INSTITUTO FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO CAMPUS SERRA BACHARELADO EM SISTEMAS DE INFORMAÇÃO ALUNO(A): COMBINATÓRIA

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1 INSTITUTO FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO CAMPUS SERRA BACHARELADO EM SISTEMAS DE INFORMAÇÃO ALUNO(A): COMBINATÓRIA A Combinatória é a parte da Matemática responsável pelo estudo de estruturas e relações discretas. Um dos principais problemas dos quais que se ocupa a Combinatória é o de contar ou classificar os subconjuntos de um conjunto finito que satisfazem certas condições dadas. Embora a Análise Combinatória disponha de técnicas gerais que permitem atacar certos tipos de problemas, é bem verdade que a solução de um problema combinatório exige, na maioria das vezes, engenhosidade e compreensão plena da situação descrita pelo problema. Esse é o charme da Análise Combinatória. Basicamente um único princípio resolve todos os problemas abordados em Análise Combinatória em nível de Ensino Médio: o Princípio Fundamental da Contagem (ou Princípio Multiplicativo), que veremos logo mais. Porém, dele derivam alguns tipos de problemas de uso frequente em Análise Combinatória, que são relativamente simples, e cujos resultados precisam ser memorizados a fim de tornarmos nosso estudo mais produtivo e eficiente. São eles: o problema das permutações simples (com ou sem elementos repetidos), o das permutações circulares, o das combinações simples e o das combinações completas. Todos eles serão abordados aqui. 1. PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM (PFC) O princípio fundamental da contagem (PFC) diz que se há x modos de tomar uma decisão D1 e, tomada a decisão D1, há y modos de tomar a decisão D2, então o número de modos de tomar sucessivamente as decisões D1 e D2 é xy. EXEMPLO 1 Com 5 homens e 5 mulheres, de quantos modos de pode formar um casal? Formar um casal equivale a tomar as decisões: D1: Escolha do homem (5 modos). D2: Escolha da mulher (5 modos). Há 5 5 = 25 modos de formar casal. EXEMPLO 2 Uma bandeira é formada por 7 listras que devem ser coloridas usando apenas as cores verde, azul e cinza. Se cada listra deve ter apenas uma cor e não se pode usar cores iguais em listras adjacentes, de quantos modos se pode colorir a bandeira?

2 Colorir a bandeira equivale a escolher a cor de cada listra. Há 3 modos de escolher a cor da primeira listra e, a partir daí, 2 modos de escolher a cor de cada uma das outras 6 listras. A resposta é 3 26= 192. EXEMPLO 3 Existem quantos números naturais formados por quatro algarismos ímpares distintos? Os algarismos ímpares são 1, 3, 5, 7, 9. Um número com 4 algarismos é da forma abcd. A escolha de um algarismo para ocupar a posição a pode ser feita de 5 maneiras. Uma vez escolhido o algarismo para a posição a, restarão 4 possibilidades para a escolha do algarismo da posição b. Depois disso, para a posição c, restarão 3 possibilidades. Finalmente, para a posição d teremos 2 possibilidades. Segue do PFC que a quantidade de números formados por 4 algarismos ímpares distintos é = 120. Algumas dicas para resolver problemas de Combinatória: 1. A postura de quem resolve um problema Devemos sempre nos colocar no papel da pessoa que deve fazer a ação solicitada pelo problema e analisar quais as decisões que deveremos tomar. No exemplo 3, nós nos colocamos no papel da pessoa que deveria escrever o número de cinco dígitos; no exemplo 2, nós nos colocamos no papel da pessoa que deveria colorir a bandeira; no exemplo 1, nós nos colocamos no papel da pessoa que deveria formar o casal. 2. A divisão do problema em problemas mais simples Devemos, sempre que possível, dividir as decisões a serem tomadas em decisões mais simples. Formar um casal foi dividido em escolher o homem e escolher a mulher; colorir a bandeira foi dividido em colorir cada listra; formar um número de cinco dígitos foi dividido em escolher cada um dos cinco dígitos. 3. O adiamento de dificuldades Pequenas dificuldades adiadas costumam transformar-se em imensas dificuldades. Se uma das decisões a serem tomadas for mais restrita (com número menor de possibilidades) que as demais, essa é a decisão que deverá ser tomada em primeiro lugar. EXEMPLO 4 O código Morse usa duas letras, ponto e traço, e as palavras têm de 1 a 4 letras. Quantas são as palavras do código Morse? Há 2 palavras de uma letra. Há 2 2 = 4 palavras de duas letras, pois há dois modos de escolher a primeira letra e dois modos de escolher a segunda letra; analogamente, há = 8 palavras de três letras e = 16 palavras de 4 letras. O número total de palavras é = 30. EXEMPLO 5 a) O número 360 possui quantos divisores inteiros e positivos? b) Quantos divisores são pares?

