Departamento de Engenharia Rural Centro de Ciências Agrárias. Programação I

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1 Departamento de Engenharia Rural Centro de Ciências Agrárias Programação I

2 Variáveis compostas homogêneas Multidimensionais (o uso de arrays para a representação de matrizes e outras abstrações)

3 Matrizes Definiremos uma matriz, sem perda de generalidade, como uma tabela de m x n símbolos que representam valores de algum domínio. As linhas horizontais de uma matriz são chamadas linhas, e as linhas verticais são chamadas colunas.

4 Matrizes Uma matriz com m linhas e n colunas é chamada de uma matriz m -por- n (escreve-se m x n) m e n são chamadas de suas dimensões, tipo ou ordem.

5 Matrizes Um elemento de uma matriz A que está na i- ésima linha e na j-ésima coluna é chamado de elemento i,j ou (i,j)-ésimo elemento de A. Referência: a i,j ou a[i,j].

6 Matrizes Uma matriz onde uma de suas dimensões é igual a 1 geralmente é chamada de vetor. Uma matriz 1 n (uma linha e n colunas) é chamada de vetor linha ou matriz linha, Uma matriz m 1(uma coluna e m linhas) é chamada de vetor coluna ou matriz coluna.

7 Representação de Matrizes Uma coleção de dados que tenha características de matrizes pode ser devidamente especificada por meio de uma estrutura de dados chamada array. Para isto, utiliza-se um array com duas dimensões de índices: (No caso do Pascal, especifica-se duas faixas de índices em vez de apenas uma)

8 Representação de Matrizes Assim como os arrays unidimensionais, nas linguagens de programação, os elementos do array podem estar indexados a partir de 1 (Fortran, MATLAB, R, etc) ou a partir de 0 (C e seus dialetos). Por exemplo, o elemento a(1,1) em Fortran corresponde ao elemento a[0][0] em C. No Pascal, pode-se utilizar qualquer faixa contínua de valores ordinais (caracteres, números inteiros) como índices.

9 Representação de Matrizes Em Pascal, esse tipo de array é definido de maneira muito similar ao que já vimos antes. A única coisa que precisamos fazer é incluir mais uma faixa variação de índice: <variável> : array [LI d1..ls d1,li d2..ls d2 ] of <tipo>; Onde LI = limite inferior LS = Limite superior d1 denota a dimensão 1 (linhas) e d2 a dimensão 2 (colunas)

10 Representação de Matrizes Exemplo A : array [1..4,1..5] of String; linhas colunas 'oi' 2 'Bruno' 3 'vovó' 4 A[3,4]

11 Representação de Matrizes Os arrays de duas dimensões podem ser usados para armazenar tabelas; fazer cálculos matemáticos (como resolução de sistemas lineares e transformações lineares); fazer desenhos, etc.

12 Arrays com mais de 2 dimensões E se precisar declarar uma estrutura de dados tridimensional, ou quadridimensional, etc.? basta incluir mais faixas de índices: var <variável> : array [LI d1..ls d1,li d2..ls d2, LI d3..ls d3 ] of <tipo>;

13 Arrays com mais de 2 dimensões Exemplo de array tridimensional em Pascal com 24 posições (variáveis): var A : array [1..2, 1..3, 1..4] of integer; Terceiro índice Acesso a este elemento: A[ 2, 3, 4 ] Primeiro índice Segundo índice

14 Arrays com mais de 2 dimensões Além disso, em um array, tridimensional, se usarmos a abstração de um cubo subdividido em várias posições, podemos pensar em posições de armazenamento que estão no interior do cubo. var A: array[ 0..2, 0..6, 0..1] of integer; Elemento A[ 1, 4, 1]

15 Matrizes Aplicações 1 Exemplo de aplicação: Suponha que desejamos guardar no computador uma lista de alunos com suas respetivas notas em todas as disciplinas cursadas durante o ano.

