MODELAGEM CONJUNTA DE MÉDIA E VARIÂNCIA EM EXPERIMENTOS FRACIONADOS SEM REPETIÇÃO UTILIZANDO GLM

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL ESCOLA DE ENGENHARIA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE PRODUÇÃO MODELAGEM CONJUNTA DE MÉDIA E VARIÂNCIA EM EXPERIMENTOS FRACIONADOS SEM REPETIÇÃO UTILIZANDO GLM Patríca Klaser Basol Porto Alegre, 2005.

2 2 PATRÍCIA KLASER BIASOLI MODELAGEM CONJUNTA DE MÉDIA E VARIÂNCIA EM EXPERIMENTOS FRACIONADOS SEM REPETIÇÃO UTILIZANDO GLM Dssertação submetda ao Programa de Pós-Graduação em Engenhara de Produção como requsto parcal à obtenção do título de MESTRE EM ENGENHARIA DE PRODUÇÃO Área de Concentração: Sstemas da Qualdade. Orentador: Flávo Sanson Foglatto, Ph.D. Porto Alegre 2005

3 3 Esta dssertação fo julgada adequada para a obtenção do título de Mestre em Engenhara de Produção e aprovada em sua forma fnal pelo Orentador e pela Banca Examnadora desgnada pelo Programa de Pós-Graduação em Engenhara de Produção. Prof. Flávo Sanson Foglatto, Ph.D. PPGEP / UFRGS Orentador Prof. Lus Antono Lndau, Ph.D. Coordenador PPGEP / EE / UFRGS Banca Examnadora: João Rbold, Dr. Prof. Depto de Estatístca / UFRGS José Lus Duarte Rbero, Dr. Prof. Depto de Engenhara de Produção e Transportes / UFRGS Lane Werner, Dr. Prof. Programa de Pós-Graduação em Engenhara de Produção / UFRGS

4 4 AGRADECIMENTOS A realzação desse trabalho só fo possível devdo a colaboração de dversas pessoas. Estou conscente que não contemplare todos que fzeram parte dessa jornada, mas devo meus snceros agradecmentos a todos que partcparam dreta e ndretamente da realzação desse trabalho. Dentre esses gostara de agradecer especalmente: ao meu namorado, Andre, pelo compreensão e pacênca nos momentos dfíces; letura e formatação do dessa dssertação; aos meus pas e ao meu rmão, por compreenderem a mnha rrtação; ao Prof.. Ph.D. Foglatto, por sua dedcação e pelas suas valosas orentações; ao Prof. Dr. Rbold, pela sua contrbução na parte de modelagem estatístca; ao Prof. Dr. Amaral pelo seu apoo e dsposção em me auxlar; a ta Clara pela mprescndível correção; e R; aos colegas Ângelo e Marana pela ajuda na programação dos pacotes estatístcos SAS ao LOPP/PPGEP por me conceder espaço físco para realzação desse trabalho; e as mnhas colegas de mestrado (Mê, Jú, Lú, Mar, Fab e Tat), pelos estudos em grupo e pelos momentos de descontração dentro e fora do LOPP.

5 5 SUMÁRIO LISTA DE ILUSTRAÇÕES...8 LISTA DE TABELAS...10 RESUMO...12 ABSTRACT COMENTÁRIOS INICIAIS Introdução Objetvo Justfcatva Metodologa Lmtações do trabalho Estrutura da dssertação REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Fatoras Fraconados Modelos Lneares Generalzados - GLM Componente aleatóro Predtor lnear Função de lgação...30

6 Estmação do vetor de parâmetros β Quase-verossmlhança Quase-verossmlhança extendda Inferênca Meddas de ajustamento Exemplo de aplcação de GLM Propostas de modelagem de méda e varânca Modelagem ndvdual de méda e varânca Modelagem conjunta de méda e varânca ROTEIRO DE MODELAGEM CONJUNTA DE MÉDIA E VARIÂNCIA Especfcação da varável resposta e defnção da dstrbução de probabldade do componente aleatóro para o modelo da méda Defnção da função de lgação e da função de varânca Adequação do modelo Sgnfcânca dos coefcentes Análse da devance (ANODEV) Análse gráfca dos resíduos Qualdade do ajustamento Modelagem conjunta DE méda e varânca Ajustamento do modelo ncal para a méda Ajustamento do modelo para a varânca Ajustamento do modelo para a méda baseado no modelo para a varânca Fnal do processo teratvo Fluxograma do rotero de modelagem conjunta de méda e varânca ESTUDO DE CASO Dados para o estudo de caso Adaptação do expermento para realzação do estudo de caso Modelagem conjunta de méda e varânca Ajustamento do modelo ncal para a méda Processo teratvo...90

7 Ajustamento do penúltmo modelo para a varânca Ajustamento do modelo fnal para a méda Ajustamento do modelo fnal para a varânca Convergênca dos modelos ajustados Modelo ajustado por regressão lnear múltpla Regressão lnear múltpla x GLM CONCLUSÕES FINAIS Conclusões Sugestões para trabalhos futuros REFERÊNCIAS APÊNDICE A APÊNDICE B APÊNDICE C...122

8 8 LISTA DE ILUSTRAÇÕES Fgura 1: Snas do efeto da nteração ABC...23 Fgura 2: Característcas de algumas dstrbuções pertencentes à Famíla Exponencal...27 Fgura 3: Funções de lgação canônca para algumas dstrbuções de probabldade...32 Fgura 4: Fórmulas para o cálculo da devance...43 Fgura 5: Resultados obtdos no SAS...54 Fgura 6: Gráfco dos valores predtos x resíduos devance...56 Fgura 7: Tpos de dados x tpos de modelagens...59 Fgura 8: Resumo da modelagem conjunta por GLM para méda e varânca...66 Fgura 9: Resumo das análses gráfcas de resíduos sugerdas na lteratura para verfcar a adequação de um GLM...73 Fgura 10: Funções de probabldade e funções de lgação do R...76 Fgura 11: Ajustamento de funções de quase-verossmlhança no R...77 Fgura 12: Fluxograma do rotero de modelagem de um GLM...79 Fgura 13: Fluxograma do rotero de modelagem conjunta de méda e varânca...80 Fgura 14: Matrz expermental...83 Fgura 15: Análse dos resíduos valores ajustados para o modelo ncal para a méda...89 Fgura 16: Gráfco de Probabldade Normal para o modelo ncal para a méda...90 Fgura 17: Análse das Dstâncas de Cook para o modelo ncal para a méda...90 Fgura 18: Análse dos resíduos valores ajustados para o modelo fnal para a méda...93 Fgura 19: Gráfco de Probabldade Normal para o modelo fnal para a méda...93 Fgura 20: Análse das Dstâncas de Cook para o modelo fnal para a méda...94 Fgura 21: Análse dos resíduos valores ajustados para o modelo fnal para a varânca...95 Fgura 22: Gráfco de Probabldade Normal para o modelo fnal para a varânca...95 Fgura 23: Análse das Dstâncas de Cook para o modelo fnal para a varânca...96

