Disciplina: Prof. a Dr. a Simone Daniela Sartorio. DTAiSeR-Ar

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1 Disciplina: Noções de Amostragem Prof. a Dr. a Simone Daniela Sartorio DTAiSeR-Ar 1

2 População (Mundo Real) Amostra Amostragem Conjunto de todos os elementos sobre os quais se desejam uma informação (tem uma característica em comum). A população deve estar bem definida É todo subconjunto de elementos retirados de uma população. Seus elementos devem ser representativos da população. Pode ser: Finitas ou Infinitas 2

3 Exemplos de população: Exemplos de amostra: _Todos os valores possíveis da produção de milho, em kg por hectare; _ Os rendimentos de milho, em kg/ha, de uma amostra de 5 unidades experimentais (canteiros); _ Todos os pesos ao nascer de suínos da raça X, em gramas. _ Os pesos ao nascer de uma ninhada de suínos da raça X. 3

4 Como obter informações destes conjuntos? 4

5 População Recenseamento: Quando são coletados dados sobre TODOS os elementos da população. Censo Conjunto de dados obtidos pelo recenseamento. O censo é sempre o melhor método para obtermos informações úteis? Ineficaz: maior possibilidade de erro dada a quantidade de observações/medições; Limitações do Censo Impossível: no diagnóstico e monitoramento de populações extremamente dinâmicas; Alternativa? Utilizar amostras Impraticável: custo e tempo de execução em geral são excessivos. 5

6 Porque amostrar? Exemplo: a) Algumas populações são muito grandes que só podem ser estudadas por meio de amostras. b) Custo e a demora para obter os dados, no caso de censos Informações obsoletas. Exemplo: Numa pesquisa eleitoral, a 3 dias de uma eleição presidencial não haveria tempo suficiente para pesquisar a população de eleitores do país, mesmo que houvesse recurso financeiros em abundância. c) É impossível estudar algumas populações. Exemplo: Uma empresa de fósforo e deseja-se testar a qualidade do produto que fabrica, não pode acender todos os fósforos que fabricou mas apenas alguns deles. 6

7 Porque amostrar? d) Estudar cuidadosamente uma amostra tem mais valor científico do que estudar rapidamente toda a população É mais fácil realizar operações de pequena escala e evitando erros, pois um dos problemas típicos nos grandes censos é o controle dos entrevistados. Logo, tudo será realizado por meio de uma (ou mais) amostra(s)!!! 7

8 Situações em que o uso da amostragem não é interessante População pequena Se a população for pequena (50 elementos ou menos) para se ter uma amostra capaz de gerar resultados precisos para os parâmetros da população, será necessário uma amostra relativamente grande (em torno de 80% da população). Característica de fácil mensuração Mesmo que a população não seja tão pequena, mas a variável que se quer observar é de tão fácil mensuração, que não compensa investir num plano de amostragem. Exemplo: para verificar a porcentagem de funcionários favoráveis à mudança no horário de um turno de trabalho, pode-se entrevistar toda a população no próprio local de trabalho. Necessidade de alta precisão A cada 10 anos o IBGE realiza um censo demográfico para estudar diversas características da população brasileira. Dentre estas características têm-se o parâmetro número de habitantes residentes no país, que é fundamental para o planejamento do país. Desta forma este parâmetro precisa ser avaliado com grande precisão e, por isto, se pesquisa toda a população. 8

9 Amostra Os dados de uma amostra pode ser obtida por: a) Pesquisa de opinião; b) Observação; c) Realização de um experimento; ou d) Realizando uma simulação. 9

10 a) Pesquisa de opinião É o levantamento das opiniões de uma amostra de pessoas, com a finalidade de conhecer as opiniões da população em geral (opinião pública) sobre determinado assunto, em particular. Algumas pessoas não falam com estranhos, ou não respondem perguntas por telefone (por exemplo). Formam o grupo dos não respondentes. Portanto, a população efetivamente amostrada é um pouco diferente da população alvo da pesquisa Na interpretação dos dados, é preciso levar em consideração tanto falta de resposta como erro de resposta. 10

11 b) Observação É a observação direta dos fenômenos em laboratórios ou na natureza. 11

12 c) Realizando um experimento É aplicado um tratamento (ou mais) a uma parte da população e são observadas as respostas. A outra parte da população é, em geral, usada como um grupo controle. Esse grupo não recebe tratamento algum ou então recebe o placebo. Após serem observadas as respostas dos dois (ou mais) grupos, os resultados são comparados. 12

