OTIMIZAÇÃO DE PROCESSOS COM RESPOSTAS MÚLTIPLAS E CATEGÓRICAS

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL ESCOLA DE ENGENHARIA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE PRODUÇÃO OTIMIZAÇÃO DE PROCESSOS COM RESPOSTAS MÚLTIPLAS E CATEGÓRICAS Cícero de Melo Lucas Porto Alegre 007

2 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL ESCOLA DE ENGENHARIA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE PRODUÇÃO OTIMIZAÇÃO DE PROCESSOS COM RESPOSTAS MÚLTIPLAS E CATEGÓRICAS Cícero de Melo Lucas Orentador: Prof. Dr. Flávo Sanson Foglatto Banca Examnadora: Prof a Dr a Carla Schwengber ten Caten Prof a Dr a Lane Werner Prof a Dr a Morgana Pzzolato Dssertação submetda ao Programa de Pós-Graduação em Engenhara de Produção como requsto parcal à obtenção do título de MESTRE EM ENGENHARIA DE PRODUÇÃO Área de concentração: Sstemas de Qualdade Porto Alegre 007

3 3 Esta dssertação fo julgada adequada para a obtenção do título de Mestre em Engenhara de Produção e aprovada em sua forma fnal pelo Orentador e pela Banca Examnadora desgnada pelo Programa de Pós Graduação em Engenhara de Produção. Prof. Flávo Sanson Foglatto, Dr. PPGEP / UFRGS Orentador Prof. Flávo Sanson Foglatto, Dr. Coordenador do PPGEP / UFRGS Banca Examnadora: Carla Schwengber ten Caten, Dr a Prof a Programa de Pós-Graduação em Engenhara de Produção e Transportes / UFRGS Lane Werner, Dr a Prof a Programa de Pós-Graduação em Engenhara de Produção e Transportes / UFRGS Morgana Pzzolato, Dr a Prof a Departamento de Engenhara de Produção e Transportes / UFRGS

4 4 DEDICATÓRIA Dedco esta dssertação à memóra do meu pa, Norberto Lucas Ferrera, um verdadero homem, que sacrfcou-se à tarefa de educar os flhos com base em profundos valores, malgrado as ggantescas dfculdades que o destno lhe reservou em sua tão breve vda. Que Deus reconheça seu esforço em podar a vdera que hoje rende frutos. Dedco-a também à mnha querda mãe, Mara Tereznha de Melo Lucas, por seu amor ncondconal aos flhos e pela sua presença confortante nos períodos de dfculdades e provações. Homenageo anda mnha amada nova, Adrana Mascho, pelo apoo duturno aos meus sonhos e às mnhas conqustas.

5 5 AGRADECIMENTOS Obrgado a Deus pela cração das cosas do mundo, e a seu Flho que fo Cordero de sacrfíco para a salvação dos homens. Em espírto, agradeço a Santo Tomás de Aquno, cujas obras me auxlam no árduo amadurecmento segundo as vrtudes fundamentas da prudênca, da justça, da fortaleza e da temperança. Agradeço aos pagadores de mpostos brasleros, pos foram obrgados a dedcar uma parcela de seus trabalhos aos meus estudos nesta unversdade. Mesmo cente que se fosse facultatvo aos contrbuntes talvez eu não recebesse tal benefíco, gostara de regstrar meu respeto e agradecmento à produção que lhes fo tomada. A unversdade gratuta é um mto, porquanto mutos pagam e pouquíssmos são benefcados. Agradeço, com grande estma, ao Prof. Flávo Sanson Foglatto, Ph.D por todo seu empenho na mnha orentação para este dfícl trabalho. Obrgado também às professoras que compuseram mnha banca de avalação. Gostara de retrbur mnha gratdão a Cláudo Roberto Xaver de Souza, técnco em nformátca do DEPROT, por ter em númeras oportundades me auxlado a resolver os problemas que tve com os computadores do LOPP. E anda, pelo auxílo estatístco, retrbuo meus agradecmentos ao colega Ângelo Márco Olvera Sant Anna, M.Sc. Tenho anda uma mensa cota de gratdão a Gustavo De Arrba, M.Sc. pela dsposção em que se apresentou para esclarecer detalhes de seu trabalho no PPGEP, pos foram fundamentas para a condução desta dssertação. Aos amgos que forme ao longo destes dos anos no mestrado, dexo meu obrgado pelas trocas de experêncas.

6 6 Eu dgo que um homem deve estar seguro de sua moraldade pela smples razão de que ele há de sofrer por causa dela. G. K. Chesterton , escrtor nglês.

7 7 RESUMO A presente dssertação aborda a otmzação de processos ndustras através da utlzação de projeto de expermentos. Em expermentos planejados, varáves de respostas são usualmente consderadas como normalmente dstrbuídas. No entanto, em algumas stuações, tal suposção é volada; por exemplo, quando respostas expressam contagens, podendo assumr somente valores nteros e não-negatvos. Nesses casos, é mas provável que as respostas sgam uma dstrbução de Posson e, em sua modelagem, deve-se utlzar os modelos lneares generalzados MLG, adequados para respostas da chamada famíla exponencal, à qual pertence a dstrbução de Posson. Se anda persste a dúvda quanto ao comportamento das respostas, o modelo de quase-verossmlhança também é uma alternatva possível. Esta dssertação apresenta a reanálse de um expermento, apresentado em Arrba 005, onde algumas respostas são categórcas. Na análse orgnal do expermento, respostas categórcas foram modeladas através de regressão dos mínmos quadrados ordnáros, desconsderando a volação do pressuposto de normaldade das respostas. Na reanálse aqu apresentada, as varáves são corretamente abordadas usando-se os modelos lneares generalzados. Como o objetvo do trabalho de Arrba 005 era a otmzação de um processo descrto por múltplas respostas, comparam-se os resultados da otmzação medante as duas estratégas de modelagem das respostas, além de se propor um método alternatvo, mas smplfcado, de otmzação expermental. Palavras-chave: otmzação de processos, modelos lneares generalzados, modelo de quase-verossmlhança, regressão de Posson, capacdade de processos.