9 9 Fgura 24: Comparação dos modelos ajustados por regressão lnear múltpla e por GLM...99 Fgura 25: Notações das funções de probabldade do R Fgura 26: Notações das funções de lgação do R Fgura 27: Notações das funções de varânca para as funções quase-verossmlhança...123

10 10 LISTA DE TABELAS Tabela 1: Exemplo de fatoral fraconado Tabela 2: Pares confunddos e estmatvas dos efetos em um expermento Tabela 3: Dados de resstênca do exemplo de aplcação de GLM...53 Tabela 4: Análse da estmatva dos parâmetros...56 Tabela 5: Efetos dos fatores...75 Tabela 6: Dados das varáves respostas utlzados para análse...84 Tabela 7: Análse de regressão lnear múltpla para a VR custo (R$/m 2 )...84 Tabela 8: Análse de regressão lnear múltpla para a VR mpacto para carga máxma (kn)..85 Tabela 9: Análse de regressão lnear múltpla para a VR mpacto para carga máxma (mm) 85 Tabela 10: Análse de regressão lnear múltpla para a VR mpacto pela energa de carga máxma (J)...86 Tabela 11: Fração do projeto expermental fraconado a ser modelado...87 Tabela 12: Notação para o nível de sgnfcânca dos coefcentes...87 Tabela 13: Modelo ncal para a méda...88 Tabela 14: Análse de devance (ANODEV) para o modelo ncal para a méda...88 Tabela 15: Penúltmo modelo para a varânca...91 Tabela 16: Análse de devance (ANODEV) para o penúltmo modelo para a varânca...91 Tabela 18: Modelo fnal para a méda...92 Tabela 19: Análse de devance (ANODEV) para o modelo fnal da méda...93 Tabela 20: Modelo fnal para a varânca...94 Tabela 21: Análse de devance (ANODEV) para o modelo fnal para a varânca...95 Tabela 22: Modelo de regressão lnear múltpla para o fatoral completo sem repetção...97 Tabela 23: Análse de devance (ANODEV) para o modelo de regressão lnear múltpla para o fatoral completo sem repetção...97

11 11 Tabela 24: Modelo de regressão lnear múltpla para o fatoral fraconado...98 Tabela 25: Análse de devance (ANODEV) para o modelo de regressão lnear múltpla para o fatoral fraconado...98 Tabela 26: Modelo de regressão lnear múltpla para o fatoral fraconado ajustado...99 Tabela 27: Análse de devance (ANODEV) para o modelo de regressão lnear múltpla para o fatoral fraconado ajustado...99

12 12 RESUMO A modelagem conjunta de méda e varânca tem se mostrado partcularmente relevante na obtenção de processos e produtos robustos. Nesse contexto, deseja-se mnmzar a varabldade das respostas smultaneamente com o ajuste dos fatores, tal que se obtenha a méda da resposta próxma ao valor alvo. Nos últmos anos foram desenvolvdos dversos procedmentos de modelagem conjunta de méda e varânca, alguns envolvendo a utlzação dos Modelos Lneares Generalzados (GLMs) e de projetos fatoras fraconados. O objetvo dessa dssertação é apresentar uma revsão bblográfca sobre projetos fatoras fraconados e GLM, bem como apresentar as propostas de modelagem conjunta encontradas na lteratura. Ao fnal, o trabalho enfatza a proposta de modelagem conjunta de méda e varânca utlzando GLM apresentada por Lee e Nelder (1998), lustrando-a através de um estudo de caso. Palavras chave: GLM, Fatoral fraconado, Modelagem conjunta de méda e varânca

13 13 ABSTRACT The jont analyss of responses mean and dsperson has been partcularly relevant to obtan robust processes and products. In ths context, t s expected to mnmze the varablty of the responses smultaneously wth the adjustment of the factors, so that t gets close to the target value. In the last years, dverse procedures to jont modelng of mean and dsperson have been developed, some of them proposng the use of Generalzed Lnear Models (GLMs) and fractonal factoral experments. The objectve of ths tess s to present a lterature revew on fractonal factoral experments and GLM, as well as to ntroduce proposals of jont modelng avalable n the lterature. Fnally, t s emphaszed the proposal for the jont modelng of mean and dsperson usng GLM presented by Lee and Nelder (1998), whch s llustrated n a case study. dsperson Key words: GLM, Fractonal factoral, Jon analyss of the mean and the

14 14 1 COMENTÁRIOS INICIAIS 1.1 INTRODUÇÃO A modelagem conjunta de méda e varânca tem se mostrado relevante em estudos, onde o objetvo é obter processos e produtos robustos. Essa modelagem é utlzada para otmzar a varável resposta. Nela, deseja-se mnmzar a varabldade das respostas smultaneamente com o ajustamento dos fatores, de forma a se obter a méda da varável resposta próxma a um valor alvo pré-determnado. Nos últmos anos, foram desenvolvdos dversos procedmentos de modelagem conjunta de méda e varânca, dentre eles a utlzação de GLM (Generalzed Lnear Models Modelos Lneares Generalzados) e de projetos fatoras fraconados. Segundo Bergman e Hynén (1997), tpcamente fatores com efeto de dspersão são ajustados para que se obtenha uma varânca mínma da varável resposta em torno do valor alvo (méda); já fatores com efeto de localzação são utlzados para ajustar produtos e processos no seu valor alvo; por fm, fatores sem efeto sobre a méda ou varânca são ajustados em seus níves econômcos. A modelagem conjunta da méda e varânca tem se mostrado bastante útl no contexto atual de mercado, em que exgêncas por otmzação de produtos e processos, redução dos custos e melhora da qualdade e produtvdade se fazem crescentes. Níves ótmos para as varáves resposta, as quas geralmente correspondem a característcas dos produtos relevantes em termos mercadológcos, são defndos como aqueles que asseguram a sua varação mínma frente a ruídos e colocam o processo no alvo (CATEN, 1995).

