RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS: A MEMÓRIA DE TRABALHO COMO RECURSO PARA APRENDIZAGEM DA ARITMÉTICA

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1 RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS: A MEMÓRIA DE TRABALHO COMO RECURSO PARA APRENDIZAGEM DA ARITMÉTICA Resumo MACHADO, Rita C. M.- UFRGS ritaanezarte@yahoo.com.br GOLBERT, Clarissa S. UFRGS mcgolbert@uol.com.br Eixo Temático: Didática: Teorias, Metodologias e Práticas Agência Financiadora: CNPq Este estudo analisa a relação entre a resolução de problemas matemáticos e a memória de trabalho (MT). O objetivo desta analise justifica-se pela exigência da memória de trabalho no processamento matemático. As dificuldades no gerenciamento das informações interferem na resolução de tarefas matemáticas determinando falhas na conexão de conhecimentos novos e previamente adquiridos e falhas no executivo central da memória de trabalho. Em 15 alunos do Ensino Fundamental, com dez anos de idade, foi aplicada a Prova de Aritmética( CAPOVILLA & CAPOVILLA, 2007),que avalia os conhecimentos aritméticos de crianças de 1ª à 4ª séries, e o teste de Digit Span ( CAPELLINI & SMYTH, 2008), que avalia a memória de trabalho. Para analisar a resolução de problemas foi elaborada uma tarefa com problemas aditivos com diferentes posições da incógnita. A análise qualitativa dos dados permite destacar a relação entre os resultados no teste de MT e na resolução de problemas matemáticos confirmando os achados de pesquisas atuais. Em relação às estratégias utilizadas na resolução de problemas ressaltam-se os procedimentos de contagem. Os alunos com bom desempenho nas tarefas propostas utilizaram recuperação automática das combinações aditivas, enquanto aqueles com baixo desempenho apresentaram estratégias imaturas como contagem nos dedos e contagem um a um. Constatou-se que mais recursos de memória de trabalho permitem melhor raciocínio na resolução de problemas matemáticos. Palavras-chave: Resolução de problemas matemáticos. Memória de trabalho. Aprendizagem matemática. Introdução Esta pesquisa tem em vista avaliar as relações entre a resolução de problemas matemáticos aditivos e a memória de trabalho, um construto importante para as aprendizagens

2 5082 matemáticas em alunos da 4ª série do Ensino Fundamental, entre 98 e 10 anos de idade, uma faixa etária ainda pouco estudada. Há inúmeros fatores que contribuem para a defasagem na aprendizagem da matemática sendo necessário observar as condições sociais e pedagógicas do sistema escolar, em um nível nacional, regional e estadual. Nosso grupo de pesquisa estuda os processos cognitivos subjacentes à aprendizagem numérica. 1 Nesta pesquisa optou-se por trabalhar com a resolução de problemas matemáticos tendo em vista a enorme dificuldade dos alunos brasileiros em resolvê-los. Dados do Sistema Nacional de Educação Básica (Saeb-2003) indicam uma alarmante defasagem em competências matemáticas; 59% dos alunos brasileiros chegam a 4ª série do Ensino Fundamental sem terem desenvolvido competências e habilidades elementares de leitura e 52% desses mesmos alunos demonstram profundas deficiências em Matemática. Por meio deste dado do Saeb podemos verificar o baixo desempenho dos alunos em matemática, e atentar para as muitas dificuldades dos alunos, como, por exemplo, a incapacidade de interpretar e resolver problemas matemáticos de forma competente. A partir dos dados da realidade do ensino aprendizagem da matemática no Brasil e, com base em estudos atuais da psicologia cognitiva da aprendizagem da matemática percebeu-se a necessidade de voltar a atenção para as habilidades cognitivas envolvidas nos procedimentos matemáticos, dando ênfase para os aspectos relacionados a memória de trabalho e a resolução de problemas matemáticos, dois aspectos fundamentais para o desenvolvimentos de competências e habilidades matemáticas. Resolução de Problemas Matemáticos na Escola O ensino da matemática na escola brasileira ainda esta muito limitado ao ensino mecânico dos cálculos, sem se deter na compreensão dos alunos sobre os conceitos envolvidos na aritmética, o que se reflete no desempenho acadêmico dos alunos e no alto índice de reprovação na disciplina da matemática no decorrer das séries finais do Ensino Fundamental e Médio. 1 Grupo de pesquisa que participa do Projeto de Pesquisa: processos cognitivos e dificuldades na aprendizagem da matemática em alunos de 5ª e 6ª série do ensino fundamental, coordenado pela professora Drª Clarissa Golbert.

