Modelos em espaço o de estado para previsão e simulação de preços spot e de contratos futuros do petróleo e de seus derivados

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1 Modelos em espaço o de esado para previsão e simulação de preços spo e de conraos fuuros do peróleo e de seus derivados Crisiano Fernandes Cesar Rivera Adrian Pizzinga PUC-Rio UFF cris@ele.puc-rio.br Probabilidade e Esaísica sica no Mercado de Trabalho: Aplicações em Finanças as e Auária 1

2 Roeiro i. Inrodução e moivação ii. Modelo de Schwarz & Smih(SS) iii. Modelo SS com drif esocásico iv. Modelo SS mulivariado para peróleo e derivados v. Forma em espaço de esado e o filro de Kalman vi. Resulados vii. Conclusões 2

3 inrodução e moivação 3

4 Por que Esaísica? The abiliy o ake daa o be able o undersand i, o process i, o exrac value from i, o visualize i, o communicae i ha s going o be a hugely imporan skill in he nex decade. Hal Varian Economisa Chefe do Google ou 2008 (Professor - Dep. of Economics, - School of Informaion e - Haas School of Business UC Berkeley ) 4

5 Enão, as écnicas/ferramenas esaísicas permiem a exração de informação a parir de uma base de dados. dados análise / modelos informação decisão Esa compeência, aliada a ouras compeências / habilidades: programação modelagem maemáica expressão oral e escria são faores decisivos na empregabilidade em muios seores da economia: - a indúsria de risco (bancos, seguradoras, fundos de invesimeno, fundos de pensão ec), - consuloras - empresas diversas (Vale, Perobras ec) 5

6 Consulor em Esaísica? A modelagem de problemas reais não respeia as froneiras acadêmicas: requer habilidades e compeências fora da grade padrão de uma graduação / pós-graduação com ênfase em Esaísica: área emáica ica: finanças, economia, meio-ambiene, energia ec programação compuacional oimização: programação não linear, programação esocásica, ec Assim é muio imporane que a formação padrão do esaísico seja complemenada com cursos em ouras áreas do conhecimeno. Mas não é o suficiene... 6

7 Um processo de consuloria que envolve modelagem esaísica é finalizado após a apresenação de: - relaório écnico e sumário execuivo; e algumas vezes, deve-se adicionar: - produo compuacional com manual. - reinameno Porano, já fica claro de anemão que além das habilidades maemáicas/compuacionais e enrosameno com área emáica, o consulor em que ser um bom comunicador, dominando de forma adequada as boas práicas da língua escria e da língua falada. >> para escrever e falar bem é necessário ler muio e praicar a escria e a fala denro da norma cula. 7

8 Esaísica na Engenharia Elérica da PUC-Rio? Um campus bem localizado (Gávea), vericalizado, faciliando o acesso à cursos em vários deparamenos: Elérica, Informáica, Maemáica, Economia, Engenharia Indusrial ec Pilois - Ala Kennedy >> acesso por várias linhas de ônibus: 410, 996 e fuuramene, merô. 8

9 A Engenharia Elérica (DEE, hp:// oferece oporunidades de realizar Mesrado e Douorado com bolsas inegrais das agências de fomeno (CNPq, CAPES, Faperj). Linha de Pesquisa: Méodos de Apoio à Decisão Programação Maemáica: programação linear, programação ineira, Aplicações: oimização de careiras; alocação dinâmica de recursos; energia. Modelos Esaísicos: modelos em espaço de esado, modelos não-lineares / não-gaussianos, volailidade. Aplicações: energia, finanças, seguros. Ineligência Compuacional: redes neurais, lógica fuzzy, compuação evolucionária. Aplicações: classificação, previsão, reconhecimeno de padrões, conrole, mineração de dados, oimização e planejameno. 9

10 Possibilidade de cursar disciplinas em ouras insiuições: EPGE-FGV, ENCE, UFRJ, IMPA ec Ao se inscrever já em que er aceie de um poencial orienador. Possibilidade de associar a disseração a um projeo de pesquisa ou de consuloria. Formação reconhecida e valorizada pelo mercado. Possibilidade de douorado sanduíche em universidades de excelência no exerior. 10

11 Conexo do problema de consuloria: >> ALM corporaivo em uma empresa de peróleo ALM (Asse Liabiliy Managemen) = meodologia de oimização sob incereza, aplicada ao problema de seleção de projeos e fones de financiameno no ambiene corporaivo. Objeivos de um ALM equilíbrio: garanir solvência = aivos passivos > 0 valor presene de odos os fluxos a receber(segundo a careira de projeos selecionada) em que ser maior do que o valor presene de odos os pagamenos (segundo a careira de projeos e financiamenos selecionada). 11

12 Represenação esquemáica de um ALM Levanameno de dados Dados Econômicos Dados de Mercado auamos nessas caixas Modelagem economérica Modelo para Cusos de Passivos Modelo para Reornos de Aivos Simulação de Mone Carlo Previsões de Cusos de Passivos Previsões de Reornos de Aivos Oimização Resrições Modelo de Oimização de ALM Preferências quano ao risco, horizones, ec. Programa de compuador para oimização Decisões Recomendadas 12