15 15 A necessdade da modelagem do efeto de fatores de controle sobre a varabldade das varáves resposta fo orgnalmente proposta por Taguch, no contexto de planejamentos robustos - sgnal-response (TAGUCHI; ELSAYED; HSIANG, 1990). O objetvo dos planejamentos robustos de Taguch é dentfcar uma combnação de níves dos fatores de controle com efeto sobre a dspersão que mnmze a varabldade. Smultaneamente, desejase uma combnação de níves dos fatores de controle com efeto sobre a localzação que assegure uma méda próxma a um valor alvo para as varáves resposta. Apesar da relevânca da proposta de Taguch, elas têm recebdo crítcas, já que resulta em expermentos com um grande número de rodadas e com matrzes expermentas que desconsderam a mportânca das nterações entre os fatores controláves (GUNTER, 1987). Com o ntuto de aperfeçoar a proposta de modelagem conjunta de méda e varânca, ncalmente desenvolvda por Taguch, em partcular com relação às lmtações apontadas, alguns autores sugerram procedmentos baseados na utlzação de projetos fatoras fraconados, com dados modelados através de GLM. Tas procedmentos são o assunto prncpal desta dssertação (doravante, o efeto dos fatores de um projeto expermental sobre a méda será desgnado por efeto de localzação e o efeto dos fatores sobre a varânca será desgnado por efeto de dspersão). 1.2 OBJETIVO O objetvo prncpal desta dssertação é apresentar um rotero prátco para a modelagem conjunta de méda e varânca em expermentos fraconados sem repetção, utlzando GLM. Este trabalho tem como objetvos secundáros: apresentar dferentes propostas para dentfcação de efetos sgnfcatvos em expermentos e para modelagem conjunta da méda e varânca e suas respectvas lmtações; exemplfcar a utlzação do rotero prátco em um estudo de caso, com dados provenentes de um trabalho já publcado; dessa forma, será possível comparar os resultados da otmzação obtdos pelo autor com os resultados encontrados utlzando GLM.

16 JUSTIFICATIVA Incalmente, a escolha do tema a ser estudado fo motvada por sua mportânca acadêmca, uma vez que o assunto não se encontra exaustvamente explorado na lteratura, especalmente no Brasl. Sendo assm, o estudo vsa a ser mas um referencal teórco de modelagem conjunta de méda e varânca. As condções para o uso de análse de regressão tradconal são restrtvas. Esses modelos são baseados na suposção de que as varáves resposta são Normalmente dstrbuídas. Entretanto, exstem stuações em que se deseja modelar dados dscretos (tal como contagem de pacentes doentes), ou dados com respostas bnáras (peças com defeto e sem defeto). Além dsso, há stuações onde se deseja modelar dados contínuos, que não são Normalmente dstrbuídos. Será demonstrado nesta dssertação que os Modelos Lneares Generalzados (GLM) foram desenvolvdos para permtr o ajustamento de modelos de regressão a uma varável resposta pertencente à Famíla Exponencal de dstrbuções, que contempla, além da dstrbução Normal, as dstrbuções Bnomal, Geométrca, Bnomal Negatva, Exponencal, Gama e Normal Inversa. Ou seja, os GLM possuem maor flexbldade de aplcação, uma vez que nem todos os fenômenos podem ser bem modelados supondo dstrbução Normal ou através da transformação dos dados (com a fnaldade de obter dados Normalmente dstrbuídos). Do ponto de vsta prátco, o assunto se torna relevante devdo a seu potencal de aplcação em empresas de manufatura. Três razões são fundamentas para sustentar esta pesqusa: () os artgos são de dfícl compreensão para as empresas; () em estudos de aplcação da metodologa Ses Sgma, onde se busca processos centrados, mutas vezes se gnora o efeto da alta varabldade dos dados sobre os processos, e () em expermentos onde a méda é função da varânca, quando a méda aumenta a varânca também aumenta, exgndo, assm, a modelagem conjunta destes parâmetros. O estudo de caso que lustra o rotero proposto nesta dssertação utlza dados de expermentos já realzados e publcados em uma dssertação. A utlzação de dados já coletados justfca-se uma vez que estudos em campo são caros e demorados para as empresas. Além dsso, exgem um planejamento do expermento e da dsponbldade da empresa em realzar o estudo. Outro empeclho é o fato de não ser possível prever, a pror, se

17 17 a méda será função da varânca em um dado expermento; assm, corre-se o rsco de utlzar recursos para coletar dados que talvez não vablzem a modelagem conjunta da méda e varânca da varável resposta. A partr de dados que já foram analsados em estudos de otmzação smlares, esse problema dexa de exstr, sendo anda possível comparar os resultados obtdos ncalmente com os resultados utlzando GLM. Dessa forma, será possível lustrar as vantagens e desvantagens da utlzação do GLM para modelagem conjunta de méda e varânca. 1.4 METODOLOGIA O método que fo desenvolvdo neste trabalho é de natureza aplcada com uma abordagem quanttatva do problema. Segundo Gl apud Slva (2000), do ponto de vsta dos objetvos, este trabalho é uma pesqusa explcatva e através dela é possível dentfcar fatores que determnam ou contrbuem para a ocorrênca dos fenômenos. Ou seja, aprofunda o conhecmento da realdade, uma vez que explca a razão dos fatos (SILVA, 2000). Utlzou-se a pesqusa bblográfca e estudo de caso como procedmentos técncos. Segundo Yn (2001), o estudo de caso vsa examnar acontecmentos contemporâneos dentro de um contexto da vda real e lda com uma varedade de evdêncas, tas como: documentos, entrevstas e observações. Um estudo de caso é composto pelas seguntes etapas (YIN, 2001): defnção de um projeto de pesqusa, em que se defne as questões em estudo, as proposções (se houverem), a undade de análse, a lógca que une os dados às proposções e os crtéros para nterpretar os resultados; desenvolvmento de proposções teórcas, caso o propósto decorrente do estudo de caso seja determnar ou testar a teora; coleta de dados, que determnará o sucesso do estudo; análse dos dados, que consste em examnar categorzar e classfcar as nformações coletadas; e elaboração de relatóro para apresentação dos resultados.

18 18 O método de trabalho fo desenvolvdo a partr de quatro etapas. A prmera etapa envolveu uma revsão bblográfca a respeto de expermentos fatoras fraconados e GLM. Efetuou-se, também, o levantamento de propostas de modelagem necessáros à aplcação da metodologa proposta. A revsão bblográfca fo baseada em artgos centífcos e lvros. A segunda etapa consstu na apresentação de procedmentos de modelagem conjunta relaconados à solução do problema de pesqusa proposto. A partr de nformações orundas dos estudos das propostas de modelagem, propõe-se um rotero para conduzr pesqusadores com problemas smlares de análse, consttundo a tercera etapa deste estudo. Por fm, após o levantamento bblográfco e organzação escrta das técncas necessáras para a modelagem conjunta, desenvolveu-se a mplementação da mesma em um estudo de caso, a fm de exemplfcar a metodologa de modelagem conjunta de méda e varânca utlzando GLM. 1.5 LIMITAÇÕES DO TRABALHO Neste trabalho não são abordadas stuações nas quas deseja-se modelar mas de uma varável resposta. Também não faz parte do escopo deste trabalho a modelagem conjunta de méda e varânca para expermentos fatoras completos. O estudo parte do prncípo que o letor possu conhecmentos em Planejamentos de Expermentos fatoras fraconados e fatoras blocados, além de conhecmentos em fatoras vnculados (MONTGOMERY, 2001). A metodologa proposta é aplcada em dados já coletados, sendo assm, podendo ser restrta a este contexto de aplcação. Utlzam-se dados de desempenho em campo, não sendo smulados dados em laboratóro. Além dsso, a otmzação é restrta, pos não foram testadas na prátca. 1.6 ESTRUTURA DA DISSERTAÇÃO O presente trabalho fo organzado em cnco capítulos, cujos conteúdos estão delneados a segur.

