RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA ARFRB PROFESSOR: GUILHERME NEVES

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1 Aula 2 Equivalências Lógicas... 2 Condição Necessária e Condição Suficiente Negação de proposições compostas Negação de proposições quantificadas Diagramas de Euler-Venn. 29 Relação das questões comentadas. Gabaritos Prof. Guilherme Neves 1

2 Equivalências Lógicas RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA ARFRB Estudaremos agora um conceito importantíssimo em Lógica: as famosas equivalências lógicas. E o que são proposições logicamente equivalentes? Grosso modo, duas proposições são logicamente equivalentes quando elas dizem a mesma coisa. Por exemplo: : Eu joguei o lápis. : O lápis foi jogado por mim. As duas proposições acima têm o mesmo significado. Elas querem dizer a mesma coisa!! Quando uma delas for verdadeira, a outra também será. Quando uma delas for falsa, a outra também será. Dizemos, portanto, que elas são logicamente equivalentes. Em símbolos dizemos: Esta seta dupla é o símbolo de equivalência. Vamos conversar formalmente agora... Duas proposições são logicamente equivalentes se e somente se possuem a mesma tabela-verdade. Vamos mostrar, por exemplo, que a proposição p q equivalente a ( p q) ( q p). Ou seja, que ( p q) [ ( p q) ( q p) ]. Construímos a tabela-verdade e verificamos se os valores lógicos das duas proposições são sempre iguais. p q p q q p ( p q ) ( q p ) p q V V V V V V V F F V F F F V V F F F F F V V V V Assim, acabamos de mostrar que uma proposição bicondicional equivale à conjunção de dois condicionais. Há algumas equivalências notáveis que são muito cobradas em concursos. Vamos enunciar as equivalências, demonstrá-las e aplicá-las. Teorema: As proposições p q, ~ q ~ pe ~p q são logicamente equivalentes. Demonstração: Prof. Guilherme Neves 2

3 p q ~q ~p p q ~ q ~ p ~p q V V F F V V V V F V F F F F F V F V V V V F F V V V V V Como os valores lógicos das três proposições são iguais, elas são ditas logicamente equivalentes. Em uma linguagem informal, poderíamos construir o seguinte algoritmo para construir essas proposições equivalentes notáveis, dada a proposição condicional p q. ~ q ~ p ~p q Negue o antecedente e o consequente, troque a ordem e mantenha o conectivo se...,então Negue apenas o antecedente e troque o conectivo por ou. Por exemplo, dada a proposição Se bebo, então não dirijo, temos que as seguintes proposições são equivalentes a ela: i) Se dirijo, então não bebo. ii) Não bebo ou não dirijo. 01. (SGA/AC 2007/CESPE-UnB) As proposições A B e ( B) ( A) têm a mesma tabela verdade. Como comentei anteriormente, estas duas proposições são equivalentes. O item está certo. 02. (Agente Penitenciário SJDH-BA 2010/FCC) Uma afirmação equivalente à afirmação Se bebo, então não dirijo é (A) Se não bebo, então não dirijo. (B) Se não dirijo, então não bebo. (C) Se não dirijo, então bebo. (D) Se não bebo, então dirijo. (E) Se dirijo, então não bebo. Como foi dito anteriormente, há duas proposições equivalentes (notáveis): i) Se dirijo, então não bebo. ii) Não bebo ou não dirijo. Prof. Guilherme Neves 3 Letra E

4 03. (Polícia Civil 2007/Ipad) A sentença Penso, logo existo é logicamente equivalente a: a) Penso e existo. b) Nem penso, nem existo. c) Não penso ou existo. d) Penso ou não existo. e) Existo, logo penso Dada a proposição penso existo, temos, trivialmente, duas proposições equivalentes a ela: i) Se não existo, então não penso. (Nega o antecedente e o consequente, troca a ordem e mantém o conectivo.) ii) Não penso ou existo. (Nega o antecedente e troca o conectivo por ou ). Letra C 04. (MPOG/2006/Esaf) Dizer que André é artista ou Bernardo não é engenheiro é logicamente equivalente a dizer que: a) André é artista se e somente se Bernardo não é engenheiro. b) Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro. c) Se André não é artista, então Bernardo é engenheiro. d) Se Bernardo é engenheiro, então André é artista. e) André não é artista e Bernardo é engenheiro. Dada uma proposição p q podemos construir uma proposição logicamente equivalente negando o antecedente e trocando o conectivo por ou obtendo a proposição ~p q. Podemos seguir o caminho contrário; dada uma proposição com o conectivo ou, construímos uma equivalente negando a primeira proposição e trocando o conectivo por se..., então. Assim, a proposição André é artista ou Bernardo não é engenheiro é equivalente a Se André não é artista, então Bernardo não é engenheiro, que, por sua vez, é equivalente a Se Bernardo é engenheiro, então André é artista. Letra D 05. (TCE/MG/2007/FCC) São dadas as seguintes proposições: (1) Se Jaime trabalha no Tribunal de Contas, então ele é eficiente. (2) Se Jaime não trabalha no Tribunal de Contas, então ele não é eficiente. (3) Não é verdade que, Jaime trabalha no Tribunal de Contas e não é eficiente. (4) Jaime é eficiente ou não trabalha no Tribunal de Contas. É correto afirmar que são logicamente equivalentes apenas as proposições de números Prof. Guilherme Neves 4

5 a) 2 e 4 b) 2 e 3 c) 2, 3 e 4 d) 1, 2 e 3 e) 1, 3 e 4 Chamando de p : Jaime trabalha no Tribunal de Contas e de q : Jaime é eficiente, as proposições (1), (2), (3) e (4) podem, simbolicamente, ser reescritas das seguintes maneiras: (1) p q (2) ~ p ~ q (3) ~ ( p ~ q) (4) q ~ p Vamos então construir a tabela-verdade e verificar quais são equivalentes. p q ~p ~q p ~ q (1):p q (2):~ p ~ q (3):~( p ~ q) (4): q ~ p V V F F F V V V V V F F V V F V F F F V V F F V F V V F F V V F V V V V Observe que as proposições (1), (3) e (4) possuem as mesmas valorações e, portanto, são equivalentes. Letra E 06. (Administrador DNOCS 2010/FCC) Considere a seguinte proposição: Se uma pessoa não faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho, então ela não melhora o seu desempenho profissional. Uma proposição logicamente equivalente à proposição dada é: (A) É falso que, uma pessoa não melhora o seu desempenho profissional ou faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho. (B) Não é verdade que, uma pessoa não faz cursos de aperfeiçoamento profissional e não melhora o seu desempenho profissional. (C) Se uma pessoa não melhora seu desempenho profissional, então ela não faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho. (D) Uma pessoa melhora o seu desempenho profissional ou não faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho. (E) Uma pessoa não melhora seu desempenho profissional ou faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho. Temos, trivialmente, duas proposições equivalentes a ela: i) Se a pessoa melhora o seu desempenho profissional, então ela faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho. (Nega o antecedente e o consequente, troca a ordem e mantém o conectivo.) Prof. Guilherme Neves 5

