INTRODUÇÃO E A PRIMEIRA LISTA DE EXERCÍCIOS

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1 INTRODUÇÃO E A PRIMEIRA LISTA DE EXERCÍCIOS INTRODUÇÃO Os livros de cálculo costumam conter um capítulo ou um apêndice dedicado a eplicações de fatos básicos da matemática e que, em geral, são abordados no Ensino Médio das escolas brasileiras. O entendimento desses conceitos, e o uso correto deles em diversas situações, são condições necessárias para que o aluno da disciplina Cálculo Diferencial e Integral I possa compreender conceitos específicos da disciplina, como o de derivada e integral, e possa aplicar esses conceitos na resolução de situações- problema relevantes. Por outro lado, percebe-se que, na maioria das vezes que o estudante apresenta dificuldades em resolver um problema de aplicação de limite, derivada ou integral, essa dificuldade não reside no entendimento dos conceitos específicos do cálculo diferencial e integral, mas sim na modelagem do problema, no seu equacionamento, na manipulação de epressões algébricas, ou na utilização de fatos elementares de trigonometria ou de geometria plana. Por essas razões, é etremamente importante que todos os estudantes da disciplina identifiquem suas próprias dificuldades com esses fatos elementares da matemática e se esforcem para superá-las ao longo do curso. Para auiliar os estudantes nesse ponto, listamos uma relação de conceitos matemáticos que serão utilizados com muita freqüência durante o curso e cujo entendimento deve ser priorizado pelos estudantes.. Números Operações com frações e números reais. Potenciação e radiciação. Raiz quadrada. Intervalos. Desigualdades. Valor absoluto. Reta numérica. Equações polinomiais.. Álgebra Elementar. Produtos notáveis e fatoração. Operações com polinômios: soma, subtração, divisão. Raízes e igualdade de polinômios. Cálculo da decomposição de uma fração em soma de frações parciais.. Geometria Analítica. Coordenadas de pontos no plano cartesiano. Distância entre pontos. Simetrias. Retas: equações, paralelismo e perpendicularidade. Equações da circunferência. Equação e gráfico de parábolas. Elipse dada pela sua equação reduzida. Hipérbole de equação y =. Translação de gráficos.. Funções e gráficos. Definição de função, domínio e imagem. Determinação de domínio e imagem de funções reais. Funções pares e ímpares. Funções crescentes e decrescentes. Operações e composições de funções. Função eponencial. Função logarítmica. A eponencial e o logaritmo natural. Aplicações de eponencial e logaritmo. Funções trigonométricas: seno, cosseno, tangente. As funções que definem a parte superior, inferior e lateral de uma circunferência. 5. Trigonometria Trigonometria nos triângulos. Lei dos senos e dos cossenos. O círculo trigonométrico. Graus versus radianos. Identidades trigonométricas. Aplicações de trigonometria.

2 ESTRATÉGIAS DE ESTUDO Apresentamos também as seguintes estratégias de estudo para essa parte inicial da disciplina Cálculo Diferencial e Integral I. (a) É etremamente importante que você possua algum livro de cálculo durante todo o semestre letivo. Então providencie um livro, fazendo um empréstimo na biblioteca ou com algum amigo, comprando o livro ou de outra forma qualquer. (b) Identifique as seções do seu livro que tratam dos conteúdos listados acima e LEIA essas seções, dando especial atenção para as definições, para as propriedades e para os eemplos resolvidos no livro. (c) Não acumule dúvidas. Assim que possível, durante o seu estudo, procure o seu professor ou os monitores para esclarecimentos de todas as suas dúvidas. (d) Resolva os eercícios do livro e compare suas soluções com as de outros alunos do curso. Caso você tenha dúvidas sobre algum eercício, procure o seu professor. (e) Resolva todos os eercícios listados a seguir. A lista de eercício a seguir aborda praticamente todos os conteúdos listados anteriormente. Esses eercícios devem ser obrigatoriamente resolvidos por todos os alunos das Turmas Especiais de Cálculo Diferencial e Integral I.

3 LISTA 7. Calcule a área do retângulo de dimensões e Considere o pentágono ABCDE de lados AB = ; BC = ; CD = ; 6 0 DE = 7 e EA = 5. a) Calcule o perímetro desse pentágono. b) Qual é o menor lado?. Dê contra-eemplos para mostrar que as afirmações a seguir são falsas. d d d a) = +, para quaisquer números reais a, b, c, com c 0, b 0 e c + b 0. c + b c b b) a + b = a + b, para quaisquer números reais não-negativos a, b. c) a = a, para qualquer número real a. + a y d) = + ay, para qualquer 0.. Se a =, quais são os possíveis valores para a? Represente na reta numérica o conjunto de todos os valores de a que satisfazem à igualdade dada. 5. Em cada caso a seguir, determine todos os valores de que satisfazem a relação dada e, também, represente na reta numérica todos esses valores de : a) = b) < c) > 6. Determine todas as raízes reais de cada equação a seguir: a) ( )( 9)( + 9) = 0; b) 5 +6 = 0; c) ( + ) =. d) ( 7) = A B + C 7. Determine, se possível, os valores de A, B e C para que = +, para todo + + real. A B + C 8. Determine, se possível, os valores de A, B e C para que = +, para ( + ) + todo real. 9. Determine a para que a distância entre os pontos P = (a, ) e Q = (5, 6) seja igual a. 0. Para dar uma interpretação para o eercício 9, responda às seguintes perguntas: a) Que figura fica caracterizada pelos pontos da forma P = (a, )? b) Que figura fica caracterizada pelos pontos cuja distância a Q = (5, 6) é igual a? c) Utilizando os itens (a) e (b), dê uma interpretação para o eercício 9. Respostas: ) b) CD 6) a) ± b) 0,, c), ± d) 0, 7 ± 5 7) A =, B = -, C = 8) Não tem solução.

4 . Determine os pontos sobre a reta de equação y = cujas distâncias ao ponto 7 5 Q = (, 5) sejam iguais a.. Determine o centro e o raio da circunferência de equação + y + 6y = 0. Eplicite y em função de e identifique a figura que cada uma dessas funções representa?. Determine a equação da reta tangente à circunferência de equação + y = 5 no ponto Q de abscissa sobre essa circunferência e que está no quarto quadrante.. Analise a resolução da equação ( ) = e diga o que está errado. Sol. ( ) =. Cancelando o obtemos ( ) =. Daí + = 0, o que nos fornece as raízes 5. Simplifique: a) ± =, isto é, e. b) (5 + h) 5 h c) Resolva as desigualdades: a) + 0 < 0 b) + 7 > 0 c) 0 ( ). d) 0 ( ) g) sen, no intervalo [0, π ] h) 7. Determine o valor de no triângulo abaio. e) > + f) sen, no intervalo [0, π ], se 8. Seja f ( ) =, calcule f(0), f() e f()., se > 9. Esboce o gráfico de y = Respostas: ), e, ) centro (, ) e raio. π 7π ) y = ) c ) < e ) > g ) 6 6 π π h) ou π 7 π. 7) =. 8) f ( 0 ) =; ( ) = 0; f = 6 6 f ( ).