3 5083 O aprendizado da matemática requer uma série de conhecimentos conceituais específicos que necessitam de múltiplas relações aritméticas capazes de facilitar a compreensão dos alunos. Uma forma de trabalhar com os conhecimentos matemáticos é o uso da resolução de problemas, desde histórias matemáticas, até desafios mais elaborados com situações hipotéticas ou cotidianas, que exijam dos alunos uma concentração, um planejamento e um conhecimento mais profundo do que simplesmente retirar os valores de determinada história matemática e agrupá-los em um cálculo aritmético mecânico. Sabe-se que o uso de situações problemas contribui para um a melhor relação das crianças com os conceitos matemáticos, Vasconcelos (2006), fundamentada em Vergnaud afirma que : É através das situações e dos problemas a resolver que um conceito adquire sentido para a criança, ou seja, quando um conhecimento passa a ter estatuto de objeto ou nome, não mais predicado para resolver um problema, e passa a ser um objeto de pensamento (VASCONCELOS, 2006.p.17). A autora acima referida entende que o uso de situações problemas na aprendizagem da matemática representa a expressão mais refinada da competência matemática, por envolver uma gama de funções cognitivas: atenção, memória, leitura, compreensão, entre outras. A resolução de problemas permite a criança um desenvolvimento lógico matemático capaz de traduzir e conectar todas as informações aprendidas e relacioná-las com as novas. Ao tentar solucionar o problema é necessário compreender o problema (qual é a incógnita), estabelecer um plano (encontrar a conexão entre os dados e a incógnita), executar o plano e por fim examinar a solução obtida (POLYA, 1978). Assim, para chegar a uma solução correta é necessário eu se tenha alguns conhecimentos prévios que viabilizem compreender o problema e formular um plano de ação. Nesta pesquisa optou-se pela elaboração de situações problemas que possibilitassem perceber as estratégias utilizadas pelos alunos na resolução de problemas aditivos com diferentes posições da incógnita. Situações Problema

4 5084 Alguns estudiosos, como Nunes & Bryant (1997), entre outros, apontam três tipos de situações em problemas aditivos que contribuem para o entendimento do conceito de adição: situação de transformação, situação parte todo e de comparação. Na situação parte todo: os números se referem a conjuntos de objetos. Na situação de comparação é necessário quantificar comparações. A situação de transformação pode ser fácil, ao transformar uma quantidade acrescentando outra a ela ou subtraindo dela. Porém, existem os problemas de transformação que são mais complexos. Existem dois tipos de situações de transformação que requerem mais atenção e aumentam significativamente a dificuldade do problema: a) problema aditivo com montante ausente: exemplo: Joe tinha cinco bolinhas de gude. Então Tom lhe deu mais algumas bolinhas. Agora Joe tem oito bolinhas. Quantas bolinhas Tom deu a Joe? Existem duas formas para resolvê-lo usar: modelagem sem inversão, ou seja, somar quantidades até chegar ao valor procurado Outra é por subtração: para isso é necessário que a criança tenha a capacidade de compreender a subtração como inversa da adição, o que requer uma operação de pensamento ( NUNES & BRYANT, p119); b) transformação aditiva com início desconhecido: exemplo: Joe tinha algumas bolinhas de gude. Então Tom lhe deu mais cinco bolinhas. Agora Joe tem oito bolinhas. Quantas bolinhas Joe tinham no começo? Este tipo de problema requer que a criança reconheça mais uma invariável da adição: a comutatividade. O problema pode ser resolvido por ensaio e erro, acrescentando valores a quantidade dada até chegar a resposta. Outra opção é usar duas operações de pensamento, a comutatividade e a inversão ( NUNES & BRYANT, 1997.p.119). Haydu e cols. (2001) investigaram o padrão de comportamento de alunos na resolução de problemas de adição e subtração, para avaliar a existência de diferenças em relação a posição da incógnita ( a incógnita pode estar na posição a, b ou c dependendo da informação que falta, pode ser o primeiro operador, o segundo adendo ou o resultado). E observaram que o menor que os menores índices de acerto ocorreram em problemas na forma de sentença lingüística (problemas matemáticos) com a incógnita na posição a e b. Os autores concluíram que a forma de apresentação dos problemas e a posição da incógnita nos problemas são variáveis que interagem, afetando o desempenho das crianças.

