIDADE: ( ) Riacho Fundo ( ) Taguatinga Sul EXERCÍCIOS DE REISÃO - AALIAÇÃO ESPECÍFICA 3º TRIMESTRE 01 MATEMÁTICA

Leia mais

Se ele optar pelo pagamento em duas vezes, pode aplicar o restante à taxa de 25% ao mês (30 dias), então. tem-se

Se ele optar pelo pagamento em duas vezes, pode aplicar o restante à taxa de 25% ao mês (30 dias), então. tem-se "Gigante pela própria natureza, És belo, és forte, impávido colosso, E o teu futuro espelha essa grandeza Terra adorada." 01. Um consumidor necessita comprar um determinado produto. Na loja, o vendedor

Leia mais

1. Examine cada relação e escreva se é uma função de A em B ou não. Em caso afirmativo determine o domínio, a imagem e o contradomínio.

1. Examine cada relação e escreva se é uma função de A em B ou não. Em caso afirmativo determine o domínio, a imagem e o contradomínio. 1. Examine cada relação e escreva se é uma função de A em B ou não. Em caso afirmativo determine o domínio, a imagem e o contradomínio. 2. (Fgv) Um vendedor recebe mensalmente um salário fixo de R$ 800,00

Leia mais

(c) 30% (d) 25% aprovados. é a quantidade de: Em uma indústria é fabricado um produto ao custo de

(c) 30% (d) 25% aprovados. é a quantidade de: Em uma indústria é fabricado um produto ao custo de QUESTÃO - EFOMM 0 QUESTÃO - EFOMM 0 Se tgx sec x, o valor de senx cos x vale: ( 7 ( ( ( ( O lucro obtido pela venda de cada peça de roupa é de, sendo o preço da venda e 0 o preço do custo quantidade vendida

Leia mais

Prova Escrita de MATEMÁTICA

Prova Escrita de MATEMÁTICA Prova Escrita de MATEMÁTICA Identi que claramente os grupos e as questões a que responde. As funções trigonométricas estão escritas no idioma anglo saxónico. Utilize apenas caneta ou esferográ ca de tinta

Leia mais

Soluções das Questões de Matemática do Processo Seletivo de Admissão ao Colégio Naval PSACN

Soluções das Questões de Matemática do Processo Seletivo de Admissão ao Colégio Naval PSACN Soluções das Questões de Matemática do Processo Seletivo de Admissão ao Colégio Naval PSACN Questão Concurso 00 Seja ABC um triângulo com lados AB 5, AC e BC 8. Seja P um ponto sobre o lado AC, tal que

Leia mais

Matemática. Resolução das atividades complementares. M2 Trigonometria nos Triângulos

Matemática. Resolução das atividades complementares. M2 Trigonometria nos Triângulos Resolução das atividades complementares Matemática M Trigonometria nos Triângulos p. 1 Em cada caso, calcule o seno, o cosseno e a tangente do ângulo agudo assinalado. a) b) sen γ = cos γ = tg γ 1 sen

Leia mais

( ) = = MATEMÁTICA. Prova: 28/07/13. Questão 17. Questão 18

( ) = = MATEMÁTICA. Prova: 28/07/13. Questão 17. Questão 18 Prova: 8/07/13 MATEMÁTICA Questão 17 A equação x 3 4 x + 5x + 3 = 0 possui as raízes m, p e q. O valor da expressão m + p + q é pq mq mp (A). (B) 3. (C). (D) 3. Gabarito: Letra A. A expressão é igual a:

Leia mais

Matemática 2. 01. A estrutura abaixo é de uma casa de brinquedo e consiste de um. 02. Abaixo temos uma ilustração da Victoria Falls Bridge.

Matemática 2. 01. A estrutura abaixo é de uma casa de brinquedo e consiste de um. 02. Abaixo temos uma ilustração da Victoria Falls Bridge. Matemática 2 01. A estrutura abaixo é de uma casa de brinquedo e consiste de um paralelepípedo retângulo acoplado a um prisma triangular. 1,6m 1m 1,4m Calcule o volume da estrutura, em dm 3, e indique

Leia mais

PROVA OBJETIVA DE MATEMÁTICA VESTIBULAR 2013 - FGV CURSO DE ADMINISTRAÇÃO RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia C. Gouveia

PROVA OBJETIVA DE MATEMÁTICA VESTIBULAR 2013 - FGV CURSO DE ADMINISTRAÇÃO RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia C. Gouveia PROVA OBJETIVA DE MATEMÁTICA VESTIBULAR 0 - FGV CURSO DE ADMINISTRAÇÃO Profa. Maria Antônia C. Gouveia. O PIB per capita de um país, em determinado ano, é o PIB daquele ano dividido pelo número de habitantes.