5 5 0. Encontre o domínio de cada função a seguir: ln ( ) a) f ( ) = b) h( t) = t + t. 6. Epresse a área de um retângulo em função de um de seus lados sabendo que ele tem perímetro igual a 0 cm.. Epresse o perímetro de um retângulo em função de um de seus lados sabendo que ele tem área igual a 6 cm.. Uma caia sem tampa deve ser construída de um pedaço retangular de papelão que tem dimensões cm por 0 cm. Devem-se cortar quadrados de lados em cada canto do papelão e depois dobrá-los. Epresse o volume da caia em função de.. Um quadrado está inscrito em um círculo de raio r. Epresse o lado do quadrado em função de r. 5. Determine as coordenadas do ponto da circunferência + y = que está mais próimo do ponto P = (, ). 6. Ache o ponto do eio y que é eqüidistante de (5, 5) e (, ). 7. Determine todas as retas que passam pelo ponto P = (,) e que são tangentes a circunferência de equação + y =. 8. Os pontos A = (, ), B = (6,) e C = (0, 6) são vértices de um triângulo retângulo? Se sim, qual desses pontos é o vértice de ângulo reto? 9. Usando a epressão: área = metade da base vezes a altura, determine a área do triângulo retângulo de vértices A = (6, 7), B = (, ) e C = (, ). 0. Determine a equação da reta em cada situação a seguir. a) A reta passa pelos pontos A = (, ) e B = (, 7); b) A reta passa pelo ponto C = (, ) e é paralela à reta de equação y = ; c) A reta passa pelo ponto C = (, ) e é perpendicular à reta de equação + 6y =. Respostas: 0) a) < < 6. b) 0 <. < t ) A l ( l) = 0 para 0 < l< 0. ) 6 P = l + para 0 < l <. ) V = ( 0 )( 6 ) para 0 < < 6. l 5 ) l = r. 5), 6) ( 0, ) 7) y = + e = ) Sim; C. 9). 0) a) y = + b) y = + c) y = 8

6 6. Na figura ao lado, ABCD é um paralelogramo, as coordenadas do ponto C são ( 6,0) e os lados AB e AD estão contidos, respectivamente, nas retas de equações y = + e y =. Determine as coordenadas dos pontos A, B e D. D A C B. O triângulo isósceles ABC tem como vértices da base os pontos A = (, 0) e B = (0, 6). Determine as coordenadas do vértice C sabendo que ele está sobre a reta de equação y =.. O número R de respirações por minuto que uma pessoa eecuta é uma função do primeiro grau da pressão P do dióido de carbono ( CO ) contido nos pulmões. Quando a pressão do CO é de unidades, o número de respirações por minuto é de,8; quando a pressão aumenta para 50 unidades o número de respirações passa para 9, por minuto. a ) Escreva R como função de P. b ) Ache o número de respirações por minuto quando a pressão do CO for de 5 unidades. log 7 7. Simplifique a epressão até encontrar um número inteiro: + log (8 ). a b c Suponha que a equação 8 = seja válida para todo número real, em que a, b e c são números reais. Determine o valor dessas constantes a, b e c. π 6. Sabendo que < < π calcule, sen. 7. Resolva as equações: (a) + = (b) 5 5 =. 8. Sem utilizar calculadora, calcule a área do triângulo ABC, sabendo que AB = 0 cm, o BC = cm e ABC ˆ = Respostas: ) A =,, B = ( 8,6), C = ( 6,0), D =, ) ( 7, ) ) a) R = 0,6 P - 0,8 b) 6,. ) 70. 5) a =, b = e c = 6. ln + 6) cos. 7) a ) não tem solução real. b ) =. ln5 5 8) ( + ) cm.

7 7 9. Desintegração radioativa: os átomos de uma substância radioativa possuem a tendência natural a se desintegrarem, emitindo partículas e transformando-se em outra substância não radioativa. Assim sendo, com o passar do tempo, a quantidade de substância original diminui aumentando, conseqüentemente, a massa da nova substância transformada. Além disso, pode-se demonstrar que se no instante de tempo t = 0 a quantidade de matéria radioativa é igual a M 0, então no instante de tempo t 0 a quantidade dessa matéria será igual a M () t = M e kt, sendo k uma constante positiva que depende da matéria radioativa 0 considerada. Em geral, para o cálculo dessa constante k, é informado o tempo de meia vida da substância radioativa: esse é o tempo para que metade da substância radioativa se desintegre. a). Mostre que as constantes k e t, de uma mesma substância radioativa, estão m ln relacionados pela epressão: k =. tm b) A meia-vida de uma substância radioativa é um ano. Quanto tempo levará para que num corpo puro de 0 gramas desse material reste apenas um grama? c) Uma amostra de tório reduz-se a de sua quantidade inicial depois de.600 anos. Qual é a meia-vida do tório? 0. Lei de resfriamento de Newton: essa lei afirma que em um ambiente com temperatura constante, a temperatura Tt () de um objeto no instante t varia de acordo com a epressão: Tt () A= Ce kt, sendo A a temperatura do meio, C a diferença de temperatura entre o objeto e o meio no instante t = 0 e k uma constante positiva. a) Num certo dia, a temperatura ambiente é de 0 graus. A água que fervia numa panela, 5 minutos depois de apagado o fogo tem a temperatura de 65 graus. Quanto tempo depois de apagado o fogo a água atingirá a temperatura de 8 graus? b) O corpo de uma vítima de assassinato foi descoberto às horas. O médico da polícia chegou às :0 h e imediatamente tomou a temperatura do cadáver que era de,8 graus. Uma hora mais tarde ele tomou a temperatura outra vez e encontrou, graus. A temperatura do quarto era mantida constante a 0 graus. Use a lei do resfriamento de Newton para estimar a hora em se deu a morte. Admita que a temperatura normal de uma pessoa viva é de 6,5 graus. Respostas: ln0 ln 9) b) = log0, anos. c ) , 5 anos. ln ln 5 6,5 5ln ln 0) a) 5,6 min. b),8, horas antes das :0 h, ou seja, ln,8 ln, aproimadamente às :5 h.

8 8. Utilizando um teodolito e uma trena um topógrafo fez as medidas de ângulos e distâncias indicadas na figura ao lado. Calcule a altura da torre indicada nessa figura.. Para saber o comprimento de uma ponte que será construída sobre um rio, um engenheiro instalou o teodolito no ponto B a uma distância de 0 metros do ponto A, situado na margem do o o rio. Depois, mediu os ângulos B ÂC = 05 e C Bˆ A = 0, conforme a figura. Com base nas medidas feitas pelo engenheiro, determine o comprimento AC da ponte. o o tg( ) tg( 5 ) Respostas: ) o o tg( 5 ) tg( ) ) 5 m. 87, +,7 95,7 m.

9 . Resolver as inequações: - Cálculo : Lista de eercícios etra - (a) ( ) > 0 { R/ < 0 ou > }; (b) ( )( + ) < 0 { R/ < < }; (c) { R/ ou }; (d) ( ) 0 { R/ = 0 ou }; (e) + + > 0 R; (f) < { R/ < < e 0}; (g) + < + { R/ < }.. Determine os valores de para os quais cada uma das epressões seguintes são números reais: (a) { R/ }; (b) 9 { R/ ou }; (c) { R/ < /}; (d) { R/ < ou > }.. Determine os valores de para os quais cada uma das epressões seguintes é positiva: (a) (b) R + +; { R/ < < 0 ou > }; (c) + { R/ < ou > }; (d) { R/ < ou 0 < < ou > }.. Determine os valores de que satisfazem: (a) = 5 = ±5; (b) + = = ou = 7; (c) = = ou = 6; (d) + = = /; (e) + = = ou = /; (f) 5 { R/ 8}. (g) + { R/ > ou < 5}.