3 c) Quantos são ímpares? d) Quantos são quadrados perfeitos? a) Decompondo 360 em fatores primos, obtemos 360 = Os divisores inteiros e positivos de 360 são os números da forma 2 3 5, com {0,1,2,3 }, {0,1,2} e {0,1 }. Há = 24 maneiras de escolher os expoentes, e, portanto há 24 divisores. b) Para o divisor ser par, não pode ser 0. Há, portanto, = 18 divisores pares. c) Para o divisor ser ímpar, deve ser 0. Há = 6 divisores ímpares. É claro que poderíamos ter encontrado essa resposta subtraindo 18 de 24. d) Para o divisor ser um quadrado perfeito, os expoentes, e devem ser pares. Assim, há = 4 divisores que são quadrados perfeitos. EXEMPLO 6 Uma formiga se movimenta uma unidade por segundo sobre os pontos 0, 1 e 2 da figura a seguir, começando do ponto 0. a) Quais são os possíveis percursos da formiga até 3 segundos? b) Quantos possíveis percursos pode fazer a formiga até 10 segundos? a) Até três segundos temos dois possíveis percursos: ou b) Observemos que quando a formiga está nos pontos 0 e 2 ela somente tem uma possibilidade para caminhar no segundo seguinte, que é ir para 1. Quando está em 1 ela tem duas possibilidades no segundo seguinte, que é ir para 0 ou 2. Assim, nos segundos ímpares a formiga sempre está no 1, enquanto nos segundos pares ela está no 0 ou no 2. Portanto, o número de caminhos possíveis depois de 10 segundos é = 32. EXEMPLO 7 Quantos são os números pares de três dígitos distintos? Há 5 modos de escolher o último dígito (note que começamos pelo último dígito, que é o mais restrito!): ele só pode ser 0, 2, 4, 6 ou 8. Em seguida, vamos ao primeiro dígito. De quantos modos pode-se escolher o primeiro dígito? A resposta é depende: se não tivermos usado o 0, haverá 8 modos de escolher o primeiro dígito, pois não poderemos usar nem o 0 nem o dígito usado na última casa; se tivermos usado o 0, haverá 9 modos de escolher o primeiro dígito, pois apenas o 0 não poderá ser usado na primeira casa.

4 Esse tipo de impasse é comum na resolução de problemas e há basicamente dois métodos de vencêlo. O primeiro método consiste em voltar atrás e contar separadamente. Contaremos separadamente os números que terminam em 0 e os que não terminam em 0. Para os que não terminam em 0, há 4 modos de escolher o último dígito, 9 modos de escolher o primeiro e 8 modos de escolher o dígito central. Há = 72 números que não terminam em 0. Para os que não terminam em 0, há 4 modos de escolher o último dígito, 8 modos de escolher o primeiro e 8 modos de escolher o dígito central. Há = 256 números que não terminam em 0. A resposta é = 328. O segundo método consiste em ignorar uma das restrições do problema, o que nos fará contar em demasia. Depois descontaremos o que tiver sido contado indevidamente. Primeiramente fazemos de conta que o 0 pode ser usado na primeira casa do número. Procedendo assim, há 5 modos de escolher o último dígito (só pode ser 0, 2, 4, 6 ou 8), 9 modos de escolher o primeiro dígito (não podemos repetir o dígito usado na última casa; note que estamos permitindo o uso do 0 na primeira casa) e 8 modos de escolher o dígito central. Há = 360 números, aí inclusos os que começam por 0. Agora vamos determinar quantos desses números começam por zero; são esses os números que foram contados indevidamente. Há 1 modo de escolher o primeiro dígito (tem que ser 0), 4 modos de escolher o último dígito (só pode ser 2, 4, 6 ou 8 (lembre-se que os dígitos são distintos)) e 8 modos de escolher o dígito central (não podemos repetir os dígitos já usados). Há = 32 números começados por 0. Finalmente, a resposta para o problema é = 328. Ainda poderíamos tê-lo resolvido com um truque. Para determinar quantos são os números pares de três dígitos distintos, poderíamos calcular o total de números de três dígitos distintos e depois subtrair desse total a quantidade de números ímpares de três números distintos. Para os números de três dígitos distintos, há 9 modos de escolher o primeiro dígito, 9 modos de escolher o segundo e 8 modos de escolher o último. Há = 648 números de três dígitos distintos. Para os números ímpares de três dígitos distintos, há 5 modos de escolher o último dígito, 8 modos de escolher o primeiro e 8 modos de escolher o dígito central. Há = 320 números ímpares de três dígitos distintos. A resposta é = PERMUTAÇÕES E COMBINAÇÕES Há alguns problemas de Combinatória que, embora sejam aplicações do princípio básico (PFC), aparecem com muita frequência, como é o caso do problema das permutações simples e o das combinações simples. 2.1 PERMUTAÇÕES SIMPLES De quantos modos podemos ordenar em fila n objetos distintos? A escolha do objeto que ocupará o primeiro lugar pode ser feita de n modos; a escolha do objeto que ocupará o segundo lugar pode ser feita de n 1 modos; a escolha do objeto que ocupará o terceiro