6 ii) Uma pessoa faz cursos de aperfeiçoamentos na sua área de trabalho ou ela não melhora o seu desempenho profissional. (Nega o antecedente e troca o conectivo por ou ). O que a FCC fez foi trocar a ordem das proposições no caso ii. Isto é perfeitamente permitido, já que a o conectivo ou permite a troca da ordem das frases sem alterar o seu sentido. Letra E 07. (MPE-AM 2007/CESPE-UnB) As proposições ( A) ( B) e A B têm exatamente as mesmas valorações V ou F, independentemente das valorações V ou F atribuídas às proposições básicas A e B. Vamos construir uma tabela-verdade para as duas proposições. Há 2² = 4 linhas. Começamos com as proposições A,B e suas respectivas negações. A B A B V V F F V F F V F V V F F F V V Para construir ( A) ( B) devemos conectar a terceira coluna com a quarta coluna através do conectivo ou. A composta será verdadeira em todas as linhas que houver pelo menos uma verdadeira. A B A B ( A) ( B) V V F F F V F F V V F V V F V F F V V V Para construir A B, devemos conectar a terceira coluna com a segunda coluna (com o conectivo se...,então...). Observe que devemos olhar primeiro para A e depois para B. A composta A B é falsa na quarta linha, pois A é verdadeira e B é falsa. A B A B ( A) ( B) A B V V F F F V V F F V V V F V V F V V F F V V V F O item está errado, pois as proposições A B e ( A) ( B) não possuem as mesmas valorações. (MPE-AM 2007/CESPE-UnB)Texto II para os itens 08 e 09 Duas proposições são denominadas equivalentes quando têm exatamente as mesmas valorações V e F. Por exemplo, são equivalentes as proposições ( A) B e A B. Prof. Guilherme Neves 6

7 A partir das informações dos textos I e II acima, e supondo que A simboliza a proposição Alice perseguiu o Coelho Branco e B simboliza a proposição O Coelho Branco olhou o relógio, julgue os itens a seguir. 08. A proposição Se o Coelho Branco não olhou o relógio, então Alice não perseguiu o Coelho Branco pode ser simbolizada por ( B) ( A). O item está certo. B: O Coelho Branco olhou o relógio ( B): O Coelho Branco não olhou o relógio A: Alice perseguiu o Coelho Branco. ( A): Alice não perseguiu o Coelho Branco. Portanto, ( B) ( A): Se o Coelho Branco não olhou o relógio, então Alice não perseguiu o Coelho Branco. 09. A proposição Se o Coelho Branco olhou o relógio, então Alice não perseguiu o Coelho Branco é equivalente à proposição O Coelho Branco não olhou o relógio ou Alice não perseguiu o Coelho Branco. Lembremos o que foi dito na exposição teórica. Dada a proposição condicional p q. ~ q ~ p ~p q Negue o antecedente e o consequente, troque a ordem e mantenha o conectivo se...,então Negue apenas o antecedente e troque o conectivo por ou. Então dada a proposição Se o Coelho Branco olhou o relógio, então Alice não perseguiu o Coelho Branco, devemos negar apenas o primeiro componente e trocar o conectivo por ou. Obtemos: O Coelho Branco não olhou o relógio ou Alice não perseguiu o Coelho Branco. O item está certo (PROMINP 2010 Nível Superior/CESGRANRIO) Qual, dentre as proposições abaixo, é uma proposição logicamente equivalente a ~p ~q? (A) p q (B) p ~q (C) q ~p (D) q p (E) ~q ~p Podemos resolver esta questão de duas formas: sabendo as dicas que falei anteriormente ou construindo as tabelas. Prof. Guilherme Neves 7

8 A proposição dada é ~ ~. É pedida uma proposição logicamente equivalente. Dê uma olhadinha nas alternativas... Todas possuem condicionais. Vimos que dada a proposição condicional p q. ~ q ~ p Negue o antecedente e o consequente, troque a ordem e mantenha o conectivo se...,então No caso, temos ~ ~. Devemos negar o antecedente e o consequente. Depois devemos trocar a ordem das proposições. Ficamos com. Para comprovar, basta construir a tabela verdade das duas proposições e verificar que são iguais. Letra D 011. (PROMINP Nível Superior 2009/CESGRANRIO) Sejam, proposições e ~,~, ~, respectivamente, as suas negações. Os conectivos e e ou são representados, respectivamente, por e. A implicação é representada por. A proposição composta ~ é equivalente a (A) ~ (B) ~ (C)~ ~ (D)~ ~ (E) ~ ~ Novamente temos uma proposição condicional: ~ Precisamos assinalar uma proposição logicamente equivalente à proposição dada. Todas as alternativas possuem condicionais. Devemos negar o antecedente, negar o consequente e trocar a ordem. Ora, a negação do consequente é muito fácil: ~ Estudaremos ainda nesta aula a negação de proposições compostas. Aprenderemos que para negar uma proposição composta pelo conectivo ou, devemos negar os dois componentes e trocar o conectivo ou pelo conectivo e. Portanto, a negação da proposição ~ é a proposição ~. Assim, a equivalente de ~ é a proposição ~ ~. Lembre-se que devemos trocar a ordem... Gabarito: D Prof. Guilherme Neves 8

9 012. (Administrador TERMOCEARÁ CESGRANRIO 2009) Duas proposições compostas são equivalentes se têm a mesma tabela de valores lógicos. É correto afirmar que a proposição composta p q é equivalente à proposição (A) p q (B) p q (C) p ~q (D) ~p ~q (E) ~q ~p Aplicação direta das equivalências vistas anteriormente. Letra E 013. (Agente Administrativo FUNASA CESGRANRIO 2009) Se Marcos levanta cedo, então Júlia não perde a hora. É possível sempre garantir que (A) se Marcos não levanta cedo, então Júlia perde a hora. (B) se Marcos não levanta cedo, então Júlia não perde a hora. (C) se Júlia perde a hora, então Marcos levantou cedo. (D) se Júlia perde a hora, então Marcos não levantou cedo. (E) se Júlia não perde a hora, então Marcos levantou cedo. É dada uma proposição composta pelo se..., então.... Podemos garantir algo que queira dizer a mesma coisa, falando grosseiramente. No caso, devemos assinalar uma proposição logicamente equivalente. Observe que todas as alternativas possuem frases compostas pelo se..., então.... Vamos negar os dois componentes e trocar a ordem. Ficamos com: Se Júlia perde a hora, então Marcos não levanta cedo. Letra D Prof. Guilherme Neves 9