8 8 ABSTRACT Ths dssertaton deals wth the optmzaton of ndustral processes usng Desgn of Experments. In desgned experments, response varables are often consdered as normall dstrbuted. However, n some stuatons, such assumpton s volated; for example, when responses express counts, and onl non-negatve ntegers numbers ma come up as outcomes. In these cases, t s lkel that responses follow a Posson dstrbuton whch s then modeled b generalzed lnear models GLM, snce such dstrbuton s a member of the exponental faml. If a queston stll holds on the responses behavor, ther modelng through the quas-lkelhood method s another opton that should be consdered. Ths dssertaton analses an experment performed b Arrba 005, where some responses are of categorcal nature. In the orgnal analss presented b Arrba 005, categorcal responses were modeled usng ordnar least squares regresson, volatng the normalt assumpton assocated wth that method. In the analss presented here, varables are appropratel modeled usng GLM. Snce the objectve n Arrba 005 was optmzng a multresponse process, results from the two optmzaton processes are compared. In addton, an alternatve expermental optmzaton method, smpler than the one n Arrba 005, s also presented. Ke words: process optmzaton, generalzed lnear models, quas-lkelhood models, Posson regresson, process capablt.

9 9 Sumáro CAPÍTULO...0. Consderações ncas...0. Tema e Objetvos....3 Justfcatva do trabalho Método de trabalho Lmtações do trabalho Estrutura do trabalho...8 CAPÍTULO...0. Os modelos lneares generalzados.... O índce de capacdade de processos...46 CAPÍTULO O projeto de expermento fatoral de Arrba Metodologa aplcada...67 CAPÍTULO As regressões por modelos lneares generalzados e quase-verossmlhança A otmzação do expermento com resposta de Posson A otmzação através de índces de capacdade de processos Análse dos resultados...86 CAPÍTULO Conclusões Sugestões para trabalhos futuros...90 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS...9 OBRAS CONSULTADAS...93 APÊNDICE A...94 APÊNDICE B...96

10 0 CAPÍTULO. CONSIDERAÇÕES INICIAIS Expermentos, do ponto de vsta da Engenhara da Qualdade, podem ser formalmente defndos como uma sére de testes, nos quas mudanças propostas são realzadas nas varáves de entrada, ou fatores, de um processo ou sstema. Estas alterações planejadas permtem dentfcar e controlar as nfluêncas destes fatores sobre a varável de resposta do processo MONTGOMERY, 005. A evolução das técncas de expermentação tem sdo amplamente aprovetada pelas empresas. A razão que melhor justfca este nteresse é o fato que estas técncas, nascdas dentro dos estudos da Probabldade e da Estatístca, permtem não apenas avalar se as respostas resultantes dos processos são estáves ou não, mas também defnr os fatores causas que mas as nfluencam. Além dsso, técncas de expermentação, também contrbuem para descobrr-se em quas níves de regulagem destes fatores são alcançados os resultados desejáves pela empresa. Os resultados de nteresse, no âmbto produtvo, freqüentemente são: menor refugo, maor rendmento, menor tempo de operação, menor quantdade de matéraprma, maor aprovetamento dos recursos produtvos, redução da varabldade das respostas, aproxmação a uma certa medda de qualdade ou alvo etc. Naturalmente que num contexto de lvre mercado e ncatva estes nteresses são amplados, pos mplcam em uma maor oportundade de ganhos adconas. Se, num prmero momento, a utlzação de expermentos estatstcamente planejados vsava encontrar apenas a melhor localzação da varável de resposta desejada, ou seja, as médas locaton effects ou efetos de localzação, atualmente pode-se obter também a mnmzação da varabldade da resposta, ou varânca dsperson effects ou efetos de dspersão. Uma vez crterosamente seleconados os fatores e seus respectvos níves dos processos que conduzem às respostas próxmas o bastante da méda desejada e com baxa varânca, resta anda uma maor robustez, ou nsensbldade, da varável de resposta aos ruídos aleatóros nerentes a qualquer processo. Esta seqüênca de ações faz parte da espnha dorsal da Engenhara da Qualdade, e todos eles localzação da méda, mnmzação da varânca e robustez aos ruídos são buscados smultaneamente nos expermentos planejados MONTGOMERY, 00.

11 Os projetos de expermentos podem ser classfcados de váras formas. Quanto à característca da varável de resposta, eles podem ser de dos tpos: respostas contínuas ou respostas dscretas. As prmeras ncluem meddas que admtem qualquer valor entre dos valores quasquer. Por exemplo, se em um expermento a varável de resposta é consumo de combustível em km/l, entre uma resposta de 3 km/l e outra de km/l, pode-se obter nfntas outras respostas, tas como,4 km/l,,8 km/l etc. A lmtação está na acuráca e resolução do nstrumento de medda. Quanto ao segundo tpo, as resposta dscretas, só podem ser admtdos certos valores específcos, e entre dos deles não há a possbldade natural de uma tercera medda. Se em um lote de cnqüenta peças encontram-se peças boas e runs, a contagem de peças boas, por exemplo, poderá ser qualquer valor ntero entre zero e cnqüenta. Porém, esta contagem nunca será,4 peças runs entre e 3 elementos, por uma característca natural e evdente da contagem. Ambos os casos são muto comuns na vda prátca e assumem uma mportânca anda maor no contexto empresaral em vrtude da dversdade de stuações expermentas possíves na otmzação de produtos e processos. No entanto, por razões que vão desde a complexdade matemátca e a oferta de cursos preparatóros na técnca, até ao conhecmento dos métodos estatístcos e à dsponbldade de uso nos softwares específcos, o segundo tpo de resposta, as dscretas, são menos utlzadas e corretamente tratadas do que as contínuas. Embora, de forma alguma, elas possam ser dtas menos mportantes. Uma conseqüênca desta stuação é consderar-se respostas claramente dscretas como contínuas, e dar a elas o tratamento matemátco segundo esta consderação. Em alguns casos sto não conduz a erros muto graves, mas há stuações onde esta aproxmação é nacetável, uma vez que nduz a decsões gravemente equvocadas. Os produtos raramente possuem uma únca característca de qualdade. O mas comum é que essas característcas sejam dversas, algumas mas mportantes que outras, na proporção do valor que o clente atrbu a cada uma delas. Voltando ao exemplo do consumo de combustível, consdere-se como sstema um automóvel. O clente deseja deste sstema, além do reduzdo consumo de combustível, alta aceleração, frenagem efcaz, establdade nas curvas, baxo nível de ruído etc. As técncas que permtem combnar da melhor forma possível todas estas característcas de qualdade são conhecdas como otmzação multresposta, ou seja, o sucesso está em obter-se o melhor arranjo das grandezas que são exgdas e reconhecdas pelos clentes como valosas e, assm consderar o produto como de ótma qualdade.