5 lugar pode ser feita de n 2 modos, etc...; a escolha do objeto que ocupará o último lugar pode ser feita de 1 modo. A resposta é n(n 1)(n 2)... 1 = n!. Cada ordem que se dá aos objetos é chamada de uma permutação simples dos objetos. Assim, por exemplo, as permutações simples das letras a, b e c são seis: (abc), (acb), (bac), (bca), (cab) e (cba). O número de permutações simples de n objetos distintos é P n = n!. EXEMPLO 8 Quantos são os anagramas da palavra calor? Quantos começam com consoante? Cada anagrama corresponde a uma ordem de colocação dessas 5 letras. O número de anagramas é P 5 = 5! = 120. Para formar um anagrama começado por consoante devemos primeiramente escolher a consoante (3 modos) e, depois, arrumar as quatro letras restantes em seguida à consoante (4! = 24 modos). Há, portanto, 3 24 = 72 anagramas começados por consoante. EXEMPLO 9 De quantos modos podemos arrumar em fila 5 livros diferentes de Matemática, 3 livros diferentes de Estatística e 2 livros diferentes de Física, de modo que livros de uma mesma matéria permaneçam juntos? Podemos escolher a ordem das matérias de 3! modos. Feito isso, há 5! modos de colocar os livros de Matemática nos lugares que lhe foram destinados, 3! modos para os de Estatística e 2! modos para os de Física. A resposta é 3! 5! 3! 2! = = EXEMPLO 10 Quantos são os anagramas da palavra BOTAFOGO? Se as letras fossem diferentes a resposta seria 8!. Como as três letras O são iguais, quando as trocamos entre si obtemos o mesmo anagrama e não um anagrama distinto, o que aconteceria se fossem diferentes. Isso faz com que na nossa contagem de 8! tenhamos contado o mesmo anagrama várias vezes, 3! vezes precisamente, pois há 3! modos de trocar as letras O entre si. A resposta é 8! ! De modo geral, o número de permutações de n objetos, dos quais são iguais a A, são iguais a,,,... n! B, são iguais a C, etc, é. Este é o conhecido problema das permutações Pn!!!... simples com elementos não todos distintos. EXEMPLO 11

6 De quantos modos podemos dividir 8 objetos em um grupo de 5 objetos e um de 3 objetos? Um processo de fazer a divisão é colocar os objetos em fila; os 5 primeiros formam o grupo de 5 e os 3 últimos formam o grupo de 3. Há 8! modos de colocar os objetos em fila. Entretanto, note que filas como abcde fgh e badce ghf são filas diferentes e geram a mesma divisão de grupos. Cada divisão em grupos foi contada uma vez para cada ordem dos objetos dentro de cada grupo. Há 5! 3! modos de arrumar os objetos em cada 8! grupo. Cada divisão em grupos foi contada 5! 3! vezes. A resposta é 5! 3! = COMBINAÇÕES SIMPLES De quantos modos podemos selecionar p objetos distintos entre n objetos distintos dados? Cada seleção de p objetos é chamada de uma combinação simples de classe p dos n objetos. Assim, por exemplo, as combinações simples de classe 3 dos 5 objetos {a; b; c; d;e} e são {a; b; c}, {a; b; d}, {a; b; e}, {a; c; d}, {a; c; e}, {a; d; e},{b; c; d}, {b; c; e}, {b; d; e} e {c; d; e}. Representamos o número de combinações simples de classe p de n elementos por C p n 3 Assim, C ou C n, p. Para resolver o problema das combinações simples basta observar que selecionar p entre os n objetos equivale a dividir os n objetos em um grupo de p objetos, que são selecionados, e um grupo de n p objetos, que são os não selecionados. n! Esse é o problema do exemplo 4 e a resposta é C p. n p!( n p)! EXEMPLO 12 Com 5 homens e 4 mulheres, quantas comissões de 5 pessoas, com exatamente 3 homens, podem ser formadas? Para formar a comissão devemos escolher 3 dos homens e 2 das mulheres. Há comissões. EXEMPLO 13 Com 5 homens e 4 mulheres, quantas comissões de 5 pessoas, com pelo menos 3 homens, podem ser formadas? Há comissões com: 3 homens e 2 mulheres, 4 homens e 1 mulher, 5 homens. A resposta é C C 4 C5 C4 C comissões. 5 EXEMPLO 14 C 3 5 C 2 4

7 Marcam-se 5 pontos sobre uma reta R e 8 pontos sobre uma reta R 0 paralela a R. Existem quantos triângulos com vértices nesses pontos? Solução 1: Para formar um triângulo ou você toma um ponto em R e dois pontos em R 0, ou toma um ponto em R 0 e dois pontos em R. Assim, o número de triângulos é C C 8 C5 C. 8 Solução 2: Também poderíamos pensar em tomar 3 dos 13 pontos e excluir dessa contagem as escolhas de pontos colineares, o que daria C C5 C. 8 EXEMPLO 15 Quantos números naturais de cinco algarismos têm o produto de seus algarismos igual a 2000? Inicialmente, observe que 2000 = Como os algarismos do número são menores que 10, cada fator 5 deve ser um algarismo desse número. Além disso, o produto dos outros algarismos deve ser 2 4 = 16. Assim, temos dois casos: i) Os algarismos que faltam são 2 e 8. Nesse caso, existem cinco possibilidades para posicionarmos o 2, quatro possibilidades para posicionarmos o 8 e uma única possibilidade para posicionarmos cada 5 que resta. Portanto, podemos formar 5 4 = 20 números. ii) Os algarismos que faltam são 4 e 4. Nesse caso, podemos escolher dois lugares para os algarismos 2 4 de C 10 modos e uma maneira de posicionarmos cada 5 que resta. Portanto, podemos formar 10 5 números. Logo, podem ser formados = 30 números. 3. PERMUTAÇÕES CIRCULARES De quantos modos n objetos distintos podem ser ordenados em torno de um círculo, de modo que disposições que possam coincidir por rotação sejam consideradas iguais? À primeira vista parece que para formar uma ordenação dos n objetos basta escolher uma ordem para eles, o que pode ser feito de n! modos. Porém, dada uma ordenação P 1 P2... Pn, ela pode ser virada de n maneiras ( P 1 P2... Pn ; P2... Pn P1 ; P3... Pn P1 P2 ;... ; P np1... P n 1 ) de tal forma que a posição relativa entre os objetos continua a mesma. Assim, a nossa contagem de n! ordenações contou cada roda n vezes e n! a resposta correta é ( n 1)!. n De modo geral, o número de modos de colocar n objetos distintos em círculo, de modo que disposições que possam coincidir por rotação sejam consideradas iguais, isto é, o número de permutações circulares de n objetos é ( ) ( n 1)! PC n EXEMPLO 16 De quantos modos 5 crianças podem formar uma roda de ciranda?