10 Condição Necessária e Condição Suficiente Vamos considerar as seguintes proposições: Considere agora a proposição composta : :h é. :h é. : h é, ã h é. Imagine que alguém te informou que de fato Guilherme é pernambucano. Você já pode garantir que Guilherme é brasileiro? Sim!! Desta forma, dizemos que Guilherme ser pernambucano é condição suficiente para Guilherme ser brasileiro. Por que é condição suficiente? Porque basta saber que Guilherme é pernambucano para garantir que Guilherme é brasileiro. Generalizando, dizemos que no condicional, é condição suficiente para. Imagine agora que alguém te informou que Guilherme é brasileiro. Você garante que Guilherme é pernambucano? Não!! Ou seja, saber que Guilherme é brasileiro NÃO É SUFICIENTE para saber que Guilherme é pernambucano. Mas uma coisa podemos garantir: para que Guilherme seja pernambucano, ele necessariamente tem que ser brasileiro. Ou seja, Guilherme ser brasileiro é condição necessária para Guilherme ser pernambucano. Diz-se que p é condição suficiente de (ou para) q sempre que p q. Em outras palavras, uma condição suficiente aparece como antecedente de uma proposição condicional. Usando a mesma expressão, q se diz condição necessária de (ou para) p. Em outras palavras, uma condição necessária aparece como consequente de uma condicional. Por exemplo, a proposição Se Guilherme é pernambucano, então Guilherme é brasileiro pode ser lida das seguintes maneiras: Guilherme ser pernambucano é condição suficiente para Guilherme ser brasileiro. Guilherme ser brasileiro é condição necessária para Guilherme ser pernambucano. Resumindo... p q p é condição suficiente para q q é condição necessária para p Exemplo: Considere a frase Penso, logo existo. Esta frase significa que Se penso, então existo. Prof. Guilherme Neves 10

11 Lembre-se que o primeiro componente do se..., então é a condição suficiente. Desta forma: Pensar é condição suficiente para existir. O segundo componente do se..., então... é a condição necessária. Desta forma: Existir é condição necessária para pensar. Lembra da equivalência ~ ~ que estudamos na aula passada? Pois bem, a proposição Se penso, então existo. é equivalente à proposição: Se não existo, então não penso, que pode ser escrita como: Não existir é condição suficiente para não pensar. Não pensar é condição necessária para não existir. Vamos agora considerar as seguintes proposições: Considere agora a proposição composta : :h é!. :h "!. :h é! h "!. Esta frase tem o seguinte significado: Se Guilherme é recifense, então Guilherme nasceu no Recife e se Guilherme nasceu no Recife, então Guilherme é recifense.. Trata-se, portanto, de um bicondicional. Diz-se que p é condição necessária e suficiente de (ou para) q, ou que q é condição necessária e suficiente de (ou para) p sempre que p q. Por exemplo, a proposição Guilherme é recifense se e somente se nasceu no Recife pode ser lida das seguintes maneiras: Guilherme ser recifense é condição necessária e suficiente para ter Guilherme nascido no Recife. Guilherme ter nascido no Recife é condição necessária e suficiente para Guilherme ser recifense. Em resumo: p q p q p é condição suficiente para q q é condição necessária para p p é condição necessária e suficiente para q q é condição necessária e suficiente para p 14. (MEC/2008/FGV) Com relação à naturalidade dos cidadãos brasileiros, assinale a alternativa logicamente correta: a) Ser brasileiro é condição necessária e suficiente para ser paulista. b) Ser brasileiro é condição suficiente, mas não necessária para ser paranaense. c) Ser carioca é condição necessária e suficiente para ser brasileiro. Prof. Guilherme Neves 11

12 d) Ser baiano é condição suficiente, mas não necessária para ser brasileiro. e) Ser maranhense é condição necessária, mas não suficiente para ser brasileiro. paulista. Falso, pois pode ocorrer o caso de uma pessoa ser brasileira e não ser a) paulista. Brasileiro Contradição, pois os valores lógicos das proposições componentes de uma bicondicional devem ser iguais. Uma proposição bicondicional equipara-se a dois condicionais: Se uma pessoa é brasileira, então ela é paulista e, se uma pessoa é paulista, então ela é brasileira. b) Brasileiro paranaense. Falso, pois pode ocorrer o caso de uma pessoa ser brasileira e não ser paranaense. Como vimos, não pode ocorrer VF em uma condicional. c) Carioca brasileiro. Falso, pela mesma razão da alternativa A. d) Baiano brasileiro. Verdadeiro, pois é impossível que uma pessoa seja baiana e não seja brasileira. Neste caso é impossível ocorrer VF. É impossível que o antecedente seja verdadeiro e o consequente falso. e) Brasileiro maranhense. Falso, pela mesma razão da alternativa B. Letra D 15. (Bacen/2006/FCC) Sejam as proposições: p: atuação compradora de dólares por parte do Banco Central. q: fazer frente ao fluxo positivo. Se p implica q, então: a) Fazer frente ao fluxo positivo é condição necessária e suficiente para a atuação compradora de dólares por parte do Banco Central. b) A atuação compradora de dólares por parte do Banco Central não é condição suficiente e nem necessária para fazer frente ao fluxo positivo. c) A atuação compradora de dólares por parte do Banco Central é condição necessária para fazer frente ao fluxo positivo. d) Fazer frente ao fluxo positivo é condição suficiente para a atuação compradora de dólares por parte do Banco Central. e) A atuação compradora de dólares por parte do Banco Central é condição suficiente para fazer frente ao fluxo positivo. p implica q é o mesmo que. Desta forma: p é condição suficiente para q. A atuação compradora de dólares por parte do Banco Central é condição suficiente para fazer frente ao fluxo positivo. Letra E Prof. Guilherme Neves 12

13 16. (BB/2008-2/CESPE) A proposição Se as reservas internacionais em moeda forte aumentam, então o país fica protegido de ataques especulativos pode também ser corretamente expressa por O país ficar protegido de ataques especulativos é condição necessária para que as reservas internacionais aumentem. Se as reservas internacionais em moeda forte aumentam, então o país fica protegido de ataques especulativos. O primeiro componente é condição suficiente. Aumentar as reservas internacionais em moeda forte é condição suficiente para o país ficar protegido de ataques especulativos. O segundo componente é condição necessária. O país ficar protegido de ataques especulativos é condição necessária para que as reservas internacionais em moeda forte aumentem. Observe que a frase que nós construímos não foi a mesma do enunciado. A frase do enunciado é a seguinte: O país ficar protegido de ataques especulativos é condição necessária para que as reservas internacionais aumentem. Está faltando a expressão em moeda forte. Mesmo assim, o CESPE considerou o item como certo. O item está certo. (UNIPAMPA 2009/CESPE-UnB) Uma proposição é uma sentença declarativa que pode ser julgada como verdadeira (V) ou falsa (F), mas não como V e F simultaneamente. As proposições são representadas por letras maiúsculas A, B, C etc. A partir de proposições dadas, podem-se construir novas proposições usando símbolos lógicos, como nos exemplos seguintes. - conjunção: A B (lê-se A e B ), que terá valor lógico V se as proposições A e B forem ambas V, caso contrário, será F; - disjunção: A B (lê-se A ou B ), que terá valor lógico F se as proposições A e B forem ambas F, caso contrário, será V; - condicional: A B (lê-se se A, então B ), que terá valor lógico F se A for V e B for F, caso contrário, será V; - disjunção exclusiva: A B, que será V sempre que as proposições A e B tiverem valores lógicos distintos. A negação da proposição A, simbolizada por A (lê-se não A ), será V se A for F e, F se A for V. O artigo 5.º, XL, da Constituição Federal de 1988 estabelece que a lei penal não retroagirá, salvo para beneficiar o réu, isto é, se a lei penal retroagiu, então a lei penal beneficiou o réu. À luz dessa regra constitucional, considerando as proposições P: A lei penal beneficiou o réu e Q: A lei penal retroagiu, ambas verdadeiras, e as definições associadas à lógica sentencial, julgue os itens a seguir. Prof. Guilherme Neves 13

