Canguru Matemático sem Fronteiras 2012

Transcrição

1 Canguru Matemático sem Fronteiras 0 Destinatários: alunos do. o ano de escolaridade Nome: Turma: Duração: h 0min Não podes usar calculadora. Em cada questão deves assinalar a resposta correta. As questões estão agrupadas em três níveis: Problemas de pontos, Problemas de pontos e Problemas de pontos. Inicialmente tens 0 pontos. Por cada questão correta ganhas tantos pontos quantos os do nível da questão, no entanto, por cada questão errada és penalizado em / dos pontos correspondentes a essa questão. Não és penalizado se não responderes a uma questão, mas infelizmente também não adicionas pontos. Problemas de pontos. O nível da água numa cidade portuária subiu e desceu em determinado dia de acordo com o gráfico na figura. Nesse dia, quantas horas esteve o nível da água acima dos 0 cm? Nível da água (cm) Tempo (horas) (A) (B) (C) (D) (E). O número é igual a (A) (B) (C) (D) (E)

2 Canguru Matema tico sem Fronteiras 0. Numa lista de cinco nu meros, o primeiro nu mero e e o u ltimo nu mero e. O produto dos primeiros tre s nu meros e 0, o produto dos tre s nu meros do meio e 0 e o produto dos u ltimos tre s nu meros e 0. Qual e o nu mero que esta no meio da lista? (A) (B) (C) (D) (E) 0. Num relo gio, os ponteiros das horas, minutos e segundos te m tamanhos diferentes, mas na o sabemos qual e qual. Sabemos que o relo gio funciona bem e que a s h min 0s, os ponteiros estavam na posic a o indicada na figura. 0 Em que posic a o estara o os ponteiros do relo gio quando forem h 0min? 0 (A) (B) (C) (D) (E) D0. A tira retangular de papel [ABCD] de dimenso es cm cm, representada na figura, e dobrada ao longo da reta M N de modo a que os ve rtices A e C fiquem sobrepostos. Qual e a a rea do quadrila tero [AN M D0 ]? M A B (A) cm (B) 0 cm (C) cm N (D) cm D C (E) cm. A soma dos nove algarismos de um nu mero e. Qual e o produto desses nove algarismos? (A) 0 (B) (C) (D) (E)! (D) (E). O maior nu mero inteiro n que satisfaz n00 < 00 e (A) (B) (C). Qual das seguintes func o es satisfaz a equac a o f =? f () (A) f () = (B) f () = + Alunos do.o ano de escolaridade (C) f () = + (D) f () = (E) f () = +

3 Canguru Matemático sem Fronteiras 0. Um número real satisfaz < <. Qual das afirmações é verdadeira? (A) 0 < < (B) < < (C) > (D) < < (E) < 0. A partir de um pentágono regular, construiu-se a estrela de cinco pontas da figura. Qual é a amplitude do ângulo α? α (A) (B) 0 (C) (D) (E) Problemas de pontos. A minha idade é um número inteiro de dois algarismos, que é uma potência de base, e a idade do meu primo é um número inteiro de dois algarismos, que é uma potência de base. A soma dos algarismos das nossas idades é um número ímpar. Qual é o produto dos algarismos das nossas idades? (A) 0 (B) 00 (C) 0 (D) 0 (E) 00. Uma agência de viagens organizou quatro passeios opcionais em Coimbra, para um grupo de turistas. Cada um dos passeios teve uma taa de participação de 0%. A percentagem dos turistas que participaram em todos os passeios é, no mínimo, igual a: (A) 0% (B) 0% (C) 0% (D) 0% (E) %. O conjunto das soluções da inequação + > é (A) ], 0[ ], + [ (B) ], [ (C) ], [ (D) ], + [ (E) o conjunto dos números reais. Nas escolas da Eslovénia as notas estão repartidas por cinco níveis, de (a melhor) a (a pior). Numa dessas escolas, um teste não correu satisfatoriamente aos alunos da turma do. o ano. A média das notas dos alunos foi. Os resultados dos rapazes foram um pouco melhores do que os das raparigas; a média dos resultados dos rapazes foi, enquanto que a média dos resultados das raparigas foi,. Qual das seguintes afirmações acerca da turma está correta? (A) O número de rapazes é o dobro do número de raparigas (B) O número de rapazes é o quádruplo do número de raparigas (C) O número de raparigas é o dobro do número de rapazes (D) O número de raparigas é o quádruplo do número de rapazes (E) O número de raparigas é igual ao número de rapazes Alunos do. o ano de escolaridade

4 Canguru Matemático sem Fronteiras 0. A imagem mostra o plano de um canteiro de roseiras. Nos dois quadrados geometricamente iguais crescem rosas brancas e no terceiro quadrado crescem rosas vermelhas. No triângulo retângulo crescem rosas amarelas. Sabendo que o canteiro está inscrito num quadrado de lado m, qual é a área do canteiro? m m (A) m (B) 0 m (C) m (D) 0 m (E) m. Num cinema, foram vendidos todos os bilhetes para as primeiras filas. Os lugares destas filas estão numerados com números naturais consecutivos, começando com o número. Por engano, foram vendidos dois bilhetes para um mesmo lugar numa destas filas. A soma dos números dos lugares dos bilhetes vendidos para estas filas é igual a. Qual é o número do lugar para o qual foram vendidos os dois bilhetes? (A) (B) (C) (D) (E). É dado um triângulo retângulo escaleno cujos lados têm medidas de comprimento a, b e c, como indicado na figura. Qual é o raio r do semicírculo inscrito no triângulo representado na figura? (A) a(c a) b (B) ab a + b + c (C) ab b + c (D) a ab a + b + c r r r (E) c b ab a + c. Um quadrado [ABCD] tem lados com medida de comprimento igual a. Os pontos médios dos lados [AB] e [AD] são E e F, respetivamente. Designamos por G um ponto de [CF ] tal que CG = GF. A medida da área do triângulo [BGE] é: (A) 0 (B) (C) (D). Seja a > b. Se o retângulo na figura for rodado em torno do eio das abcissas obtém-se um sólido E com volume Vol(E ). Se o retângulo for rodado em torno do eio das ordenadas obtém-se um sólido E y com volume Vol(E y ). Qual das seguintes afirmações é verdadeira? (E) y a b (A) E = E y e Vol(E ) = Vol(E y ) (B) E = E y, mas Vol(E ) Vol(E y ) (C) E E y e Vol(E ) > Vol(E y ) (D) E E y e Vol(E ) < Vol(E y ) (E) E E y, mas Vol(E ) = Vol(E y ) Alunos do. o ano de escolaridade

5 Canguru Matemático sem Fronteiras 0 0. Um Canguru quer construir uma fila com dados idênticos (num dado a soma das pintas em lados opostos é ). Ele pode colar duas faces que tenham o mesmo número de pintas e quer que o número total de pintas nas faces eteriores dos dados na fila seja 0. De quantos dados vai precisar o Canguru? (A) 0 (B) (C) (D) (E) É impossível obter 0 pintas Problemas de pontos. Qual é a menor amplitude possível de um ângulo de um triângulo isósceles [ABC] que tem uma mediana que divide o triângulo em dois triângulos isósceles? (A) (B), (C) 0 (D) (E). O relógio na figura tem forma retangular e cada ponteiro move-se a uma velocidade constante. A distância entre os números e 0 no mostrador é de cm e a distância entre e é de cm. Qual é o valor de? 0 cm (A) (B) (C) (D) + (E). Considere duas operações que podem ser eecutadas numa fração: (i) aumentar o numerador em unidades; (ii) aumentar o denominador em unidades. Começando com a fração e, após ter realizado um total de n operações deste tipo, obtemos uma fração de igual valor. Qual é o menor valor possível para n? (A) (B) (C) 0 (D) (E) Não eiste n nestas condições cm. Um triângulo equilátero roda sem deslizar em torno de um quadrado com lado de comprimento (ver figura). Qual é o comprimento do caminho que o ponto marcado percorre até que o triângulo e o ponto voltem às suas posições iniciais? (A) π (B) π (C) π (D) π (E) π Alunos do. o ano de escolaridade

6 Canguru Matemático sem Fronteiras 0. Escreveram-se todos os números abcd com algarismos a, b, c, d todos diferentes e pertencentes ao conjunto {,,, }. Quantos destes números têm a propriedade de o resultado da operação ser divisível por? a b + b c + c d + d a (A) (B) (C) (D) (E). Depois de uma aula de Matemática, ficou o seguinte no quadro: o gráfico da função y = e 0 retas paralelas à reta y =, cada uma das quais interseta a parábola em dois pontos. A soma das abcissas dos pontos de interseção das retas e da parábola é: (A) 0 (B) (C) 00 (D) 0 (E) impossível determinar. Três vértices de um cubo (não todos na mesma face) são P (,, ), Q(,, ) e R(,, ). Que ponto é o centro do cubo? (A) A(,, ) (B) B(,, ) (C) C(,, ) (D) D(,, ) (E) E(,, ). Na sequência,, 0,,,..., os dois primeiros termos, a e a, são iguais a. O terceiro termo é a diferença dos dois termos precedentes, isto é, a = a a. O quarto termo é a soma dos dois termos precedentes, isto é, a = a + a. Os restantes termos são obtidos de forma análoga: a = a a, a = a + a, e assim sucessivamente. Qual é a soma dos primeiros 00 termos desta sequência? (A) 0 (B) (C) (D) 00 (E). A Joana escolheu dois números a e b do conjunto {,,,..., }. O produto a b é igual à soma dos restantes números. Qual é o valor de a b? (A) 0 (B) (C) (D) (E) 0. Cada gato no País das Maravilhas ou é sábio ou é louco. Se um gato sábio estiver numa sala com gatos loucos passa a louco. Se um gato louco estiver numa sala com gatos sábios, é denunciado por eles como louco. Três gatos entraram numa sala vazia. Alguns instantes após a entrada do. o gato sai o. o gato. Alguns instantes após a entrada do. o gato sai o. o gato, e assim sucessivamente. Depois do 0. o gato ter entrado, pela primeira vez um dos gatos foi denunciado como louco e não entrou mais gato algum. Nesse momento, dos 0 gatos, quais dos seguintes gatos podem ser ambos loucos? (A) O. o e o 0. o (C) O. o e o 00. o (E) O. o e o 0. o (B) O. o e o 00. o (D) O. o e o último Alunos do. o ano de escolaridade