Métodos Quantitativos para Ciência da Computação Experimental

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1 Métodos Quantitativos para Ciência da Computação Experimental -Aula #2a- Virgílio A. F. Almeida Março 2008 Departamento de Ciência da Computação Universidade Federal de Minas Gerais

2 Revisão de Probabilidade e Estatística Concentrado em estatística aplicada Estatística apropriada para medições em computação A aula vai focalizar em tópicos que voces já devem ter estudados, mas podem estar esquecidos... A estatítisca é fundamental para trabalhos de medição e monitoramento de sistemas, para evitar interpretações errôneas...

3 Estatística Método Estatístico Estatística Descritiva Estatística Inferencial

4 Estatística Descritiva Envolve Coletar dados Apresentar dados Caracterizar dados Finalidade Descrever dados

5 Estatística Inferencial Envolve Estimativas Teste de hipótese Finalidade Tomar decisões sobre características da população de uma coleta

6 Terminologia Básica Experimento: refere-se a um processo cujo resultado é incerto Espaço Amostral: S = {todos possíveis resultados de um experimento} Se nosso experimento é jogar um dado, então S={1, 2, 3, 4, 5, 6} Ponto da amostra: um resultado (um membro do espaço amostral S) Exemple: uma moeda não viciada, S = {H,T}, onde H and T são resultados Evento: refere-se a um subconjunto de resultados de um espaço amostral E S Se nosso evento é obter número pares, então E = {2, 4, 6}

7 Algebra de Eventos A C B Eventos são coleções de pontos ou áreas em um espaço. A coleção de todos os pontos num espaço inteiro é chamada de U, o conjunto universal.

8 Algebra de Eventos A A Evento A, o complemento do evento A, é a coleção de todos os pontos no conjunto universal que não estão incluidos em A. B A A interseção de dois eventos A e B é a coleção de todos os pontos que estão contidos em ambos A e B, denotados por AB

9 Algebra of Eventos A B A união de dois eventos A e B é a coleção de todos pontos que estão em A ou em B ou em ambos.

10 Mutuamente Exclusivos e Coletivamente Exaustivo A B Conjuntos de eventos são mutuamente exclusivos se todos conjuntos dos eventos não tem interseção A C B Conjuntos de eventos coletivamente exaustivos somam U A + B + C = U

11 Espaços Amostrais Espaço amostral: um conjunto mutuamente exclusivo e coletivamente exaustivo listando todos possíveis resultados de um experimento ou modelo. Espaço Amostral Evento moeda. H T n n Heads : Tails na n-ésima jogada de uma H 1 H 1 H 2 H1H 2 é o evento para duas jogadas H 1 T 2 H 1 é o evento uma jogada T 1 H 2 T 1 T 1 T 2

12 Probabilidade: definição Para um espaço amostral Ω, a medida P de probabilidade é uma função definida para todos subconjuntos de Ω tal que: 1. P[Ω] = 1 2. Para qualquer evento A Ω, 0 P[A] 1 3. Para quaisquer eventos A, B Ω, onde A B = φ, então P[A B] = P(A) + P(B) Mostrar: P[ A] = 1 P[ A] _

13 Probabilidade condicional:visão intuitiva A probabilidade condicional representa as mudanças na probabilidade quando se restringe a atenção a um subconjunto de eventos. Por exemplo, o espaço amostral é o conjunto de dias das aulas de Métodos Quantitativos. Assuma que a probabilidade que eu dê um teste surpresa seja 0.3 e que a probabilidade que o dia de aula seja um dia de calor é 0.5 Agora, eu posso nunca dar um teste (arguição oral) num dia quente ou pode ser mais provável que eu peçao teste num dia quente ou pode ser que o fato do dia ser quente não tenha nenhuma influência no fato de eu aplicar oteste. Essas questões podem ser expressas precisamente com probabilidade condicional.

14 Probabilidade condicional: visão intuitiva Seja A o evento de um dia com um teste (arguição oral) Seja B o evento de um dia quente Como definir P[A B]? Que deve ser o número de vezes que o evento A ocorre dado que B ocorre, i.e., a proporção de dias quentes no qual eu aplico o teste P[ A B] P[ A B ] = onde P[ B] > P( B) Considere que voce observou que em 24 dias de aula, eu apliquei 6 testes em dias quentes e 3 em dias frios. Além disso, 18 dias de aula são dias quentes. Pergunta-se: 1. Quais são os valores de P[ A B]? 2. Qual a probabilidade de ter um teste num dia qualquer? e _ 0 P[ A B]?

15 Probabilidade Condicional P[B] - fração de dias quentes - P[B] - fração de dias frios P[A] - fração de dias que tem teste P[A B] fração de dias quentes no qual eu aplico teste P[B]=18/24=0.75 P[A B]=6/24=0.25 P[A B]=0.25/0.75= P[A B] = 3/24 / 6/24 = 0.5 P[A] = 9/24 = 3/8 = 0.375

16 Probabilidade condicional: visão intuitiva A B P ( A B) = P( AB) P( B)

17 Probabilidades Técnicas de contagem Permutações Combinações Probabilidade Expectância matemática

18 Probabilidade Se existem n igualmente prováveis resultados (eventos) e s são favoráveis ( successo ) então a probabilidade de um successo é : s n Exemplo: a probabilidade de obter uma cara para uma jogada da moeda é: n = 2, s = 1 então P (``cara ) = 1/2 P (``coroa ) = 1/2 Obs: P ( cara ) + P( coroa ) = 1/2 + 1/2 = 1

19 Exemplos Determine a probabilidade de 2 cartas retiradas de um baralho de 52 cartas sejam ambas pretas.

20 Exemplos Determine a probabilidade de 2 cartas retiradas de um baralho de 52 cartas serão ambas pretas. ( 52) O número total de possibilidades : n = = = Número total de possibilidades favoráveis ( successos ): ( 26) s = 2 Probabilidade é: = = P = s/n = 325 / 1326 = 0.245

21 Exercícios em Aula 1. Se número decimal de três digitos é escolhido aleatoriamente, determine a probabilidade que exatamente k dígitos são 5, para 0 k 3 2. Considere uma caixa com 15 chips VLSI, sendo 5 deles defituosos. Se uma amostra aleatória de 3 chips é retirada da caixa, quala probabilidade de todos os três terem defeitos? 3. Considere que você está investigando um caso de phishing envolvendo 5 arquivos downloaded no ano passado. Preccisamos saber qual a probabilidade que pelos menos dois desses arquivos foram baixados no mesmo dia, assumindo que o ano tem 365 dias.

22 Exercícios em Aula 4. (*) Uma série de n jobs chega a um sistema multiprocessador com n processadores. Assuma que cada um dos n n possiveis vetores de atribuição (i.e., processador para job 1,... Processador para job n) são igualmente provaveis. Encontre a probabilidade que exatamente um processaodr não será assignado a um job. Para efeitos de exemplo, considere n = 3 e calcule, mas mostre a forma geral para n.

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