Leia mais

94 (8,97%) 69 (6,58%) 104 (9,92%) 101 (9,64%) 22 (2,10%) 36 (3,44%) 115 (10,97%) 77 (7,35%) 39 (3,72%) 78 (7,44%) 103 (9,83%) Probabilidade 10 (0,95%)

94 (8,97%) 69 (6,58%) 104 (9,92%) 101 (9,64%) 22 (2,10%) 36 (3,44%) 115 (10,97%) 77 (7,35%) 39 (3,72%) 78 (7,44%) 103 (9,83%) Probabilidade 10 (0,95%) Distribuição das.08 Questões do I T A 9 (8,97%) 0 (9,9%) 69 (6,58%) Equações Irracionais 09 (0,86%) Equações Exponenciais (, 0 (9,6%) Geo. Analítica Conjuntos (,96%) Geo. Espacial Funções Binômio de Newton

Leia mais

ROTEIRO DE ESTUDO - 2013 VP4 MATEMÁTICA 3 a ETAPA 6 o ao 9º Ano INTEGRAL ENSINO FUNDAMENTAL 1º E 2º ANOS INTEGRAIS ENSINO MÉDIO

ROTEIRO DE ESTUDO - 2013 VP4 MATEMÁTICA 3 a ETAPA 6 o ao 9º Ano INTEGRAL ENSINO FUNDAMENTAL 1º E 2º ANOS INTEGRAIS ENSINO MÉDIO 6 o ANO MATEMÁTICA I Adição e subtração de frações: Frações com denominadores iguais. Frações com denominadores diferentes. Multiplicação de um número natural por uma fração. Divisão entre um número natural

Leia mais

< 0, conclui-se, de acordo com o teorema 1, que existem zeros de f (x) Pode-se também chegar às mesmas conclusões partindo da equação

< 0, conclui-se, de acordo com o teorema 1, que existem zeros de f (x) Pode-se também chegar às mesmas conclusões partindo da equação . Isolar os zeros da função f ( )= 9 +. Resolução: Pode-se construir uma tabela de valores para f ( ) e analisar os sinais: 0 f ( ) + + + + + Como f ( ) f ( ) < 0, f ( 0 ) f ( ) < 0 e f ( ) f ( ) < 0,

Leia mais

Derivação Implícita e Taxas Relacionadas

Derivação Implícita e Taxas Relacionadas Capítulo 14 Derivação Implícita e Taxas Relacionadas 14.1 Introdução A maioria das funções com as quais trabalhamos até agora é da forma y = f(x), em que y é dado diretamente ou, explicitamente, por meio

Leia mais

Departamento de Matemática - UEL - 2010. Ulysses Sodré. http://www.mat.uel.br/matessencial/ Arquivo: minimaxi.tex - Londrina-PR, 29 de Junho de 2010.

Departamento de Matemática - UEL - 2010. Ulysses Sodré. http://www.mat.uel.br/matessencial/ Arquivo: minimaxi.tex - Londrina-PR, 29 de Junho de 2010. Matemática Essencial Extremos de funções reais Departamento de Matemática - UEL - 2010 Conteúdo Ulysses Sodré http://www.mat.uel.br/matessencial/ Arquivo: minimaxi.tex - Londrina-PR, 29 de Junho de 2010.

Leia mais

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Ministério da Educação Universidade Tecnológica Federal do Paraná Campus Curitiba Gerência de Ensino e Pesquisa Departamento Acadêmico de Matemática CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Prof AULA 0 - FUNÇÕES.

Leia mais

Anual de Física 2014 1ª Lista de embasamento Espelhos Planos e Esféricos

Anual de Física 2014 1ª Lista de embasamento Espelhos Planos e Esféricos nual de Física 2014 Questão 01 figura mostra um par de espelhos E 1 e E 2 verticais distanciados 40 cm entre si. Dois pontos e encontram-se alinhados verticalmente e equidistantes dos dois espelhos como

Leia mais

94 (8,97%) 69 (6,58%) 104 (9,92%) 101 (9,64%) 22 (2,10%) 36 (3,44%) 115 (10,97%) 77 (7,35%) 39 (3,72%) 78 (7,44%) 103 (9,83%)

94 (8,97%) 69 (6,58%) 104 (9,92%) 101 (9,64%) 22 (2,10%) 36 (3,44%) 115 (10,97%) 77 (7,35%) 39 (3,72%) 78 (7,44%) 103 (9,83%) Distribuição das 1.048 Questões do I T A 94 (8,97%) 104 (9,92%) 69 (6,58%) Equações Irracionais 09 (0,86%) Equações Exponenciais 23 (2, 101 (9,64%) Geo. Espacial Geo. Analítica Funções Conjuntos 31 (2,96%)

Leia mais

01- Assunto: Matrizes. Dadas as matrizes A = e B =, calcule AB + A t.

