Elementos da Análise. Mirian Buss Gonçalves Daniel Gonçalves

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1 Elemetos da Aálise Miria Buss Goçalves Daiel Goçalves ª Edição Floriaópolis, 0

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3 Govero Federal Presidete da República: Dilma Vaa Rousseff Miistro de Educação: Aloízio Mercadate Coordeador Nacioal da Uiversidade Aberta do Brasil: Celso Costa Uiversidade Federal de Sata Cataria Reitora: Roselae Neckel Vice-Reitora: Lúcia Helea Martis Pacheco Pró-Reitoria de Graduação: Roselae Fátima Campos e Rogério Luiz de Souza Pró-Reitoria de Pós-Graduação: Joaa Maria Pedro e Juarez Vieira do Nascimeto Pró-Reitoria de Pesquisa: Jamil Assereuy Filho e Heliete Nues Pró-Reitoria de Extesão: Edilso da Rosa e Maristela Helea Zimmer Bortolii Pró-Reitoria de Plaejameto e Orçameto: Luiz Alberto e Izabela Raquel Pró-Reitoria de Admiistração: Atôio Carlos Motezuma Brito e Irvado Luiz Sperazii Pró-Reitoria de Assutos Estudatis: Beatriz Augusto de Paiva e Simoe Matos Machado Cetro de Ciêcias da Educação: Vera Lucia Bazzo Cetro de Ciêcias Físicas e Matemáticas: Tarciso Atôio Gradi Cursos de Liceciaturas a Modalidade a Distâcia Coordeação Acadêmica Matemática: Márcio Rodolfo Ferades Coordeação de Ambietes Virtuais: Nereu Estaislau Buri Comissão Editorial Atôio Carlos Gardel Leitão Albertia Zatelli Elisa Zuko Toma Igor Mozolevski Luiz Augusto Saeger Roberto Corrêa da Silva Ruy Coimbra Charão

4 Laboratório de Novas Tecologias - LANTEC/CED Coordeação Pedagógica das Liceciaturas a Distâcia UFSC/CED/CFM Coordeação Geral: Roseli Ze Cery Núcleo de Formação: Maria Bazzo de Espídola Núcleo de Pesquisa e Avaliação: Adréa Bradão Lapa Núcleo de Criação e Desevolvimeto de Materiais: Juliaa Cristia Faggio Desig Gráfico Coordeação: Cítia Cardoso Bergma Projeto Gráfico Origial: Diogo Herique Ropelato, Marta Cristia Goulart Braga, Natal Aacleto Chicca Juior Redeseho do Projeto Gráfico: Laura Martis Rodrigues, Thiago Rocha Oliveira Diagramação: Cítia Cardoso, João Paulo Battisti de Abreu, Natália Barreira Ilustrações: Cristiae Amaral, Kallai Boelli, Alie Correa Capa: xxxxxx Desig Istrucioal Coordeação: xxxxx Desig Istrucioal: Adriao Luiz dos Satos Né, Nicélio José Gesser Revisão Gramatical: Cotextuar Copyright 0, Uiversidade Federal de Sata Cataria/CFM/CED/UFSC Nehuma parte deste material poderá ser reproduzida, trasmitida e gravada, por qualquer meio eletrôico, por fotocópia e outros, sem a prévia autorização, por escrito, da Coordeação Acadêmica do Curso de Liceciatura em Matemática a Modalidade a Distâcia Ficha Catalográfica Catalogação a fote pela Biblioteca Uiversitária da UFSC

5 Sumário Apresetação 7 Cardialidade e o corpo dos úmeros reais 9 Itrodução Cojutos fiitos e ifiitos eumeráveis 3 Cojutos ão eumeráveis 8 4 Algumas propriedades dos Números Reais 5 Supremo e Ífimo 3 Noções Topológicas em 39 Itrodução 4 O espaço Euclidiao 4 3 Espaços métricos 45 4 Métricas em 47 5 Um exemplo de Métrica um Cojuto de Fuções 50 6 Métrica Iduzida 5 7 Diâmetro de um Cojuto; Distâcias etre Cojutos 53 8 Bolas Abertas 58 9 Cojutos Abertos 6 0 Cojutos Fechados 68 Potos de Acumulação 7 Fecho de um Cojuto74 Resumo 87 3 Covergêcia 89 3 Sequêcias de Números Reais 9 3 Sequêcias em um Espaço Métrico Limite de uma Sequêcia Subsequêcias Sequêcias Limitadas Caracterização dos Coceitos do capítulo, através de Sequêcias Algus resultados iteressates em 5 37 O cojuto de Cator5 37 Outra versão do Teorema de Bolzao-Weierstrass5 38 Sequêcias de Cauchy 0 39 Espaços Métricos Completos Resumo 9

6 4 Cotiuidade 3 4 Itrodução 33 4 Fuções Cotíuas Cojutos Compactos46 44 Cotiuidade Uiforme Cojutos Coexos57 46 Teorema do Valor Itermediário 63 Resumo68 Respostas dos Exercícios 69 Capítulo 7 Capítulo 76 Capítulo 3 86 Capítulo 49 Referêcias 03

7 Apresetação Caro Leitor, Seja bem-vido ao estudo de Aálise Matemática Provavelmete esta é uma das últimas disciplias que faltam para você se graduar em Matemática Os coteúdos apresetados este livro aprofudam o seu cohecimeto aterior e têm como pricipal fialidade ampliar sua ituição matemática e seu raciocíio lógico Para isso, você será itroduzido a liguagem formal da Matemática, ode os coceitos, proposições etc são tratados com formalismo e rigor No etato, a liguagem matemática clara e precisa que vamos usar ão será carregada em demasia, de forma a ão prejudicar o desevolvimeto das ideias e o próprio apredizado Sem descuidar do rigor matemático, procuramos apresetar os coteúdos de uma maeira evolvete, de forma a lhe propiciar uma apredizagem autôoma e agradável Caberá a você a busca do etedimeto dos coceitos, das demostrações, bem como a resolução dos exercícios propostos Os coceitos explorados são: cojutos eumeráveis e revisão de supremo e ífimo; oções básicas de topologia em espaços métricos, com êfase para os espaços Euclidiaos; covergêcia de sequêcias em espaços métricos, explorado algus resultados relevates em ; cotiuidade, destacado-se os teoremas mais importates utilizados o estudo de Cálculo A fim de torar a otação utilizada mais leve e simples, iicialmete apresetamos os coceitos o cotexto de um espaço métrico geral No etato, o decorrer de todo o texto, a maior parte dos exemplos e aplicações é desevolvida os espaços Euclidiaos, =,,3 Mesmo que os coteúdos possam lhe parecer difíceis em algus mometos, efrete o desafio Estude com afico e dedicação Acreditamos que esta disciplia vai lhe proporcioar uma visão

8 mais abragete da Matemática, lhe abrido horizotes como professor desta bela e desafiadora área do cohecimeto humao Se você gostar do estudo de Aálise, você é um forte cadidato a seguir uma carreira acadêmica em Matemática, cursado um mestrado e, quiçá, um doutorado Quado fializar a disciplia, guarde seu livro, pois ele aida poderá lhe ser útil em seu camiho profissioal Miria Buss Goçalves Daiel Goçalves

9 Capítulo Cardialidade e o corpo dos úmeros reais

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11 Cardialidade e o corpo dos úmeros reais Nesta uidade você irá se familiarizar com o coceito de eumerabilidade de um cojuto, e terá a oportuidade de rever algumas propriedades importates dos úmeros reais, as quais serão fudametais os capítulos que seguem Em particular, você poderá revisar a oção de supremo e ífimo de um cojuto limitado Itrodução David Hilbert asceu em Koigsberg em 86 e recebeu seu PhD da uiversidade dessa cidade em 885, ode lecioou até 894 No período de 895 até 930 foi professor da Uiversidade de Gottige, cidade ode faleceu em 943 Ates de iiciar o seu estudo, leia a situação a seguir, cohecida como o Hotel de Hilbert : Era uma vez um hotel com um úmero ifiito de quartos Todos estavam ocupados Chegou um ovo hóspede que ecessitava muito de hospedagem Como o gerete poderia resolver seu problema? A primeira idéia que vem em ossa mete é colocar o ovo hóspede um dos quartos já ocupados Pode ão ser uma idéia brilhate, mas resolveria a situação, se o atigo hóspede estivesse disposto a compartilhar o seu quarto Veja só que lida solução podemos ter pelo fato de termos um úmero ifiito de quartos Numeramos os quartos do hotel,, 3,,, Pegamos, etão, o hóspede do primeiro quarto e o passamos para o segudo O do segudo quarto, passamos para o terceiro Procedemos assim sucessivamete

12 Como resultado, todos os hóspedes ficam acomodados os quartos subsequetes e o primeiro quarto ficará livre para acomodar o hóspede recém chegado O que você achou da solução? A situação aalisada ilustra a idéia de cojuto ifiito eumerável, isto é, de um cojuto ifiito, cujos elemetos podem ser colocados a forma de uma lista Você pode pergutar: Posso colocar em forma de uma lista todos os elemetos de um cojuto ifiito? Vamos ver que em sempre isso é possível Os cojutos cujos elemetos ão podem ser dispostos em sucessão (ão podem ser listados) são chamados de cojutos ão eumeráveis Cojutos fiitos e ifiitos eumeráveis Vamos cosiderar os cojutos: = {,, 3, } = cojuto dos aturais Ι = {,,, } = cojuto dos aturais de a Com base estes dois cojutos temos a oção de cojuto fiito e ifiito eumerável A idéia ituitiva que temos de um cojuto fiito é de que podemos cotar seus elemetos Isso é o mesmo que colocar seus elemetos em correspodêcia um a um com os elemetos de Ι, para algum E quado um cojuto ão é fiito? Na história da humaidade, houve muita dificuldade para compreeder e aceitar gradezas ifiitas As primeiras referêcias vieram com a religião, em expressões do tipo Deus é ifiitamete bom

13 3 Georg Ferdiad Ludwig Philip Cator, filho de pais diamarqueses, asceu em S Petersburgo, Rússia, em 845 Estudou a Suíça e a Alemaha e desevolveu sua carreira a Uiversidade de Halle Faleceu o hospital de doeças metais de Halle, em 98 No campo da Matemática, um grade pesquisador, chamado Cator, desevolveu um belo trabalho sobre cojutos ifiitos, itroduzido o coceito de cardialidade Ele mostrou que há diferetes tipos de cojutos ifiitos, ão sedo possível, em algus deles, colocar seus elemetos em sucessão (a forma de lista) Surgiram assim, os coceitos de cojuto eumerável e de cojuto ão eumerável Ituitivamete, um cojuto é eumerável se seus elemetos podem ser colocados uma lista de modo que qualquer elemeto do cojuto pode ser alcaçado se avaçarmos o suficiete a lista Temos as seguites defiições Defiições Um cojuto X é dito fiito se é vazio ou se, para algum, existe uma bijeção f : Ι X No último caso, dizemos que X tem cardialidade, isto é, X tem elemetos Se X ão for fiito, dizemos que X é ifiito 3 Um cojuto ifiito X é dito eumerável se existe uma bijeção f : X Exemplos Seja X = { x tais que 5x 3 = 7} Qual a cardialidade de X? Temos que os elemetos de X são as soluções da equação 4 5 x 3 = 7, ou seja, X =, Logo, X tem elemetos A 5 fução é uma bijeção f : Ι 4 5 X