12 Uma decorrênca natural da tentatva de se encontrar a melhor combnação dos níves dos fatores que resultarão nas melhores respostas de cada característca de qualdade é o conflto entre elas. Não raro a melhora de uma dessas característcas mplca na pora de outra. Dsto decorre a necessdade de se atrbur pesos para cada resposta conforme sua mportânca no processo de otmzação, de forma que representem a maor qualdade total do produto; ou melhor anda, encontrar o arranjo que melhor satsfaça todas as exgêncas do clente, com o mínmo detrmento de uma ou outra característca. Assm, por um lado há uma sére de respostas dscretas cujo tratamento adequado nos projetos de expermentos é anda nsufcente e ncorretamente utlzado pelas empresas e até no meo acadêmco. Por outro lado, há os casos onde não apenas uma, mas váras respostas requerem uma combnação dos fatores em seus respectvos níves de forma a otmzar a qualdade percebda, sendo comum o conflto entre essas respostas. Assm, o encontro desses dos aspectos é vastamente comum no da-a-da de mutas atvdades, e portanto merecedores de atenção especal para quem deseja produzr bens com maor efcênca, menor uso de recursos, menor custo e com as característcas que atendam às preferêncas dos clentes.. TEMA E OBJETIVOS O tema prncpal desta dssertação é a otmzação da qualdade quando esta é expressa por múltplas característcas ou seja, processos multresposta, e dentre elas, há a presença de pelo menos uma varável de resposta categórca, ou dscreta. A necessdade deste tpo de otmzação é típca no meo produtvo, embora nem sempre sejam utlzados os recursos já desenvolvdos para soluconar problemas desta natureza específca. Agrest 00 afrma que em vrtude da presença de varável de resposta categórca faz-se necessára a abordagem pela teora dos modelos lneares generalzados para gerar os modelos de regressão lnear, assm como sua respectva técnca de estmação dos parâmetros deste modelo, além dos testes de hpótese para cada um destes parâmetros que rão garantr o quanto se pode confar na regressão obtda. São, portanto, objetvos prncpas desta dssertação:

13 3 a otmzar um processo multresposta quando pelo menos uma das varáves de resposta é categórca utlzando modelos lneares generalzados na modelagem das respostas. Tomou-se como exemplo a otmzação do processo de curtmento de couros executada em Arrba 005; b Propor uma outra forma de otmzação dferente daquela realzada por Arrba 005. Este autor usou uma função objetvo com pesos de ponderação de mportânca, que é uma forma mas dreta da otmzação herárquca. Este crtéro será comparado à otmzação através da maxmzação conjunta de índces de capacdade de processo calculados para as múltplas respostas proposto por Chan, Cheng e Sprng 988. Os objetvos secundáros dervados dos anterores são: a apresentar uma ntrodução aos modelos lneares generalzados que permta amplar sua aproprada utlzação na otmzação de processos; b comparar os resultados de dos procedmentos de modelagem de dados com vstas à otmzação de um expermento; c comparar os resultados de duas estratégas de otmzação multresposta aplcadas a este expermento..3 JUSTIFICATIVA DO TRABALHO Arrba 005 abordou, entre outros processos, a otmzação do processo de seleção de couros no estágo wet-blue de curtmento. Neste trabalho os couros foram avalados por especalstas quanto à sua qualdade, representada especalmente pela ausênca de marcas na pele. Fo dada uma nota - ou seja, um número ntero e postvo - para cada peça conforme sua utldade como produto fnal. As peles com melhor nota eram encamnhadas para a utlzação em produtos de maor valor agregado. Este processo de seleção ocorre no estágo ncal, e quando há erros ocorrem perdas fnanceras consderáves, uma vez que somente quando encerrado o processo e ncorrdos os gastos até a fnalzação do curtmento é possível dentfcar de fato a real classfcação da pele. Arrba 005 consderou na modelagem dos dados que suas respostas atendam aos crtéros acetos pelo método de regressão dos mínmos quadrados. No entanto, suas respostas

14 4 volavam os seguntes pressupostos mplíctos para uso adequado deste método, conforme ndcam Montgomer, Peck e Vnng 006, p.60: a os erros do modelo têm méda zero, varânca constante e não são correlaconados; b o modelo dos erros segue uma dstrbução de probabldade normal. Este pressuposto é feto para a condução dos testes de hpótese e ntervalos de confança do modelo, e também resulta que os erros são ndependentes entre s; c a forma do modelo, nclundo-se aí a especfcação das varáves regressoras, está correta. É muto comum no projeto de expermentos o recurso de otmzação de uma equação de regressão cuja resposta seja categórca com se esta fosse contínua e obedecendo a uma dstrbução normal. No caso de Arrba 005 as duas prmeras enumerações acma foram voladas. Em mutas outras stuações, talvez na maora delas, volar estes pressupostos conduz a graves erros de análse. Bsgaard e Fuller 994 afrmam que os métodos usados para análse de expermentos fatoras quase sempre são baseados na acetação dos pressupostos ndcados acma. Os autores acrescentam que, como as ferramentas padrão de análse estatístca são muto poderosas, pode-se smplesmente gnorar estes pressupostos para o caso das respostas do tpo contagem causando prejuízo às conclusões. Assm, nesta dssertação é apropradamente tratada a otmzação de respostas categórcas, partcularmente do tpo contagem ou números nteros e postvos, nos modelos de regressão. A teora dos modelos lneares generalzados é a abordagem adequada para este tpo de análse, portanto seu desenvolvmento será detalhado de forma a prevenr o erro comumente ncorrdo nos casos apresentados. Além do mas, por se tratar de um assunto que exge o conhecmento de teoras mas avançadas em Matemátca e Estatístca, e também fora do conteúdo dos cursos de graduação em Engenhara, faz-se necessáro um texto em lnguagem mas próxma ao da-a-da do engenhero, consderando os processos ndustras que solctam a abordagem aproprada pelos modelos lneares generalzados. A este problema, acrescenta-se anda a falta de um únco lvro texto em português sobre o assunto e que tenha ampla dstrbução, tal qual quando se trata da regressão lnear pelo método dos mínmos quadrados, estando anda o tema

