PLANEJAMENTO DE REDES MESH SEM FIO

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1 PLANEJAMENTO DE REDES MESH SEM FIO Gleicy Aparecida Cabral, Geraldo Robson Mateus Departamento de Ciência da Computação Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG) Av. Antônio Carlos, 6627 Pampulha Belo Horizonte MG Brasil gleicy, RESUMO Redes mesh sem fio (Wireless Mesh Networks) são redes dinamicamente auto-organizadas e auto-configuráveis cujos nós automaticamente estabelecem e mantêm a conectividade entre eles. As redes mesh sem fio possuem dois tipos de nós: roteadores e clientes. Os roteadores têm pouca mobilidade e formam a espinha dorsal (backbone) das redes mesh. A comunicação em uma rede mesh é multi-salto (multi-hop), e as funcionalidades de gateway/bridge dos roteadores possibilitam a integração de diferentes redes, tais como, Internet, Wi-Fi, celular etc. Neste trabalho, é proposto um modelo matemático para o problema de planejamento de redes mesh sem fio e são apresentados os resultados dos experimentos realizados para avaliação do modelo. PALAVRAS-CHAVE: redes mesh sem fio, modelo matemático, solução ótima. ÁREA PRINCIPAL: redes de computadores ABSTRACT Wireless Mesh Networks are dynamically self-organized and self-configured, with the nodes in the network automatically establishing and maintaining mesh connectivity among themselves. Wireless Mesh Networks consist of two types of nodes: routers and clients. Routers have minimal mobility and form the backbone of mesh networks. Multi-hop communication is used in Wireless Mesh Network and the gateway/bridge functionalities in routers enable the integration of Wireless Mesh Networks with various existing wireless networks such as Internet, Wi-Fi, cellular, etc. This paper presents a mathematical model for the planning of Wireless Mesh Networks and shows the results that have been obtained in experiments for model evaluation. KEYWORDS: wireless mesh networks, mathematical model, optimal solution. MAIN AREA: computer networks 2357

2 1. Introdução O rápido progresso na pesquisa e desenvolvimento de tecnologias de comunicação sem fio criaram diferentes tipos de sistemas, a exemplo, Bluetooth, Wi-Fi, IEEE , UMTS (Universal Mobile Telecommunications System) etc. Estes sistemas são projetados para atender necessidades específicas de serviço e diferem em termos de largura de banda, latência, área de cobertura, custo e requisitos de qualidade de serviço (QoS). Um desafio nesse cenário é possibilitar que os usuários movam-se através das diferentes redes e mantenham suas comunicações com qualidade e segurança. Neste contexto, as redes mesh sem fio (Wireless Mesh Networks) aparecem como uma alternativa para garantir a interoperabilidade dos diferentes sistemas de comunicação existentes. As redes mesh possuem dois tipos de nós: roteadores mesh e clientes. Os roteadores mesh são, geralmente, equipados com múltiplas interfaces de rede sem fio que possuem uma ou mais tecnologias de acesso. Os roteadores têm mínima mobilidade e formam o backbone das redes mesh. Alguns roteadores possuem funcionalidades de gateway/bridge que habilitam a comunicação entre diferentes redes e o acesso à Internet. Em uma rede mesh, os clientes podem acessar a rede por meio dos roteadores mesh ou através de outros clientes. Enquanto a infra-estrutura da rede (backbone) provê conectividade com outras redes, tais como, Internet, Wi-Fi, celular etc; a capacidade de roteamento dos clientes possibilita aumentar a conectividade e a cobertura dentro da rede mesh. Há vários cenários de aplicação para as redes mesh. Elas podem ser utilizadas para a implantação de redes domésticas, redes na vizinhança, redes corporativas e redes metropolitanas. A capacidade de auto-organização de uma rede mesh reduz a complexidade de implantação e manutenção da rede. E o backbone da rede mesh provê uma solução viável para os usuários acessarem a Internet em qualquer lugar, a qualquer hora. Um outro potencial das redes mesh, além da implantação de redes de acesso à Internet, é a construção de cidades digitais, oferecendo infraestrutura de comunicação sem fio em ambiente metropolitano a todos os cidadãos. Isto já é uma realidade em cidades como, por exemplo, Dublin, Taipei, Pittsburgh