14 4 O cojuto I dos úmeros iteiros positivos ímpares é eumerável De fato, f : Ι ; f ( ) = é uma bijeção, como você pode visualizar o quadro que segue: Nota: Subcojutos ifiitos de cojutos eumeráveis são eumeráveis 3 O cojuto dos úmeros iteiros Z é eumerável Vamos resgatar a idéia ituitiva Podemos dispor todos os úmeros iteiros a forma de uma lista, como segue: 0,, -,, -, 3, -3, 4, -4, 5, -5, Qualquer úmero iteiro, positivo ou egativo, será alcaçado se avaçarmos o suficiete essa lista Existem outros cojutos eumeráveis? A resposta é sim, sedo o cojuto dos racioais o exemplo mais importate (e surpreedete) As proposições que seguem idicam um camiho para provar esse e outros resultados iteressates Proposição Se f : X Y é ijetiva e Y é eumerável, etão X é fiito ou eumerável Prova: Como Y é eumerável, existe uma bijeção g : Y Cosideremos a fução composta h = g f : X Ν f g X Y N h = g f

15 5 Como f e g são ijetivas, o mesmo ocorre com h Portato, é uma bijeção h : X h( X ) Como h( X ), ele é fiito ou eumerável Logo, X é fiito ou eumerável Proposição Seja X eumerável Se Y é fiito ou eumerável f : X Y é sobrejetiva, etão Prova: De maeira similar a proposição aterior ote que como X é eumerável existe uma bijeção g : X e portato a fução composta f g : Y é sobrejetiva Agora, para todo y Y defia h( y ) como o meor elemeto em ( f g) ( y) Note que h : Y esta bem defiida, pois todo subcojuto dos aturais possui um meor elemeto Aida, h é ijetiva Logo, pela proposição aterior, temos que Y é eumerável Vamos relembrar a seguir um Teorema da Álgebra que é utilizado para provar que o produto cartesiao de por é eumerável Como ele é um resultado prelimiar ecessário para essa prova o itroduzimos como um lema Lema (Teorema da Álgebra) Todo úmero atural se decompõe de maeira úica como produto de fatores primos Proposição 3 é eumerável Prova: Defiimos f : (, m) 3 m Temos que f é ijetiva, pois m m 3 = 3 ( m ) = ( m ) pelo lema aterior, Pela proposição 3 segue que Ν Ν é eumerável

16 6 Proposição 4 Se X e Y são eumeráveis, etão X Y é eumerável Prova: Como X e Y são eumeráveis, existem f : X e g : Y bijeções Defiimos h : X Y h( x, y) = ( f ( x), g( y)) Etão h é sobrejetiva Como é eumerável, pela proposição, temos que X Y é eumerável Exercício Proposto Prove a proposição 4 acima utilizado a proposição Corolário O cojuto Q dos úmeros racioais é eumerável Prova: Seja Z* o cojuto dos úmeros iteiros ão ulos, isto é, Ζ * = Ζ { 0} Etão Z* é eumerável Pela proposição 6, Ζ Ζ* é eumerável Defiimos f : Ζ Ζ* Q m ( m, ) Temos que f é sobrejetiva (pela própria defiição de Q) Como Ζ Ζ* é eumerável, pela proposição 4, cocluímos que Q é eumerável Resgatado a idéia ituitiva de cojuto eumerável, você pode se pergutar: Como listar os elemetos de Q?

17 7 + Vamos exemplificar com os racioais positivos, Q No quadro que segue, ilustramos o procedimeto A lista é formada como idicado pelas setas Observe que agrupamos os elemetos cuja soma do umerador com o deomiador é a mesma, elimiado os elemetos repetidos Isso resultará a lista 3 3 4, que cotém todos os racioais positivos Proposição 5 Sejam X,, X, X m, cojutos eumeráveis A uião X = X m é eumerável Prova: Como X m é eumerável, podemos cosiderar os elemetos de X como termos de uma sucessão x x, x, Formamos o quadro m m, m m3 x x x x 3 4 x x x x 3 4 x x x x x x x x Este quadro cotém todos os elemetos de X Como as setas idicam, seus elemetos podem ser dispostos em sucessão: x, x, x, x3, x, x3, x4, x3, x3, x4,

18 8 Mais formalmete, ote que a fução f : X, dada por f ((, m)) = xm, é uma bijeção, e portato X é eumerável Notas: ) A uião fiita de cojutos eumeráveis é eumerável ) O produto cartesiao fiito de cojutos eumeráveis é eumerável 3) O resultado aterior ão é válido para produtos ifiitos 3 Cojutos ão eumeráveis Segudo Cator, dois cojutos, A e B tem a mesma cardialidade quado é possível estabelecer uma correspodêcia biuívoca etre os elemetos de A e os elemetos de B Isso equivale a dizer que existe uma bijeção etre A e B Vimos que o cojuto dos úmeros racioais é eumerável Não seriam, etão, todos os cojutos ifiitos eumeráveis? Em 874 Cator surpreedeu os matemáticos de sua época com uma descoberta muito importate Ele mostrou que o cojuto dos úmeros reais tem cardialidade diferete da do cojuto dos úmeros aturais Defiição 4 Todo cojuto ifiito que ão é eumerável, é dito ão eumerável Proposição 6 O cojuto dos úmeros reais é ão eumerável Prova: Vamos mostrar que o cojuto dos úmeros reais etre 0 e é ão eumerável Para isso usaremos a represetação decimal ifiita, que é úica para todo úmero real Se você ão lembrar leia a seção do livro Aálise Matemática para Liceciatura, de Geraldo Ávila

19 9 Por exemplo, 0,397=0, ,5=0,4999 Vamos supor que é possível estabelecer uma correspodêcia biuívoca dos úmeros reais do itervalo (0, ) com os úmeros aturais Podemos, etão, escrever esses úmeros em sucessão, coforme o quadro a seguir: x x,,,, x3 ode x i j são algarismos de 0 a 9 x = 0, x x x3 x4 x = 0, x x x3 x4 x3 = 0, x3 x3 x33 x34 x = 0, x x x3 x4 Vamos, agora, estabelecer uma cotradição Vamos fazer isso usado o processo diagoal de Cator Costruímos um úmero diferete de todos os listados Como? Trocado os algarismos da diagoal Assim, esse ovo úmero será diferete de x, a primeira casa decimal, diferete de x a seguda casa decimal, diferete de x 3 a terceira casa decimal e assim sucessivamete Dessa forma chegamos a um absurdo Cocluímos, etão, que o cojuto dos úmeros reais etre 0 e é ão eumerável Nota: O cojuto dos úmeros reais tem a mesma cardialidade do itervalo (0, ) De fato, a fução y = tg( x ) é uma bijeção do itervalo (0, ) a reta toda (, ) Você pode usar um software gráfico para visualizar esta bijeção Veja que o resultado acima os remete a uma reflexão sobre os úmeros irracioais, que voltarão a ser discutidos a próxima uidade

20 0 Exercícios Propostos ) Os úmeros aturais podem ser escritos como a uião dos aturais ímpares e dos aturais pares: Ν = {, 3, 5, 7, } {, 4, 6, 8, } Esses dois cojutos são disjutos e ifiitos Dado um úmero atural p >, atribua algus valores para p, e mostre que existem cojutos A, A,, Ap, ifiitos e disjutos, tais que Ν = p A i i= 3) Seja f : X Y uma bijeção Mostre que um desses cojutos é fiito se e somete se o outro também é fiito 4) Usado a defiição, prove que são eumeráveis: a) P= Cojuto dos iteiros pares b) I= Cojuto dos iteiros egativos ímpares c) Qp= Cojuto dos racioais com deomiador p 5) Sejam X fiito e Y eumerável a) Existe uma fução ijetiva f : X Y? b) Existe uma fução sobrejetiva g : X Y? Justifique 6) Mostre que o cojuto de todas as sucessões cujos termos são os algarismos 0 e é ão eumerável

21 4 Algumas Propriedades dos Números Reais Nesta seção você terá a oportuidade de revisar algumas propriedades dos úmeros reais, que deotamos por, as quais serão utilizadas o decorrer do seu apredizado Defiição 5 Seja x O módulo, ou valor absoluto, de x é defiido por: x x, se x > 0 = 0, se x = 0 x, se x < 0 Nota: O módulo de x também pode ser defiido por uma das seguites expressões: x = max{ x, x} ou x = x É importate você já se familiarizar com as iequações a seguir, evolvedo módulo, pois iequações desse tipo serão de vital importâcia as seções seguites Exemplo Determiar os valores de x tais que x a < ε Temos: x a < < x a < a < x < a + x ( a, a + ) Podemos represetar graficamete: 0 x ( ) a a a x A solução é costituída pelos elemetos x pertecetes a um itervalo aberto de cetro em a e raio ε Também podemos dizer que a solução é costituída pelos elemetos x tais que a distâcia de x até a é meor que ε Neste caso, estamos iterpretado x a como a distâcia de x até a

22 Propriedades: Sejam um corpo ordeado e x, y, z Etão: Mod: x + y x + y (Desigualdade triagular) Mod: xy = x y Mod3: x y x y x y Mod4: x z x y + y z Prova: Mod: Temos as seguites desigualdades: x x x y y y Adicioado as desigualdades, vem: Portato, Mod: Temos, ( x + y ) x + y ( x + y ) x + y x + y xy = ( xy) = x y Portato, xy = x y = x y = x y Mod3: A primeira desigualdade dessa propriedade é trivial, pois a a, a Vejamos, etão, a seguda desigualdade: Pela propriedade Mod, temos que:

23 3 x = x y + y x y + y y = y x + x y x + x Trabalhado com essas iequações, obtemos: x y y x x y y x Multiplicado a seguda iequação por -, vem: x x y y x y y x = x y Portato, x y x y x y e, assim, x y x y Nota: A prova da propriedade Mod4 é direta, sedo deixada como exercício 5 Supremo e Ífimo Nesta seção osso objetivo pricipal é itroduzir os coceitos de supremo e ífimo em Como ambos são similares, vamos cetrar mais ossa ateção a oção de supremo Vamos iiciar falado de cojutos limitados Temos a seguite defiição: Defiição 6 Seja X um subcojuto de a) Dizemos que X é limitado superiormete se b tal que x b para todo x X Neste caso X (, b] e b é chamado uma cota superior de X b) Dizemos que X é limitado iferiormete se a tal que x a para todo x X Nesse caso X [ a, + ) e a é chamado uma cota iferior de X c) Se X é limitado superior e iferiormete, dizemos que X é limitado Nota: X é limitado existem a, b tais que X [ a, b]

24 4 Exercícios Resolvidos Verificar quais dos seguites cojutos são limitados iferiormete e/ou superiormete a) X = {, 3, 5, 7} b) X =, Ν c) X = { 3, Ν} Solução: a) Temos que é uma cota iferior de X Logo, X é limitado iferiormete Temos, também, que 7 é uma cota superior de X Logo X é limitado superiormete Cocluímos, assim, que X é um cojuto limitado b) Podemos escrever X =,,,,,, 3 4 Temos que 0, Ν Logo, X é um cojuto limitado (0 é uma cota iferior e é uma cota superior) c) Temos, X = { 3, 6, 9,,, 3, } Podemos ver que -3 é uma cota superior de X Portato, X é limitado superiormete O cojuto X ão tem cota iferior Ele ão é limitado iferiormete Cocluímos que o cojuto X ão é limitado Proposição 7 Em são equivaletes: i) O cojuto dos úmeros aturais ão é limitado superiormete ii) Dados a, b, a > 0, tal que a > b