01- Assunto: Matrizes. Dadas as matrizes A = e B =, calcule AB + A t. EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES - MATEMÁTICA - ª SÉRIE - ENSINO MÉDIO ============================================================================================== - Assunto: Matrizes 5 Dadas as matrizes A

Leia mais

Matemática. Subtraindo a primeira equação da terceira obtemos x = 1. Substituindo x = 1 na primeira e na segunda equação obtém-se o sistema

Matemática. Subtraindo a primeira equação da terceira obtemos x = 1. Substituindo x = 1 na primeira e na segunda equação obtém-se o sistema Matemática 01. A ilustração a seguir é de um cubo com aresta medindo 6 cm. A, B, C e D são os vértices indicados do cubo, E é o centro da face contendo C e D, e F é o pé da perpendicular a BD traçada a

Leia mais

RASCUNHO {a, e} X {a, e, i, o}?

RASCUNHO {a, e} X {a, e, i, o}? 01. Qual o número de conjuntos X que satisfazem a relação {a, e} X {a, e, i, o}? a) d) 7 b) 4 e) 5 c) 6 0. Considere os conjuntos A = {n.a n N} e B = {n.b n N} tal que a e b são números naturais não nulos.

Leia mais

Uma função f de domínio A e contradomínio B é usualmente indicada por f : A B (leia: f de A em B).

Uma função f de domínio A e contradomínio B é usualmente indicada por f : A B (leia: f de A em B). Instituto de Ciências Exatas - Departamento de Matemática Cálculo I Profª Maria Julieta Ventura Carvalho de Araujo Capítulo : Funções.- Definições Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Uma função f de

Leia mais

UFPel - CENG - CÁLCULO 1

UFPel - CENG - CÁLCULO 1 UFPel - CENG - CÁLCULO 1 FUNÇÕES -Parte I 1. Esboce os gráficos das funções afins, indicando as interseções com os eixos. a) f(x) = 400 3x b) f(x) = 10x + 75 c) S(t) = s 0 + vt, sendo s 0 = 20m e v = 5m/s

Leia mais

Assinale as proposições verdadeiras, some os valores obtidos e marque os resultados na Folha de Respostas.

Assinale as proposições verdadeiras, some os valores obtidos e marque os resultados na Folha de Respostas. PROVA APLICADA ÀS TURMAS DO O ANO DO ENSINO MÉDIO DO COLÉGIO ANCHIETA EM MARÇO DE 009. ELABORAÇÃO: PROFESSORES OCTAMAR MARQUES E ADRIANO CARIBÉ. PROFESSORA MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA QUESTÕES DE 0 A 08.

Leia mais

Vestibular 2ª Fase Resolução das Questões Discursivas

Vestibular 2ª Fase Resolução das Questões Discursivas COMISSÃO PERMANENTE DE SELEÇÃO COPESE PRÓ-REITORIA DE GRADUAÇÃO PROGRAD CONCURSO VESTIBULAR 010 Prova de Matemática Vestibular ª Fase Resolução das Questões Discursivas São apresentadas abaixo possíveis

Leia mais

Exercícios de Matemática Geometria Analítica - Circunferência

Exercícios de Matemática Geometria Analítica - Circunferência Exercícios de Matemática Geometria Analítica - Circunferência ) (Unicamp-000) Sejam A e B os pontos de intersecção da parábola y = x com a circunferência de centro na origem e raio. a) Quais as coordenadas

Leia mais

Questão 1. Questão 3. Questão 2. alternativa E. alternativa B. alternativa E. A figura exibe um mapa representando 13 países.