5 5085 Neste estudo trabalha-se com os problemas com situações de transformação dos tipos de situação simples, de montante ausente e inicio desconhecido, com fim de perceber se os conceitos aditivos como a comutatividade (6+3 é igual a 3+6), a complementaridade (se 5+2 é igual a 7, então 7-5 deve ser igual a 2), já foram compreendidos pelos alunos. Memória de Trabalho A memória de trabalho é responsável pelo armazenamento de curto prazo e pela manipulação on line da informação necessária para as funções cognitiva superiores, como linguagem, planejamento e solução de problemas. (BUENO; OLIVEIRA, 2004). É por meio desta memória que estabelecemos relações entre o passado vivido, o presente e o futuro antevisto.o modelo elaborado por Baddeley (2002), para representar a memória de trabalho, é o mais utilizado, no qual esta memória funciona em um sistema subdividido, dotado de um controlador atencional executivo central e mais três subsistemas: a alça fonológica (armazena e manipula o material baseado na fala), o esboço vísuo-espacial (tem domínio sobre as propriedades visuais e espaciais dos objetos) e o buffer episódico (é um armazenador temporário, responsável pela integração de informações, tanto dos componentes verbais como visuais, entre memória de longo prazo e de curto prazo). A memória de trabalho é um tipo de memória que esta relacionada a todas as aprendizagens. No que se refere as aprendizagens matemáticas sua correlação se faz mais visível devido a complexidade do pensamento matemático e das exigências de conhecimentos prévios, atenção, memória, raciocínio que estão presentes em cada cálculo matemático e nas demais atividades matemáticas.em cálculos aritméticos as funções da memória de trabalho evidenciam-se por ter que estabelecer conexões entre conjuntos de informações. Para realizar um cálculo é necessário captar as informações a serem extraídas da operação, mantê-las na mente, relacioná-la com o objetivo e com a estratégia a ser tomada, sempre ativando a memória de trabalho em tempo real. Caso isso não ocorra pode acontecer um déficit na informação processada. Rebeca Bull (2006) confirma que o processo de cálculo aritmético mental envolve a memória de trabalho a um grau substancial. Santos (2004) esclarece que ao realizar cálculos mentais seguindo equações escritas numa folha de papel (ex = 9) usamos a memória de trabalho que inclui a representação mental da equação escrita através do esboço vísuo-espacial e a tradução dos símbolos escritos em números pronunciáveis na alça fonológica; os conceitos de soma, par ou

6 5086 ímpar aprendidos previamente, o resultado parcial, bem como as informações armazenadas nos subsistemas, ficariam ativados de forma integrada no buffer episódico, enquanto o executivo central coordenaria o processamento dessas informações até que as respostas fossem dadas. Nesta pesquisa estaremos analisando especificamente o componente fonológico do executivo central da memória de trabalho, por meio de um teste neuropsicológico e de atividades que possibilitem perceber as relações existentes entre as habilidades aritméticas envolvidas nas resolução de problemas e os recursos de memória de trabalho. Metodologia Amostra A amostra do estudo foi composta por 15 alunos com dez anos de idade de uma 4ª série do Ensino Fundamental de uma escola pública de Porto Alegre, sendo 10 meninas e 5 meninos. Instrumentos 1) Prova de Aritmética: que avalia o desempenho escolar em matemática de crianças de 1ª à 4ª série do Ensino Fundamental (CAPOVILLA & CAPOVILLA, 2007); 2) Teste de Digit Span (inverso): O teste utilizado para avaliar a memória de trabalho faz parte da adaptação brasileira do International Dyslexia Test (IDT), (CAPELLINI & SMITHE, 2008); 3) Tarefa matemática de resolução de problemas: elaborada para analisar as estratégias cognitivas de cada participante na resolução de problemas matemáticos. O total de pontos desta tarefa matemática de Resolução de Problemas é de 10 pontos. Descrição dos problemas elaborados para a tarefa matemática: Problema 1: problema de representação gráfica, que avalia a noção de número e a representação da parte e do todo na adição. Apresentam-se 3 folha com conjuntos de figuras ou sentenças que se interligam:

7 5087 1º) O entrevistador deve entregar a folha e solicitar que o participante observe com atenção e diga: a) o que tem na figura; b) há alguma relação entre a figura e a sentença matemática?qual? c) quanto é 16+11= d) onde esta o 16, o 11 e o 27, na figura. Ilustração 1: Desenho elaborado para a primeira tarefa de resolução de problemas 2º) O entrevistador solicita que o participante represente a sentença da figura dada. Ilustração 2: Desenho elaborado para a segunda tarefa de resolução de problemas 3º) O entrevistador solicita que o participante faça a representação gráfica, através de desenho, da sentença matemática. Ilustração 3: desenho utilizado para a terceira tarefa de resolução de problemas. Problema 2 - Oral: São lidos dois problemas de adição que devem ser respondidos oralmente e podem ser resolvida com auxilio de cálculo escrito ou material concreto. a) João tinha 25 figurinhas ganhou mais 17. Com quantas ficou? b) Maria tinha R$ 23,00 reais que havia economizado. Ganhou mais R$ 13,00 de seu pai. Com quantos reais ela ficou? Problema 3 - sentença: são apresentado 2 problemas de adição com diferentes posições da incógnita que devem ser interpretados, onde uma sentença tem como informação faltante a incógnita c e outro a b. O entrevistador apresenta uma ficha de cada vez ( A e B), com o problema e a sentença e solicita que o participante observe e leia o conteúdo da ficha, e pergunta: a) Há alguma relação da sentença com o problema?qual? b) Na sentença matemática o que o número X está representando? c) O que o quadrado representa? d) Como chegou ao resultado?

8 5088 A) Marcos comprou 12 bolas de gude. Ganhou de seu amigo mais 23 bolas de gude. Com quantas bolas de gude ele ficou? Sentença matemática a ser apresentada: = B) Miguel tem um álbum de figurinhas de jogadores de futebol. Ele tem 33 figurinhas e ganhou mais algumas figurinhas de sua mãe. Agora tem 53 figurinhas ao todo. Quantas figurinhas Miguel ganhou de sua mãe? Sentença matemática a ser apresentada: 33 + = 53 Problema 4: - seleção: São apresentado 2 problemas com alternativas de sentenças que os represente, o participante deve selecionar a sentença que melhor represente o problema. Avalia a capacidade de relacionar o problema com a sentença. Essa tarefa vale 4 pontos, 2 pontos para cada problema. Selecione a sentença matemática que melhor represente as situações dos problemas A) João tem muitos carrinhos, sua mãe comprou mais uma coleção com 15 carrinhos. Agora ele tem 32 carrinhos. Quantos carrinhos ele tinha? ( ) 16 + = 32 ( ) = ( ) + 15=32 B) Miguel gosta muito de doces. Ele ganhou de sua avó uma caixa com 16 bombons. Seu amigo lhe deu mais alguns. Agora ele tem 27 bombons. Quantos bombons seu amigo lhe deu? ( ) 16+ = 27 ( ) +16 = 27 ( ) + 12= 27 Procedimentos Foi enviado a cada participante um Termo de Consentimento Livre e Esclarecido para os pais ou responsáveis. A aplicação dos testes foram feitas em 3 etapas: aplicação de uma prova de aritmética (CAPOVILLA & CAPOVILLA, 2007), o teste de digito inverso que avalia a memória de trabalho e a intervenção clinica com duração aproximada de 30 minutos. A coleta de dados ocorreu entre outubro e novembro de 2008 e os encontros foram realizados na escola. Na primeira etapa foi realizada a prova de aritmética de forma coletiva (pequenos grupos), em seguida foram realizadas as entrevistas clinicas e o teste de forma individual. Os encontros foram registrados através de anotações e gravação em áudio. Para as tarefas matemáticas de resolução de problemas sempre foi disponibilizado matérias auxiliares caso o aluno precisasse, como: folhas em branco para calculo, material de contagem, lápis, borracha, e lápis de cor.