10 5. Usando valor absoluto, escreva epressões para os seguintes conjuntos: (a) o conjunto dos pontos cuja distância a é menor do que ou igual a ; (b) o conjunto dos pontos cuja distância a -5 é menor do que + 5 < ; (c) o conjunto dos pontos cuja distância a 6 é maior do que 6 >. 6. Mostre que os dois conjuntos abaio são iguais e os escreva na forma de intervalos: A = { : < } e B = { : < 6 }. B = { : + < + 6} = { : 8 < } = { : < } = A A = B = (, ) 7. Encontre o domínio das seguintes funções: (a) + R; (b) ( )( + ) { R/ ou }; (c) { R/ }; (d) { R/ < ou /} Se f() =, mostre que f() = f() Quais os domínios de f() = 8 e g() =? Determine o domínio de h() = f(g()). D(f) = R {8}, D(g) = R e D(h) = R {} 0. Se f() =, mostre que f(f()) =.. Se f() = a+b, mostre que f(f()) =. a. Se f() = a, mostre que f() + f( ) = f(). Verifique também que f( + ) = f( ) + f( ), para todos, R.. Caracterize as seguintes funções como sobrejetora, injetora, bijetora, ou nenhuma delas: (a) f : R R, f() = + 5 bijetora; (b) g : R R, g() = 9 nenhuma delas; (c) h : A A, h() = +, A = { R/ } (d) ϕ : { R/ 0} R, ϕ() = 5 injetora. injetora;. Determine se as seguintes funções são pares, ímpares ou nenhuma delas: (a) f() = 5 + nenhuma delas; (b) g() = + par; (c) h() = nenhuma delas; (d) ϕ() = + ímpar.

11 5. Suponha f() uma função ímpar e g() uma função par. (a) Podemos falar algo sobre a paridade de Q() = f() g() e P () = f()g()? (b) Sabendo que sen() é função ímpar e cos() é par, o que podemos falar sobre tg()? Resposta: Todas Ímpares. 6. Resolva as seguintes equações: Respostas (a) = 6 {} ) (b) = ( {, 0} (c) ( ) + = 9 +6 {, } (d) = 7 {0} (e) = {} (f) 9. + = 0 {, 0, } 7. Resolva as inequações: Respostas (a) 7 < 9 S = { R < } (b) 8 + S = { R } ( (c) 5 ) +0 ( 5 ) 7 S = { R ou 5} (d) + < 6 S = { R < } 8. Dadas as funções f() = ( ) +7 ( e g() = 5+, ) determine real de modo que se tenha: Respostas (a) f() = g() = ou = (b) f() > g() < < 9. Resolva o seguinte sistema { 8. y =. y =. Resposta: = 0, y = { 5 y = 0. Dado o sistema 5 +y =., calcule o valor de (y). Resposta: 6. Resolva a equação ((0 ) ) =,5 Resposta: { }. Seja f() = 9 uma função de variável real. Determine o conjunto que contém todos os valores reais de para os quais f() = f( ). Resposta: S = {}. Resolva o seguinte sistema { + y = y = 5. Resposta: =, y =. Uma população de bactérias no instante t é dada pela função f(t) = C. kt, em que t é dado em minutos. Eperimentalmente, verifica-se que e a população depois de minuto era de 6 bactérias e depois de minutos, de 56. Determine a população inicial (isto é, quando t = 0). Resposta:

12 5. Utilize deslocamento para fazer um esboço do gráfico das seguintes funções e determine o domínio das mesmas: a) f() = e + b) f() = ln( ) c) f() = e + d) f() = ln(+) e) f() = ln f) f() = ln g) f() = ln(+) 6. Determine o domínio ( ) das funções a) f() = log b) y = log 6 ( 7 + ) R: a) (, + ) b) (, ) 7. Resolva as seguintes inequações: a) log ( ) b) log ( + ) + log ( 9) > c) log 5 > log 5 ( + 5) R: a) [, + ) b) (, + ) c) (7, + ) 6 { 8. Determine os valores (, y) que são soluções do sistema R: (, ) ou (, ) 9. Determine o intervalo em que a função f() = 0. Resolva log 0 +. log 0 = R: {0, 00} +y = 8 log + log y =. ( ) log log está definida. R: (0, /). Sejam a e b números reais positivos, tais que log a log b =. Determine o valor da razão a b R:. Determine o conjunto das soluções da equação log ( ) = log R: { R/ = ± ou = ±/}. É dada a função f definida por f() = log log ( ) (a) Determine os valores de para os quais f() R: (b) Determine os valores de para os quais f() > R: (, + ). Resolva a equação log = + log 9. R: {/, 9} 5. Se log ( ) = a, qual será o valor de log ( + ). (DICA: analise o produto ( )( + )) R: a 6. Resolva a equação 0 log a ( +) = 6 log a 0, em que a = 0. R: {, } 7. Converta para radianos: a) 90 0 b) 00 0 c) 5 0 d) 0 0 e) 60 0 R: a) π/ b) 5π/ c) π/ d) π/ e) π/9 8. Faça um esboço do gráfico das seguintes funções: a) f() = sen( ) b) f() = cos( ) c) f() = cos( + π) d) f() = tg( π ) 9. Determine para quais valores reais de p eiste tal que: a) sen = 7p+ b) sen = p 0p+ c) sen = d) sen = p e) sen = 8 5p 5 p p R: a) [ 8/7, /7] b) [0, ] [6, 0] c) (, 0] [, + ) d) [0, ] e) [5/, /6]

13 0. Determine a) cos ( π ), sendo que sen = b) sen( π ), sendo que cos = 5 R: a) / b) /5. Determine o domínio de f() = tg( ). R: { R/ (n + )π, n = 0,,, }. Na função f() = tg(m), determine o valor de m tal que o período da função seja π. R: m =. Determine o que se pede em cada caso: (a) cotg, sendo sen = e cos = ; R: / (b) tg, sendo cotg = ; R: / (c) sec, sendo cos = ; R: / (d) cos, sendo sec = 5; R: /5 (e) sec, sendo cos = 5 ; R: / 5 (f) cos, sendo sec = 7; R: / 7 (g) cossec, sendo sen = 7 8 R: 8/ 7 (h) sen, sendo cossec = 0. R: /0. Determine o valor de m, e qual o quadrante do arco, de modo que se tenha: a) sen = m+ e cos = m 5 R: m =, I b) cos = 7m e sen = m R: m = ±/, II ou IV 5. Verifique as seguintes identidades: (a)sec + cotg = (csc)(cos + tg) (b)sec + csc = sec.csc (c)sen () = cos() (d) cos () = +cos() 6. Determine o período das seguintes funções e esboce seus gráficos: a) f() = sen(7) b) f() = cos( ) c) f() = tg(π) R: a) T = π/7 b) T = 8π c) T = 7. Verifique as seguintes igualdades: (a)sen = sen(π ) (b) cos = cos(π ) (c)tg = tg(π ) (d)cotg = cotg(π ) (e)sec = sec(π ) (f)cossec = cossec(π ) 8. Verifique a paridade das seguintes funções: a) f() = n em que n N b) f() = tg c) sec R: a) par, se n par e ímpar se n ímpar b) ímpar c) par 9. Mostre que tg(a) = tga tg a, com a π + kπ. 50. Resolva a equação sen 7sen = 6. R: = π ± nπ, n = 0,,, 5