e Filadélfia. As principais características das redes mesh são: auto-organização dos nós na rede; protocolo de roteamento adaptativo, suportando diferentes tipos de nós (clientes e roteadores); comunicação multi-salto; múltiplas interfaces e múltiplos canais por nó; mobilidade e consumo de energia dependentes do tipo de nó (cliente ou roteador). Neste trabalho, é examinado o problema de planejamento de redes mesh. Este problema consiste em atender a demanda dos clientes por acesso à Internet. Para solucionar o problema deve ser escolhido um subconjunto de roteadores mesh para compor o roteamento entre os clientes e os roteadores mesh com acesso à Internet. O restante deste trabalho está organizado da maneira descrita a seguir. A seção 2 lista os principais trabalhos relacionados. Nas seções 3 e 4, são apresentados, respectivamente, o modelo matemático para o problema de planejamento de redes mesh e os resultados obtidos nos experimentos realizados. Finalmente, a seção 5 apresenta as conclusões e trabalhos futuros. 2. Trabalhos relacionados Em Akyildiz et al. (2005), há uma ampla discussão sobre as características das redes mesh, arquiteturas, cenários de aplicação, bem como as alterações necessárias nas camadas física, de enlace, rede, transporte e aplicação para implantação das redes mesh. Muitos dos trabalhos encontrados na literatura concentram-se em resolver problemas relacionados a algum aspecto das redes mesh. Há poucos trabalhos dedicados na definição de um modelo que caracterize vários aspectos das redes mesh simultaneamente. Em Bicket et al. (2005), é avaliada a habilidade de uma arquitetura para redes mesh sem fio prover acesso à Internet de alta performance enquanto demanda pouco planejamento de implantação e gerenciamento de operação. A determinação da localização dos gateways é um fator crítico para o desempenho das redes em malha sem fio. Em Qiu et al. (2004), é apresentado um modelo matemático para o 2358

3 problema de localização dos gateways. Os algoritmos de solução propostos consideram o layout da rede, as demandas dos usuários, características dos enlaces sem fio, propagação e interferência. Os algoritmos também são projetados para prover tolerância a falhas e tratar variações da carga de trabalho na rede. Os algoritmos propostos são avaliados analiticamente e através de simulação. A questão da topologia das redes mesh foi abordada em So and Liang (2006). Neste trabalho, os nós vizinhos cooperam e repassam pacotes uns aos outros, para permitir a utilização de um mesmo acesso à Internet e distribuir entre a vizinhança os custos de instalação. O foco do trabalho é minimizar o número de estações repetidoras instaladas e o algoritmo de decomposição de Benders foi utilizado para encontrar soluções ótimas para as instâncias do problema. Em Draves et al. (2004), o foco está no roteamento em redes mesh. Neste trabalho, são consideradas redes sem fio com nós estacionários, como exemplo as redes sem fio de comunidade (Community Wireless Networks). O objetivo é escolher um caminho com alto throughput entre uma origem e um destino. Foi estudada a performance de uma métrica baseada no tempo de transmissão esperado (Expected Transmission Time - ETT) de um pacote sobre o enlace. 3. Modelo matemático Dada uma área D onde deve ser disponibilizado o serviço (área de cobertura), um conjunto de nós clientes I, um conjunto de roteadores mesh J e um conjunto de nós L com a função de disponibilizar acesso à Internet (roteadores mesh com acesso à Internet), sendo todos nós sem mobilidade, com localização bem definida dentro da área D e com um determinado número de interfaces de rede K e canais de comunicação por interface disponíveis; o Problema de Planejamento de Redes Mesh Sem Fio (PPRMSF) consiste em selecionar um subconjunto de roteadores mesh de mínimo custo que maximize a cobertura e a conectividade dentro da área D, isto é, o subconjunto de roteadores selecionados deve atender a demanda dos clientes para cada interface de rede disponível. O PPRMSF deverá informar o roteador mesh j J que atende a demanda do cliente i I pela interface de rede k K. Além disso, deverá existir um caminho de comunicação entre o roteador mesh j e pelo menos um roteador mesh com acesso à Internet l