9 5089 Durante a tarefa matemática foi necessário perceber como foi à receptividade, disponibilidade e motivação dos alunos ao resolverem a tarefas, e também as estratégias que os participantes utilizam para solucionar cada problema. Algumas estratégias possíveis são: 1) Estratégias imaturas de contagem: um a um, dedos e erro na contagem. 2) Estratégias de cálculo: Maduras:a) mental; b)cálculo da subtração; Imaturas: a) erro no cálculo; b) calculo escrito; c) modelagem sem inversão ; d)cálculo de cada sentença; e) cálculo da sentença escolhida. 3) Estratégias de raciocínio: a) Representação conceitual precisa o participante faz a representação gráfica precisa; b)representação conceitual imprecisa o participante não faz uma representação conceitual precisa; c) Compreensão apropriada tem consciência da dúvida e pergunta, resolve corretamente a tarefa; d) Compreensão inapropriada: não pergunta e silencia sem fazer nada; e) seleciona corretamente a sentença; f) seleciona incorretamente a sentença. Resultados Quadro 1 Resultados padronizados da Prova de Aritmética, da memória de trabalho e de resolução de problemas. Prova de Memória de Resolução de Sujeito Aritmética Trabalho Problemas 1 1,15 2,17 1,43 2 1,03-0,11-0,54 3 1,03-0,11 1,43 4 0,9 2,17 0,94 5 0,64-0,11-0,54 6 0,64-0,11 0,44 7 0,26 2,17 0,44 8 0,26 1,03 1,43 9 0,14-0,11-1, ,12-0,11 0, ,37-0,11 0, ,63-1,26-1, ,39-1,26-1, ,64 1,03-0, ,9-1,26-1,04 Média 50,93 4,1 8,55 D. Padrão 7,87 0,88 1,01

10 5090 Na prova de aritmética (P.A), a média do desempenho dos participantes ficou em 50,9 e o desvio padrão em 7,8. Do total dos participantes 53% ficaram na média, 26% atingiu um desempenho superior a média acima dos demais e 20% ficou abaixo da média. No teste de memória de trabalho ( componente fonológico), avaliada através da tarefa de digit Span inverso do IDT, a média ficou em 4,1 e o desvio padrão 0,88. Do total de participantes 26% ficaram acima da média com um ou mais desvios padrão, 46% ficaram na média e 20% ficou abaixo da média. Na resolução de problemas matemáticos a média foi 8,5 e o desvio padrão foi de 1,01. Do total de participantes, 33% ficaram dentro de um desvio padrão da média, 20% ultrapassaram um desvio padrão e 46% ficaram abaixo da média. Quadro 2 Estratégias utilizadas pelos alunos Estratégias Observadas % E.I. C ONT A G EM*** Contagem 1 a % Contagem nos dedos 66 % Erro na contagem 20% E.**** C Cálculo mental 46% MADURAS Cálculo da subtração 80% Cálculo escrito 53% Cálculo de cada sentença 40% IMATURAS Cálculo da sentença escolhida 46% Erro no cálculo 33% ESTRATÉGIA DE RACIOCÍONIO Modelagem sem inversão 46% Compreensão apropriada * 73% Compreensão inapropriada** 26% Seleciona corretamente 60% Seleciona incorretamente 40% *tem consciência da dúvida e pergunta, resolve corretamente a tarefa. **não pergunta e silencia sem fazer nada *** Estratégias Imaturas de Contagem (E.I.C) ****Estratégias de cálculo (E. C) Considerações Finais Em uma análise preliminar dos resultados, pode-se ver que os participantes que obtiveram maiores escores na prova de aritmética, também obtiveram maiores escores no teste de memória de trabalho, memória de curto prazo e na resolução de problemas matemáticos.