15 5 dos modelos lneares generalzados restrto a teses, dssertações e artgos centífcos na língua braslera. No entanto, a partr do aumento de publcações desta natureza, contrbu-se para chamar a atenção para o assunto a ponto de justfcar a edção de um lvro texto que trate dos modelos lneares generalzados, ou pelo menos uma boa tradução dos lvros já consagrados em outros domas. É mportante anda que se alerte as empresas dos equívocos do uso ndscrmnado da regressão lnear cujos parâmetros são estmados pelo método dos mínmos quadrados quando as respostas são categórcas. Melhor orentados, os profssonas da área de qualdade que se depararem com este tpo partcular de problema terão mas sucesso na otmzação de seus processos crítcos, ou seja, aqueles que mas mpactam no resultado da empresa. Arrba 005 gerou uma quantdade grande de dados confáves, pos antes da sua coleta foram desenvolvdos até mesmo estudos de Reprodutbldade e Repettvdade R&R, cujos resultados foram depurados em váras etapas até chegar-se àqueles efetvamente usados na pesqusa. Assm, seus expermentos são muto valosos. A otmzação das váras respostas atendeu ao crtéro de pesos dados a cada uma delas de forma a conferr sua relevânca para o resultado fnal da função objetvo. Como já dto acma, será realzada neste trabalho a mesma otmzação, no entanto usando o modelo aproprado de regressão. No entanto, uma outra forma de otmzação também será usada através dos índces de capacdade de processo destas respostas. Os índces de capacdade de processo são admensonas e ndcam o nível da qualdade de um processo: quanto maor o índce maor a qualdade do atrbuto meddo. O índce de capacdade múltplo mede a combnação de váras respostas, cada uma com seu respectvo índce de capacdade. Assm, nesta dssertação também será avalado o índce de capacdade múltplo das respostas dos expermentos conduzdos por Arrba 005, ou seja, a combnação conjunta de cada índce de capacdade de processo respectvo a cada característca de qualdade medda. Desta forma, pode-se comparar este método e aquele anterormente usado. Resumdamente, esta dssertação justfca-se por: contrbur com a dvulgação da teora dos modelos lneares generalzados para a regressão de respostas categórcas, analsar o expermento apresentado em Arrba 005 utlzando uma técnca aproprada para modelagem das varáves de resposta categórcas nele presente, otmzar as múltplas

16 6 respostas daquela dssertação segundo o mesmo método proposto pelo autor, otmzar as mesmas respostas usando o método da capacdade de processos múltpla, e, por fm, comparar ambos os métodos de otmzação multresposta..4 MÉTODO DE TRABALHO Nesta dssertação duas formas de otmzação serão aplcadas e seus resultados dscutdos. A prmera delas será maxmzar o valor de uma função objetvo como valores de ponderação para cada uma das respostas da característca de qualdade de nteresse. Esta fo a técnca utlzada por Arrba 005. A outra forma será pela maxmzação dos índces de capacdade de processo de cada uma das respostas, que dentro do método serão agregadas multplamente em seguda compondo um índce múltplo de capacdade de processo, segundo os mesmos pesos de ponderação da função objetvo. Chan, Cheng e Sprng 988 ntroduzram uma nova medda de capacdade de processo, que será utlzado neste caso. Este índce leva tanto em consderação a proxmdade de uma medda ao seu alvo, quanto a varabldade do processo. Para encontrar-se o arranjo ótmo que maxmza tanto a função objetvo quanto os múltplos índces de capacdade será usado o algortmo do gradente generalzado reduzdo dscutdo em Castllo e Montgomer 993, e de uso corrente nas planlhas eletrôncas mas comercas, tas como a função Solver do Excel. A estmação dos parâmetros das respostas dos expermentos, por serem categórcas em pelo menos um caso, será feta pela teora dos modelos lneares generalzados que solcta, por sua vez, o método da máxma verossmlhança. Este método é o mas ndcado por ser amplo o sufcente para a estmação de város tpos de respostas, em especal aquelas cujas funções de dstrbução de probabldade pertencem à famíla exponencal NELDER e WEDDERBURN, 97; McCULLAGH e NELDER, 990. Desenvolvdo o problema desta forma, serão corrgdas as volações de pressupostos da regressão lnear ncorrda por Arrba 005. De forma a classfcar de forma ampla o tpo desta pesqusa conforme seus objetvos, pode-se afrmar, com base em Gl 00, que esta é uma pesqusa exploratóra, uma vez que

17 7 vsa proporconar maor famlardade com o problema com vstas a torná-lo mas explícto, além de analsar exemplos que estmulam a compreensão do problema com uma proposta de solução. Dante destas consderações acma, esta é, portanto, uma pesqusa aplcada, vsto que é seu objetvo a aplcação de conhecmentos específcos e bem delmtados sendo seu uso já comprovadamente efcaz, além de, segundo Roesch 005, nclur a preocupação teórca que fundamenta a solução dentro de seus pressupostos. Para tanto, será necessára uma revsão da lteratura que aborde: a ntrodução e concetuação dos índces de capacdade de processos; a teora dos modelos lneares generalzados e seu respectvo método de estmação de parâmetros e apresentação de técncas de amplo uso de otmzação multresposta. A necessdade de uma forte ênfase em métodos estatístcos e matemátcos, processo ndustras sujetos a otmzação e expermentos planejados para se alcançar os objetvos esperados, faz com este trabalho também seja uma pesqusa quanttatva. De certa forma, devdo às respostas dos expermentos serem, em últma nstânca, opnões dos técncos à respeto da qualdade do couro, esta sera também uma pesqusa qualtatva, no entanto, não serão fetas maores consderações sobre este tpo de pesqusa que está restrta ao desenvolvmento de Arrba 005. Nesta forma de classfcação este trabalho é, portanto, estrtamente quanttatvo..5 LIMITAÇÕES DO TRABALHO Nesta dssertação será tratada a otmzação de expermentos quando a resposta é categórca, e também quando há a necessdade de se encontrar o melhor arranjo entre múltplas respostas de nteresse para a produção. Embora o escopo da revsão bblográfca abranja as categoras de respostas dcotômcas, quando apenas duas respostas são possíves - por exemplo, aprovado e rejetado, conforme e não-conforme - estes casos não serão tratados na solução prátca. Ou seja, no caso aplcado as respostas serão sempre valores nteros e postvos, uma característca nerente à dstrbução de Posson. As respostas podem anda ser categórcas, mas múltplas, podendo ser ordnas quando entre as váras respostas possíves há uma mplcação de graduação entre elas por