16 Matrizes Aplicações 1 Exemplo de aplicação: A seguinte tabela mostra uma lista de 6 alunos e as notas em 8 disciplinas. Notas por disciplina Média Disciplinas Nomes Joãozinho Dorinha 6,0 9,0 7,0 7,0 10,0 5,0 10,0 6,0 Luizinho 8,0 6,0 8,0 10,0 5,0 5,0 9,0 9,0 Mariazinha 10,0 8,0 5,0 8,0 8,0 8,0 9,0 10,0 Pedrinho 6,0 8,0 7,0 7,0 10,0 10,0 9,0 5,0 Marquinho 9,0 7,0 6,0 7,0 8,0 5,0 6,0 8,0

17 Matrizes Aplicações 1 Gostaríamos de fazer um programa para armazenar essa tabela no computador e depois poder calcular a média de todas as notas de todos os alunos. Para saber o desempenho da turma poderíamos calcular a média das médias.

18 Matrizes Aplicações 1 Para começar vamos pensar apenas em como armazenar as notas na memoria do computador. Para isso vamos utilizar um array bidimensional;

19 Matrizes Aplicações 1 Para o nosso problema de notas: Var notas : array [1..6,1..8] of real; O intervalo 1..6 indica a faixa de índices da primeira dimensão do array (as linhas!); O intervalo 1..8 indica a faixa de índices para a segunda dimensão (As colunas!);

20 Matrizes Aplicações 1 Para o problema das notas, será necessário reservar 6 linhas e 8 colunas Faixa de índices da segunda dimensão [1..8] Faixa de índices da primeira dimensão [1..6]

21 Matrizes Aplicações 1 OBSERVAÇÃO: Em algumas situações, se não soubermos com antecedência qual será o tamanho da estrutura de dados, podemos declarar uma dimensão maior, deixando assim uma folga no array que represente a matriz.

22 Matrizes Aplicações 1 Para manter todas as informações da tabela no computador, poderíamos armazenar também os nomes dos alunos em um array de String (um vetor) e as médias dos alunos num array de números reais (outro vetor).

23 Matrizes Aplicações 1 Agora todos os dados poderão ser armazenados!!!

24 Matrizes Aplicações 1 Mais um detalhe Como faço para manipular todos os dados em um array com duas dimensões?

25 Matrizes Aplicações 1 Precisaremos de duas variáveis para representar os índices: Temos que ler cada coluna de cada linha (Ou então: cada linha de cada coluna)

26 Matrizes Aplicações 1 Algoritmo básico: Para cada linha: Percorra todas as colunas Ou: Processando os dados Para cada coluna: Percorra todas as linhas Processando os dados for i := 1 to 6 do for j := 1 to 8 do for j := 1 to 8 do for i := 1 to 6 do

27 Matrizes Aplicações 1 O próximo slide mostra o código fonte de um programa que faz a leitura dos nomes, das notas dos alunos, calcula as medias, guarda em um array e exibe os resultados na tela do computador. Obs: O código não exibe mensagens para informar o usuário sobre o que está sendo solicitado como entrada, mas relaxe, isto é apenas um exemplo para quem está aprendendo a programar, na prática você vai querer colocar todas as mensagens necessárias para que o usuário não fique perdido ao usar seus programas.

28 Matrizes Aplicações 1 Program Turma; Var notas: array [1..6,1..8] of real; media: array [1..6] of real; nomes: array[1..6] of String; Soma: real; i,j: integer; Begin {Entrada de Dados} {ler as notas dos alunos em cada disciplina} For i:=1 to 6 do For j:=1 to 8 do Read (notas[i,j]); {Entrada de Dados} {ler os nomes dos 6 alunos} For i:=1 to 6 do read ( nomes[ i ] ); Resolvendo o problema das notas! {Processamento dos Dado 1 calculo da media de cada aluno} For i:=1 to 6 do begin Soma:=0; For j:=1 to 8 do {somar as notas do aluno i} Soma:=Soma + notas[i,j] Media[i]:=Soma/8; end; {Média das médias} soma:=0; For i:=1 to 6 do soma:=soma+media[i]; {Saída de Resultados} For i:=1 to 6 do Writeln( A media do aluno ',i,' - ', nomes[i], ': ',Media[i]); writeln( A media da turma e : ',soma/6); End.

