Teoria de Conjuntos Do vazio ao Axioma da Escolha
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- Victorio Salazar Brandt
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1 Teoria de Conjuntos Do vazio ao Axioma da Escolha Tiago Macedo I Workshop de Álgebra - UFG - CAC
2 Teoria ingênua de conjuntos
3 Teoria ingênua de conjuntos Um conjunto é uma coleção bem definida de objetos.
4 Teoria ingênua de conjuntos Um conjunto é uma coleção bem definida de objetos. Exemplos {maçã,, 17, Lula}, {pessoas},...
5 Teoria ingênua de conjuntos Um conjunto é uma coleção bem definida de objetos. Exemplos {maçã,, 17, Lula}, {pessoas},... Um objeto x de uma coleção C é chamado de elemento do conjunto, e denotado x C.
6 Teoria ingênua de conjuntos Um conjunto é uma coleção bem definida de objetos. Exemplos {maçã,, 17, Lula}, {pessoas},... Um objeto x de uma coleção C é chamado de elemento do conjunto, e denotado x C. Exemplo O conjunto vazio não tem elementos.
7 Teoria ingênua de conjuntos Dois conjuntos X, Y são iguais se eles têm os mesmos elementos, ou seja, X = Y se: para todo x X, então x Y e para todo y Y, então y X.
8 Teoria ingênua de conjuntos Dois conjuntos X, Y são iguais se eles têm os mesmos elementos, ou seja, X = Y se: para todo x X, então x Y e para todo y Y, então y X. Exemplos N = {0, 1, 2,...} = {0, 1, 1, 2, 2, 2,...}.
9 Teoria ingênua de conjuntos Dois conjuntos X, Y são iguais se eles têm os mesmos elementos, ou seja, X = Y se: para todo x X, então x Y e para todo y Y, então y X. Exemplos N = {0, 1, 2,...} = {0, 1, 1, 2, 2, 2,...}. Mas {banana, maçã} {, }.
10 Teoria ingênua de conjuntos Dois conjuntos X, Y são iguais se eles têm os mesmos elementos, ou seja, X = Y se: para todo x X, então x Y e para todo y Y, então y X. Exemplos N = {0, 1, 2,...} = {0, 1, 1, 2, 2, 2,...}. Mas {banana, maçã} {, }. Em particular, é o único conjunto que não contém nenhum elemento.
11 Teoria ingênua de conjuntos Dados dois conjuntos A, B, dizemos que A B se todo elemento de A é um elemento de B.
12 Teoria ingênua de conjuntos Dados dois conjuntos A, B, dizemos que A B se todo elemento de A é um elemento de B. Exemplos {0} N Z R C.
13 Criando novos conjuntos: união Dados dois conjuntos X, Y, a sua união X Y é definida como o conjunto formado pelos elementos z tais que z X ou z Y.
14 Criando novos conjuntos: união Dados dois conjuntos X, Y, a sua união X Y é definida como o conjunto formado pelos elementos z tais que z X ou z Y. Exemplos {0} {1} = {0, 1}.
15 Criando novos conjuntos: união Dados dois conjuntos X, Y, a sua união X Y é definida como o conjunto formado pelos elementos z tais que z X ou z Y. Exemplos {0} {1} = {0, 1}. {1} = {1}.
16 Criando novos conjuntos: união Dados dois conjuntos X, Y, a sua união X Y é definida como o conjunto formado pelos elementos z tais que z X ou z Y. Exemplos {0} {1} = {0, 1}. {1} = {1}. De fato A = A para todo conjunto A.
17 Criando novos conjuntos: união Dados dois conjuntos X, Y, a sua união X Y é definida como o conjunto formado pelos elementos z tais que z X ou z Y. Exemplos {0} {1} = {0, 1}. {1} = {1}. De fato A = A para todo conjunto A. N Z = Z.
18 Criando novos conjuntos: união Dados dois conjuntos X, Y, a sua união X Y é definida como o conjunto formado pelos elementos z tais que z X ou z Y. Exemplos {0} {1} = {0, 1}. {1} = {1}. De fato A = A para todo conjunto A. N Z = Z. Observe que: X X Y e Y X Y.
19 Criando novos conjuntos: intersecção Dados dois conjuntos C, D, a sua intersecção C D é definida como o conjunto formado pelos elementos u tais que u C e u D.
20 Criando novos conjuntos: intersecção Dados dois conjuntos C, D, a sua intersecção C D é definida como o conjunto formado pelos elementos u tais que u C e u D. Exemplos {0} {1} =.
21 Criando novos conjuntos: intersecção Dados dois conjuntos C, D, a sua intersecção C D é definida como o conjunto formado pelos elementos u tais que u C e u D. Exemplos {0} {1} =. {1} =.
22 Criando novos conjuntos: intersecção Dados dois conjuntos C, D, a sua intersecção C D é definida como o conjunto formado pelos elementos u tais que u C e u D. Exemplos {0} {1} =. {1} =. De fato B = para todo conjunto B.
