Lista 01 Cálculo 1 Professor Daniel Henrique Silva Departamento de matemática UFSCar Turmas F e G

Transcrição

1 Lista 01 Cálculo 1 Professor Daniel Henrique Silva Departamento de matemática UFSCar Turmas F e G Esta lista contém tópicos de revisão. A ideia desta lista é fornecer um guia de tópicos que seria bom que o aluno soubesse antes de começar o estudo de cálculo 1 propriamente dito. O nível de dificuldade dessa lista em alguns exercícios é maior do que o que será exigido no curso, mas é importante que o aluno ao menos saiba os métodos de resolução de cada exercício dessa lista. 1) Escreva, com as suas palavras, as definições de ente primitivo, definição, axioma, proposição, teorema, lema, corolário e conjectura. 2) Diga se as proposições a seguir são verdadeiras ou falsas, e justifique: I A soma de dois números racionais sempre será um número racional. II A soma de dois números irracionais sempre será um número irracional. III O produto de dois números racionais sempre será um número irracional. IV O produto de dois números irracionais sempre será um número irracional. V A soma de um número racional com um irracional será sempre um número irracional. VI O produto de um número racional por um irracional sempre será um número irracional. VII Infinito ( ) é um número real. VIII Dados dois números reais, x e y, temos que x < y; x = y; ou x > y. IX Dados dois números reais, x e y, temos que x < x + y 3) Sejam E o conjunto dos números pares inteiros, e O o conjuntos dos ímpares inteiros. Julgue as afirmações a seguir em verdadeiras ou falsas, e justifique: I Se x, y E, então x + y E. II Se x, y O, então x + y O. III Se x E, e y O, então x + y E. IV Se x E, e y O, então x + y O. V Se x, y E, então xy E. VI Se x, y O, então xy O. VII Se x E, então x² E. VIII Se x O, então x² O. IX E O = N X E O = Z XI E O = Z * XII E O = XIII E O = {0} XIV E N XV O Q 4) Converta os números fracionários para decimais, sem o uso de calculadoras. a) 3 5 b) 35 2 c) 1 3 d) e) ) Converta os números decimais para uma fração irredutível. a) 0,25 b) 13,42 c) 0,034 d) 0, e) 3, f) 22, ) Demonstre que 2 não pode ser escrito como fração irredutível. Ou seja, prove que 2 Q 7) Racionalize e simplifique os denominadores: a) 3 b) 2 c) d) e) 4 f) g) x + x i) j) l) 3 m) n) ( x x x x x ) 6 h) 6 3

2 8) Fatore as seguintes expressões: a) 4x 2 8x 3 b) 32x 4 y 3 z 5 24x 3 y 6 z x 5 y 5 z 2 c) x 2 8x + 16 d) a a 4 e) 2y 3 + 8y 2 + 8y f) 16 y 2 g) 16 t 4 h) x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 i) x 6 1 j) x k) t 6 6t t 2 8 9) Simplifique as seguintes expressões: a) ax+bx a 2 b 2 b) x2 + 6x+9 x 2 c) 9 4x 2 4x+1 d) 1 t3 1 t 2 8x 3 12x 2 + 6x 1 e) 2xa+2xb+4ya+4yb 4x xy+16y 2 f) xa 2 + xb 2 2x 2 a 2 + 4x 2 ab+2x 2 b 2 g) ax2 + 6axy+9ay 2 bx 2 9by 2 10) Para cada uma das expressões a seguir, verifique se o polinômio dado é um trinômio quadrado perfeito ou não. Caso seja, fatore-o, caso não seja, faça completamento de quadrado sobre esse polinômio, deixando-o numa forma mais simplificada. a) x 2 4x + 5 b) x 2 + 8x + 16 c) x 2 10x + 20 d) x 2 x + 1 e) 4x 2 + 4x + 1 f) 9x 2 12x + 20 g) x2 x 4 h) 2x2 2 2x ) Algumas fórmulas de fatoração possuem interpretação geométrica além da algébrica. Interprete geometricamente as expressões: a) (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (Trinômio quadrado perfeito) b) (a + b)*(a b) = a 2 b 2 (Diferença de quadrados) c) (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (Cubo perfeito) 12) Seja ABCD um quadrado de lado l. Cortando-o ao meio pela diagonal AC, formamos o triângulo ABC. a) Demonstre que os ângulos do triângulo ABC serão 45º, 45º e 90º. b) Utilizando esse triângulo, calcule os valores de sen(45 o ); cos(45 o ) e tg(45 o ). 13) Seja ABC um triângulo equilátero de lado l. Cortando-o ao pela mediana do lado BC, formamos os triângulos AMB e AMC. a) Demonstre que os ângulos do triângulo AMB serão 30º; 60º e 90º. b) Utilizando esse triângulo, calcule os valores de sen(30 o ); cos(30 o ) ; tg(30 o ); sen(60 o ); cos(60 o ) e tg(60 o ) 14) Em uma região plana, há uma torre de observação, tal que, a uma certa distância x, um observador inclina a cabeça de 30º para poder olhar o ponto mais alto da torre. Aproximando-se mais 5m da torre, o mesmo observador precisa inclinar a sua cabeça de 60º para poder observar o mesmo ponto da torre de observação. Desconsidere a altura do observador. a) Determine a altura da torre. b) Determine a distância inicial do observador em relação à torre. 15) Um trapézio possui ângulos agudos de 45º e 60º. Além disso, sabe-se que a base menor do trapézio possui 80% do tamanho da base maior. Determine a altura desse trapézio, em função da medida da base menor. 16) Uma escada de 13m de altura está apoiada, em um muro de 12m de altura, sob um ângulo x com a parede, plana e vertical. O ponto de apoio dessa escada escorrega, movendo-se para longe do muro, por certa distância, até que o ângulo entre a escada e a parede se torne 2x. Determine a distância percorrida pelo ponto de apoio da escada. 17) Complete a tabela a seguir, sem consultar nenhuma tabela trigonométrica, e sabendo que x é um ângulo do primeiro quadrante. a) 1 sen(x) cos(x) tg(x) cotg(x) sec(x) cossec(x) b) 0,42 c) 1,25 d) 0,75 e) 2 18) Simplifique as seguintes expressões: a) sen(x). cos(x). tg(x). cotg(x). sec(x). cossec(x) b) (sen(x) + cos(x)) 2 cos(x) sec(x) c) (sen(x) + cossec(x)). (cos(x) + sec(x)) d) sen(x) cossec(x) e) (tg(x) + cotg(x))2

