FÍSICA DA MATÉRIA CONDENSADA 2009/10 Folha 1 I Redes e Estruturas Cristalinas

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Gabriel Henrique Milton de Caminha Arantes
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Verificar que o conteúdo das várias células unitárias definidas por esse conjunto de vectores é idêntico para cada desenho.

1 FÍSICA DA MATÉRIA CONDENSADA 2009/10 Folha 1 I Redes e Estruturas Cristalinas 1 - Indicar a rede subjacente aos desenhos das figuras la) e lb). Encontrar três conjuntos de vectores fundamentais primitivos para a figura la) e dois conjuntos para a figura lb). Verificar que o conteúdo das várias células unitárias definidas por esse conjunto de vectores é idêntico para cada desenho. Indicar ainda, para cada desenho, um conjunto de vectores fundamentais não primitivos. Qual é o conteúdo das células unitárias definidas por esses vectores? Figura 1 a) Figura 1 b)

2 - Considerar a figura 2. a) Indicar a rede e definir uma célula unitária para o desenho. b) Encontrar quatro pontos distintos por onde passem eixos de rotação binários.

2 2 - Considerar a figura 2. a) Indicar a rede e definir uma célula unitária para o desenho. b) Encontrar quatro pontos distintos por onde passem eixos de rotação binários. c) Verificar graficamente que qualquer que sejam ae b escolhidos para definirem uma célula unitária primitiva, os quatro pontos referidos em b) estão à distância uns dos outros de 0; 1 2 a ; 1 2 b ; 1 2 a +b. d) Qual o conteúdo de uma célula unitária primitiva do desenho (motivo)? e) Definir uma célula unitária assimétrica (parte do desenho que por aplicação dos vários elementos de simetria - neste caso translações e rotações - permite gerar todo o desenho). f) Quantas células unitárias assimétricas têm cada célula unitária primitiva? Figura 2

3 - Considerar o desenho da figura 3. a) Identificar a rede, uma célula unitária primitiva e o seu conteúdo. b) Verificar que as figuras "semelhantes" não estão relacionadas por um eixo de rotação.

3 3 - Considerar o desenho da figura 3. a) Identificar a rede, uma célula unitária primitiva e o seu conteúdo. b) Verificar que as figuras "semelhantes" não estão relacionadas por um eixo de rotação. c) Identificar os elementos de simetria presentes no desenho. d) Comparar estes elementos de simetria com os da figura anterior. Que diferença fundamental existe entre eles? Figura Considerar a rede tipo "favo de mel" da figura 4. Será uma rede de Bravais? Justificar. Definir uma célula unitária primitiva para a estrutura representada pela figura 4. Qual o motivo que a célula contém? (Considerar que o desenho se repete indefinidamente). Figura 4

4 5 - Considerar o desenho da figura 5. a) Mostrar que o padrão possui simetria de translação, indicando a rede subjacente ao desenho. b) Apesar de as flores admitirem como elemento de simetria um eixo de rotação de grau 5, será que algum desses eixos é um elemento de simetria para o desenho como um todo? Haverá outros elementos de simetria no desenho? c) Escolher uma célula unitária primitiva e marcar nela os elementos de simetria que encontrar. Figura Mostrar que não são cristalograficamente possíveis eixos de rotação de grau 5 ou de grau superior a 6, como elementos de simetria de uma estrutura cristalina. (slides da teórica)

5 7 - Desenhar a célula unitária convencional da rede cúbica de faces centradas e da rede cúbica centrada. a) Estas células unitárias são primitivas? Justificar. b) Encontrar um conjunto de vectores fundamentais para as redes acima mencionadas. Desenhar a célula unitária por eles definida. c) Qual a relação de volume entre as células unitárias primitivas e as células unitárias convencionais para as referidas redes? 8 - Numa rede cúbica simples definida pelos vectores fundamentais primitivos convencionais a, b e c definiu-se uma célula unitária à custa dos seguintes vectores u a 2b c v a b w a c a) Será que estes vectores ainda definem uma célula unitária primitiva? b) Qual a multiplicidade da rede que estes vectores geram em relação à rede cúbica simples? 9 - Uma célula unitária primitiva tem de dimensões: a=5å b=6å c=7 Å e = = =90º Escolhe-se uma nova célula unitária com vectores fundamentais que vão da origem até aos pontos de coordenadas (3,1,0), (1,2,0) e (0,0,1). a) Calcular a relação entre os volumes das duas células unitárias. b) Dizer se a segunda rede é ou não primitiva e indicar quantos motivos contém cada célula unitária. c) Quais os ângulos que formam os vectores fundamentais a', b'e c' que definem a nova célula unitária A rede cristalina do crómio é cúbica de corpo centrado, com a=2.28 Å. Desenhar a célula unitária; marcar nela os planos (200) e (110), bem como as posições ocupadas pelos átomos de crómio Desenhar uma célula unitária tetragonal centrada e marcar nela os seguintes planos: (100), (00 1 ), (021) e (312). Quais são os índices de MilIer do plano que corta os eixos a, b e c em 2 3 a, 4 5b e 1 6c?