18 8 exemplo um, dos ou três defetos por peça produzda. Há anda um tercero tpo de respostas categórcas, dtas nomnas, onde a graduação mplícta não exste: por exemplo quando ocorrem defetos de naturezas dferentes em uma mesma peça, tas como rsco, bolha ou descoloração numa pntura. Uncamente o caso ordnal será objeto de estudo neste trabalho; portanto, fca fora do nteresse de nvestgação os casos de respostas categórcas nomnas. Não será tratado o caso da regressão lnear clássca pelo método dos mínmos quadrados, pos o método da máxma verossmlhança para defnção dos parâmetros da regressão lnear já engloba esta stuação partcular, assm como as respostas de natureza contínua, além do que há vasta e boa lteratura tratando do assunto, mesmo em Português. São fetas as otmzações de duas formas. A prmera reproduz aquela usada por Arrba 005, de forma a permtr a comparação com seus resultados. A segunda lança mão do índce múltplo de capacdade de processos de forma a estabelecer conclusões de utldade e convenênca com a anteror. Ambos os casos usarão o algortmo do gradente generalzado reduzdo para encontrar-se o máxmo da função objetvo. Exstem na lteratura város outros métodos de otmzação, nenhum desses será tratado neste trabalho, uma vez que o algortmo seleconado já conduz a resultados satsfatóros no âmbto do problema tratado. Esses outros métodos de otmzação, para ctar dos, são a metodologa da superfíce de resposta RSM tratado em Montgomer 005 e a função de perda quadrátca multvarada abordada em Elsaed e Rbero995. Arrba 005 otmzou quatro artgos dferentes em couro: nubuck chocolate, naplex preto; damond preto e v nubuck bege. Nesta dssertação será otmzado apenas seu expermento para o artgo nubuck chocolate..6 ESTRUTURA DO TRABALHO Esta dssertação é composta por cnco capítulos. No prmero capítulo é apresentada uma ntrodução ao problema que este trabalho va tratar e buscar uma solução. São dscutdos também seus temas e objetvos prncpas e secundáros de forma a esclarecer o alcance de sua proposta que também é justfcada. Para tanto, é apresentado sucntamente um método de

19 9 trabalho que julga-se consegur chegar aonde se propõe para soluconar o problema encontrado, lmtando-se aos assuntos necessáros e sufcentes para tal. No segundo capítulo é apresentado o referencal teórco que sustenta o problema prátco apresentado. Para tanto são tratados, nesta ordem: a os modelos lneares generalzados: sua estrutura formal, a abrangênca da famíla exponencal, a regressão lnear pelo método da máxma verossmlhança e um método para estabelecer a confabldade nos parâmetros da regressão Além da regressão de quase-verossmlhança; b o índce de capacdade de processos: serão dscutdos os prncpas índces de capacdade de processos e, em partcular, o índce de capacdade de processos múltplos de forma a poder ldar com processos que possuem mas de uma característca de qualdade de nteresse. No tercero capítulo é revsto o expermento conduzdo por Arrba 005 de forma a detalhar o encamnhamento dado pelo autor para sua otmzação. Como dto anterormente, as respostas deste expermento foram tratadas como obedecendo à uma dstrbução de probabldade normal, no entanto por serem categórcas elas não se ajustam a este pressuposto. Anda neste capítulo também são detalhados os procedmentos segundo a metodologa de otmzação proposta deste texto. No quarto capítulo, as mesmas respostas encontradas por Arrba 005 são desta vez modeladas a partr dos modelos lneares generalzados. O modelo de otmzação herárquca utlzado por este autor é novamente aplcado e uma nova estratéga de otmzação, desta vez pelo índce múltplo de capacdade de processo, é também conduzda e seus resultados apresentados. No qunto capítulo, por fm, os resultados encontrados são dscutdos, em especal, de uma forma que ressalte as dferenças entre os obtdos entre este trabalho, aplcando o método proposto, e aqueles apresentados por Arrba 005. Em ambos os casos haverá a preocupação em destacar as lmtações de cada solução, esclarecendo onde os recursos teórcos utlzados são naproprados e também onde mas eles podem ser aplcados. Encerrando este capítulo, para efeto de contrbução com o progresso do assunto no meo acadêmco e ndustral, são dadas sugestões de trabalhos futuros.

20 0 Capítulo Neste capítulo são tratados dos assuntos dstntos. O prmero é sobre os modelos lneares generalzados. São apresentadas a modelagem das médas dentro deste método e as técncas de aferção da confança que se pode depostar no modelo gerado. Esta seção adantase anda um pouco mas além ao tratar dos modelos de quase-verossmlhança onde a suposção da dstrbução de probabldades das respostas não é necessára. A segunda parte deste capítulo trata dos índces de capacdade de processos desde sua concepção ncal até seu uso para avalação de múltplas característcas de qualdade. É também desenvolvdo o modelo que permte a substtução dos valores que calculam a capacdade de processos por modelos de regressão. Este procedmento permtrá a otmzação do processo estudado sob a óptca dos modelos lneares generalzados no capítulo 4. Será usada a notação mas comumente adotada pela lteratura e textualmente assumda por Dobson 990. As varáves aleatóras são anotadas em letras tálcas maúsculas e seus respectvos valores observados pelas mesmas, porém, mnúsculas; por exemplo as observações,,..., N são consderadas como resultantes das varáves aleatóras Y,..., Y Y N. As letras gregas desgnam os parâmetros, sendo que o símbolo ^ chapéu adconado sobre ele representa um estmador do parâmetro. Se é o parâmetro de uma regressão, sua estmatva será, portanto, ˆ. Exceção a esta regra será feta ao uso da letra grega para desgnar o termo de erro. A notação para vetores e matrzes é em negrto, por exemplo, o vetor das observações, é a representação de: N anteror: A transposção de matrzes será ndcada pela sobrescrto T. Aprovetando o exemplo T n

21 As dervadas podem ser desgnadas tanto pelo operador dfunção/dvarável, quanto pelo símbolo lnha sobrescrto quando expressamente ndcado. A função de densdade de probabldade é denomnada por f;, onde representa os parâmetros da dstrbução. E fnalmente, a barra acma da letra, grega ou não, ndca tratar-se de uma méda, por exemplo:.. OS MODELOS LINEARES GENERALIZADOS Uma classe de modelos lneares generalzados MLG foram propostos por Nelder e Wedderburn 97. A apresentação de certas equações de dstrbução de probabldade assume genercamente o formato canônco por formato canônco aqu entende-se o arranjo dos componentes de uma equação com propósto de demonstração e facldade de entendmento, porém sem alterar sua estrutura e, desta manera, permte generalzar o procedmento de estmação de parâmetros baseado no método da máxma verossmlhança: b f,, exp c,. a Na equação. Fahrmer e Tutz 994 defnem seus termos. Onde é a magem da dstrbução de probabldade da famíla exponencal. O termo magem é aqu denotado no contexto da lnguagem matemátca para funções. O parâmetro representa a localzação no exo das abscssas da curva de dstrbução, é também o chamado parâmetro natural. E o parâmetro desgna a varabldade da dstrbução, ou seja, este termo defnrá se a curva terá um formato mas alargado ou mas estreto em relação ao parâmetro de localzação. A função b, descreverá o comportamento da localzação, da mesma forma que a função a o faz com a varabldade. É comum encontrar na lteratura apenas o termo sem o ndcador de função. O termo c, é uma função específca que dependerá do tpo de membro da famíla exponencal com que se estará ldando. As equações de dstrbução de probabldade passíves de apresentação neste formato confguram a chamada famíla exponencal, pos seus elementos estão elevados à base e ou exp função. O modelo é também dto canônco porque prmaramente o termo que multplca, era uma função a sujeta à gualdade a= DOBSON, 990.