3 19) Calcule o valor numérico das seguintes expressões: a) sen ( π 4 ) + cos (5π 3 ) tg (11π 6 ) b) cos (13π) sen (17π 2 4 π sen( ) c) 6 ) cos(2π 3 ) tg( 7π 4 ) d) sen ( π ) + sen 4 (2π) + sen 4 (3π ) + + sen (12π ) e) cos(0) cos 4 4 (π) + cos 3 (2π) cos 3 (3π ) + + cos (12π ) ) Qual o valor aproximado em graus de um radiano? 21) Determinar o valor numérico, caso existam: a) sen(arctg(2)) b) cos (arcsen ( 1 )) c) tg (arccos 3 (1 )) d) sen(arccos(0.3)) e) tg(arcsen(2)) 4 22) Demonstre as seguintes relações: a) sen(arcsen(x)) = x b) cos(arccos(x)) = x c) tg(arctg(x)) = x d) arcsen(x) = arccos( 1 x 2 ) e) arccos(x) = arcsen( 1 x 2 ) x f) arcsen(x) = arctg( 1 x 2) g) arctg(x) = arcsen( x 1 + x 2) 1 x2 1 h) arccos(x) = arctg( ) i) arctg(x) = arccos( x 1 + x 2) 23) Utilizando os valores fundamentais, determine: a) sen(15 o ) b) cos (75 o ) c) tg(105 o ) d) sen (x π 2 ) e) cos (x + π 2 ) f) tg (x + π 4 ) g) sen ( π ) h) cos 8 (π) i) tg 8 (π ) j) sen(3x) k) cos (3x) l) tg(3x) 8 24) Deduza as expressões de transformação de produto em soma de senos e cossenos. 25) Em uma folha, faça o desenho de um grande círculo trigonométrico (grande o suficiente para que você possa marcar todas as informações nele), e marque nele os ângulos fundamentais em todos os quadrantes, tanto em graus quanto em radianos. Marque também os valores de seno, cosseno e tangente desses ângulos em seus lugares apropriados, e indique, por linhas pontilhadas, os ângulos correspondentes. 26) Sejam os pontos a seguir, dados por suas coordenadas: A(2; 5); B(3; 0); C(-2; 1), D(4; -2); E(0; -5); F(-2; -1); G(2; -4); H(3; -4). Determine a distância entre cada par de pontos pedido: a) A e B b) A e C c) A e G d) C e F e) D e E f) D e G g) H e a origem h) O ponto médio de AB e F i) O ponto médio de CH e o ponto médio de DF 27) Os pontos A(2; 4), B(0; 3); C(-1; -1) e D(xD; yd) formam um paralelogramo. Determine as coordenadas do ponto D. Essa resposta é única? 28) Os pontos A(2; 4), B(-2; 2) e C(xC, yc) formam um triângulo isósceles. Determine as coordenadas do ponto C, sabendo-se que C é um ponto do eixo das ordenadas. A resposta é única? 29) Os pontos A(0; 0); B(3; 4) e C(xC; yc) formam um triângulo isósceles. Determine as coordenadas do ponto C, sabendo-se que C está no quarto quadrante. 30) Determine quais pontos da reta de equação 2x + 3y 5 = 0 tem distância igual a 10 unidades do ponto P(0; 2). 31) Determine as equações geral e reduzida da reta que contém os pontos A(2; -3) e B(-3; 1). 32) Determine as equações geral e reduzida da reta que contém o ponto A(-4; -1), e que forma ângulo de 30º com o eixo x. 33) Seja o triângulo de vértices A(0; 4), B(2; -1) e C(3; 1). Determine: a) A equação da mediana relativa ao lado BC. b) A equação da mediatriz relativa ao lado BC. c) A equação da altura relativa ao lado BC. d) A equação da reta paralela ao lado BC, passando pelo ponto A. 34) Sejam r e s duas retas, dadas pelas equações: r: kx + (4-k)y + k = 0