13 Nossa pare: simulação de faores de risco associados aos aivos da empresa: peróleo e derivados. 13

14 Modelo capaz de acomodar: simulações para horizones longos: 30 a 50 anos; incorporação dos preços do mercado fuuro em diferenes mauridades ((1, 12, 24, 48) meses ec); raameno de observações falanes dos preços fuuros em mauridades longas; previsões conjunas para peróleo e derivados coerenes com fundamenos econômicos adoados na práica de modelagem da empresa: preço de equilíbrio. 14

15 15

16 Nosso desafio : consruir um modelo para prever e simular preços do peróleo e seus derivados ? Oil (W TI) Je fuel Gasoline 16

17 >> Que modelo? Several specificaions have been proposed in he economic lieraure. Some are based on financial heory and concenrae on he relaionship beween spo and fuures prices ( financial models). Ohers assign a key role o variables explaining he characerisics of he physical oil marke ( srucural models). The empirical lieraure is very far from any consensus abou he appropriae model for oil price forecasing ha should be implemened. Chiara Longo e al (2007), Evaluaing he Empirical Performance of Alernaive Economeric Models for Oil Price Forecasing Fondazione Eni Enrico Ma, Noa di Lavoro

18 Tipologia dos procedimenos para previsão dos preços do peróleo e seus derivados: modelos esruurais modelos de finanças (esocásicos) modelos de séries emporais modelos híbridos méodos delphi 18

19 Modelos esruurais: a dinâmica do preço é explicada por variáveis chave que deerminam a ofera e a demanda (fundamenação macroeconômica) asreservasexisenesdeperóleo; acapacidadedeproduçãodospaísesproduores,daopepemparicular; acapacidadederefinodaindúsriaperolífera; oconsumochinêseamericano,que,noaualconexo,aindaliderama expansãodademandamundial. m p n v preço reservas uci_per uci_refi consumo 0 i i i i i i i i i0 i0 i0 i0 19

20 >> Caracerísicas de modelos esruurais: cuso operacional alo pois necessiam de previsão ex-ane dos faores que impacam a dinâmica dos preços (regressores). excluem faores que no longo ermo, podem impacar de forma subsancial o preço do peróleo e de derivados: - preço de combusíveis subsiuos - ouras ecnologias produoras de energia - legislação regulaória (impacos ambienal e climáico). 20

21 Modelos de finanças: a dinâmica do preço é expressa em ermos de equações diferenciais esocásicas (EDE) inspirados em modelos de apreçameno de aivos financeiros (ações, juros ec); expresso em ermos de poucos faores não observados que enam capurar, de forma simplificada, o efeio da ofera e da demanda na dinâmica dos preços; podem incorporar preços de mercados fuuros uilizando argumeno de medidas neura ao risco. Na sequência apresenamos alguns modelos de finanças que formam a base da consrução do modelo em espaço de esado que será proposo. 21

22 Processo Browniano Ariméico >> benchmark para apreçameno de ações; >> no presene conexo considere S o preço do peróleo ou de algum dos seus derivados ds d + dz S = éo preço do aivo/commodiy (não-esacionário) = é a axa esperada de reorno = é a volailidade do preço do aivo/commodiy dz = d, ~ N(0,1) discreo: S = + S +, ~ N( 0,1) -1 S = + S +, ~ N(0,1) ( 1) -1-1 S = S + passeio aleaório + drif 0 -j j=0 22

23 Traa-se de um processo não esacionário, pois: E(S ) = 0 Var(S )= S + 2 f(s ) ~ N(S 0 +, ) 2 >> Como a disribuição é normal, pode gerar valores negaivos para o preço! 140 S Processo Browniano Ariméico 0.5, y 40,

24 Processo Geomérico Browniano >> em Finanças: Black e Scholes (73) e Meron (73), e uilizado para evolução de preço do peróleo por Paddock e al (88), Brennan e Schwarz (85), McDonald e Siegel (85) enre ouros. ds = d + dz S S = éo preço do aivo/commodiy (não-esacionário) = é a axa esperada de reorno = é a volailidade do preço do aivo/commodiy dz = d, ~ N(0,1) 24

25 ds 2 Se = d + dz d(ln S ) ( 1/ 2 )d + dz (pelo lema de Io) S forma discrea: ln S (1/ 2 ) +, ~ N(0,1) 2 S S exp[(1/ 2 ) + ] 2-1 E(S ) 0 S e Var(S ) = S e (e 1) S ~ lognormal( ) >> processo não esacionário 500 S Processo Browniano Geomérico , y 40,

26 Processo de reversão à média (Ornsein Uhlenbeck ariméico) >> desenvolvido inicialmene por Vasicek (77) para modelagem da axas de juros e uilizado por Laughon e Jacoby (95), Schwarz (97), Dixi e Pindyck (94) enre ouros para evolução do preço do peróleo. consisene com a lógica econômica de equilíbrio enre ofera e demanda ds = k( - S ) d + dz S = éo preço do aivo/commodiy (esacionário) k = é a velocidade de reversão = é a média de longo prazo do preço = é a volailidade do preço do aivo/commodiy dz = d, ~ N(0,1) discreo: S = k( - S ) +, ~ N(0,1) -1 26