8 À primeira vista parece que para formar uma roda com as cinco crianças basta escolher uma ordem para elas, o que poderia ser feito de 5! = 120 modos. Entretanto, as rodas ABCDE e EABCD são iguais, pois na roda o que importa é a posição relativa das crianças entre si e a roda ABCDE pode ser virada na roda EABCD. Como cada roda pode ser virada de cinco modos, a nossa contagem de 120 rodas contou cada roda 5 vezes e a resposta é 120:5 = 24. EXEMPLO 17 De quantos modos podemos formar uma roda de ciranda com 7 crianças, de modo que duas determinadas dessas crianças não fiquem juntas? Chamemos de A e B as crianças que não podem ficar juntas. Podemos formar ( PC ) 4! rodas 5 com as cinco outras crianças. Colocadas essas cinco crianças na roda, ficam determinados 5 espaços entre elas, portanto há 5 modos de colocar a criança A na roda. Depois disso, haverá apenas quatro espaços na roda para colocar a criança B, já que ela não pode ficar nos dois espaços situados ao lado da criança A. Temos então 4 possibilidades para colocar B na roda. A resposta é 4! COMBINAÇÕES COMPLETAS De quantos modos é possível comprar 4 sorvetes em uma sorveteria que os oferece em 7 sabores? 4 A resposta não é C 35. Esse seria o total de modos de escolher 4 sabores diferentes entre os 7 7 sabores oferecidos, ou seja, C 4 seria o número de modos de comprar 4 sorvetes diferentes em uma 7 sorveteria que os oferece em 7 sabores. A resposta deste problema é representada por CR 4, número de combinações completas de classe 4 7 de 7 objetos. Portanto, CR 4 é o número de modos de escolher 4 objetos entre 7 objetos distintos, 7 podendo-se escolher o mesmo objeto mais de uma vez. De modo geral, CR p n distintos dados. é o número de modos de escolher p objetos distintos ou não entre n objetos Podemos interpretar CR p de outro modo. n Voltemos ao problema da compra dos 4 sorvetes em uma sorveteria que os oferece em 7 sabores. Sejam x 1, x2, x3, x4, x5, x6 e x 7, respectivamente, as quantidades que vamos comprar dos sabores 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7. É claro que x 1, x2, x3, x4, x5, x6 e x 7 devem ser inteiros não-negativos e que x x x x x x x

9 O número de soluções inteiras não-negativas da equação x 1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 4 é a resposta do nosso problema. Vamos resolver a equação. A tabela abaixo mostra algumas de suas soluções. x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x Podemos cada solução da equação por meio de um esquema conhecido como esquema bola-traço. Nesse esquema, a solução fica representada assim: Enquanto a solução Fica assim: Cada bola representa uma unidade no valor da incógnita e cada traço é usado para separar duas incógnitas. Em cada solução o total de bolas é 4 (são 4 unidades que se quer comprar) e o total de traços é 6 (para separar 7 incógnitas usamos 6 traços). É fácil ver que o número de representações bola-traço que podemos fazer com 4 bolas e 6 traços é igual ao número de soluções inteiras não-negativas da equação x 1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 4, que, por sua vez, é igual ao número de modos de comprar 4 sorvetes em uma sorveteria que os oferece em 7 sabores. 4 4,6 10! 4 Portanto, a resposta do problema é CR P ! 6! C. No caso geral, para calcular CR p, ou seja, o número de soluções inteiras e não negativas de n x1 x2 x3... xn 1 xn p, teríamos p bolas e n-1 traços. Logo: p p, n 1 ( p n 1)! p CR n P p n 1 C n p 1 p! ( n 1)!