13 d) Fazendo uma simulação É o uso de um modelo matemático ou físico para reproduzir as condições calculadas de um situação ou de um processo. As simulações permitem estudar situações que seria pouco prático ou até mesmo perigoso criar na vida real, além de frequentemente poupar tempo e dinheiro. Exemplo: Fabricantes de automóveis usam simulações com bonecos para estudar os efeitos que as colisões têm em seres humanos; A coleta de dados frequentemente compreende o uso de computadores. 13

14 Plano de amostragem 14

15 Plano de Amostragem Para se fazer um plano de amostragem é necessário ter bem definidos: os objetivos da pesquisa, a população a ser amostrada, bem como os parâmetros que precisam ser estimados para atingir os objetivos da pesquisa. Num plano de amostragem deve constar : a definição da unidade de amostragem, a forma de seleção dos elementos da população; e o tamanho da amostra. 15

16 Amostragem É o processo da escolha criteriosa da amostra, ou seja, dos elementos a serem submetidos ao estudo. A solução adequadas para problemas de amostragem exige, em geral, muito bom-senso, conhecimento do fenômeno biológico e experiência. 16

17 Tendências da amostragem Compra-se a caixa de morango com os morangos mais bonitos por cima. A minha opinião sobre como anda a administração da cidade depende dos lugares onde vou e das ruas por ande passo. Será que os lugares e ruas que conheço representam todos os lugares/ruas da cidade? E os debaixo? Tendência natural das pessoas é buscar a informação do modo mais conveniente A minha noção da opinião pública depende das pessoas com que convivo. Será que os meus conhecidos e amigos representam a população brasileira? 17

18 O sucesso da amostragem vai depender de um planejamento adequado. A seleção dos elementos que irão compor a amostra pode ser feita de várias maneiras e irá depender do conhecimento que se tem da população e da quantidade de recursos disponíveis. 18

19 Métodos de Amostragem 1) Amostragem probabilística (ou aleatória) Os resultados podem ser projetáveis para a população total 2) Amostragem não probabilística (ou não aleatória) Os resultados não podem ser generalizados. Para a escolha do processo de amostragem, o pesquisador deve levar em conta: o tipo de pesquisa, a acessibilidade aos elementos da população, a disponibilidade ou não de ter os elementos da população, a representatividade desejada ou necessária, a oportunidade apresentada pela ocorrência de fatos ou eventos, a disponibilidade de tempo, recursos financeiros e humanos etc. 19

20 1) Amostragem Probabilística cada elemento da população tem uma chance conhecida e diferente de zero de ser selecionado para compor a amostra. As amostragens probabilísticas geram amostras probabilísticas. Permitem a utilização das técnicas clássicas de inferência estatística Amostras obtidas através de algum tipo de sorteio; O processo aleatório de seleção das unidades elimina qualquer interferência de escolha humana na escolha dos elementos da amostra. Fornecendo maior segurança ao generalizar resultados da amostra para a população. O sorteio pode ser obtido: a) Manualmente; b) Usando o computador (Excel, ou software R); ou c) Por meio de tabelas de números aleatórios. 20

21 a) Obtendo uma amostra aleatória manualmente Em uma urna coloca-se 10 bolas de mesmo tamanho, peso, superfície, etc (elementos homogêneos) contendo os números: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Antes de cada sorteio, os números são misturados na urna. Ao sortear um número ele pode: Retornar à urna Amostragem com reposição Qualquer elemento tem exatamente a mesma chance de ser obtido. Ficar separado Amostragem sem reposição

22 b) Obtendo uma amostra aleatória usando o computador No Excel Função: =ALEATORIOENTRE(inferior; superior) No software R: set.seed(2081) N = 10 # semente # N = tamanho da população Ordem_Padrao<- factor(1:n) Ordem Padrão r<- runif(n); r # Ordem Padrão # gerando uma dist. U[0,1] de tamanho N (sorteio1<- order(r)) # sorteio 1 # Selecionar uma amostra de tamanho n=4 amostra1<- sorteio1[1:4]; amostra1 22

23 b) Obtendo uma amostra aleatória usando o computador Com reposição No Excel Função: =ALEATORIOENTRE(inferior; superior) Sem reposição No software R: set.seed(2081) # semente N = 10 # N = tamanho da população (Ordem_Padrao<- factor(1:n)) # Ordem Padrão [1] Levels: (r<- runif(n)) # gerando uma dist. U[0,1] de tamanho N [1] [6] (sorteio1<- order(r)) # sorteio 1 [1] # Selecionar uma amostra de tamanho n=4 amostra1<- sorteio1[1:4]; amostra1 [1]