14 17. A proposição Ou a lei penal retroagiu, ou a lei penal não beneficiou o réu tem valor lógico F. O enunciado nos mandou considerar como verdadeiras as seguintes proposições: P: A lei penal beneficiou o réu Q: A lei penal retroagiu Podemos representar simbolicamente a proposição composta Ou a lei penal retroagiu, ou a lei penal não beneficiou o réu assim: $ v ~%. Neste caso, a proposição Q é verdadeira e a proposição ~P é falsa (pois é a negação de P). Uma proposição composta pelo ou exclusivo é verdadeira quando apenas um dos componentes for verdadeiro. É exatamente o que está acontecendo. Portanto, a proposição tem valor lógico verdadeiro. O item está errado. 18. A proposição É necessário que a lei penal não retroaja para não beneficiar o réu tem valor lógico V. A proposição dada é a seguinte. se a lei penal retroagiu, então a lei penal beneficiou o réu Esta proposição é verdadeira, pois P e Q são verdadeiras. A proposição se a lei penal retroagiu, então a lei penal beneficiou o réu é equivalente a: Se a lei penal não beneficiou o réu, então a lei penal não retroagiu. Lembremos: o primeiro componente é condição suficiente e o segundo componente é condição necessária. Portanto, a proposição dada é equivalente a: A lei penal não retroagir é condição necessária para a lei penal não beneficiar o réu. Que é exatamente a proposição que consta no enunciado. O item está certo. 19. A proposição Embora a lei penal não tenha retroagido, ela beneficiou o réu tem valor lógico F. O significado lógico desta frase é o seguinte: A lei penal não retroagiu e a lei penal beneficiou o réu. Prof. Guilherme Neves 14

15 Como o primeiro componente é falso, então a proposição é falsa (lembre-se que a proposição composta pelo conectivo e só é verdadeira quando os dois componentes são verdadeiros. O item está certo. Curiosidade Pode-se ver com bastante frequência nos textos a expressão condição sine qua non. Esta expressão, originada do latim, significa condição necessária. Portanto, dizer que Existir é condição necessária para pensar é o mesmo que dizer Existir é condição sine qua non para pensar. Literalmente, condição sine qua non significa condição sem a qual não. Em tempo: A frase Penso, logo existo em latim é Cogito ergo sum. Negação de proposições compostas Aprenderemos agora a construir a negação de proposições compostas. Dada uma proposição p qualquer, uma outra proposição, chamada negação de p, pode ser formada escrevendo-se É falso que... antes de p ou, se possível, inserindo a palavra não. Simbolicamente, a negação de p é designada por ~ p ou p. Para que ~ p seja uma proposição, devemos ser capazes de classificá-la em verdadeira (V) ou falsa (F). Para isso vamos postular (decretar) o seguinte critério de classificação: A proposição ~ p tem sempre o valor lógico oposto de p, isto é, ~ p é verdadeira quando pé falsa e ~ p é falsa quando pé verdadeira. p ~ p V F F V Exemplo: p: Paris está na França. ~ p: É falso que Paris está na França. ~ p: Paris não está na França. ~ p: Não é verdade que Paris está na França. Devemos ter certo cuidado ao negar as proposições. Em termos de lógica, a negação de uma proposição p será a proposição ~ p. A negação de A parede é branca é A parece não é Prof. Guilherme Neves 15

16 branca. A negação efetua a simples troca do valor verdade de p. Assim, quando p é verdadeira, ~ p é falsa; quando p é falsa, ~ p é verdadeira. Essa simplicidade lógica se opõe às várias complicações que a negação coloca nos discursos. Considere então a proposição: Guilherme jogou um livro na perna de João. A negativa, de acordo com a Lógica, limita-se a trocar o valor-verdade da afirmação feita. Limitase a dizer que a afirmativa é falsa. Entretanto, essa falsidade pode recair em vários itens da afirmação. i) Não foi Guilherme quem jogou o livro, foi Alberto. ii) Não jogou, apenas encostou. iii) Não foi um livro, e sim um caderno. iv) Não foi na perna, foi na barriga. v) Não foi em João, foi em Paulo. Como nos revela este exemplo, há uma negação externa, aplicável a uma proposição inteira, e uma negação interna, aplicável a algum componente da proposição. Queremos com isso mostrar que, por exemplo, não são equivalentes as proposições ~ ( p q) e ~ p ~ q. Para evitar dúvidas, enunciaremos as fórmulas de negação das proposições compostas, demonstraremos e, em seguida, aplicaremos nas diversas questões de concurso. Negação das proposições usuais Negação Afirmação p ~p p q ~ p ~ q p q ~ p ~ q p q p ~ q p q ( p ~ q ) ( q ~ p ) ~ ~ v Poderíamos montar esta tabela em uma linguagem informal para um melhor entendimento do leitor iniciante. Prof. Guilherme Neves 16

17 Observe que há várias maneiras de negar a proposição composta pelo se e somente se. Raramente a negação deste conectivo aparece em provas. Afirmação p q p q p q p q Negação Negue as duas proposições e troque o conectivo e pelo conectivo ou Negue as duas proposições e troque o conectivo ou pelo conectivo e Afirme o antecedente, troque o conectivo condicional pelo conectivo e e negue o consequente. Afirme a primeira e negue a segunda, coloque o conectivo ou e em seguida afirme a segunda e negue a primeira. Negue apenas o segundo componente e mantenha o conectivo. Negue apenas o primeiro componente e mantenha o conectivo. Troque o conectivo se e somente se pelo conectivo ou exclusivo. p q ~p ~q p q ~ ( p q) ~ p ~ q p q ~ ( p q) ~ p ~ q V V F F V F F V F F V F F V F V V V F F F V V F F V V V F F F F V V F V V F V V Mostramos que ~ ( p q) é equivalente a ~ p ~ q e que ~ ( p q) é equivalente a ~ p ~ q. ~ ( p q) ~ p ~ ~ ( p q) ~ p ~ q q Estas duas equivalências são chamadas Leis de De Morgan em homenagem ao matemático inglês Augustus De Morgan ( ). Demonstremos agora as fórmulas de negação do condicional e do bicondicional. Prof. Guilherme Neves 17

18 p q ~p ~q p q ~ ( p q) p ~ q q ~ p p q ~ ( p q) ( p ~ q) ( q ~ p) V V F F V F F F V F F V F F V F V V F F V V F V V F V F F V F V V F F V V V F F F V F F ~ ~ v F F F V V V V V V F F F ~ ( p q) p ~ q ~ ( p q) ( p ~ q) ( q ~ p) ~ ~ ~ ~ ~ v Não daremos muita ênfase à negação do bicondicional (se e somente se) devido a sua pouca importância em matéria de concursos públicos. O mais importante de tudo é manter em mente a seguinte tabela: Afirmação p q p q p q Negação Negue as duas proposições e troque o conectivo e pelo conectivo ou Negue as duas proposições e troque o conectivo ou pelo conectivo e Afirme o antecedente, troque o conectivo condicional pelo conectivo e e negue o consequente. Vejamos alguns exemplos. Exemplo 1: Conjunção ~ ( p q) ~ p ~ q Afirmação: Vou ao cinema e vou ao teatro. Prof. Guilherme Neves 18