10 QUESTÕES PROPOSTAS 1. Os vértices de um decágono regular convexo ABC...J devem ser coloridos usando-se apenas as cores verde, amarela e azul. De quantos modos isso pode ser feito se vértices adjacentes não podem receber a mesma cor? a.1022 b.1024 c.1026 d.1524 e Selecionam-se 3 vértices de um cubo. Qual a probabilidade de eles pertencerem a uma mesma face? a.1/5 b.1/6 c.1/7 d.2/7 e.3/7 3. De quantos modos pode-se colocar numa tabela retangular 2x3 duas letras A, duas letras B e duas letras C, uma em cada casa, de modo que não haja duas letras iguais na mesma coluna? a.12 b.24 c.36 d.48 e Um gafanhoto pula exatamente 1 metro. Ele está em um ponto A de uma reta, só pula sobre ela, e deseja atingir um ponto B desta mesa reta que está a 5 metros de distância de A com exatamente 9 pulos. De quantas maneiras ele pode fazer isso? a.16 b.18 c.24 d.36 e Quantos números de três algarismos (que não começam por 0) possuem um algarismo que é a média aritmética dos outros dois? a.121 b.117 c.112 d.115 e.105

11 6. Uma rifa foi organizada entre os 30 alunos da turma de Pedro. Para tal, 30 bolinhas numeradas de 1 a 30 foram colocadas em uma urna. Uma delas foi, então retirada da urna. No entanto, a bola caiu no chão e se perdeu e uma segunda bola teve que ser sorteada entre as 29 restantes. Qual a probabilidade de que o número de Pedro tenha sido sorteado desta segunda vez? a.1/29 b.1/30 c.1/31 d.1/60 e.2/31 7. Duas pessoas vão disputar uma partida de par ou ímpar. Elas não gostam do zero e, assim, cada uma coloca 1, 2, 3, 4 ou 5 dedos com igual probabilidade. A probabilidade de que a pessoa que escolheu par ganhe é: a.1/2 b.2/5 c.3/5 d.12/25 e.13/25 8. Um clube de tênis tem n jogadores canhotos e 2n jogadores destros e, ao todo, há menos do que 20 jogadores. No último campeonato interno, no qual cada jogador enfrentou cada um dos outros jogadores do clube exatamente uma vez a razão entre o número de jogos vencidos por jogadores canhotos e o número de jogos vencidos por jogadores destros foi 3:4. Qual o valor de n? a.3 b.4 c.5 d.6 e.são necessárias mais informações 9. Beatriz, Isabele e Nicole estão disputando um jogo fazendo lançamentos sucessivos com uma moeda. Beatriz ganha se, em dois lançamentos consecutivos, o primeiro resultar cara e o segundo coroa. Isabele ganha se forem obtidas duas coroas em dois lançamentos consecutivos, e Nicole ganha se forem obtidas duas caras em dois lançamentos consecutivos. Elas fazem lançamentos até que uma das jogadoras seja vencedora. Qual(is) jogadora(s) possuem menos chances de ganhar o jogo? a.beatriz b.isabele c.nicole d.beatriz e Nicole e.as três têm a mesma idade. 10. Esmeralda, a digitadora, tentou digitar um número de seis algarismos, mas os dois algarismos 1 não apareceram (a tecla devia estar com defeito!). O que apareceu foi Quantos são os números de seis algarismos que ela pode ter tentado digitar? a.4 b.8

12 c.10 d.15 e Com três algarismos distintos, a, b e c é possível formar 6 números de dois algarismos distintos. Quantos conjuntos {a, b e c} são tais que a soma dos 6 números formados é 484? a.1 b.2 c.3 d.4 e.mais que quatro 12. Dois cubos têm faces pintadas de ocre e magenta. O primeiro cubo tem cinco faces ocre e uma magenta. Quanto os dois cubos são lançados, a probabilidade de as faces viradas para cima dos dois cubos serem da mesma cor (sim, ocre e magenta são cores!) é 1/2. Quantas faces ocre tem o segundo cubo? a.1 b.2 c.3 d.4 e Para n inteiro positivo, definimos n! (lê-se n fatorial ) o produto de todos os inteiros positivos menores ou iguais a n. Por exemplo, 6! = Se n! = ² , então n é igual a: a.13 b.14 c.15 d.16 e (OBM-2009) Um número natural A de três algarismos detona um número natural B de três algarismos se cada algarismo de A é maior do que o algarismo correspondente de B. Por exemplo, 876 detona 345; porém, 651 não detona 542 pois 1 < 2. Quantos números de três algarismos detonam 314? a. 120 b.240 c.360 d.480 e (OBM-2007) Dizemos que uma palavra Q é quase-anagrama de outra palavra P quando Q pode ser obtida retirando-se uma letra de P e trocando a ordem das letras restantes, resultando em uma palavra com uma letra a menos do que P. Um quase-anagrama pode ter sentido em algum idioma ou

13 não. Por exemplo, RARO, RACR e ARCO são quase-anagramas de CARRO. Quantos são os quaseanagramas da palavra BACANA que começam com A? a. 48 b.60 c.72 d.96 e (OBM-2007) Um número de quatro dígitos é dito peroba se possui pelo menos dois dígitos vizinhos com a mesma paridade. Quantos números perobas existem? a b.8874 c.7875 d.8000 e (OBM-2008) Soninha tem muitos cartões, todos com o mesmo desenho em uma das faces. Ela vai usar cinco cores diferentes (verde, amarelo, azul, vermelho e laranja) para pintar cada uma das cinco partes do desenho, cada parte com uma cor diferente, de modo que não haja dois cartões pintados da mesma forma. Na figura abaixo, por exemplo, os cartões são iguais, pois um deles pode ser girado para se obter o outro. Quantos cartões diferentes Soninha conseguirá produzir? a.16 b.25 c.30 d.70 e (OBM-2008) Um número de quatro dígitos é dito paladino se é múltiplo de 9 e nenhum de seus dígitos é nulo. Quantos números paladinos existem? a b.1024 c. 849 d.1109 e. 729