23 Criando novos conjuntos: intersecção Dados dois conjuntos C, D, a sua intersecção C D é definida como o conjunto formado pelos elementos u tais que u C e u D. Exemplos {0} {1} =. {1} =. De fato B = para todo conjunto B. N Z = N.
24 Criando novos conjuntos: intersecção Dados dois conjuntos C, D, a sua intersecção C D é definida como o conjunto formado pelos elementos u tais que u C e u D. Exemplos {0} {1} =. {1} =. De fato B = para todo conjunto B. N Z = N. Observe que: C D C, C D D e C D C D.
25 Criando novos conjuntos: potência Dado um conjunto Z, a sua potência é o conjunto P(Z) formado por subconjuntos de Z.
26 Criando novos conjuntos: potência Dado um conjunto Z, a sua potência é o conjunto P(Z) formado por subconjuntos de Z. Exemplos P( ) = { }.
27 Criando novos conjuntos: potência Dado um conjunto Z, a sua potência é o conjunto P(Z) formado por subconjuntos de Z. Exemplos P( ) = { }. #P({1, 2,..., n}) = 2 n.
28 Criando novos conjuntos: potência Dado um conjunto Z, a sua potência é o conjunto P(Z) formado por subconjuntos de Z. Exemplos P( ) = { }. #P({1, 2,..., n}) = 2 n. Em particular, P({ }) = {, { }}.
29 Criando novos conjuntos: potência Dado um conjunto Z, a sua potência é o conjunto P(Z) formado por subconjuntos de Z. Exemplos P( ) = { }. #P({1, 2,..., n}) = 2 n. Em particular, P({ }) = {, { }}. #P(N) = #R.
30 Criando novos conjuntos: diferença Dados dois conjuntos V, W, a diferença V \ W é o subconjunto de V formado pelos elementos que não são elementos de W.
31 Criando novos conjuntos: diferença Dados dois conjuntos V, W, a diferença V \ W é o subconjunto de V formado pelos elementos que não são elementos de W. Exemplo R \ Z 1/2, 7/5, 2, π, e.
32 Criando novos conjuntos: diferença Dados dois conjuntos V, W, a diferença V \ W é o subconjunto de V formado pelos elementos que não são elementos de W. Exemplo R \ Z 1/2, 7/5, 2, π, e. Mas R \ Z 0, 1, 2,..., 1, 2, 3,...
33 Criando novos conjuntos: produto cartesiano Dados dois conjuntos R, S, o produto cartesiano R S é o conjunto formado pelos elementos da forma (r, s) com r R e s S.
34 Criando novos conjuntos: produto cartesiano Dados dois conjuntos R, S, o produto cartesiano R S é o conjunto formado pelos elementos da forma (r, s) com r R e s S. Exemplos R 2, R 3,...
35 Criando novos conjuntos: funções Definições Dados dois conjuntos A, B, uma função f : A B é uma associação de um único elemento b B a cada elemento a A.
36 Criando novos conjuntos: funções Definições Dados dois conjuntos A, B, uma função f : A B é uma associação de um único elemento b B a cada elemento a A. Se β B estiver associado a α A via f, denotamos f (α) = β.
37 Criando novos conjuntos: funções Definições Dados dois conjuntos A, B, uma função f : A B é uma associação de um único elemento b B a cada elemento a A. Se β B estiver associado a α A via f, denotamos f (α) = β. O conjunto A é chamado de domínio de f.
38 Criando novos conjuntos: funções Definições Dados dois conjuntos A, B, uma função f : A B é uma associação de um único elemento b B a cada elemento a A. Se β B estiver associado a α A via f, denotamos f (α) = β. O conjunto A é chamado de domínio de f. O conjunto B é chamado de contra-domínio de f.
39 Criando novos conjuntos: funções Definições Dados dois conjuntos A, B, uma função f : A B é uma associação de um único elemento b B a cada elemento a A. Se β B estiver associado a α A via f, denotamos f (α) = β. O conjunto A é chamado de domínio de f. O conjunto B é chamado de contra-domínio de f. O subconjunto de B formado pelos elementos da forma f (z) com z A é chamado de imagem de f.
40 Criando novos conjuntos: funções Definições Dados dois conjuntos A, B, uma função f : A B é uma associação de um único elemento b B a cada elemento a A. Se β B estiver associado a α A via f, denotamos f (α) = β. O conjunto A é chamado de domínio de f. O conjunto B é chamado de contra-domínio de f. O subconjunto de B formado pelos elementos da forma f (z) com z A é chamado de imagem de f. Exemplo η : {pessoas} {palavras}, η(p) = nome de p.