19 Negação: Não vou ao cinema ou não vou ao teatro. Exemplo 2: Disjunção ~ ( p q) ~ p ~ q Afirmação: Eu te ensino Lógica ou meu nome não é Guilherme. Negação: Não te ensino Lógica e meu nome é Guilherme. Exemplo 3: Condicional ~ ( p q) p ~ q Afirmação: Se for beber, então não dirija. Negação: Bebo e dirijo. Negação de proposições quantificadas Observe as seguintes expressões: a)2 x+ 6 = 0 b) x 3 > 0 Elas contêm variáveis e seus valores lógicos (verdadeira ou falsa) dependem do valor atribuído à variável. a) 2 x+ 6 = 0 é verdadeira se trocarmos x por 3 e é falsa para qualquer outro valor atribuído a x. b) x 3 > 0 é verdadeira, por exemplo, para x= 8 e falsa, por exemplo, para x= 1. Expressões que contêm variáveis são chamadas de sentenças abertas ou funções proposicionais. Como já comentamos, tais expressões não são proposições, pois seus valores lógicos dependem dos valores atribuídos às variáveis. Entretanto, temos duas maneiras de transformar funções proposicionais em proposições: atribuir valor às variáveis ou utilizar quantificadores. Quantificadores são palavras ou expressões que indicam que houve quantificação. São exemplos de quantificadores as expressões: existe, algum, todo, cada, pelo menos um, nenhum. Note que os dicionários, de modo geral, não registram quantificador. Esse termo, no entanto, é de uso comum na Lógica. Uma proposição é dita categórica quando é caracterizada por um quantificador seguido por uma classe ou de atributos,um elo e outra classe de atributos. Vejamos exemplos de proposições quantificadas. Prof. Guilherme Neves 19

20 Proposição universal afirmativa Todo recifense é pernambucano. Proposição universal negativa Nenhum recifense é pernambucano. Proposição particular afirmativa Algum recifense é pernambucano. Proposição particular negativa Algum recifense não é pernambucano. Observe que a proposição universal negativa Nenhum recifense é pernambucano equivale a dizer que Todo recifense não é pernambucano. Dessa forma, a expressão nenhum pode ser substituída pela expressão todo... não.... O quantificador universal é indicado pelo símbolo, que se lê: todo, qualquer que seja, para todo. O quantificador existencial é indicado pelo símbolo, que se lê: algum, existe, existe pelo menos um, pelo menos um, existe um. Note que uma função proposicional (ou sentença aberta) quantificada é uma proposição. Então, como proposição, pode ser negada. Negação de proposições quantificadas Em resumo, temos o seguinte quadro para negação de proposições quantificadas. Afirmação Particular afirmativa ( algum... ) Universal negativa ( nenhum... ou todo... não... ) Universal afirmativa ( todo... ) Particular negativa ( algum... não ) Negação Universal negativa ( nenhum... ou todo... não... ) Particular afirmativa ( algum... ) Particular negativa ( algum... não ) Universal afirmativa ( todo... ) Vejamos alguns exemplos: p : Algum político é honesto. p : Existe político honesto. ~p : Nenhum político é honesto. ~p : Todo político não é honesto. q : Nenhum brasileiro é europeu. q : Todo brasileiro não é europeu. Prof. Guilherme Neves 20

21 ~q : Algum brasileiro é europeu. ~q : Existe brasileiro que é europeu. r : Todo concurseiro é persistente. ~r: Algum concurseiro não é persistente. ~r: Existe concurseiro que não é persistente. t : Algum recifense não é pernambucano. t : Existe recifense que não é pernambucano. ~t: Todo recifense é pernambucano. Observação: Como saberemos se uma questão qualquer se refere à negação? De três maneiras: i) A questão explicitamente pede a negação de uma proposição dada. ii) A questão fornece uma proposição verdadeira e pede uma falsa. iii) A questão fornece uma proposição falsa e pede uma verdadeira. 20. (AFC/2002/Esaf) Dizer que não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é alto é logicamente equivalente a dizer que é verdade que: a) Pedro não é pobre ou Alberto não é alto. b) Pedro não é pobre e Alberto não é alto. c) Pedro é pobre ou Alberto não é alto. d) se Pedro não é pobre, então Alberto é alto. e) se Pedro não é pobre, então Alberto não é alto. Comentamos que quando uma questão nos fornece uma proposição falsa e nos pede uma verdadeira, deveremos assinalar a negação da proposição dada. Assim, quando a questão fala que não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é alto, temos que a proposição Pedro é pobre e Alberto é alto é falsa. Para assinalarmos uma proposição verdadeira, deveremos negar a proposição dada. Lembremos: para negar uma proposição composta pelo conectivo e, negamos as duas proposições constituintes e trocamos o conectivo e pelo conectivo ou (Lei de De Morgan). Afirmação Pedro é pobre e Alberto é alto Negação Pedro não é pobre ou Alberto não é alto Dessa forma, a negação de Pedro é pobre e Alberto é alto é Pedro não é pobre ou Alberto não é alto. Letra A 21. (TRT/9ª Região/2004/FCC) A correta negação da proposição "todos os cargos deste concurso são de analista judiciário. é: a) alguns cargos deste concurso são de analista judiciário. Prof. Guilherme Neves 21

22 b) existem cargos deste concurso que não são de analista judiciário. c) existem cargos deste concurso que são de analista judiciário. d) nenhum dos cargos deste concurso não é de analista judiciário. e) os cargos deste concurso são ou de analista, ou no judiciário. A negação de uma proposição universal afirmativa ( todo... ) é a particular negativa ( algum... não ). Lembrando que o quantificador existencial algum equivale à expressão existe. Afirmação Todos os cargos deste concurso são de analista judiciário. Negação Existem cargos deste concurso que não são de analista judiciário. Dessa forma, a negação da proposição dada é existem cargos deste concurso que não são de analista judiciário. Na verdade, o correto é que o quantificador existencial fique no SINGULAR. Desta forma, estamos assinalando a alternativa menos errada. O correto, a rigor, seria: Existe cargo deste concurso que não é de analista judiciário. Para negar uma proposição com a expressão todo..., troca-se o quantificador por algum/existe e modifica-se o verbo, nega-se o verbo. Letra B 22. (TJ/PE/2007/FCC) Considere a afirmação abaixo. Existem funcionários públicos que não são eficientes. Se essa afirmação é FALSA, então é verdade que: a) nenhum funcionário público é eficiente. b) nenhuma pessoa eficiente é funcionário público. c) todo funcionário público é eficiente. d) nem todos os funcionários públicos são eficientes. e) todas as pessoas eficientes são funcionários públicos. Como vimos, quando o enunciado nos fornece uma proposição falsa e nos pede uma proposição verdadeira, devemos obter a sua negação. Assim, a negação de uma proposição particular negativa ( algum... não ) é a proposição universal afirmativa (todo...). Afirmação Existem funcionários públicos que não são eficientes. Negação Todo funcionário público é eficiente. Temos então que a negação de Existem funcionários públicos que não são eficientes é todo funcionário público é eficiente. Em outras palavras, para negar uma proposição com a expressão existe/algum, trocamos o quantificador por todo e modificamos o verbo, negamos o verbo. Como a negação de não ser eficiente é ser eficiente, temos o resultado acima. Prof. Guilherme Neves 22