14 19. Quantos são os gabaritos possíveis de um teste de 10 questões de múltipla-escolha, com 5 alternativas por questão? 20. Um conjunto que tem n elementos possui quantos subconjuntos? 21. De quantos modos 3 pessoas podem se sentar em 5 cadeiras em fila? 22. De quantos modos 5 homens e 5 mulheres podem se sentar em 5 bancos de 2 lugares, se em cada banco deve haver um homem e uma mulher? 23. De quantos modos podemos colocar 2 reis diferentes em casas não-adjacentes de um tabuleiro 8 8? E se os reis fossem iguais? 24. De quantos modos podemos colocar 8 torres iguais em um tabuleiro 8 8, de modo que não haja duas torres na mesma linha ou na mesma coluna? E se as torres fossem diferentes? 25. De um baralho comum de 52 cartas, sacam-se sucessivamente e sem reposição duas cartas. De quantos modos isso pode ser feito se a primeira carta deve ser de copas e a segunda não deve ser um rei? 26. O conjunto A possui 4 elementos e, o conjunto B, 7 elementos. Quantas funções f : A B existem? Quantas delas são injetoras? 27. a) De quantos modos o número 720 pode ser decomposto em um produto de dois inteiros positivos? b) E o número 144? 28. Dispondo-se de 10 bolas, 7 apitos e 12 camisas, de quantas maneiras distintas estes objetos podem ser distribuídos entre duas pessoas, de modo que cada uma receba, ao menos, 3 bolas, 2 apitos e 4 camisas? 29. Quantos são os anagramas da palavra CAPÍTULO. a) que têm a letra p em primeiro lugar ou a letra a em segundo? b) que têm p em primeiro lugar ou a em segundo ou c em terceiro? c) nos quais a letra a é uma das letras à esquerda de p e a letra c é uma das letras à direita de p? 30. De quantos modos é possível colocar 8 pessoas em fila de modo que duas dessas pessoas, Vera e Paulo, não fiquem juntas? 31. De quantos modos é possível colocar 8 pessoas em fila de modo que duas dessas pessoas, Vera e Paulo, não fiquem juntas e duas outras, Helena e Pedro, permaneçam juntas? 32. Permutam-se de todas as formas possíveis os algarismos 1, 2, 4, 6, 7 e escrevem-se todos os números assim formados em ordem crescente. Determine: a) que lugar ocupa b) que número que ocupa o 66º lugar.

15 c) qual o 166º algarismo escrito. d) a soma dos números assim formados. 33. Dispomos de 5 cores distintas. De quantos modos podemos colorir os quatro quadrantes de um círculo, cada quadrante com uma só cor, se quadrantes cuja fronteira é uma linha não podem receber a mesma cor? 34. Quantos são os inteiros positivos de 4 dígitos nos quais o algarismo 5 figura? 35. Uma turma tem aulas as segundas, quartas e sextas, de 13h às 14h e de 14h às 15h. As matérias são Matemática, Física e Química, cada uma com duas aulas semanais, em dias diferentes. De quantos modos pode ser feito o horário dessa turma? 36. Escrevem-se números de 5 dígitos, inclusive os começados em 0, em cartões. Como 0, 1 e 8 não se alteram de cabeça para baixo e como 6, de cabeça para baixo, se transforma em 9 e vice-versa, um mesmo cartão pode representar dois números (por exemplo, e 86190). Qual é o número mínimo de cartões para representar todos os números de 5 dígitos? 37. Quantas diagonais possui: a) um octaedro regular? b) um icosaedro regular? c) um dodecaedro regular? d) um cubo? e) um prisma hexagonal regular? 38. Quantos são os números naturais de 7 dígitos nos quais o dígito 4 figura exatamente 3 vezes e o dígito 8 exatamente 2 vezes? 39. O conjunto A possui p elementos e o conjunto B possui n elementos. Determine o número de funções f : A B sobrejetoras para: a) p = n b) p = n + 1 c) p = n Quantos são os anagramas da palavra PARAGUAIO que não possuem consoantes adjacentes? 41. De quantos modos é possível colocar em fila h homens e m mulheres, todos de alturas diferentes, de modo que os homens entre si e as mulheres entre si fiquem em ordem crescente de alturas? 42. Em uma escola, x professores se distribuem em 8 bancas examinadoras de modo que cada professor participa de exatamente duas bancas e cada duas bancas têm exatamente um professor em comum. a) Calcule x. b) Determine quantos professores há em cada banca. 43. De quantos modos podemos formar uma roda de ciranda com 5 meninos e 5 meninas de modo que pessoas de mesmo sexo não fiquem juntas?