22 Neste grupo especal há componentes tanto de dstrbuções de probabldade cujas respostas são contínuas quanto dscretas. Mers, Montgomer e Vnng 00 ctam as dstrbuções normal, bnomal, Posson, geométrca, bnomal negatva, exponencal, gama e normal nversa como pertencentes a esta famíla exponencal. Os mesmos autores anda afrmam que a estruturação destas dstrbuções no formato apresentado unfca os modelos de regressão lneares com os não-lneares. Assm, qualquer processo cuja varável de resposta seja dstrbuída segundo uma das equações da famíla exponencal poderá ser modelada dentro da teora dos modelos lneares generalzados, quer seja lnear ou não-lnear em outro método de estmação de parâmetros que defnem a função de dstrbução. A equação. é genérca e representa a famíla exponencal. Ela é composta pelas funções específcas a b c, O parâmetro está representando a localzação, ou seja, representa a regão da curva de dstrbução onde há maores chances de se encontrar um valor aleatóro, portanto, a méda ou esperança. O parâmetro representa a dspersão ou em que medda os valores se afastam ou se aproxmam do parâmetro de localzação, sendo conhecdo por varânca VIEIRA, 004. Com ambos os parâmetros bem defndos pode-se compreender o comportamento da resposta de um processo. A equação de dstrbução normal, por exemplo, fornece respostas contínuas e é defnda em sua apresentação mas conhecda como: f,, exp. Escrta de manera a adequar-se ao formato da equação., aplcando uncamente a propredade logarítmca geral a exp b exp b ln a e organzando os expoentes, parcelas e quocentes, canoncamente, obtém-se: f,, exp ln.3 As equações. e.3 são dêntcas nas suas respostas, apenas operações algébrcas foram mplementadas com o ntuto de se obter o formato ndcado por.. Assm, torna-se medato dentfcar que:

23 3 b ; a e c, = ln Como a curva normal é a mas comum e usada das curvas de dstrbução, percebe-se pela dentfcação das funções específcas a b c, aplcadas neste caso que o parâmetro de localzação é justamente a méda, ao passo que o parâmetro de dspersão é propramente, a varânca. O formato de apresentação da equação. fornece de medato a méda e a varânca de uma dstrbução, sendo esta sua prmera grande utldade. De fato, partndo dos concetos de méda e varânca, confrma-se em Vera 004: E var db d d b d ; a Onde por defnção e também por se tratar de uma varável contínua, uma função de dstrbução de probabldades qualquer f x, conforme Duncan 974: xf x dx x f x dx Nesta dssertação as respostas sujetas às dstrbuções bnomal e de Posson serão amplamente utlzadas, a fundamental dferença entre elas e a dstrbução normal é que suas respostas não são contínuas, são dscretas ou categórcas. A mas notável semelhança é que todas as três são pertencentes à famíla exponencal e podem, quando algebrcamente trabalhadas, assumr o formato da equação.. A dstrbução bnomal, segundo Kelton e Law 99, é útl para as stuações onde ocorre um processo de Bernoull, ou seja, entre duas úncas e mutuamente exclusvas respostas possíves ndependentes entre s, tas como sucesso ou fracasso, faz-se a contagem delas dentro de numa amostra de tamanho n. É defnda como: n f n ;.4

24 4 Dstrbundo os termos da equação.4 convenentemente chega-se ao seu formato exponencal VIEIRA, 004: n f, exp ln n ln ln.5 Da mesma forma como fo analsado o formato exponencal da dstrbução normal, serão dentfcados os componentes de localzação e dspersão para a dstrbução bnomal: = ln ; b n ln- ; a ; = e c, = ln n Encontrando-se a respectva méda e varânca: E var db d db d ; a Onde por defnção e também por se tratar de uma varável dscreta, uma função de dstrbução de probabldades qualquer p x, segundo Montgomer 00: x p x x p x O mesmo procedmento é utlzado para a dstrbução de Posson apresentado na forma mas comum de se encontrar, exposto em Kelton e Law 99, e já ajustado ao formato de apresentação exponencal em Vera 004: e f, exp ln ln!!.6 Identfcando-se as equações específcas, encontra-se: = ln ; b - ; a = ; c, = -ln! Conforme as defnções de méda e varânca:

25 5 E var db d db d ; a Kelton e Law 99 anda apresentam que a dstrbução de Posson possu como característca fundamental ser composta exclusvamente por número nteros e não-negatvos. Esta característca será fundamental para a otmzação a ser levada adante neste trabalho. Assm, conforme Mers et al. apud Elsaed e Rbero 995 que recomendam os modelos lneares generalzados para modelagem da varânca, uma vez escolhda a função de probabldade, que no caso deste texto são as dstrbuções bnomal de Posson, o formato exponencal automatcamente fornece a função de varânca V da resposta que depende da méda e o parâmetro de dspersão é constante para os membros da famíla exponencal VIEIRA 004. que é a porção da varânca que não depende da méda e O texto de Vera 004 é usado extensvamente para: a estruturação dos modelos lneares generalzados, o método matemátco para estmação dos parâmetros de modelagem e os testes de hpóteses de confabldade destes mesmos parâmetros. Com suporte dos respectvos apoos usados por ele que são Dobson 990 e Mers, Montgomer e Vnng 00. Assume-se um expermento com k varáves ndependentes e n respostas, conforme é apresentado na tabela.: x x x x x x Tabela. Estrutura para modelos lneares generalzados x k x k x k x n x n Fonte: Vera 004. Defnndo os termos da tabela.: x nk n médas As varáves de resposta de cada rodada do expermento,,, n.,,, n terão como