25 5 iii) Dado qualquer a > 0, tal que 0 < a < Prova: i) ii) Sejam a, b, a > 0 Como ão é limitado superiormete, tal que > Segue que a > b b a ii) iii) Em ii) tomamos a > 0 e b = Temos que tal que a > b Logo, a < iii) i) Seja b, b > 0 Etão > 0 Por iii) tal que b < Logo, > b e, dessa forma, ehum elemeto de b é cota superior de Nota: Retome claramete em sua mete a oção de cota superior de um cojuto Procure visualizar geometricamete Isso é fudametal para você compreeder o coceito de supremo de um cojuto, que vamos defiir agora Defiição 7 Seja X um cojuto limitado superiormete Um elemeto b é dito supremo de X, se valem: S - Para qualquer x X, tem-se x b S Se c e x c, x X, etão b c Em outras palavras, podemos dizer que o supremo de X é a meor das cotas superiores de X Deotamos: b = sup X Nota: Uma outra caracterização muito útil do supremo é dada a seguir Cosidere qualquer úmero positivo ε muito pequeo Temos, b = sup X S' - x X, x b S' - ε > 0, x X tal que b ε < x b

26 6 Geometricamete podemos visualizar esta caracterização do supremo: x X 0 b b x Em liguagem coloquial as codições S e S são dadas por: S b é cota superior de X S Qualquer úmero meor que b ão é cota superior de X Exercício Proposto 7 Mostre que as duas caracterizações de supremo dadas acima são equivaletes Como você defiiria o ífimo de um cojuto limitado iferiormete? A defiição de ífimo é aáloga à de supremo Vejamos: Defiição 8 Seja Y um cojuto limitado iferiormete Um elemeto a é dito ífimo de Y, se: I - Para qualquer y Y, tem-se a y I - Se c e c y, y Y, etão c a Dessa forma, o ífimo de Y é a maior das cotas iferiores de Y Deotamos: a = if Y Também podemos escrever: a = if Y I' - y Y, a y I' - ε > 0, y Y tal que a y < a + ε

27 7 Geometricamete, y Y 0 a a x O supremo e o ífimo de um cojuto X são sempre elemetos de X? A resposta é egativa O supremo e o ífimo de X podem ou ão pertecer a X Exemplos ) Seja X = {, 5, 7, 9} Temos, sup X = 9 e if X = Nota: Observe que este caso o supremo de X é o elemeto máximo de X e o ífimo de X é seu elemeto míimo Sempre que um cojuto X tem elemeto máximo esse elemeto é o supremo De forma aáloga, sempre que X tem elemeto míimo, esse elemeto é o ífimo ) Seja X =,,,,,, 3 4 Facilmete podemos visualizar que sup X = Qual o ífimo de X? Se você pesou o zero você acertou, pois: I -, 0 (0 é cota iferior de X) I - ε > 0, 0 tal que 0 < < ε (Prop 7, iii)) x

28 8 Logo, 0 é a maior das cotas iferiores, isto é, if X = 0 Nota: Observe que este caso o ífimo ão pertece ao cojuto X 3) Seja X =, Podemos escrever, Temos, 4) Seja X =, 3 X = 0,,,,,, 3 4 if X = {0} ; sup X = {} Temos que if X = e sup X = 0 5) Seja X =, Temos que if X = 0 e 6) Seja X = {, 4, 6, 8, } Temos: sup X = if X = Como X ão é limitado superiormete, X ão possui supremo Acima vimos exemplos de algus cojutos cujo supremo e/ou ifímo ão perteciam ao cojuto Porém em todos os exemplos, o supremo e o ifímo eram úmeros racioais Você pode se pergutar se este comportameto se repete para todo subcojuto limitado de úmeros racioais, ou seja, se todo subcojuto limitado de úmeros racioais possuí supremo (ou ífimo) em

29 9 A resposta a perguta acima é egativa Existem subcojutos limitados de úmeros racioais cujo supremo ão é um úmero racioal Para provar esta afirmação, precisamos primeiro da proposição abaixo Proposição 8 Não existe um úmero racioal p tal que p = Prova: Supohamos que existe p tal que p = Etão podemos escrever p =, sedo que os iteiros m e ão são am- m bos pares (se forem, podemos simplificar, até deixarem de ser) Temos, p m = = ou, ou, aida, m = m = Cocluímos que m é par e, cosequetemete, m é par Podemos escrever, etão, m = r, ode r é um iteiro Elevado ao quadrado, temos, ou, m = 4r r = 4, já que m = Simplificado, vem = r, de ode cocluímos que é par e, cosequetemete, é par Chegamos, dessa forma, a uma cotradição, pois m e ão são ambos pares

30 30 Proposição 9 Sejam X = { x tais que x > 0 e x < } ; Y = { y tais que y > 0 e y > } Não existe sup X em e ão existe if Y em Prova: Vamos fazer esta demostração em etapas ) O cojuto X ão possui elemeto máximo Seja x um elemeto qualquer de X Vamos mostrar que existe em X um outro elemeto maior que x Cosideremos o úmero racioal: x x + Como x X, x > 0 e x > 0 Portato x + > 0 e, dessa forma, x > 0 x + x Tomamos um úmero r tal que r < e 0 < r < x + A existêcia desse úmero racioal r é garatida pela proposição 7 Provemos que x + r X Temos, ( x + r) > 0 Além disso, 0 < r < r < r ; () x 0 < r < r(x + ) < x () x + Usado () e (), vem ( ) x + r = x + rx + r < x + rx + r = x + r x + < x + x = ( ) Portato, + < e, dessa forma, x + r X ( x r) Cocluímos que X ão possui elemeto máximo

31 3 ) O cojuto Y ão possui elemeto míimo Seja y Y Vamos mostrar que existe em Y outro elemeto meor que y Cosideremos o úmero racioal y y Como y Y, y > e y > 0 Portato, y > 0 e y > 0 e, assim, y > 0 y Tomamos um úmero r tal que y 0 < r < y Temos que ry y < ou ry > y Usado esse resultado, vem: ( y r) = y ry + r > y ry > y + y = Logo, ( y r) > Para cocluirmos que ( y r) Y, falta verificarmos, aida, se ( y r) > 0 Como y 0 < r <, temos que y y r < y y Como y > 0, segue que r < < y e, portato, ( y r) > 0 Cocluímos que ( y r) Y e, dessa forma, Y ão possui elemeto míimo

32 3 3) Se x X e y Y, etão x < y Sejam x X e y Y Temos, x > 0 e 0 < x < y > 0 e y > Portato, 0 < x < < y ou 0 < x < y Como x > 0 e y > 0, segue que x < y 4) sup X Vamos usar os resultados obtidos as 3 etapas ateriores Supohamos que existe b = sup X em Etão: i) b > 0 ii) b ão satisfaz b < De fato, como X ão tem elemeto máximo (provamos a etapa ), b X ii) b > ão satisfaz b > De fato, vamos supor que b > Temos etão que b Y Usado a etapa, segue que a Y tal que a < b (Y ão tem elemeto míimo) Utilizado o resultado obtido a etapa 3, cocluímos que x X, x < a < b Portato, b ão é a meor cota superior de X, ou seja, b ão é o supremo de X, o que é uma cotradição Por ii) e iii) temos que: Se existir b = sup X, etão b = Pela proposição 3, sabemos que ão existe b = Logo, ão existe sup X em b Q tal que

33 33 Comprovamos, assim, que existem cojutos de úmeros racioais que ão possuem supremo em Existem lacuas em Você pode ser pergutar, ituitivamete falado, se as lacuas de podem ser completadas A resposta é afirmativa, e o cojuto que cotém, e completa suas lacuas, é o cojuto dos úmeros reais Temos o seguite axioma: Axioma Em todo subcojuto ão vazio, limitado superiormete, possui supremo Nota: O Axioma axima implica que em todo subcojuto limitado iferiormete possui ífimo Nota: Existe em um úmero p tal que p = Este úmero é represetado por e é um úmero irracioal O cojuto dos úmeros irracioais é defiido como o complemetar de em, e é deotado por Vimos ateriormete que é um cojuto eumerável e que é ão eumerável Como a uião de dois cojutos eumeráveis é um cojuto eumerável, cocluímos que é ão eumerável Etre os úmeros irracioais mais cohecidos estão úmero eperiao e, 3, π e o Você saberia listar 0 úmeros irracioais que são maiores que 500? É fácil, pois se x é um úmero racioal e y um úmero irracioal etão o produto de x por y é irracioal Assim, podemos listar facilmete os 0 úmeros pedidos Por exemplo, poderíamos tomar: 500, 50,,509 Vamos fializar a uidade euciado um teorema muito importate, ode usamos fortemete os coceitos de supremo e ífimo vistos acima

34 34 Proposição 0 (Pricípio dos Itervalos Ecaixados) Seja I I I uma sequêcia decrescete de itervalos fechados e limitados, I [ a, b ] = Etão, I { } = pelo meos um úmero real x tal que x I,, isto é, existe Mais precisamete, temos: I = [ a, b], = a = sup{ a, a,, a,} ode b = if{ b, b,, b,} Prova: Como I I, temos que a a a a + e b b b b + Além disso, am b, m, Logo, cada b é uma cota superior do cojuto A = { a, a,, a, } e cada a m é uma cota iferior do cojuto B = { b, b,, b, } Existem, etão, a = sup A e b = if B em Como a = sup A, segue que am a, m Como todo b é uma cota superior de A, a b, Temos, etão, a a b, ou seja, a [ a, b ] =

35 35 Exemplo Verifique o pricípio dos itervalos ecaixados para a família de itervalos I =, Temos, I I I = [,] =, =, Os itervalos da família dada são fechados e limitados e satisfazem: I I I Logo, todas as hipóteses da proposição são verificadas Além disso, temos que a < 0, e > 0, b Logo, 0 I, e, assim, 0 I = Fialmete, é iteressate costatar que sup{ a, a,, a, } = sup,,,,, = 0 3 e if{ b, b,, b, } = if,,,,, = 0 3 Portato, I = [0, 0] = {0} = Nota: Para aprofudar seus cohecimetos, sugerimos a leitura e estudo de todo o capítulo III do livro Curso de Aálise de Elo Lages Lima e da sessão Os úmeros reais - de Eudoxo a Dedekid do º capítulo do livro Itrodução à Aálise Matemática de Geraldo Ávila