19 19 No prmero capítulo, encontram-se as consderações ncas, objetvos e metodologa de pesqusa empregada. É feta uma ntrodução ao tema e explcta-se a sua relevânca, tanto para o meo acadêmco como para o meo profssonal. São também apresentadas as lmtações do trabalho. No segundo capítulo, apresenta-se uma revsão bblográfca sobre expermentos fatoras fraconados e GLM. Neste também se apresenta as propostas de dentfcação de efetos de localzação e dspersão sgnfcatvos, além de metodologas para modelagem conjunta encontradas na lteratura. No tercero capítulo, propõe-se um rotero de modelagem conjunta de méda e varânca utlzando GLM. O quarto capítulo focalza uma aplcação do modelo em um estudo de caso já publcado. O qunto capítulo expõe os comentáros fnas, com apresentação das conclusões do trabalho, juntamente com sugestões para futuros trabalhos.

20 20 2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 2.1 FATORIAIS FRACIONADOS A utlzação de planejamento de expermentos nas ndústras está relaconada à melhora do processo de manufatura (DAVIES; HAY, 1950; BOX; MEYER, 1986). O objetvo desses estudos é geralmente a busca pelo aumento da produção ou da qualdade do produto, ou uma produção mas econômca (DAVIES; HAY, 1950). Essas questões envolvem a análse de dferentes fatores e o problema é determnar qual a melhor forma de realzar o expermento. Fatores em um expermento são nvestgados medante varação de seus níves, os quas normalmente são defndos a pror pelo analsta. Em um expermento fatoral completo, por exemplo, todas as combnações de níves dos fatores são examnadas, o que pode ser nvável na prátca, por ser caro e demorado. Um fatoral 2 k completo requer que todas as combnações dos dos níves dos k fatores sejam testadas expermentalmente (BOX; HUNTER, 2000). Assm, o número de ensaos aumenta rapdamente à medda que aumenta o número de fatores. Por exemplo, uma repetção completa de um fatoral 2 6 requer 64 ensaos. Neste projeto, apenas 6 dos 63 graus de lberdade dsponíves correspondem aos efetos prncpas e 15 graus de lberdade correspondem às nterações de prmera ordem. Os 42 graus de lberdade restantes correspondem a nterações de maor ordem, as quas, va de regra, não são de nteresse do analsta, já que são de dfícl nterpretação físca (MONTGOMERY, 2001). Segundo Box; Hunter e Hunter (1978), os efetos em um expermento possuem certa herarqua. Em termos de magntude absoluta, os efetos prncpas tendem a ser maores que as nterações de 2 fatores, as quas tendem a ser maores que as nterações de 3 fatores, e

21 21 assm por dante. Logo é razoável pressupor que nterações de maor ordem não sejam sgnfcatvas, o que permtra obter nformações acerca dos efetos prncpas e nterações de baxa ordem de nteresse a partr de uma fração do expermento fatoral completo. Um projeto com essas característcas é denomnado projeto fatoral fraconado. Projetos fatoras completos são, geralmente, utlzados para estudar o efeto de mutos fatores (BERGMAN; HYNÉN, 1997), o que demanda mutos ensaos. Entretanto, em projetos fraconados, apenas uma parte dos ensaos é executada. Geralmente, sso não mplca em perda sgnfcatva de nformação, prncpalmente quando o número de fatores aumenta (MONTGOMERY, 2001). Esse tpo de projeto expermental é o mas utlzado e vável na prátca, uma vez que reduz os custos e o tempo de execução do expermento devdo ao pequeno número de ensaos demandados. Segundo Box e Hunter (2000), os fatoras fraconados são utlzados em dferentes crcunstâncas: () quando se assume, a pror, que algumas nterações não são sgnfcatvas; () quando se deseja dentfcar quas varáves têm nfluênca sob a varável resposta, sem um maor detalhamento sobre a forma do efeto (em expermentos do tpo screenng); () quando o procedmento de expermentação é realzado teratvamente, de tal forma que ambgüdades e erros de estmação possam ser resolvdos em um próxmo expermento; e (v) quando o analsta é capaz de prorzar os fatores de controle em mportânca, detalhando o efeto apenas de fatores prortáros (analsando suas nterações) e lmtando-se a apenas verfcar o efeto prncpal de fatores menos mportantes. Um projeto fatoral 2 k fraconado é usualmente desgnado por 2 k-p, onde k ndca o número de fatores e p, o grau de fraconamento. Por exemplo, um fatoral fraconado é mplementado em quatro rodadas expermentas e corresponde a um fatoral 2 3 (que exge oto combnações) fraconado ao meo, ou seja: = = =. (1) 2 De uma forma smplfcada, o procedmento para defnr projetos fraconados consste em dvdr o projeto completo em dos ou mas blocos, confundndo uma ou mas

22 22 nterações de ordem superor com fatores prncpas ou nterações de menor ordem. Posterormente, deve-se executar apenas um dos blocos escolhdo aleatoramente. Os efetos confunddos devdo ao fraconamento vão gerar efetos vnculados, ou seja, não será possível dstngur o efeto de dos ou mas fatores na análse estatístca dos dados. Assm, recomenda-se que um efeto mportante seja vnculado a uma nteração de ordem superor (supostamente não sgnfcatva). Daves e Hay (1950) recomendam a determnação dos contrastes de defnção e a utlzação do método defndo por Fnney para obter a lsta completa dos vínculos. Um vínculo defndo por D = ABC sgnfca que tanto o fator D como a nteração ABC não poderão ser separados na análse estatístca e a comparação correspondente pode ser usada para estmar D apenas quando a nteração ABC não é sgnfcatva, ou seja, os efetos D e ABC são vnculados. Tabela 1: Exemplo de fatoral fraconado ordem rodada A B C D E AB AC AD AE BC BD BE CD CE DE Y Adaptado: Box, Hunter e Hunter (1978) Segundo o exemplo proposto por Box; Hunter e Hunter (1978), um fatoral fraconado pode ser construído da segunte manera: ncalmente, deve-se escrever o fatoral 2 4 completo para as 4 varáves A, B, C e D. A coluna de snas da nteração ABCD