L. O PPRMSF deve gerar a solução minimizando a soma dos custos dos enlaces da rede utilizados, respeitando sempre os limites de capacidade de cada enlace. O PPRMSF também deve respeitar as restrições de energia dos nós clientes. E ainda, se existirem clientes i I que não estejam no alcance de comunicação de nenhum roteador mesh j J, a demanda destes clientes é atendida associando-o a algum outro cliente o I que esteja no raio de comunicação de i e no alcance de comunicação de pelo menos um roteador mesh j J. O cliente o deve possuir energia suficiente para o atendimento da sua própria demanda e da demanda do cliente i associado a ele. A seguir são definidas algumas constantes e parâmetros utilizados na formulação do problema. A Cli Cli : conjunto de arcos que conectam nós clientes. A Cli Rot : conjunto de arcos que conectam nós clientes e nós roteadores mesh. A Rot Rot : conjunto de arcos que conectam nós roteadores mesh. A Rot Int : conjunto de arcos que conectam nós roteadores mesh e nós roteadores mesh com acesso à Internet. c j : custo de instalação do roteador mesh j. v pq : custo do enlace entre os nós p e q, tal que, pq (A Rot Rot A Rot Int ). u pq : capacidade máxima do enlace entre os nós p e q, pq (A Rot Rot A Rot Int ). h k ij: custo do enlace entre o nó cliente i e o nó roteador mesh j para a interface k : custo do enlace entre os nós clientes i e o para a interface k. g k io n k j : número máximo de nós clientes que podem ser atendidos pelo roteador mesh j utilizando a interface k. (Este valor pode ser calculado com base no número de canais disponíveis por interface de rede). 2359

4 ε t k ij : quantidade de energia gasta na transmissão de 1 unidade de demanda utilizando a interface k do nó cliente i até o nó j (nó cliente ou nó roteador mesh). ε r k : quantidade de energia gasta na recepção de 1 unidade de demanda utilizando a interface k. ξ i : quantidade total de energia do nó cliente i. E q (A): conjunto de arcos que entram no nó roteador mesh ou nó roteador mesh com acesso à Internet q (J L) e pertencem ao conjunto A. S q (A): conjunto de arcos que saem do nó roteador mesh ou nó roteador mesh com acesso à Internet q (J L) e pertencem ao conjunto A. U: valor bem grande comparado aos demais valores do problema. α, β e γ: valores utilizados no ajuste de unidades de medida na função objetivo. a k ij 1 se o nó cliente i está no alcance de comunicação do roteador mesh j utilizando a interface k a k io 1 se o nó cliente i está no alcance de comunicação do cliente o utilizando a interface k 1 se o roteador mesh j possui a interface de comunicação k b k j d k i demanda do nó cliente i para a interface k As variáveis do PPRMSF são: 1 se o nó cliente i é atendido pelo roteador mesh j utilizando a interface k x k ij x k ij demanda do nó cliente i para a interface k que é atendida pelo roteador mesh j y j 1 se o roteador mesh j está ativo y k j z jpq 1 se o roteador mesh j está ativo e atende a interface k 1 se o arco pq (A Rot Rot A Rot Int ) faz parte da rota entre o nó roteador mesh j e um nó roteador mesh com acesso à Internet l L demanda atendida pelo roteador mesh j que passa pelo arco z jpq pq (A Rot Rot A Rot Int ) 1 se a demanda do cliente i pela interface k é atendida através do cliente o w k io 2360

5 w k io demanda do cliente i pela interface k é atendida através do cliente o t k i 1 se o cliente i está no alcance de comunicação de pelo menos um roteador mesh j J utilizando a interface k A formulação matemática para o problema é apresentada a seguir. min f = j J +β j J c j y j + α ij A Cli Rot j J k K a k ij x k ij = d k i tk i + pq (A Rot Rot A Rot Int ) h k ijx k ij + γ io A Cli Cli w k oi oi A Cli Cli v pq z jpq (1) k K g k iow k io, i I, k K (2) x k ij y k j, i I, j J, k K (3) i I a k ijx k ij n k jy k j, j J, k K (4) pq E q (A Rot Rot ) z jpq j J, q (J j) qr S q (A Rot Rot A Rot Int ), r j z jqr = 0, (5) qr S q (A Rot Rot A Rot Int ) q = j, j J z jqr = i I k K x k ij (6) z jpq u pqy p, j (J q), pq A Rot Rot (7) z jpq u pqy q, j (J q), pq A Rot Rot (8) (z jpq + z jqp ) u pq, pq (A Rot Rot A Rot Int ) (9) j J z jpq z jpq, j J, pq (A Rot Rot A Rot Int ) (10) z jpq Uz jpq, j J, pq (A Rot Rot A Rot Int ) (11) y k j = b k j y j, j J, k K (12) x k ij Ua k ij xk ij, i I, j J, k K (13) io A Cli Cli w k io = (1 tk i )dk i, i I, k K (14) w k io w k io, io A Cli Cli, o (I i), k K (15) 2361