36 36 Exercícios Complemetares: ) Mostre que X é um cojuto ifiito se, e somete se, X pode ser colocado em correspodêcia biuívuca com um subcojuto próprio dele mesmo, isto é, se, e somete se, existe uma bijeção etre X e um subcojuto próprio dele mesmo ) Seja S o cojuto das circuferêcias de raio e de cetro (p, q), ode p e q são úmeros iteiros positivos S é eumerável? Justifique 3) Mostre que a uião de cojutos disjutos eumeráveis é eumerável 4) Cosidere o cojuto S das sequêcias (sucessões) cujos termos são os algarismos 0 e e que evetualmete se aulam, isto é, uma sucessão x = ( x, x, x3,) esta o cojuto S se xi {0,} para todo i, e, a partir de certo poto, todos os seus termos são iguais a zero, isto é, existe um K x tal que x i = 0 para todo i > K x Decida se S é eumerável e justifique sua resposta 5) Dado o cojuto X =, : a) Dê exemplos de 3 cotas superiores e 3 cotas iferiores de X, se existirem b) Determie, se existirem, o supremo e o ífimo de X 6) Repita o exercício 5 para os cojutos: a) X =, b) Y = {( ), } c) Z = {5 3, } 7) Escreva em liguagem coloquial a caracterização de ífimo dada pelas codições I e I do texto 8) Dê exemplos de cojutos de úmeros racioais que: a) Não possuem supremo em b) Não possuem ífimo em c) Não possuem ífimo em supremo em

37 37 9) Idetifique se são verdadeiras ou falsas as afirmações que seguem, justificado as suas respostas a) Se X é um cojuto fiito, o ífimo de X e o supremo de X pertecem a X b) Se um cojuto X tem supremo etão ele admite ifiitas cotas superiores c) O ífimo de um cojuto limitado de úmeros irracioais é um irracioal d) Qualquer subcojuto ilimitado de úmeros racioais é deso em 0) Em, dê um exemplo de um cojuto de úmeros racioais que tem supremo irracioal e de um cojuto de úmeros irracioais que tem supremo racioal ) Mostre que o pricípio dos itervalos ecaixados ão podemos retirar as hipóteses: a) os itervalos são limitados; b) os itervalos são fechados

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39 Capítulo Noções Topológicas em

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41 4 Noções Topológicas em Neste capítulo você vai adquirir cohecimetos básicos de Topologia o, com êfase para =,,3 Isso oportuizará a você uma visão mais ampla e mais fudametada das disciplias do esio médio, quado lecioá-las Em particular, vamos explorar o coceito de métrica, que os permite medir distâcias, tais como distâcia etre dois potos e distâcia etre cojutos Veremos também as oções de cojuto aberto, cojuto fechado, iterior, fecho e froteira de um cojuto Itrodução Ates de iiciar o capítulo, vejamos o que Cator e Hilbert afirmaram sobre o estudo de cojutos: Por cojuto etedemos a etidade formada quado colocamos certos objetos, defiidos e distitos m, da ossa ituição ou pesameto Estes objetos são chamados os elemetos de M (G Cator, 895, Werke, p 8, apud [6, Hairer-Waer]) Niguém os expulsará do paraíso que Cator criou para ós (Hilbert, Math A, vol 95, p 70, apud [6, Hairer-Waer]) Embarcaremos agora o paraíso criado por Cator, muidos pricipalmete de ossa ituição geométrica, a qual será ossa guia durate toda esta uidade Não esqueça que durate o seu estudo é de extrema importâcia que você resolva os exercícios propostos este livro, utilizado uma liguagem matemática clara e precisa

42 4 O espaço Euclidiao [] É muito util cosiderar úmeros complexos, ou úmeros formados por várias uidades [] (Peao, 888a, Math A, vol 3, p450, apud [6, Hairer-Waer]) Os úmeros complexos aos quais Peao se refere são o que hoje cohecemos por vetores (omeclatura sugerida por Hamilto (853)) Sua importâcia matemática é eorme e seu estudo deslachou em meados do século 9, quado matemáticos tiveram a ideia de deotar pares de úmeros (ou -uplas) por apeas uma letra, por exemplo x = ( x, x,, x ), e cosiderar os mesmos como ovos objetos matemáticos Começaremos agora osso estudo, com toda a precisão ecessária para um bom etedimeto das ideias O espaço Euclidiao úmeros reais Simbolicamete, temos: cosiste de todas as -uplas ordeadas de = {( x, x,, x ) / x, x,, x } Um elemeto do espaço é deotado por x = ( x, x,, x ) e os referimos a ele como um poto de Em podemos defiir as operações adição e multiplicação por escalar, como segue: Adição Dados dois potos de, x = ( x, x,, x ) e y = ( y, y,, y ), defie-se: x + y = ( x, x,, x ) + ( y, y,, y ) = ( x + y, x + y,, x + y ) Multiplicação por escalar Dado a e x = ( x, x,, x ), defie-se: ax = a( x, x,, x ) = ( ax, ax,, ax ) Observação Com as operações de adição e multiplicação por escalar o espaço é um espaço vetorial sobre o corpo dos úmeros reais

43 43 É iteressate você relembrar as propriedades de um espaço vetorial Retome o texto da disciplia Álgebra Liear Como é um espaço vetorial, podemos itroduzir o coceito de orma Defiição Uma orma em é uma fução : tal que para quaisquer x, y e, valem as seguites propriedades: A orma de por N: x 0 e x = 0 x = 0; N : x = x ; N3: x + y x + y que mais vamos utilizar é a orma Euclidiaa, dada : x = ( x, x,, x ) x = x + x + + x Observação Veremos que outras ormas podem ser defiidas em Sempre que ão fizermos uma referêcia explícita à orma, estaremos subetededo que a orma usada é a orma Euclidiaa No osso estudo, de forma geral, vamos trabalhar os espaços, =,,3 Isso os permite visualizar geometricamete os coceitos que vamos explorar Exemplo Idetifique, o espaço X = { x / x < }, o cojuto Observe que o espaço ada mais é que o cojuto dos úmeros reais, que idetificamos geometricamete com a reta real Temos x = x < < x < Portato, X é o itervalo aberto (,), represetado a figura 0 x Figura

44 44 Exemplo Idetifique o espaço o cojuto S = { x = ( x, x )/ x < } Geometricamete o espaço é o plao cartesiao Se ecessário, reveja a seção 37 do livro texto de Itrodução ao Cálculo Temos x = x + x < x + x < Portato, S é o cojuto dos potos iteriores à circuferêcia de cetro em (0,0) e raio, ilustrada a figura x x Figura 3 Exemplo 3 Idetifique o espaço o cojuto S = { x = ( x, x, x )/ x = } 3 3 é o espaço cartesiao, que você utilizou o estudo da Geometria Aalítica e o Cálculo para represetar figuras geométricas espaciais como cubos, esferas e outras superfícies Temos x = x + x + x = x + x + x = 3 3 Assim, este caso, S é o cojuto dos potos de uma esfera de cetro a origem (0,0,0) e raio, como mostra a figura 3 x 3 x x Figura 3

45 45 A oção de espaço métrico foi itroduzida em 906 por Maurice Fréchet e desevolvida e batizada por Felix Hausdorff em 94 3 Espaços Métricos Ituitivamete, um espaço métrico é um cojuto o qual temos uma maeira de medir a distâcia etre seus potos Qual a sua oção de distâcia etre dois potos o plao cartesiao? Provavelmete, você vai visualizar a figura 4 e cocluir que a distâcia etre potos é o comprimeto do segmeto de reta que os ue, ou seja: d( x, y) = ( y x ) + ( y x ) x y y x x x y x Figura 4 Isso está correto No etato, podemos ter mais que uma maeira de medir a distâcia Algumas propriedades devem ser satisfeitas: M: A distâcia etre dois potos uca é egativa e só é zero a distâcia de um poto a ele mesmo M: A distâcia é simétrica, isto é, a distâcia de x até y é igual à distâcia de y até x M3: A distâcia etre potos x e z é sempre meor ou igual à soma das distâcias de x até y e de y até z, ode y é um poto qualquer Nota: Qualquer fução que satisfaz estas propriedades pode ser usada para medir distâcias Temos a seguite defiição:

46 46 Defiição Seja M um cojuto Uma métrica em M é uma fução d : M M, ode M M é o produto cartesiao de M por M : M M = {( x, x) / x, x M}, tal que para quaisquer x, y, z M, temos: M: d( x, y) 0 e d( x, y) = 0 x = y; M: d( x, y) = d( y, x); M3: d( x, z) d( x, y) + d( y, z) O par ( M, d ), ode M é um cojuto e d uma métrica, é chamado um espaço métrico Exemplo 4 M =, A partir das propriedades dos úmeros reais podemos verificar facilmete que d é uma métrica em Temos: Essa é a métrica que você utilizou as disciplias de Cálculo, quado estudou, por exemplo, limite de sequêcias Se ecessário, reveja a seção 34 do texto de Cálculo I [5, Gimeez-Starke] M: d( x, y) = y x 0 d( x, y) = 0 y x = 0 y x = 0 x = y; M: d( x, y) = d( y, x), pois y x = x y ; M3: d( x, z) = z x = z y + y x z y + y x = y x + z y = d( x, y) + d( y, z) 0, se x = y Exemplo 5 Seja M qualquer A fução d( x, y) =, se x y satisfaz as propriedades de métrica, sedo deomiada métrica trivial ou métrica 0 Qual a deficiêcia que você idetifica esta métrica? Ela ão diferecia a distâcia etre potos distitos Por exemplo, se M =, d (4,9) =, d (5,7) =, etc

47 47 Exercício Resolvido ) A fução d( x, y) x xy = + é métrica em? Justifique Resolução: Note que d ão é uma métrica em, pois ão satisfaz a propriedade M Por exemplo, d(, 3) = 5 < 0 Exercício Proposto ) A fução d( x, y) = x y é métrica em? Justifique 4 Métricas em Sejam x = ( x, x,, x ) e y = ( y, y,, y ) potos de As métricas usualmete utilizadas o espaço são: i) Métrica Euclidiaa d : d( x, y) = ( y x ) + ( y x ) + + ( y x ) Nota: Observe que para esta métrica, a distâcia de x até y é dada pela orma euclidiaa de x y, isto é, d( x, y) = x y ii) Métrica Retagular ou de Âgulo Reto d : d ( x, y) = y x + y x + + y x iii) Métrica do Máximo d : d ( x, y) = max{ y x, y x,, y x } Observações ) Em osso estudo a Métrica Euclidiaa será cosiderada a métrica usual de ) Pode-se provar que d ( x, y) d( x, y) d ( x, y) kd ( x, y),

48 48 ode k é uma costate Por exemplo, em, para mostrar que d( x, y) d( x, y) é suficiete mostrar que a + b a + b, a, b Mas esta desigualdade é equivalete a a b ( a b ) a a b b 0 a b + + = + +, o que é verdade a, b Devido a estas desigualdades, dizemos que as três métricas são equivaletes A equivalêcia é o setido de que elas vão produzir os mesmos abertos e fechados em É importate você visualizar geometricamete essas medidas de distâcia Para isso vamos utilizar o espaço Retomado a figura 4, vemos que a distâcia Euclidiaa etre dois potos é a distâcia medida em liha reta As figuras 5 e 6, respectivamete, ilustram a métrica retagular e a métrica do máximo x y x x y x y x Métrica Retagular Também é cohecida como Métrica Metropolitaa ou de Mahatta, devido às redes de trasporte a forma de grades retagulares que ocorrem em muitas cidades americaas e mesmo brasileiras Em muitos casos ela é a métrica mais adequada para medir as distâcias dos deslocametos os cetros urbaos Figura 5 x y y x x x y x Figura 6