16 44. De quantos modos podemos formar uma roda de ciranda com 6 crianças, de modo que duas delas, Vera e Isadora, não fiquem juntas? 45. Quantas são as soluções inteiras e positivas de x + y + z = 7? 46. Quantas são as soluções inteiras e não-negativas de x y z 6? 47. Uma indústria fabrica 5 tipos de balas que são vendidas em caixas de 20 balas, de um só tipo ou sortidas. Quantos tipos de caixas podem ser montados? 48. De quantos modos podemos selecionar p elementos do conjunto {1, 2, 3,..., n} sem selecionar dois números consecutivos? RESPOSTAS 1 C 2 E 3 D 4 D 5 A 6 B 7 E 8 C 9 B 10 D 11 B 12 C 13 D 14 B 15 B 16 C 17 C 18 E 19 * 20 * n e e e e a) 9360 b) c) a) 81º b) c) 2 d) a) 3 b) 36 c) 100 d) 4 e) a) n! ( n 1)! n ( n 2)! n(3n 1) b) c)

17 ( m h)! 41. m! h! 42. a) 28 b) C p p n 1 QUESTÕES SOBRE PROBABILIDADE 1) Usando a relação de Stifel, escreva as sete primeiras linhas do triângulo de Pascal. Depois, enuncie o teorema da linhas, o teorema das colunas e o teorema das diagonais. Dê exemplos. 2) Calcule: n k a) (k 1)Cn k 0 n b) k k 0 n 2 k C n c) k( 2k 1) k 0 n d) ( 2k 1) k 0 2 ( k 2) 3) Determine p para que C21 p seja máximo. 4) a) Uma urna contém três bolas pretas e cinco bolas brancas. Quantas bolas azuis devem ser colocadas nessa urna de modo que, retirando-se uma bola ao acaso, a probabilidade de ela ser azul seja igual a 2/3? b) Considere agora outra urna que contém uma bola preta, quatro bolas brancas e x bolas azuis. Uma bola é retirada ao acaso dessa urna, a sua cor é observada e a bola é devolvida à urna. Em seguida, retira-se novamente, ao acaso, uma bola dessa urna. Para que valores de x a probabilidade de que as duas bolas sejam da mesma cor vale 1/2? 5) Um dado é jogado três vezes, uma após a outra. Pergunta-se: a) Quantos são os resultados possíveis em que os três números obtidos são diferentes? b) Qual a probabilidade da soma dos resultados ser maior ou igual a 16?

18 6) Em um jogo, cada partida consiste no lançamento de uma moeda honesta até dez vezes. Se o número de caras obtidas atingir o valor cinco, você perde; caso contrário, você ganha. Calcule a probabilidade de você ganhar uma partida desse jogo. 7) Sendo A e B eventos de um mesmo espaço amostral, sabe-se que a probabilidade de A ocorrer é p(a) = 3/4, e que a probabilidade de B ocorrer é p(b) = 2/3. Seja p = p(a B) a probabilidade de ocorrerem A e B. a) Obtenha os valores mínimo e máximo possíveis para p. b) Se p = 7/12, e dado que A tenha ocorrido, qual é a probabilidade de ter ocorrido B? 8) Em um programa de auditório, utiliza-se uma roleta, como na figura. a) A roleta é girada três vezes. Calcule a probabilidade de os números obtidos no primeiro giro, no segundo giro e no terceiro giro, serem, respectivamente, 1, 2 e 3. b) A roleta é girada duas vezes. Calcule a probabilidade de a soma do número obtido no primeiro giro mais o número obtido no segundo giro ser menor que 13. 9) (MPU-04) Maria ganhou de João nove pulseiras, quatro delas de prata e cinco delas de ouro. Maria ganhou de Pedro onze pulseiras, oito delas de prata e três delas de ouro. Maria guarda todas essas pulseiras - e apenas essas - em sua pequena caixa de jóias. Uma noite, arrumando-se apressadamente para ir ao cinema com João, Maria retira, ao acaso, uma pulseira de sua pequena caixa de jóias. Ela vê, então, que retirou uma pulseira de prata. Levando-se em conta tais informações, a probabilidade de que a pulseira de prata que Maria retirou seja uma das pulseiras que ganhou de João é igual a: A) 1/3 B) 5/8 C) 3/4 D) 3/5 E) 2/9 10) (TCU-04) Um baralho comum contém 52 cartas de 4 tipos (naipes) diferentes: em cada naipe, que consiste de 13 cartas, 3 dessas cartas contêm as figuras do rei, da dama e do valete, respectivamente. A probabilidade de se extrair uma carta e ela conter uma figura ou ser uma carta de paus é igual a: A) 3/52 B) 5/52 C) 5/26 D) 3/26 E) 11/26