41 Criando novos conjuntos: especificações Podemos formar conjuntos cujos elementos satisfazem certa propriedade.
42 Criando novos conjuntos: especificações Podemos formar conjuntos cujos elementos satisfazem certa propriedade. Exemplos {pessoas que estão nessa sala agora}.
43 Criando novos conjuntos: especificações Podemos formar conjuntos cujos elementos satisfazem certa propriedade. Exemplos {pessoas que estão nessa sala agora}. {(a, b) R R b = a 2 }.
44 Criando novos conjuntos: especificações Podemos formar conjuntos cujos elementos satisfazem certa propriedade. Exemplos {pessoas que estão nessa sala agora}. {(a, b) R R b = a 2 }. P(A) = {B: conjunto B A}.
45 Criando novos conjuntos: especificações Podemos formar conjuntos cujos elementos satisfazem certa propriedade. Exemplos {pessoas que estão nessa sala agora}. {(a, b) R R b = a 2 }. P(A) = {B: conjunto B A}. {homens que não se barbeiam}.
46 Criando novos conjuntos: especificações Podemos formar conjuntos cujos elementos satisfazem certa propriedade. Exemplos {pessoas que estão nessa sala agora}. {(a, b) R R b = a 2 }. P(A) = {B: conjunto B A}. {homens que não se barbeiam}. {C: conjunto C C}.
47 Criando novos conjuntos: especificações Podemos formar conjuntos cujos elementos satisfazem certa propriedade. Exemplos {pessoas que estão nessa sala agora}. {(a, b) R R b = a 2 }. P(A) = {B: conjunto B A}. {homens que não se barbeiam}. {C: conjunto C C}. Pela definição de conjunto, poderíamos ter D = {D}.
48 Paradoxo de Russell Considere o conjunto B = {C: conjunto C C}.
49 Paradoxo de Russell Considere o conjunto B = {C: conjunto C C}. B B?
50 Paradoxo de Russell Considere o conjunto B = {C: conjunto C C}. B B? Se SIM, então B é um conjunto tal que B B.
51 Paradoxo de Russell Considere o conjunto B = {C: conjunto C C}. B B? Se SIM, então B é um conjunto tal que B B. Se NÃO, então B é um conjunto tal que B B.
52 Teoria de Zermelo-Fraenkel: axioma 01 Axioma do conjunto vazio Existe um conjunto vazio, que não contém nenhum elemento.
53 Teoria de Zermelo-Fraenkel: axioma 02 Axioma da extensão Dois conjuntos que contém os mesmos elementos são iguais.
54 Teoria de Zermelo-Fraenkel: axioma 03 Axioma do pareamento Se A, B forem conjuntos, então {A, B} é um conjunto.
55 Teoria de Zermelo-Fraenkel: axioma 03 Axioma do pareamento Se A, B forem conjuntos, então {A, B} é um conjunto. Exemplos.
56 Teoria de Zermelo-Fraenkel: axioma 03 Axioma do pareamento Se A, B forem conjuntos, então {A, B} é um conjunto. Exemplos. {, } = { }.
57 Teoria de Zermelo-Fraenkel: axioma 03 Axioma do pareamento Se A, B forem conjuntos, então {A, B} é um conjunto. Exemplos. {, } = { }. {, { } }.
58 Teoria de Zermelo-Fraenkel: axioma 03 Axioma do pareamento Se A, B forem conjuntos, então {A, B} é um conjunto. Exemplos. {, } = { }. {, { } }. {, { }, {, { }} }.
59 Teoria de Zermelo-Fraenkel: axioma 04 Axioma da união Se C i forem conjuntos, então i C i é um conjunto.
60 Teoria de Zermelo-Fraenkel: axioma 05 Axioma da potência Se V for um conjunto, então P(V ) é um conjunto.
61 Teoria de Zermelo-Fraenkel: axioma 06 Axioma da especificação Se W for um conjunto e p for um predicado (uma certa propriedade ), então {w W p(w)} é um subconjunto de W.
62 Teoria de Zermelo-Fraenkel: axioma 07 Axioma do infinito Exite um conjunto ω cujos elementos são conjuntos de cada cardinalidade finita.
63 Teoria de Zermelo-Fraenkel: axioma 07 Axioma do infinito Exite um conjunto ω cujos elementos são conjuntos de cada cardinalidade finita. Idea: ω = N.
64 Teoria de Zermelo-Fraenkel: axioma 08 Axioma da regularidade Não existem cadeias decrescentes infinitas X X 1 X Em particular, Y = {Y } não é um conjunto, e o conjunto de todos os conjuntos não é um conjunto.
65 Teoria de Zermelo-Fraenkel: axioma 09 Axioma da substituição Dada uma função f : U W, a imagem de f é um conjunto.
66 Teoria de Zermelo-Fraenkel: axioma 10 Axioma da escolha Se Z for um conjunto, cujos elementos (conjuntos) têm ao menos um elemento, então existe um conjunto formado por exatamente um elemento de cada elemento de Z.
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