49 49 Exercício Resolvido ) Usado as três métricas ateriores, idetifique os potos de tais que sua distâcia até a origem seja igual a Resolução: Sejam o = (0,0) e x = ( x, x) i) Para a métrica Euclidiaa, temos d( x, o) = ( x 0) + ( x 0) = x + x = ii) Para a métrica retagular, vem d ( x, o) = x 0 + x 0 = x + x = iii) Para a métrica do máximo, temos d ( x, o) = max{ x 0, x 0 } = max{ x, x } = A figura 7 ilustra as 3 situações x x x x x x (i) (ii) Figura 7 (iii) Exercício Proposto ) Refaça a figura 7, usado as equações obtidas em (i), (ii) e (iii) e sobrepodo as 3 figuras o mesmo sistema de coordeadas Exercício Resolvido 3) Em, mostre que a métrica Euclidiaa satisfaz a desigualdade triagular, isto é, mostre que d( x, y) d( x, z) + d( z, y), x, y, z

50 50 Resolução: Dados x = ( x, x ), y = ( y, y ) e z = ( z, z ), temos que provar que: ( x z ) + ( x z ) ( x y ) + ( x y ) + ( y z ) + ( y z ) Sejam a = ( x y ), b = ( y z ), i =, i i i i i i Etão xi zi = ( xi yi ) + ( yi zi ) = ai + bi e a iequação acima é equivalete a ( a + b ) + ( a + b ) a + a + b + b ( a + b ) + ( a + b ) a + a + a + a b + b + b + b a b + a b ( a + a )( b + b ) Para, mostrarmos esta última iequação, é suficiete mostrar que a b + a b ( a + a )( b + b ), a, b, i =, i i Mas a iequação acima é a famosa equação de Cauchy-Schwartz em ( a b a b, para a = ( a, a ), b = ( b, b ) ), e podemos prová-la elevado ao quadrado em ambos os lados, agrupado termos, e otado que ( a b a b ) 0, a, b, i =, Cocluímos que a desigualdade riagular é válida em i i Nota: Um argumeto semelhate pode ser usado para provar a desigualdade triagular em 5 Um Exemplo de Métrica um Cojuto de Fuções Seja X um cojuto ão vazio Seja M o cojuto das fuções f : X limitadas, isto é, tais que existe uma costate positiva k, de tal forma que f ( x) k, x X

51 5 A fução d : M M É importate você revisar bem a seção 6, que explora os coceitos de supremo e ífimo, o texto de Itrodução ao Cálculo [4, Gimeez-Starke] é uma métrica em M A figura 8 ilustra a métrica dada para X = [ a, b] x g d ( f, g) f a Figura 8 b x Observe que para todo x X, temos um úmero real g( x) f ( x) O supremo do cojuto desses úmeros é a distâcia de f a g (ote que este supremo existe, pois f e g são limitadas) Vamos verificar as propriedades de métrica Sejam f, g, h M M: d( f, g) 0 pela própria defiição da métrica d( f, g) = 0 sup{ g( x) f ( x) } = 0 ( ) ( ) = 0 x X M: d( f, g) = d( g, f ) g( x) f ( x) = 0, x X f ( x) = g( x), x X É imediata pelas propriedades de módulo de úmeros reais

52 5 M3: Seja x X Temos g( x) f ( x) = g( x) h( x) + h( x) f ( x) g( x) h( x) + h( x) f ( x) = h( x) f ( x) + g( x) h( x) sup h( x) f ( x) + sup g( x) h( x) x X x X = d( f, h) + d( h, g) Cocluímos, assim, que d( f, h) + d( h, g) é uma cota superior do cojuto { g( x) f ( x), x X} Segue que d( f, g) = sup g( x) f ( x) d( f, h) + d( h, g) x X Cabe a você agora resolver o exercício que segue Exercício Proposto 3) Seja X = [0,] Determiar d( f, g ), sedo: d) f ( x) = x e g( x ) = ; e) f ( x) = x e g( x) = x 6 Métrica Iduzida Sejam ( M, d ) um espaço métrico e L um subcojuto de M A restrição da métrica d a L L é uma métrica sobre L Esta métrica em L é a métrica iduzida por d sobre L Exemplo 6 Seja L = [0,], ode [0,] é o itervalo fechado [0,] A figura 9 ilustra o espaço L

53 53 x L x Figura 9 Podemos medir distâcias esta faixa de (isto é, em L ) usado qualquer das métricas defiidas sobre, por exemplo, a métrica Euclidiaa 7 Diâmetro de um Cojuto; Distâcias etre Cojutos Cosideremos os subcojutos de : A = {( x, x ) / x + x } ; B = {( x, x ) / ( x 3) + x } ; C = [0,] [0,] Observe que C é o produto cartesiao do itervalo fechado [0,] por ele mesmo: a) Qual a maior distâcia possível etre potos do cojuto A? b) Qual a meor distâcia possível etre um poto de A e um poto de B? c) Qual a maior distâcia possível etre dois potos de C? d) Qual a meor distâcia possível etre a origem e um poto de B? e) Se substituirmos A por A' = {( x, x ) / x + x < } e

54 54 B por B' = {( x, x ) / ( x 3) + x < }, as respostas serão as mesmas? É provável que para respoder estas questões você teha represetado geometricamete os cojutos dados, coforme a figura 0 x x x x 3 4 x x A B C Figura 0 Aalisado a figura, podemos obter facilmete as respostas: (a) ; (b) ; (c) ; (d) As respostas para o item (e) ão são tão imediatas Vejamos as defiições que seguem Defiição 3 (Diâmetro de um cojuto) Sejam ( M, d ) um espaço métrico e A M, A Dizemos que o cojuto A é limitado se existir um úmero real k > 0, tal que d( x, y) k, x, y A Se A é limitado, chamamos de diâmetro de A, e deotamos por diam( A ), o úmero real diam( A) = sup{ d( x, y) / x, y A} Exemplo 7 Em, o diâmetro do itervalo fechado [ a, b ] é igual ao diâmetro do itervalo aberto ( a, b ), sedo igual a b a, isto é, diam([ a, b]) = diam(( a, b)) = b a

55 55 Exemplo 8 Os diâmetros dos cojutos A, B e C, represetados a figura 0 são: diam( A ) = ; diam( B ) = ; diam( C ) = Na figura, represetamos os cojutos A ' e B ' x x x 3 4 x A B Figura Temos diam( A') = diam( B') = Nota: Ates de ler o próximo exercício revise a oção de supremo Exercício Resolvido 4) Demostre a afirmação do Exemplo 7 Resolução: Faremos para o itervalo [ a, b ] O caso do itervalo ( a, b ) fica como exercício Primeiro ote que b a é cota supeior para d( x, y ) com x, y [ a, b], pois se x, y [ a, b] etão y b e x a Logo, b a x y a, b per- Agora, dado > 0, tome tal que < Etão tecem a [ a, b ] e d a, b = ( b a) > ( b a) Logo, ( b a) = sup{ d( x, y), x, y [ a, b]}

56 56 Defiição 4 (Distâcia de um poto a um cojuto) Sejam ( M, d ) um espaço métrico, A M, A e p um poto de M A distâcia de p até A é o úmero real que deotamos por d( p, A ), dado por d( p, A) = if{ d( p, x) / x A} Nota: ) O ífimo existe, pois d( p, x) 0, x A ) Se p A, etão d( p, A ) = 0 Exemplo 9 Cosidere o cojuto C, represetado a figura 0 Dados P (0,), P, e P (,) 3, determiar a distâcia d( Pi, C ), i =,,3 Temos que, pois ; e Comprove este resultado, raciociado geometricamete Defiição 5 (Distâcia etre dois cojutos) Sejam ( M, d ) um espaço métrico, A, B M, A e B Defiimos a distâcia de A até B como sedo o úmero real Nota: { } d( A, B) = if d( x, y) / x A e y B ) Se A B, etão d( A, B ) = 0 ) A B = ão implica que d( A, B ) > 0 De fato, tome, por exemplo, os itervalos A = [0,) e B = [,] em Temos A B e d( A, B ) = 0 Exemplo 0 Sejam: A = {( x, y) / y = 0} e B = {( x, y) / x > 0 e xy = } Mostrar que a distâcia etre A e B é zero

57 57 A figura ilustra os cojutos A e B em B é o gráfico da fução y =, x > 0 x y A é o eixo dos x e B A x Figura Queremos mostrar que d( A, B ) = 0 Para isso, de acordo com a -caracterização de ífimo, devemos mostrar que: Para todo > 0, existem p A e q B tais que d( p, q) < Dê > 0 Etão, pela propriedade Arquimediaa de, existe um x0 tal que x0 > Tomamos p = ( x0,0) e q = x0, x 0 Temos p A e q B e d( p, q) = ( x0 x0) + 0 = < x0 x0 Logo, d( A, B) = if{ d( x, y) / x A e y B} = 0

58 58 Exercício Proposto 4) Dê exemplos de cojutos A e B, tais que: a) d( A, B ) = 3 em ; b) d( o, A ) = em c) d( A, B ) = em ; ode o é a origem e em 3 8 Bolas Abertas Vamos agora itroduzir a oção de bola aberta, que é muito importate para itroduzir o coceito de cojuto aberto e outras oções topológicas Defiição 6 Sejam ( M, d ) um espaço métrico e x M Seja r um úmero real positivo A bola aberta de cetro x e raio r é defiida por Em, podemos escrever B( x, r) = { y M / d( y, x) < r} B( x, r) = { y / y x < r} Exemplo Idetifique, geometricamete, as bolas abertas: ) B( a, ) em ) B( a, ) em Temos:, para as 3 métricas itroduzidas ) Em, com a métrica usual, a bola aberta de cetro em a e raio é o itervalo aberto ( a, a + ), ilustrado a figura 3 0 a ε a a+ε Figura 3 ) A figura 4 (a), (b) e (c) mostra as bolas abertas em, para as métricas Euclidiaa, retagular e do máximo, respectivamete

59 59 x x x a a a a x a x a x (a) (b) (c) Figura 4 Propriedades das bolas abertas Seja ( M, d ) um espaço métrico Propriedade B O diâmetro de B( x, r ) satisfaz diam( B( x, r)) r De fato, sejam y, z B( x, r) Etão, d( y, x) < r e d( z, x) Usado a propriedade M 3, segue que < r d( y, z) d( y, x) + d( x, z) < r + r = r Assim, r é uma cota superior do cojuto das distâcias etre potos quaisquer da bola e, etão, o seu diâmetro satisfaz: diam( B( x, r)) = sup{ d( y, z) / y, z B( x, r)} r Exemplo Em, diam( B( x, r)) = r, valedo, assim, a igualdade a propriedade B Exemplo 3 Seja M =, com a métrica zero-um Se r <, B( x, r) = { x} (cojuto uitário) Logo, diam( B( x, r )) = 0 e vale, este caso, a desigualdade estrita a propriedade B Propriedade B Dadas as bolas B( x, r ) e B( x, r ), r r B( x, r ) B( x, r )

60 60 Observação A prova é trivial Faça uma represetação geométrica em, com a métrica usual Propriedade B3 Dado um poto qualquer y B( x, r), existe um úmero real r, tal que B( y, r ) B( x, r) Prova: Seja y B( x, r) Tome r = r d( x, y), como represetado a figura 5, para com a métrica usual y r r x d(x,y) Figura 5 Seja z B( y, r ) Temos que d( z, x) d( z, y) + d( y, x) < r + d( y, x) = r d( x, y) + d( y, x) = r Logo, z B( x, r) e, portato, B( y, r ) B( x, r) Propriedade B4 Sejam B( x, r ) e B( y, r ), tais que B( x, r ) B( y, r ) Se z B x r B y r (, ) (, ), etão existe uma bola aberta com cetro em z cotida a iterseção B( x, r ) B( y, r )