24 c) Tabelas de números aleatórios 24

25 Amostragem probabilística Os métodos mais comuns são: a) Amostragem Aleatória Simples (AAS) b) Amostragem Aleatória Estratificada (AAE) c) Amostragem Sistemática (AS) d) Amostragem por Conglomerado (AC) 25

26 Exemplo 1 Deseja-se selecionar uma amostra de 5 alunos a partir de uma classe de 50 alunos. a) Como podemos selecionar esta amostra? b) Qual amostragem seria mais indicada? Porque? c) Descreva todo o procedimento. 26

27 1) Amostragem Aleatória Simples (AAS) É a mais simples e talvez o mais importante em estatística. A técnica exige que a população seja HOMOGÊNEA, isto é, seja constituída por unidades similares, sob o ponto de vista da variável em estudo. É o equivalente a um sorteio lotérico. TODOS os elementos da população têm igual chance (probabilidade) de pertencer a amostra. Uma amostra de um dado tamanho tem a mesma chance de ser selecionada que qualquer outra amostra possível de mesmo tamanho. Amostras de diferentes tamanhos podem ter chances diferentes. 27

28 Procedimento para a obtenção de uma amostra aleatória simples de tamanho n 1) Enumerar os N elementos da população de 1 a N. 2) Sortear, sem preposição, n números compreendidos de 1 a N. 3) Os elementos correspondentes aos números escolhidos formarão a amostra. 28

29 Exemplo 2: O esquema abaixo representa uma pequena área com laranjeiras de 3 diferentes variedades. Deseja-se estimar o número total de frutos dessa área observando-se apenas 10 laranjeiras. Como você realizaria a amostragem? Você recomendaria o uso da amostragem aleatória simples? Por que? # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # * * * * * X X X X X X X * * * * * X X X X X X X * * * * * X X X X X X X * * * * X X X X X X Legenda Variedade # A X B * C OBS: a população é HETEROGÊNEA 29

30 2) Amostragem Aleatória Estratificada (AAE) A população é subdividida em grupos mutuamente exclusivos (subpopulações) chamados estratos que compartilham uma característica similar: idade, etnicidade, renda, bairro, sexo, variedade, etc. Uma AAS é tomada dentro de cada estrato, e as estimativas dos estratos são combinadas numa única amostra: menor variabilidade entre amostras da população; maior precisão na amostragem. A variável de interesse apresenta comportamento homogêneo dentro dos estratos e heterogêneo entre os estratos. Se os estratos forem internamente mais homogêneos que a população em termos da variável que foi medida a AAE será mais precisa que a AAS 30

31 Existem diversas formas de se alocar (partilhar) a amostra nos diversos estratos k. Dentre elas podemos citar: 2.1.) Partilha proporcional: n h N h n N N h f, h = 1,..., k 2.2.) Partilha igual (ou Partilha uniforme): n n h k, h = 1,..., k Só é recomendada quando os estratos populacionais forem uniformes e de mesmo tamanho. 2.3.) Partilha ótima (ou alocação de Neyman) n h k N h 1 1 h N h h h n, h = 1,..., k É uma partilha de n unidade para os k estratos que resulta numa média (estimada) com variância mínima. 31

32 Procedimento para a obtenção de uma amostra estratificada proporcional de tamanho n Considerando: N o número de elementos da população; k o número de estratos; N i o número de elementos do estrato i (OBS: N = N 1 + N N k ) n o tamanho da amostra a ser selecionada. Calcule a fração da amostragem dada por : f = n N Calcular o número de elementos a serem sorteados em cada estrato: n 1 N 1 f n 2 N 2 f n 3 N 3 f... n k N k f com n = n 1 + n 2 + n n k 32

33 Resolução do exemplo 2: # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # * * * * * X X X X X X X * * * * * X X X X X X X * * * * * X X X X X X X * * * * X X X X X X Legenda Variedade N i # A 35 X B 27 * C 19 N 81 Temos k = 3 estratos. Sabendo que n = 10. Calcule n 1, n 2 e n 3. f = n/n = 10/81 = 0,1234 n 1 = f. N 1 = 4,3209 n 2 = f. N 2 = 3,333 n 3 = f. N 3 = 2,3456 n 1 = 4 n 2 = 3 n 3 = 3 n = 10 33