23 23 deve ser utlzada para defnr os níves da varável E. Os dados desse expermento são apresentados na Tabela 1, onde Y desgna o valor observado para a varável resposta. Observa-se que dessa forma é possível estmar 16 efetos (a méda, 5 efetos prncpas e 10 nterações de 1 a ordem). Entretanto, faltam 16 efetos que poderam ser estmados utlzando o fatoral completo (10 nterações de 2 a ordem, 5 de 3 a ordem e 1 de 4 a ordem). Box; Hunter e Hunter (1978) mostram que com o fraconamento não há perda de nformações através do exemplo: para estmar o efeto da nteração ABC, multplcam-se as respectvas colunas (A, B e C), obtendo os seguntes resultados (Fgura 1): Tratamentos Efetos ABC Fgura 1: Snas do efeto da nteração ABC Observa-se que esses resultados da Fgura 1 são dêntcos aos da coluna DE da Tabela 1. Conclu-se, assm, que ABC = DE, ou seja, apresentam os mesmos snas para todos os fatores e conseqüentemente as nterações ABC e DE estão vnculadas. Equvalentemente, em um fatoral fraconado 2 5-1, as nterações ABC e DE ndvdualmente são dtas vnculadas uma a outra. Usualmente, utlza-se a notação l DE para ndcar a função lnear das observações a qual é utlzada para estmar a nteração DE, cujo resultado é: 1 l DE = ( ) = 9,5 8 Ou seja, o contraste l DE ndca a dferença de 2 médas dos 8 resultados. Assm, o contraste l DE estma a soma das médas dos valores dos efetos DE e ABC. Isto é ndcado como l DE DE + ABC. Se as colunas de snas correspondentes a todos os efetos de 2 a, 3 a e 4 a ordem forem obtdos pela multplcação dos snas, obtém-se os resultados apresentados na Tabela 2, os quas usam as nformações da Tabela 1. A metodologa de confundmento apresentada anterormente se justfca se os efetos de 2 a, 3 a e 4 a ordem não forem mportantes para o pesqusador.

24 24 Tabela 2: Pares confunddos e estmatvas dos efetos em um expermento Relacão entre os pares de colunas Pares confunddos Estmatva A = BCDE l A A + BCDE -2 B = ACDE l B B + ACDE 20,5 C = ABDE lc C + ABDE 0 D = ABCE l D D + ABCE 12,25 E = ABCD l E E + ABCD -6,25 AB = CBE l AB AB + CDE 1,5 AC = BDE l AC AC + BDE 0,5 AD = BCE l AD AD + BCE -0,75 AE = BCD l AE AE + BCD 1,25 BC = ADE l BC BC + ADE 1,5 BD = ACE l BD BD + ACE 10,75 BE = ACD l BE BE + ACD 1,25 CD = ABE l CD CD + ABE 0,25 CE = ABD l CE CE + ABD 2,25 DE = ABC l DE DE + ABC -9,5 ( I = ABCDE l I Adaptado: Box, Hunter e Hunter (1978) méda + 1/2 (ABCDE) 65,25 Dados orundos de projetos fraconados são tpcamente analsados somente quanto há efeto dos fatores de controle sobre a méda da varável resposta, já que a ausênca de repetções das rodadas expermentas dfculta a modelagem do efeto de fatores de controle sobre a varânca. A partr do trabalho semnal de Box e Meyer (1986), dversos autores propuseram procedmentos para a modelagem da méda e varânca da varável resposta a partr de dados orundos de projetos fraconados, ver por exemplo, Rbero; Foglatto e Caten (2001) e McGrath e Ln (2001). Uma dessas abordagens propõe a modelagem conjunta da méda e varânca da varável resposta utlzando GLM. Abordagens de modelagem conjunta

25 25 são dscutdas na seção 3 desta dssertação. No restante da presente seção, apresenta-se um tutoral sobre GLM que pode auxlar na compreensão dos conteúdos abordados na próxma seção. 2.2 MODELOS LINEARES GENERALIZADOS - GLM Um modelo é dto lnear quando é uma função lnear de seus coefcentes. Modelos lneares e não lneares são baseados na suposção de que as varáves resposta são Normalmente dstrbuídas. Entretanto, em certas stuações, deseja-se modelar dados que seguem dstrbuções dscretas, assmétrcas, bnomas, dados restrtos a um ntervalo do conjunto dos reas, entre outros. Os modelos lneares generalzados (GLMs) foram desenvolvdos para permtr o ajustamento de modelos de regressão para uma varável resposta pertencente à Famíla Exponencal de dstrbuções, que contempla, além da dstrbução Normal, as dstrbuções Bnomal, Geométrca, Bnomal Negatva, Exponencal, Gama e Normal Inversa. A defnção de Famíla Exponencal será abordada na contnudade dessa seção. Sendo assm, o GLM permte modelar varáves dscretas, tal como o número de produtos defetuosos em uma amostra aleatóra (dstrbução Bnomal); já o número de defetos por lote nspeconado segue a dstrbução Posson; o qual também pode ser modelado por GLM. Varáves essencalmente postvas, com dstrbução assmétrca com cauda à dreta como o tempo até a falha de determnados dspostvos (dstrbução Gama) também podem ser modeladas pelo GLM. Em tas exemplos, a varânca não é constante (como na Normal) e sm funções da méda. Segundo Myers e Montgomery (1997), o GLM é utlzado para estmar modelos de regressão quando os erros não seguem uma dstrbução Normal e/ou a suposção de homogenedade da varânca é volada (ou seja, a varânca é função da méda). Os métodos de Mínmos Quadrados Ordnáros e da Máxma Verossmlhança, utlzados para estmar modelos de regressão, pressupõem erros com varânca constante. Segundo Myers, Montgomery e Vnng (2002), o problema da não-homogendade da varânca ocorre freqüentmente na prátca, e geralmente em conjunto com a não Normaldade da varável resposta. Uma alternatva para stuações, em que tal suposção é volada, é a utlzação dos métodos de Mínmos Quadrados Ponderados ou Generalzados, que levam em consderação a

26 26 não-homogenedade da varânca (ou seja, a varânca pode não ser a mesma para todas as observações). Em casos onde os erros são não-homogêneos e auto-correlaconados, utlza-se o método dos Mínmos Quadrados Generalzados; no caso de erros com varânca nãohomogênea, mas não correlaconados, emprega-se o método dos Mínmos Quadrados Ponderados (MONTGOMERY; PECK, 1991). Observa-se que os métodos dos Mínmos Quadrados ldam com varâncas não-homogêneas, mas não com não-normaldade. Essa lmtação pode ser contornada com a utlzação do GLM, que permte trabalhar com erros que pertencem à Famíla Exponencal. O GLM reconhece que a varânca das respostas não é constante e, assm, utlza o método de Mínmos Quadrados Ponderados como base para estmar os seus parâmetros. Usualmente, quando os dados não apresentam varânca homogênea, utlzam-se transformações, tal como o logartmo natural da varável resposta, conforme metodologa proposta por Box e Cox (1964). Entretanto, segundo Myers e Montgomery (1997), o modelo baseado na transformação dos dados apresenta problemas nos valores estmados e no ntervalo de confança dos parâmetros. Segundo os autores, no GLM os ntervalos de confança são unformemente menores, sugerndo um modelo com mas efcênca na predção e estmação. O GLM pode fornecer mas nformações sobre as varáves do que a análse tradconal baseada na transformação dos dados, ou seja, é capaz de detectar mas efetos sgnfcatvos. Se a suposção de Normaldade for duvdosa, pode-se analsar os dados va GLM e verfcar se o modelo fornece mas nformações. Conforme Vera (2004), o modelo lnear clássco exge três suposções: Normaldade, adtvdade e varânca constante e o GLM pode resolver os três problemas de forma ndependente. O GLM consdera outras dstrbuções que não a Normal, não exge varânca constante (pode ser função da méda) e é possível obter lneardade através de uma função que faz a lgação entre a méda da varável resposta e o polnômo lnear das varáves ndependentes (VIEIRA, 2004). A classe dos GLMs nclu dversos modelos de ampla aplcação prátca, tas como: () casos especas de modelos de regressão lnear e análse de varânca; () modelos logt e probt para respostas quanttatvas; e () modelos log-lnear e modelos de respostas múltplas para respostas na forma de contagem. Todos esses modelos possuem propredades em comum, o que permte estudá-los de forma conjunta como uma únca classe de modelos (MCCULLAGH; NELDER, 1989).