26 6 A dstrbução de probabldade de pertence genercamente a um dos membros da famíla exponencal conforme Mers, Montgomer e Vnng 00. As varáves de regressão ou varáves ndependentes do modelo serão determnadas pelos valores possíves assumdos por contínuas ou dscretas. x, x,, x k. Note-se que k x, x,, x podem ser O modelo assume o formato de um predtor lnear do tpo: x x x 0 k k.7, Há a necessdade de ser unr o predtor lnear da equação.7 à méda das respostas,, n, de forma a modelá-la. Assm, defne-se a função de lgação lnk functon g. Este procedmento é exatamente aquele que unfca os modelos lneares dos nãolneares. Vera 004 anda acrescenta que a função de lgação defne a forma como os efetos sstemátcos de x,, x, xk são transferdos à méda. g x x x.8 0 k k Observe-se que cada termo da equação.8 representa uma lnha na tabela.. O que sgnfca que para cada resposta haverá um predtor lnear, ou seja, haverá n predtores lneares. E anda que, no caso partcular da regressão lnear clássca, a função de lgação é a própra méda. g Calculando a função nversa da função de lgação obtém-se a méda: g g x x x.9 0 k k Conforme já expresso pela equação., o parâmetro representa a localzação onde há maor probabldade de se encontrar certo valor, ou seja, a méda, e segundo Vera 004, a função de lgação é denomnada canônca quando. Mers, Montgomer e Vnng 00 esclarecem que o uso da função de lgação na forma canônca contrbu muto com a smplfcação do método de estmação dos parâmetros,

27 7 além do cálculo dos testes de hpótese ou ntervalos de confança para estes parâmetros. No entanto, alertam para o mas fundamental: esta convenênca não mplca necessaramente em qualdade de ajuste do modelo. Vera 004 apresenta a tabela. onde se encontram as lgações canôncas resumdamente para as funções de dstrbução de probabldade já apresentadas acma. Tabela. Lgações Canôncas para os modelos lneares generalzados Dstrbução Lgação Canônca Normal Bnomal Fonte: adaptado de Vera 004. Posson ln Vale ressaltar que a função de lgação transforma a méda das respostas e não as respostas em s, sto será útl para a modelagem das própras médas, obvamente. A partr deste desenvolvmento, a estruturação dos modelos lneares generalzados fca completa para ln a estmação dos parâmetros. É mportante anda ressalvar que caso se necesste de uma alternatva à função de lgação - quando o resultado do modelo for nsatsfatóro - pode-se lançar mão, smlarmente à transformação da resposta, defnr uma famíla de funções de lgação de potênca do tpo: ln,, 0 0 Nelder e Wedderburn 97 apresentaram em sua proposção dos modelos lneares generalzados um método de estmação de parâmetros va maxmzação da função logverossmlhança, em sua apresentação matrcal, alerta-se que tanto quanto como será notado adante: são vetores L ln l ; ;.0 Cox e Hnkle 974 apud Dobson 990 afrmam que a famíla de dstrbuções exponencas possuem sufcentemente a propredade de contnudade para garantr um máxmo global da função log-verossmlhança após dervá-la e gualá-la a zero, ou seja, a

28 8 famíla exponencal é dervável. Transformando a equação.0 em sua apresentação escalar e também como uma função de dstrbução da famíla exponencal: L b n n ln f ; ; c ;. a Observe-se que na equação. o somatóro resulta na soma do modelo resultante de cada uma das n lnhas da tabela.. De forma a maxmzá-la, a função L será dervada parcalmente em relação à matrz dos parâmetros L ß dl d d d ß. Mas na últma gualdade da equação. o termo do somatóro, e anda nos modelos lneares generalzados o termo só ocorre na prmera parcela é constante, assm, a Anda, em retrospectva, para as dstrbuções apresentadas Normal, bnomal e Posson e também para toda famíla exponencal db / d. Dsto resulta-se: dl d n db d n.3 Recorrendo à equação.8, porém em formato matrcal: ß x.4 Destacando que conforme a tabela. os ndependentes, para cada resposta. x são as varáves regressoras, ou As equações escore são obtdas após gualar a zero os resultados das dervadas das equações.3 e substtundo em. as gualdades.3 e.4. O dvsor de.3 desaparece devdo ao termo ter sdo gualado a zero: d n x 0.5 Se as equações escore forem canôncas - - a gualdade acma resume-se a:

29 9 n x 0.6 A solução das equações escore.6 levará à estmação dos parâmetros do modelo. O apêndce A.5 de Mers, Montgomer e Vnng 00 explca em detalhes que a equação.6 conduz pelo desenvolvmento da prmera ordem de uma sére de Talor à equação.7. Dobson 990 também apresenta uma solução smlar que naturalmente conduz ao mesmo resultado. Consdere-se a equação matrcal, conforme Vera 004 e Epprecht e Vera 004: ˆ m T m T m m.7 ß X W X X W z O índce m corresponde à m-ésma teração, portanto ˆ ß m deve ser entenddo como a estmatva da m-ésma mas uma teração do algortmo. Desenvolvendo adante a equação.7, seguem os sgnfcados das matrzes que a compõe em suas respectvas dmensões. ˆ m ß m m m k X é a matrz que representa as varáves regressoras da tabela. com acréscmo da coluna de s que está relaconado ao termo ndependente do modelo a ser gerado: X x x x n x x x k k nk A matrz W é dagonal e conhecda como a matrz dos pesos para ponderação da varânca relatva a cada varável regressora. W m w w w nn Os elementos da dagonal m w são dados por:

30 30 m w,,,, n var m.8 Fnalmente z é o vetor das varáves de ajuste na m-ésma teração. z m z m z m z m n Cujos elementos são: m m m m z ˆ ˆ,,,,n.9 Em destaque observa-se pelas equações.7 e.9 que o processo é teratvo, sendo que a estmatva ˆ ß m é calculada como dependente da estmatva anteror ˆ m ß. Vera 004 afrma que a convergênca do método teratvo dos mínmos quadrados ponderados teratvo MQPI depende bastante da qualdade das estmatvas ncas para os parâmetros ߈. O cclo teratvo da fgura. começa fazendo com que m ndque, como dto anterormente, a ordem da teração. Assm, a m-ésma teração faz uso da estmatva de ˆ m ß que derva das estmatvas para z e W, sendo que o cclo se fecha quando determnada a atualzação da estmatva ˆ ß m que será usada na próxma teração, e assm cclcamente até a convergênca conforme os ses passos em seguda apresentados EPPRECHT; VIEIRA, 004. O algortmo é apresentado grafcamente nas fguras. e.. A prmera apresenta a forma como as varáves da equação.7 se nter-relaconam, enquanto que a segunda seqüênca o procedmento teratvo. No apêndce A este algortmo é executado para o caso específco que trata esta dssertação.