34 Exemplo 3: Uma loja de materiais de construção deseja conhecer o perfil dos seus compradores. Imagine que esta tem 1000 cadastros arquivados e tem condições para entrevistar 200 dos mesmos. ASD BTD CHS DOF EVT FDY GDA HYJ IYF IE JA JSG KDE KSJ LJE LH LS LZD MN MO NEG NH OM PIS QAG RVA RP... Como você faria a amostragem? 34

35 3) Amostragem Sistemática (AS) Quando os elementos da população se apresentam ordenados e a retirada dos elementos da amostra é feita periodicamente. Inicialmente, as unidades da população são colocadas numa certa ordem; Para uma amostra sistemática de 1-em-cada-k-unidades, você primeiro seleciona aleatoriamente uma das k primeiras unidades. A partir da unidade selecionada toma-se sempre a k-ésima unidade. OBS: Somente a primeira unidade é selecionada aleatoriamente, todas as demais são tomadas sistematicamente. 35

36 Procedimento para a obtenção de uma amostra sistemática (1 em cada k elementos) Definir a porcentagem P% de elementos da população que farão parte da amostra; Obter o valor de k, inteiro, dado por: k P Sortear um número r inteiro entre 1 e k; A amostra será composta pelos elementos de ordem r, r + k, r+2k, r+3k,... 36

37 Resolução do exemplo 3: Uma loja de materiais de construção deseja conhecer o perfil dos seus compradores. Imagine que esta tem 1000 cadastros arquivados e tem condições para entrevistar 200 dos mesmos. ASD BTD CHS DOF EVT FDY GDA HYJ IYF IE JA JSG KDE KSJ LJE LH LS LZD MN MO NEG NH OM PIS QAG RVA RP... N = 1000 n =200 p=20% da população k =1/20*100 = 5 Sorteia-se 1 número entre: 1,2,3,4 e 5. Suponha o número 2. A amostra de tamanho 200 será composta pelas fichas de número: 2, 7, 12, 17,...,

38 4) Amostragem por Conglomerado (AC) É uma amostra aleatória simples na qual cada unidade de amostragem é um grupo de elementos, chamados conglomerado. Exemplo: A população é dividida em subpopulações (conglomerados) distintas: quarteirões, residências, famílias, bairros, etc. O número de elementos de um conglomerado deve ser pequeno e o número de conglomerados razoavelmente grande. Todos os indivíduos nos conglomerados selecionados são observados. Em geral, é menos eficiente que a AAS ou AE, mas por outro lado é bem mais econômica. 38

39 Procedimento para a obtenção de uma amostra por conglomerado Definir conglomerado; Selecionar amostras aleatórias simples de grupos (conglomerados); TODOS os elementos DENTRO dos grupos selecionados constituirão a amostra. 39

40 Exemplo 4: Deseja-se estimar o rendimento médio mensal dos indivíduos com vínculo empregatício, que moram no bairro Campestre. Suponha que esse bairro possua 8 quarteirões (A, B,..., H). Realizar uma amostragem por conglomerado, indicando, nessa tabela, os valores de rendimento mensal selecionados. 40

41 Exercício 5 a) Cite as principais diferenças entre o procedimento para a obtenção de uma amostra estratificada e o procedimento para a obtenção de uma amostra por conglomerado. b) Para ler:

42 Amostragem Probabilística Amostra aleatória simples Amostra estratificada aleatória Amostra sistemática Amostra de agrupamento (área) Cada membro da população tem uma chance conhecida e igual de ser escolhido. A população é dividida em grupos mutualmente excludentes (como grupos de idade) e amostras randômicas são sorteadas para cada grupo. Quando os elementos da população se apresentam ordenados e a retirada dos elementos da amostra é feita periodicamente. A população é dividida em grupos mutualmente excludentes (como quarteirões) e o pesquisador sorteia uma amostra de grupos para ser entrevistada. 42

43 2) Amostragem Não Probabilística É aquela em que a seleção dos elementos da população para compor a amostra depende ao menos em parte do julgamento do pesquisador ou do entrevistador no campo. Amostra por conveniência Amostra por julgamento Amostra por quota Amostragem não probabilística O pesquisador seleciona membros da população mais acessíveis. O pesquisador usa o seu julgamento para selecionar os membros da população que são boas fontes de informação precisa. O pesquisador entrevista um número predefinido de pessoas em cada uma das várias categorias. 43