27 27 Todas as dstrbuções pertencentes à Famíla Exponencal possuem a mesma função de densdade de probabldade para a resposta observada y, defnda como: yθ b( θ ) f ( y; θ, φ ) = exp + c( y, φ ). (2) a( φ) onde a(.), b(.) e c(.) são funções específcas; o parâmetro θ é o parâmetro de localzação natural ou canônco e φ é freqüentemente desgnado como parâmetro de dspersão ou escala (usualmente denomnado σ). O parâmetro de dspersão φ é suposto conhecdo para cada observação (CORDEIRO, 1986). A função a ( φ ) é a forma generalzada de a ( φ ) φ.w =, onde w é uma constante conhecda (ou seja, um peso conhecdo a pror). Segundo Azzaln apud Costa (2003), o parâmetro φ soladamente não é o responsável pela varabldade das observações, mas sm o produto φ.w que vara de observação para observação. As característcas de algumas dstrbuções pertencentes à Famíla Exponencal são apresentadas na Fgura 2. Intervalo Normal Posson Bnomal Gamma Normal Inversa (, + ) 0 () 1 de y a () b () c () 2 φ = σ 1 1 θ 2 θ y + ln( 2πφ ) 2 φ 0( 1) n n 1 1 n θ e ( 1+ e ) ( 0, ) ( 0, ) φ =ν ln ( θ ) n ln y! ny 2 φ = σ ln ( 2θ )2 ln ( ν ) ln( ν ) + lnν ln Γ( ν ) y ln( 2πφy ) φy µ = E( y ) Função de Varânca θ Fonte: McCullagh e Nelder (1989) θ θ e ( + e θ ) 1 µ µ ( 1 µ ) e 1 1 θ Fgura 2: Característcas de algumas dstrbuções pertencentes à Famíla Exponencal 2 µ ( 2θ ) µ Algumas dstrbuções que pertencem à Famíla Exponencal possuem varânca constante ( φ = 1), tas como a Bnomal e de Posson, exceto em stuações de dspersão

28 28 excessva, quando é necessáro ldar com um parâmetro de escala φ (MYERS; MONTGOMERY; VINING, 2002). É relevante destacar que a dstrbução de Webull, de grande utlzação prátca, não pertence a Famíla Exponencal devdo à estrutura partcular do seu modelo. No GLM, pode-se mostrar que a méda e a varânca da resposta y pode ser defnda, respectvamente, como: ( θ ) db E ( y) = µ = (3) dθ e ( ) 2 d b θ Var( y) = a ( φ ). (4) 2 dθ A parte da varânca de Y que não depende de a ( φ ) é dada por: ( y) ( φ ) ( θ ) 2 Var d b dµ Var ( µ ) = = = que representa a parte da varânca de y que depende da sua 2 a dθ dθ méda µ. A função Var ( µ ) é denomnada função de varânca. Logo a varânca de y é o produto de dos fatores, um que depende da méda e outro, a ( φ ), que não depende (VIEIRA, 2004). Todo modelo de GLM é defndo por três componentes: Dstrbução da varável resposta: às vezes chamada de estrutura dos erros (denomnado componente aleatóro); membro da Famíla Exponencal de dstrbuções de probabldade; Predtor lnear: que envolve as varáves regressoras x 1, x2,..., xk, que entram no modelo na forma de um modelo lnear, denomnado componente sstemátco η = β 0 + β1x β k x k ; ou seja, conforme Cordero (1986), é um conjunto de varáves ndependentes que descrevem a estrutura lnear do modelo;

29 29 Função de Lgação: que une o predtor lnear à méda natural da varável resposta, ou seja, segundo Demétro (2001), faz a lgação entre os componentes aleatóros e o sstemátco. A função de lgação defne a forma como os efetos sstemátcos de, 2 x x,..., x k η = g µ = β + β x β x 1 são transmtdos para a méda: ( ) 1 1 k k Tas componentes são detalhados nas seções que se seguem Componente aleatóro Os GLMs podem ser utlzados quando se tem uma únca varável resposta Y e, assocado a ela, um conjunto de varáves regressoras (explcatvas) x 1, x 2,..., x k. Consderamse y1, y2,..., y n observações ndependentes da varável Y, com médas µ 1, µ 2,..., µ n (MYERS; MONTGOMERY; VINING, 2002), ou seja, ( ) µ, 1,..., E Y = = n. As observações y são aleatóras (componente aleatóro do GLM) e seguem uma dstrbução pertencente à Famíla Exponencal (MYERS; MONTGOMERY; VINING, 2002), com um parâmetro desconhecdo e com méda de uma dstrbução de probabldade pertencente a tal famíla (CORDEIRO, 1986). Além dsso, assume-se que exste apenas um termo de erro no modelo (MCCULLAGH; NELDER, 1989) e que a varânca ( 1, 2,..., ) 2 σ = n é função da méda µ (MYERS; MONTGOMERY; VINING, 2002). Uma característca mportante da Famíla Exponencal é a forma da varânca, a qual pode ser defnda como Var ( y) = φ. Var ( µ ), onde φ é o parâmetro de dspersão e ( ) Var µ é a função varânca. A função varânca descreve a possível dependênca entre a méda µ e a varânca (NELDER; LEE, 1991). Observa-se que uma vez determnada a dstrbução de probabldade dos dados, mplctamente são defndas a função da varânca Var ( µ ), que é a parte da varânca da resposta y que depende da méda, e o parâmetro de dspersão φ, que não depende da méda e é constante para os membros da Famíla Exponencal.