23 Letra C 23. (SEBRAE 2010/CESPE-UnB) A negação da proposição A ginástica te transforma e o futebol te dá alegria está assim corretamente enunciada: A ginástica não te transforma nem o futebol te dá alegria. Esta casca de banana aparece com muita frequência em questões do CESPE-UnB. Observe: A proposição Não vou à praia nem ao cinema significa Não vou à praia e não vou ao cinema. A proposição dada pelo enunciado foi A ginástica te transforma e o futebol te dá alegria. Para negar uma proposição composta pelo conectivo e, devemos negar os dois componentes e trocar o conectivo pelo ou. CUIDADO!! A expressão nem que o enunciado colocou na suposta negação significa e!! A correta negação é: A ginástica não te transforma ou o futebol não te dá alegria. O item está errado. (TRT 17ª Região 2009/CESPE-UnB) Julgue os itens 24 a A proposição Carlos é juiz e é muito competente tem como negação a proposição Carlos não é juiz nem é muito competente. O item está errado. Ao negar uma proposição composta pelo conectivo e devemos negar os dois componentes e trocar o conectivo pelo ou. Não podemos colocar nem na negação!! A correta negação é: Carlos não é juiz ou não é muito competente. 25. A proposição A Constituição brasileira é moderna ou precisa ser refeita será V quando a proposição A Constituição brasileira não é moderna nem precisa ser refeita for F, e vice-versa. O quesito pede, na verdade, para julgarmos se uma proposição dada é a negação da outra (já que quando uma é V, a outra é F, e vice-versa). A negação da proposição A Constituição brasileira é moderna ou precisa ser refeita é A Constituição brasileira não é moderna e não precisa ser refeita, que tem o mesmo significado de A Constituição brasileira não é moderna nem precisa ser refeita. O item está certo. 26. A negação da proposição O juiz determinou a libertação de um estelionatário e de um ladrão é expressa na forma O juiz não determinou a libertação de um estelionatário nem de um ladrão. Prof. Guilherme Neves 23

24 Ao negar uma proposição composta pelo conectivo e devemos negar os dois componentes e trocar o conectivo pelo ou. Não podemos colocar nem na negação!! A correta negação é: O juiz não determinou a libertação de um estelionatário ou não determinou a libertação de um ladrão. O item está errado. 27. (BB/2008-2/CESPE) A negação da proposição A B possui os mesmos valores lógicos que a proposição A ( B). Vimos que para negar uma proposição composta pelo se..., então devemos negar apenas o consequente (a segunda frase) e trocar o conectivo pelo e. O item está certo. 28. (BB/2008-3/CESPE) A negação da proposição Existe banco brasileiro que fica com mais de 32 dólares de cada 100 dólares investidos pode ser assim redigida: Nenhum banco brasileiro fica com mais de 32 dólares de cada 100 dólares investidos. Vimos o seguinte quadro-resumo: Afirmação Particular afirmativa ( algum... ) Negação Universal negativa ( nenhum... ou todo... não... ) Desta forma, para negar uma proposição quantificada com existe, devemos simplesmente trocálo por nenhum e copiar o restante da frase. Afirmação Existe banco brasileiro que fica com mais de 32 dólares de cada 100 dólares investidos. Negação Nenhum banco brasileiro fica com mais de 32 dólares de cada 100 dólares investidos. O item está certo. 29. (Agente de Polícia Federal/2009/CESPE) Se A for a proposição Todos os policiais são honestos, então a proposição A estará enunciada corretamente por Nenhum policial é honesto. Prof. Guilherme Neves 24

25 Para negar uma proposição universal afirmativa (todo), devemos trocá-la pela particular negativa (algum...não). Afirmação Negação Todos Os policiais são honestos. Algum Policial não é honesto. O item está errado. 30. (ME 2008/CESPE-UnB) Considere as seguintes proposições. A: Está frio. B: Eu levo o agasalho. Nesse caso, a negação da proposição composta Se está frio, então eu levo o agasalho A B pode ser corretamente dada pela proposição Está frio e eu não levo o agasalho A ( B). O item está certo, pois para negar uma proposição composta pelo conectivo se...,então... devemos negar apenas a segunda proposição componente e trocar o conectivo pelo e. 31. (PCPA 2007/CESPE-UnB) Uma proposição da forma A v B é equivalente a uma proposição da forma (A B), isto é, essas proposições têm exatamente os mesmos valores V e F. Considere que A simbolize a proposição Pedro tem 20 anos de idade e B simbolize Pedro é assistente administrativo. Assinale a opção equivalente à negação da proposição Pedro tem 20 anos de idade e é assistente administrativo. A) Pedro não tem 20 anos de idade e não é assistente administrativo. B) Pedro não tem 20 anos de idade ou Pedro não é assistente administrativo. C) Pedro tem 20 anos de idade e não é assistente administrativo. D) Pedro não tem 20 anos de idade ou Pedro é assistente administrativo. Para negar uma proposição composta pelo e, devemos negar os dois componentes e trocar o conectivo pelo ou. Desta forma, a negação da proposição Pedro tem 20 anos de idade e é assistente administrativo é Pedro não tem 20 anos de idade ou não é assistente administrativo. Letra B 32. (TRE-MA 2009/CESPE-UnB) Com base nas regras da lógica sentencial, assinale a opção que corresponde à negação da proposição Mário é contador e Norberto é estatístico. A) Se Mário não é contador, então Norberto não é estatístico. B) Mário não é contador e Norberto não é estatístico. C) Se Mário não é contador, então Norberto é estatístico. D) Se Mário é contador, então Norberto não é estatístico. E) Se Mário é contador, então Norberto é estatístico. Prof. Guilherme Neves 25

26 Para negar a proposição composta pelo e, devemos negar os dois componentes e trocar o conectivo pelo ou. Desta forma, a negação de Mário é contador e Norberto é estatístico. é Mário não é contador ou Norbertonão é estatístico. O problema é que esta frase não se encontra nas alternativas. Observe que há várias alternativas com o conectivo se...,então.... O que devemos fazer então? Ora, devemos marcar uma alternativa que tenha o mesmo significado lógico de Mário não é contador ou Norberto não é estatístico. Vamos, portanto, assinalar uma proposição equivalente a ela. Para transformar uma proposição composta pelo conectivo ou em uma condicional, devemos negar apenas o primeiro componente e trocar o conectivo. Desta forma, são equivalentes as proposições: Letra D Mário não é contador ou Norberto não é estatístico. Se Mário é contador, então Norberto não é estatístico. 33. (TRE-BA 2009/CESPE-UnB) A negação da proposição O presidente é o membro mais antigo do tribunal e o corregedor é o vice-presidente é O presidente é o membro mais novo do tribunal e o corregedor não é o vice-presidente. A negação dada está errada por dois motivos: i) Só porque o presidente não é o membro mais antigo, não significa que ele seja o mais novo. Ou seja, a negação de O presidente é o membro mais antigo do tribunal é O presidente não é o membro mais antigo do tribunal. ii) Para negar uma proposição composta pelo e devemos negar os dois componentes e trocar o conectivo pelo ou. O item está errado. 34. (MPS 2009/CESPE-UnB) A negação da proposição Pedro não sofreu acidente de trabalho ou Pedro está aposentado é Pedro sofreu acidente de trabalho ou Pedro não está aposentado. O item está errado porque para negar uma proposição composta pelo ou devemos trocar o conectivo pelo e, além de negar os dois componentes. 35. (Administrador FUNASA CESGRANRIO 2009) Qual é a negação da proposição Alguma lâmpada está acesa e todas as portas estão fechadas? (A) Todas as lâmpadas estão apagadas e alguma porta está aberta. (B) Todas as lâmpadas estão apagadas ou alguma porta está aberta. Prof. Guilherme Neves 26