14 SEGUNDA LISTA DE EXERCÍCIOS. Em cada situação verifique se o limite eiste. Caso eista calcule-o. a) lim b) lim se < + c) lim f ( ), em que f ( ) = se < d) lim 0 ( ) se. Calcule lim h 0 f ( o + h) h f ( ) o em cada caso a seguir: a) f() = b) f() = a + b + c c) f() =. Calcule os limites indicados: a) lim sen d) lim f) lim + h) lim ln( ) j) l) n) 0 lim + lim 0 lim p) lim e (0 sen + cos ) 0+ b) lim ( ) (sen + cos + 0) 5 e) g) lim + 7 lim 5 5+ i) lim ln( ) k) m) o) lim t 9 lim 0+ 9 t t cos( ) lim c) lim sen. Se eiste o lim f ( ), então lim f ( ) = f(5)? Comente sobre sua resposta Determine constantes a, b e L para que a função abaio seja contínua em IR. + a + para < f ( ) = L para =. b + para >

15 6. Mostre que a equação + = 0 possui pelo menos duas raízes reais. + a+ a+ 7. Eiste um número a tal que lim eista? Caso afirmativo, + encontre a e o valor do limite. 8. Encontre todos os valores de a para os quais a função y = f() a seguir é contínua para todos os valores de : + para a f ( ) =. para > a a + b Determine os valores de a e b tais que lim = A figura abaio mostra um ponto P sobre a parábola y = e o ponto Q dado pela interseção da mediatriz do segmento OP com o eio y. À medida que P tende ao vértice da parábola, o que acontece com o ponto Q? Ele tem uma posição limite? Se sim, encontre-a. Respostas: ) a ). b ) não eiste; mas os limites laterais são:, quando + e - + quando. c ) não eiste; mas os limites laterais são:-, quando e quando. d ). ) a ) o. b ) a o + b. c ). ) a ) 0. b ) 0. c ) 0. d ) -. e ). f ) 0. g ). h ). i ). j ) l ). m ). n ) -. o ). p ) 0. 5 ) a = ; b = 6; L =. 7 ) a =5; o limite é igual a -. ± 5 8 ) a =. 9 ) a = 0; b =. 0 ) Q 0,. o 5. k ) 6. Um breve resumo das aulas encontra-se em no link Turmas Especiais de CálculoI, no Cronograma.

16 - Cálculo - Limites -. Calcule, se eistirem, os seguintes limites: (a) lim ( ); (b) lim 8; + + (c) lim + 5 (d) lim (e) lim. Faça o esboço do gráfico de f() = entre lim f() e f()?. Seja f a função definida por f() = 9 + ; ; 7 (f) lim ; + (g) lim 0 se < 6 se = + 0 se > { se se = (a) Encontre lim f() e verifique que lim f() f(). (b) Faça um esboço do gráfico de f. {. Seja f a função definida por f() = 9 se se = (a) Encontre lim f() e verifique que lim f() f() (b) Faça um esboço do gráfico de f. f( + h) f() 5. Determine o valor de lim quando h 0 h a) f() = b) f() = c) f() =. (h) lim ; (j) lim y 8t 7 t 9 ; 5 (i) lim + ; y 9 y + 7y + ; h (k) lim ; h h 5 + h (l) lim ; h 0 h 6 (m) lim ; ; (n) lim. e observe no gráfico o valor de lim f(). Há alguma diferença 6. Nos ítens a seguir, calcule os limites laterais pedidos e verifique se o limite (bilateral) eiste. Caso eista dê seu valor. (a) f() =, lim f(), 0 + (b) f() = (c) f(r) = (d) g() = 7. Dada f() = + se < se = se > r + se r < se r = 7 r se r > + se < 0 se = se > lim f(), lim f() Eiste lim f()? 0 ; lim f(), lim f(), lim f() + ; lim f(r), lim f(r), lim f(r) r + r r ; lim + f(), lim f(), lim f() 8. Dada f() = +. Verifique se eistem os limites abaio e, caso eistam, determine seus valores: a) lim f() b) lim f(). 0

17 - Gabarito -. Calcule, se eistirem, os seguintes limites: se <. f() = 6 se = + 0 se > (a) lim ( ) = ; (h) lim 8t 7 9 t 9 = ; (b) lim 8 = 5 ; (i) lim + = 7 ; y (c) lim = ; (j) lim y y + 7y + = 5 ; 9 (d) lim + = 6; h (k) lim = 0 + 5; h h 5 (e) lim = + h ; (l) lim = h 0 h ; 7 6 (f) lim = 7; (m) lim = ; + (g) lim = ; (n) lim 0 6 =. lim f() = f() = 6 { se. f() = se = {. f() = 9 se se = lim f() = f() =. lim f() = 0 f( ) =. (a) Figura e. (b) Figura e. (c) Figura e. 5. a) b) c). 6. (a) lim f() =, lim f() =, lim f() (b) lim f() =, lim f() =, lim f() + (c) (d) lim r f(r) = lim f(r) = 5, lim f(r) = 5 + r r lim f() = 5, lim f() = 6, lim f() + 7. lim f(), pois lim f() = e lim f() = a) lim f() = 0 b) lim f() =, lim f() =, lim f()

18 - Cálculo - Limites - Lista. Determine, caso eistam, os seguintes limites: a) lim 0 +( 5 ) b) lim c) lim e) lim f) lim g) lim y i) lim j) lim ( 5 k) lim y ) m) lim ( + ) n) lim ( ) o) lim q) lim r) lim + + s) lim u) lim ( ( + ) v) lim w) lim ) y) lim 0 z) lim α) lim a + bt a γ) lim δ) lim 5 5 ϵ) lim 7 6 t 0 t 7 ζ) lim η) lim θ) lim d) lim 5 5 h) lim l) lim + ( + ) p) lim t) lim ( + ) + ) lim 0 + β) lim ( + ) ε) lim z ϑ) lim z z Sejam f() = { + se + se >. e g() = { se se >. (a) Eiste lim f()? (b) Encontre uma epressão para f().g() e mostre que eiste lim ( f().g() ). Considere a função definida por: f() = a) Faça o gráfico da função f. b) Determine: lim 0 f() lim f() 0 + +, < 0, 0 <, lim f() 0 lim f() lim f() lim f() f( + h) f(). Calcule lim, quando: a) f() = sen b) f() = cos c) f() = h 0 h. sen 5. Sabendo-se que lim = e que cos = sen ( sen() 0 ), calcule: a) lim 0 5 cos b) lim Sabendo-se que as desigualdades 6 < sen() < valem para todos os valores de próimos de zero, calcule cos() sen() lim 0 cos(). 7. Mostre que se f() M e lim a g() = 0 então lim a ( f().g() ) = 0 sen 8. Use o item anterior para mostrar que lim = Encontre as assíntotas verticais e/ou horizontais das seguintes funções: (a) f() = 0. Observando o gráfico das funções eponenciais conclua que + 9 ; (b) g() = ; (c) h() = + ; (d) ψ() = + ; (e) ϕ() = + ; (f) φ() = +. lim + a = { +, se a > 0, se 0 < a < e lim a = { 0, se a > +, se 0 < a <