61 6 A figura 6 ilustra esta propriedade para com a métrica usual r z y r x Figura 6 Prova: Seja z B( x, r ) B( y, r ) Pela propriedade B3: > 0 tal que B( z, ) B( x, r ) ; () > 0 tal que B( z, ) B( y, r ) () Tome = mi{, } Por B, B( z, ) B( z, ) e B( z, ) B( z, ) Por () e (), cocluímos que B( z, ) B( x, r ) B( y, r ) Propriedade B5 Sejam B( x, r ) e B( y, r ) Se r + r d( x, y), etão B( x, r ) B( y, r ) = A figura 7 ilustra esta propriedade para com a métrica usual

62 6 x r r y d(x,y) Figura 7 Prova (Por cotradição): Vamos supor que existe um poto z B( x, r ) B( y, r ) Etão d( x, z) < r e d( y, z) < r, e, portato, d( x, y) d( x, z) + d( z, y) < r + r, o que cotraria a hipótese 9 Cojutos Abertos Estudaremos esta seção os cojutos que são chamados de abertos A omeclatura provém do estudo dos itervalos abertos de Em, é possível caracterizar os cojutos abertos como aqueles que podem ser escritos como uma uião disjuta, eumerável de itervalos abertos Ifelizmete ão temos uma caracterização como esta para cojutos abertos de um espaço métrico qualquer e, portato, precisamos de uma defiição que fucioe em todos os casos Para isto, utilizaremos o coceito de bola aberta Vamos trabalhar, em geral, um espaço métrico ( M, d ), o que será omitido sempre que estiver claro o cotexto Vejamos:

63 63 Defiição 7 (Iterior de um Cojuto) Seja A M, A Dizemos que um poto x A é um poto iterior de A, se existir uma bola aberta cetrada em x e cotida em A O cojuto de todos os potos iteriores de A é deomiado Iterior de A e é deotado por It( A ) Simbolicamete, escrevemos Exemplo 4 Cosidere, em x It( A) B( x, r) A, o cojuto A = {( x, x ) / ( x ) + ( x ) } Quais os potos de A que são potos iteriores? Existem potos de A que ão são iteriores? Quais? A figura 8 ilustra este exemplo x x Figura 8 Todos os potos iteros à circuferêcia de cetro em (,) e raio são potos iteriores Os potos sobre a circuferêcia pertecem ao cojuto A, mas ão são potos iteriores Exemplo 5 Em, cosidere os itervalos: a) Itervalo aberto ( a, b ) ;

64 64 b) Itervalo fechado [ a, b ] ; c) Itervalo aberto ilimitado ( a, + ) ; d) Itervalo fechado ilimitado [ a, + ) Em (a), todos os potos são potos iteriores Em (b), temos que It([ a, b]) = ( a, b) Os potos a e b ão são potos iteriores Em (c), todos os potos são potos iteriores Em (d), temos que It([ a, + ]) = ( a, + ) O poto a ão é poto iterior Exercício Proposto 5) Idetifique, represetado geometricamete, It( A ), sedo: a) b) A = {( x, x ) / x x }; A = {( x, x ) / x x < 0} ; c) A = {( x, x ) / x > e x } ; d) A = {( x, x ) / x > 0 e x < l x }; e) A = (cojuto dos iteiros em ); f) A =, = em Exercício Resolvido 5) Mostre que It( A) It( B) = It( A B) Resolução: Seja x It( A) It( B) Etão, pela defiição de iterior, existem r e r tais que B( x, r ) A e B( x, r ) B Pela propriedade de bolas abertas B4, r tal que 3 B( x, r3 ) B( x, r ) B( x, r ) A B Logo, x It( A B) e provamos que It( A) It( B) It( A B) A outra iclusão fica como exercício

65 65 Exercício Proposto 6) Decida se It( A B) It( A) It( B) Se for verdadeiro prove, caso cotrário apresete um cotra-exemplo Defiição 8 (Cojuto Aberto) Seja A M Dizemos que A é aberto se todo poto de A é um poto iterior de A Nota: O iterior de A sempre está cotido em A Logo, se A It( A), etão A é aberto Exemplo 6 Toda bola aberta é um cojuto aberto De fato, esse resultado é uma cosequêcia imediata da propriedade B3 Exemplo 7 O cojuto A = { x / 0 < x < } é aberto em, mas o cojuto B = {( x, x ) / 0 < x <, x = 0} ão é aberto em A figura 9 ilustra esta situação x 0 A x B x Figura 9 Observe que, com a métrica Euclidiaa, uma bola aberta em é um itervalo aberto e em é o iterior de um círculo Exemplo 8 Em, todo o cojuto aberto se escreve como uma uião eumerável de itervalos abertos disjutos O resultado acima é muito iteressate Para ter uma ideia da prova, supoha que A seja aberto Para todo x A, seja I x o maior itervalo aberto tal que x I A Note que se x y, etão x

66 66 I x I y = ou I x = I y Etão, A = I x e esta uião é eumerável, pois detro de cada I x podemos escolher um úmero racioal distito Em geral, provar que um cojuto, mesmo de, é aberto ão é tarefa tão fácil Às vezes precisamos ter alguma boa ideia para fazer isto Veja o exemplo abaixo: Exemplo 9 Mostrar que o cojuto A = {( x, y) / x > y + } é aberto (ver figura 0) usado a defiição de cojuto aberto y A x x=y + Figura 0 Para ver isto, seja ( a, b) A Sem perder a geeralidade, supor b 0 Tomar > 0 tal que a b > ( + ) + + A existêcia de pode ser provada usado a fórmula de Bhaskara Vamos mostrar que B(( a, b), ) A Fazedo isso, segue que A é aberto Seja etão ( x, y) B(( a, b), ) Temos ( ) ( ) (, ) (, ) x a + y b = x y a b < e isto implica que x a < e y b < Assim, < x a <, < y b <

67 67 Ou, a < x < a +, b < y < b + Logo, x a > b = b + + > y + ( ) ( ) Isto é, x > y + Isso diz que ( x, y) A e, portato, B(( a, b), ) A Propriedades dos Cojutos Abertos: Propriedade Ab O cojuto vazio e o espaço todo M são abertos Prova: É imediata Propriedade Ab A iterseção de dois abertos quaisquer é um aberto Prova: Sejam A e A cojutos abertos e A = A A 3 Se A 3 =, ada temos a provar Seja z A 3 Devemos mostrar que existe uma bola aberta B( z, r ) tal que B( z, r) A Como z A e A é aberto, existe r > 0 tal que 3 B( z, r ) A Da mesma forma, r > 0 tal que Seja r = mi{ r, r } B( z, r ) A Etão, B( z, r) B( z, r ) A e B( z, r) B( z, r ) A Logo, B( z, r) A A e, assim, A A é aberto

68 68 Propriedade Ab3 A uião arbitrária de cojutos abertos é um aberto Prova: Sejam { A } uma coleção de abertos e A Seja z A Etão, z A, para algum = A Como A é aberto, existe uma bola aberta B( z, r) A A Logo, A é aberto Exercício Proposto 7) Usado idução matemática, mostre que a iterseção fiita de abertos é um aberto, isto é, se A, A,, A são cojutos abertos, etão A = A é aberto, i= i Nota: A iterseção de uma coleção ifiita de abertos pode ão ser um aberto Se ecessário revise o capítulo 5, Pricípio de Idução do texto de Fudametos de Matemática I [, Carvalho- Gimeez] Exemplo 0 Em, tome A = x / < x <, Etão, = A = {0}, que ão é aberto 0 Cojutos Fechados Cojutos fechados são defiidos simplesmete como cojutos cujo complemetar é aberto No decorrer deste capítulo veremos algumas outras caracterizações de cojutos fechados Porém, vale a pea ressaltar que, mesmo em, descrever completamete quais são os cojutos fechados de um espaço métrico é um problema complicado Abaixo você pode ver o deseho do triâgulo de Sierpiski em e (figura ) Ambos são cojutos fechados 3 (pois os complemetares são abertos) e dão uma ideia de quão complicados os cojutos fechados podem ser Triâgulo de Sierpiski É uma geeralização do cojuto de Cator (o qual estudaremos mais tarde) Se você quiser saber mais, sugerimos uma busca a iteret com as palavras Triâgulo de Sierpiski ou, em iglês, Sierpiski triagle

69 69 Figura Defiição 9 Seja F M Dizemos que F é fechado se o seu complemetar, C( F ), for aberto Exemplo O cojuto em F = {( x, x ) / x + x } é fechado Exemplo Os itervalos [ a, b ], (, b] e [ a, + ) são cojutos fechados F = {( x, x, x ) / x + x + x } é fe- Exemplo 3 O cojuto 3 chado em Exemplo 4 Seja ( M, d ) espaço métrico ode d é a métrica descrita Etão todo subcojuto de M é fechado Nota: Assim como defiimos bola aberta, podemos defiir bola fechada B[ x, r] = { y M / d( y, x) r} é uma bola fechada em M Em, podemos escrever: B[ x, r] = { y / y x r} Exercício Proposto 8) Mostre que toda bola fechada é um cojuto fechado

70 70 Na liguagem cotidiaa, quado os referimos a portas, jaelas, livros etc, as palavras aberto e fechado são atôimos Porém, quado aplicadas a subcojutos de elas ão o são e são abertos e fechados simultaeamete Em um espaço métrico discreto (a métrica 0-) todo cojuto é aberto e fechado ao mesmo tempo Isto segue do fato que B( x, ) = { x} Existem muitos cojutos que ão são abertos em fechados Um exemplo simples é o cojuto dos úmeros racioais em Propriedades dos Cojutos Fechados: Propriedade Fe O cojuto e o espaço todo M são fechados Prova: É imediata, pois e M são abertos Propriedade Fe A uião de dois cojutos fechados é um cojuto fechado Prova: Sejam F e F cojutos fechados e F = F F Temos que C( F) = C( F F ) = C( F ) C( F ) Como F e F são fechados C( F ) e C( F ) são abertos, pela propriedade Ab, segue que C( F ) é aberto Logo, F é fechado Propriedade Fe3 A iterseção de qualquer coleção de cojutos fechados é fechada

71 7 Prova: Sejam { F } uma coleção de cojutos fechados e F = F Temos C( F) = C ( F ) = [ C ( F )] Como F é fechado, C( F ) é aberto Pela propriedade Ab3, segue que C( F ) é aberto Logo, F é fechado Exercícios Propostos 9) Mostre que a uião fiita de fechados é um fechado (use idução matemática) 0) Em todo cojuto uitário é fechado? E todo cojuto fiito? Esses resultados são válidos para qualquer espaço métrico? ) Através de um exemplo, mostre que a uião de uma família arbitrária de fechados pode ão ser fechada Potos de Acumulação Ituitivamete, um poto x é um poto de acumulação de um cojuto A se existirem outros potos de A arbitrariamete próximos de x Temos a seguite defiição: Defiição 0 Seja A M Um poto x M é um poto de acumulação de A se toda bola aberta cetrada em x cotiver algum poto de A, que seja distito de x Deotamos o cojuto dos potos de acumulação de A por Simbolicamete, escrevemos: x A' r > 0, B( x, r) { A { x}} A '