30 Predtor lnear As varáves regressoras (varáves explcatvas) x 1, x 2,..., x k entram no modelo na forma de uma soma lnear dos seus efetos, dando orgem ao vetor de predtores lneares (vetor das médas MONTGOMERY; VINING, 2002): µ ), que é a porção sstemátca do modelo, defnda como (MYERS; = = k 0 + = 1 η x β β β x (5) onde η, chamado predtor lnear, é um vetor x 1 regressores e ( ) estmados, onde k β β1 β2 β k n ; ' = ( x x ) x 1,..., k é um vetor de =,,..., ' é um vetor de k parâmetros desconhecdos, a serem < n. Ou seja, a função lnear η dos parâmetros desconhecdos β chamase predtor lnear (CORDEIRO, 1986). Exstem mutas stuações nas quas a relação adtva entre o componente sstemátco e o aleatóro não ocorre. Além dsso, nem sempre é possível supor uma dstrbução Normal para o componente aleatóro ou, homogenedade de varâncas. Para generalzar tas suposções, Nelder e Wedderburn (1972) propuseram a utlzação de GLMs. A utlzação desse predtor lnear é responsável pela desgnação Modelo Lnear Generalzado, atrbuída a essa famíla de modelos. Segundo Cordero (1986), a palavra generalzado mplca em uma dstrbução de probabldade mas ampla que a Normal para uma varável resposta e uma função não lnear, conectando a méda desta varável com a parte determnístca do modelo, o predtor lnear Função de lgação O modelo de GLM é dado pela relação entre a dstrbução da méda (componente aleatóro) e os predtores lneares. Essa relação é determnada pela função de lgação. A função de lgação descreve como o valor da esperança de Y, ou seja µ, está relaconado com o predtor lnear.

31 31 µ No caso partcular da regressão lnear, a função de lgação é a dentdade, ou seja, 1 1 η =. Observa-se que a méda da resposta é: µ = g ( η ) = g ( β + β x + β x ) O GLM é encontrado através da função de lgação: η g ( µ ) =, = 1, 2,..., n., onde g (). é a função de lgação utlzada. Essa função faz a lgação entre a méda (componente aleatóro) e o predtor lnear (porção sstemátca do modelo), por meo de uma função ' conhecda g ()., ou seja, g ( µ ) η onde = =x β (MYERS; MONTGOMERY; VINING, 2002), x é o vetor das varáves regressoras para a -éssma observação e β é o vetor de parâmetros desconhecdos ou coefcentes de regressão. A função de lgação é responsável pela transformação da méda da população (e não dos dados), com o objetvo prncpal de encontrar uma escala sobre a qual o modelo lnear adtvo ocorra (COSTA, 2003). A escolha nadequada da função de lgação pode resultar em uma modelagem mprópra dos dados. A escolha da função de lgação determna a natureza do modelo de GLM a ser utlzado. Nelder e Lee (1998) demonstram que a escolha correta da função de lgação smplfca o modelo ajustado. Exstem dversas possbldades de escolha da função de lgação. Entretanto, essa escolha depende do problema de modelagem em partcular e, pelo menos em teora, cada observação pode apresentar uma função de lgação dferente (CORDEIRO, 1986). Se a função de lgação seleconada for gual ao parâmetro de localzação da dstrbução ( η = θ ), o predtor lnear modela dretamente o parâmetro canônco θ e a função de lgação η é denomnada de lgação canônca (MCCULLAGH; NELDER, 1989). Segundo Cordero (1986), o parâmetro canônco caracterza a dstrbução de probabldade membro da Famíla Exponencal. As lgações canôncas para as dstrbuções de probabldade mas comuns são apresentadas na Fgura 3. Algumas de suas propredades teórcas mas nteressantes estão descrtas a segur. A utlzação de uma lgação canônca freqüentemente resulta em uma escala adequada para a modelagem, com nterpretação prátca para os parâmetros de regressão, além de vantagens estatístcas teórcas em termos de exstênca de um conjunto de estatístcas sufcentes para os parâmetros β ' s e algumas smplfcações no algortmo de estmação dos parâmetros do modelo (DEMÉTRIO, 2001). Uma estatístca sufcente corresponde à maor.

32 32 redução que os dados podem alcançar, sem qualquer perda de nformação relevante para a nferênca sobre o parâmetro desconhecdo (CORDEIRO, 1986). Dstrbução Lgação Canônca Normal η = µ Lgação dentdade Bnomal µ η = ln 1 µ Lgação logístca Posson η ln ( µ ) = Lgação logarítmca Exponencal η 1 µ = Lgação recíproca Gama η 1 µ Normal Inversa 2 = Lgação recíproca 1 η = µ Lgação recíproca ao quadrado Fontes: Myers, Montgomery e Vnng (2002) e McCullagh e Nelder (1989) Fgura 3: Funções de lgação canônca para algumas dstrbuções de probabldade É mportante destacar que sendo a lgação canônca a mas natural a ser consderada, dada a dstrbução que caracterza a varável resposta, sso não mplca em descartar funções não-canôncas do menu de opções. A sua escolha é convenente não apenas por smplfcar as estmatvas de máxma verossmlhança dos parâmetros do modelo, mas, também, o cálculo do ntervalo de confança da estmatva da méda da resposta. Entretanto, a convenênca não mplca necessaramente na qualdade do ajustamento do modelo, o que é mas mportante. Escolher a função de lgação é equvalente a determnar o modelo em uma regressão múltpla tradconal. Embora as funções canôncas levem a propredades estatístcas desejáves, prncpalmente no caso de pequenas amostras, não exste nenhuma razão a pror para que os efetos sstemátcos do modelo devam ser adtvos na escala dada por tas funções (MCCULLAGH; NELDER, 1989). Exstem outras funções de lgação que também podem ser utlzadas em GLM (adaptado MCCULLAGH; NELDER, 1989; MYERS; MONTGOMERY; VINING, 2002):

33 33 1 Lgação Probt: η φ [ µ ] padronzada acumulada; Lgação Logt: η = log µ / ( 1 µ ) =, onde φ representa a função de dstrbução Normal ; Lgação complementar log-log: η log{ log[ 1 µ ] } = ; e λ µ, λ 0 Lgação da famíla de potêncas: η = ln [ µ ], λ = 0. Conforme Cordero (1986), as funções de lgação Probt, Logt e complementar loglog são apropradas para o modelo Bnomal, pos transformam o ntervalo (0,1) em (-, + ). Para aplcar o GLM, é necessáro determnar a dstrbução da varável resposta e a função de lgação. Essas duas nformações não são ndependentes, pos alguns modelos de GLM são mas aproprados para algumas dstrbuções do que para outras. Por exemplo, o modelo Bnomal exge que o parâmetro p obedeça à restrção 0 < p < 1; logo um modelo que permte p negatvo ou maor que um não é adequado. No caso da dstrbução de Posson, o modelo não pode permtr valores negatvos para o parâmetro µ, logo a função de lgação deve satsfazer essa condção em todo o seu domíno (MCCULLAGH; NELDER, 1989). Observa-se que a resposta méda é defnda como: ( ) 1 E y ( ) 1 ( ' g η g ) caso da regressão lnear múltpla, o modelo ( ) ' = = x β. No µ = η =x β representa um caso especal onde g µ = µ e a função de lgação usada é denomnada lgação dentdade (MYERS; MONTGOMERY; VINING, 2002). Segundo Cordero (1986), a lgação é denomnada dentdade no sentdo de que os valores esperados dos dados e predtores lneares podem ser qualquer valor real. Assm, um modelo de regressão lnear tradconal também pode ser defndo com um GLM, no qual se utlza uma função de lgação lnear. Dependendo da escolha da função de lgação, o GLM pode também nclur um modelo não lnear. Por exemplo, se no caso apresentado anterormente for escolhda a função de lgação logarítmca g( a) ln ( a) =, ao nvés da função dentdade, obtém-se