27 (C) Alguma lâmpada está apagada e nenhuma porta está aberta. (D) Alguma lâmpada está apagada ou nenhuma porta está aberta. (E) Alguma lâmpada está apagada e todas as portas estão abertas. Vamos negar os componentes separadamente e, em seguida, trocar o conectivo pelo ou. P: Alguma lâmpada está acesa. A negação da proposição particular afirmativa é a universal negativa. ~P: Todas as lâmpadas não estão acesas. Ou seja, todas as lâmpadas estão apagadas. Q: Todas as portas estão fechadas. A negação da proposição universal afirmativa é a particular negativa. ~Q: Alguma porta não está fechada. Ou seja, alguma porta está aberta. A negação da proposição dada é: Todas as lâmpadas estão apagadas ou alguma porta está aberta. Letra B 36. (Analista CAPES CESGRANRIO 2008) Sejam p e q proposições simples e ~p e ~q, respectivamente, as suas negações. A negação da proposição composta p ~q é (A) ~p ~q (B) ~p q (C) p q (D) p ~q (E) p q A proposição dada pelo enunciado é a seguinte: ~ Para negar uma proposição composta pelo se...,então... devemos negar apenas o segundo componente e trocar o conectivo pelo e. Lembre que a negação de ~q é q. Portanto, a negação da proposição composta ~ é. Letra E 37. (Agente de Estação Metro SP 2010/FCC) Considere as proposições simples: p: Maly é usuária do Metrô e q: Maly gosta de dirigir automóvel A negação da proposição composta p ~ q é: (A) Maly não é usuária do Metrô ou gosta de dirigir automóvel. Prof. Guilherme Neves 27

28 (B) Maly não é usuária do Metrô e não gosta de dirigir automóvel. (C) Não é verdade que Maly não é usuária do Metrô e não gosta de dirigir automóvel. (D) Não é verdade que, se Maly não é usuária do Metrô, então ela gosta de dirigir automóvel. (E) Se Maly não é usuária do Metrô, então ela não gosta de dirigir automóvel. Lembre-se que o símbolo representa o conectivo e. Para negar uma proposição composta pelo e, negue as duas proposições e troque o conectivo e pelo conectivo ou. Desta forma, a negação de p ~ q é ~ p q. ~p : Maly não é usuária do Metrô. q: Maly gosta de dirigir automóvel. ~ p q: Maly não é usuária do Metrô ou Maly gosta de dirigir automóvel. Letra A 38. (METRO-SP 2009/FCC) São dadas as seguintes proposições simples: p : Beatriz é morena; q : Beatriz é inteligente; r : Pessoas inteligentes estudam. Se a implicação ~ ~ é FALSA, então é verdade que (A) Beatriz é uma morena inteligente e pessoas inteligentes estudam. (B) Pessoas inteligentes não estudam e Beatriz é uma morena não inteligente. (C) Beatriz é uma morena inteligente e pessoas inteligentes não estudam. (D) Pessoas inteligentes não estudam mas Beatriz é inteligente e não morena. (E) Beatriz não é morena e nem inteligente, mas estuda. O enunciado fornece uma proposição falsa e pede uma verdadeira. Devemos negar a proposição dada. E como negamos uma proposição composta pelo se..., então...? Afirme o antecedente, troque o conectivo condicional pelo conectivo e e negue o consequente. Na proposição ~ ~ o antecedente é ~ e o consequente é ~. Afirmamos o antecedente ~. Colocamos o conectivo e. ~ Negamos o consequente ~. Ora, a negação de ~ é a proposição. ~ Prof. Guilherme Neves 28

29 : Beatriz é morena; ~: Pessoas inteligentes não estudam. q: Beatriz é inteligente; ~ : Beatriz é morena e pessoas inteligentes não estudam e Beatriz é inteligente. (C) Beatriz é uma morena inteligente e pessoas inteligentes não estudam. Diagramas de Euler-Venn O estudo das proposições categóricas pode ser feito utilizando os diagramas de Euler- Venn. É habitual representar um conjunto por uma linha fechada e não entrelaçada. A Relembremos o significado, na linguagem de conjuntos, de cada uma das proposições categóricas. Todo A é B Todo elemento de A também é elemento de B. Nenhum A é B A e B são conjuntos disjuntos, ou seja, não possuem elementos comuns. Algum A é B Os conjuntos A e B possuem pelo menos 1 elemento em comum. Algum A não é B O conjunto A tem pelo menos 1 elemento que não é elemento de B. Vejamos como representar cada uma das proposições categóricas utilizando os diagramas de Euler-Venn. Todo A é B A proposição categórica Todo A é B é equivalente a: A é subconjunto de B. A é parte de B. Prof. Guilherme Neves 29

30 A está contido em B. B contém A. B é universo de A. B é superconjunto de A. RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA ARFRB Se sabemos que a proposição Todo A é B é verdadeira, qual será o valor lógico das demais proposições categóricas? Algum A é B é necessariamente verdadeira. Nenhum A é B é necessariamente falsa. Algum A não é B é necessariamente falsa. Algum A é B A proposição categórica Algum A é B equivale a Algum B é A. Se algum A é B é uma proposição verdadeira, qual será o valor lógico das demais proposições categóricas? Nenhum A é B é necessariamente falsa. Todo A é B e Algum A não é B são indeterminadas. Observe que quando afirmamos que Algum A é B estamos dizendo que existe pelo menos um elemento de A que também é elemento de B. Nenhum A é B A proposição categórica Nenhum A é B equivale a: Nenhum B é A. Todo A não é B. Todo B não é A. A e B são conjuntos disjuntos. Se nenhum A é B é uma proposição verdadeira, qual será o valor lógico das demais proposições categóricas? Prof. Guilherme Neves 30

31 Todo A é B é necessariamente falsa. Algum A não é B é necessariamente verdadeira. Algum A é B é necessariamente falsa. Algum A não é B Observe que Algum A não é B não equivale a Algum B não é A. Por exemplo, dizer que Algum brasileiro não é pernambucano não equivale a dizer que Algum pernambucano não é brasileiro. Se algum A não é B é uma proposição verdadeira, qual será o valor lógico das demais proposições categóricas? Nenhum A é B é indeterminada, pois poderia haver elementos na interseção dos conjuntos A e B. Algum A é B é indeterminada, pois pode haver ou não elementos na interseção dos conjuntos A e B. Todo A é B é necessariamente falsa. 39. (TRF 2004/FCC) Considerando todo livro é instrutivo como uma proposição verdadeira, é correto inferir que: a) Nenhum livro é instrutivo é uma proposição necessariamente verdadeira. b) Algum livro é instrutivo é uma proposição necessariamente verdadeira. c) Algum livro não é instrutivo é uma proposição verdadeira ou falsa. d) Algum livro é instrutivo é uma proposição verdadeira ou falsa. e) Algum livro não é instrutivo é uma proposição necessariamente verdadeira. Diante do diagrama e da teoria exposta, concluímos facilmente que a resposta correta é a letra B. Se todo livro é instrutivo, podemos afirmar que algum livro é instrutivo. Prof. Guilherme Neves 31