72 7 Observe que x ão precisa pertecer a A para ser poto de acumulação Mesmo sem ter sido usada esta omeclatura, você já etrou em cotato com o coceito de poto de acumulação, quado você estudou limite de fuções A ota da págia 79 do texto de Cálculo I [5, Gimeez-Starke], [] calcular o limite de uma fução um poto b é examiar o comportameto da fução em potos extremamete próximo de b [], traz implícita a exigêcia de que o poto b deve ser um poto de acumulação do domíio da fução Exemplo 5 Em um cojuto uitário ão tem potos de acumulação Um cojuto fiito também ão tem potos de acumulação Exemplo 6 Em, ' = A ' é o iterva- Exemplo 7 Seja A o itervalo (0,) em Etão, lo fechado [0,] Exemplo 8 Seja A =,,,,, em Etão, A ' = {0} 3 Exemplo 9 Cosidere, em, o cojuto dos racioais Qual é o cojuto '? A resposta é, isto é, todo úmero real a é um poto de acumulação de De fato, seja x e r > 0 Devemos mostrar que a bola aberta B( x, r) = ( x r, x + r) cotém pelo meos um racioal distito de x

73 73 Como o cojuto dos úmeros aturais é ilimitado em, tal que > ou, reescrevedo, r r < Os racioais p, p dividem a reta real em itervalos de comprimeto < r, como ilustrado a figura Figura Logo, pelo meos um desses úmeros racioais estará etre x r e x + r e será distito de x, pois o comprimeto do itervalo ( x r, x + r) é r > Para ter uma ideia de M, tete plotar o gráfico de y = se o x computador Exemplo 30 Em, seja A = x,se : 0 < x < x Etão A' = A {(0, y) : y } {(,se )} Proposição F M é fechado se, e somete se, F ' F Prova: ) F fechado F ' F Vamos usar a seguite propriedade de cojutos A B C( B) C( A), ode C( A ) deota o complemetar de A em M Seja x C( F) Como C( F ) é aberto, existe B( x, r) C( F) Portato, B( x, r) F =, o que implica que x C( F ') (x ão é poto de acumulação de F ) Logo, F ' F ) F ' F F é fechado Vamos mostrar que C( F ) é aberto

74 74 Seja x C( F) Como F ' F, etão x F ' Portato, existe r > 0 tal que B( x, r) F =, o que implica que B( x, r) C( F) Logo, x It( C( F)) e, dessa forma, C( F ) é aberto Segue que F é fechado Exercícios Propostos ) Ecotrar S ', sedo S = {( x, y) / y < x } 3) Decida quais dos seguites cojutos são fechados em : a) b) A =,,,,, ; 3 B = 0,,,,,, ; c) C =,,,,,, ; d) D =,,,, ; e) Domíio de f, sedo f ( x) = x ; f) Imagem de g, sedo g( x) = x + x + g) O cojuto de Cator em Fecho de um Cojuto Em liguagem cotidiaa (ou coloquial), podemos pesar o iterior de um cojuto A como o maior aberto cotido em A De forma aáloga, podemos pesar o meor fechado que cotém A Temos a defiição: Defiição Seja A M O fecho de A, deotado por A, é o cojuto obtido pela uião de A com seus potos de acumulação

75 75 Simbolicamete, escrevemos: i) A = A A' ; ii) a A r > 0, B( a, r) A Proposição O fecho de qualquer cojuto é sempre um cojuto fechado Prova: Seja X M Vamos mostrar que C( X ) é aberto Seja a C( X ) Etão a X e a X ' e, portato, existe r > 0 tal que B( a, r) X =, isto é, B( a, r) C( X ) Vamos mostrar, agora, que B( a, r) C( X ) De fato, seja y B( a, r) Pela propriedade de bolas abertas B3, existe r > 0 tal que B( y, r ) B( a, r) C( X ) Assim, B( y, r ) X =, o que implica que y ão é poto de acumulação de X Segue que y C( X ) Cocluímos, assim, que a It( C( X )) Logo, C( X ) é aberto e, portato, X é fechado Formalmete, a oção de que o fecho de A é o meor fechado que cotém A é descrita pelo teorema abaixo, cuja prova pode ser ecotrada em [6, Rudi] Teorema Seja A M A, isto é, Etão, A é o meor fechado que cotém A = F A F F fechado Prova: Note que o resultado segue do fato que se A B etão A' B'

76 76 Exercício Resolvido 6) Determie os potos de acumulação e o fecho de cada um dos seguites subcojutos de a) Resolução: Note que ão possui poto de acumulação, pois para todo, B, = Disto segue que = (veja defiição ) e, portato, é fechado b) Resolução: Note que =, pois dado um úmero real x qualquer, toda bola aberta B( x, ) cotém racioais diferetes de x Pela defiição, segue que = c) (0,) Resolução: Primeiro observe que se x [0, ] etão existe um > 0 tal que B( x, ) (0,) e, portato, x ão é poto de acumulação de (0,) Por outro lado, é fácil ver que se x [0,], etão B( x, ) (0,) para todo > 0 Logo, (0,) =[ 0,] Segue da defiição que (0,) = [0,] Exercícios Propostos 4) Determie o fecho dos seguites cojutos em : a) b) A =,,,, ; 3 4 B =, = 5) Mostre que A B A B Dê um exemplo para mostrar que a iclusão o outro setido ão é válida 6) Seja ( M, d ) um espaço métrico É verdade que todos os potos de B[ x, r ] são potos de acumulação de B( x, r )?

77 77 Exercício Resolvido 7) Seja A M Mostrar que x A if{ d( x, y) / y A} = 0 Prova: ) Sejam x A e = if{ d( x, y) / y A} Se x A, etão = 0 (trivial) Se x A mas x A', etão r > 0, B( x, r) A Assim, r > 0, existe y A tal que d( x, y) < r Como r > 0 é qualquer, segue de = 0 ) Seja x M tal que = if{ d( x, y) / y A} = 0 Se x A, ada a provar Se x A, pela defiição de ífimo, para qualquer r > 0, existe y A tal que d( x, y) < r Segue que y A B( x, ) e, etão, x A' A Usado o coceito de fecho de um cojuto, podemos facilmete itroduzir a defiição de cojuto deso Vejamos: Defiição Seja A M Dizemos que A é deso em M se, e somete se, A = M Ituitivamete, um cojuto A é deso em M quado seus potos estiverem espalhados por toda parte de M Em, um cojuto A é deso quado todo itervalo aberto, por meor que seja o seu comprimeto, cotiver potos de A Exemplo 3 é deso em Exemplo 3 é deso em Exemplo 33 e ão são desos em

78 78 Vamos fializar esta uidade com o coceito de froteira de um cojuto Este coceito pode ser visualizado ituitivamete o, ode para muitos cojutos a froteira desempeha o papel de limitate, como pode ser observado o mapa da figura 3 BOA VISTA RORAIMA AMAPÁ MACAPÁ MANAUS BELÉM AMAZONAS PARÁ MARANHÃO PERU ACRE RIO BRANCO PORTO VELHO RONDÔNIA MATO GROSSO PALMAS TOCANTINS Froteira etre Brasil e Bolívia DISTRITO FEDERAL BOLÍVIA CUIABÁ GOIÂNIA GOIÁS MATO GROSSO DO SUL CAMPO GRANDE MINAS GERAIS BELO HOR SÃO PAULO PARAGUAI PARANÁ SÃO PAULO CURITIBA SANTA CATARINA Figura 3 Temos a seguite defiição Defiição 3 Seja A M, A Dizemos que um poto x M é um poto de froteira de A se toda bola aberta cetrada em x cotém potos de A e do complemetar C( A ) O cojuto de todos os potos de froteira de A é deomiado Froteira de A e é deotado por Fr( A ) Simbolicamete, escrevemos x Fr( A) r > 0, B( x, r) A e B( x, r) C( A) A figura 4 ilustra esta defiição Exemplo 34 Ecotrar Fr( A ), sedo A, o cojuto: A = {( x, y) / x y < }

79 79 O cojuto A está represetado a figura 5 Observe que x y = é a equação de uma hipérbole A froteira de A é o gráfico desta hipérbole, isto é, Fr( A) = {( x, y) / x y = } y y x A Fr(A) x Figura 5 Exemplo 35 Seja A um cojuto uitário Veja que este caso, Fr( A) = A Exercícios Propostos 7) Verifique se são verdadeiras ou falsas as seteças: a) A B Fr( A) Fr( B) ; b) x Fr( A) x A', isto é, x é um poto de acumulação de A ; c) Fr( A B) Fr( A) Fr( B) 8) Idetifique e represete geometricamete a froteira dos seguites cojutos: a) b) c) d) e) A = {( x, y) / x + y } ; It( A ) (sedo A o cojuto do item a); A = [0,] em ; B = [0,] em ; C = {( x, y) / y > x 4x + 3}

80 80 Propriedades da Froteira: Propriedade Fr Fr( A) = A C( A) Prova: B( x, r) A x A x Fr( A) r > 0, e e x A C( A) B( x, r) C( A) x C( A) Propriedade Fr A = It( A) Fr( A) Prova: ) Seja x It( A) Fr( A) Se x It( A), ada a provar, pois It( A) A A Se x It( A) e x Fr( A), temos que > 0, B( x, ) A Logo, x A Cocluímos, etão, que It( A) Fr( A) A ) Seja x A Temos duas possibilidades exclusivas i) x A, ou ii) x A e x A' i) x A Novamete temos duas possibilidades exclusivas x It( A) ou x It( A) Se x It( A), ada a provar Supoha que x It( A) Etão, toda bola aberta cetrada em x cotém potos do complemetar de A

81 8 Como x A, temos B( x, r) Logo, x Fr( A) ii) x A e x A' A e B( x, r) C( A), r > 0 Como x é poto de acumulação de A, qualquer bola aberta cetrada em x cotém potos de A Como x A, o mesmo ocorre com C( A ) Logo, x Fr( A) Cocluímos, etão, que A It( A) Fr( A) Propriedade Fr3 Para todo cojuto A M, Fr( A ) é um cojuto fechado Prova: Segue diretamete de Fr, pois a itersecção de fechados é fechada Para fializar, observe a figura 6, ode está represetado o subcojuto de, A = {( x, y) / x > } y A x Figura 6

82 8 Temos Fr( A) = {( x, y) / x = } It( C( A)) = {( x, y) / x < } p, exatamete uma das três possibi- Dado um poto qualquer lidades a seguir ocorre: p It( A) ou p Fr( A) ou p It( C( A)) Esse resultado pode ser geeralizado Proposição 3 Seja A M Dado p M, tem-se 3 possibilidades exclusivas: p It( A) ou p Fr( A) ou p It( C( A)) Assim, a ideia ituitiva de que a froteira desempeha um papel de limitate etre um cojuto e seu exterior, como ilustrado a figura 3, vale para qualquer cojuto de um espaço métrico Exercícios Propostos 3 9) Dê exemplos de cojutos A em, e, idetificado: It( A ), A ', A, Fr( A ), C( A ), It( C( A )) 0) Dê exemplos para ilustrar que: a) Fr( A) Fr( B) mas A B ; b) Um poto de froteira ão é poto iterior Exercícios Complemetares ) Verifique quais das seguites fuções são métricas em : a) d( x, y) = x + y ; b) d( x, y) = x y ; c) d( x, y) ( x y) = ) Verifique quais das seguites fuções são métricas em a) d x y y x y x (, ) = ; :