6 w k io Ua k io w k io, i I, io A Cli Cli, k K (16) t k i j J Ut k i j J a k ij, i I, k K (17) k k ε t io w k K io A Cli Cli + k K j J a k ij, i I, k K (18) ε t k ij x k ij ξ i, io + ε r k K oi A Cli Cli i I k w k oi (19) x k ij, y j, z jpq, w k io, tk i 0, 1}, x k ij, y k j, z jpq, w k io 0, i I, j J, k K, io A Cli Cli, pq (A Rot Rot A Rot Int ) O problema de planejamento de redes mesh consiste em minimizar a função objetivo f (equação 1) composta pela soma dos custos de instalação dos roteadores mesh escolhidos e dos custos dos enlaces entre clientes, clientes-roteadores e roteadores utilizados para atender a demanda dos clientes. A equação 2 garante que a demanda do cliente i pela interface k atendida pelo roteador mesh j é igual à soma da demanda do cliente i e da demanda dos clientes o I que não estão no alcance de comunicação de nenhum roteador e que repassam suas demandas para o cliente i. Um cliente i somente pode ter sua demanda pela interface de rede k atendida pelo roteador mesh j, se o roteador j possui a interface de rede k e foi escolhido para ser instalado (restrição 3). Além disso, o número de clientes atendidos por um roteador j deve ser menor ou igual ao número máximo de clientes que podem ser atendidos pelo roteador j, considerando a interface k. As equações 5 e 6 garantem que a demanda que entra em um nó roteador mesh q é igual à demanda que sai deste roteador e que a demanda dos clientes atribuídos a um roteador j é igual à demanda que sai deste roteador. As restrições 7 e 8 asseguram que somente há demanda diferente de zero passando pelo arco pq, se os roteadores mesh p e q foram instalados. A soma das demandas que passam pelo arco pq tem que ser menor que a capacidade do arco (restrição 9). As restrições 10 e 11 indicam que somente pode haver demanda atribuída ao roteador mesh j passando pelo arco pq, se o arco pq foi escolhido para fazer parte do roteamento entre o roteador j e um roteador de acesso à Internet. A equação 12 define o valor da variável y k j. A restrição 13 garante que somente haverá demanda do cliente i pela interface k atendida pelo roteador mesh j, se o cliente i foi atribuído ao roteador j. A demanda total de um cliente i repassada para outros clientes é igual à sua demanda original (equação 14). As retrições 15 e 16 asseguram que somente passará demanda pelo arco io, se o cliente i está no raio de comunicação do cliente o e o cliente i repassará parte ou toda a sua demanda para o cliente o. As restrições 17 e 18 garantem um valor binário para a variável t k i. A inequação 19 está relacionada com a restrição de energia dos dispositivos clientes. A soma da energia gasta na transmissão da demanda do cliente i para outros clientes, da energia gasta na recepção da demanda de outros clientes e da energia gasta na transmissão da demanda do cliente i para roteadores mesh deve ser menor ou igual à energia do dispositivo cliente i. É interessante notar que um cliente i ou envia sua demanda para outros clientes ou para roteadores mesh. Entretanto, foi modelada apenas uma inequação para a restrição de energia. As variáveis x k ij,y k j,z jpq,w k io foram definidas como variáveis não negativas porque as 2362

7 restrições do modelo asseguram que estas variáveis somente podem assumir valores inteiros. A redução do número de variáveis inteiras facilita a resolução do problema. A próxima seção apresenta os resultados obtidos nos testes realizados para avaliação do modelo proposto aqui. 4. Resultados computacionais O modelo matemático proposto foi avaliado resolvendo-se diferentes instâncias do problema utilizando o pacote de otimização comercial CPLEX [Ilog, Inc.