32 40. (IPEA 2004/FCC) Considerando toda prova de Lógica é difícil uma proposição verdadeira, é correto inferir que: a) nenhuma prova de Lógica é difícil é uma proposição necessariamente verdadeira. b) alguma prova de Lógica é difícil é uma proposição necessariamente verdadeira. c) alguma prova de Lógica é difícil é uma proposição verdadeira ou falsa. d) alguma prova de Lógica não é difícil é uma proposição necessariamente verdadeira. e) alguma prova de Lógica não é difícil é uma proposição verdadeira ou falsa. Questão idêntica à anterior. Ora, se todas as provas de lógica são difíceis, podemos garantir que alguma prova de lógica é difícil. Letra B 41. (TRT/2006/FCC) As afirmações seguintes são resultados de uma pesquisa feita entre os funcionários de certa empresa. Todo indivíduo que fuma tem bronquite. Todo indivíduo que tem bronquite costuma faltar ao trabalho. Relativamente a esses resultados, é correto concluir que: a) existem funcionários fumantes que não faltam ao trabalho. b) todo funcionário que tem bronquite é fumante. c) todo funcionário fumante costuma faltar ao trabalho. d) é possível que exista algum funcionário que tenha bronquite e não falte habitualmente ao trabalho. e) é possível que exista algum funcionário que seja fumante e não tenha bronquite. Prof. Guilherme Neves 32

33 Pelo diagrama exposto, percebemos que todo funcionário fumante costuma faltar ao trabalho. Letra C 42. (TRT-PR 2004/FCC) Sabe-se que existem pessoas desonestas e que existem corruptos. Admitindo-se verdadeira a frase "Todos os corruptos são desonestos", é correto concluir que: a) quem não é corrupto é honesto. b) existem corruptos honestos. c) alguns honestos podem ser corruptos. d) existem mais corruptos do que desonestos. e) existem desonestos que são corruptos. Vamos analisar cada uma das alternativas de per si. a) Esta alternativa é falsa, pois podem existir pessoas que não são corruptas e que são desonestas. b) Esta alternativa é falsa, pois todo corrupto é desonesto. c) Esta alternativa é falsa, pois todo corrupto é desonesto. d) Esta alternativa é falsa, pois podem existir pessoas que não são corruptas e que são desonestas. e) Esta alternativa é verdadeira, pois todos os corruptos são desonestos e, portanto, existem desonestos corruptos. Letra E 43. (TCE-PB 2006/FCC) Sobre as consultas feitas a três livros X, Y e Z, um bibliotecário constatou que: Todas as pessoas que haviam consultado Y também consultaram X. Algumas pessoas que consultaram Z também consultaram X. De acordo com suas constatações, é correto afirmar que, com certeza: Prof. Guilherme Neves 33

34 a) pelo menos uma pessoa que consultou Z também consultou Y. b) se alguma pessoa consultou Z e Y, então ela também consultou X. c) toda pessoa que consultou X também consultou Y. d) existem pessoas que consultaram Y e Z. e) existem pessoas que consultaram Y e não consultaram X. A proposição Todas as pessoas que haviam consultado Y também consultaram X é representada assim: Algumas pessoas que consultaram Z também consultaram X. Isto significa que há elementos comuns aos conjuntos X e Z. Porém, não sabemos qual a relação que existe entre o conjunto Z e o conjunto Y. Por essa razão, deixaremos uma parte do conjunto Z pontilhada para demonstrar esta incerteza. Observe que não sabemos se o conjunto Z e o conjunto Y possuem elementos comuns. Vamos analisar as alternativas. a) pelo menos uma pessoa que consultou Z também consultou Y. Não temos certeza se os conjuntos Z e Y possuem elementos comuns. Esta alternativa é falsa. b) se alguma pessoa consultou Z e Y, então ela também consultou X. Esta alternativa é verdadeira. Se alguma pessoa consultou Z e Y, então esta pessoa consultou Y. Se esta pessoa consultou Y, então ela também consultou X. Concluímos que se alguma pessoa consultou Z e Y, então ela também consultou X. Prof. Guilherme Neves 34

35 c) toda pessoa que consultou X também consultou Y. Esta alternativa é falsa. Podemos apenas afirmar que toda pessoa que consultou Y também consultou X. d) existem pessoas que consultaram Y e Z. Não temos certeza se os conjuntos Z e Y possuem elementos comuns. Esta alternativa é falsa. e) existem pessoas que consultaram Y e não consultaram X. Esta alternativa é falsa, pois todas as pessoas que haviam consultado Y também consultaram X. Resposta: Letra B 44. (SEFAZ-SP 2009/FCC) Considere o diagrama a seguir, em que U é o conjunto de todos os professores universitários que só lecionam em faculdades da cidade X, A é o conjunto de todos os professores que lecionam na faculdade A, B é o conjunto de todos os professores que lecionam na faculdade B e M é o conjunto de todos os médicos que trabalham na cidade X. Em todas as regiões do diagrama, é correto representar pelo menos um habitante da cidade X. A respeito do diagrama, foram feitas quatro afirmações: I. Todos os médicos que trabalham na cidade X e são professores universitários lecionam na faculdade A. II. Todo professor que leciona na faculdade A e não leciona na faculdade B é médico. III. Nenhum professor universitário que só lecione em faculdades da cidade X, mas não lecione nem na faculdade A e nem na faculdade B, é médico. Prof. Guilherme Neves 35

36 IV. Algum professor universitário que trabalha na cidade X leciona, simultaneamente, nas faculdades A e B, mas não é médico. Está correto o que se afirma APENAS em (A) I. (B) I e III. (C) I, III e IV. (D) II e IV. (E) IV. Vamos analisar cada uma das alternativas de per si. I. Todos os médicos que trabalham na cidade X e são professores universitários lecionam na faculdade A. O item I é falso, como pode bem ser visto no diagrama acima. A região pintada de vermelho possui pelo menos um elemento que é médico que trabalha na cidade X (pois é elemento de M), é professor universitário que só leciona em faculdades da cidade X e não leciona na faculdade A. II. Todo professor que leciona na faculdade A e não leciona na faculdade B é médico. Prof. Guilherme Neves 36

37 O item II é falso, como pode ser visto no diagrama acima. A região pintada de vermelho possui pelo menos um elemento que leciona na faculdade A, não leciona na faculdade B e não é médico. III. Nenhum professor universitário que só lecione em faculdades da cidade X, mas não lecione nem na faculdade A e nem na faculdade B, é médico. A região pintada de vermelho indica o conjunto das pessoas que só lecionam em faculdades da cidade X (elementos de U), não leciona nem na faculdade A e nem na faculdade B e não são médicos. O item III é falso. IV. Algum professor universitário que trabalha na cidade X leciona, simultaneamente, nas faculdades A e B, mas não é médico. Prof. Guilherme Neves 37