19 . Calcule os seguintes limites: ( ) ( ) (a) lim (b) lim (c) lim ( ) (d) lim ( ) (e) lim + ( ). se. Seja f() = se < f é contínua em =? Em =? Em =? Em =? se > { + se. Seja f() = se > f é contínua em =?. Seja f() = { se se = f é contínua em =? 5. Encontre os pontos, caso eistam, nos quais f é descontínua e dê as razões para esta possível descontinuidade: (a) f() = 8; (b) f() = + ; (c) f() = + (d) f() = Verifique se as funções a seguir são contínuas nos pontos indicados. Caso não sejam, determine as razões da descontinuidade. (a) f() = + em = ; (b) f() = (c) f() = em = e em = ; { se 5 se = em =. 7. Encontre um valor para a constante k, se possível, para que a função seja contínua para todo R. { 7 se (a) f() = k se > { k se (b) f() = + k se > 8. Encontre os valores das constantes k e m, se possível, que para que seja contínua para todo R a função + 5, se >, f() = m( + ) + k, se <, + + 7, se. 9. Dê eemplo de duas funções f e g descontínuas em um certo ponto = c tal que f + g seja contínua neste ponto. 0. É verdade que uma função contínua que nunca é zero em um intervalo nunca muda de sinal nesse intervalo? Justifique sua resposta.. Utilize o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que a equação + + = 0 possui pelo menos uma solução no intervalo [, ].. Mostre que, se p() é um polinômio de grau ímpar, então e equação p() = 0 possui pelo menos uma solução real.. (Contração de Lorentz) De acordo com a teoria da relatividade, o comprimento de um objeto, por eemplo, de um foguete, parece a um observador depender da velocidade com que o objeto se desloca em relação a esse observador. Se ele medir o comprimento L 0 do foguete em repouso e em seguida com a velocidade v, o comprimento parecerá ser L = L 0 v c, sendo c a velocidade da luz no vácuo. O que acontece com L à medida que v aumenta? Calcule lim L. Por que é necessário tomar v c o limite lateral à esquerda?

20 - Cálculo - Limites - Gabarito Lista. a) b) 0 c)- d) e) + f) g) h) 6 i) 0 j) 5 k) l) + m) n) o) 0 + p)+ q) 0 r) 0 + s)- t) + u) v) w) + ) + y) + z) α) β) γ) 7 δ) b ϵ) a +a ε) ζ) 7 η) θ) 5 ϑ) 0. (a) Não, pois lim f() = e lim f() =. + { (b) f()g() = + se ( ) lim f().g() = + se >.. a) b) lim 0 f() = lim f() = lim 0 f() lim f() = lim f() = + lim f().. a) cos b) sen c) f() =. 5. a) /5 b) 0. sen() 6. lim 0 cos() =. 7. M g() f().g() M g() lim Mg() lim f().g() lim Mg() M lim g() lim f().g() M lim g() 0 lim f().g() 0 lim f().g() = sen e lim + = 0 lim sen = (a) Assíntotas verticais: = e =, Assíntota horizontal: y = 0; (b) Assíntota vertical: =, Assíntota horizontal: y = 0; (c) Assíntota vertical: =, Assíntota horizontal: y = ; (d) Assíntota vertical: = 0; (e) Assíntota vertical: = ; (f) Assíntota vertical: = { +, se a > lim + a = 0, se 0 < a < e { 0, se a > lim a = +, se 0 < a <. (a) + (b) 0 (c) + (d) (e)

21 . f não é contínua em =, pois lim já que lim f() = f( ) = 0, lim. Sim, pois lim f() = f() =.. Não, pois lim f(). f() = e lim f() = 0, logo lim f(). Em =, = e = ela é contínua, + f() =, lim f() = f( ) =. 5. (a) Contínua em R; (b) Descontínua em = ±, pois f() e f( ); (c) Descontínua em = 0 e = ±, pois f(0), f( ) e f(); (d) Contínua em R. 6. (a) Contínua em = ; (b) Contínua em = e descontínua em = pois f(); (c) Contínua em =. 7. (a) 5 (b) / 8. k = e m = 5/. 9. f() = { 0 se < 0 se 0. e g() = { se 0 0 se > Sim, pois, pelo teorema do valor intermediário, se ela mudasse de sinal então o zero deveria ser também imagem da função.. f() = + = 0 f() = e f( ) =, logo, pelo Teorema do Valor Intermediário, eiste 0 [, ] tal que f( 0 ) = 0.. Se p() é um polinômio de grau ímpar, então vai sempre eistir um 0 R para o qual p( 0 ) e p( 0 ) têm sinais opostos. Logo, pelo Teorema do Valor Intermediário, eiste c [ 0, 0 ] tal que p(c) = 0.. À medida que v aumenta L diminui. lim v c L = 0. O limite lateral à esquerda é necessário já que a função não está definida para v > c.

22 As listas de eercícios podem ser encontradas nos seguintes endereços: ou na pasta J8, no ero (sala06) TERCEIRA LISTA DE EXERCÍCIOS. Derive: a) y = b) y = 9 c) d) y = y = Calcule lim h 0 ( 9 + h) h cos h. Calcule o lim. h 0 h 000. Calcule lim 000. Como esse limite se relaciona com uma derivada? 5. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de y = 5, no ponto de abscissa = Determine a equação da reta r tangente ao gráfico de y = + + e que é paralela à reta de equação y = Determine as tangentes horizontais ao gráfico de y = Mostre que a reta de equação y = é tangente à curva de equação y = Encontre o ponto de tangência. Respostas: dy ) a) 8 5 dy 5 dy 60 9 = + 9. b) =. c) = +. d d d dy d) =. ) 6 9. ) 0. d 7 ) Esse limite é igual a 6) y = +. 7) 000 d = = ) y =. d y = em = e y = em =. 8) (, ).

23 a se < 9. Considere a função dada por f ( ) = se =. + b + c se > a) Encontre uma relação entre a, b e c para que f seja contínua em =. b) Determine os valores de a, b e c para que f seja derivável em =. 0. Derive: a) y = e +5 b) y =. cos c) y = sen ( ln ( ) ). Qual é o domínio dessa função? Qual é o domínio da derivada y? 7 d) y = ( 5 + 9) e) e + y = ( + + 7) 5 9 f) y = ( + ) ( + + ) g) y = e h) y = ln( ) tg( ln( sen ) ) ln i) y = e j) y = e k ) y = ln(cos). Mostre que h(t) = t não é derivável em t =. π π. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de y = sen( ) + cos( ) no ponto de abscissa =. + h( ). Seja f ( ) =. Se h é derivável, h() = e h () = 0, calcule f ().. Suponha que h() seja uma função derivável e que f() = h( 5 ). Determine f (). 5. Em cada caso, verifique se a derivada eiste. Em caso afirmativo escreva a epressão de f (). sen se 0 sen se 0 a) f ( ) = b) f ( ) = 0 se = 0 0 se = 0 Respostas: 9) a ) a = ; b + c =. b ) a = ; b = ; c =. dy +5 dy sen dy cos( ln( ) ) 0) a) = e. b ) = = sec tg. c) =, para <0. d d cos d d) dy 6 = 7( 5 + 9) ( 0 + ). d dy e) e + 6 = d dy f) = ( )( + ) ( + + ) + 9( 0 + )( + + )( + ). d dy g) = ( ) e. h) dy dy =. i ) ( ) ( ) tg( ln( sen ) ) = cot g sec ( ln sen ) e d d d dy dy j) =. k) = tg. ) π π y =. ) 6. ) f () = 5 h ( 5 ). d d 5) a ) f ( ) = sen cos se 0. A derivada não eiste em = 0. b ) f ( ) = sen cos se 0 e f ( 0 ) = 0.