(2007)]. Não foram encontrados trabalhos na literatura que caracterizassem, simultaneamente, tantos aspectos das redes em malha sem fio como este trabalho. Até mesmo em trabalhos com ênfase em algum aspecto de redes em malha sem fio, não foi possível extrair valores de referências para parâmetros do modelo matemático. Também não foi encontrado na literatura um conjunto de instâncias para o problema de planejamento de redes em malha sem fio que pudesse ser usado na validação do modelo proposto. Dessa forma, as instâncias utilizadas nos testes são artificiais e foram obtidas através do gerador de instâncias descrito a seguir Gerador de instâncias Nos problemas produzidos pelo gerador de instâncias, a área de cobertura é quadrada, e os possíveis locais candidatos para instalação dos roteadores mesh estão distribuídos de forma eqüidistante, formando um quadriculado. Os possíveis locais candidatos para instalação de roteadores mesh com acesso à Internet, bem como os enlaces entre estes e os roteadores mesh são definidos aleatoriamente. Nas instâncias geradas, não há enlaces que conectem diretamente clientes mesh e roteadores mesh com acesso à Internet. Valores como custo e capacidade de cada enlace, demanda e energia de cada nó cliente são obtidos escolhendo-se, de forma aleatória, um valor em um intervalo de valores previamente definido para cada tipo de informação do modelo (custo, capacidade etc.) Cenários dos testes Foram realizados testes com instâncias de três diferentes proporções. Na Tabela 1, são apresentadas as características de cada tipo de instância. Tipo de instância p m g Características 9 roteadores mesh 1 roteador mesh com acesso à Internet 10 clientes mesh 1 interface de rede 10 canais por interface de rede 25 roteadores mesh 2 roteadores mesh com acesso à Internet 55 clientes mesh 2 interfaces de rede 15 canais por interface 64 roteadores mesh 4 roteadores mesh com acesso à Internet 161 clientes mesh 4 interfaces de rede 20 canais por interface de rede Tabela 1. Cenários definidos para os testes computacionais Para cada tipo p, m ou g, foram criadas instâncias que variam alguma característica do modelo. Todas as variações consideradas estão listadas na Tabela 2. O objetivo desta estratégia é avaliar o impacto de cada característica no modelo separadamente. 2363

8 Variação Descrição Custos de instalação dos roteadores mesh iguais e unitários; Custos dos enlaces entre nós iguais e unitários; A capacidade dos enlaces entre roteadores mesh variando entre 1 e 10 unidades de capacidade; A capacidade dos enlaces entre roteadores e roteadores com acesso à Internet podendo ser 1, 2 ou 3 vezes o número de clientes; A demanda de um cliente para um tipo de interface de rede variando 1 entre 1 e 3 unidades de demanda; A energia dos clientes mesh igual a 100 unidades de energia; A energia gasta na recepção de 1 unidade de demanda é igual a 1 unidade de energia; A energia gasta na transmissão de 1 unidade de demanda variando entre 1 e 5 unidades de energia; Cada cliente está no raio de comunicação de todos os roteadores mesh; Cada cliente está no raio de comunicação de todos os outros clientes mesh. 2 Igual a 1, mas com os custos de instalação dos roteadores mesh variando entre 1 e 10 unidades de custo. 3 Igual a 1, mas com os custos dos enlaces entre roteadores mesh variando entre 1 e 10 unidades de custo. 4 Igual a 1, mas com os custos dos enlaces entre clientes e roteadores mesh variando entre 1 e 10 unidades de custo. Igual a 1, mas com os custos dos enlaces entre clientes mesh variando entre 1 e 10 unidades de custo. Para instâncias do tipo p, todos os roteadores 5 estão no alcance de comunicação de cada cliente. Para instâncias do tipo m e g, 10 e 20 clientes, respectivamente, não estão no alcance de comunicação de nenhum roteador. 6 Igual a 1, mas com o número de roteadores no alcance de comunicação de cada cliente sendo definido de forma aleatória; 7 Igual a 1, mas com o número de clientes no alcance de comunicação de cada cliente sendo definido de forma aleatória; 8 Igual a 1, mas com a quantidade de energia de cada cliente mesh variando entre 1 e 100 unidades de energia. 9 Igual a 1, mas com a presença simultânea das variações 2-8. Tabela 2. Variações de características do modelo 2364