44 Qual o tamanho da Amostra? 44

45 O tamanho da amostra A amostra deve ter o tamanho usual da área em que a pesquisa se enquadra. A amostra demasiadamente pequena, mesmo sendo estudo de caso, são inúteis porque, em geral, não fornecem boas estimativas. Logo, não permite fazer inferências estatísticas. Por outro lado, desconfie de amostras grandes. Será que o pesquisador observou cada unidade amostrada com o devido cuidado? Amostras grandes, porém malfeitas, são piores, porque dão a ilusão de conter uma verdade que não contêm. Também é preciso verificar se a amostra foi retirada da população usando técnica estatística consagrada e delineada segundo critérios estatísticos. Se isso não for feito, a amostra pode ser tendenciosa. 45

46 Como determinar o tamanho da amostra? Na prática, o tamanho da amostra é determinado mais por considerações reais ou imaginárias a respeito do custo de cada unidade amostrada do que por técnicas estatísticas. Temos duas regras: Veja o que se faz na sua área consultando trabalhos similares (ou seja, consultando a literatura) e verifique o que seu orçamento permite fazer. Se seu orçamento for curto, não tente enquadrar nele uma pesquisa ambiciosa. De qualquer forma, o tamanho da amostra pode ser determinado por critérios estatísticos. As fórmulas de cálculo são bem conhecidas, mas esses cálculos exigem conhecimentos maiores. Portanto, vai ficar para depois!!! 46

47 O que iremos fazer com a amostra? 47

48 Observe Suponhamos que a nossa população seja apenas um grupo de 5 alunos de estatística e a variável de interesse seja o número de horas por semana dedicadas ao estudo da disciplina. a) Calcule o tempo médio dedicado à disciplina nesta população (parâmetro); b) Tomemos uma amostra de tamanho 2 desta população, qual o valor da estatística se: _ Os alunos 1 e 4 forem selecionados? _ Os alunos 2 e 3 forem selecionados? _ Os alunos 1 e 5 forem selecionados? O valor do parâmetro e da estimativa são sempre iguais? Aluno Horas de Estudo Não existe garantia de que a estatística tenha valor igual, ou mesmo próximo, do valor do parâmetro que se pretende estimar. No entanto, se a amostra for suficientemente grande e obtida de acordo com a técnica correta, na maioria das vezes isso ocorrerá. 48

49 Mundo Real (população) Amostra ^ Parâmetro Amostragem Estimativa Parâmetro: Característica Numérica que se calcularia a partir da população e que descreve uma característica de interesse. Valor fixo e desconhecido Estimativa: Característica numérica que é calculada a partir da amostra (valor). Valor variável (depende da amostra obtida) e conhecido (para a amostra obtida) 49

50 Observações 50

51 Parâmetro, estatística e estimativa Não é preciso comer todo o boi para saber se a carne está macia. Não é preciso comer toda sopa para saber se está boa de sal. Para ter idéia do valor do parâmetro, ou seja, para estimá-lo, basta que o pesquisador obtenha uma amostra. 51

52 Dessa forma, muitos cuidados são necessários, pois erros de amostragem podem ser sérios!!! Teoricamente: Tendência, viés, vício, ou erro amostral é a diferença entre a estimativa que se obteve na amostra e o parâmetro que se quer estimar. Por exemplo: ˆ erro amostral O erro amostral pode ser um valor negativo ou positivo, pequeno, nulo ou grande. A estimativa será precisa se tivermos alto grau de confiança de que o erro amostra associado à estimativa em questão é pequeno. Logo, TODO levantamento por amostragem tem um grau de incerteza (erro amostral) Uma amostra tendenciosa não fornece estimativa minimamente razoável do parâmetro que se deseja estimar. 52

53 Logo, para interpretar bem os dados e tirar conclusões adequadas, não basta olhar os números: é preciso entender como a amostra foi tomada; e verificar se não incidiram, no processo de amostragem, alguns fatores que poderiam trazer certa tendência aos dados. A precisão e a confiança são dois conceitos-chaves nesse estudo: A precisão, pode ser entendida como a diferença máxima entre a estatística e o parâmetro que o pesquisador deseja considerar no seu estudo. A confiança, pode ser entendida como a chance que o pesquisador tem de que a diferença máxima desejada não seja superada. 53

54 Precisão Capacidade dos sistemas de amostragem de gerar Estatísticas com pequena variabilidade entre amostras (de mesmo tamanho) tomadas numa mesma população. Qual o sistema de amostragem ideal? X X X X X X X X XXX X X XXX XX Sem viés Sem precisão Com viés Com precisão Sem viés Com precisão Para um mesmo tamanho de amostra, sistemas diferentes de amostragem podem resultar em precisão diferente. 54