24 6. Um avião, à velocidade constante de 500 km/h, voa horizontalmente a uma altitude de.000 metros e passa diretamente sobre uma estação de radar. Encontre a taa segundo a qual a distância do avião até a estação está crescendo quando ele está a.000 metros da estação. 7. Uma luz situa-se no topo de um poste de 5 m. Um homem com,80 m de altura afasta-se desse poste com uma velocidade de m/s. Quando o homem estiver a 0 m do poste, determine: a) a taa de variação do comprimento de sua sombra. b) a velocidade do topo de sua sombra. 8. Dois carros partem de um mesmo ponto. Um viaja para o sul a 60 km/h, e o outro para oeste a 5 km/h. A que taa está aumentando a distância entre os carros duas horas depois da partida? 9. A altura de um triângulo cresce a uma taa de cm/min, enquanto sua área cresce a uma taa de cm /min. A que taa estará variando a base desse triângulo quando sua altura for 0 cm e sua área 00 cm? 0. Ao meio-dia, um navio A está 00 km a oeste do navio B. O navio A está navegando para o sul a 5 km/h, e o navio B está indo para o norte a 5 km/h. Quão rápido estará variando a distância entre eles às horas da tarde?. O volume de um cubo está aumentando à taa de cm por segundo. Com que taa estará variando a área de uma de suas faces quando sua aresta tiver 0 cm?. Uma partícula está se movendo ao longo do gráfico da função f ( ) =. Quando a partícula passa pelo ponto (, ), sua coordenada está crescendo a taa de cm/s. Quão rápido está variando a distância dessa partícula à origem, nesse instante?. Um papagaio (pipa) a 00 metros acima do solo move-se horizontalmente a uma velocidade de metros por segundo. A que taa estará decrescendo o ângulo entre a linha e a horizontal depois de terem sido soltos 00 metros de linha?. Dois lados de um triângulo medem m e 5 m, e o ângulo entre eles está crescendo a uma taa de 0,06 radianos por segundo. a) Encontre a taa segundo a qual estará variando o comprimento do terceiro lado desse triângulo quando o ângulo entre os lados de comprimento fio for π /. b) Encontre a taa segundo a qual a área desse triângulo estará crescendo quando o ângulo entre os lados de comprimento fio for π /. 5. Um farol está localizado em uma ilha, e a distância entre ele e o ponto mais próimo P em uma praia reta no continente é de km. Sua luz faz quatro revoluções por minuto. Quão rápido estará se movendo o feie de luz ao longo da praia quando ele estiver a km do ponto P? Respostas: 9 6) 50 km/h. 7) a ) 75 m/s; b ) m/s. 8) 65 km/h. 9) -,6 cm/min. 0) ) a ) 70 km/h. ) cm /s. ) 5 0,6 7 m/s; b ) 0, m /s. 5) π cm/s. ) R ) rad/s km/min.

25 6. Um velocista corre em uma pista circular de raio 00 m, a uma velocidade constante de 7 m/s. Seu amigo está em pé a uma distância de 00 m do centro da pista. Quão rápido estará variando a distância entre eles quando a distância entre eles for de 00 m? 7. Encontre os pontos P e Q, sobre a parábola y =, de forma que o triângulo ABC formado pelo eio e pelas retas tangentes a parábola em P e Q seja eqüilátero. 8. A figura mostra um círculo de raio inscrito na parábola de equação y =. Determine as coordenadas do centro desse círculo. Respostas: 7 5 6) m/s. 7) P =, e 5 Q =,. 8) 0,.

26 9. A figura mostra uma roda giratória de 0 cm de raio e uma barra de coneão AP de comprimento fio, m. O pino P pode escorregar para frente e para trás ao longo do eio à medida que a roda gira no sentido anti-horário a uma taa de 60 revoluções por minuto. Encontre uma epressão para a velocidade do pino P em termos do ângulo θ, indicado na figura. 0. Um bote é puado em direção ao ancoradouro por uma corda que está atada à sua proa e que passa por uma polia sobre o ancoradouro, que está m mais alto do que a proa desse bote. Se a corda for puada a uma taa de m/s, quão rápido o bote aproima-se do ancoradouro, quando ele estiver a 8 m dele?. A curva seguinte é a representação geométrica da equação y = Ache a equação da reta tangente a essa curva no ponto (,) -. cos θ + cos θ 8 sen θ d Respostas: 9) 88 + = dt cos θ + 8 ) y =. + m/s. 0) 65 m/s. 8

27 - Cálculo : Lista de eercícios - Taas Relacionadas. Um tanque tem a forma de um cone invertido, tendo uma altura de 6 m e uma base com raio de m. A água está fluindo dentro do tanque a uma vazão de m /min. Quão rápido se elevará o nível de água quando a água estiver com 5 m de profundidade? R: /(5π)m/min. Um tanque de água tem a forma de um cone circular invertido com base de raio m e altura igual a m. Se água está sendo bombeada dentro do tanque a uma taa de m /min, encontre a taa na qual o nível de água está elevando quando a água está a m de profundidade. R: 8/(9π)m/min. Uma escada de m de comprimento está apoiada em uma parede. Se a base da escada desliza, afastando-se da parede a uma taa de m/s, quão rápido o topo da escada escorrega para baio quando a base está a m da parede? R: /m/s. Um homem anda a m/s e um holofote o acompanha a 0 m do caminho. A que taa o holofote está girando quando o homem está a 5 m do ponto mais próimo da luz? R: /65rad/s 5. A Lei de Boyle estabelece que quando uma amostra de gás está a uma temperatura constante, a pressão P e o volume V satisfazem a equação P V = C, em que C é uma constante. Suponha que em um certo instante o volume é 600 m, a pressão é 50 kp a e a pressão cresce a uma taa de 0 kp a/min. A que taa está decrescendo o volume nesse instante? R: 80m /min 6. Quando o ar epande adiabaticamente (sem troca de energia térmica), sua pressão P e o volume V estão relacionados pela equação P V, = C, em que C é uma constante. Suponha que em um certo instante o volume é 00 cm, a pressão é 80 kp a e a pressão cresce a uma taa de 0 kp a/min. A que taa está decrescendo o volume nesse instante? R: 5, 7cm /min 7. Uma queimadura na pele de uma pessoa tem a forma de um círculo. Se o raio da queimadura está decrescendo a uma taa de 0,05 cm por dia quando ele é cm, qual a taa de decréscimo da área da queimadura nesse instante? R: π/0cm /dia 8. Suponha que numa farmácia P seja o preço da caia de um determinado remédio, o número de milhares de caias desse remédio ofertadas diariamente, sendo a equação de oferta P 0P + 05 = 0. Se a oferta diária está decrescendo a uma taa de 50 caias do remédio por dia, em que taa os preços estão variando quando a oferta diária é de 5000 caias? R: 0, 05reais/dia 9. O carro A está indo para o oeste a 50 Km/h e o carro B está indo para norte a 60 Km/h. Ambos estão dirigindo para a interseção de duas ruas. A que taa os carros estão se aproimando um do outro quando o carro A está a 0, Km e o carro B está a 0, Km da interseção? R: Os carros se aproimam um do outro a uma taa de 78Km/h. 0. Um quadrado se epande de modo que seu lado varia à razão de 6 cm/s. Determine a taa de variação da área do quadrado no instante em o lado meça 0 cm. R: 0cm /s. O raio de uma bola cresce à razão cm/s. Determine a taa de variação do volume da bola no instante em que o raio é 8 cm. R: 768πcm /s. Uma escada de 5 m de comprimento se apóia em uma parede vertical. A etremidade inferior da escada se afasta da parede a uma razão de 0,8 m/s. Quão rapidamente está descendo a etremidade superior da escada no instante em que a etremidade inferior estiver a m da parede? R: -0,6 m/s. Um homem anda ao longo de uma estrada reta a uma velocidade de m/s. Um farol giratório que está a 6 m da estrada focaliza o homem. A que taa o farol está girando, quando o homem estiver a m do ponto do caminho mais próimo do farol? R: / rad/s. Dois carros partem de um mesmo ponto. Um viaja para o sul a 60 km/h, e o outro para oeste a 5 km/h. A que taa está aumentando a distância entre os carros duas horas depois da partida? R: 65m/s 5. O volume de um cubo está aumentando à taa de cm por segundo. Com que taa estará variando a área de uma de suas faces quando sua aresta tiver 0 cm? R: 5cm /s