27 No limie, qdo, mosra-se que o processo é esacionário, com: E(S ) 2 2 Var(S ), S 2 ~ N(, ) 2 (1-(1-k)) (1-(1-k)) S Processo de reversão à média (Ornsein Uhlenbeck ariméico) k 0.1, 100, y 40,

28 o modelo de schwarz & smih(ss) 28

29 Decomposição do log do preço spo (não observado) em dois processos (Schwarz & Smih (2000)): ln S desvio de curo prazo nível de equilíbrio - curo prazo= caraceriza mudanças ransiene (choques localizados na ofera e demanda) >> processo de reversão para zero (Ornsein-Uhlenbeck) - longo prazo ou equilíbrio= caraceriza mudanças permanenes no preço de equilíbrio (demografia, mudanças ecnológicas ec) >> processo de passeio aleaório (Browniano Geomérico) 29

30 O modelo em duas dimensões de preços: - à visa (spo) : não observados - fuuros: observados Assim a esimaiva do modelo deverá ser realizada com os preços dos conraos fuuros» os preços fuuros de curo prazo informam mais sobre os desvios de curo prazo;» os preços fuuros de longo prazo informam mais sobre o nível de equilíbrio. 30

31 Especificação do modelo de SS eq.das medidas: ln( S ) eqs. do esado: d kd dz d d dz dz dz d 31

32 . Como especificar o modelo SS a parir dos preços do mercado fuuro? >> No apreçameno de derivaivos, segundo um eorema fundamenal de finanças, não dever haver oporunidade de arbiragem (ganhar $$ sem invesimeno inicial e sem risco). >> Uilizando esses fundamenos pode-se mosrar que em cada empo, F, o preço fuuro na mauridadeserá a melhor previsão do preço spo no horizone, omando-se as probabilidades na medida neura ao risco. * F, =E (S + I ) onde * indica que a probalidade é na medida neura ao risco. 32

33 Uilizando a relação enre os momenos da disribuição log normal e da normal, segue que: F E ( S * 1 * ) exp E (ln S ) Var (ln S ) 2 *, Para se ober o valores esperado e variância na medida neura ao risco deve-se uilizar as equações dos faores na medida neura os risco, dadas por: 33

34 Forma discrea das equações dos faores: Finalmene podemos escrever as equações do modelo em ermos dos preços do mercado fuuro e dos faores na forma neura ao risco O modelo resulane pode ser colocado na forma de espaço de esado (EE) e assim sendo, sua esimação pode ser efeuada aravés do filro de Kalman. 34

35 Equações do modelo SS em função dos preços do mercado fuuro y Z d, 1,2,, T y ln F,,ln F 1,,,ln F 2, ~ d A 1, A 2,, 13 ~ 13 1 Z A 1 e 1 2 e 1 ~ e 1 = T + c + R +1 = 0 c= µ - e 0 T= ~N(0,Q) Q= ~N(0, H), H=diag(,,..., )

36 Função de previsão passos à frene para o preço spo 36

37 Função de previsão passos à frene para os preços fuuros 37

38 38

39 Previsões de longo prazo obidas aravés do modelo SS Preço spo previso Preço spo real 200 US$ Abr/85 Abr/209 Abr/2039 Daa previsões e simulações de longo prazo produzem resulados inconsisenes com a exisência de um preço de equilíbrio 39

40 3000 Abr2039(emU$S) 2500 Media 262, Mediana 199,63 US$ Q5% 58,16 Q25% 117,17 Q75% 326, Q95% 669,29 0 Abr/2010 Daa Abr/2039 Mínimo 17,82 Máximo 2505,21 abr/30 182,07 abr/31 189,49 abr/32 197,22 abr/33 205,25 In he high price case, world oil prices (in real 2007 dollars) climb from $68 per barrel in 2006o $200 per barrel in 2030 (EIA, IEO2009) 40

41 modelo SS com drif esocásico 41

42 Modelo de Schwarz & Smih com drif esocásico Moivação: modificar o modelo SS de forma a aenuar a previsão de longo prazo do modelo ornando-a mais coerene com equilíbrio Esraégia: definir uma equação para a evolução do drif do processo de longo prazo, de forma que o processo para log(spo) apresene uma endência amorecida. 42

43 Equações do modelo Schwarz & Smih com drif esocásico nova equação: drif esocásico >> forma discrea neura ao risco: processo de reversão 43

44 Equações do modelo em ermos dos preços fuuros eq. das medidas: eq. do esado: 44

45 Função de previsão passos à frene para o preço spo 45

46 Função de previsão para grande para horizones longos ( grande) a previsão o preço spo ainda divergirá, mas a uma axa bem menor do que aquela apresenada pelo modelo SS original no conexo de simulações do Projeo ALM o modelo erá que ser calibrado de forma a produzir caminhos de longo prazo coerenes com a expecaiva de equilíbrio 46

47 Simulações do modelo 30 anos à frene a média é razoavelmene bem comporada no longo ermo, mas a variância aumena, gerando caminhos inaceiáveis. 47