9 Os valores dos parâmetros do modelo que aparecem na descrição das variações das características das instâncias foram escolhidos arbitrariamente em razão do desconhecimento de referências de valores reais. O objetivo dos testes especificados neste trabalho é validar o modelo proposto através da comparação do comportamento esperado (que pode ser obtido analiticamente) e do comportamento real observado durante a execução dos testes Resultados e discussão Os testes foram executados em máquinas com sistema operacional Linux (kernel 2.6), processador Intel Pentium 4 de 2.40 GHz, 1.0 GB de RAM. As tabelas 3, 4 e 5 mostram a média e, entre parêntesis, o desvio padrão da execução de 5 instâncias diferentes geradas para cada problema. A primeira coluna das tabelas contém o identificador do tipo da instância, a segunda coluna contém o valor da função objetivo e a terceira coluna apresenta o gap de dualidade. Muitas técnicas de otimização utilizam o conceito de gap de dualidade para garantir que uma dada solução encontrada é ótima. Nestas técnicas, a cada iteração do algoritmo, são encontradas duas soluções: uma solução a partir da relaxação de algumas restrições (limite inferior) e uma solução viável para o problema (limite superior). O valor da diferença entre o limite superior e o limite inferior dividido pelo limite superior corresponde ao percentual de gap. Quando os limites superior e inferior são iguais, ou seja, gap igual a zero, significa que a solução encontrada é ótima. A quarta e quinta colunas das tabelas mostram, respectivamente, o número de roteadores mesh instalados para o roteamento da demanda dos clientes e o número de roteadores mesh com acesso à Internet utilizados. Na sexta coluna, encontra-se o tempo médio de execução do CPLEX. Em todos os testes realizados, o tempo de execução do CPLEX foi limitado em 10 horas. Instância Função Gap N o de N o de roteadores Tempo objetivo (%) roteadores c/ acesso à Internet (s) p 1 12 (0) 0 (0) 1 (0) 1 (0) 0,03 (0) p 2 20 (1) 0 (0) 1 (0) 1 (0) 0,06 (0,01) p 3 14 (1) 0 (0) 1 (0) 1 (0) 0,03 (0) p 4 33 (3) 0 (0) 5 (1) 1 (0) 0,10 (0,03) p 5 12 (0) 0 (0) 1 (0) 1 (0) 0,03 (0,01) p 6 17 (0) 0 (0) 3 (0) 1 (0) 0,06 (0,02) p 7 12 (0) 0 (0) 1 (0) 1 (0) 0,07 (0,01) p 8 12 (1) 0 (0) 1 (0) 1 (0) 0,03 (0,01) p 9 78 (18) 0 (0) 3 (1) 1 (0) 0,16 (0,05) Tabela 3. Resultados para as instâncias do tipo p Observando os dados da Tabela 3, é possível verificar que o gap de dualidade para todas as instâncias é igual a zero, ou seja, em todos os casos, a solução encontrada é a solução ótima para o problema. O número de roteadores mesh instalados foi pequeno, sendo que, para a maioria das instâncias, apenas um roteador foi necessário para atender toda a demanda dos clientes. O número de roteadores mesh com acesso à Internet utilizados foi constante e igual a um. Este resultado já era esperado, uma vez que havia somente um roteador deste tipo disponível. O tempo de execução para as instâncias do tipo p foi baixo, não sendo superior a 0,16 s. Na Tabela 4, verifica-se que o gap de dualidade somente é diferente de zero para a instância m 7. Neste caso, como a execução do CPLEX terminou porque o tempo limite de 10 horas foi excedido, não é possível afirmar se a solução encontrada é a solução ótima para o problema. O número de roteadores mesh instalados nas instâncias do tipo m foi maior que o número de roteadores insta- 2365

10 Instância Função Gap N o de N o de roteadores Tempo objetivo (%) roteadores c/ acesso à Internet (s) m 1 59 (0) 0 (0) 2 (0) 2 (1) 1,84 (1,01) m 2 62 (2) 0 (0) 2 (0) 2 (1) 1,17 (0,10) m 3 60 (2) 0 (0) 2 (0) 2 (1) 2,36 (1,20) m 4 98 (4) 0 (0) 11 (1) 2 (0) 62,08 (20,18) m 5 59 (1) 0 (0) 2 (0) 1 (1) 4.457,29 (3.463,67) m 6 65 (3) 0 (0) 4 (1) 2 (0) 135,27 (13,39) m 7 59 (0) 1,71 (0,03) 2 (0) 2 (1) 36000,07 (0,01) m 8 59 (0) 0 (0) 2 (0) 1 (1) 0,91 (0,12) m (49) 0 (0) 7 (1) 2 (0) 2.398,43 (1.422,11) Tabela 4. Resultados para as instâncias do tipo m lados nas instâncias correspondentes do tipo p, em razão do aumento das proporções do problema. Todavia, a solução para as instâncias m 5 e m 8 utiliza somente um dos dois roteadores mesh com acesso à Internet disponíveis para este tipo de instância. O tempo de execução para as instâncias do tipo m variou muito, partindo de alguns segundos e chegando até a 10 horas de processamento. Instância Função Gap N o de N o de roteadores Tempo objetivo (%) roteadores c/ acesso à Internet (s) g (0) 1,67 (0,15) 3 (0) 2 (1) ,76 (0,47) g (3) 0,99 (0,01) 3 (0) 2 (1) 3.949,02 (1.489,31) g (2) 0,99 (0,02) 3 (0) 2 (1) 3.451,82 (2.803,00) g (8) 0,85 (0,25) 18 (1) 4 (0) 9.116,19 (1.851,58) g (0) 0,91 (0,01) 2 (0) 2 (0) 7.967,94 (770,27) g (1) 2,57 (0,59) 5 (0) 3 (1) ,27 (0,12) g (0) 0,89 (0,03) 2 (0) 2 (1) 784,63 (157,83) g (2) 0,67 (0,58) 3 (1) 2 (1) 3.847,49 (4.171,07) g (12) 13,42 (2,81) 14 (1) 4 (0) ,28 (0,12) Tabela 5. Resultados para as instâncias do tipo g Observa-se, na Tabela 5, que o gap de dualidade é maior que zero para todas as instâncias. Entretanto, ocorreram duas situações diferentes nos testes. Para as instâncias g 1, g 6 e g 9, o tempo de execução excedeu o tempo limite previamente definido e, assim, não é possível afirmar se a solução encontrada é ótima. Para o restante das instâncias, o tempo de execução não excedeu o tempo limite, sendo a solução encontrada ótima e o gap de dualidade diferente de zero. Isto mostra que o método de solução do CPLEX consegue determinar que a solução encontrada em uma iteração, para um problema de programação inteira, é ótima, mesmo o gap encontrado na iteração sendo diferente de zero. Considerando o número de roteadores mesh instalados, as instâncias do tipo g possuem um valor igual ou maior que as instâncias correspondentes do tipo m. Além disso, na maioria das soluções, somente dois dos quatro roteadores mesh com acesso à Internet disponíveis foram utilizados. A variação do tempo de execução do CPLEX para as instâncias do tipo g foi menor se comparada com a variação dos tempos de execução das instâncias do tipo m. Para a maioria das instâncias do tipo g, o tempo de execução esteve entre 1 e 3 horas. 2366

11 Analisando as tabelas 3, 4, 5, é possível verificar que o valor da função objetivo aumenta com o crescimento das proporções das instâncias do problema. Este fato ocorre porque o valor da função objetivo é obtido somando-se os custos de instalação dos roteadores mesh escolhidos e os custos dos enlaces utilizados no roteamento da demanda entre os clientes e os roteadores mesh com acesso à Internet, e as instâncias do tipo p possuem o menor número de clientes e roteadores instalados, enquanto as instâncias do tipo g são as que possuem o maior número de clientes e roteadores instalados. O tempo de execução também aumenta das instâncias do tipo p para as instâncias do tipo m e destas para as instâncias do tipo g. É interessante notar que, para as instâncias correspondentes entre os tipos p, m e g (exemplo: p 1, m 1 e g 1), o tempo de execução aumenta consideravelmente com o aumento do número de clientes e locais candidatos para a instalação de roteadores mesh, evidenciando que o planejamento de redes mesh sem fio é um problema computacionalmente difícil. E ainda que, provavelmente, não seja conhecido um algoritmo determinístico polinomial para o problema. Para algumas instâncias, a exemplo a instância g 8, observa-se que o valor do desvio padrão encontrado para o tempo de execução e o gap de dualidade é alto se comparado ao valor médio obtido para estas medidas. Isto ocorre devido ao caráter aleatório dos problemas gerados. Dessa forma, para um mesmo tipo de problema, algumas instâncias podem ser mais fáceis de serem resolvidas do que outras. Para a maioria das instâncias, o desvio padrão obtido para o número de roteadores mesh instalados é igual a zero. Isto significa que, para as cinco instâncias geradas para cada tipo de problema, foi instalado o mesmo número de roteadores mesh. Assim, pode-se concluir que há um número ideal de roteadores mesh a ser instalado para cada tipo de instância considerada. Analisando em conjunto as tabelas 3, 4, 5, nota-se que, para todos os tipos de instância (p, m e g), as variações 2 e 3 diferem da variação 1 com relação ao valor da função objetivo, a justificativa é que trata-se do mesmo problema, entretanto, nas variações 2 e 3, o custo de instalação dos roteadores e o custo dos enlaces entre roteadores mesh varia entre 1 e 10 unidades de custo. As instâncias da variação 4 apresentam um número de roteadores mesh instalados bem elevado, isto ocorre porque os custos dos enlaces entre clientes e roteadores mesh variam entre 1 e 10 unidades de custo e isto faz com que a demanda de cada cliente seja atendida pelo roteador mesh cujo enlace de comunicação entre eles seja o de menor custo, aumentando assim o número de roteadores instalados. O valor da função objetivo e o número de roteadores mesh instalados para as instâncias da variação 5 são menores ou iguais aos