6 12 - Considerar uma rede ortorrômbica de bases centradas, monoatómica, com: a=2.0å b=1.5å c=2.5å a) Desenhar os planos (230), ( 1 21) e (100). b) Calcular a densidade planar atómica para os planos (200), (010) e (001) O óxido de potássio cristaliza numa rede cúbica de faces centradas (a=6.44 Å) sendo o motivo constituído por: O: (0, 0, 0) K: (1/4, 1/4, 1/4) (1/4, 1/4, 3/4) a) Calcular as distâncias interatómicas O-O, K-K e O-K mais curtas. b) Determinar qual dos dois planos (110) e (004) possui menor densidade planar de átomos de potássio O NaCl cristaliza segundo uma rede cúbica de faces centradas de parâmetro de rede a=5.64å. Os iões Na + ocupam os nós da rede e os iões Cl - ocupam as posições (x,y,z) Na +(1/2,1/2,1/2). a) Esboçar um modelo da célula unitária do NaCl. b) Determinar a densidade planar atómica do plano (110) O carbono cristaliza, na forma alotrópica do diamante, segundo uma rede cúbica de faces centradas. O motivo da rede é constituído por dois átomos de carbono nas seguintes posições: C 1 : (0,0,0) C 2 : (¼,¼,¼) a) Quantos átomos de carbono tem a célula unitária convencional do diamante? b) Fazer uma projecção da célula unitária do diamante segundo o eixo [001]. c) Determinar o comprimento da ligação C-C no diamante, sabendo que a=3.56å. d) Calcular o ângulo das ligações C-C no diamante O sulfureto de zinco cristaliza numa rede cúbica de faces centradas (a=5.41å), com o seguinte motivo: Zn: (0,0,0) S: (¼,¼,¼). a) Quantos átomos de Zn e S estão contidos numa célula unitária convencional do ZnS? Indicar as suas coordenadas fraccionárias e desenhar uma projecção da célula unitária segundo o eixo [001]. b) Calcular o comprimento da ligação Zn-S e o ângulo da ligação Zn-S-Zn. c) Sendo m a (Zn)=65.38 e m a (S)=32.06, determinar a densidade do ZnS.

7 17 - O elemento lítio (m a (Li)=6.94) cristaliza numa rede cúbica de corpo centrado, de parâmetro a=3.48å. a) Representar a distribuição dos átomos nos planos atómicos (100), (110) e (111) e determinar qual dos 3 planos apresenta um maior número de átomos por unidade de área. b) Calcular o raio atómico e a massa específica do lítio O titanato de bário (BaTiO 3 ) é um material com interessantes propriedades ferro eléctricas. A estrutura cristalina deste composto consiste em átomos de Ba dispostos nos vértices de um cubo, átomos de O no centro de cada uma das faces e um átomo de Ti no centro do cubo. a) Fazer um esquema da célula unitária do BaTiO 3. b) Qual a rede de Bravais em que este composto cristaliza? c) Qual é o motivo associado à rede? 19 - Mostrar que o valor máximo da fracção de volume que pode ser preenchida por um empacotamento de esferas rígidas dispostas nos tipos de redes seguintes, é: (slides da teórica) cúbica simples: 52% cúbica de faces centradas: 74% cúbica de corpo centrado: 68% 20 - O ferro cristaliza numa rede cúbica de corpo centrado a temperaturas inferiores a 910 o C, numa rede cúbica de faces centradas para temperaturas compreendidas entre 910 o C e 1400 o C, e numa rede cúbica simples para temperaturas superiores a 1400 o C. Supondo que o raio atómico do Fe não se altera nestas transições de fase, calcular como varia a densidade do Fe nesta gama de temperaturas.

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