19 11) A probabilidade de um gato estar vivo daqui a 5 anos é 3/5. A probabilidade de um cão estar vivo daqui a 5 anos é 4/5. Considerando os eventos independentes, a probabilidade de somente o cão estar vivo daqui a 5 anos é de: A) 2/5 B) 1/5 C) 13/25 D) 8/25 E) 1/6 12) (MPOG/2003/ESAF) Paulo e Roberto foram indicados para participarem de um torneio de basquete. A probabilidade de Paulo ser escolhido para participar do torneio é 3/5. A probabilidade de Roberto ser escolhido para participar do mesmo torneio é 1/5. Sabendo que a escolha de um deles é independente da escolha do outro, a probabilidade de somente Paulo ser escolhido para participar do torneio é igual a: A) 4/5 B) 10/25 C) 12/25 D) 3/5 E) 4/5 13) MPU/2004) Os registros mostram que a probabilidade de um vendedor fazer uma venda em uma visita a um cliente potencial é 0,4. Supondo que as decisões de compra dos clientes são eventos independentes, então a probabilidade de que o vendedor faça no mínimo uma venda em três visitas é igual a: A) 0,624 B) 0,064 C) 0,216 D) 0,568 E) 0,784 14) (MPU/2004) André está realizando um teste de múltipla escolha, em que cada questão apresenta 5 alternativas, sendo uma e apenas uma correta. Se André sabe resolver a questão, ele marca a resposta certa. Se ele não sabe, ele marca aleatoriamente uma das alternativas. André sabe 60% das questões do teste. Então, a probabilidade de ele acertar uma questão qualquer do teste (isto é, de uma questão escolhida ao acaso) é igual a: A) 0,62 B) 0,60 C) 0,68 D) 0,80 E) 0,56 15) MPU/2004) Quando Lígia pára em um posto de gasolina, a probabilidade de ela pedir para verificar o nível de óleo é de 0,28; a probabilidade de ela pedir para verificar a pressão dos pneus é 0,11 e a probabilidade de ela pedir para verificar ambos, óleo e pneus, é de 0,04. Portanto, a probabilidade de Lígia parar em um posto de gasolina e não pedir nem para verificar o nível de óleo e nem para verificar a pressão nos pneus é igual a:

20 A) 0,25 B) 0,35 C) 0,45 D) 0,15 E) 0,65 16) Descreva o espaço amostral dos seguintes experimentos: a) uma moeda é lançada duas vezes e observam-se as faces obtidas b) uma moeda é lançada 3 vezes e observam-se as faces obtidas c) dois dados são lançados simultaneamente e estamos interessados nas faces observadas. d) dois dados são lançados simultaneamente e estamos interessados na soma dos pontos. 17) Sendo A e B dois eventos, traduza para a linguagem de conjuntos as seguintes situações: a) pelo menos um dos eventos ocorre b) exatamente um dos eventos ocorre c) nenhum deles ocorre d) o evento A ocorre mas o B não. 18) Uma moeda é viciada de modo que a chance de cara é três vezes a de coroa. Para 3 lançamentos, determine: a) o espaço amostral b) a probabilidade de sair exatamente uma cara c) a probabilidade de sair exatamente duas coroas d) a probabilidade de sair exatamente ao menos uma cara 19) Dados P(A)=1/2, P(B)=1/3 e P(A B)=1/4, calcule: a) P(A B) b) P( A B) c) P( A B) 20) As probabilidades de defeito em 3 máquinas A, B e C são, respectivamente, 0,1; 0,05 e 0,03. Se as 3 estão funcionando em iguais condições, determine as seguintes probabilidades: a) de todas quebrarem b) de apenas uma quebrar c) de nenhuma quebrar 21) Sejam A e B dois eventos com P(A)= 0,4, P(A B)=0,7 e P(B)= p. a) Para que o valor de p, A e B serão mutuamente excludentes? b) Para que o valor de p, A e B serão independentes? 22) Certo tipo de motor elétrico apresenta 3 tipos de falhas: A= mancais presos, B= queima do enrolamento e C= escovas gastas. Supondo que a probabilidade de ocorrência do evento A é três vezes a de B e de B é três vezes a de C, determine: P(A), P(B) e P(C). 23) As probabilidades de que os jogadores A,B e C marquem um gol de pênalti são, respectivamente: 2/3, 4/5 e 7/10. Se cada um cobrar uma única vez, qual a probabilidade de que: a) nenhum deles marque um gol?

21 b) ao menos um deles marque um gol? 24) Em certa população 20% das pessoas são alérgicas a um medicamento. Uma pessoa sendo alérgica, a probabilidade de ter reação a um contraste é de 0,5. Para os não-alérgicos essa probabilidade é de 0,05. Uma pessoa, escolhida ao acaso, teve reação ao contraste. Qual a probabilidade de ser alérgica? E não alérgica? 25) Lançam-se dois dados. Calcule a probabilidade de ocorrência dos eventos indicados nos itens a, b e c e depois responda ao item d: a) A=a soma dos resultados é 7 b) B=o resultado do primeiro dado é superior ao do segundo c) A B d) Pode-se afirmar que A e B são independentes? 26) A probabilidade de um time ganhar uma partida em um dia de chuva é de 70% e em um dia que não chove é de 80%. Sabendo que chove em 30% das partidas, calcule a probabilidade do time ganhar uma partida em um dia qualquer? 27) Na figura abaixo temos a confiabilidade de um sistema com três componentes funcionando independentemente, com confiabilidades p 1, p 2 e p 3, respectivamente. Obtenha a confiabilidade do sistema. A 2 A1 A3 28) A tabela a seguir apresenta o comportamento de 1000 famílias quanto à compra de aparelhos de televisão de tela grande. Sorteando uma família ao acaso, calcule as seguintes probabilidades: Efetivamente comprou Planejou a compra SIM NÃO Total SIM NÃO Total a) De que a família tenha planejado a compra. b) De que a família não tenha comprado. c) De que a família tenha planejado e efetivamente comprado. d) De que a família tenha planejado ou comprado. e) De que a família tenha efetivamente comprado sabendo-se que planejou adquirir.