83 83 b) d x y x y x y (, ) = ; sedo x = ( x, x) e y = ( y, y) 3) Seja f : uma fução estritamete crescete Seja d : defiida por d( x, y) = f ( x) f ( y) Mostre que d é uma métrica sobre 4) Seja X um cojuto ão vazio e M = { f : X / f é limitada} Em M cosidere a métrica d( f, g) = sup{ f ( x) g( x) } x X Tomado X = [,3], f ( x) = x e g( x) x = +, determie d( f, g ) 5) Em, cosidere a métrica usual Verifique que valem as igualdades: a) d( p, ) = 0, p ; b) d(, ) = 0 ; Se a métrica cosiderada sobre fosse a zero-um, estas igualdades cotiuariam válidas? 6) Seja A um cojuto ão vazio de um espaço métrico Mostre que diam( A) = 0 A é uitário 7) Cosidere com a métrica usual Verifique que 0 d( a, ), a, ode é o cojuto dos iteiros 8) Sejam p um poto de um espaço métrico e Prove que a iterseção das bolas abertas de cetro em p e raio é o cojuto uitário { p }, isto é, B p, = { p} =

84 84 9) Seja A = {( x, y) / y 0} Tomado com a métrica usual e A com a métrica iduzida, desehe as bolas abertas e fechadas que seguem: a) B( o,) ; b) BA( o,) ; c) B[ o,] ; d) BA[ o,] ; ode B A deota uma bola em A e o deota a origem 0) Determie o iterior dos seguites cojutos em : a) = {,,3, }; b) p = x = / p, q e q 0 ; q c) ; d) Itervalo aberto (, ) ; e) (,) ; f) Itervalo [, ) ; g) Itervalo fechado [, ] ; h) [,] {3} ) Idetifique quais dos seguites subcojutos de, com a métrica usual, são abertos e/ou fechados ou em abertos em fechados: a) b) c) d) e) f) A = {( x, y) / x 4x + y 0} ; B = {( x, y) / y > 0} ; C = {( x, y) / x < e y } ; D = {( x, y) / x = 0 e y = 0} ; E = {( x, y) / x } ; F = {( x, y) / y x > } ; g) G = B(0,) B(,)

85 85 ) Determie os potos de acumulação e o fecho de cada um dos seguites subcojutos de :,,, (0,), [0,), [0,], (0,),,,,,, 3 3) Num espaço métrico qualquer ( M, d ), mostre que se A M é aberto e a M, etão A \{ a } é aberto 4) Seja ( M, d ) um espaço métrico ode M é fiito Prove que todo subcojuto de M é aberto 5) Sejam x ão vazios em Dê exemplos mostrado que pode ser vazio se os F forem apeas fechados ou apeas limitados 6) Seja X ' o cojuto dos potos de acumulação de X Dê exemplos de cojutos X tais que: a) X e X ' sejam distitos; b) X seja subcojuto próprio de X ' ; c) X ' seja subcojuto próprio de X ; d) X ' = X 7) Com suas palavras, dê o sigificado das expressões: a) a X ão é poto iterior de X ; b) X ão é um cojuto aberto; c) F ão é um cojuto fechado; d) a X ão é um poto de froteira; e) a X ão é um poto de acumulação de X 8) Dê exemplos, em a) cojutos abertos;, de: b) cojutos fechados; c) cojutos em abertos em fechados = F

86 86 9) Determie a froteira dos cojutos: a) Em : A = [ a; + ) ; A = [0,) {3} ; A 3 = ; b) Em : B = {( x, y) / xy = } ; B {( x, y) / x 0 e y 0} = > > 0) Ecotre os potos de acumulação dos seguites cojutos em : a) A = {( m, ) / m, }; b) B = {( p, q) / p, q são racioais} ; c) C =, / ; d) D =, / m, ; m e) m D =, / m,, 0 ) Prove que, em, vale: a) It( A) = A \ Fr( A) ; b) A = R \ It( R \ A) ) Quais afirmações são verdadeiras em um espaço métrico M? Justifique suas respostas a) It( A) = It( A) ; b) A A = A ; c) It( A) = A; d) Fr( A) = Fr( A) ; e) Fr( A) M \ A se A é aberto 3) Prove que em um espaço métrico, tem-se: a) Fr( A) = Fr( M \ A) ; b) A B A B ; c) A B A B ; d) It( A B) It( A) It( B) ; e) It( A B) It( A) It( B)

87 87 Resumo Neste capítulo você se familiarizou com as oções topológicas básicas em um espaço métrico, tais como: bolas abertas, cojutos abertos, cojutos fechados, potos de acumulação, etc Muitos exemplos foram desevolvidos o espaço, em especial em e, de modo a desevolver a sua ituição geométrica Foram apresetados exercícios resolvidos e propostos, fudametais para o seu apredizado

88 88

89 Capítulo 3 Covergêcia

90

91 9 3 Covergêcia Neste capítulo iremos estudar sequêcias Iiciaremos revedo brevemete o coceito de sequêcia de úmeros reais A seguir, itroduziremos a defiição de sequêcia em um espaço métrico Nosso iteresse é estudar o comportameto de uma sequêcia Em particular, queremos eteder o comportametodo -ésimo termo da sequêcia, quado tede a ifiito Para isso, precisamos defiir a oção de covergêcia 3 Sequêcias de Números Reais Para motivar os estudos desta uidade, propomos o seguite problema: Que distâcia podemos atigir com uma pilha de livros (que pode ser ifiita) equilibrada sobre o beirado de uma mesa ates desta pilha cair? Assumiremos que todos os livros têm largura e peso e que podemos usar apeas um livro por adar Este problema é cohecido como o problema da Torre Icliada de Lire e possui mais de uma solução possível A primeira ideia que os vem é simplesmete empilhar os livros verticalmete e equilibrar o beirado da mesa, de forma que parte deles fique para fora da mesa (Figura 3) MESA Figura 3 Apesar de este método fucioar, iremos atigir uma distâcia de, o máximo, aproximadamete Poderíamos, etão, pesar em usar cotrapesos para atigir distâcias maiores

92 9 Porém, o problema propõe que usemos apeas um livro por adar e, portato, ão podemos seguir esta ideia Vamos, etão, atacar o problema usado a matemática que já apredemos os cálculos Primeiro, lembramos que o cetro de gravidade combiado c de dois objetos com massa M e M, localizados em x e x, respectivamete (Figura 3), é dado por c = x M M + x M + M M M x c x Figura 3 Para modelar osso problema, vamos imagiar uma reta real se extededo para a direita com origem exatamete o beirado da mesa (Figura 33) Mesa 0 3 Figura 33 Podemos assumir que ossa pilha de livros ão cairá desde que o cetro de gravidade da pilha com -livros, c, seja meor ou igual a zero Em particular, o mais à direita possível que o cetro pode estar é a origem Vamos, etão, empilhar ossos livros da seguite maeira: Começamos com a mesa vazia e colocamos um livro sobre a mesa, de forma que sua extremidade direita esteja o zero Como o livro tem largura e massa, o cetro de gravidade é - Podemos, etão, deslocar o livro para a direita até que o cetro de gravidade dele esteja sobre o zero e ele ão cairá da mesa (Figura 34)

93 93 Mesa 0 3 Figura 34 Portato, a extremidade deste livro já alcaçou a distâcia D = e o livro tem cetro de gravidade o 0 Para colocarmos o próximo livro, levatamos o livro existete verticalmete e colocamos o segudo livro como feito ateriormete, ou seja, com a sua extremidade direita a origem A pilha cotiuará equilibrada (Figura 35): Mesa 0 3 Figura 35 e o cetro de gravidade desta pilha de dois livros é: c x M M + c M ( ) M + = = = Agora, deslocamos esta pilha para a direita até que o seu cetro de gravidade esteja o 0, ou seja, podemos deslocar a pilha por e teremos alcaçado a distâcia D = + do beirado da mesa (Figura 36): Mesa 0 3 Figura 36 Procededo desta maeira sucessivamete, teremos que uma pilha de livros alcaça a distâcia de D = Este é o termo geral da sequêcia das somas parciais da série harmôica divergete (mas ão iremos estudar esta série este curso) A divergê- = cia da mesma sigifica que, somado termos suficietes da mesma, podemos ultrapassar qualquer úmero real positivo Ou seja, podemos atigir qualquer distâcia com ossa pilha de livros, desde que

94 94 tehamos paciêcia para empilhar o úmero suficiete de livros A tabela abaixo mostra a quatidade de livros ecessária para atigir determiada distâcia: Distâcia Atigida Livros Necessários N = 4 4 N = 3 0 N = 367 N = N = Na figura 37 temos uma foto de um experimeto feito com blocos de madeira Você pode tetar o mesmo em casa! Figura 37 Este exemplo ilustrou como o trabalho com sequêcias ifiitas é iteressate Esperamos que você fique etusiasmado e estude com afico os coteúdos que serão explorados esta uidade Uma sequêcia de úmeros reais ada mais é do que uma lista ifiita de úmeros reais, arrajados em uma certa ordem Mais precisamete, temos uma sequêcia (ifiita) se para cada úmero atural associamos um úmero real x, coforme defiição que segue Defiição 3 Uma sequêcia de úmeros reais é uma fução f : x

95 95 Deotamos: ( x, x,, x, ) ou simplesmete ( x ) Exemplo 3 (, 4,6,8, ) = ( ) Exemplo 3 (cos,cos,cos3, ) = (cos ) Exemplo 33,,, = 3 Na disciplia de Cálculo I, você estudou as sequêcias de úmeros reais Ates de cotiuar seu estudo, é iteressate você revisar a seção 3 do livro-texto da referida disciplia Geeralizado, podemos pesar em sequêcias o, ou em um espaço métrico qualquer, 3,, Exemplo 34 f :, Os termos desta sequêcia são formados por pares ordeados de úmeros reais, como segue:,,,,,, Exemplo 35 f : 3,, Neste caso, os termos da sequêcia são formados por teras ordeadas de úmeros reais Temos (,, ),,,,,,, Sequêcias em um Espaço Métrico Defiição 3 Seja ( M, d ) um espaço métrico Uma sequêcia em M é uma fução f : M x

96 96 Notação Usamos a mesma otação utilizada para sequêcias de úmeros reais, ou seja: ( x, x,, x, ) ou ( x ) O cojuto dos termos da sequêcia será deotado por f ( ), ou { x, x, } Nota: Veja que o cojuto dos termos da sequêcia difere da sequêcia, como ilustrado o seguite exemplo: Sequêcia: ( + ( ) ) = (0,,0,, ) Cojuto dos termos: {0,} 33 Limite de uma Sequêcia A figura 38, ao lado, mostra Weierstrass (à direita) explicado o coceito de covergêcia uiforme para Cauchy, que está meditado sobre o cotraexemplo de Abel A seguir, itroduziremos o coceito de covergêcia, porém o coceito de covergêcia uiforme (o qual é muito útil para o estudo de covergêcia de sequêcias e séries de fuções) só é visto em cursos mais avaçados Para a sequêcia de úmeros reais temos ( x ) =, Figura 38 - O coceito de covergêcia uiforme lim x = lim = 0 Ituitivamete, observado a figura 39, vemos que os termos da sequêcia toram-se arbitrariamete próximos de zero quado tede a ifiito x Figura 39

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