4 s: (4-k)x ky k = 0 Determine a posição relativa entre as retas r e s, de acordo com o valor de k. 35) Sejam r e s duas retas, dadas pelas equações: r: cos(t).x sen(t).y = 0 s: sen(t).x + cos(t).y = 4 Determine a posição relativa entre as retas r e s, de acordo com o valor de t. 36) Sejam os pontos A(3; -2), B(0; 2) e C(-4; -1). a) Mostre que os segmentos AB e BC são perpendiculares entre si. b) Encontre as coordenadas do ponto D(xD; yd) tal que ABCD forme um retângulo. c) Determine a tangente do ângulo formado entre as diagonais do retângulo. 37) Demonstre que, se duas retas r e s não paralelas, possuem coeficientes angulares m r e ms, respectivamente, então a tangente do ângulo entre as duas retas será dada por: tg(θ) = m r m s 1 + m r m s 38) Dados os pontos A(0; 0), B(0; 6) e C(4; 2), determine, para o triângulo ABC, as coordenadas: a) Do seu baricentro (ou seja, o ponto onde suas medianas se cruzam). b) Do seu circuncentro (ou seja, o ponto onde suas mediatrizes se cruzam). c) Do seu ortocentro (ou seja, o ponto onde suas alturas se cruzam). 39) Determine a equação da circunferência de centro no ponto C(-2; 7), que contém a origem. 40) Seja a circunferência de equação x 2 + y 2 = 25. a) Determine a posição relativa dos pontos A(3; 2); B(-4; 3) e C(-5; -1) em relação a esta circunferência. b) Mostre que a reta de equação 3x - 5y = 1 intercepta a circunferência em dois pontos, e determine quais são esses dois pontos. c) Encontre a equação da reta tangente a essa circunferência pelo ponto P(4; -3). 41) Seja a circunferência de equação (x - 4) 2 + (y + 2) 2 = 9. Determine as equações das retas tangentes à essa circunferência que passam pela origem. (Observe que há duas retas.) 42) Sejam as circunferências de equações: λ1 : (x + 2) 2 + (y 1) 2 = 4 λ2 : (x + 2) 2 + (y 9) 2 = 36 λ3 : (x 4) 2 + (y 1) 2 = 16 a) Mostre que essas três circunferências são tangentes entre si, e faça um esboço delas. b) Dê a equação da circunferência que circunscreve o triângulo formado pelos centros das três circunferências dadas. 43) Se a massa de um tijolo é um quilo, mais a massa de meio tijolo, então qual a massa de um tijolo e meio? 44) Para fazer um bolo para um grande evento, um cozinheiro pegou uma quantidade exagerada de farinha. Após pensar um pouco, decidiu remover um terço de toda a farinha, mais um terço de quilograma. Ainda assim, ele percebeu que ainda havia muita farinha, e decidiu novamente remover um terço da farinha restante, mais um terço de quilograma. Não contente, pensando que ainda havia farinha demais, ele retira pela última vez um terço de toda a farinha restante, mais um terço de quilograma, restando, para o seu bolo, exatos 7Kg de farinha. Determine quanta farinha ele havia inicialmente comprado. 45) Há uma enorme lista de exercícios para ser feita. Fazendo metade dos exercícios hoje, um terço amanhã, um sétimo depois de amanhã, ficam faltando apenas quatro exercícios para que eu termine a lista. Quantos exercícios possui a lista? 46) Um dos mais famosos problemas da matemática é o Epitáfio de Diofanto. Diofanto de Alexandria foi um famoso matemático grego, que, em sua lápide deixou um enigma, para aqueles que desejassem saber a sua idade. Uma tradução livre de seu epitáfio para o português é: Deus concedeu-lhe passar a sexta parte de sua vida na juventude; um duodécimo na adolescência; um sétimo, em seguida, foi passado num casamento estéril. Decorreu mais cinco anos, depois do que lhe nasceu um filho. Mas esse filho desgraçado e, no entanto bem amado! apenas tinha atingido a metade do total de anos que viveu seu pai, quando morreu. Quatro anos ainda, mitigando a própria dor com o estudo da ciência dos números, passou-os Diofanto, antes de chegar ao termo de sua existência.