29 Matrizes Aplicações 2 Soma de duas matrizes: Dadas duas matrizes A e B, determinar a soma de A e B. A soma de duas matrizes é bastante simples, apenas deve-se somar os elementos correspondentes de cada matriz e o resultado pode ser armazenado em uma outra matriz.

30 Matrizes Aplicações 2 Exemplo de soma de duas matrizes A e B de dimensões 3x3: A B C =

31 Matrizes Aplicações 2 Solução: Para cada linha i e coluna j o elemento da matriz resultante será calculado como: C[i,j] A[i,j] + B[i,j]; Logo, deve-se elaborar um programa que: Leia as dimensões das matrizes Leia as matrizes Calcule a matriz soma conforme a expressão acima. Exiba o resultado

32 Matrizes Aplicações 2 A primeira entrada são as dimensões da matriz. Para poder somar duas matrizes, elas devem ter as mesmas dimensões.

33 Matrizes Aplicações 2 Os elementos de cada linha devem ser digitados deixando um espaço, como mostra o seguinte exemplo: Exemplo de entrada: digite a dimensão das matrizes: 3 3 digite os elementos da matriz A: digite os elementos da matriz B:

34 Matrizes Aplicações 2 Program soma_matrizes; Var A,B,C: array[1..100,1..100] of integer; i,j: integer; M,N: integer; Begin Writeln('digite as dimensoes das matrizes:'); Readln(M,N); Writeln('digite os elementos da matriz A:'); For i:=1 to M do begin For j:=1 to N do Read(A[i,j]); Readln; end; Writeln('digite os elementos da matriz B:'); For i:=1 to M do begin For j:=1 to N do Read(B[i,j]); Readln; end; {calcular a soma de A + B} For i:=1 to M do For j:=1 to N do C[i,j]:=A[i,j]+B[i,j]; {imprimir o resultado} Writeln('O resultado da soma de A+B:'); For i:=1 to M do begin For j:=1 to N do Write(C[i,j],' '); writeln; { quebra de linha } end; end.

35 Matrizes Aplicações 3 Produto matricial Matematicamente, o produto de duas matrizes é definido somente quando o número de colunas da primeira matriz é igual ao número de linhas da segunda matriz. Dessa forma, se A é uma matriz mxn e B é uma matriz nxp, então seu produto é uma matriz mxp definida como AB (ou por A B).

36 Matrizes Aplicações 3 Produto matricial O produto é dado por: n (AB) i,j = a i,r b rj = a i,1 b 1,j + a i,2 b 2,j + a i,3 b 3,j a i,n b n,j r=1

37 Matrizes Aplicações 3 Produto matricial Na figura abaixo é ilustrado como calcular o elemento (1,2) e o elemento (3,3) de AB se A é uma matriz 4 2, e B é uma matriz (AB) 1,2 = a 1,r b r,2 = a 1,1 b 1,2 + a 1,2 b 2,2 r=1 2 (AB) 3,3 = a 3,r b r,3 = a 3,1 b 1,3 + a 3,2 b 2,3 r=1

38 Referências BORLAND. Turbo Pascal, versão 7.0. [S.L.] : Borland International, Inc.,1992. DEITEL, P. J.; DEITEL, H.M.; Java: How to program, 9th ed, Ed. Prentice-Hall, ISBN: FARRER, H.; BECKER, C. G.; FARIA, E. C.; MATOS, H. F.; et al. Algoritmos estruturados. 3ed, Ed. LTC, ISBN: FARRER, H.; BECKER, C. G.; FARIA, E. C.; MATOS, H. F.; et al. Pascal estruturado. 3ed, Ed. LTC, ISBN: GUIMARÃES, A. M.; LAGES, N. A. C.; Algoritmos e estruturas de dados. 1ed, Ed. LTC, ISBN: GRIFFITHS,D., BARRY,P., Head First Programming A learner's guide to programming using the Python language, O Reilly, 2009, 406p. Velloso, F. C.; Informática: Conceitos Básicos. 7ed, Ed. Campus, ISBN:

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