28 - Cálculo : Lista de eercícios - Derivadas. Para cada função f dada, calcule a derivada indicada: (a) f() = , d5 y d 5 ; (b) f() = sen, d7 y d 7 ; (c) f() =, dn y d n ;. Determine a derivada de ordem n de y = ln.. Derive: (a) y = arctan(arcsen); (b) y = ln(sec + tg); (c) y = ; (d) y = arcsen( ); (e) y = arcsen(e ).. Determine para quais valores de cada função a seguir está definida: a) y = arcsen( + ) b) y = arccos(e 5) c) y = arctg( + ) 5. Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de cada função a seguir: a) y = b) y = Determine os pontos críticos de cada função a seguir: a) y = + b) f() = + ++ c) y = / d) y = /5 7. Determine, se eistirem, os valores máimos e mínimos de cada função a seguir, no intervalo indicado: a) y = +, [0, ] b) y = ( ), [, ] c) g(t) = t t, [, ] d) y = sen, [ π, ] π, e) y = e e, (, + ) f) y = +, na reta. Respostas:. (a) d5 y d = 0; (b) d7 y 5 d = cos, (c) dn y 7 d = ( )n n! n n+. d n ln d n = ( )n (n )! n. (a) y = (+arcsen ) ; (b) y = sec; (c) y = ( + ln ); (d) y = (e) y = e (e ). (a) 0; (b) ln ln 6, (c) < < + 5. (a) Cresce para 0 < < e < < +, decresce para < < 0 e < <. (b) Cresce para < < 0 e < < +, decresce para 0 < <. 6. (a) = e = /; (b) = e = 0; (c) = 0; (d) = (a) Máimo: y = 9 em = ; Mínimo: y = em = ; (b) Máimo: y = 7 em = ; Mínimo: y = em = 0; (c) Máimo: g = em t = ; Mínimo: g = em t = ; (d) Máimo: y = π em = π ; Mínimo: y = + π em = π ; (e) Não tem máimo nem mínimo em < < ; (f) Não tem máimo nem mínimo em < <.

29 - Cálculo : Lista de eercícios 5 - Regra de L Hospital e Construção de Gráficos. Calcule os limites: ln a) lim 0 + ( ) d) lim tan + g) lim + e j) lim sen ln 0 + m) lim + + p) lim 0 arctan sen b) lim 0 sen tan e) lim π/ tan() h) lim 0 + ln sen() k) lim 0 + n) lim 0 + tan sen q) lim + (ln ) c) lim + f) lim 0 tan(p) tan(q), q 0 i) lim e l) lim + ln ( o) lim 0 ) sen ( r) lim + a ) b + ( ) s) lim t) lim (e + ) / ( ) + u) lim ln v) lim ()p/ w) 0 + lim 0 + (cos)/ ) lim 0 ( ) / Respostas: a) b) /6 c) 0 d) e) f) p/q g) 0 h) 0 i) 0 j) 0 k) 0 l) + m) / n) o) 0 p) q) r) e ab s) /e t) e u) e 8 v) e p w) e / ) e

30 . Esboce os gráficos das funções abaio, indicando, quando eistirem, os pontos críticos, pontos de máimo e mínimo locais, pontos de infleão, assíntotas, intervalos de crescimento e decrescimento e a concavidade do gráfico. a) y = + 5 b) y = c) y = d) y = 6 + e) y = + g) y = e h) y = e f) y = ( ) i) y = ln j) y = ln k) y = 5 / 5/ l) y = /

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32 - Cálculo : Lista de eercícios - Otimização. Encontre o ponto sobre a resta y = + 7 que está mais próimo da origem. R: (-8/7,7/7). Se r() é a receita proveniente da venda de ítens, c() é o custo da produção de ítens e p() = r() c() é o lucro sobre a venda de ítens, então, o retorno (receita), o custo e o lucro marginais provenientes desse nível de produção ( ítens) são dados, respectivamente por dr d, dc d, dp d. Suponha que r() = 9, c() = 6 + 5, em que representa milhares de unidades. Há um nível de produção que maimize o lucro? Se houver, qual é? Há um nível de produção que minimize o custo? R: Sim: = + mil unidades ou = mil unidades. Não.. Calcule a quantidade de medicamento à qual o organismo é mais sensível determinando o valor de M 0 que maimiza a derivada dr/dm, sendo ( C R = M M ) e C uma constante. R: M = C/. Quando tossimos, a traquéia se contrai e aumenta a velocidade do ar que passa. Isso levanta questões sobre o quanto deveria se contrair para maimizar a velocidade e se ela realmente se contrai tanto assim quando tossimos. Considerando algumas hipóteses razoáveis sobre a elasticidade da parede da traquéia e de como a velocidade do ar próimo às paredes é reduzida pelo atrito, a velocidade média v do fluo de ar pode ser modelada pela equação v = c(r 0 r)r r 0 cm/s, r r 0, em que r 0 é o raio, em centímetros, da traquéia em repouso e c é uma constante positiva, cujo valor depende, em parte, do comprimento da traquéia. Demonstre que v é a maior quando r = /r 0, ou seja, quando a traquéia está cerca de % contraída. 5. Quando o estanho metálico é mantido abaio de, o C, lentamente se torna quebradiço e acaba por se esfarelar, tornando-se um pó cinza. Um catalisador para uma reação química é uma substância que aumenta a velocidade da reação sem sofrer nenhuma mudança permanente. Uma reação autocatalítica é aquela em que o produto é o catalisador de sua própria formação. Quando tanto a substância original quanto o produto catalisador são abundantes, a reação ocorre mais rapidamente. Em alguns casos, é razoável admitir que a velocidade de reação v = d/dt é proporcional tanto à quantidade de substância original quanto à quantidade de produto. Ou seja, v pode ser epressa por v = k(a ) = ka k, sendo a quantidade de produto, a é a quantidade de substância no início e k é uma constante positiva. Com que valor de a velocidade v apresenta um máimo? Qual o valor máimo de v? R: = a/ e v = ka / 6. Um observatório será construído na forma de um cilindro circular reto com uma abóboda esférica como cobertura. Se o custo da construção da abóboda será duas vezes mais caro que na parede do cilindro quais deverão ser as proporções mais econômicas do observatório supondo que o volume é fio? R: r 0 = [V/(8π)] / e h = [V/(9π)] / /[V/π] /. 7. Uma pulga, ao saltar, teve sua posição no espaço descrita em função do tempo pela epressão h(t) = t 5t, sendo h a altura atingida, em metros e t em segundos. Em que instante a pulga atinge a altura máima do solo? R: 0, segundos. 8. O produto de dois números positivos é 00. Determine esses números sabendo que a soma deles tem o menor valor possível. R: 0 e Determine dois números cuja soma seja 5 e cujo produto seja máimo. R: 5/ e 5/.