5 Quantos anos viveu Diofanto? 47) Determine, se possível, valores para k de modo que a equação de segundo grau k 2 x 2 4k 2x + 2 = 0 admita solução única. 48) A razão áurea é um número irracional famoso, por diversas razões. Uma de suas propriedades é que a diferença entre a razão áurea e o seu inverso multiplicativo é igual a um. Determine o valor da razão áurea, sabendo que ela é positiva. 49) Resolver em = as seguintes equações: a) x 2 x + 1 = 0 b) x 3 8 = 0 c) x 3 6x x 6 = 0 d) x 4 + 5x = 0 e) x 5 2x 4 42x x 2 43x = 0 f) x 5 x 4 24x x x 192 = 0 50) Resolver, em R, os sistemas lineares, pelo método de sua preferência (A menos que você prefira o método de Cramer, nesse caso, faça de outro modo): 2x 3y + z w = 1 x + 2y + 3z = 1 2x 3y = 0 x + 2y 2z + w = 2 a) { b) { 2x + 3y z = 1 c) { x + y = 5 x y + 3z + w = 4 2x + 2y 5z = 0 2x + y + z 3w = 1 51) Em cada item, A, B, C e D representam constantes reais. Determine os valores numéricos dessas constantes em cada item, através de um sistema linear. 3x+1 a) = A + B (x+3)(x 1) (x 1) (x+3) x 2 + 9x + 2 b) = A + B + C (x 2)x(x+1) (x 2) x (x+1) 5x 2 6x + 3 c) = A + B + C + D (x 1)x(x+1)(x+3) (x 1) x (x+1) (x+3) 52) Resolver, em R, as inequações: a) 2x 5 0 b) 3 x < 4 c) 2 x + x 3(x 1) > 1 d) 2(2 x) + 3x e) x 2 8x f) x 2 + x + 6 < 0 g) 2x 2 + 3x + 4 > 0 h) 3x 2 + 6x ) Defina módulo algebricamente. 54) Defina módulo geometricamente. 55) Encontre valores de x, y e z tais que x > y, mas x*z < y*z 56) Julgue as afirmações a seguir como verdadeiras ou falsas, e jusfitique: I x = x II x + y = x + y III xy = x. y IV Se x = 0, então x = 0 V Se x + y = x y, então x = y = 0 57) Determine o valor numérico das expressões com módulo dadas a seguir: a) 7 b) - 4 c) 3 - p d) p 3 e) 3 - p f) p g) ) Interprete geometricamente as propriedades de módulo. 59) Demonstre que para quaisquer x, y 2 =, então x + y x + y 60) Demonstre que para quaisquer x, y 2 =, então x - y x y 61) Resolva em = as equações: a) x + 4 = 5 b) 2x = 0 c) x - x + 2 = 4 d) x + 2x = 0 62) Faça uma lista resumo com as fórmulas de áreas de figuras geométricas planas. 63) Faça uma lista resumo com as fórmulas de volumes de figuras geométricas espaciais.

6 64) Determine a proporção entre as áreas de uma circunferência e um triângulo equilátero inscrito nessa circunferência. 65) Determine a proporção entre as áreas de uma circunferência e um quadrado inscrito nessa circunferência. 66) Determine a proporção entre as áreas de uma circunferência e um triângulo equilátero circunscrito a essa circunferência. 67) Determine a proporção entre as áreas de dois hexágonos, um inscrito e um circunscrito a uma mesma circunferência. 68) Determine a proporção entre os volumes de duas esferas, uma inscrita e uma circunscrita a um mesmo cubo. 69) Determine o volume de um tetraedro regular inscrito em uma esfera de raio R. 70) Determine a proporção entre os volumes de dois tetraedros, um inscrito e um circunscrito a uma mesma esfera.