11 5091 Os participantes com menores escores na prova de aritmética obtiveram menores escores em todas as atividades, o que salienta a relação entre o desempenho escolar, a memória de trabalho e a capacidade de resolver problemas. Verificamos que os participantes que obtiveram os menores índices no teste de memória de trabalho, também obtiveram menores índices de desempenho na resolução de problemas matemáticos, como vem sendo evidenciado por estudos de Geary (2004) que relataram: crianças com dificuldades em matemática tem funções do Executivo Central (MT) mais limitada, indicada pelo desempenho mais fraco em uma tarefa de digit span inverso. No que diz respeito ao desempenho na resolução de problemas, os menores escores foram apresentados nas tarefas 1 e 4. No problema 1, o qual avalia a noção aditiva por meio de desenho, 46% ficou abaixo da média ( 0,7), sendo o desvio padrão de 0,2. No problema 4, a qual avalia a capacidade de compreensão do problema (identificação da incógnita) por meio da escolha da sentença correta, o escore também foi baixo e 40% ficou abaixo da média (3,2). O maior índice de acertos ocorreu nas tarefas 2 e 3, que avaliavam a capacidade de atenção e compreensão, onde 86% dos participantes ficaram acima da média. Sendo assim, é interessante perceber que o escore máximo da tarefa 1 foi apenas 23% do escore máximo atingido. Em relação às estratégias de resolução utilizadas pode-se dizer que os participantes ainda utilizam estratégias imaturas para resolução de problemas, visto que 100% dos participantes utilizam contagem um a um, 66% usaram contagem nos dedos e 20% errou a contagem. É importante destacar que 46% dos alunos apresentaram dificuldade na noção de número, na relação parte todo e na representação gráfica, evidenciando falhas conceituais em sua aprendizagem. Apesar das estratégias cognitivas utilizadas serem imaturas, observamos que a interlocução com a pesquisadora favoreceu a resolução correta dos problemas apresentados.como apontam os estudos do ensino da matemática, a interação verbal do professor com os alunos desempenha um papel fundamental na aprendizagem. REFERÊNCIAS BADDELEY, A.D. Is Working Memory Still Working? European Psychologist, Vol. 7, No. 2, June 2002, pp

12 5092 BUENO, Orlando Francisco Amodeo. OLIVEIRA, Maria G. Menezes. Memória e amnésia. Neuropsicologia Hoje. Porto Alegre. Artmed, BULL,R.& ESPI,K. Developmente Cognitive Neuroscience Laboratory. University of Nebraska,2006 CAPOVILLA A.G.S. & F.C. CAPOVILLA, Teoria e prática em avaliação neuropsicológica. 1. ed. São Paulo, SP: Memnon, v. 1. CAPELLINI, A. G; SMYTHE, I Adaptação brasileira do International Dyslexia Test: perfil cognitivo de crianças com escrita pobre: temas sobre Desenvolvimento. V.10, n.57.p GEARY,D. Mathematics and learning disabilities.. Journal of Learning Disabilities. Vol.37,nº1,2004. HAYDU, Verônica Bender; COSTA, Lucita Portela da; PULLIN, Elsa Maria Mendes Pessoa. Resolução de Problemas Aritméticos: Efeito de Relações de Equivalência entre Três Diferentes Formas de Apresentação dos Problemas. Psicologia: Reflexão e Crítica, Porto Alegre, v. 19, p , 2006 NUNES, T; BRYANT, P. Crianças fazendo matemática. Porto Alegre: Artes Médicas, 1997 POLYA, G. A arte de resolver problemas; tradução de Heitor Lisboa de Araujo. Rio de Janeiro, Interciência, RELATÓRIO SAEB. Sistema Nacional De Avaliação Da Educação Básica SAEB Brasília, SANTOS, F. H. MELLO, C. B. Memória Operacional e estratégias de memória na infância. IN: ANDRADE, V. M.; SANTOS, F. H.; BUENO O. F. A.. Neuropsicológica Hoje. Porto Alegre. Artmed, 2004 VASCONCELOS, I. C. P. Números Fracionários: A construção dos diferentes sentidos pela criança. Projeto de Dissertação de mestrado. Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Programa de Pós-graduação em Educação. Porto Alegre, 2006.