34 34 ( ) µ { β β β } exp k k E y = = + x + + x. A lgação logarítmca tem uma certa relação com o uso da transformação logarítmca da varável resposta, no caso dos modelos de regressão lnear tradconas. Naqueles casos, realza-se a transformação dos dados; já no GLM, é realzada a transformação da méda. Segundo Myers; Montgomery e Vnng, (2002), também é mportante destacar que a transformação da méda não altera a dstrbução dos erros, como ocorre na transformação dos dados. Assm, o GLM pode ser vsto como uma unfcação dos modelos de regressão lnear e não lnear, que ncorpora dstrbuções normas e não normas como varável resposta, desde que pertença à Famíla Exponencal de dstrbuções de probabldade. Logo no modelo ajustado por GLM, suas nferêncas podem ser realzadas como nos modelos tradconas de regressão (MYERS; MONTGOMERY; VINING, 2002). Observa-se, assm, que uma decsão mportante na modelagem de GLM é a dentfcação da dstrbução de probabldade, que caracterza a varável resposta, e da matrz de realzações das varáves ndependentes. Deve-se também escolher adequadamente a função de lgação. Essa determnação pode resultar de uma análse dos dados ou pode ser baseada na experênca dos pesqusadores. Observa-se que, para a especfcação do GLM, os parâmetros θ (parâmetro canônco ou natural) da Famíla Exponencal não são de nteresse dreto (pos exste um para cada observação), mas sm um conjunto menor de parâmetros β 1,..., β tal que uma combnação lnear dos ' β s seja gual a uma função do valor esperado de Y (DEMÉTRIO, 2001). A função de lgação é uma função dferencável monotônca, ou seja, a função f ( x ) é monotônca se para quasquer dos pontos x 1 e 2 x tem-se: f ( x ) f ( x ) e f ( x ) f ( x ) 1 2 k. 1 2 Uma função não precsa ser contínua para ser monotônca. Além dsso, a função é dta dferencável em 0 no ponto (SIMMONS, 1987). x se f ( x ) exste, onde ( ) 0 f x é a declvdade da reta tangente à função ): O processo de trabalho com GLMs pode ser dvddo em três etapas (CORDEIRO, formulação dos modelos, que consste na dentfcação da dstrbução de probabldade dos dados e determnação do predtor lnear e da função de lgação;

35 35 ajustamento dos modelos; e nferênca. As duas últmas etapas serão defndas nas próxmas seções Estmação do vetor de parâmetros β O ajustamento do GLM é determnado pelo vetor de parâmetros ˆβ, sendo o método de máxma verossmlhança a base teórca para estmação desses parâmetros. Dferentemente dos modelos de regressão tradconas, que utlzam os Mínmos Quadrados Ordnáros para estmação dos parâmetros do modelo, no GLM a solução das equações normas do sstema formado utlza Mínmos Quadrados Ponderados (DEMÉTRIO, 2001), pos as equações de máxma verossmlhança são não-lneares, exceto para dstrbução Normal, e, portanto, não podem ser resolvdas explctamente (CORDEIRO, 1986). Em algumas stuações, os estmadores de máxma verossmlhança para os parâmetros β no predtor lnear η podem ser obtdos por Mínmos Quadrados Ponderados Iteratvo. Na solução das equações de máxma verossmlhança, a varável dependente não é y, mas z, uma forma lnearzada da função de lgação aplcada em y, e os pesos W são funções dos valores ajustados de ˆµ. O processo é teratvo, pos tanto a varável dependente ajustada z como o peso W dependem dos valores ajustados, para os quas apenas as estmatvas correntes estão dsponíves (MCCULLAGH; NELDER, 1989,). Ou seja, a solução das equações consste em calcular repetdamente uma regressão lnear ponderada de uma varável modfcada z sobre y, usando uma função peso W que se modfca no processo teratvo. O nverso da função peso é gual à covarânca de z (CORDEIRO, 1986). Segundo Costa (2003). esse processo converge rapdamente (de 3 a 4 nterações), exceto em casos de amostras pequenas. O procedmento teratvo exge valores ncas de β que podem ser obtdos das estmatvas de µ, baseadas nos valores observados y (COSTA, 2003) Quase-verossmlhança A estmação dos efetos fxos do GLM é baseada na função de verossmlhança; uma extensão para ajustar efetos aleatóros é a quase-verossmlhança (COSTA, 2003). Sendo

36 36 assm, a estmação por máxma-verossmlhança é utlzada em GLM quando se supõe ndependênca entre observações pertencentes à Famíla Exponencal. Entretanto, há stuações em que, apesar de as respostas serem ndependentes, elas não pertencem à Famíla Exponencal, além de stuações onde a varânca das respostas é função da méda, mas as observações são correlaconadas (MYERS; MONTGOMERY; VINING, 2002). O uso da quase-verossmlhança se aplca no GLM em stuações onde as varáves explcatvas são correlaconadas. Essa técnca de estmação também pode ser aplcada quando é necessáro realzar nferêncas de expermentos em que a função de verossmlhança não pode ser construída. Por exemplo, pode exstr um modelo razoável com varânca conhecda, mas não exstem nformações que ndquem a dstrbução de probabldade da varável resposta (MYERS; MONTGOMERY; VINING, 2002) e, assm, apenas se defne uma função entre a méda e a varânca da varável resposta (VIEIRA, 2004). Wedderburn (1974) fo o prmero a ntroduzr a noção de quase-verossmlhança. A quase-verossmlhança se basea na déa nos Mínmos Quadrados Ponderados; mas genercamente, nos Mínmos Quadrados Generalzados para o caso das respostas correlaconadas. Para utlzação da quase-verossmlhança, não é necessáro especfcar completamente a dstrbução de probabldade da varável resposta, pos a quaseverossmlhança é baseada apenas na suposção de forma dos dos prmeros momentos. Wedderburn (1974) demonstra que o uso de Mínmos Quadrados Generalzados produz propredades assntótcas smlares aos estmadores de máxma verossmlhança. Logo, podese obter boa efcênca dos estmadores mesmo quando a verossmlhança não é conhecda. Suponha que y ( = 1, 2,..., n) seja um conjunto de observações com ( Y ) ( Y ) ( ), em que ( ) V V µ E = µ e V µ seja uma função conhecda. Além dsso, suponha que µ seja uma função de um conjunto de parâmetros β 1, β 2,..., β p. Assm, a função de quaseverossmlhança Q(, y ) µ é defnda conforme (COSTA, 2003): (, ) Q µ y y µ = µ V µ ( ) (6) ou, de forma análoga: