[T ] Subespaços Invariantes

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1 Subespaços Inarantes Sea um R-espaço etoral n dmensonal e T : um operador lnear O subespaço etoral S é denomnado subespaço etoral narante pelo operador T ou subespaço etoral T-narante quando T ( S S, sendo T ( S { T ( s s S} Exemplo: Sea T : R R tal que T ( x, y (x,8x y O subespaço S {( x,x, x R} é T-narante, á que T (, (,6 S Já o subespaço S {( x,0, x R} não é T-narante, pos T (,0 (,8 S Teo90 Consdere um R-espaço etoral n dmensonal e T : um operador lnear Então: São subespaços T-narantes: 0 },, KerT e ImT { Sea λ um autoalor do operador T Então o autoespaço λ é T-narante dem: Se T ( λ então T (u, para algum u λ Se u então λu Sea λ Assm, λu Então, T ( λ u λt ( u λ( λu λ Logo, λ S tal que dm S O subespaço S é T-narante se e somente se exste um escalar k R tal que T ( s ks, para todo s S Consdere o conunto {, u} lnearmente ndependente [, u é T-narante se e somente se [, u e [, u Exemplos: Consdere os operadores: 4 [T 4, [T 0 0 e [T S T(S T (S T (S T-n T -n T - KerT KerT {(0,0,0 } {( 0,0,0 } { } Im T ImT R T [(,,0 Im (,,0,(0,0, R,,0 n ( 0,0,0 {( 0,0,0 } R R (,, {( 0,0,0 } (,,0,(0,0, Im T,4,0,(0,, (,, (,, [(,, ( 0,0, [( 0,0, (,0,0 [(,,0,, ( 0,0,0 Ker [( [ T [ [(,,0,(0,0, [ T [(,,0,(,0, [(,,0,(,0, [( [ 8 T [(,, [(,, [ T [(0,0, [(,, [ T [(,0,0 [(,, [ 0T [(,,0 [(,,0 [( { } T [(0,0, [(,, [( 0,0, [ 0,0, [(,,0 [(,, [(,, [,,0 T ( ( 6

2 ESPAÇOS ETORIAS COM PRODUTO INTERNO E OPERADORES LINEARES Consdere um R-espaço etoral n dmensonal mundo de um produto nterno e operador lnear T : um Operador Adunto Teo9 Sea f : R um funconal lnear Então, para todo exste um únco etor u tal que f ( u dem: (exst Seam {,, n } uma base ortonormal de e u f ( + + f ( n n Consdere {,, n } qualquer, u, f ( + + f ( n n f (, + + f (, + + f ( n, n f ( Logo, para todo exste um únco etor u tal que f ( u (unc (RAA Supor que exsta w, w u tal que f ( w, para todo Assm,, u w Então,, u w 0 Em partcular, ale a gualdade para u w Assm, u w, u w 0 sse u w 0 sse u w Contradção Logo, u é únco Teo9 Exste um únco operador lnear T : tal que, w T ( w, para quasquer, w dem: Sea w qualquer e o funconal lnear f : R tal que f (, w Pelo Teo9, exste um únco etor u tal que f ( u Assm,, w u Consdere T : tal que T ( w u Então,, w T ( w T é um operador lnear, pos: (po+, T ( + T (, + T (, + T (,, +, T ( 7

3 Então, T ( + + T (, para quasquer, (po, T ( k T (, k k T (, k,, k Então, T ( k k, para quasquer k R, A uncdade de T é uma decorrênca da uncdade de u O operador T é denomnado operador adunto do operador T Exemplo: Sea T : R R tal que T ( x, y (x,8x y O operador : R R T tal que T ( x, y (x + 8y, y é o operador adunto de T Teo9 Sea α uma base ortonormal de Então [ T t α [ T α Teo94 Seam T, T e T operadores lneares em Então: ( T T + T + T ( k T k T, para todo k R ( T o T T o T ( T T KerT (Im T dem: ( ( T + T (, u +, u, u +, u +, T ( u, + T ( u ( T + T ( u Teo95 Sea T : um operador lnear e S um subespaço T-narante Então S é T -narante dem: Seam S e w S Tem-se,, w T ( w Como S é T-narante, T ( w S Assm,, T ( w 0 Então,, w 0 Isto é, S Logo, S é T -narante 8

4 Operadores Auto-Aduntos O operador lnear T : é denomnado operador auto-adunto quando, u, para quasquer, u, sto é, T T Exemplos: T : R R tal que T ( x, y (x + 4y,4x y T : R R tal que T( x, y, z ( x y, x + y z, y Teo96 Seam T e T operadores lneares auto-aduntos e k R Então T + e k T também são operadores auto-aduntos ( T ( dem: ( T + T T + T T + T, pelo Teo95 e por hpótese ( k T k T k T, mesmas ustfcatas Teo97 T : um operador auto-adunto se e somente [T α é uma matrz smétrca, qualquer que sea a base ortomormal α de Teo98 Sea T : um operador auto-adunto e,,r autoetores assocados a autoalores dstntos λ,, λ r de T Então é ortogonal a,,, r, dem: Como T (,, T (, T ( Tem-se, λ,, λ Assm, λ,, λ 0 λ, λ, 0 ( λ λ, 0 Por hpótese, λ λ Logo,, 0 Teo99 Sea T : um operador auto-adunto Então T possu um autoalor real, sto é, possu um autoetor não nulo Teo00 Sea T : um operador auto-adunto e um autoetor assocado ao autoalor λ de T Então os subespaços [ e [ são T-narantes 9

5 Teorema Espectral para Operadores Auto-Aduntos Sea um R-espaço etoral n dmensonal mundo de um produto nterno e T : um operador lnear auto-adunto Então T é dagonalzáel, sto é, exste uma base ortonormal α de autoetores de tal que [T α é uma matrz dagonal dem: (ndução em n Base: dm Exste um autoetor, 0, por Teo0 {} é uma base de é uma base ortonormal de Passo: (HI Supor de ale o teorema para espaços etoras com dmensão n Consdere um autoetor untáro de T, de Teo99, e dm[ Mas, [ é um subespaço T-narante, por Teo0 Então, :[ [ [ T é um operador auto-adunto Pela hpótese de ndução, exste uma base ortonormal δ,,, } de autoetores de tal que [ [ T é uma matrz dagonal δ { n [ Mas, [ [ e dm dm[ + dm[ Logo,,,, n, } é uma base ortonormal de autoetores de { O espectro de um operador lnear é o conunto de seus autoalores 0

6 Operadores Ortogonas O operador lnear T : é denomnado operador ortogonal quando, u, sto é, T T Exemplos: T tal que T( x, y ( y, x : R R T : R R tal que T ( x, y, z (, 6 6 6, x + z y + z x + 6 y + 6 z y + Teo0 Sea T : um operador lnear São equalentes: T é um operador ortogonal T transforma bases ortonormas em bases ortonormas T presera produto nterno, sto é,, u, para quasquer,u T presera norma, sto é,, para todo Teo0 Sea T : um operador ortogonal Então: T presera dstânca Os úncos autoalores possíes para T são ± Autoetores de T são sempre ortogonas Se S é um subespaço etoral T-narante então S é T-narante Operadores Normas O operador lnear T : é denomnado operador normal quando comuta com seu operador adunto, sto é, T o T T o T Teo0 Sea T : um operador normal Então: ( k T também é um operador normal T (, para todo Se λ é um autoalor de T então λ é um autoalor de T e T possuem os mesmos autoetores KerT KerT ImT ImT ( KerT ImT T Se é C-espaço etoral, o operador lnear T : tal que T T hermtano e quando T T, operador untáro é denomnado operador

7 Exercícos Classfque os operadores a T ( x, y (x y, x + 5y b T( x, y, z ( xcosθ ysenθ, xsenθ + ycosθ, z c T ( x, y, z (x + y, x + y + z, y z x y Ache alores para x e y tas que 0 sea ortogonal Dê exemplo de um operador auto-adunto não ortogonal e ce-ersa 4 Dê exemplo de um operador normal que não é nem auto-adunto nem ortogonal 5 Se e são produtos nternos sobre R e T : R R um operador auto-adunto em relação a então T também é auto-adunto em relação a? 6 Sea [ T erfque que T é dagonalzáel sem usar os crtéros de dagonalzação 7 Consdere T : e U : operadores lneares que comutam entre s (C Se λ é um autoalor de T então λ é um subespaço U-narante (C Exste um autoetor comum a T e a U 9 Todo operador auto-adunto é um operador normal 0 Todo operador ortogonal é um operador normal

8 Apêndce E Algumas demonstrações Teo94 KerT (Im T dem: KerT sse 0 sse, u 0, para todo u sse, 0, para todo u sse T ( u, para todo u sse (Im T Teo0 São equalentes: T é um operador ortogonal T transforma bases ortonormas em bases ortonormas T presera produto nterno, sto é,, u, para quasquer,u T presera norma, sto é,, para todo dem: α {, K, n } base ortonormal de T α T (, K, T ( base de, pos T é somorfsmo { } ( n T (, T ( T (, T T (, T ( ( T (, T, T ( T ( ( T ( T (α base ortonormal de α e T (α bases ortonormas de k + K+ k n n e u l + K+ l n n, u k + + k l + K + l K n n, n n, T, ( T ( 0, por hpótese, k l, + K + kln, n + K + knl n, + K + knln n, n kl+ K+ kln 0 + K+ knl0 + K+ knln k l +K+ k n ln kt ( + K + knt ( n e lt ( + K + lnt ( n T, k T ( + K + k T (, l T ( + K + l T ( ( n n n n k l T (, T ( + K + kln T (, T ( n + K + knl T ( n, T ( kl+ K+ kln 0 + K+ knl0 + K+ knln k l +K+ k n ln Assm,, u,, por hpótese + K + k l T (, T ( n n n n,, T (, T (,, 0 T ( I(, 0 ( T o T I(, 0 Mas, ( T o T I ( T o T I ( T o T I, sto é, ( T o T I é OAA Então, ( T o T I 0 ( T o T I T T Analogamente, ( T o T I Logo, T é OO Outros Teoremas:, u 0, para quasquer, u sse T 0, 0, para todo sse T T

9 Se T é OAA e, 0, para todo então T 0 4 Consdere um C-EPI, 0, para todo sse T 0 Contra-exemplo para o caso real: Sea [ Teo0 Se T é OO então: T presera dstânca Os úncos autoalores possíes para T são ± Autoetores de T são sempre ortogonas Se S é um subespaço etoral T-narante então T 0 0 T ( x, y,( x, y ( y, x,( x, y xy + xy 0 Mas, T 0 S é T-narante dem: d (, u u T ( u d(,, por defnção e T0, 0, autoetor assocado ao autoalor λ, λ, λ λ,, por defnção e prop s PI, e,, por T0 λ λ ±, u,, u 0, autoetores assocados a autoalores dstntos λ λ, λ, λ u ±, mu e, u, por T0 ±, m u u, u 0 S e s S, T ( s, s, pos S é T-n e, T ( s s 0, por T0, s 0 T ( S Teo0 Se T é ON então: ( k T é ON T (, para todo Se λ é um autoalor de T então λ é um autoalor de T T e T possuem os mesmos autoetores KerT KerT ImT ImT ( KerT ImT dem: ( kt o ( kt ( ( kt o ( kt ( ( kt[( kt ( ( kt( k kt( k kk( T ( kk( T ( kt ( kt( ( kt ( kt( ( kt [( kt( ( kt o ( kt( (, T ( T (, T ( T KerT T ImT ImT ( KerT (, 0,0 0 KerT 4