valores para as instâncias da variação 1 porque, neste caso, alguns clientes não estão no alcance de comunicação de nenhum roteador mesh e as demandas destes clientes são atendidas pelos clientes que estão no alcance de comunicação de pelo menos um roteador mesh. Por esta razão, há um agrupamento da demanda de alguns clientes e ocorre economia de escala. As instâncias da variação 6 possuem um valor de função objetivo e um número de roteadores mesh instalados maior que as instâncias da variação 1. Este fato ocorre porque os roteadores que podem atender a demanda de um dado cliente são escolhidos aleatoriamente, isto faz com que se tenha que instalar um determinado conjunto de roteadores para que toda a demanda dos clientes seja atendida. Já para as instâncias da variação 7, os clientes que podem atender a demanda de outros clientes também são escolhidos aleatoriamente, entretanto, neste caso, o valor da função objetivo e o número de roteadores mesh instalados são menores ou iguais aos valores das instâncias da variação 1 por causa do agrupamento de demanda e, conseqüente, economia de escala. A variação da quantidade de energia de cada cliente (p 8, m 8, g 8) não impactou significativamente no valor da função objetivo e no número de roteadores instalados. As instâncias da variação 9 reúnem todas as características das variações 2 a 8 e possuem os maiores valores para a função objetivo. Além disso, utilizam todos os roteadores com acesso à 2367

12 Internet disponíveis e apresentam o segundo maior valor para o número de roteadores mesh instalados. 5. Conclusão e trabalhos futuros Neste trabalho, foi abordado o problema estático de planejamento de redes mesh sem fio. Um modelo matemático para o problema foi apresentado, bem como os resultados dos testes realizados considerando diferentes cenários. Os resultados obtidos mostram que a complexidade do problema é consideravelmente incrementada com um pequeno aumento das dimensões do problema. Como exemplo, enquanto o número de clientes passou de 55 para 161 (2,93 vezes maior) e o número de locais candidatos para instalação dos roteadores mesh passou de 25 para 64 (2,56 vezes maior) da instância m 9 para a instância g 9, o tempo de execução do CPLEX foi de 2.398,43 s para , 28 s (aproximadamente, 15 vezes maior), mesmo assim sem encontrar a solução ótima para a instância g 9 dentro do tempo limite de execução estipulado. Dessa forma, dependendo das dimensões da rede mesh, torna-se necessária a utilização de heurísticas para determinar o roteamento da demanda entre os clientes e os roteadores mesh com acesso à Internet. Um trabalho futuro é definir boas heurísticas para o problema de planejamento de redes mesh sem fio. Há vários outros aspectos relacionados com redes mesh que não foram considerados neste trabalho e que precisam ser tratados. Como exemplo, é interessante investigar o impacto da mobilidade nas redes mesh, além de modelos de interferência e requisitos de qualidade de serviço para estas redes. Assim, outro trabalho futuro é abordar aspectos dinâmicos do problema utilizando simulação. Referências Akyildiz, I., Wang, X. and Wang, W. (2005). Wireless mesh networks: A survey. Computer Networks 47, Bicket, J., Aguayo, D., Biswas, S. and Morris, R. (2005). Architecture and evaluation of an unplanned b mesh network. In MobiCom 05: Proceedings of the 11th annual international conference on Mobile computing and networking. New York, NY, USA: ACM Press. ISBN Draves, R., Padhye, J. and Zill, B. (2004). Routing in multi-radio, multi-hop wireless mesh networks. In MobiCom 04: Proceedings of the 10th annual international conference on Mobile computing and networking. New York, NY, USA: ACM. ISBN Ilog, Inc. (2007). Solver cplex. (acessado em 10 dezembro 2007). Qiu, L., Chandra, R., K., J. and Mahdian, M. (2004). Optimizing the placement of integration points in multihop wireless networks. In Twelfth IEEE International Conference on Network Protocols. So, A. and Liang, B. (2006). Optimal placement of relay infrastructure in heterogeneous wireless mesh networks by bender s decomposition. In QShine 06: Proceedings of the 3rd international conference on Quality of service in heterogeneous wired/wireless networks. New York, NY, USA: ACM Press. ISBN