31 3 Fgura. Relações entre as varáves do algortmo MPQI. Fonte: Vera 004 Fgura. Algortmo MPQI. Fonte: Vera 004 Passo : Calcular o vetor ˆ m, seqüênca da fgura., onde k é o número de parâmetros do modelo mas um, pos o modelo possu o termo ndependente.8: 0, pela equação

32 3 ˆ ˆ m ˆ m m ˆ m ˆ m k X ß.0 Passo : Calcular o vetor da médas de cada fator, onde cada nversão das funções de lgação : ˆ é obtdo pela ˆ m ˆ m ˆ m. ˆ m k Passo 3: Calcular o vetor z segundo equação.9. Passo 4: Calcular os elementos da matrz dagonal W da equação.8. Passo 5: Atualzar a estmatva do vetor ˆ m ß segundo a equação.7. ˆ m ß X T W m X X T W m z m Passo 6: Testar a convergênca do algortmo pela verfcação da dstânca defnda pelo condutor do expermento entre ˆ ß m e ˆ m ß é menor do que o valor da tolerânca especfcada. Se a convergênca ocorreu, então encerra-se o algortmo, em caso contráro há de se retornar ao passo para mas uma teração. Vera 004 acrescenta que não há uma únca manera de se estmar o prmero valor dos parâmetros, ˆß. No entanto, sugere que seja aquela mas comum e a que adota, que é estmá-los a partr de uma estmatva ncal de ˆµ 0 relaconado ao vetor das médas O autor anda chama a atenção de que este vetor das médas é solctado pela algortmo no passo, assm ˆß é obtdo a partr de uma tentatva de valores de 0 µˆ e prossegundo com os demas passos e grando o cclo até a convergênca. A gualdade µ ˆ 0 também é, segundo o referdo autor, muto usada. Há anda a necessdade de cálculo dos valores da função de ˆ 0 0 lgação ˆ g para satsfazer a solctação do vetor no passo 3. Esta etapa será levada já na prátca apresentada no próxmo capítulo 4 desta dssertação.

33 33 Uma vez já defndos os parâmetros estmados ߈, deve ser analsada a sgnfcânca deles, pos esta permtrá nferr sobre o quanto se pode confar nas respostas do modelo proposto, alcançando as lmtações que ele mpõe. Para tanto, é usado o esquema proposto em Vera 004 para os testes de sgnfcânca do modelo. Para a famíla exponencal, pode-se afrmar dos parâmetros estmados ߈ a segunte gualdade para a matrz de covarânca: cov ß X T WX. Onde W é a matrz dos pesos cujos elementos foram apresentados na equação.8. Vale observar que no caso da estmatva de parâmetros pelo método dos mínmos quadrados, esta mesma matrz de covarânca é calculada dspensando a matrz dos pesos, pos naquele modelo não há a necessdade de ponderar as varâncas das respostas, seus elementos são todos a undade. Isto comprova que a estmação de parâmetros pelo método dos mínmos quadrados, sob esta óptca, é um caso partcular do método da máxma verossmlhança. A completa demonstração da equação. pode ser obtda em Mers, Montgomer e Vnng 00, p.50. Se for de nteresse encontrar a demonstração da mesma fórmula para o caso da regressão lnear normal recorre-se a Mers, Montgomer e Vnng 00, p.5, que é o mesmo que substtur a matrz W de.8 pela dentdade. Nos testes de sgnfcânca para os modelos lneares com dstrbução normal, usa-se a estatístca t-student para a seleção dos parâmetros: ˆ j t 0.3 var ˆ j No entanto, os modelos lneares generalzados não apenas soluconam as respostas que atendem à dstrbução normal, para a qual se ajusta bem a estatístca da equação.3, mas também com toda a famíla exponencal já apresentada. A equação.3 pode ser usada em outras dstrbuções que não a normal desde que esta estatístca resulte em um valor alto, dga-se três, para se ndcar a sgnfcânca de parâmetros, no entanto anda assm será uma aproxmação, Vera 004. Recomenda-se também o uso da função de desvo devance para os testes de sgnfcânca dos coefcentes do modelo. Sua defnção, conforme Vera 004, é pelo cálculo do desvo entre o modelo proposto em relação ao modelo saturado, ou seja, aquele no

34 34 qual os valores ajustados ˆ são guas às respostas número de parâmetros é gual ao número de observações., coletadas no expermento ou onde o L L mod D ln.4 sat Dobson 990 ressalta que valores elevados de devance sugerem modelos com descrções pobres dos dados. Sendo numerador e denomnador da equação.4 as funções de máxma verossmlhança do modelo proposto e do modelo saturado, respectvamente. Sendo assm, pode-se desenvolvê-la para: L ˆ ; D ; ˆ ln ln ; ˆ ln ;.5 L ; e de Posson: A tabela.3 apresenta as funções de desvo para as dstrbuções normal, bnomal Dstrbução de Probabldade Normal Tabela.3 Funções de Desvo Função de desvo devance n ˆ Bnomal n ln m ln ˆ m ˆ m Posson n ln ˆ ˆ Fonte: adaptado Vera 004. McCullagh e Nelder 990 ndcam que o termo m da função de desvo para a dstrbução bnomal refere-se ao número de ndvíduos cujas respostas foram coletadas para o expermento. Vera 004 chama a atenção para se notar que a devance da função normal é a própra soma dos quadrados dos resíduos donde derva-se o prncípo de cálculo do método dos mínmos quadrados. Lndse 997 apud Vera 004 demonstra que D ; ˆ tem dstrbução que obedece assntotcamente à dstrbução do qu-quadrado - - com n-p graus de lberdade,

35 35 onde n é o número de observações e p é a quantdade de parâmetros adotados no modelo. Novamente, Lndse 997 apud Vera 004, recomenda a análse de desvos conforme a dferença deles ou dferença de devance, como exposto a segur. Suponha o modelo A como saturado, ou seja, aquele no qual os valores ajustados ˆ são guas às respostas ; outro modelo B com p+ parâmetros p p,,,, 0. Consdere-se anda um últmo modelo C, annhado do modelo B, porém com um parâmetro a menos, explctamente, 0,,, p. Pela equação.5 chega-se a cálculo das devances dos modelos B e C. ; ln ˆ ; ln ˆ ; A B B B B L L D ; ln ˆ ; ln ˆ ; A C C C C L L D E a dferença entre as devances C e B: ˆ ; ln ˆ ; ln ˆ ; ˆ ; B B C C B B C C L L D D ˆ ; ˆ ; ln ˆ ; ˆ ; B B C C B B C C L L D D Sendo que Lndse 997 apud Vera 004 demonstra que esta dferença segue aproxmadamente a dstrbução quando o modelo C está correto, assm como ˆ ; C C D segue p n no mesmo caso. Vera 004 conclu que sendo correto o modelo C nos casos acma ctados, a razão abaxo segue a dstrbução p F,n por aproxmação: p n C B C F p n D D D F, 0 ˆ ; ˆ ; ˆ ;.6 Desta forma, para uma seqüênca de k modelos annhados pode-se calcular as devances ˆ ; j D para j=,,...,k. e montar os testes de sgnfcânca dos parâmetros numa

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