33 0. Encontre o ponto da reta de equação y = + mais próimo do ponto (, ). Qual é a distância mínima? R: (-,7;-,) e a distância é 8,.. Uma área retangular de 080m será cercada e dividida, também por meio de cercas, conforme a figura: Cada metro de cerca eterna custa R$9,00 e cada metro da cerca usada nas divisões internas custa R$6,00. Encontre as dimensões da região retangular que minimizarão o custo total. R: 6m e 0 m.. Determine as dimensões do retângulo de maior área possível que pode ser inscrito na elipse de equação Qual é a área desse retângulo? R: e, com área igual a. 9 + y =.. A área do piso de uma loja retangular é 5m. De suas quatro paredes de mesma altura, as três laterais devem ser de tijolos e a da frente de vidro. O metro quadrado da parede de vidro custa o dobro do preço do metro quadrado da parede de tijolos. Quais as dimensões da loja que minimizarão o custo total do material usado nessas quatro paredes? R: 0m e 5 0 m.. Um arame de 0 cm de comprimento deve ser cortado em dois pedaços, um para formar um quadrado e outro para formar um triângulo equilátero. Como se deve cortar o arame para que a soma das áreas do quadrado e do triângulo seja: a) máima? b) mínima? R: (a) usar todo o arame para o quadrado. (b) usar cm para o quadrado e cm para o triângulo. 5. Um cartaz deve ter uma área de 600 cm para a mensagem a ser impressa; as margens no topo e na base devem cada uma 7,5 cm e de 5 cm nas margens laterais. Determine as dimensões do cartaz para que seja mínima as quantidade de papel usada. R: largura: 0 cm e altura 5 cm. 6. Dentre todos os triângulos isósceles de perímetro fio, mostre que o de maior área é o equilátero. 7. Uma pessoa está no ponto A da margem de um rio e deseja chegar ao ponto B na margem oposta, fazendo o percurso indicado na figura abaio. Sabendo que pode se deslocar na margem a uma velocidade de 0 m/s e na água a uma velocidade de 5 m/s, determine o ângulo α de modo que ela vá de A até B no menor tempo possível. Sabe-se que a distância entre A e B é 500 m e a largura do rio é 00 m. R: α = π/.

34 Seta lista de eercícios. Calcule, em cada caso, a área indicada: a) y b) y y = - - y = c) y d) y y = + - y = + _ e) y y = f) y y = - y = - + y = -

35 g) y h) y y = y = y = y = 8 - y = i) j) y y y = - 8 y = - + y = y = - y = k) y y = cos ( / ) y = sen π

36 . Determine a diferencial de cada função a seguir: a) u = + 5 b) y = t 5t + 6 c) u = ln. Calcule as seguintes integrais indefinidas: a) d c) + d d) e 7cos(5 )) + b) d ( ( 6 + )( + ) d + (ln ) e) d 5 sen cos d g) h) i) cos d d sen e sen( e cos( e ) f) d j) (Sugestão: escreva sen = sen sen). k) d cos sen d (Sugestão: faça u = ) l) (Sugestão: escreva cos = cos.cos). m) tg( ) d n) ) d sec ( y) tg( ) y dy 5 o) + d p) + d q) d r) ln d s) u) + d + t) d e t t e + dt. Calcule as seguintes integrais definidas: a) ( ) d. b) d c) d + + d) e dv v ln v e) e u u du f) π / 0 senθ dθ cos θ g) + d h) d + 5 i) 0 ( + 5) d

37 G ( ) = ft ( ) dt f (t) 5. Considere, onde é a função cujo gráfico esta representado na figura a seguir. 0 Sabendo que as áreas das regiões,, e R são A( R ) =, A( R ) =, A( R ) = e A( R ) =, R R R a) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento da função G. b) Determine os pontos de máimo e de mínimo local da função G. c) Marque no eio os pontos de infleão da função G. d) Determine os intervalos onde o gráfico de G possui concavidade para cima e onde possui concavidade para baio. e) Calcule G(0), G(), G(), G () e G(). f) Determine os pontos de máimo e de mínimo absolutos da função G no intervalo [ 0, ]. g) Faça um esboço do gráfico da função G. 6. Em cada item, determine a função f sabendo que: a) f '( ) = + e que f () = 5. b) f '( ) = e que f (0) =. c) f ( ) = + cos( ) e que f (0) = e f (0) = Determine os possíveis valores de b para que ( 6) d = Em cada item, esboce a região limitada pelas curvas dadas e calcule a área dessa região. b 0 = + y a) y = 5 e y 6 5. b) = e y =. c) y = +, y = 9, e = =. d) y = e y =. y = sen y cos e), =, = 0 e = π. f) + y = e = y. g) = y e = y h) y ( ) = e y = 0.

38 9. Calcule a área entre o gráfico de y = e sua reta tangente em =. se: 0. Em cada item calcule f ( ) a) ( ) cos( ) f = t dt. b) cos( ) = dt c) f ( ) t + t dt. f ( ) = RESPOSTAS: 0 ) a) b) c) d) e) f) 6 ) a) du=d b) dy = ( 6t 5)dt c) ) a) 5 ( + ) d) ln + d du = g) + b) + arcsen( ) 8 8 e) ln ( ln ) h) 6 c) + f) ln( ) 5arctg( ) ( ) h) ln cos( e ) i) sen cos + j) cos + 5 sen sen tg y l) m) ln cos n) arctg 5 ( ) q) + 6( ) + ln( t t) ( e ) i) e 7sen g) k) ( ) ) r) ln ( ) j) k) 6 ( 5) sen 6 6 ( 5 ) ( ) o) ( ) p) ( ln( + ) + s) ln( + ) arctg( ) arctg u) 7 6 ) a) -9 b) ( 9 ) c) 0 d) e) f) g) 0 h) ln i) ) a) b) ln c) cos ) a) 9 b) c) d) e) ( ) f) g) h) 7 9) 0) a) ( ) cos b) cos ( ) sen( ) 7) 0, ± c) ( ) + 5

39 MAT00 Cálculo Diferencial e Integral Sétima lista de eercícios. Calcule cada uma das integrais indefinidas a seguir: a) cos d b) ln c) sen d d) arctg d ( ) e) e sen( ) d f) d ln d g) arctg d h) d. Calcule cada uma das integrais definidas a seguir: a) ln d b) e d c) d 0 ( + ). Calcule a área da região limitada pelo gráfico de y = ln e y = 0 de =. = a e. Decomponha cada função racional a seguir em soma de frações parciais, sem determinar as constantes: a) b) ( )( + 5) ( ) ( ) 5. Calcule as seguintes integrais indefinidas: a) ( )( + 5) d + b) d + 6. Calcule as seguintes integrais definidas: 0 + a) d ( + )( ) b) d 0 ( )( + 7)

40 7. Calcule as seguintes integrais impróprias: (a) 0 (d) (g) d + 9 d 9 d (b) d 0 (c) (e) e d (f) (h) d d + (i) ( ) ln d 0 d Calcule a área de cada uma das regiões indicadas abaio. (a) S = (, y) ln e 0 y (b) S = {(, y) 0 e ln y 0} (c) S = {(, y) 0 e ln y 0} (d) S ( y) {, 0 e e 0} = y Observação: sinta-se convidado a fazer o esboço de cada uma dessas regiões. Respostas: ) a) sen + cos + C b) ln + C 6 c) cos + sen + cos + C d) arctg ln + + ( ) C e 5 + e) ( cos( ) + sen ( ) ) C g) ( arctg + arctg ) + C ) a) ln b) c) e ) a) A B b) π 8 f) ln ln + 6 ln 6 + C arcsen h) + + C ) e A B C D + E F + G ( ) ( ) + ( ) 5) a) ln ln ( + 5) + C b) ln ln + + C 6) a) c) ln b) 7 5ln 7ln 8 7) a) diverge b) diverge d) diverge e) 0 f) diverge g) -6 h) diverge i) diverge 8) a) b) c) d)