Questão 1. Questão 3. Questão 2. alternativa E. alternativa B. alternativa E. A figura exibe um mapa representando 13 países. Questão A figura eibe um mapa representando países. alternativa E Inicialmente, no recipiente encontram-se 40% ( 000) = 400 m de diesel e 60% ( 000) = = 600 m de álcool. Sendo, em mililitros, a quantidade

Leia mais

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA APLICADA À ECONOMIA

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA APLICADA À ECONOMIA PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA APLICADA À ECONOMIA Prof. Francisco Leal Moreira / SUMÁRIO. FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS.. FUNÇÕES HOMOGÊNEAS.. CURVAS

Leia mais

Cálculo I USP- FFCLRP Prof. Rafael A. Rosales 5 de março de 2014. Lista 2 Funçoes

Cálculo I USP- FFCLRP Prof. Rafael A. Rosales 5 de março de 2014. Lista 2 Funçoes Departamento de Computação é Matemática Cálculo I USP- FFCLRP Prof. Rafael A. Rosales 5 de março de 204 Lista 2 Funçoes Salvo seja indicado o contrário, todas as funções nesta lista de eercícios estão

Leia mais

Cálculo Diferencial e Integral I Vinícius Martins Freire

Cálculo Diferencial e Integral I Vinícius Martins Freire UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA - CAMPUS JOINVILLE CENTRO DE ENGENHARIAS DA MOBILIDADE Cálculo Diferencial e Integral I Vinícius Martins Freire MARÇO / 2015 Sumário 1. Introdução... 5 2. Conjuntos...

Leia mais

RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA DO VESTIBULAR 2014 DA FUVEST-FASE 1. POR PROFA. MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA

RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA DO VESTIBULAR 2014 DA FUVEST-FASE 1. POR PROFA. MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA DO VESTIBULAR 014 DA FUVEST-FASE 1. POR PROFA. MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA Q ) Um apostador ganhou um premio de R$ 1.000.000,00 na loteria e decidiu investir parte do valor

Leia mais

MATERIAL DIDÁTICO DE CÁLCULO I

MATERIAL DIDÁTICO DE CÁLCULO I MATERIAL DIDÁTICO DE CÁLCULO I Acadêmico(a): Turma: 9/ Capítulo : Funções Cálculo I. ANÁLISE GRÁFICA DAS FUNÇÕES.. EXERCÍCIOS Abaio estão representadas graficamente algumas funções. Analise cada uma dessas

Leia mais

Máximos e Mínimos em Intervalos Fechados

Máximos e Mínimos em Intervalos Fechados Capítulo 5 Máimos e Mínimos em Intervalos Fechados 5. Motivação Na Seção.., estudamos o problema da caia, onde queríamos montar uma caia recortando retângulos nos quatro cantos de uma lâmina de plástico

Leia mais

LISTÃO DE EXERCÍCIOS DE REVISÃO IFMA PROFESSOR: ARI

LISTÃO DE EXERCÍCIOS DE REVISÃO IFMA PROFESSOR: ARI 01.: A figura mostra um edifício que tem 15 m de altura, com uma escada colocada a 8 m de sua base ligada ao topo do edifício. comprimento dessa escada é de: a) 12 m. b) 30 m. c) 15 m. d) 17 m. e) 20 m.

Leia mais

CPV O Cursinho que Mais Aprova na GV

CPV O Cursinho que Mais Aprova na GV CPV O Cursinho que Mais Aprova na GV FGV ADM 31/maio/015 Prova A MATEMÁTICA 01. Fabiana recebeu um empréstimo de R$ 15 000,00 a juros compostos à taxa de 1% ao ano. Um ano depois, pagou uma parcela de

Leia mais

Função Quadrática Função do 2º Grau

Função Quadrática Função do 2º Grau Colégio Adventista Portão EIEFM MATEMÁTICA Função Quadrática 1º Ano APROFUNDAMENTO/REFORÇO Professor: Hermes Jardim Disciplina: Matemática Lista 5 º Bimestre/13 Aluno(a): Número: Turma: Função Quadrática

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE

UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE Escola de Engenharia Industrial Metalúrgica de Volta Redonda PROVAS RESOLVIDAS DE CÁLCULO VETORIAL Professora Salete Souza de Oliveira Aluna Thais Silva de Araujo P1 Turma

Leia mais

Estudo do Sinal de uma Função

Estudo do Sinal de uma Função Capítulo 4 Estudo do Sinal de uma Função 4.1 Introdução Neste Capítulo discutimos o problema do estudo do sinal de uma função, assunto muitas vezes tratado de forma rápida e supercial nos ensinos básico

Leia mais

LISTA 2. 4. y = e 2 x + y 1, y(0) = 1

LISTA 2. 4. y = e 2 x + y 1, y(0) = 1 MAT 01167 Equações Diferenciais LISTA Resolva: 1. x y y = x sen x. y + y tan x = x sen x cos x, y0) =. x + 1) dy dx x y = 1 4. y = e x + y 1, y0) = 1 5. x y + x + x + ) dy dx = 0 ) x 6. Resolva a equação

Leia mais